авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Параметрические генераторы хаотических колебаний с аттракторами типа смейла-вильямса

На правах рукописи

Кузнецов Алексей Сергеевич

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ

ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

С АТТРАКТОРАМИ ТИПА СМЕЙЛА-ВИЛЬЯМСА

01.04.03 – Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный универси тет имени Н.Г. Чернышевского» на базовой кафедре динамических систем фа культета нелинейных процессов

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук доцент Исаева Ольга Борисовна, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», ФГБУН «Институт радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова Российской академии наук», старший научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Полежаев Андрей Александрович, ФГБУН «Физический институт им. П.Н. Лебеде ва» Российской академии наук, заведующий сектором теоретических проблем биофизики кандидат физико-математических наук Балякин Артем Александрович, Федеральное государственное бюджетное учре ждение Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", начальник отдела научно-технических программ и проектов Де партамента информационно-аналитического обеспечения.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.»

Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д212.243.01 по специальности 01.04.03 – радиофизика на базе ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевско го» по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке СГУ им. В.А. Артисевич.

Автореферат разослан 11 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Аникин Валерий Михайлович Актуальность темы исследования Как известно, предметом радиофизики является изучение общих законо мерностей генерации, передачи, приема, анализа колебаний и волн различной физической природы и разных частотных диапазонов, а также разработка их приложений. В частности, сюда относится рассмотрение физических основ генерации, усиления и преобразования колебаний и волн, процессов распро странения и трансформации волн в нелинейных средах, исследование нели нейной динамики, пространственно-временного хаоса и самоорганизации в неравновесных системах.

Теория хаоса и нелинейная динамика – относительно новое направление современной науки. На протяжении нескольких последних десятилетий мно гие научные группы занимаются исследованиями в данной области, так как это один из наиболее интересных, перспективных, и активно развивающихся разделов фундаментальной науки.1 Также нелинейная динамика и теория хао са представляет интерес с практической точки зрения. В этой связи можно упомянуть такие возможные технические приложения, как шифрование сиг налов, хранение и передача информации, а также фундаментальные пробле мы, природа которых до конца пока не раскрыта, например, в гидродинамике, нейродинамике, биологии и многих других важнейших областях. Принципы нелинейной динамики применимы также в построении социальных, экономи ческих, статистических моделей. Методы и инструменты нелинейной динами ки сейчас подвергаются активному осмыслению, и ведется активный поиск возможных приложений.

В последнее время одним из направлений работы является создание ис кусственных систем с хаотической динамикой, которая обусловлена присут ствием однородно гиперболических аттракторов, таких как аттрактор Смейла – Вильямса в фазовом пространстве. Отправной точкой послужила идея ис пользовать попеременное возбуждение пары автоколебательных элементов, передающих возбуждение друг другу с тем, чтобы за полный цикл передачи возбуждения, угловая переменная (в роли которой может выступать фаза ко лебаний) претерпела преобразование, описываемое растягивающим отобра жением окружности.2 Такие системы представляют интерес в первую очередь потому, что они характеризуются свойством структурной устойчивости, т.е.

для них хаотический режим нечувствителен по отношению к изменению па раметров системы и составляющих ее элементов. В теории колебаний и волн именно структурно устойчивые системы считаются предметом первоочеред ного анализа и наиболее важными для практики. Большинство известных си стем с хаотической динамикой структурной устойчивостью не обладают.

Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, изд-во Сарат. ун-та, 1999;

Глас Л., Мэки М. От часов к хаосу. М., Мир, 1991;

Дмитриев А.С., Панас А.И. Ди намический хаос: новые носители информации для систем связи, М., Физматлит, 2002;

Ланда П.С. Нелиней ные колебания и волны, М., Физматлит, 2010;

Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Введение в теорию колеба ний и волн, М., Наука, 1984;

Спротт Дж.К., Элегантный хаос. М.- Ижевск, Инст. компьют. исслед., 2012.

S.P. Kuznetsov, Phys. Rev. Lett., 95, 2005, 144101;

S.P.Kuznetsov, A.S.Pikovsky, Physica D, 232, 2007, 87.

В качестве основы для построения дальнейших примеров систем со структурно устойчивыми гиперболическими аттракторами представляется естественным обратиться к классу систем, функционирование которых осно вано на принципе параметрического возбуждения, относительно просто реа лизуемом и давно применяющем на практике в оптике, электронике, акустике.



В данном контексте представляется актуальной задача о построении и иссле довании систем с гиперболической хаотической динамикой на аттракторе ти па Смейла – Вильямса, основанных на принципе параметрического возбужде ния.

Степень разработанности темы исследования. До последнего времени примеры систем с гиперболическим хаосом ограничивались абстрактными математическими конструкциями (соленоид Смейла – Вильямса, аттрактор Плыкина, DA-аттрактор Смейла).3 Задача разработки подходов к построению физических систем с гиперболическими хаотическими аттракторами с при влечением характерных для радиофизики методических приемов и понятий (нелинейные осцилляторы, автоколебания, обратная связь) в конструктивном ключе была поставлена лишь сравнительно недавно, но исследования в этом направлении уже привели к появлению достаточно большого числа приме ров. 4 Это схемы на основе попеременно возбуждающихся осцилляторов, си стем с запаздыванием, систем с импульсными толчками и т.д.

Один из перспективных подходов к созданию систем со структурно устойчивым гиперболическим хаосом в радиофизике может основываться на использовании принципа параметрического возбуждения колебаний. До вы полнения настоящей диссертационной работы был указан и исследован путем численного моделирования единственный пример такого рода. 5 А именно, ат трактор типа Смейла – Вильямса был реализован в системе двух попеременно возбуждающихся за счет модуляции накачки параметрических генераторов, передающих возбуждение друг другу с удвоением фазовой переменной на каждом этапе. Данный подход, однако, с определенностью заслуживает го раздо более широкой проработки, поскольку параметрическое возбуждение нелинейных систем широко известно и нашло многочисленные применения в электронике, механике, акустике и других областях.6 При этом соответствую щие схемы зачастую оказываются проще в реализации в сравнении с альтер нативными подходами к генерации и преобразованию колебаний и волн.

Цели и задачи работы Целью диссертационной работы является разработка и численное исследова ние новых примеров систем, допускающих физическую реализацию, на осно ве принципа параметрического возбуждения колебаний, в которых реализо Я.Г. Синай. В кн. Нелинейные волны, М.: Наука, 1979, с.192;

L. Shilnikov, Int. J. of Bifurcation and Chaos 7, 1997, 1353;

А.Ю. Лоскутов, УФН, 180 (12), 2010, 1305.





С.П. Кузнецов, УФН, 181 (2), 2011, 121.

С.П. Кузнецов, ЖЭТФ, 133 (2), 2008, У. Люиселл, Связанные и параметрические колебания в электронике, ИИЛ, М.: 1963;

С.А. Ахманов, Р.В.

Хохлов, УФН, 88 (3), 1966, 439;

Е.А.Хазанов, А.М.Сергеев, УФН, 178 (9), 2008, 1006.

валась бы грубая хаотическая динамика, обусловленная присутствием в фазо вом пространстве аттракторов типа Смейла – Вильямса.

В качестве конкретных задач ставились следующие.

1) Построение и исследование модели двух нелинейных осцилляторов с параметрической связью, в которой благодаря модуляции накачки и уровня диссипации реализовался бы механизм удвоения фазы колеба ний, и рассмотрение двух вариантов генераторов хаоса на этой основе, с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

2) Построение и исследование модели параметрического генератора, в ко тором роль угловой координаты на аттракторе Смейла – Вильямса игра ет переменная, отвечающая за распределение амплитуд между двумя подсистемами.

3) Построение и исследование схемы параметрического генератора хаоса, использующего запаздывающую обратную связь.

4) Модификации задачи о параметрическом возбуждении струны, в кото рой возникал бы аттрактор типа Смейла – Вильямса, вложенный в бес конечномерное фазовое пространство распределенной системы, и про ведение численного моделирования сложной пространственно временной динамики в этой системе.

Научная новизна В работе впервые представлено исследование проблемы реализации грубого, структурно устойчивого хаоса для множества систем с параметрическим воз буждением, с демонстрацией соответствующих режимов путем численного моделирования.

Введена в рассмотрение и исследована в численных расчетах схема пара метрического генератора гиперболического хаоса на основе двух нелинейных осцилляторов с модуляцией накачки и уровня диссипации с ограничением па раметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет ис тощения накачки.

Предложена и изучена схема параметрического генератора, в котором для реализации аттрактора Смейла - Вильямса реализована предложенная в работе идея растягивающего отображения для угловой переменной, управляющей распределением амплитуд двух подсистем.

Введена в рассмотрение и исследована модельная система, в которой ат трактор типа Смейла – Вильямса реализуется благодаря запаздывающей об ратной связи через элемент с квадратичной нелинейностью между двумя па раметрически связанными осцилляторами с модулированной накачкой.

O.B. Isaeva, S.P. Kuznetsov, E. Mosekilde, Phys. Rev. E, 84, 2011, 016228.

Впервые предложена модификация опыта Мельде с параметрически воз буждаемой струной, где благодаря модулированной накачке, нелинейности и пространственной неоднородности удается реализовать и продемонстрировать в численных расчетах присутствие аттрактора типа соленоида Смейла – Виль ямса, вложенного в фазовое пространство распределенной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы Теоретическая значимость работы определяется тем, что указан определенный класс систем, использующих принцип параметрического возбуждения коле баний, в которых реализуется грубый, структурно устойчивый хаос. Они представляют собой практическое осуществление объектов теории гипербо лических динамических систем, хорошо развитой в математическом плане, но не имевшей до последнего времени реальных приложений. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность созда ния параметрических генераторов хаоса, обладающих структурной устойчи востью, т.е. нечувствительностью к изменению параметров и характеристик систем и их элементов, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования В работе использованы методы и подходы, развитые в теории колебаний и волн. Для конструирования схем с гиперболическим хаосом привлечены принципы радиофизики и теории колебаний, включая модуляцию параметров, введение дополнительных обратных связей, принцип параметрического воз буждения. В качестве математических моделей использованы неавтономные нелинейные дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием, урав нения в частных производных. Для численного решения уравнений использо ваны разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходи мость и устойчивость (метод Рунге-Кутты для обыкновенных дифференци альных уравнений и его обобщение на уравнения с запаздыванием, схема «крест», для уравнений в частных производных). Применены методы компью терного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазо вых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпунова.

Положения, выносимые на защиту 1) Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла – Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в системе двух пара метрически связанных нелинейных осцилляторов, частоты которых раз личаются вдвое, при подходящей модуляции накачки и параметров дис сипации, когда ограничение параметрической неустойчивости опреде ляется нелинейной диссипацией или истощением накачки.

2) Хаотическая амплитудная динамика, связанная с присутствием аттрак тора типа Смейла – Вильямса, реализуема в параметрически возбуждае мой системе, где роль угловой переменной, претерпевающей растяги вающее отображение, играет величина, отвечающая за распределение амплитуд между двумя осцилляторами.

3) Параметрический генератор грубого хаоса можно построить на основе классического параметрического генератора, составленного из двух ос цилляторов с различающимися вдвое рабочими частотами, введением периодической модуляции накачки и добавлением дополнительной цепи запаздывающей обратной связи, содержащей квадратичный нелинейный элемент.

4) Гиперболический хаос, соответствующий аттрактору типа Смейла – Ви льямса, вложенному в бесконечномерное фазовое пространство распре деленной системы, возникает в модифицированной задаче о параметри ческом возбуждении струны с диссипацией, характеризуемой кубиче ской нелинейностью, при наличии накачки попеременно на различаю щихся в три раза частотах и пространственной неоднородности.

Достоверность результатов работы определяется постановкой задач на базе строгих концепций математической теории динамических систем, применени ем апробированных в радиофизике подходов к конструированию схем с пара метрическим возбуждением, соответствием качественного физического опи сания и компьютерного анализа сложной динамики, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппроксимацию и устойчи вость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирова ния.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты по лучены лично автором, осуществлявшим выработку методик решения задач, программирование и проведение численных расчетов. Постановка задач и ин терпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация Основные результаты диссертации были представлены докладами на X международной школе «Хаотические автоколебания и образование струк тур» (Саратов, 2010 г.), XVI научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012 г.), на IV, VI, VII и VIII Всероссийских конференциях моло дых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Сара тов, 2009, 2011-2013 гг.), на ежегодных научных школах-конференциях «Не линейные дни в Саратове для молодых» (2009–2011 гг.), а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения ра бот по грантам РФФИ № 12-02-31342, 12-02-00541 и гранту Президента РФ для молодых ученых МК-905.2010.2.

По результатам диссертации опубликовано 12 работ [1-12], из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК – 5, статей в сборниках и тезисов докладов – 7.

Структура и объем работы. Работа содержит 115 страниц, из них 90 страниц основного текста, 25 страниц иллюстраций и список литературы из 67 наиме нований на 7 страницах.

Краткое содержание работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения.

Во Введении обсуждается актуальность, научная новизна и значимость результатов работы, изложено ее краткое содержание, приводятся сведениия о публикациях и апробации.

В четырех главах предлагаются принципы построения систем, в которых параметрическая генерация хаоса обусловлена присутствием аттракторов типа Смейла – Вильямса, благодаря чему имеет место свойство грубости, или структурной устойчивости – генерируемый хаос оказывается нечувствитель ным по отношению к изменению параметров системы. Обсуждается несколь ко подходов к построению параметрических генераторов хаоса, для каждого из которых рассмотрены механизмы динамики, приводятся и анализируются результаты численного моделирования. Первые две главы посвящены пара метрическим системам, фазовое пространство которых имеет конечную раз мерность и которые описываются обыкновенными дифференциальными урав нениями. В оставшихся главах излагаются результаты, относящиеся к распре деленным системам, фазовое пространство которых бесконечномерное, и ко торые описываются уравнениями с запаздыванием и уравнениями с частными производными.

В первой главе рассмотрено два варианта построения систем, использу ющих принцип параметрического возбуждения колебаний [5,8,11,12].

В первом случае система строится на базе двух осцилляторов c модули рованной добротностью, рабочие частоты которых отличаются вдвое, а воз буждение производится импульсами накачки на тройной частоте, с периодом следования, равным периоду модуляции добротности. Временная эволюция составлена из четырех периодически повторяемых стадий. На первой стадии осуществляется параметрическое возбуждение осцилляторов в присутствии нелинейной диссипации, на второй стадии происходит затухание второго ос циллятора, на третьей – взаимодействие осцилляторов через квадратичную нелинейность, и на четвертой – затухание первого осциллятора. Передача воз буждения к осциллятору удвоенной частоты на новой стадии активности про исходит через квадратичный нелинейный элемент. Насыщение параметриче ской неустойчивости осуществляется благодаря присутствию нелинейной диссипации. Динамику системы можно представить парой уравнений второго порядка:

12 x f 1 (t )(y sin 3t 1 x 3 ) 1 f 4 (t ) x 2f 3 (t ) xy, x (1) 2 y f 1 (t )(x sin 3t 2 y ) 2 f 2 (t ) y f 3 (t ) x, 2 3 y где fn(t)=1, если n=4{t/T}, в других случаях fn(t)=0, – параметр накачки си стемы, – квадратичный элемент связи, – линейная диссипация, – нели нейная диссипация.

Рис.1. Зависимость сигналов осцилляторов и накачки от времени на протяжении двух пол ных периодов модуляции параметров в системе (1) при 1=2, 2=4, 3=6, T 16, 1, 2 1.6, 1, 2 0.02, 2.2, На рис.1 показана зависимость переменных x, y и сигнала накачки z от времени. Трансформация фазы колебаний за четыре стадии дается растягива ющим отображением окружности, или отображением Бернулли, динамика ко торого хаотическая. Численные расчеты подтверждают, что в фазовом про странстве четырехмерного отображения, описывающего изменение состояния за период модуляции, имеет место аттрактор типа Смейла – Вильямса.

Второй рассмотренный вариант параметрического генератора хаоса рабо тает по аналогичному принципу, но накачка осуществляется через посредство дополнительно введенного в схему третьего осциллятора, и амплитуда воз буждающихся параметрических колебаний ограничивается за счет истощения энергии осциллятора накачки. Функционирование происходит в отсутствии нелинейной диссипации, которую в данном случае вводить не требуется, что, как можно полагать, делает схему проще с точки зрения возможной практиче ской реализации.

Во второй главе предлагается параметрический генератор хаоса с ат трактором типа Смейла – Вильямса, в котором роль угловой координаты, пре терпевающей растяжение на последовательных шагах динамики во времени, играет специальная переменная, характеризующая распределение амплитуд между двумя взаимодействующими подсистемами[4,8,9].

Пусть имеем два осциллятора с комплексными амплитудами a1 и a2, взаимодействующих с осциллятором накачки амплитуды a3. Если потери и внешние источники энергии отсутствуют, то при надлежащей нормировке ам плитуд можно записать соотношение | a1 |2 | a2 |2 | a3 |2, выражающее закон сохранения энергии. Полагая | a1 |2 | a3 |2 cos2, | a2 |2 | a3 |2 sin 2, вводим уг ловую координату, характеризующую в каждый момент времени распреде ление энергии между осцилляторами 1 и 2.

Каждая из двух подсистем, из которых построена схема, состоит из трех осцилляторов, один из которых является осциллятором накачки. Осцилляторы накачки возбуждаются попеременно от общего источника, параметрически раскачивая осцилляторы своей подсистемы. Взаимодействие подсистем про исходит также попеременно, с нелинейным преобразованием и трансформа цией амплитуды колебаний, динамика которой оказывается хаотической.

В первом варианте системы угловая переменная претерпевает утроение только при передаче возбуждения от второй подсистемы к первой (рис.2а).

Динамика системы описывается шестью уравнениями в терминах медленных амплитуд:

a1 a1* a3 a1 (| b1 |2 3 | b2 |2 )b1, b1 b1*b3 b1 a1, a2 a 2* a3 a2 (| b2 |2 3 | b1 |2 )b2, (2) b b*b b a, 2 2 3 2 a3 a12 a 22 a3 (t ), b3 b12 b22 a3 (t T ), где величины a1, 2,3 и b1, 2,3 относятся к осцилляторам первой и второй подси стем, параметр характеризует интенсивность накачки, – параметр затуха ния, T – полный период функционирования системы, – параметр, отвечаю щий за передачу сигнала от одной подсистемы к другой с преобразованием на кубической нелинейности.

Во втором варианте системы преобразование амплитуд с утроением угло вой переменной на нелинейности происходит при передаче возбуждения как от первой подсистемы ко второй, так и в обратном направлении. Таким обра зом, величина, отвечающая за распределение амплитуд между осциллятора ми, претерпевает девятикратное преобразование на каждом полном периоде функционирования системы (рис.2б). Уравнения имеют вид b1 b1*b3 b1 (| a1 |2 3 | a2 |2 )a1, a1 a1 a3 a1 (| b1 |2 3 | b2 |2 )b1, * (3) a2 a2 a3 a2 (| b2 |2 3 | b1 |2 )b2, b2 b2*b3 b2 (| a2 |2 3 | a1 |2 )a 2, * b3 b12 b22 b3 (t T ) a3 a12 a2 a3 (t ), где (t ) 1, 0 t T / 2, (t ) 0, T / 2 t T, и (t T ) (t ).

В фазовом пространстве системы присутствует аттрактор типа Смейла – Ви льямса, который характеризуется растяжением по одному из направлений и сжатием по остальным, в конкретном случае растяжение происходит по угло вой координате: втрое в первой системе и в девять раз – во второй.

(а) (б) Рис.2. Диаграмма для угловой переменной в системах, описываемых уравнениями (2) (а) и (3) (б) при =2, =0.1, T=20, =.

В третьей главе представлена система с запаздыванием [2,3,8]. Это гене ратор хаоса на основе двух параметрически связанных осцилляторов, частоты которых различаются вдвое. Элемент, обеспечивающий связь, подвергается воздействию накачки на третьей гармонике основной частоты с модуляцией по амплитуде. Кроме того, взаимодействие между осцилляторами также осу ществляется через цепь с запаздыванием и квадратичным элементом связи.

При этом на каждом очередном периоде модуляции возбуждение осциллятора удвоенной частоты стимулируется сигналом от осциллятора основной часто ты, претерпевшим квадратичное нелинейное преобразование и задержку во времени (рис.3).

Рис.3. Блок-схема параметрического генератора хаоса с запаздыванием.

Описать динамику системы можно двумя уравнениями второго порядка.

1 12 x1 x2 f (t ) sin 3t 1 x1 1 x13, x 2 2 x2 x1 f (t ) sin 3t 2 x2 2 x23 x12 (t ), (4) x где функция f (t ) cos2 (t / T ) характеризует модуляцию сигнала накачки, к – параметр накачки, 1,2 – параметры, определяющие линейную диссипацию в осцилляторах, 1,2 – параметры нелинейной диссипации, – параметр взаи модействия осцилляторов через квадратичную нелинейность с задержкой, которая определяется как половина периода функционирования системы.

В роли угловой координаты выступает величина фазы сигнала, хаотиче ская динамика которой обусловлена удвоением при преобразовании на квад ратичном элементе связи при передаче возбуждения от второго осциллятора к первому через цепь запаздывающей обратной связи.

Первый показатель Ляпунова является положительным, и сохраняет зна чение при вариации параметров, что говорит о структурной устойчивости си стемы. На рис.4а приведена зависимость показателей Ляпунова от параметра накачки, положительный показатель практически не изменяется при вариации величины параметра к, остальные остаются стабильно отрицательными.

На основе качественного анализа и результатов численного моделирова ния делается заключение, что хаотическая динамика в системе отвечает странному аттрактору, который представляет собой разновидность соленоида Смейла – Вильямса (рис.4б), вложенного в бесконечномерное пространство состояний системы с запаздыванием.

(а) (б) Рис.4. Зависимости показателей Ляпунова от параметра накачки при 1=2, 2=4, 3=6, T=20, =10, 1, 1, 2 1, 1, 2 0.0015, =35 (а) и портрет аттрактора для стробоскопи ческого отображения в фазовом пространстве системы (б).

В четвертой главе показано, как можно реализовать хаотические коле бания, ассоциирующиеся с аттрактором типа Смейла – Вильямса при пара метрическом возбуждении струны [1,2,6,7].

Рассмотрена модель, описываемая уравнением ytt Gyxx ( y 2 ) yt y, где сила натяжения колеблется по закону G(t ) T0 1 a2 (t ) sin 20t a6 (t ) sin 60t.

При этом a2 (t ) a2 sin 2 (t 1 ) / T, a6 (t ) a6 cos2 (t 1 ) / T, а распределение 0 4 массы задано выражением ( x) 0 (1 sin 4k 0 x), k 0 0 / c0, c0 T0 / 0.

Проведено численное решения уравнения в частных производных, опи сывающего кольцевой систему длины L с использованием схемы «крест», второго порядка аппроксимации по пространственному и временному шагу.

Показано, что при подходящем выборе параметров в системе с периодически ми граничными условиями поочередно возбуждаются длинноволновые и ко ротковолновые структуры, пространственная фаза которых меняется от одно го периода модуляции к другому (рис.5а). Фаза колебаний во времени при этом жестко привязана к фазе накачки, а пространственная фаза стоячих волн за период модуляции накачки претерпевает троекратно растягивающее отоб ражение окружности (рис.5б). Это согласуется с результатами расчета показа телей Ляпунова, наибольший из которых для отображения за период модуля ции накачки близок к величине ln 3, а остальные отрицательные. Портрет ат трактора в стробоскопическом сечении в проекции на плоскость соответству ет по виду соленоиду Смейла – Вильямса (рис.5в).

(а) (б) (в) Рис.5. Пространственно-временная диаграмма, диаграммы для пространственных фаз и портрет аттрактора в стробоскопическом сечении для кольцевой системы при 0 2, k0 2, T 40, L 1, a2 0.4, a6 0.2, 0.2, 0.4, 0. 0 (а) (б) (в) Рис.6. Пространственно-временная диаграмма, диаграммы для пространственных фаз и портрет аттрактора в стробоскопическом сечении для системы с нулевыми граничными условиями при 0 2, k0 2, T 50, L 6.5, a2 0.55, a6 0.3, 0.2, 0, 1 0 Рассмотрен также вариант системы с фиксированными граничными условиями u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, которая представляется более реалистичной с точки зрения возможного осуществления в эксперименте. Модификация уравнений для этого случая состоит во введении профиля зависимости линей ной диссипация от пространственной координаты по закону 1 cos2 x / L.

Показано, что в этом случае также можно реализовать хаотическую динамику, соответствующую аттрактору типа Смейла – Вильямса (рис.6).

В заключении обобщаются результаты диссертационной работы, приво дятся возможные направления развития и формируются выводы.

Основные результаты и выводы 1. Предложены параметрически возбуждаемые системы с хаотической дина микой, обусловленной наличием в фазовом пространстве аттракторов типа Смейла – Вильямса, допускающие физическую реализацию.

2. Показана возможность реализации гиперболического хаоса в параметри ческих системах, функционирующих по принципу взаимодействия колеба тельных элементов через квадратичную или кубическую связь.

3. Указаны примеры распределенных параметрически возбуждаемых систем, где хаотический аттрактор типа Смейла - Вильямса вложен в бесконечно мерное фазовое пространство отображения, описывающего изменение со стояния системы за период модуляции накачки.

4. Рассмотренные модели не чувствительные к вариации параметров систе мы. Это говорит о грубости хаотической динамики, её структурной устой чивости, что является важной особенностью для возможных практических приложений предложенных генераторов хаоса.

Публикации по теме диссертации Исаева О.Б., Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Гиперболический хаос при [1] параметрических колебаниях струны // Нелинейная динамика. 2013.

Т..9, №1. С.3-10.

[2] Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source // Phys. Rev. E. 2013. V.87. P. 040901.

[3] Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Parametric generation of robust chaos with time-delayed feedback and modulated pump source // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2013. V.18. P. 728-734.

Кузнецов А.С. Параметрические генераторы с хаотической амплитуд [4] ной динамикой, отвечающей аттракторам типа Смейла-Вильямса // Известия вузов – Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, №1.

С.129-136.

Кузнецов А.С., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Параметрический генера [5] тор гиперболического хаоса на основе двух связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией // ЖТФ. 2010. Т.80, вып.12. С.1-9.

Кузнецов А.С., Исаева О.Б. Гиперболический хаос при параметриче [6] ских колебаниях нелинейной струны // Наноэлектроника, нанофотони ка и нелинейная физика :Тезисы докладов VIII Всероссийской конфе ренции молодых ученых. Саратов, 3-5 сентября 2013 г. Саратов : Изд во Сарат. ун-та, 2013. С.137-138.

Кузнецов А.С. Хаотическая динамика при механических колебаниях [7] нелинейной струны с параметрическим возбуждением // Наноэлектро ника, нанофотоника и нелинейная физика : Тезисы докладов VII Все российской конференции молодых ученых. Саратов, 24-26 сентября 2012 г. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. С.79-80.

Кузнецов А.С. О некоторых схемах параметрических генераторов хао [8] са с аттракторами типа Смейла-Вильямса // Нелинейные волны – 2012.

XVI научная школа. Н. Новгород, 29 февраля – 6 марта 2012 г. Тезисы докладов молодых ученых. Н. Новгород, 2012. С. 81.

Кузнецов А.C. О новом принципе построения параметрических гене [9] раторов гиперболического хаоса // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика : Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 11-15 сентября 2011 г. Саратов : Изд-во Са рат. университета, 2011. С.124-126.

Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Параметрические генераторы хаоса с [10] гиперболическими аттракторами // Материалы IX международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 4-9 ок тября 2010 г. Саратов, 2010. С.86-87.

Кузнецов А.C. Две схемы параметрических генераторов гиперболиче [11] ского хаоса // Нелинейные дни в Саратове для молодых – 2009. 16- ноября 2009 г. Материалы научной школы-конференции. Саратов:

ООО ИЦ «Наука», 2010. С.77-80.

Кузнецов А.C. Сравнительный анализ моделей параметрических коле [12] баний. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика // Тези сы докладов IV конференции молодых ученых. Саратов, 7-9 сентября 2009 г. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С.56-58.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.