авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Исследование некоторых математических моделей теории экономического роста

На правах рукописи

Мичасова Ольга Владимировна ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 2010

Работа выполнена на кафедре математического моделирования экономических систем Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный консультант: Кузнецов Юрий Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического моделирования экономических систем, ННГУ.

Баландин Дмитрий Владимирович, Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты:

профессор, кафедра численного и функционального анализа, ННГУ.

Польдин Олег Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической экономики, ГУ ВШЭ (Нижегородский филиал).

Пермский государственный университет

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится « 24 » декабря 2010 г. в 16-40 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.13 при Нижегород ском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адре су: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп. 2, ауд. 229.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан « 19 » ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Савельев Владимир Петрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Проблема выявления основных факторов экономического роста и анализа механизмов их влияния на развитие национальных экономик является одной из наиболее актуальных проблем в современной экономической теории. Опыт промышленно развитых стран показывает, что научно-технологический про гресс и инновации являются одними из важнейших факторов экономического роста, а человеческий капитал служит источником социально-экономического развития и одной из ключевых составляющих инновационного производства.

Современные процессы информатизации общества и развитие технологий привели к усилению роли человеческого капитала, так как только благодаря интеллектуальным способностям и высокой квалификации рабочей силы ста новится возможным быстрое и результативное внедрение тех инноваций, кото рые позволяют обеспечить эффективное функционирование экономики в со временных условиях. Мировой финансовый кризис лишь подчеркнул важность изучения этих факторов. В настоящее время общепризнано, что построение экономики, основан ной на знаниях, невозможно без развития человеческого капитала;

поэтому ис следование влияния этого фактора на экономическое развитие является акту альной проблемой современной теории экономического роста.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического роста и развития, построение и иссле дование их математических моделей внесли такие зарубежные ученые, как К. Эрроу (K.J. Arrow), Д. Касс (D. Cass), Т. Купманс (T. Coopmans), Е. Домар (E.D. Domar), Р. Харрод (R.F. Harrod), Н. Калдор (N. Kaldor), Р. Лукас (R. Lucas), Ф. Рамсей (F.P. Ramsey), П. Ромер (P. Romer), Й. Шумпетер (J.A. Schumpeter), Р. Солоу (R.M. Solow), Х. Узава (H. Uzawa), и многие другие.

Различные динамические модели экономического роста исследовались в работах Дж. Алонсо-Карреры (J. Alonso-Carrera), Р. Барро (R. Barro), Дж. Бенхабиба (J. Benhabib), Дж. Кабайе (J. Caball), Р. Фармера (R.E.A. Farmer), Г. Гонга (G. Gong), А. Грейнера (A. Greiner), К. Муллигана (C.B. Mulligan), С. Ортигейры (S. Ortigueira), Р. Перли (R. Perli), К. Сала-и Мартина (X. Sala-i-Martin), М. Сантоса (M.S. Santos), У. Семмлера (W. Semmler), Д. Ксье (D. Xie) и многихдругих.

Теоретические основы концепции человеческого капитала, различные ме тодики его измерения, а также способы учета в динамических моделях эконо мического роста разрабатывались такими учеными, как Г. Беккер (G. Becker), М. Блауг (M. Blaug), Э. Денисон (E.F. Denison), П. Кленоу (P.J. Klenow), Дж. Ли (J. Lee), Ф. Махлуп (F. Machlup), Н. Мэнкью (N.G. Mankiw), Дж. Минсер См. Медведев Д.А. Выступление на XII Петербургском международном экономическом форуме // Стенограм ма выступления Президента РФ Д.А. Медведева на XII Петербургском международном экономическом форуме (07.06.2008. г. Санкт - Петербург) // http://www.rost.ru/official/2008/06/070000_14284.shtml (J. Mincer), Г. Псачаропулос (G. Psacharopoulos), Д. Ромер (D. Romer), Т. Шульц (T.W. Schultz), Д. Вейл (D.N. Weil), Л. Восманн (L. Womann) и многие другие.

В отечественной научной литературе значимые результаты в данной об ласти представлены в работах С.А. Ашманова, В.А. Бессонова, В.З. Беленького, К.Ю. Борисова, С.Ю. Глазьева, О.О. Замкова, Г.Б. Клейнера, В.Л. Макарова, В.П. Максимова, В.Д. Матвеенко, А.А. Петрова, С.Л. Печерского, В.М. Полтеровича, И.Г. Поспелова, А.М. Рубинова, Ю.Н. Черемных, А.А. Шананина, Ю.А. Шараева и других. Проблемы человеческого капитала исследовались В.С. Автономовым, Р.И. Капелюшниковым, О.В. Киселевой, Г.Б. Клейнером, А.В. Корицким, В.Л. Макаровым, Д. Нестеровой, В. Новико вой, Р.Л. Нуреевым, В.В. Радаевым, И.В. Розмаинским, К.З. Сабирьяновой, А.А. Саградовым, И.В. Соболевой и другими.



Анализ периодической научной литературы указывает на неослабеваю щий и стабильный интерес специалистов к проблемам моделирования эконо мического роста. Сопоставление основных моделей экономического роста с эмпирическими данными свидетельствует о необходимости определенной кор рекции существующих и разработке новых моделей, которые позволят учесть ряд современных тенденций в экономическом развитии.

Область исследования соответствует требованиям паспорта специаль ностей ВАК 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: пункт 5 – комплексные исследования научных и техни ческих проблем с применением современной технологии математического мо делирования и вычислительного эксперимента.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование некоторых математических моделей теории экономического роста, описываю щих механизм воздействия уровня человеческого капитала на долгосрочные темпы роста душевого ВВП с учетом экстерналий в производственном и обра зовательном секторах.

В соответствии с обозначенной целью поставлены и решены следующие задачи диссертационного исследования:

• дать обобщение и уточнение понятия внешних эффектов (экстерна лий), определяемых средним по экономике уровнем человеческого капитала, применительно к рассматриваемому кругу моделей эндогенного экономическо го роста с учетом накопления человеческого капитала;

• провести анализ и классификацию существующих методов измерения (расчета) уровня человеческого капитала по степени их адекватности пробле мам теории экономического роста;

• разработать обобщенную модель экономического роста типа модели Узавы – Лукаса с учетом накопления человеческого капитала, включающую в себя экстерналии в производственном и образовательном секторах и эффект убывающей отдачи от масштаба в образовательном секторе;

• провести теоретическое и численное исследование качественных свойств и особенностей обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человеческого капитала, включая выявление условий существова ния траекторий сбалансированного роста (в смысле Р. Лукаса), определение об ластей параметров, при которых в системе проявляется эффект неопределенно сти (в смысле Дж. Бенхабиба);

• дать оценку уровня человеческого капитала в России и его вклада в производственную функцию РФ с целью определения степени его влияния на экономический рост;

• провести анализ и сопоставление возможностей и особенностей при кладных пакетов программ в контексте их применения для исследования про блем теории экономического роста.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Построение и исследование математической модели экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, обобщаю щей классическую модель Лукаса, учитывающую убывающий эффект масшта ба в производственной функции человеческого капитала;

наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования;

структурные особенно сти внешнего эффекта человеческого капитала: и в сфере образования, и в сфе ре производства экстерналии определяются «средним» трудовым вкладом эко номического агента в соответствующий вид деятельности (с учетом его эффек тивности)2;

«амортизацию» человеческого капитала.

2. Описание качественных особенностей траекторий сбалансированного роста для обобщенной модели;

определение условий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказательство (с помощью численно-аналитических методов) воз можности существования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории.

4. Систематизация и классификация основных показателей, характери зующих человеческий капитал;

выявление меры человеческого капитала, кото рая может использоваться для анализа механизмов его воздействия на эконо мический рост для отдельной национальной экономики.

5. Анализ современного состояния человеческого капитала Российской Федерации;

определение параметров производственной функции РФ с учетом человеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

Объектом исследования является экономический рост и источники его возрастания, роль процессов формирования и накопления человеческого капи тала, а также механизм его воздействия на темпы экономического роста.

Другими словами, рассматриваемые в работе внешние эффекты человеческого капитала являются характер ными для секторов (sector-specific externalities), и не сводятся к среднему уровню человеческого капитала на рынке труда Предметом исследования являются математические модели теории эко номического роста, описывающие механизм влияния сектора знаний на долго срочные темпы роста ВВП;

роль экстерналий, обусловленных формированием и накоплением человеческого капитала, в образовательном и производственном секторах;

количественные и качественные характеристики траекторий сбалан сированного роста в обобщенной модели экономического роста с учетом нако пления человеческого капитала.

Теоретической и методологической основой работы являются труды зарубежных и отечественных ученых в области экономической теории и теории экономического роста и развития, математического моделирования, статисти ческих методов исследования и информационных технологий, а также материа лы научных конференций, совещаний и семинаров по изучаемой проблематике.

Основными методами исследования являются методы экономико математического моделирования, теории оптимального управления (принцип максимума Л.С. Понтрягина), качественной теории обыкновенных дифферен циальных уравнений и нелинейной динамики, статистического и регрессионно го анализа, теории численных методов и алгоритмов. Для моделирования ис пользовались программные средства MatLab и Microsoft Excel.

Информационно-эмпирическую базу исследования составляют данные и нормативные документы Правительства РФ, Федеральной службы государст венной статистики РФ, материалы и отчеты ЮНЕСКО и ОЭСР, а также инфор мация, представленная в специализированных базах данных, размещенных в сети Internet на специализированных сайтах, материалы, приведенные в ряде монографий и публикаций отечественных и зарубежных ученых, в периодиче ской печати, в специализированных подборках материалов, публикуемых в ря де научных журналов и другие источники информации.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов ба зируется на математической и экономической корректности постановки решае мых задач, применении обоснованных математических методов исследования и комплексного подхода к изучаемой проблеме. Она подтверждается сопоставле нием результатов с исследованиями отечественных и зарубежных авторов в данной области, а также эмпирическими данными по динамике экономического роста.

Научная новизна исследования состоит в разработке и исследовании новой эндогенной математической модели экономического роста с учетом про цесса накопления человеческого капитала, установлении ряда качественных особенностей оптимальных сбалансированных траекторий, определении усло вий возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба), дока зательстве с помощью численно-аналитических методов возможности сущест вования устойчивых периодических движений в окрестности сбалансированной траектории, установлении некоторых результатов о возможных сценариях эво люции в окрестности сбалансированных траекторий развитых экономических систем и экономических систем переходного типа, сравнительном анализе раз личных мер оценки человеческого капитала, выявлении наиболее адекватных его характеристик для моделирования экономического роста, а также построе нии производственной функции РФ с учетом человеческого капитала.

Теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Теоретическое значение диссертации заключается в построении и иссле довании новой математической модели экономического роста с учетом накоп ления человеческого капитала как фактора роста, учитывающей наличие в про изводственном и образовательном секторах экстерналий, определяемых сред ним по экономике уровнем человеческого капитала, а также эффект убываю щей отдачи от масштаба в образовательном секторе.

Практическая значимость исследования состоит в том, что предложен ная модель и полученные для нее результаты могут быть применены для анали за влияния накопления человеческого капитала на темпы долгосрочного эконо мического роста развитых стран и стран с переходной экономикой.

Ряд положений, разработанных в диссертационном исследовании, ис пользуются в учебном процессе механико-математического факультета Ниже городского государственного университета при изучении ряда учебных дисци плин и спецкурсов и могут быть применены в учебном процессе в других ВУЗах в рамках экономико-математических специальностей и направлений подготовки.

Апробация результатов исследования. Основные положения и резуль таты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научно практической конференции «Государственное регулирование экономики. Ре гиональный аспект» (Нижегородский государственный университет, 2005, 2007, 2009 гг.);

международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносовские чтения» (Московский государственный уни верситет, 2006-2008 гг.);

конференции «Технологии Microsoft в теории и прак тике программирования» (Нижегородский государственный университет, 2007 г.);

итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Нижегородский госу дарственный университет, 2007 г.);

молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казанский государственный университет, 2008, 2009 гг.);

международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Воронежский государственный универ ситет, 2008 г.);

региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития и пути их решения» (Дзер жинск, 2010 г.);

конференции «Современные подходы к исследованию и моде лированию в экономике, финансах и бизнесе» (Европейский Университет в Санкт-Петербурге, 2010 г.);

Нижегородской сессии молодых ученых (Матема тические науки) (2008-2010 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационной работы изложены в 22 научных публикациях общим объемом 8,7 печатных листа, в том числе 6 ра боты объемом 4,1 п.л. в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Работы [1-14] написаны совместно с научным руководителем (вклад авторов равноценен), а работы [15-22] выполнены авто ром самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Объем основной части диссертационной работы составляет 148 страниц машинопис ного текста, в том числе 35 иллюстраций, 16 таблиц и 175 формул;





библиогра фический список включает 207 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика научного направления и ана лиз состояния проблемы, обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и основные задачи исследования, положения, вы носимые на защиту, а также дается краткий обзор содержания глав.

Первая глава посвящена обзору основных этапов развития теории эконо мического роста;

рассмотрению понятия человеческого капитала и основных его характеристик, а также возможностей учета человеческого капитала в мо делях экономического роста;

исследованию возможностей информационных технологий для численного исследования таких математических моделей и описанию особенностей математического аппарата теории оптимального управления для их изучения.

Обеспечение устойчивого экономического роста представляет собой одну из важнейших задач реальной экономической политики и экономической тео рии. Под экономическим ростом обычно понимается долгосрочная тенденция (тренд) развития ряда важнейших экономических показателей, таких, как ре альный выпуск (валовой внутренний продукт, ВВП) и реальный выпуск на душу населения (душевой ВВП). И хотя эти показатели не являются «измерителями» благосостояния, они весьма часто используются для сравнения уровня эконо мического развития и, косвенно, уровня жизни, в различных странах.

Хотя мировая экономика в целом показывает стабильные темпы роста, экономический рост сильно варьируется в различных регионах мира. В качест ве существенных факторов экономического роста отмечаются научно технический прогресс и образование, которые снижают зависимость производ ства от естественных ресурсов. Причем роль уровня квалификации рабочей си лы (то есть – в более широком плане – уровня подготовки или образования) от мечалась ещё классиками экономической теории, начиная с А. Смита3. По су Spengler J.J. Adam Smith on Human Capital // American Economic Review. – 1977. – Vol. 67. – No. 1. – pp. 32-36.

ществу уже тогда речь шла о том, что наряду с физическим капиталом важней шим фактором производства является человеческий капитал, то есть благопри обретенные и полезные качества и способности жителей страны.

В явном виде понятие человеческого капитала было введено в экономи ческую науку в 60-х годах XX столетия в работах Дж. Минцера, Г. Беккера и Т. Шульца. Обзор и анализ историко-методологических аспектов возникнове ния и развития этого понятия представлен в целом ряде статей4.

Следует отметить, что к настоящему времени само понятие «капитал» претерпело весьма серьезное переосмысление и заметную трансформацию, так что его трактовки, предлагаемые представителями различных научных направ лений, отличаются достаточно сильно. Тем не менее, с определенными оговор ками это понятие может быть охарактеризовано следующим образом5. Капитал – это результат социальной оценки ограниченного, допускающего накопление, ликвидного, воспроизводимого и способного приносить новую (добавочную) стоимость хозяйственного ресурса, который включен в процессы воспроизвод ства и возрастания стоимости путем взаимной конвертации своих разнооб разных форм. Чрезвычайно важным является тот факт, что капитал может при нимать не только овеществленные формы, но также и воплощаться в отдельных людях и в отношениях между людьми. Можно указать некоторые основные формы капитала, которые адекватны тем или иным подходам к изучению хо зяйственной деятельности. В их числе, в первую очередь, следует отметить ис ходную форму капитала – экономический капитал, который в своем вещном состоянии включает в себя денежный капитал (финансовые средства), произ водственный капитал (средства производства) и товарный капитал (готовые продукты). На раннем этапе развития теории экономического роста традицион но рассматривались лишь такие формы капитала, как физический капитал (physical capital;

машины, оборудование, здания, сооружения) и трудовые ре сурсы (фактически – численность вовлеченных в производство работников).

Как уже отмечалось выше, одной из важнейших форм капитала является человеческий капитал. Он представляет собой совокупность накопленных про фессиональных знаний, умений и навыков, получаемых в процессе образования и повышения квалификации, которые впоследствии могут приносить доход – в виде заработной платы, процента или прибыли. С известными оговорками че ловеческий капитал может быть охарактеризован как оценка воплощенной в индивидууме способности приносить доход.

Основная проблема в концепции человеческого капитала связана с выбо ром его адекватной меры. Сложность состоит в том, что «индивидуальный че ловеческий капитал» (характеризующий каждого человека в отдельности) на самом деле описывается множеством весьма разнообразных параметров. В принципе, эти параметры должны быть некоторым образом «агрегированы» в См., например, Соболева И.В. Парадоксы измерения человеческого капитала. Научный доклад. – М.: Институт экономики РАН, 2009. – 50 с.

Радаев В.В. Понятие капитала, формы капиталов и их конвертация // Экономическая социология (электрон ный журнал). – 2002. – Т. 3. – № 4. – С. 20-32. – [Режим доступа: www.ecsoc.msses.ru, свободный] некоторую величину, представляющую интерес с макроэкономической точки зрения – например, в рамках теории экономического роста часто предполагает ся, что эта величина является аддитивной, так что человеческий капитал систе мы равен сумме «индивидуальных человеческих капиталов». Для построения адекватных показателей необходимо проводить эконометрический анализ об ширных (и зачастую труднодоступных) статистических данных. Кроме того, одноименные параметры в разных странах могут рассчитываться по-разному.

В литературе предлагаются следующие показатели, характеризующие уровень человеческого капитала: уровень грамотности взрослого населения;

процент учащихся;

уровень образования и средний срок обучения;

размер зара ботной платы в зависимости от образования;

текущая стоимость ожидаемого пожизненного дохода;

коэффициент Джини;

оценка Минцера и норма доходно сти обучения;

индекс агрегированного человеческого капитала;

показатели, связывающие человеческий капитал с научно-исследовательской деятельно стью и инновациями;

показатели, характеризующие экономику знаний и т.д.

Все они действительно характеризуют различные аспекты человеческого капитала, но при их использовании для сравнения разных стран могут давать прямо противоположные результаты. Кроме того большая часть этих показате лей не может использоваться для анализа экономической динамики одной от дельно взятой страны, так как большинство из них либо остаются достаточно стабильными на значительных промежутках времени, либо их расчет (напри мер, ежегодный) вызывает затруднения или большие материальные затраты.

В 60-е годы ХХ столетия Ф. Махлупом6 был введен в научный оборот термин «экономика знаний» для определения типа экономики, в которой знания играют решающую роль, а производство знаний является источником роста (близкие и весьма широко применяемые понятия – «инновационная экономи ка», «общество знаний», «информационное общество» и т.д.). Считается, что экономика знаний существенно отличается от экономики индустриального ти па, когда накопление богатства было связано с материальными активами – на против, в экономике, основанной на знаниях, особое внимание должно уделять ся накоплению человеческого капитала, а также созданию такой инфраструкту ры, которая позволила бы эффективнее использовать накопленные опыт и зна ния в производстве и потреблении7.

Впервые человеческий капитал был включен в неоклассическую модель экономического роста в знаменитой (и теперь уже ставшей классической) рабо те Р. Лукаса8. В его модели экономического роста человеческий капитал играет приблизительно ту же роль, что и научно - технологический прогресс. Это за Machlup F. The Production and Distribution of Knowledge in the United States. – Princeton, NJ: Princeton University Press, 1962. Русский перевод: Махлуп Ф. Производство и распространение знаний в США. – М.: Издательство «Прогресс», 1966. – 462 с.

Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. д-р. экон. наук, проф. В.П. Колесов. – М.: ИНФРА М, 2008. – 432 с.

Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. – 1988. – Vol. 22. – No. 1. – pp. 3-42.

метно сближает модель Лукаса с известной моделью Узавы9, однако у данных моделей существуют и принципиальные отличия. Р. Лукас впервые ввел в рас смотрение концепцию своеобразного «дуализма» человеческого капитала. Су щественной чертой его модели является явное выделение двух путей (каналов) влияния человеческого капитала на экономический рост. Эти два типа воздей ствия могут быть обозначены как внутренние (описывающие непосредственное повышение эффективности производства, связанное с ростом квалификации работников) и внешние эффекты (экстерналии). Внешние эффекты человече ского капитала характеризуются некоторым средним значением человеческого капитала в экономической системе в целом.

Эта концепция, а также некоторый механизм взаимодействия процессов накопления физического и человеческого капиталов, были положены в основу построенной Р. Лукасом эндогенной математической модели экономического роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала. Механизм накоп ления человеческого капитал предполагает обучение с «отрывом от производ ства» (в отличие от известной модели Эрроу «learning-by-doing»). Это обучение происходит в рамках своеобразного «образовательного сектора экономики» – именно там работники осуществляют накопление и развитие своего человече ского капитала. Модель Лукаса позволила, в частности, объяснить ряд эмпири ческих фактов, касающихся различий в темпах экономического роста. Даль нейшее развитие данного направления исследований привело как к детальному изучению, так и к ряду уточнений и обобщений модели Лукаса.

Для изучения и моделирования динамики экономического роста могут применяться математические программы, пакеты имитационного моделирова ния, а также статистические и эконометрические программы, в зависимости от желаемых результатов и применяемых математических методов. Для реализа ции вычислительных экспериментов с обобщенной модель экономического роста в рамках данного диссертационного исследования применялся программ ный пакет MatLab.

Во Второй главе работы описывается обобщенная модель экономическо го роста с учетом накопления человеческого капитала. Классическая модель экономического роста Лукаса подвергается критике за то, что она не отражает эффект убывающей отдачи от масштаба и, из-за линейности уравнения описы вающего образовательный сектор, завышает темпы роста, по сравнению с теми, которые наблюдаются в реальной экономике. Это можно объяснить тем, что при достаточно высоком уровне человеческого капитала создание дополни тельного человеческого капитала становится все более сложной и дорогостоя щей процедурой, поэтому темп накопления замедляется.

В работе предложена и исследована двухсекторная модель экономическо го роста, обобщающая ряд подобных моделей, включая классическую модель Лукаса, и учитывающая эффект убывающей отдачи от масштаба, а также нали чие экстерналий не только в производственном, но и в образовательном секто Uzawa H. Optimal technical change in an aggregate model of economic growth // International Economic Review. – 1965. – Vol. 6. – No. 1. – pp. 18-31.

ре. Кроме того скорость накопления человеческого капитала определяется не только уже достигнутым уровнем h(t ), но зависит также от доли времени [1 u (t )], которую экономический агент посвящает своему образованию, а так же от величины «средних» значений человеческого капитала на рынке труда ha (t ) и доли [1 u a (t )] времени, отводимого образованию. Естественно предпо ложить также, что, в принципе, экономический агент заинтересован в том, что бы тратить на каждый из видов деятельности (производственную и образова тельную) такую же часть своего активного времени, как и в среднем по рынку.

Другими словами, можно считать, что в сфере производства экстерналии опре деляются величиной ua (t )ha (t ) – «средним» трудовым вкладом экономического агента в производство (с учетом его эффективности).

Поэтому уравнение динамики объема физического капитала имеет вид:

dK (t ) = A(t ) K (t ) [u (t )h(t ) N (t )] [u a (t )ha (t )] µ K K (t ) c(t ) N (t ), 1 (1) dt где A(t ) – функция, описывающая экзогенный технологический прогресс ( A(t ) = A0et, темп технологического прогресса постоянен = const ), K (t ) – физический капитал, N (t ) – численность рабочей силы ( N (t ) = N 0e nt, n = const ), u (t )h(t ) N (t ) – эффективная рабочая сила («внутренний эффект» ЧК), с(t ) – удельное потребление, – доля физического капитала, – положитель ный параметр, µ K – норма амортизации физического капитала.

Уравнение динамики накопления человеческого капитала записывается следующим образом:

dh(t ) = [1 u (t )] [1 ua (t )] h(t ) q ha (t ) r µ h h(t ), p s (2) dt где – положительный технологический параметр, p, s, q и r – неотрицатель ные параметры (эластичности производственной функции человеческого капи тала типа Кобба-Дугласа по соответствующим переменным), причем p + s = 1, q + r = 1, а µ h – норма амортизации человеческого капитала. Заметим, что уравнение (2) отражает тот факт, что на «микроуровне» репрезентативный эко номический агент рассматривает функции ua (t ) и ha (t ) как заданные (экзоген ные), так что производственная функция человеческого капитала в правой час ти уравнения (2) отражает наличие на «микроуровне» эффекта убывающей от дачи от масштаба и отсутствие такого эффекта – на «макроуровне».

Система уравнений (1), (2) дополняется начальными условиями вида K (t ) t = +0 = K 0 0, h(t ) t = +0 = h0 0.

Предполагается, что репрезентативный экономический агент выбирает свои уровень потребления c(t ) R + [0, ) и долю u (t ) [0,1] своего активного времени, посвященного трудовой деятельности таким образом, чтобы максими зировать величину полной дисконтированной полезности:

J = J [c, u ] e t N (t )U [c(t )]dt max. (3) Здесь функция U [c] – «мгновенная» полезность экономического агента при уровне его потребления c. Обычно рассматривается функция полезности с постоянной несклонностью к риску:

c U [c] = 1, R + + \ {1};

, R + + (0, ). (4) ln c, = 1;

Оптимизационная задача, связанная с моделью (1) – (3) экономического роста с учетом накопления человеческого капитала состоит в выборе таких управляющих параметров c(t ) R + [0, ) и u (t ) [0,1], которые бы максими зировали функционал (3) на допустимых траекториях {K (t ), h(t )}, t [0, ) ди намической системы (1), (2) при соблюдении условий h(t ) = ha (t ), u (t ) = ua (t ), t [0, ). (5) Существуют, по крайней мере, две различные экономические трактовки условий (5), которые приводят к различным типам оптимальных траекторий.

I. «Задача социального планировщика» (social planner). Существует неко торый гипотетический «социальный планировщик», выбирающий с точки зре ния всего общества в целом оптимальный путь (траекторию) экономической системы, «изначально» располагающий исчерпывающей информацией о ее раз витии, и способный воздействовать на все ее составные части. Поэтому можно считать, что условия (5) имеют место «изначально».

II. «Задача о конкурентном равновесии» (competitive equilibrium). Рас сматривается ситуация, когда отдельные фирмы и домохозяйства не обладают исчерпывающей информацией об экономическом развитии системы, но ожи дают, что накопление человеческого капитала и доля u (t ) [0,1] активного вре мени, посвященного трудовой деятельности, будут следовать известным в каж дый момент функциям ha (t ) и u a (t ), t [0, ), которые являются (с их точки зрения) экзогенно заданными и на которые каждый агент воздействовать не может. В этих условиях экономические агенты решают оптимизационную про блему выбора режима потребления. Экономическая ситуация будет находиться в равновесии, если ожидаемое и реальное поведение совпадут, т.е. если в итоге окажется, что имеют место равенства (5).

Дальнейший анализ поставленной оптимизационной задачи основан на принципе максимума Понтрягина. Подробная схема анализа такого рода задач приведена в (Кузнецов, 2008)10. Для каждой из экономических трактовок пред ложенной модели выписывается функция Гамильтона-Понтрягина, осуществ ляется переход к сопряженной системе, выписываются необходимые условия экстремума и условия трансверсальности, после чего можно записать общую Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008. – 449 с.

оптимизационную задачу. Основная цель исследования состоит в выявлении и анализе траекторий сбалансированного роста. Их изучение представляет наи больший интерес с экономической точки зрения. Траектория сбалансированно го роста (balanced growth path, BGP) – это такая траектория системы (1)-(4) {k (t ), h(t ), c(t ), u (t )}, для которой темпы роста переменных k, h и c являются постоянным, а u – постоянная величина.

Для доказательства существования траекторий сбалансированного роста в обобщенной системе выполняется переход от сопряженных переменных { K (t ), H (t )} к переменным {c(t ), p(t )}, где с(t ) – удельное потребление, а p (t ) = H (t ) K (t ) – относительная «теневая цена» человеческого капитала, вы раженная в единицах цены физического капитала. Далее осуществляется пере ход от дифференциального уравнения для относительной теневой цены p (t ) к дифференциальному уравнению для функции u (t ). При этом выполняется так же традиционный для неоклассических моделей переход к удельной (на душу населения) величине k (t ) = K (t ) N (t ). Полученная система дифференциальных уравнений позволяет не только установить существование траекторий сбалан сированного роста, но и изучить вопросы их устойчивости:

dk (t ) = A(t )k (t ) h(t )1 + u (t )1 + ( µ K + n)k (t ) c(t ), (6) dt dh(t ) = [1 u (t )]h(t ) µ h h(t ), (7) dt [ ] dс(t ) = с(t ) A(t )k (t ) 1 h(t )1 + u (t )1 + ( + µ K ), (8) dt c(t ) du (t ) u (t ) P + Q[1 u (t )] =, (9) k (t ) dt причем условия трансверсальности принимают вид:

lim e [ n ]t с(t ) k (t ) = 0, lim e [ ( + n )]t k (t ) c(t ) u (t ) + h(t )1+ = 0, (10) t t где P = + (1 )(n + µ K ) + 3 µ h (1 + ), Q = 4 ( ) ( );

при 3 = p, 4 = q p получается задача о конкурентном равновесии, а при 3 = 1, 4 = 0 – задача социального планировщика Предложение 1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (6) – (9) обладает первым интегралом c(t ) k (t ) h(t ) Q u (t )( ) e t = const, (11) где = + n + 3 µ h (1 4 ) и.

Предложение 2. Пусть =. Тогда система обыкновенных дифферен циальных уравнений (6) – (9) наряду с первым интегралом (11) обладает ещё одним первым интегралом вида c(t0 ) c (t ), [( n ) + µ K (1 )] 1, =. (12) = k (t ) c(t0 ) + [k (t0 ) c(t0 )]e (t t 0 ) В работе получены выражения для темпов роста переменных на траекто риях системы в явном виде через параметры системы:

(1 4 ) + (1 + )[n + 3 µ h (1 4 )] k = (1 + ) (1 ) = (1 ) + (1 )[n + 3 µ h (1 4 )] (13) h (1 + ) (1 ) c = k u = Сопоставление полученных выражений для темпов роста с результатами для модели Лукаса показывает, что темп роста человеческого капитала в пред ложенной модели ниже. Этот результат в большей степени соответствует эмпи рическим данным.

Для понижения размерности системы (6)-(9) вводятся инструментальные 1 + 1 переменные: q (t ) = c(t ) k (t ), x(t ) = k (t ) A(t ) h(t ). На траекториях сбалан сированного роста они являются постоянными. В результате преобразований получается следующая система уравнений:

dx(t ) = x(t ) u (t )1 + + [1 u (t )]x(t ) q (t ) x(t ) Mx(t ), (14) dt dq (t ) = x(t ) 1 u (t )1 + q (t ) + [q (t )] q(t ), (15) dt du (t ) u (t ){P + Q[1 u (t )] q (t )}, = (16) dt [ ] dс(t ) = с(t ) x(t ) 1 u (t )1 + ( + µ K ), (17) dt (1 + ) 1 + где = + n + µ K µh, = n µ K 1,, M= (1 ) 1 1 = 1, ( ).

Система уравнений (14) – (17) обладает специфической структурой – уравнения (14) – (16) образуют замкнутую подсистему. Поэтому целесообразно исследовать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (14) – (16). Данная система обладает ненулевым состоянием равновесия. Обозначим его:

X e = col ( xe, qe, u e ), xe 0, qe 0, u e [0;

1] (18) Для изучения системы (14)-(16) в окрестности состояния равновесия (18) стандартным подходом является линеаризация системы в точке X e и дальней шее изучение линеаризованной системы:

d (t ) = (t ) (19) dt где X X e, = col ( x, q, u ), а матрица представляется следующим об разом:

x ( 1)u1 + xe (1 + )u1 + xe 1 e xe xe u e e e q q = ( 1)u1 + xe 1 e (1 + )u1 + xe 1 e (20) qe x u e e e e Q ue ue Характеристический полином матрицы имеет вид:

( ) det(I ) = 3 + c12 + c2 + c3, (21) где, как известно, коэффициенты c1 = Sp ( Sp – след матрицы ), c3 = det, а с2 представляет собой сумму всех главных миноров второго по рядка матрицы (20). В работе получено явные выражения коэффициентов c1, c2, c3 через параметры системы. В принципе, явный вид коэффициентов по линома (21) позволяет получить важную информацию о структуре фазового пространства системы (14) – (16) в окрестности состояния равновесия X e (в за висимости от набора параметров ). Например, в соответствии с классической теоремой Рауса – Гурвица количество k ku корней полинома (21) в правой полуплоскости C+ = { C : Re 0} комплексной плоскости C совпадает с числом перемен знаков в наборе { 0, 1, 2, 3 }, где 0 1, 1 1 = с1, 2 2 1, 3 3 2, 1 = с1, 2 = с1с2 с3, 3 = с3 (с1с2 с3 ), причем, если определители Гурвица k ( k = 1 3 ) отличны от нуля (что и предполагается), то полином (21) не имеет чисто мнимых характеристических чисел, так что в левой полуплоскости C = { C : Re 0} будет располагаться ks = 3 ku кор ней этого полинома.

В работе введены в рассмотрение подмножества ( k ) ( D) BGP ( D ), k = 0 3. По определению, параметр ( k ) ( D), если все определители Гур вица l ( l = 1 3 ) отличны от нуля, а в правой полуплоскости C+ находится ровно k ku корней характеристического полинома матрицы (так что в ле k s = 3 ku вой полуплоскости лежит корней). Ясно, что C ( m ) ( D) I ( n) ( D) =, m n.

Положим, далее, ( D) BGP ( D) \ U3 = 0 ( k ) ( D) (так что, по определению, k ( ) справедливо равенство BGP ( D ) = ( D ) U U3 = 0 ( k ) ( D) ). Если (D), то k среди корней характеристического полинома матрицы имеются чисто мни мые или нулевые корни.

В соответствии с классическими результатами качественной теории диф ференциальных уравнений могут представиться следующие возможности.

Случай ( 0) ( D ). Все корни находятся в левой полуплоскости C плоско сти C. Состояние равновесия R 3 устойчиво. Для любых начальных условий (t ) t = +0 = 0 из окрестности 0 U ( R 3 ) имеем (t, 0 ) R 3, t, (t, 0 ) U ( R 3 ), t 0. Этот факт не позволяет однозначно определить на чальные условия для функций c(t ) и u (t ) в задачах (1) – (3), (14) – (17). Други ми словами, не представляется возможным выделение единственной траекто рии, сходящейся к BGP. Следовательно, имеет место ситуация неопределенно сти (в смысле Дж. Бенхабиба).

Случай (1) ( D). В правой полуплоскости C+ плоскости C находится 1 корень. Состояние равновесия неустойчиво и является или седлом, или седло фокусом. Все траектории, полностью лежащие в двумерном локально устойчи вом многообразии приближаются при t + к состоянию равновесия, а все траектории, лежащие в одномерном неустойчивом многообразии, наоборот, при t + удаляются от состояния равновесия. Задание начального условия (t ) t = +0 = 0 не позволяет однозначно определить начальные условия для функ ций c(t ) и u (t ). Как и в предыдущем случае, имеет место ситуация неопреде ленности.

Случай ( 2) ( D). В правой полуплоскости C+ находится 2 корня. Состоя ние равновесия системы (14)-(16) неустойчиво и является либо седлом, либо седло-фокусом с одномерным локально устойчивым многообразием и двумер ным неустойчивым многообразием. Задание начального условия (t ) t = +0 = 0 (в достаточно малой окрестности точки R 3 ), вообще говоря, позволяет однознач но определить начальные условия для функций c(t ) и u (t ), а значит, выделить единственную траекторию, сходящуюся к BGP. Следовательно, при ( 2) ( D ) реализуется ситуация (локальной) определенности.

Случай (3) ( D ). В правой полуплоскости C+ находится 3 корня. Состоя ние равновесия неустойчиво и является или неустойчивым узлом, или неустой чивым фокусом. Все траектории при t + удаляются от состояния равнове сия и ни одна траектория системы не сходится к BGP. Следовательно, и в этом случае имеет место ситуация неопределенности.

Таким образом, наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели вытекает из справедливости соотношения:

( 0 ) ( D) U (1) ( D) U (3) ( D ).

В связи с этим заметим следующее. Системы неравенств, задающие как само множество BGP (D), так и его подмножества ( k ) ( D) ( k = 0 3 ), носят весьма громоздкий характер и не позволяют получить простые аналитические представления для их границ. Поэтому использование таких представлений ма лоэффективно;

гораздо более информативным и наглядным оказывается под ход, основанный на использовании возможностей компьютерных систем.

В Третьей главе работы выполнено численно-аналитическое исследова ние обобщенной модели экономического роста с учетом накопления человече ского капитала. Предлагаемая модель может использоваться для исследования экономической динамики в первую очередь развитых стран, так как человече ский капитал именно таких стран обладает эффектом убывающей отдачи от масштаба. Поэтому целесообразным представляется изучение динамики систе мы для набора параметров, равных или близких к реальным значениям разви тых стран (типа Германии или США).

= col{,,,,, n, µ K, µ h } R + (0,1) R + + R R 2 + R + Следует отметить, что проблема определения реальных значений пара метров для тех или иных моделей экономического роста остается одной из наи более актуальных проблем. Большая часть работ в данной области содержит либо исключительно иллюстративные примеры, основанные на интуитивных оценках коэффициентов, либо оценку того или иного вида регрессий, которые позволяют определить степень влияния разного рода факторов на экономиче ский рост, но не дают оценки параметров для моделей типа Лукаса. Однако су ществует работы, в которых предприняты попытки оценивания коэффициентов для моделей экономического роста с учетом человеческого капитала11, поэтому их результаты, с учетом ряда замечаний, могут быть использованы для числен ного моделирования:

DC col{0.0105, 0.44, 0.05, 0.024, 0.403, 0.013, 0.04, 0.04} Остальные параметры – вектор = col{, p, q} R + [0,1]2 R 3 ха рактеризует экстерналии в производственном секторе и эффект отдачи от мас штаба в образовательном секторе. В работе выполнен качественный анализ ди намических особенностей системы (14)-(16) в зависимости от выбора вектора (используемая ниже терминология является общепринятой12).

С помощью системы компьютерной математики MatLab были написаны программы, которые позволяют строить фазовый портреты системы (14)-(16) в окрестности состояния равновесия, вычислять линеаризованную матрицу и собственные значения системы, определять тип состояния равновесия, исследо вать структуру множества BGP ( DCE ;

DC ) в зависимости от вектора.

Приведем здесь лишь некоторые результаты вычислительных экспери ментов. Ограничимся случаем конкурентной экономической системы ( D = DCE col (q,0, p ) ). Непосредственный численный анализ корней полинома Gong G., Greiner A., Semmler W. The Uzawa-Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Structural change and economic dynamics. – 2004. – Vol. 15. – No. 4. – pp. 401–420.

Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динами ке. – Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 428 с.

(21) показывает, что множества ( k ) ( DCE ;

DC ), k = 0 3, не пусты и «достаточ но представительны» по набору элементов при всех k = 0 3 (в том смысле, что эти множества из пространства R 3 имеют положительный объем).

1. Эффект неопределенности.

На рис. 1 приведен общий вид фрагмента множества BGP ( DCE ;

DC ) и его подмножеств ( k ) ( DCE ;

DC ) в пространстве R 3. Следует отметить, что в данной задаче реализуются практически все возможные варианты типа состоя ния равновесия.

Рис.2. Сечение фрагмента множества Рис.1. Фрагмент множества BGP ( DCE ;

DC ) BGP ( DCE ;

DC ) плоскостью = = 0. и характер расположения множеств и характер расположения множеств ( k ) ( DCE ;

DC ) R 3 ( k = 0 3 ) ( k ) ( DCE ;

DC ;

) R 2 ( k = 0 3 ) На рис. 2 представлен общий вид фрагмента сечения множества BGP ( DCE ;

DC ) плоскостью = для значения = 0.4 (В работе Р. Лукаса используется значение = 0.417 ). Из рис. 1 и 2 непосредственно вытекает на личие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели конкурентной экономики в силу соотношения U k = 0,1,3 ( k ) ( DCE ;

DC ).

Рис.3. Вектор параметров Рис.4. Вектор параметров = (0.403,0.840,0.790) ( 0) ( DCE ;

DC ). = (0.400,1.000,0.700) ( 2 ) ( DCE ;

DC ).

Устойчивый узел Седло-фокус На рис. 3 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа устойчивый узел, что соответствует си туации локальной неопределенности в фазовом пространстве системы.

2. Ситуация (локальной) определенности.

Как уже отмечалось выше, эта ситуация возникает в случае принадлежно сти параметров системы множеству ( 2) ( DCE ;

DC ). На рис. 4 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равнове сия типа седло-фокус, что соответствует ситуации локальной определенности в фазовом пространстве системы.

В рассматриваемой задаче в расположении множеств ( 2) ( DCE ;

DC ) и (0 ) ( DCE ;

DC ) имеется важная особенность – они имеют общую границу (0, 2 ) ( DCE ;

DC ). ( 2) ( DCE ;

DC ;

) Соответственно, и множества и (0 ) ( DCE ;

DC ;

) имеют общую границу = ( 0, 2) ( DCE ;

DC ;

).

На рис. 5 вид множеств ( 2) ( DCE ;

DC ;

), (0 ) ( DCE ;

DC ;

) и кривой показан более детально. Ясно, что на кривой для корней характеристическо го уравнения справедливы соотношения Re 1 0, Re 2,3 = 0, так что при переходе «изображающей точки» из области (0 ) ( DCE ;

DC ;

) в область ( 2) ( DCE ;

DC ;

) возможен ряд бифуркаций.

Опишем сценарии некоторых из таких бифуркаций. Прежде всего, если точка ( p, q ) такова, что Im 2,3 0, а первая ляпуновская величина l отлична от нуля, то при переходе «изображающей точки» из области (0 ) ( DCE ;

DC ;

) в область ( 2) ( DCE ;

DC ;

) через точку ( p, q ) происходит (субкритическая (subcritical) или «перевернутая» (inverted) при l1 0 и супер критическая (supercritical) или «прямая» (direct) при l1 0 ) бифуркация Андро нова – Хопфа. Подобный переход может происходить и при условии l1 = 0 (би фуркация Баутина). Наконец, такой переход может реализоваться и путем пере хода через мнимую ось двойного нулевого корня (бифуркация Богданова – Та кенса).

Приведем здесь лишь один из результатов, показывающих, что динамика рассматриваемой системы может быть весьма сложной. Он касается перехода из области (0 ) ( DCE ;

DC ;

) в область ( 2) ( DCE ;

DC ;

) через кривую по отрезку вертикальной прямой вида p = p.

Рассмотрим случай p = 0.9 (убывающий эффект отдачи от масштаба по «сроку обучения»). Проследим за изменениями структуры фазового простран ства в окрестности стационарного решения X e = X e (q ) в зависимости от вели чины q, характеризующей эффект отдачи от масштаба по уровню человеческо го капитала в образовательном секторе.

Рис.5. Вид множеств Рис.6. Вид бифуркационной диаграммы ( DCE ;

DC ;

), ( 0) ( DCE ;

DC ;

) и (2) Численные расчеты (в теоретическом и практическом плане близкие к методологии работы (Dhooge A., et al. 2006)13) показывают, что при значении q = qH ( qH 0.789 309 054 ) в системе происходит субкритическая бифуркация Андронова – Хопфа (SH).

При значениях параметра q = q ( 0 ) и q = q ( 2 ) ( q ( 0 ) 0.789 313 750, ( 0) 0.000 011 487 ;

q ( 2) 0.789 297 625, ( 2) 0.000 027 651 ) в системе на блюдаются («прямая» и «перевернутая») бифуркации предельных циклов типа складки (fold bifurcation of limit cycles, или Limit Point of Cycles (LPC)).

Таким образом, в окрестности стационарного решения X e = X e (q ) при q (qH, q ( 0) ) в системе сосуществуют три предельных цикла (два из которых – неустойчивые), при q (q ( 2 ), qH ) – два предельных цикла (устойчивый и неус тойчивый), а при q q ( 0) – один неустойчивый предельный цикл. При q q ( 2) состояние равновесия неустойчиво.

Ясно, что при q (qH, q ( 0) ) область устойчивости стационарного решения определяется «внутренним» неустойчивым предельным циклом, «влипающим» в состояние равновесия при q = qH, а при q q ( 0) – единственным («внешним») неустойчивым предельным циклом. Заметим также, что в отличие от (субкри тической) бифуркации Андронова – Хопфа, носящей локальный характер, би фуркации предельных циклов типа складки являются «глобальными».

Описанный переход может быть наглядно представлен на соответствую щих бифуркационных диаграммах. На рис. 6 изображена диаграмма, которая Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Yu.A., Mestrom W., Riet A.M., Sautois B., MATCONT and CL MATCONT:

Continuation toolboxes in MatLab. User’s Guide. – Utrecht University (Netherlands) – Gent University (Belgium).

2006. – 100 pp.

показывает зависимость от параметра q стационарного решения X e = X e (q ) (отвечающего BGP) и амплитуд предельных циклов, возникающих в его окре стности. Точнее говоря, на рисунке представлена проекция на ось Ox стацио нарного решения и предельных циклов (подобное представление адекватным образом передает картину перехода, поскольку в данной задаче предельные циклы однозначно проецируются на координатные плоскости). На диаграмме устойчивые объекты показаны сплошной линией, неустойчивые – штрих пунктиром.

Таким образом, из результатов численных экспериментов следует суще ствование устойчивого предельного цикла в окрестности неустойчивого в смысле А.М. Ляпунова стационарного решения X e = X e (q ), отвечающего сба лансированной траектории роста (BGP). Более того, при «квазистационарном» изменении параметров системы, при которых реализуется переход изображаю щей точки (в пространстве параметров) рассмотренного типа, устойчивое (при q qH ) стационарное состояние X e = X e (q ) «теряет» устойчивость (при q q H ) и в его окрестности возникают колебания конечной амплитуды (возрас тающей с уменьшением q ). Это – «жесткий» режим возникновения колебаний.

На рис. 7 и 8 в качестве примера приведен вид некоторых траекторий X e = X e (q*) при системы в окрестности стационарного решения q* = 0.789 313 500 (q H, q ( 0) ). Они дают достаточно наглядное представление о структуре фазового пространства системы в случае сосуществования трех пре дельных циклов.

Рис.8. Вид траекторий системы в окрестно Рис.7. Вид траекторий системы в окрестно сти X e = X e (q ) при q = 0.789 313 500. сти X e = X e (q ) при q = 0.789 313 500. Пове Поведение траекторий в окрестности устой- дение траекторий в окрестности неустойчи чивого предельного цикла вого «внешнего» предельного цикла, внутри которого располагается устойчивый пре дельный цикл.

В рамках теории экономического роста сбалансированные траектории роста (BGP) выступают в качестве своеобразных «магистралей развития эконо мики», представляющих «равновесную» эволюцию экономической системы. В абсолютном большинстве случаев они оказываются неустойчивыми. Поэтому тот факт, что в случае убывающего эффекта отдачи от масштаба, как по «сроку обучения», так и по уровню человеческого капитала в образовательном секторе, в окрестности неустойчивой BGP-траектории могут существовать устойчивые предельные циклы, является весьма важным и позитивным для теории эконо мического роста. По существу это означает, что хотя «равновесная» эволюция экономической системы «по магистрали развития» и нереализуема (из-за её не устойчивости), вполне реализуемы, устойчивы и имеют «ту же тенденцию», что и «магистраль развития», другие траектории, имеющие, правда, «колебатель ный характер». Другими словами, эволюция экономической системы может осуществляться «практически вдоль магистрали развития» в рамках некоторого устойчивого «образовательного экономического цикла».

В Четвертой главе работы описаны основные тенденции экономическо го развития Российской Федерации, а также текущее состояние ее человеческо го капитала. На основе статистических данных Федеральной службы государ ственной статистики была построена производственная функция с учетом чело веческого капитала и нейтрального технического прогресса.

В качестве меры человеческого капитала для анализа производственной функции Российской Федерации применялось отношение количества защит докторских и кандидатских диссертаций при выпуске из аспирантуры к количе ству выданных патентов. Очевидно, что такая величина является своеобразной характеристикой эффективности воздействия образования и научных разрабо ток на инновации и новые технологии. Чем меньше это отношение, тем эффек тивнее научные исследования.

Выбор такой меры человеческого капитала основан на работе (Soukiazis E., Cravo T., 2008)14, в которой в качестве величины, описывающей человеческий капитал, используется соотношение количества патентов и коли чества статей, опубликованных в научных журналах в течение года. Количество патентов является, в некотором роде, индексом внедрения новых технологий и описывает инновационность экономики. Количество научных статей может служить показателем качества образовательной системы. Таким образом, соот ношение этих двух величин характеризует эффективность воздействия науки и научных исследований на производство. Для определения количества и рейтин га научных статей часто используется индекс цитирования (Science Citation In dex). Однако, как подчеркивается в (Колесов, 2008)15, данный показатель далеко не всегда может адекватно использоваться для характеристики российской нау ки, так как он имеет систематическое отклонение в пользу англоязычных пуб ликаций, а, кроме того, имеют место такие явления, как искусственная и лож ная популярность, которые не влияют на ценность информации, представлен ной в той или иной публикации. Поэтому с учетом доступности исходной ин Soukiazis E., Cravo T. Human Capital and the Convergence Process Among Countries // Review of Development Economics. 2008. – Vol. 12. – No. 1. – pp. 124–142.

Экономика знаний: Коллективная монография / Отв. ред. В.П. Колесов. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 432 с.

формации вместо количества статей использовался показатель выпуска из ас пирантуры и докторантуры с защитой диссертации.

По статистический данным РФ за 1993-2008 год была получена производ ственная функция с учетом человеческого капитала:

y = y1 (k, h) = 1.50k 0.55 h 0.86, где y - валовой внутренний продукт на душу трудоспособного населения, k фондовооруженность, h - человеческий капитал. Однако данная регрессионная модель имеет недостаток: в ней присутствует автокорреляция в остатках. Пре одолеть это позволяет построение регрессионной модели для производственной функции с учетом человеческого капитала и нейтрального технического про гресса вида:

y = y 2 (k, h, t ) = 0.24e 0.17t k 0.36 h 0. На рис. 9 представлены графики производственных функций с учетом че ловеческого капитала (y1) и нейтрального технического прогресса (y2), а также исходные данные о ВВП на душу занятых в экономике (y).

Рис. 9. ВВП РФ (млн. руб.) на одного занятого в экономике и его оценки на основе производственных функций с учетом человеческого капитала Таким образом, на основании эконометрического анализа можно сделать вывод о том, что человеческий капитал и научно-технический прогресс являют ся существенными факторами экономического роста и позволяют значительно улучшить описательные качества производственной функции при моделирова нии валового выпуска РФ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные результаты диссертационной работы заключаются в следую щем:

1. Построена и исследована математическая модель экономического рос та, обобщающая модель Лукаса и учитывающая накопление физического и че ловеческого капиталов, убывающий эффект масштаба в производственной функции человеческого капитала;

наличие «внешнего эффекта» человеческого капитала в сфере образования;

структурные особенности внешнего эффекта че ловеческого капитала и его «амортизацию».

2. Описаны и изучены качественные особенности траекторий сбаланси рованного роста для обобщенной модели;

определены условия возникновения эффекта неопределенности (в смысле Дж. Бенхабиба).

3. Доказана (с помощью численно-аналитических методов) возможность существования устойчивых периодических движений в окрестности сбаланси рованной траектории.

4. Систематизированы и классифицированы основные показатели, харак теризующие человеческий капитал;

выявлена мера человеческого капитала, наиболее адекватная для анализа механизмов воздействия человеческого капи тала на экономический рост для отдельной национальной экономики.

5. Проанализировано современное состояние человеческого капитала Российской Федерации;

построена производственная функция РФ с учетом че ловеческого капитала и нейтрального технического прогресса.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах из списка периодических изданий рекомен дованных ВАК 1. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. I // Вестник Нижегородского го сударственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математиче ское моделирование. Оптимальное управление. – 2010. – № 1. – с. 171-178.

2. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. II // Вестник Нижегородского го сударственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математиче ское моделирование. Оптимальное управление.– 2010. – № 2(1). – с. 158-165.

3. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала. III // Вестник Нижегородского го сударственного университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математиче ское моделирование. Оптимальное управление.– 2010. – № 3(1). – с. 177-190.

4. Кузнецов Ю.А., Перова В.И., Мичасова О.В. Имитационное моделирование экономических процессов с применением программного пакета ITHINK // Эко номический анализ: теория и практика. – 2006. – № 6(63). – с. 11-15.

5. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анали за моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. – 2007. – № 5(86). – с. 23-30.

6. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Человеческий капитал: формирование, измере ние, вклад в экономический рост // Экономический анализ: теория и практика.

– 2010. – № 26(191). – с. 21-33.

Публикации в других изданиях 7. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Использование системы MatLab для численно аналитического исследования задач теории экономического роста // Приклад ная информатика. – 2006. – №6. – с. 39-47.

8. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Некоторые математические модели динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // В кн.:

Системное моделирование социально-экономических процессов: Труды XXXI Международной научной школы - семинара имени академика С.С. Шаталина.

Воронеж, 1-5 октября 2008 г. В 3ч. / под ред. В.Г. Гребенникова, И.Н. Щепиной, В.Н. Эйтингона // Труды школы – семинара. Часть II. – Воро неж: Изд-во ВГУ, 2008. – с. 92 – 98.

9. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. О применении пакетов имитационного модели рования и систем компьютерной математики для анализа моделей экономиче ского роста // Материалы международной научно-методической конференции «Болонский процесс: сотрудничество Российских и Европейских университе тов (проект CD_JEP-23225-2002)». Нижний Новгород, ННГУ, 27 октября 2006 г. – Нижний Новгород: Изд-во «Пламя», 2006. – с. 42-48.

10. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Об одной математической модели динамики экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства». – Нижний Новгород: Издательст во Нижегородского госуниверситета, 2007. – с. 245-249.

11. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом человеческого капитала // Современные подходы к исследованию и мо делированию в экономике, финансах и бизнесе: Материалы 4-ой ежегодной конференции Европейского университета в Санкт-Петербурге и Санкт Петербургского экономико-математического института РАН. – СПб.: Изда тельство Европейского университета в Санкт-Петербурге, 2010. – с. 54-57.

12. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Применение пакета MATLAB для исследования некоторых задач теории экономического роста // Материалы научных конфе ренций «Ломоносовские чтения 2004-2005-2006» кафедры математических ме тодов анализа экономики экономического факультета МГУ им.

М.В.Ломоносова / Под общ. ред. М.В.Грачевой, Л.Н.Фадеевой, Ю.Н.Черемных.

– М.: МАКС Пресс, 2006. – с. 97-98.

13. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Применение численно-аналитических методов для построения экономических моделей // Государственное регулирование экономики. Региональный аспект. Материалы Шестой Международной научно практической конференции (Нижний Новгород, 17-19 апреля 2007 г.) В 2 т.

Том I. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007. – с. 143-144.

14. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Модель экономического роста с учетом «внеш него эффекта» человеческого капитала. // Государственное регулирование эко номики. Региональный аспект. Материалы Седьмой Международной научно практической конференции: В 2 т. Том II. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобаческого, 2009. – с. 349-352.

15. Мичасова О.В. Исследование моделей макроэкономического роста с помощью пакета MATLAB // Технологии Microsoft в теории и практике программирова ния. Материалы конференции / Под ред. проф. Р.Г.Стронгина. – Нижний Нов город: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – с. 178-182.

16. Мичасова О.В. Об одной модели экономического развития с учетом «внешнего эффекта» человеческого капитала // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Седьмой молодежной научной школы конфе ренции. – Т.37. Казанское математическое общество. Лобачевские чтения – 2008. – Казань: Изд-во Казан. гос. университета, 2008. – с. 125-127.

17. Мичасова О.В. Об одной модели экономического роста // Нижегородская сес сия молодых ученых. Математические науки (13;

2008) / Отв. за вып. Звере ва И.А. – Нижний Новгород: Гладкова О.В., 2008. - с. 27-28.

18. Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом человече ского капитала // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского:

Материалы Восьмой молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения – 2009»;

Казань, 1-6 ноября 2009 г.;

Казан. матем. об-во. – Казань: Ка зан. матем. об-во, 2009. – Т.39. – с. 297-299.

19. Мичасова О.В. Применение пакетов имитационного моделирования для анали за моделей экономического роста // Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Материалы конференции / Под ред. проф. Р.Г.Стронгина. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – с. 182 186.

20. Мичасова О.В. Производственная функция Российской Федерации с учетом че ловеческого капитала // Государственное регулирование экономики. Регио нальный аспект. Материалы Седьмой Международной научно-практической конференции: В 2 т. Том II. – Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобаческого, 2009. – с. 361-364.

21. Мичасова О.В. Производственная функция РФ с учетом нейтрального техниче ского прогресса и человеческого капитала. // Актуальные проблемы социально экономического развития и пути их решения: Материалы Первой Региональной научно-практической конференции (Дзержинск, 18 марта 2010 г.). – Нижний Новгород: Изд-во НИСОЦ, 2010. – с. 207-210.

22. Мичасова О.В. Человеческий капитал как фактор экономического роста // Ни жегородская сессия молодых ученых. Математические науки (14;

2009) / Отв. за вып. Зверева И.А. – Нижний Новгород: Гладкова О.В., 2009. - с. 19-20.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.