авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Моделирование сферически–симметричных астрофизических объектов и их излучения в общей теории относительности

На правах рукописи

Тегай Сергей Филиппович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИ–СИММЕТРИЧНЫХ

АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И ИХ ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЩЕЙ

ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

01.04.02 – Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико–математических наук

КРАСНОЯРСК – 2007 г.

Работа выполнена в Институте естественных и гуманитарных наук ФГОУ ВПО „Сибирский федеральный университет“.

Научный руководитель:

доктор физико–математических наук, профессор А.М.Баранов

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Цих Август Карлович кандидат физико-математических наук, доцент Мубаракшин Искандер Рахимович

Ведущая организация:

Татарский государственный гуманитарно-педагогический универ ситет, г.Казань

Защита состоится 13 ноября 2007 года в 10:00 часов на заседании диссер тационного совета К 212.099.03 Сибирского федерального университета по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института естествен ных и гуманитарных наук ФГОУ ВПО „Сибирский федеральный уни верситет“.

Автореферат разослан 13 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико–математических наук, доцент О.А.Золотов

Общая характеристика работы

Целью данной диссертационной работы является изучение различ ных аспектов соединения внутренних компонент астрофизических моде лей с внешним пространством Вайдья, описывающим распространение в вакууме неполяризованного высокочастотного излучения и являющимся обобщением внешнего решения Шварцшильда.

В задачи диссертационной работы входили:

• исследование нового класса статических моделей звезд с заданным распределением плотности;

• изучение влияния температурных эффектов на устойчивость моде лей;

• сшивка внешнего решения Вайдья с известными внутренними ре шениями;

• приближенное моделирование излучающих звезд;

Научная новизна:

– найдены и исследованы новые приближенные решения уравне ний Эйнштейна для статических сферически симметричных астрофизи ческих моделей с заданным распределением плотности энергии, обобща ющим параболическое распределение;

– показано, что внутренние астрофизические решения уравнений Эйнштейна могут быть сшиты по Дармуа–Лихнеровичу с внешним ре шением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного ве щества из–за испарения (сублимации);

– найдены новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для различных моделей излучающих звезд;

– показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды, состоящие из вещества с линейным уравнением состояния не об разуют черных дыр в процессе эволюции;

– показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изо тропного излучения;

– найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение;

Положения, выносимые на защиту 1. Рассмотрен класс статических моделей звезд с заданным распре делением плотности. Данное распределение описывает, в зависимости от параметров, как звезды с ярко выраженным ядром, так и шварцшиль доподобные звезды. Для этого класса моделей – получены приближенные решения уравнений Эйнштейна;

– вычислены собственные частоты малых радиальных колебаний;

– найдены значения параметров, при которых звезда становится неустойчивой.

2. Изучено влияние температуры на малые радиальные колебания нейтронных звезд. Обнаружено, что эффекты, связанные с температурой, проявляются только при различном порядке малости возмущений самой температуры и возмуще ний всех остальных функций;

собственные частоты колебаний не изменяются;

правая часть динамического уравнения, описывающего колеба ния, пропорциональна квадрату возмущения температуры;

остывание звезды вызывает ее колебания с амплитудой, обратно пропорциональной квадрату частоты, величина этой амплитуды зависит также от скорости остывания звезды;

3. Разработан метод приближенного решения системы уравнений Эйнштейна для излучающих звезд. Метод основан на разложении ис комых функций в ряды Тейлора вблизи поверхности сшивки. Коэффи циенты рядов находятся из условий сшивки Дармуа – Лихнеровича. С использованием этого метода построены астрофизические модели из идеальной жидкости с линейным уравнением состояния и из непаскалевой жидкости с полит ропным уравнением состояния, но с постоянными радиусом и светимо стью;

показано, что внутренние решения могут быть сшиты с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на та кой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из–за испарения (сублимации);

для моделей с линейным уравнением состояния показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды не образуют черных дыр в процессе эволюции.

4. Рассмотрен предельный переход к пылевому уравнению состоя ния во внутренней части звезды для модели с однородной плотностью и модели с линейным уравнением состояния;

при этом – показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изо тропного излучения;



– найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение.

Апробация работы. Материалы исследований докладывались на следующих международных конференциях: Геометризация физики III (Казань, 1997), Геометризация физики IV (Казань, 1999), V–ой междуна родной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско–тихо океанского региона (Москва, 2001), Theoretical and experimental problems of general relativity and gravitation (Томск, 2002), Симметрия и диф ференциальные уравнения (Красноярск, 2002), Physical interpretations of relativity theory (Москва, 2003), International Conference on General Relativity and Gravitation (Дублин, 2004).

По материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 115 стра ницах и состоит из введения, обзора литературы, двух глав обсуждения результатов исследования, библиографического списка из 127 наимено ваний и включает 2 таблицы и 8 рисунков.

Все вычисления производятся в общепринятой геометрической си стеме единиц, в которой скорость света и гравитационная постоянная равны единице.

Содержание работы Во введении отражена актуальность рассматриваемых в работе проблем, указаны цель и задачи диссертации, приведены основные по ложения, выносимые на защиту. Сформулирована научная новизна вы полненной работы.

Глава 1 настоящей диссертации является обзорно–методической. В ней подробно рассматриваются внешнее решение Вайдья, описывающее излучение в пределе геометрической оптики, и постановка задачи о мо делировании источников такого излучения;





описаны различные встре чающиеся в литературе интерпретации внутренних тензоров энергии– импульса;

на примере гравитационного коллапса пылевого облака де тально разобран формализм сшивки Дармуа–Лихнеровича;

приведены некоторые важные точные статические решения.

Глава 2 диссертации посвящена обсужде нию класса статических моделей звезд [1]–[4] с тензором энергии–импульса паскалевой жидко сти и заданным распределением плотности энер гии µ = µc (1 x2 ), 0, (1) где x = r/R – безразмерная радиальная коор дината, R – радиус рассматриваемой звезды, а µc – плотность энергии в ее центре. Эта задача Рис. 1: Плотность энергии является обобщением модели с параболическим µ = µc (1 (r/R)2 ).

распределением плотности энергии1. При увеличении параметра плот Баранов А.М. Сферически симметричное статическое решение уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости/ А.М.Баранов // Ун–т. Дружбы Народов им. П.Лумумбы. – М. – 1976. – 7 с.

ность энергии становится все более и более однородной. И наоборот, при уменьшении, ядро звезды становится более выраженным (Рис. 1).

Проведенное в настоящей работе моделирование релятивистских звезд основывается на решении уравнений Эйнштейна для статического сферически симметричного пространства–времени с метрикой ds2 = G(r)2 du2 + 2L(r)dudr + r2 (d2 + sin2 d2 ). (2) Общая теория относительности приводит к линейному дифференциаль ному уравнению на метрическую функцию G(r):

2x2 G + (x2 2x)G + (x + 2(1 ))G = 0, (3) где 1x 8R2 µx2 dx. (4) = x Краевые условия для этого уравнения возникают из сшивки с внешним решением Шварцшильда:

(5) G(x = 1) = 1 ;

G (x = 1) = (6), 2 где величина 2M/R = 1 (x = 1) называется компактностью, M – масса звезды. Уравнение (3) решается точно лишь для = 1. Во всех остальных случаях оно может быть решено либо численно, либо приближенно.

В связи с тем, что Решение методом последовательных приближений.

компактность звезды не может быть больше единицы, появляется воз можность использовать ее в качестве малого параметра при решении уравнения (3) методом последовательных приближений. Обозначим за f (x) = x(1 (x))/ отношение массы вещества, заключенного внутри сферы радиуса r, к полной массе звезды. И будем искать неизвестную Gn (x) n. Непосредственные вычисле функцию в виде ряда G(x) = n= ния приводят к следующим значениям коэффициентов:

G0 (x) = 1;

1 Gn (1) Gn1 (1) Gn1 (1) (1 x2 ) Gn (x) = Gn (1) 2 11 1 · 2 f (y)Gn1 (y) + f (y)Gn1 (y) + f (y)Gn1 (y) dy+ 2y y x – Деп. ВИНИТИ 13.07.76 №2626–76.

1 f (y)Gn1 (y) dy, (7) +x n = 1, 2, 3,..., 4 xy где Gn (1) и Gn (1) – коэффициенты разложения в ряд Тейлора граничных условий (5), (6).

Давление жидкости также может быть представлено в виде ряда pn (x) n с коэффициентами p(x) = n= p0 (x) = 0;

p1 (x) = 0;

n 2 Gn (x) 2 f Gn1 (x) (8) pn (x) = Gnk (x)pk (x).

x x k= Другой способ решения уравнения (3) за Решение методом Галеркина.

ключается в применении метода Галеркина. Суть этого метода в том, что функция G(x) ищется в виде ряда N (9) G(x) = u1 (x) + Ci ui (x), i= где ui (x) – произвольные линейно независимые функции, причем первая функция u1 (x) удовлетворяет условиям сшивки u1 (x = 1) = 1, u1 (x = 1) = (10), 2 тогда как остальные функции удовлетворяют однородным условиям ui (x = 1) = 0, ui (x = 1) = 0. (11) Коэффициенты ряда (9) подбираются так, чтобы невязка была ортого нальна всем выбранным функциям ui (x) на отрезке x [0, 1]. Невязка определяется как функция, получающаяся при замене в решаемом урав нении (3) функции G(x) аппроксимирующим ее рядом.

Эффективность метода Галеркина существенно зависит от выбора произвольных функций ui (x). Так, для нецелых, решение не будет бесконечно дифференцируемым в центре и удовлетворительно смоде лировать его многочленами не удастся. В диссертации, исходя из ре зультатов метода последовательных приближений, первая произвольная функция выбрана в виде u1 (x) = a + b(1 x2 ) + cx2+2. Таким образом учтен иррациональный член с наименьшей степенью. Коэффициенты a, b, c подбираются так, чтобы функция, во–первых, удовлетворяла усло виям сшивки (5), (6), и во–вторых, чтобы производная давления на по верхности тождественно обращалась в ноль. Итоговое выражение для u1 (x), являющейся самым грубым приближением функции G(x), имеет вид:

( + 1)c (1 x2 ) + cx2+2, (12) u1 = 1 c 4 где c = (6 5)/{16( + 1)(1 )3/2 }.

Остальные произвольные линейно независимые функции ui (x) вы браны в виде ui (x) = (1 x2 )i+1. Эти функции удовлетворяют однород ным условиям сшивки. Кроме того, для них выполняются два важных дополнительных условия. Во–первых, они не нарушают тождественного равенства нулю производной давления на поверхности, достигнутого спе циальным выбором u1 (x). Во–вторых, они зависят только от x2, что обес печивает тождественное равенство нулю также и производной G в цен тре, которое следует из уравнений Эйнштейна для 1/2.

Результаты минимизации невязки методом Галеркина для различ ных при количестве слагаемых N = 5 приведены в Табл. 1.

= 0, 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, = 3/ 6, 37 · 104 2, 72 · 103 7, 25 · 103 1, 72 · 102 3, 90 · C 4, 24 · 103 1, 91 · 102 5, 17 · 102 1, 20 · 101 2, 66 · C 3, 79 · 103 1, 61 · 102 4, 25 · 102 9, 93 · 102 2, 29 · C 1, 79 · 103 7, 10 · 103 1, 71 · 102 3, 65 · 102 7, 92 · C = 3, 41 · 103 1, 37 · 103 2, 68 · 103 3, 16 · 103 1, 19 · C 1, 26 · 103 7, 03 · 103 2, 37 · 102 6, 54 · 102 1, 62 · C 6, 84 · 105 1, 49 · 103 9, 63 · 103 3, 88 · 102 1, 22 · C 5, 87 · 105 1, 94 · 104 7, 76 · 104 7, 05 · 103 2, 95 · C = 5, 85 · 104 2, 73 · 103 7, 62 · 103 1, 84 · 102 4, 44 · C 1, 73 · 103 8, 86 · 102 2, 53 · 102 5, 57 · 102 1, 01 · C 1, 49 · 103 8, 51 · 103 2, 68 · 102 6, 53 · 102 1, 35 · C 3, 14 · 104 2, 09 · 103 7, 38 · 103 1, 97 · 102 4, 43 · C = 1, 65 · 103 8, 20 · 103 2, 37 · 102 5, 63 · 102 1, 24 · C 5, 11 · 104 3, 47 · 103 1, 33 · 102 4, 12 · 102 1, 15 · C 5, 11 · 104 1, 80 · 103 2, 23 · 103 4, 02 · 103 3, 46 · C 3, 01 · 104 1, 29 · 103 2, 88 · 103 3, 98 · 103 4, 17 · C Таблица 1: Коэффициенты Ci, минимизирующие невязку Для каждого показателя модель представляет Собственные частоты.

собой однопараметрическое семейство решений уравнений Эйнштейна.

Единственный оставшийся параметр модели обозначим буквой. Для моделей с параметрическими уравнениями состояния естественно вы брать в качестве параметр уравнения состояния в центре, как, напри мер, в работе Оппенгеймера–Волкова2. Однако можно в качестве выби рать и любой другой параметр звезды: радиус, центральную плотность энергии, компактность и так далее.

Зависимость массы звезды от параметра дает возможность опре делять устойчивость моделей с заданным уравнением состояния. Дело в том, что экстремумам массы на графике M () соответствуют безраз личные состояния равновесия. В типичных случаях с одной стороны от экстремума находятся устойчивые состояния равновесия, а с другой – неустойчивые.

Однако для моделей с заданным распределением плотности энер гии этот критерий неверен. Это связано с тем, что малые радиальные возмущения не меняют уравнения состояния модели, то есть вещество звезды в процессе малых колебаний не меняется. Кроме того, при ма лых возмущениях постоянной остается и масса звезды, тогда как рас пределение плотности энергии возмущенной звезды не может совпадать с равновесным. Следовательно, для определения устойчивости необхо димо рассчитывать собственные частоты колебаний звезды.

С этой целью рассмотрим поведение модели под воздействием малых возмуще ний. Возникающие в этом случае колебания описываются линеаризованными уравнени ями Эйнштейна, которые в итоге приводят к задаче Штурма–Лиувилля (P z ) + Qz + 2 W z = 0, (13) где P, Q, W – функции координаты x, зави- Рис.моды колебаний. 1) = 3/4;

2: Квадрат частоты основ ной сящие также от выбора уравнения состоя- 2) = 1;

3) = 4;

4)Внутреннее ния в центре звезды, а – собственные ча- решение Шварцшильда стоты. Мы воспользовались методом Ритца для вычисления частоты основной моды ко лебаний для случая полностью вырожденного нейтронного газа в центре.

Зависимость квадрата частоты основной моды колебаний 0 от компакт ности звезды показана на Рис. 2. При значениях компактности, мень ших критического значения () квадраты частоты 0 положительны, следовательно, соответствующие звездные конфигурации устойчивы, и наоборот, звезды с компактностью, большей чем неустойчивы.

Максимуму частоты на графике 0 () соответствует минимальный период колебаний звезды Tmin = 2/0. Этой же частоте соответствуют 3/4 1 2 4 Sch.

0,512 0,514 0,512 0, max 0,510 0,460 0,361 0,327 0, Mmax /M 0,240 0,240 0,240 0,250 0, M /M 0,510 0,460 0,361 0,327 0, R, км 6,3 5,7 4,5 3,9 3, 9, 80 · 104 8, 91 · 104 7, 73 · 104 7, 16 · 104 6, 57 · Tmin, сек 0,115 0,120 0,115 0,120 0, (Tmin ) 0,044 0,041 0,292 0,267 0, M (Tmin )/M R(Tmin ), км 10,5 9,30 7,5 6,6 5, Таблица 2: Результаты моделирования значения параметров (Tmin ), M (Tmin ) и R(Tmin ), приведенные в Табл. 2.

Величина максимально допустимой компактности max определя ется из условия энергодоминантности T 0 в центре. Звездочкой по мечены величины, относящиеся к конфигурации с безразличным состо янием равновесия, то есть к конфигурации с частотой основной моды колебаний, равной нулю.

В стандартном подходе по Влияние температуры звезды на колебания.

ложением равновесия для колебаний служит статическое решение с тен зором энергии–импульса идеальной жидкости и заданным уравнением состояния. Малое возмущение равновесия может приводить или к малым радиальным адиабатическим колебаниям, или к экспоненциальному ро сту возмущения. Амплитуда колебаний постоянна, мала и зависит только от начальных условий. Частота колебаний определяется параметрами звезды и видом уравнения состояния.

В дополнение к стандартному подходу мы рассматриваем влияние температуры на описанные выше малые колебания звезды [5]. С этой целью в постановку задачи вносятся следующие изменения. Во–первых, температура звезды предполагается хотя и малой, но отличной от нуля.

Во–вторых, к тензору энергии–импульса добавляются слагаемые, описы вающие поток тепла внутри звезды. В–третьих, в уравнение состояния включаются слагаемые, зависящие от температуры. В частности, иде альный нейтронный газ, рассматриваемый в качестве примера, больше не является полностью вырожденным (функция распределения теперь не идеальная ступенька, а слегка размазанная).

В связи с введением в задачу потока тепла и температуры, увели чивается количество неизвестных функций. Из–за этого приходится ис пользовать еще и дополнительные по отношению к холодным моделям уравнения. Этими уравнениями являются уравнения Израеля – Стю Oppenheimer J.R. On Massive Neutron Cores/ J.R.Oppenheimer, G.M.Volko // Phys. Rev. – 1939.

– V. 55. – P. 374– арта3.

Левая часть динамического уравнения, описывающего колебания остается такой же, как и в уравнении для адиабатических колебаний без каких-либо возмущений температуры или потока тепла. Кроме того, так как уравнение имеет особые точки в центре и на поверхности, в качестве краевых условий должны остаться условия ограниченности возмущений в этих точках. Это означает, что собственные колебания звезды не ме няются в присутствии малых возмущений температуры и потока тепла.

Однако наличие температуры приводит к тому, что задача становится неоднородной.

Раскладывая возмущение массовой функции в ряд по собственным функциям (14) m = i (t)i (r), i= получим следующие уравнения для коэффициентов разложения:

i + 2 (t) = ci T 2 (t). (15) (t) i b где ci – константы, характеризующие равновесную конфигурацию, а Tb – температура на поверхности звезды.

Для того чтобы рассматриваемые ко лебания не выходили за рамки линейного приближения, правая часть уравнения (15) должна удовлетворять определенным усло виям. На Рис. 3 приведены данные числен ного моделирования, показывающие при ка ких значениях частот и температур возму щения остаются малыми.

Дополнительно изучено поведение мо дели при быстром остывании. Показано, что Рис. 3: Смещение равновесия, резкое падение температуры приводит к вы- обусловленное наличием нену нужденным колебаниям с амплитудами, об- левой температуры ратно пропорциональными квадратам соб ственных частот. Величина индуцированных колебаний зависит также от скорости падения температуры.

В Главе 3 рассматриваются различные нестатические астрофизиче ские модели. Проведена сшивка точных внутренних решений с однород ным распределением вещества с внешними решениями Шварцшильда и Вайдья [6].

Предложен метод моделирования излучающих астрофизических объектов [7]–[12], основанный на сшивке Дармуа внешнего пространства Вайдья и внутреннего сферически–симметричного пространства общего Israel W. Transient relativistic thermodynamics and kinetic theory/ W.Israel, J.M.Stewart // Ann.

Phys. – 1979. – V. 118. – P. 341–372.

вида, описываемого метрикой ds2 = e2(u,r) (u, r)du2 + 2e(u,r) dudr r2 (d2 + sin2 d2 ), (16) где (u, r) 1 2m(u, r)/r. В качестве поверхности сшивки выбира ется сфера переменного радиуса R(u). Скорость поверхности, в отличие от других авторов, использовавших формализм Дармуа, не совпадает со скоростью вещества на поверхности. Приближенное решение соответ ствующих уравнений Эйнштейна записывается в виде ряда Тейлора по степеням r R(u). Коэффициенты ряда находятся из условий сшивки и уравнений Эйнштейна, взятых на поверхности.

Тензор энергии–импульса выбран в виде Lin (u, r) T = T l) + (f (17) l l, 4r где Lin (u, r) – функция, характеризующая процессы энерговыделения внутри звезды.

Отметим, что сшивка производится нами в несопутствующей си стеме отсчета. 4-скорость жидкости в такой системе отсчета равна dx [e(u,r), w(u, r), 0, 0] (18) u= = ds 2w(u, r) + 1 2m(u, r)/r где 3-скорость жидкости v(u, r) w(u, r)e(u,r) не равна нулю, а на по верхности не равна скорости самой поверхности. То есть излучение гене рируется в том числе и за счет радиационной сублимации – превращения частиц жидкости на поверхности в излучение.

В общем случае условия сшивки вместе с уравнениями Эйнштейна, взятыми на поверхности, позволяют найти следующие выражения для значений давления и скорости жидкости на поверхности:

L (19) pR = · ;

2 4R L (20) vR = R +, 8µR R где L = Lout Lin, Lout = M – светимость звезды, и R 2 L (21) = UR +.

4µR R Выражение для давления на поверхности отличается от классической формулы для давления света только множителем /2, который обраща ется в единицу при пренебрежении всеми релятивистскими поправками.

Скорость жидкости на поверхности будет равна скорости самой поверх ности только при L = 0, давление на поверхности в этом случае равно нулю.

Вторые производные метрических функций m(u, r) и (u, r) вхо дят в уравнения Эйнштейна линейным образом. Все остальные неизвест ные функции входят в уравнения Эйнштейна алгебраически. Это озна чает, что значения на поверхности вторых производных m(u, r) и (u, r) связаны с поверхностными значениями первых производных функций µ(u, r), p(u, r), Lin (u, r) и w(u, R) линейными уравнениями. Из определе ния анизотропного слагаемого тензора энергии–импульса видно, что ани зотропия R также входит в уравнения линейно. Далее, продифферен цировав уравнения Эйнштейна и условия сшивки n раз можно получить линейные уравнения, связывающие значения производных метрических функций n+2–ого порядка со значениями производных n+1–ого порядка функций, входящих в тензор энергии–импульса (n–ого порядка для ани зотропии). Таким образом, если нам удастся справиться с нелинейностью исходных уравнений, то все значения старших производных на поверхно сти могут быть найдены из систем линейных уравнений. К сожалению, с ростом порядка производных выражения для них становятся все более и более громоздкими, что существенно ограничивает наши возможности, несмотря на линейность. Усложняет задачу и необходимость следить за определителями получающихся систем.

Определив значения производных на поверхности, запишем при ближенное решение в виде рядов Тейлора по степеням r R(u), обре занных на некотором слагаемом:

m(u, r) M (u) + mR (r R(u)) + m (r R(u))2 +...;

(22) 2R (u, r) R (r R(u)) + R (r R(u))2 +...;

(23) µ(u, r) µR + µR (r R(u)) +..., (24) и так далее, для всех неизвестных функций.

Как мы уже отмечали, система условий сшивки Дармуа и уравне ний Эйнштейна, взятых на поверхности звезды, линейна по всем неиз вестным, кроме скорости жидкости на поверхности wR. Поэтому, есте ственно для начала применить наш метод построения приближенного решения к линейному уравнению состояния p = ( 1)µ.

В случае идеальной жидкости с линейным уравнением состояния ряды (22)–(24), задающие приближенное решение, зависят только от двух произвольных функций M (u) и R(u). То есть, при заданных M (u) и R(u) приближенное решение определено полностью и однозначно для всех моментов времени, включая некоторый начальный момент времени u = 0. Никакого начального условия не задается. Постановка рассмат риваемой задачи является типичной для гиперболических уравнений:

начальные условия третьего рода задаются на некоторой дуге, кото рая не является характеристикой и не касается характеристик. Однако можно рассматривать и постановку задачи с некоторыми заданными начальными условиями w(u = 0, r) = w0 (r) и µ(u = 0, r) = µ0 (r).

В этом случае мы имеем те же условия третьего рода на поверхности сшивки, и, в дополнение к ним, краевые условия, заданные на харак теристике (так как u = 0 является характеристикой уравнений Эйн штейна). Так как мы имеем больше краевых условий, чем в типичных задачах математической физики, поверхность сшивки не может больше оставаться произвольной. И действительно, первые производные M и R можно выразить через µR и wR, вторые производные M и R че рез µR и wR, и так далее. Однако µR, wR, µR, wR,... известны в на чальный момент времени из начальных условий. Значит можно найти M (u = 0), R(u = 0), M (u = 0), R(u = 0),..., то есть коэффициенты ряда Тейлора для функций M (u) и R(u) в точке u = 0. Таким образом, ис ходя из начальных условий, можно определить движение поверхности и светимость звезды.

Так, для начальных условий с нулевой скоростью w(u = 0, r) = и однородной плотностью µ(u = 0, r) = µ0 = Const получим рис. 6 по казывает приближения третьего и четвертого порядка для вышеупо мянутого случая нулевой начальной скорости и однородной плотности.

Можно видеть, что при достаточно малых значениях начальной ком пактности 0 = 2M0 /R0 звезды сгорают, полностью теряя свою массу, а не коллапсируют.

Рис. 4: Зависимость массы звезды M от времени u в третьем и четвертом при ближениях для = 4/3. Верхний рисунок соответсвует 0 = 3 · 104, а нижний – 0 = 4 · Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Баранов А.М. О двух статических моделях звезды/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Тезисы международной конференции "Геометризация физики". – Казань: ХЭТЕР, 1997. – С. 6–7.

2. Baranov A.M. On average observable mass density behavior in two static star models/ A.M.Baranov, M.V.Lukonenko, S.F.Tegai // Proceedings of International Conference "Geometrization of physics IV". – Kazan, 1999. – P. 22–23.

3. Баранов А.М. О новых подходах к моделированию статических звезд в ОТО/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Теория и эксперимент в современной физике: Сб. науч. статей. Краснояр.

гос. ун-т. Красноярск, 2000. – С. 63-72.

4. Баранов А.М. Моделирование широкого класса статических звезд в рамках одного подхода/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Изв. вузов. Физика. – 2002. – №11. – С. 19–23.

5. Баранов А.М. Радиальные пульсации медленно остывающей ней тронной звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Краснояр ского государственного университета. Физико–математические на уки. – 2005. – №7.– С. 98–106.

6. Тегай С.Ф. Модель излучающей звезды/ С.Ф.Тегай // Сборник те зисов V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско–тихоокеанского региона. – М.: РУДН, 2001. – C. 77– 78.

7. Baranov A.M. Modelling of radiating star subsurface/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Abstracts of 11 International Conference “Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation“ and International Workshop “Gravity, Strings and Quantum Field Theory“.

– Tomsk, 2002. – P. 16–17.

8. Тегай С.Ф. Об одном методе решения уравнений Эйнштейна для внутреннего пространства излучающей звезды/ С.Ф.Тегай // Сим метрия и дифференциальные уравнения. Труды международной конференции. ИВМ СО РАН. Красноярск, 2002. С. 213-216.

9. Баранов А.М. Моделирование внутреннего приповерхностного слоя излучающей звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Краснояр ского государственного университета. Физико–математические на уки. – 2003. – №3.– С. 3–8.

10. Baranov A.M. On radiating star subsurface/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Physical Interpretations of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. Moscow, 30 June – 3 July 2003. – Moscow, Liverpool, Sunderland, 2003. – P. 287–291.

11. Baranov A.M. An approximate radiating star model/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Book of Abstracts of 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. – Dublin, 2004. – P. 81–82.

12. Баранов А.М. Приближенное моделирование излучающих звезд с линейным уравнением состояния/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Красноярского государственного университета.

Физико–математические науки. – 2004. – №5.– С. 12–21.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.