авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Усовершенствованный моментный метод решения кинетического уравнения и его приложение к задачам теплопереноса в молекулярных газах

На правах рукописи

Тюлькина Елена Юрьевна

УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МОМЕНТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ

К ЗАДАЧАМ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАЗАХ

Специальность 01.04.02 – теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2010

2

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и математического моделирования Орловского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Савков Сергей Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Михаил Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Алехин Евгений Иванович

Ведущая организация: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Защита диссертации состоится " 14 " октября 2010 г. в 15 час. 00 мин.

на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан " " сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.- мат. наук, доцент Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Описание процесса теплопереноса остается одной из фундаментальных проблем кинетической теории газов. Изучение указанного явления представля ет интерес, как с теоретической точки зрения, так и в плане практического при ложения. Анализ распределения температуры и плотности газа необходим, к примеру, при исследовании теплофизических свойств вещества, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании обору дования и т.п. Данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого те ла, могут быть использованы для определения характера взаимодействия моле кул газа с его поверхностью. Интенсивные космические исследования, совер шенствование авиационной и ракетно-космической техники вызвало повышен ный интерес к проблеме механики разреженного газа, в частности, к более глу бокому исследованию законов тепло-массообмена при больших степенях раз режения газа. Изучение теплопереноса в разреженных газах требуют также многие отрасли современной промышленности – электронная, радиотехниче ская, атомная, оптическая, металлургическая и др.

Определяющую роль при теоретическом описании указанного явления играет число Кнудсена Kn = L, здесь – средняя длина свободного пробега молекул газа, L – характерный размер задачи. При L состояние газа опре деляется уравнениями динамики сплошной среды, для решения которых разра ботан широкий арсенал аналитических и численных методов. В случае, когда средняя длина свободного пробега молекул газа сравнима или больше харак терной длины, фигурирующей в задаче, необходим учет дискретности строе ния газа, что требует рассмотрения кинетического уравнения.

Впервые математически корректный способ решения этого уравнения в приложении к задачам теплопереноса был предложен Лизом [1]. Основу данного метода составляет идея о сведении кинетического уравнения к системе уравне ний переноса, для замыкания которой Лиз использовал двухстороннюю (четы рехмоментную) функцию распределения. Такой алгоритм позволяет удовлетво рить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов и делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако стандартный подход к реализации этого метода дает заниженное значение коэффициента скачка температуры. Другим принципиальным недостатком метода Лиза является произвол в выборе момен тов функции распределения с одной стороны и составлении системы момент ных уравнений – с другой. Можно показать, что использование различных на боров функций скорости может приводить к разным, а иногда и просто бес смысленным результатам. Более последовательным в данном отношении сле дует признать использование одного и того же набора разрывных функций скорости для составления функции распределения и моментных уравнений, как в методе полупространственных моментов [2].

В настоящее время для решения рассматриваемого класса задач также используется вариационный принцип, метод квадратур, непосредственное чис ленное интегрирование и прямое моделирование. Недостатком перечисленных методов является отсутствие в большинстве случаев объективного критерия точности получаемых результатов.

Необходимо отметить, что многие авторы ограничиваются рассмотрени ем атомарных газов, тогда как большинство реальных экспериментов прово дится в молекулярных газах, что требует учета внутренних степеней свободы.

Указанные обстоятельства определяют актуальность разработки иного подхода к решению кинетического уравнения, применимого к молекулярным газам и наиболее оптимального с точки зрения точности и вычислительных за трат.

В представленной диссертации развивается аналог метода полупростран ственных моментов. Критерием точности является сходимость результатов при последовательном увеличении числа моментов, удерживаемых в функции рас пределения, а также возможность вычисления коэффициента скачка температу ры и сравнение его с точным значением.



Следует заметить, что определение коэффициента скачка температуры (задача Смолуховского) представляет самостоятельный интерес. В настоящее время эта задача достаточно детально исследована для одноатомных газов. В приложении к молекулярным газам аналитическое решение получено только для модельного кинетического уравнения релаксационного типа [3].

Дополнительно следует отметить и тот факт, что все численные расчеты проводятся для конкретных значений коэффициентов аккомодации энергии, что затрудняет сравнение с экспериментом. Поэтому особую актуальность представляет определение аналитических выражений, которые задают зависи мость потока тепла от характера аккомодации энергии.

Целью работы является разработка метода решения кинетического урав нения, обеспечивающего необходимую точность вычислений, и его приложе ние к теоретическому описанию процесса теплопереноса в молекулярных газах во всем диапазоне значений числа Кнудсена.

Научная новизна работы.

1. Развит метод решения кинетического уравнения в приложении к зада чам вычисления потока тепла в молекулярном газе для случая плоской, сфери ческой и аксиальной геометрии.

2. Предложен алгоритм построения функции распределения, позволяю щий получить необходимую точность результатов.

3. Для задач теплопереноса между параллельными пластинами и от оди ночной сферы получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линей ном приближении зависимость потока тепла молекулярного газа от коэффици ентов аккомодации энергии.

4. Впервые из решения уравнения Ван Чанга – Уленбека с интегралом столкновений в форме Хансона – Морзе получены значения коэффициентов скачка температуры для конкретных молекулярных газов.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки и решения рассматриваемых задач. Все аналитические выкладки проведены в па кете Maple с использованием тщательно выверенных и протестированных про цедур. При численных расчетах использованы стандартные вычислительные алгоритмы с контролем точности. Полученные результаты согласуются между собой, а также с экспериментальными и теоретическими данными других авто ров.

Практическая значимость.

Предложенный алгоритм решения кинетического уравнения может быть использован для решения других задач физической кинетики, в частности при описании состояния электронов в твердых телах и плазме, изучении переноса нейтронов в ядерных реакторах, фононов в сверхтекучих жидкостях и т.п.

Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при обработке экспериментальных данных по измерению потока тепла от нагретого тела и определении коэффициентов аккомодации энергии.

Полученные в диссертации значения коэффициентов скачка температуры для конкретных газов могут быть использованы при теоретическом изучении явления термофореза, обтекания нагретого тела разреженным газом, процессов тепломассопереноса и т.п.

Положения, выносимые на защиту:

метод решения кинетического уравнения, позволяющий получить необходимую точность результатов;

результаты решения кинетического уравнения в задачах теплопере носа в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях молекулярного газа во всем диапазоне числа Кнудсена;

соотношения, определяющие зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии;

значения коэффициента скачка температуры для конкретных моле кулярных газов.

Апробация работы.

Результаты диссертации представлялись на IX Международной научно практической молодежной конференции "Человек и космос. 50-летие космиче ской эры". (Украина, Днепропетровск, 2007 г.);

X, XI Международных моло дежных научно-практических конференциях "Человек и космос" (Украина, Днепропетровск, 2008, 2009 гг.);

14 и 15 Всероссийских научных конференци ях студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ – 14, 15), (Уфа, 2008, 2009);

Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008);

Между народной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений, посвященной 70-летию В.А. Садовничего" (Москва, 2009). А так же докладывались и обсуждались на заседаниях и на научных семинарах ка федры “Теоретической физики и математического моделирования” Орловского государственного университета, кафедре “Высшей математики” Орловского го сударственного технического университета и кафедре “Теоретической физики” Московского государственного областного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, включающих 9 статей в научных журналах и сборниках научных работ, 6 тезисов докладов на научных конференциях как всероссийского, так и международного уровня;





в том числе работ, опубликованных в ведущих рецензируемых журналах, опре деленных ВАК РФ, – 3.

Личный вклад автора в публикациях состоит в следующем: выполнены теоретические исследования, проведено сравнение теоретических и экспери ментальных данных, предложена интерпретация полученных результатов, под готовлен материал для публикации в открытой печати и на конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 127 наименований и приложений. Со держит 26 рисунков и 4 таблицы. Объем работы составляет 104 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обос нована актуальность, сформулированы цель и защищаемые положения, раскры то научное и практическое значение работы, представлены положения, выно симые на защиту, результаты апробации и публикации по теме диссертации, проведен обзор литературы по теме диссертационного исследования.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению процесса теплопе реноса между параллельными пластинами.

В первом параграфе на примере атомарного газа отрабатывается методи ка решения кинетического уравнения.

Рассматривается слой газа толщиной d, заключенный между двумя не подвижными пластинами, на поверхности которых поддерживается постоянная температура Ts1 Ts2. Полагается, что перепад T s = T s1 T s2 достаточно мал для того, чтобы ограничиться линейным приближением.

Состояние газа описывается уравнением f V = J st [ f ]. (1) r Здесь V – вектор собственной (тепловой) скорости молекул газа, r – радиус вектор рассматриваемой точки пространства, J st – интегральный оператор столкновений, f – функция распределения.

В силу линейности поставленной задачи, решение уравнения (1) может быть представлено в виде f = f 0 (1 + ), (2) m где f 0 = n 2kT exp( C ) – равновесная функция распределения, – поправка, определяемая из решения соответствующего (1) линеаризованно го уравнения:

= I st [ ].

Cz (3) z Здесь C = V m 2kT0 – безразмерное значение скорости поступательного дви жения молекул газа, I st – линеаризованный оператор столкновений.

Конкретные расчеты проведены для БГК-модели:

Pi M i, I st [ ] = (4) i = ( ), Pi exp( C 3 P3 = 2C z.

P2 = 2 3 C 2 3 ) d 3C, Mi = P = 1, За единицу длины выбрана величина 2m l= =,, (5) s + 2 n0 k kT и – коэффициенты температуро- и теплопроводности, T0 и n0 – некоторые, принятые за равновесные, значения температуры и концентрации молекул газа, k – постоянная Больцмана, m и s – масса и число степеней свободы молекул газа.

В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отраже ния молекул газа от поверхности каждой из пластин.

( 1) k C 0, z = ( 1) k d / 2 = k, k = 1, 2;

r z k k nr 3 T k + C 2 r, nr = nr n0, Trk = Trk T0.

k k = r n0 2 T k Значения nr и Trk определяются требованием отсутствия массового движения газа и характером аккомодации энергии E ik E rk k = k, k Ei E s Eik, Erk – обезразмеренные значения энергии, соответствующие приносимой падающими и уносимой отразившимися от поверхности k-той пластины моле k кулами;

E s – энергия, которую уносили бы молекулы, если бы отражались с температурой Tsk.

Из (3) – (4) следует, что структура решения должна определяться соот ношением = f1 ( z, C z ) + f 2 ( z, C z )C 2. Функции f1, f 2 могут быть разложены в ряд по любой полной системе ортогональных полиномов, при этом необхо димо учитывать разрывный характер функции распределения на поверхности каждой из пластин. Сказанное позволяет представить искомую функцию в ви де:

= + H (C z ) + H ( C z ), (6) (a1±, k ( z) + a2±, k ( z)C 2 )C zk, N ± = (7) k = H ( x) = ( x + x ) 2 x – стандартная функция Хевисайда.

Коэффициенты ai±k ( z ) определяются из системы однородных дифферен, циальных уравнений, для составления которой кинетическое уравнение (3) сле дует последовательно умножить на входящие в (6) – (7) моменты и проинтег рировать по всему пространству скоростей.

Искомый поток тепла задается выражением 2k 3T Q, (8) q = n m где Q = 3 2 С z С 2 e C d 3C = Q Ts T0.

Здесь Q – величина потока тепла, приходящегося на единицу относительной разности температур, которую условимся называть приведенным потоком теп ла.

На рисунках 1а) и 1б) представлены результаты расчетов в случае 1 = 2 = 1 и 1 = 2 = 0.826 соответственно. Там же приведены эксперимен тальные данные [4].

Q Q lg d lg d а) б) Рис. 1. Зависимость приведенного потока тепла от расстояния между пласти нами. Линия 1 соответствует N = 1;

2 – N = 10 (при N = 2 – 9 кривые практиче ски сливаются с линией 2);

3 – результаты стандартного метода Лиза;

• – экс периментальные данные для аргона [4].

В режиме, близком к газодинамическому и условии полной аккомодации энергии, поток тепла можно представить в виде Ts 5 Q=.

4d 1 + 2 KnCt T Здесь Ct – коэффициент скачка температуры, Kn = d, средняя длина свобод ного пробега определена соотношением:

= l 3. (9) Изложенный подход к решению кинетического уравнения дает Ct = 2.2193, 2.2076, 2.2057 и 2.2049 при N = 1, 2, 3 и 10 соответственно. Таким образом, при N = 1 отличие коэффициента скачка температуры от точного значения 2. [5] составляет порядка 0.7%, в случае N = 2 – 0.2%, N = 3 – менее 0.04%, а при N = 10 совпадает с результатами аналитического решения с точностью до при веденных в указанной работе числа цифр. Стандартный метод Лиза для данной модели кинетического уравнения дает заниженное (более чем на 14%) значение Ct = 1.875.

Анализ представленных в диссертации результатов показывает, что зави симость величины потока тепла от числа удерживаемых в функции распределе ния моментов носит аналогичный характер во всем диапазоне значений рас стояния между пластинами. Данное обстоятельство позволяет утверждать, что указанная точность сохраняется при любом числе Кнудсена.

Во втором параграфе рассматривается слой двухатомного газа. Состояние газа описывается уравнением, совпадающим по форме с (1), в интегральной части которого в дополнение к поступательным следует учесть и вращательные степени свободы. Решение этого уравнения также можно представить в виде (2), где в качестве равновесной функции принята ( ) m J 2 2kT kT exp C, f 0 = n0 0 = J 2kT0 – безразмерное значение скорости вращательного движения мо лекул газа, – собственная (тепловая) скорость вращательного движения мо лекул газа, J – момент инерции молекул.

Конкретные расчеты проведены для модельного интеграла столкновений релаксационного типа [3]:

Pi M i, I st [ ] = (10) i = 2 2 2 2 Pi e C d d 3 C, P = 1, P2 = C +, P3 = 2C z.

где M i = 3/2 5 Рассмотрение этой модели представляет интерес в плане возможности сравне ния значения коэффициента скачка температуры с известным аналитическим решением [3].

За единицу длины выбрана величина (5). В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отражения молекул газа от поверхности каж дой из пластин:

( 1) k C 0, z = ( 1) k d / 2 = k, k = 1, 2;

r z k Trk, T ( ) n0 2 3 Tr, v T k nr k = + C + 1. (11) r 2 T n0 T Trk k и nr – температура и концентрация молекул газа, отразившихся от поверх ности k-той пластины. Значения nr, Trk, v и Trk, определяются требованием от k сутствия массового движения газа и характером аккомодации энергии k k k k Ev,i Ev, r E, i E, r k k v = k, = k. (12) k k Ev,i Ev, s E, i E, s k k k k Ev, i, E, i и Ev, r, E, r – обезразмеренные значения энергии поступательного и вращательного движения соответственно, приносимой падающими и уносимой k k отразившимися от поверхности k-той пластины молекулами;

Ev, s, E, s – энер гия, которую уносили бы молекулы, если бы отражались с температурой Tsk.

Поток тепла между пластинами задается выражением mV 2 J 2 2k 3T (Qv + Q ), q = Vz 2 + 2 f 0 d d V = n0 (13) m где 2 2 2 Qv = 3 2 С z С 2 e C d d 3C, Q = 3 2 С z e C 3 d d 3C.

В случае, когда обе пластины выполнены из одного материала ( v, 2 = v и, 2 = ), получено аналитическое выражение, задающее зависимость пото ка тепла от характера аккомодации энергии ( ) ( ) v v Q = Qv + Q v + Qv + Q, (14) v Ts Ts v = =,, T0 T ( ) v = v 4 Q (1 ) + 2 Qv (1 v ), = (2 Q (1 ) + ) 4 Q (1 ), v v v v v v ( ) + )(4 Q (1 ) + ) 8Q Q (1 )(1 ).

(1 v v v Qv = 2 v v v v v Здесь Qv и Q – значения потоков энергии поступательного и вращательного движения молекул газа у поверхности первой пластины, вычисленные при v = 1, = 0, Qv и Q – при v = 0, = 1.

Соотношения (14) являются общими и не зависят от формы кинетическо го уравнения и способа его решения.

Для определения входящих в (14) параметров необходимо решать урав нение (3). Его решение также можно представить в виде (6), где N ( a1±,k + a2±,k C2 + a3,± 2 )Сzk.

± = k k = ai±k ( z ) Коэффициенты определяются из системы моментных уравнений,, процесс составления которой описан выше.

В третьем параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга – Уленбека [6] f V l = J st [ f l ]. (15) r Здесь fl – функция распределения для молекул, находящихся в состоянии с энергией El.

С учетом линейности поставленной задачи, решение (15) может быть представлено в виде:

f l = f l0 (1 + l ), (16) где ( ) m 0 f l = n 2kT exp C l (17) – равновесная функция распределения, l = El kT0, = exp( l ).

l Поправка l определяется из соответствующего (15) линеаризованного уравнения С z l = I st [ l ]. (18) z В качестве интеграла столкновений принята модель Хансона – Морзе [7]:

m Am l.

I st [ l ] = (19) m = 1 2 2G 2 Здесь: 1 = 1, 2 = 2 1 + 3, 3 = 2 + 1 3, 3 3 Z 3Z G Z 3Z 4 G 2 2 + (1 F ) 5, 6 = 2 6, 5, 5 = 4 = 4 1 + 3Z G 9 Z 3Z ( ) l m exp C 2 l d 3C, Am = 3 l 1 = 1, 2 = C 2, 3 = l G, 4 = C z C 2, 5 = C z ( l G ), 6 = C z, 2 10G (9Z ) + 2 3 (4 9 + 5G (9Z ) )G + 5G (18Z 2 ) (3 2 + G )Fl F=, (4 9 + 5G (9Z ) )(3 2 + G )Fl 5 l e l int cv G= = l, k int cv – теплоемкость внутренних степеней свободы, приходящуюся на одну мо лекулу газа, Z – параметр, определяющий отношение времени релаксации внут ренней энергии молекул к среднему времени между их столкновениями, Fl – фактор Эйкена.

За единицу длины выбрана величина 2 5 + 2G ~ 2 = l.

l= (20) 3 n0 mkT0 3 Fl (3 + 2G ) В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отраже ния молекул газа от поверхности каждой из пластин, что эквивалентно k l = l, r k = 1, 2;

( 1) k C z 0, z = ( 1) k d / k nr n0 2 3 k ( ) k k + C tr + l G int.

l, r = (21) n k k k Значения nr, tr и int определяются требованием отсутствия массового дви жения газа и характером аккомодации энергии k k k k E tr, i E tr, r E int, i E int,r k k tr = k, int = k. (22) k k E tr, i E tr, s E int,i E int,s Искомый поток тепла может быть представлен в виде 2k 3T0 mV 2 (Qtr + Qint ), f 0 d 3V = n + l q= Vz 2 m l ( ) С z С 2 l exp C 2 l d 3C, Qtr = 3 l ( ) С z l l exp C 2 l d 3C.

Qint = 3 l В случае, когда обе пластины выполнены из одного материала ( tr, 2 = tr и int2 = int ), получено аналитическое выражение, задающее зависимость потока 1, тепла от характера аккомодации энергии ( ) ( ) tr tr int int Q = Q tr + Q int tr + Q tr + Q int int, (23) где Ts Ts tr = tr int = int,, T0 T 4 Qint (1 int ) + int 2 Qtr int (1 tr ), int int tr = tr G ( ) int = int 2 Qtr (1 tr ) + tr Qint tr (1 int ), tr tr G ( ) 4 = 2 Qtr (1 tr ) + tr Qint (1 int ) + int Q int Qint (1 tr )(1 int ).

tr int tr tr G G tr tr Под Qtr и Qint понимаются значения Q tr и Qint, вычисленные при tr = 1, int int int = 0, а Qtr и Qint – при tr = 0, int = 1.

Для определения входящих в (23) параметров необходимо решать урав нение (18). По аналогии с предыдущими параграфами решение представим в виде (a1±, k + a2±, k C 2 + a3±, k l )C zk N l+ l l± l = H (C z ) + H (C z ), = (24) k = Коэффициенты ai±k определяются из системы дифференциальных уравнений,, для составления которой кинетическое уравнение (18) необходимо последова тельно умножить на все входящие в (24) моменты, просуммировать по всем l и проинтегрировать по пространству скоростей.

Четвертый параграф посвящен обсуждению результатов и сравнению с экспериментом.

Результаты расчетов в случае полной аккомодации энергии представлены на рисунках 2 и 3. На рисунке 3 также приведены результаты квадратурного метода, используемого в работе [9].

Q lg d Рис. 2. Зависимость приведенного потока тепла от расстояния между пласти нами. Линии 1 и 2 соответствуют результатам решения релаксационного кине тического уравнения усовершенствованным моментным методом при N = 1 и соответственно, 3 – стандартному методу Лиза. Для N = 2, 3 и 4 кривые почти полностью сливаются с линией 2;

Q d Рис. 3. Значения приведенного потока тепла в слое азота при 1 = 2 = 1. Ли ния 1 соответствует решению кинетического уравнения в форме Хансона Морзе моментным методом при N = 5;

2 – результаты квадратурного метода [9].

Как видно из рисунка 3, а также из приведенных в диссертации данных, в свободномолекулярном режиме результаты квадратурного и рассматриваемого методов совпадают. В случае d 1 отличие составляет порядка 1%. С ростом расстояния между пластинами погрешность квадратурного метода увеличива ется, достигая 12% при d = 40. Очевидно, что в континуальном режиме можно говорить лишь о качественном характере результатов [9].

На рисунке 4 приведены результаты расчетов при различных коэффици ентах аккомодации, соответствующим условиям эксперимента [4].

Q A 1.

Рис. 4. Зависимость приведенного потока тепла от параметра A = 19 2 Kn Кривая 1 соответствует результатам решения уравнения в форме Хансона 1 2 1 Морзе в слое азота при tr = tr = int = int = 0.76, 2 – результатам решения релаксационного уравнения при тех же значениях коэффициентов аккомода ции, 3 – результатам решения уравнения в форме Хансона-Морзе в слое возду 1 2 1 ха при tr = tr = int = int = 0.95 ;

, + – экспериментальные данные Теагана и Спрингера [4].

В режиме, близком к газодинамическому, и условии полной аккомодации энергии, как и в случае атомарного газа, поток тепла может быть представлен в Ts 7 виде Q = – для кинетического уравнения релаксационного 4d 1 + 2 KnCt T 3 (3 + 2G ) Fl Ts типа и Q = – для модели Хансона – Морзе. Зависимость 8 (1 + 2 KnCt )d T рассчитанных значений коэффициента скачка температуры от числа моментов, удерживаемых в функции распределения, представлена в таблице 1.

Таким образом, отличие коэффициента скачка температуры, полученного при решении кинетического уравнения релаксационного типа от точного зна чения 2.0579 [3] составляет порядка 0.6%, 0.2% и 0.009% при N = 1, 2 и 5 соот ветственно. Анализ представленных в диссертации результатов показывает, что как и в случае атомарного газа, указанная точность сохраняется во всем диапа зоне значений числа Кнудсена.

Таблица 1.

модель Хансона – Морзе модель N N2 CO2 SO2 Воздух релаксационного типа 1 2.0701 2.0633 2.0864 1.9344 2. 2 2.0602 2.0536 2.0772 1.9264 2. 3 2.0586 2.0520 2.0757 1.9250 2. 4 2.0582 2.0515 2.0753 1.9247 2. 5 2.0581 2.0514 2.0751 1.9245 2. Из таблицы и графиков следует, что использование интеграла столкнове ний релаксационного типа (10) и в форме Хансона – Морзе (18) для описания двухатомных газов дает фактически совпадающие результаты. В частности, в случае азота различие между значениями коэффициента скачка температуры, полученными при различных моделях, не превышает 0.4%, что оправдывает возможность использования аналога БГК-модели для описания данного класса явлений.

Вторая глава диссертации посвящена изучению процесса теплопереноса в сферическом слое газа.

В первом параграфе рассматривается двухатомный газ, заключенный ме жду концентрическими сферами с радиусами R1 R2, на поверхности которых поддерживается постоянная температура Ts1 Ts2.

Введем сферическую систему координат, начало которой свяжем с цен тром сфер. Состояние газа определяется уравнением:

C 2 C r Pi M i, + = Cr (25) r C r r i = Cr проекция вектора C на направление r.

Искомый поток тепла может быть представлен в виде 2k 3T03 R q = n0 Q, (26) m r ( )( ) Cr C 2 + 2 exp C 2 2 r = R d d 3C – обезразмеренный поток где Q = тепла с единицы поверхности внутренней сферы.

Учитывая разрывный характер функции распределения на поверхности каждой из сфер и тот факт, что с любой точкой в объеме газа связаны три инва риантных конуса в пространстве скоростей, границы которых молекулы пере секают только за счет столкновений между собой, решение уравнения (25) представим в виде i H i.

= (27) i = Здесь H1 = H (Cr µ C ), H 2 = H (C r ) H 1, H 3 = H ( C r ) H 4, H 4 = H (Cr µ C ), µ = 1 R1 r 2, N i, k, i = k = i,1 i a2 C i a3 i i + a5Cr C 2 + a6Cr 2, i i = a1 + + + a4 C r i, 2 = a7C 4 + a8C 2 2 + a9Cr2 + a10Cr2C 2 + a11Cr2 2, i i i i i i,3 = a12Cr + a13Cr C 2 + a14Cr 2 + a15Cr C 4 + a16Cr C 2 i 3 i 3 i 3 i 3 i и т. д.

Функции i,1 (первое приближение) содержат моменты, входящие в распреде ление Чепмена – Энскога, что обеспечивает переход решения в газодинамиче ский режим. В i,2, i,3 и т.д. учтены моменты, которые получаются при под становке предыдущего приближения в левую часть кинетического уравнения.

Во втором параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга – Уленбека, которое в силу сферической симметрии задачи примет вид:

l C 2 C r2 l = m Am l.

+ (28) Cr r C r m = r Решение (28) как и в случае двухатомного газа определяется выражением 4N l = l H i = li, k H i, i (29) i =1 k =1 i = li,1 = a1 + a2C 2 + a3 l + a4Cr + a5Cr C 2 + a6Cr l, i i i i i i li,2 = a7 C 4 + a8C 2 l + a9Cr2 + a10Cr2C 2 + a11Cr2 l, i i i i i li,3 = a12Cr + a13Cr C 2 + a14Cr l + a15Cr C 4 + a16Cr C 2 l i i i i i 3 3 3 3 и т. д.

Искомый поток тепла может быть представлен в виде (26), где Q = Qtr + Qint, 1 2 Сr C 2 r = R e C l d 3C, Qint = 3 2 Сr l r = R e C l d 3C.

Qtr = 3 l l 1 Для случая уединенной сферы, что эквивалентно R2, получено ана литическое выражение, задающее зависимость потока тепла от характера ак комодации энергии, которое совпадает по форме с (23), где ( ) tr = tr 2 Qint (1 int ) + G int Qtr int (1 tr )G, int int ( ) int = int G Qtr (1 tr ) + tr G 2 Qint tr (1 int ), tr tr = 2 (QintQint Qint Qtr )(1 tr )(1 int ) tr int tr (30) tr ( ) 2tr Qint (1 int ) int Qtr (1 tr ) tr G.

int tr Следует заметить, что при G = 1 соотношения (30) совпадают с приведенными в диссертации [8] выражениями для случая двухатомного газа.

Третий параграф посвящен обсуждению результатов.

На рисунке 5 представлена зависимость приведенного потока тепла, вы численного для модели релаксационного типа, от радиуса внутренней сферы для различного числа моментов, удерживаемых в функции распределения.

На рисунке 6 приведены значения отношения Q Qgd, рассчитанные при R2 R1, N = 3 и условии полной аккомодации энергии для модели Хансона 3(3 + 2G )Fl Ts – Морзе. Здесь Qgd = – величина потока тепла, полученного в 8R1 T газодинамическом пределе. Там же приведены экспериментальные данные.

Q Q Qgd R1 R2 = 0. 0. 0. lg R А Рис. 5 Рис. Рис. 5. Значения Q, вычисленные при условии полной аккомодации энергии для различного числа моментов, удерживаемых в функции распределения для кинетического уравнения релаксационного типа. Линия 1 соответствует N = 1;

2 – N = 2. В случае N 2 графики сливаются с кривыми 2. Линия 3 – результа ты метода Лиза.

Рис. 6. Зависимость отношения Q Qgd от параметра A = 6Kn 19 в слое возду ха;

– экспериментальные данные [4].

Анализ рисунка свидетельствует о качественном согласии полученных результатов с данными экспериментов.

Третья глава посвящена изучению процесса теплопереноса между коак сиальными цилиндрами.

В первом параграфе рассматривается слой двухатомного газа, заключен ный между коаксиальными цилиндрами с радиусами R1 R2, на поверхности которых поддерживается постоянная температура Ts1 Ts2.

Состояние газа определяется уравнением:

2 C C Cr Pi M i.

+ = (31) Cr r r Cr r C i = Искомый поток тепла задается выражением:

2k 3T03 R q = n0 Q, (32) m r Cr (C )( ) 2 + 2 exp C 2 2 r = R d d 3C.

Q= Решение уравнения (31) представим в виде (27), где вместо H1 и H нужно принять H1 = H (Cr µ C p ), H 4 = H (Cr µC p ), C p = C 2 C z.

i,1 = a1 + a2C 2 + a3 2 + a4Cr + a5Cr C 2 + a6Cr 2, i i i i i i При этом i, 2 = a7Cr2 + a8Cr2C 2 + a9Cr2 2 + a10C + a11C C 2 + a12C 2.

i i i i i i 2 2 Следует заметить, что рассмотрение следующего приближения требует удержания большего, чем в задаче сферической геометрии, числа моментов, что приводит к существенному увеличению времени счета. Учитывая, что в случае сферического слоя отличие результатов, полученных при N = 2 и N = 3, составляет не более 0.1%, ограничимся учетом двух указанных приближений.

Во втором параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга – Уленбека, которое в силу аксиальной симметрии задачи примет вид 2 l C l C C r l = m Am l.

+ Cr (33) r r Cr r C m = Искомый поток тепла определяется соотношением (32), где ( ) ( ) Сr С 2 + l l exp C 2 l d 3C.

Q= l Решение (33) зададим выражением (29), где li,1 = a1 + a2C 2 + a3 l + a4Cr + a5Cr C 2 + a6Cr l, i i i i i i li,2 = a7Cr2 + a8Cr2C 2 + a9Cr2 l + a10C + a11C C 2 + a12C l и т.д.

i i i i 2 i 2 i Третий параграф посвящен обсуждению результатов и сравнению с экс периментом.

На рисунке 7 показана зависимость приведенного потока тепла, рассчи танного для модельного кинетического уравнения релаксационного типа, от ра диуса внутреннего цилиндра в случае полной аккомодации энергии.

На рисунке 8 представлены значения отношения Q Qgd, полученные при N = 2 для фиксированных R2 R1 и условии полной аккомодации энергии в R Ts слое азота и воздуха. Здесь Qgd = (3 + 2G )F1 R1 ln 2 – величина пото R1 T 8 ка тепла, вычисленная в газодинамическом пределе. Там же приведены экспе риментальные данные.

Заметим, что отмеченные в предыдущих главах выводы остаются спра ведливыми также для задачи аксиальной геометрии.

Q R1 R2 = 0. 0. 0. 0. lg R 0. Рис. 7. Значения приведенного потока тепла при условии полной аккомодации энергии и фиксированных R1 R2, рассчитанные для релаксационного кинети ческого уравнения. Кривая 1 соответствует N = 1, 2 – N = 2;

3 – результаты стандартного метода Лиза.

Q Q Qgd Qgd R 2 R1 = 4. R = R R 2 R1 = 1. R 2 R1 = 9. lg R lg A а) б) Рис. 8. Значения отношения Q Q gd а) в слое азота;

A = 5 ( 4 Kn ) ;

б) в слое воздуха. Точками обозначены опытные данные [4, 10]. Линия 1 соответствует результатам решения уравнения Ван Чанга - Уленбека (33), 2 – кинетическому уравнению релаксационного типа (31).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложениях представлены системы моментных уравнений и табли цы, содержащие численные результаты проведенных расчетов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Разработана методика решения кинетического уравнения в приложении к задаче вычисления потока тепла от нагретого тела в разреженном моле кулярном газе, позволяющая получать необходимую точность результа тов.

2. Решена задача о вычислении потока тепла в плоском, сферическом и ци линдрическом слое молекулярного газа.

3. Впервые для модельного оператора Хансона – Морзе получены значения коэффициента скачка температуры для N 2, CO2, SO2 и воздуха.

4. Показано, что удержание необходимого числа моментов позволяет полу чить значение коэффициента скачка температуры, отличающееся от точ ного не более чем на сотые доли процента. Анализ характера зависимости значений потока тепла от числа моментов, удерживаемых в функции рас пределения, позволяет утверждать, что указанная точность сохраняется и в промежуточном диапазоне значений числа Кнудсена.

5. Показано, что для азота в приложении к задачам теплопереноса в случае плоской, сферической и цилиндрической геометрии использование моде ли кинетического уравнения релаксационного типа [3] и модели Хансона Морзе [7] дает практически совпадающие результаты.

6. Показано, что квадратурный метод [9] обеспечивает удовлетворительную точность результатов лишь при небольших расстояниях между пластина ми. В газодинамическом пределе можно говорить лишь о качественном характере его результатов.

7. Для задачи теплопереноса между параллельными плоскостями и от оди ночной сферы впервые получены общие (не зависящие ни от формы ки нетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, опре деляющие в линейном приближении зависимость потока тепла в молеку лярном газе от характера аккомодации энергии.

Показано, что полученные результаты согласуются с данными эксперимен тов.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИЕТРАТУРА 1. Lees L., Liu Chung-Yen. Kinetic theory description of conductive heat transfer from a fine wire // Phys. Fluids, 1962. – Vol. 5. – No 10. – P. 1137–1148.

2. Gross E.P., Ziering S. Heat flow between parallel plates // Phys. Fluids, 1959.

– Vol. 2, – No 6. – P. 701–712.

3. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры с вращательными степенями свободы // Теор. и мат. физика, 1993. – Т. 95. – № 3. – С. 530–540.

4. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженных газов.

М., Машиностроение, 1977. – 182 с.

5. Латышев А.В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл.

матем. и механика. 1990. – Т. 54. – В. 4. – С. 581–586.

6. Wan Chang C.S., Uhlenbeck G.E., Boer J. The heat conductivity and viscosity of polyatomic gases. // Studies in Statistical Mechanics. – Amsterdam: North Holland Pablishing Company. 1964.

7. Hanson F.B., Morse T.F. Kinetic models for a gas with internal structure // Phys. Fluids, 1967. – Vol. 10. – No 2. – P. 345–353.

8. Савков С.А. Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена: дис. … доктора физ. мат. наук. – Москва, 2004. – 271 с.

9. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas I. Plane parallel plates // J. Heat Mass Transfer, 1985. – Vol. 28. – No 11. – P. 2019– 2026.

10. Semyonov Yu.G., Borisov S. F., Suetin P.E. Investigation of heat transfer gases over a wide range of Knudsen numbers // J. Heat Mass transfer, 1984. – Vol. 27. – No. 10. – P. 1789–1799.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ 1. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. Об учете аккомодации энергии и вычисле нии потока тепла в плоском слое двухатомного газа. // ЖТФ, 2006. – Т.

76. – Вып. 2. – С. 25–29.

2. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения при вычислении потока тепла в многоатомных газах. // ЖТФ, 2008. – Т. 78. – Вып. 7. – С. 16–20.

3. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения в зада че вычисления потока тепла от сферической частицы в разреженном мо лекулярном газе // Письма в ЖТФ, 2009. – Т. 35. – Вып. 1. – С. 63–68.

4. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между коакси альными цилиндрами в разреженном молекулярном газе // Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии, 2009. – № 1 / 273 (559). – С. 35–40.

5. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. Об учете аккомодации энергии и вычисле нии потока тепла между параллельными пластинами // Вестник науки.

Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 4. – Орел. 2005. – С. 151– 6. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения в зада че вычисления потока тепла между параллельными пластинами // Вест ник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студен тов физико-математического факультета. Выпуск 6. – Орел: Издательство ОГУ, Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. – С. 151–155.

7. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между концентрическими сферами в двухатомном газе // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического фа культета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 7. – Орел: Изд-во ОГУ, 2008. – С.

138–140.

8. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между концентрическими сферами в молекулярном газе // Альманах современной науки и образо вания. Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки и методика их преподавания. – Тамбов: Грамота, 2008. – № 7(14). – С. 213–215.

9. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между коаксиальными ци линдрами в двухатомном газе // Альманах современной науки и образо вания. Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки и методика их преподавания. – Тамбов: Грамота, 2008. – № 12 (19).

– С. 198–200.

10. Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вычислению коэффициента скачка темпе ратуры в молекулярных газах. // Человек и космос. 50 – летие космиче ской эры: сборник тезисов IX междунар. научн. – практич. конф. – Днеп ропетровск, 2007. – С. 31.

11. Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вопросу о вычислении потока тепла меж ду концентрическими сферами в двухатомном газе. // Человек и космос:

сборник тезисов X междунар. научн. – практич. конф. – Днепропетровск, 2008. – С. 48.

12. Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла между концентри ческими сферами в молекулярном газе. // Сборник тезисов, материалы Всероссийской научной конференции студентов – физиков и молодых ученых (ВНКСФ – 14): материалы конференции, тезисы докладов: В 1. – Т. 1 – Екатеринбург – Уфа: изд-во АСФ России, 2008. – С. 251–252.

13. Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла от равномерно на гретой сферы в разреженном молекулярном газе // Всероссийская кон ференция по математике и механике, посвященная 130 – летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: (Томск, 22 – 25 сентября 2008 г.) – Томск: Томский государ ственный университет, 2008 г. – С. 174–175.

14. Тюлькина Е.Ю. К вопросу о теплопереносе между коаксиальными ци линдрами в разреженном молекулярном газе // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы международной конференции, посвященной 70 – летию ректора МГУ академика В.А. Са довничего. – М.: Изд-во «Университетская книга», 2009. – С. 334–335.

15. Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла через цилиндриче ский слой двухатомного газа при всех числах Кнудсена // Сборник тези сов, материалы 15 Всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых (ВНКСФ – 15, Кемерово – Томск): материалы конференции, тезисы докладов: В 1. – Т. 1 – Екатеринбург – Кемерово:

изд-во АСФ России, 2009. – С. 263–264.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.