авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Теория минимальных сплайн-всплесков и ее приложения

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Макаров Антон Александрович ТЕОРИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СПЛАЙН-ВСПЛЕСКОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

Работа выполнена на кафедре параллельных алгоритмов математико механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Демьянович Юрий Казимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Волков Юрий Степанович (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН) доктор физико-математических наук Новиков Лев Васильевич (Институт аналитического приборостроения РАН) доктор физико-математических наук, профессор Скопина Мария Александровна (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится «» 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного универси тета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «»_ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Кривулин Н. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Объемы информационных потоков постоянно увеличиваются, соответствен но растут и объемы числовой обработки этих потоков. Современные потоки информации в процессе обработки, хранения и передачи имеют цифровую фор му. Во многих приложениях такие потоки представляют собой массивы данных огромной длины, которые можно быстро обрабатывать лишь в случае наличия колоссальных компьютерных ресурсов, обладающих быстродействием, огром ной памятью, мощными каналами связи. Задача сокращения объемов цифровой информации за счет отбрасывания несущественных составляющих чрезвычай но актуальна, причем степень важности эффективного решения этой задачи постоянно возрастает. Ввиду этого требуется разрабатывать эффективные ал горитмы сжатия потоков данных и подготовки их к передаче по каналам связи с ограниченной пропускной способностью. Под эффективностью понимается раз ложение потока информации на составляющие с минимальными затратами ре сурсов ЭВМ (памяти и времени обработки). С другой стороны, часто возникают задачи уточнения полученного решения за счет измельчения расчетных сеток, при этом требуется разрабатывать эффективные алгоритмы уточнения потоков данных. Сплайны и всплески1 широко применяются при решении упомянутых задач, что подтверждается большим числом приложений в различных научных и технических областях, например, в вычислительной математике, геометриче ском моделировании, медицине, космической технике, астрономии, геофизике, биологии, нанотехнологических разработках, экономике и т. д.

Можно считать, что теория сплайнов берет свое начало от работ Л. Эй лера, т. к. ломанную Эйлера можно рассматривать как простейшую сплайно вую аппроксимацию. Дальнейшее развитие теории сплайнов связано с именами следующих ученых: Дж. Алберг, П. М. Анселон, М. Аттья, Р. Варга, Т. Гре вилл, Дж. Гоэл, К. Де Бор, В. Дженкинс, Э. Нильсон, Дж. Стрэнг, Дж. Уолш, Дж. Фикс, И. Шёнберг, Л. Л. Шумейкер, Б. Г. Вагер, Ю. С. Волков, О. В. Да выдов, Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Н. Малозёмов, В. Л. Мирошниченко, А. Б. Певный, А. И. Роженко, B. C. Рябенький, С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, А. Ю. Шадрин, В. Т. Шевалдин, Н. Н. Яненко и др.

В 1973 году С. Г. Михлиным и Ю. К. Демьяновичем предложен подход (ориентированный на построение простейших аппроксимационных формул) к построению полиномиальных сплайнов, удовлетворяющих аппроксимационным соотношениям и имеющих заданную гладкость. При этом сначала миними зируется кратность накрытия (так называется минимальная кратность пе рекрытия носителей базисных функций) базисных сплайнов, а затем степень сплайнов. Построенные таким образом функции называются минимальными сплайнами для данных аппроксимационных соотношений и для заданной глад кости. Ввиду важности этих соотношений С. Г. Михлин называл их фундамен тальными. Если воспользоваться аппроксимационными соотношениями интер поляционного характера, то получатся аппроксимации, точные на полиномах определенной степени (показатель этой степени называется порядком точно сти). Отсюда можно найти минимальные сплайны с локальным интерполя Математики чаще используют термин «всплеск», инженеры — «вэйвлет» или «вейвлет».

ционным базисом. Весьма важной характеристикой аппроксимации является число входящих в нее производных приближаемой функции. Это число назы вается высотой аппроксимации. Аппроксимирующий сплайн нулевой высоты использует значения приближаемой функции, но не использует ее производных;

такой сплайн называется лагранжевым. Аппроксимирующий сплайн, использу ющий последовательные i-е производные указанной функции (i = 0, 1,..., h, где h N) называется эрмитовым или сплайном высоты h. Обобщению аппрокси мационных соотношений и развитию на их основе общей теории минимальных сплайнов посвящены работы Ю. К. Демьяновича, И. Г. Буровой и их учеников.



В данной работе найдено простое представление определяющей цепочки век торов для построения минимальных сплайнов лагранжева типа максимальной гладкости произвольного порядка, указан новый алгоритм построения таких сплайнов, установлена связь этого алгоритма с алгоритмом построения элемен тарных симметрических многочленов.

Изучение А. Хааром частных сумм ряда Фурье привело к построению пер вого всплеска. Развитие теории всплесков осуществляли следующие ученые:

Г. Баттл, И. Добеши, Д. Л. Донохо, Р. Койфман, А. Коэн, П. Ж. Лемарье, С. Малла, И. Мейер, В. Свелденс, Б. Хан, Ч. Чуи, Ю. К. Демьянович, В. А. Жё лудев, В. Ф. Кравченко, С. В. Козырев, В. Н. Малозёмов, И. Я. Новиков, Л. В. Новиков, А. Б. Певный, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, В. А. Рвачёв, М. А. Скопина, С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных, М. К. Чобану, В. М. Шелкович и др.

Известно, что универсальным способом исследования математических моде лей является использование численных методов, реализованных с использова нием современной вычислительной техники. Теория аппроксимации функций широко используется в математическом моделировании. В простейшем случае исходный сигнал отождествляется с функцией, заданной на интервале (, ) вещественной оси. Для компьютерной обработки используется дискретный сиг нал, представляемый сеточной функцией, определяемой как значения исходной функции (или результатов ее сглаживания) в узлах некоторой сетки. Постро ение сеточной функции позволяет приближать исходную функцию с помощью того или иного аппарата аппроксимации или интерполяции. Далее линейное пространство таких приближений представляется в виде прямой суммы про странств: основного и всплескового. Часто основное пространство связывают с сеткой, получающейся выбрасыванием узлов из исходной сетки, а подпростран ство всплесков определяют операцией проектирования исходного пространства на основное. Таким образом, порождается разложение упомянутого приближе ния на основную и всплесковую составляющие. Представления элементов дан ного разложения в базисах рассматриваемых пространств порождают соответ ствующие формулы декомпозиции и реконструкции. Затем каждое из подпро странств иногда также разлагают в прямую сумму некоторых подпространств, возможно, продолжая такой процесс дальше. В результате исходный поток ин формации удается разложить на составляющие так, что можно выделить основ ной и уточняющий информационные потоки;

это приводит к сжатию поступаю щего цифрового сигнала. Роль теории всплесков при математическом модели ровании заключается в предоставлении предметному специалисту достаточно широкого набора средств, из которых он может выбрать именно то средство, которое ему подходит для обработки (для разложения на составляющие) ин тересующего его потока информации. В теории всплесков упомянутыми сред ствами являются наборы вложенных пространств функций и их представлений в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы всплесковых пространств.

Многие типы известных всплесков обеспечивают быстрое, но весьма неточ ное сжатие. В данной работе используются сплайн-всплесковые системы с га рантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков.

Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату, ибо учитывают «гладкость» обрабатываемого потока цифровой информации и сохраняют качество аппроксимации.

В случае когда (, ) = R1, а сетка — равномерная, удается применить мощ ный аппарат гармонического анализа (в пространстве функций L2 (R1 ) и про странстве последовательностей l2 );

здесь используются различные варианты преобразований Фурье (дискретного и непрерывного). Этому случаю посвяще но большое количество исследований. В этом направлении была предложена (И. Мейер, С. Малла, И. Добеши) общая теория построения систем всплесков, названная кратномасштабным анализом (КМА).

В дальнейшем появились способы построения базисов всплесков, не основы вающиеся на преобразовании Фурье. Например, лифтинговая схема (Д. Доно хо, В. Свелденс) — это способ построения базисов всплесков, который приме няется для улучшения свойств всплесков. При помощи управляющей функции и всплескового потока лифтинговая схема изменяет («поднимает») основной поток (низкочастотную составляющую сигнала), причем все вычисления про водятся «на месте» (т. е. в одном массиве). Еще один способ построения но вых базисов всплесков — это всплесковая схема (Ю. К. Демьянович). Ввиду того, что требование вложенности пространств на двукратно измельчающейся бесконечной сетке на вещественной оси приводит к масштабирующему уравне нию, решение которого в ряде случаев затруднительно, было предложено заме нить требования ортогональности всплескового базиса на процедуру построе ния биортогональной (к всплесковому базису) системы функционалов и заме нить масштабирующую функцию (удовлетворяющую масштабирующему урав нению) на последовательность функций (удовлетворяющих калибровочным со отношениям).

Некоторой последовательностью всплеск-функций также порождаются си стемы нестационарных всплесков (М. З. Берколайко, И. Я. Новиков) или поч ти-всплесков (К. Де Бор, Р. ДеВор, А. Рон). Имеется также возможность ис пользовать вместо всплеск-функции вектор-функцию — мультивсплеск.

Во многих приложениях приходится рассматривать интервал (, ) R1, поэтому необходимо строить теорию всплесков на интервале. Это вызывает зна чительные трудности, т. к. приходится учитывать краевые эффекты. Одним из способов построения являются периодические всплески, основанные либо на пе риодизации непериодических КМА (И. Мейер, И. Добеши), либо на введении определения периодических КМА (В. А. Жёлудев, А. П. Петухов, М. А. Ско пина).

Многие практические приложения требуют рассматривать ограниченный интервал вещественной оси и неравномерную сетку. Например, при обработке неоднородных цифровых потоков с резко меняющимися характеристиками (со сменой плавного поведения на скачкообразное и наоборот) или имеющих сингу лярности целесообразно использовать адаптивную неравномерную сетку, учи тывающую особенности обрабатываемого потока. Применение неравномерной сетки позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений.

Более того, для улучшения приближения могут понадобиться различные сте пени измельчения сетки в разных частях рассматриваемого промежутка. Име ется много работ, относящихся к всплесковым разложениям на равномерной сетке. Всплесковые аппроксимации на неравномерных сетках исследованы зна чительно меньше. Это связано с тем, что обычно применяемое на равномерной сетке преобразование Фурье в условиях неравномерной сетки использовать за труднительно. В некоторых случаях удается использовать неравномерную сет ку. Как правило, в таких исследованиях строятся всплесковые разложения хо рошо изученных пространств полиномиальных B-сплайнов, при этом на рас сматриваемые сетки и на способы измельчения/укрупнения сеток накладыва ются значительные ограничения. Имеется небольшое количество публикаций, посвященных таким построениям. Работы М. Д. Бухманна и Ч. А. Мичелли, П. Освальда относятся к построению систем нестационарных всплесков. Биор тогональные всплески рассмотрены в работе Р. Стивенсона. Всплесковому раз ложению пространств сплайнов посвящены работы В. Дахмена и Ч. А. Мичел ли, Ю. К. Демьяновича, Т. Лише, К. Моркена, Е. Куака и Ф. Пелоси, У. Лиу, Е. Е. Тыртышникова, Дж. М. Форда и И. В. Оселедца. Лифтинговая схема ис пользовалась в работах И. Добеши, И. Гуськова, П. Шрёдера и В. Свелденса, Ч. Бернарда и И. Ле Пеннека, а также в упомянутых выше работах П. Освальда, Е. Е. Тыртышникова, Дж. М. Форда и И. В. Оселедца. В работах А. Альдруби, К. Кабрелли и У. Молтер, У. Лиу и Г. Г. Вальтера строятся фреймы всплесков.

Пространства мультивсплесков рассматривались в работах Ч. Жао и П. Жао, Л. Жанвея, Х. Гуена и В. Гуочанга.

Всплесковую схему на равномерной сетке удалось обобщить на случай нерав номерной сетки для полиномиальных сплайнов, а затем и на случай неполино миальных сплайнов. В этом направлении работали Е. П. Арсентьева, Ю. К. Де мьянович, М. В. С. Габр, А. В. Зимин, О. Н. Иванцова, О. М. Косогоров, Т. Н. Б. Ле, А. Б. Левина. Оказалось, что использование биортогональной системы функционалов позволяет построить всплесковые разложения и при произвольном способе измельчения/укрупнения сетки (это ведет к упрощени ям и в случае равномерной сетки). Весьма эффективными и простыми ока зываются построения в пространствах минимальных сплайнов (вообще гово ря, неполиномиальных), ибо конструируемые всплесковые пространства полу чают прекрасные аппроксимационные свойства (асимптотически оптимальные по поперечнику стандартных компактов). Поскольку эти построения локаль ны и справедливы для неравномерной сетки, их можно эффективно исполь зовать в случае когда имеются особенности у приближаемой функции или у ее производных. Трудности, связанные с конечностью числа элементов обра батываемой информации, преодолеваются использованием упомянутых выше свойств локальности. В этих работах были рассмотрены некоторые варианты всплесковых разложений пространств минимальных сплайнов лагранжева и эрмитова типов, всплески на многообразиях, симплициальные подразделения двумерных и трехмерных областей и всплесковые разложения на двумерных сетках. В них рассматривались сплайны на открытом интервале (, ), опреде ляемые бесконечной сеткой и вектор-функцией, заданной на интервале (, ).

Бесконечность рассматриваемой сетки (а значит, и числового потока) облег чает теоретические исследования, однако на практике приходится иметь дело с конечными потоками. Соответственно и получаемые пространства сплайнов были бесконечномерны, что не всегда удобно для численной реализации. В ра ботах О. М. Косогорова, Н. А. Лебединской и Д. М. Лебединского рассмотрены всплесковые разложения некоторых конечных пространств сплайнов второго порядка на укрупняющихся сетках.

В данной работе для конечномерных пространств сплайнов произвольно го порядка получено сплайн-всплесковое разложение для измельчающихся и укрупняющихся сеток на отрезке [a, b] с помощью сужения рассматриваемых функций с интервала (, ) на отрезок [a, b] (, ). В результате сплайн всплескового разложения получаются достаточно простые формулы декомпози ции и реконструкции, определяемые используемыми конечными неравномерны ми сетками, причем базисные всплески имеют простое аналитическое представ ление и компактный носитель. Это позволяет производить сжатие, уточнение и восстановление потоков числовой информации с применением адаптивных се ток, приспосабливая последние к аппроксимации быстро меняющихся числовых потоков и существенно улучшая приближение функций, имеющих те или иные точечные особенности.

Цель диссертационной работы Целью работы является построение теории минимальных сплайн-всплесков, связанной с рассмотрением вложенных систем пространств минимальных сплай нов и построением их всплесковых разложений (сжатий и уточнений) на нерав номерных сетках, и приложение построенной теории к решению вычислитель ных задач аппроксимации функций, сжатия, уточнения и восстановления чис ловых потоков данных, в том числе и изображений.

Методы исследования В диссертации используются методы линейной алгебры, теории функций вещественного переменного, теории всплесков, методы вычислительной мате матики. Для построения базисов минимальных сплайнов применен метод ап проксимационных соотношений. Для проектирования и разработки комплекса программ использованы принципы структурного и объектно-ориентированного программирования.

Достоверность и обоснованность Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами;

ре зультаты согласуются с проведенными численными экспериментами.

Основные результаты и научная новизна Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Дадим их краткое описание.

1. Получены новые аппроксимирующие пространства (бесконечномерные и конечномерные) с локальным базисом – пространства минимальных сплай нов лагранжева типа произвольного порядка, в том числе пространства минимальных сплайнов максимальной гладкости. Исследованы свойства соответствующих сплайнов, построенных на неравномерной сетке на ин тервале и на отрезке. Найдено новое представление определяющей сплайн цепочки векторов. Указан новый алгоритм построения сплайнов произ вольного порядка. Установлена связь этого алгоритма с алгоритмом по строения элементарных симметрических многочленов. Даны примеры по строения полиномиальных и неполиномиальных сплайнов.





2. Установлены калибровочные соотношения, которые дают представление сплайнов на исходной сетке в виде линейной комбинации сплайнов на сет ке, полученной измельчением исходной сетки, и калибровочные соотноше ния, которые дают представление сплайнов на укрупненной сетке в виде линейной комбинации сплайнов на исходной сетке, выписаны соответству ющие матрицы реконструкции. Для последовательностей сеток, постро енных измельчением или укрупнением исходной сетки, получены цепочки вложенных пространств сплайнов.

3. Построены системы линейных функционалов, биортогональные минималь ным сплайнам. Решен соответствующий класс интерполяционных задач.

Для измельчения и укрупнения сетки выписаны соответствующие матри цы декомпозиции.

4. Построено сплайн-всплесковое сжатие и сплайн-всплесковое уточнение на интервале и на отрезке. Даны представления цепочек вложенных про странств в виде прямой суммы всплесковых пространств с локальным ба зисом. Получены соответствующие формулы декомпозиции и реконструк ции на интервале и на отрезке. Рассмотрены варианты телескопических систем и их всплесковые разложения.

5. Для функций из пространства C m+1 построена аппроксимация в виде ли нейной комбинации базисных сплайнов, коэффициентами которой явля ются значения аппроксимационных функционалов. В качестве аппрокси мационных функционалов использованы системы биортогональных функ ционалов. Дано представление остатка приближения. Построенная ап проксимация обладает свойством точности на компонентах порождающей сплайны вектор-функции. Приведены результаты численных эксперимен тов по аппроксимации, в том числе результаты приближения в случае сплайн-всплесковой модели аппроксимации.

6. Построено всплесковое разложение пространства исходных потоков. Да на оценка числа арифметических операций в формулах декомпозиции и реконструкции. Исследована устойчивость вычислений при декомпозиции и реконструкции. Даны способы распараллеливания всплесковых разло жений. Представлены результаты применения алгоритмов декомпозиции и реконструкции к сжатию и восстановлению модельных числовых по токов, в том числе и изображений;

приведены результаты сравнения с существующими подходами.

7. Разработан программный комплекс моделирования минимальных сплай нов максимальной гладкости, предназначенный для решения вычисли тельных задач аппроксимации функций, сжатия, уточнения и восстанов ления числовых потоков данных в режиме реального времени.

Теоретическая и практическая полезность Работа носит теоретический характер, а также представляет практический интерес. Полученные результаты могут быть применены для разработки высо коэффективных алгоритмов решения различных прикладных задач при сжатии и последующем восстановлении с заданной точностью больших потоков инфор мации (цифровых сигналов, массивов данных), в том числе потоков с резко ме няющимися характеристиками, для обработки изображений. Результаты могут быть использованы при решении задач интерполяции и аппроксимации веще ственных функций одной и многих переменных, при численном решении ряда задач математической физики, при решении задач шифрования данных, при решении задач геометрического моделирования (для построения сплайновых кривых и поверхностей), а также при построении параллельных форм алгорит мов упомянутых задач.

Апробация работы Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семи нарах: семинар кафедры параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (рук. проф.

Ю.К.Демьянович);

семинар кафедры вычислительной математики математико механического факультета Санкт-Петербургского государственного универси тета (рук. проф. В. М. Рябов);

семинар «Дискретный гармонический анализ и геометрическое моделирование» (рук. проф. В. Н. Малозёмов);

объединенный семинар кафедр высшей математики и прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного универ ситета (рук. проф. Б. Г. Вагер);

Международная конференция «Высокопроизво дительные параллельные вычисления на кластерных системах», С.-Петербург (2006), Н. Новгород (2007), Казань (2008);

12th International Conference in App roximation Theory, San Antonio, Texas, USA, 2007;

Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ — 2007», посвященный 150-летию со дня рождения акад. A. M. Ляпунова, С.-Петербург, 2007;

Всероссийская конфе ренция по вычислительной математике «КВМ–2007», Академгородок, Новоси бирск, 2007;

Leonhard Euler Congress, Third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling, St. Petersburg, 2007;

Международная науч ная конференция «Космос, астрономия и программирование (Лавровские чте ния)», посвященная 85-летию со дня рождения чл.-корр. РАН С. С. Лаврова, С. Петербург, 2008;

International conference «Harmonic analysis and approximations, IV», dedicated to 80th anniversary of academician A. A. Talalian, Tsaghkadzor, Armenia, 2008;

International conference «Wavelets and applications», St. Petersburg, 2009;

International conference «Mathematical and Information technologies MIT 2009», Kopaonik, Serbia, Budva, Montenegro, 2009;

Мiжнароднiй симпозiум «Пи тання оптимизацii обчислень», смт. Кацивелi, Украiна, 2009, 2011;

Междуна родная конференция «Теория приближений», С.-Петербург, 2010;

Междуна родная научная конференция «Современные проблемы анализа и преподава ния математики», посвященная 105-летию акад. С. М. Никольского, Москва, 2010;

I Jaen Conference on Approximation, Ubeda, Jaen, Spain, 2010;

Между народная конференция «Теория приближений», посвященная 90–летию со дня рождения С. Б. Стечкина, Москва, 2010;

Российская конференция «Методы сплайн-функций», посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова, Новосибирск, 2011;

Международная конференция по Современному Анализу, Донецк, Украина, 2011;

International Workshop on Wavelets, Frames and Appli cations, India, Delhi, 2011.

Публикации Основные результаты опубликованы в 20 работах, включая статьи [1–11] в изданиях из «Перечня рецензируемых научных журналов», рекомендованных ВАК, а также монографию [19].

В работе [12] Ю. К. Демьяновичу принадлежит общая постановка задачи и указание на идею исследования, детальная реализация принадлежит А. А. Ма карову. В работе [13] Ю. К. Демьяновичу принадлежит общая постановка за дачи, указание возможных приложений и модельных примеров, О. М. Косого ровым и А. А. Макаровым поставлены численные эксперименты и предложены различные варианты способов распараллеливания всплесковых разложений, на шедших дальнейшее отражение в самостоятельных статьях. В работах [16, 17] отражены результаты совместно поставленных численных экспериментов, вы полненных под руководством А. А. Макарова.

Структура и объем работы Диссертация объемом 349 страниц состоит из введения, семи глав, заключе ния, двух приложений и списка литературы, а также 22 таблиц и 21 рисунка.

Список литературы содержит 340 наименований.

Связь работы с научными программами Исследования были поддержаны грантами РФФИ (№ 07-01-00451-а, № 10 01-00245-а), грантом Президента РФ (МК-5219.2011.1), грантом АВЦП «Раз витие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.2/10824), грантом Санкт-Петербурга в сфере научной и научно-технической деятельности (проект № 361/09), грантами молодым ученым, молодым кандидатам наук вузов и ака демических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга (про екты № 26.05/151/27, № 236/14.11.11), а также отмечены дипломом победителя (1 место) XII конкурса бизнес-идей, научно-технических разработок и научно исследовательских проектов «Молодые. Дерзкие. Перспективные», проводимо го Комитетом по науке и высшей школе Правительства Санкт-Петербурга.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, описывается научная новизна, теоретическая и практиче ская значимость работы, излагаются основные результаты исследования.

В первой главе рассматриваются сплайны произвольного порядка, имею щие минимальный носитель. Пусть N — множество натуральных чисел, Z — def множество целых чисел, Z+ = {j | j 0, j Z}, R1 — множество веще ственных чисел. Пусть m Z+. Векторное (линейное) пространство (m + 1) мерных вектор-столбцов обозначим через Rm+1, причем векторы в нем будем отождествлять с одностолбцовыми матрицами и применять к ним обычные матричные операции;

в частности, для двух векторов a, b Rm+1 выражение m def (a, b)Rm+1 = aT b = [a]i [b]i представляет собой евклидово скалярное произве i= дение этих векторов, где T — операция транспонирования, а компоненты векто ров обозначаются квадратными скобками и снабжаются индексами 0, 1,..., m, например, a = ([a]0, [a]1,..., [a]m )T. Квадратная матрица, столбцами которой являются векторы a0, a1,..., am Rm+1 (в указанном порядке), обозначается символом (a0, a1,..., am ), а выражение det(a0, a1,..., am ) обозначает ее опреде литель.

def Упорядоченное множество A = {aj }jZ векторов aj Rm+1 будем назы вать цепочкой векторов. Цепочка A называется полной цепочкой векторов, если det(ajm, ajm+1,..., aj ) = 0 для всех j Z. Совокупность всех полных цепочек будем обозначать через A.

Множество всех функций непрерывных на интервале (, ) обозначим че def рез C(, ). Для любого числа S Z+ введем обозначение C S (, ) = {u | u(i) C(, ) i = 0, 1, 2,..., S}, полагая C 0 (, ) = C(, ). Если компоненты вектор функции u Rm+1 непрерывно дифференцируемы S раз на интервале (, ), то будем писать u CS (, ). Аналогичные обозначения C S [a, b] и CS [a, b] будем использовать для соответствующих пространств на отрезке [a, b].

def На интервале (, ) R1 рассмотрим сетку X = {xj }jZ, (1) X :... x1 x0 x1..., def def где = lim xj, = lim xj (случаи =, = + не исключаются).

j j+ def def def (xj, xj+1 ), Sj = [xj, xj+m+1 ], Jk = {k m, k Введем обозначения M = jZ m + 1,..., k}, где k, j Z.

1, K0 R1 обозначим через X (K0,, ) класс сеток вида (1) со При K свойством локальной квазиравномерности xj+1 xj j Z, K0 K xj xj def и положим hX = sup (xj+1 xj ).

jZ Пусть X(M ) — линейное пространство вещественнозначных функций, за данных на множестве M. Рассмотрим вектор-функцию : (, ) Rm+1 с компонентами из X(M ).

def Если цепочка векторов A = {aj } полная, то из условий aj j (t) (t) t (xk, xk+1 ), k Z, j Jk (2) j (t) 0 t Sj M, / однозначно определяются функции j (t), t M, j Z. Ясно, что supp j (t) Sj. По формулам Крамера из системы линейных алгебраических уравнений (2) находим ( ) det {aj }j Jk,j =j j (t) ( ) t (xk, xk+1 ), j Jk, (3) j (t) = det akm, akm+1,..., ak где символьная запись j означает, что определитель в числителе получается из определителя в знаменателе заменой столбца aj на столбец (t) (с сохране нием прежнего порядка следования столбцов).

Линейная оболочка функций {j }jZ называется пространством минималь ных (A, )-сплайнов m-го порядка или пространством минимальных сплайнов лагранжева типа (нулевой высоты) на сетке X и обозначается через { } def S(X, A, ) = u | u(t) = cj j (t) t M, cj R.

jZ cj j (t), cj R1, при каждом Рассматриваемые бесконечные ряды вида j фиксированном t (, ) содержат не более m + 1 слагаемых, поэтому при любой последовательности {cj }jZ упомянутый ряд сходится (в смысле пото чечной сходимости). Здесь и далее отсутствие пределов суммирования у знака суммы означает суммирование по всем целым числам.

Условия (2) называются аппроксимационными соотношениями, вектор функция называется порождающей для (A, )-сплайнов, а цепочка векто ров A называется определяющей для этих сплайнов.

В дальнейшем для вектор-функции CS (, ), S Z+, положим def (i) def k Z.

k = (i) (xk ), k = (xk ), i = 0, 1,..., S, Теорема 1. Пусть S Z+, CS (, ), A A. Для того, чтобы про (S) изводные j (t) функций j (t), t M, j Z, могли быть продолжены до функций, непрерывных на интервале (, ), необходимо и достаточно, чтобы ( (S) ) k Z.

det akm, akm+1,..., ak1, k = Следствие 1. Пусть Cm1 (, ), A A. Для того, чтобы все функции j (t), t M, j Z, могли быть продолжены до функций класса C m1 (, ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения ( (S) ) det akm, akm+1,..., ak1, k = 0, S = 0, 1,..., m 1, k Z.

Рассмотрим вектор-функцию (z0, z1,..., zm1 ) Rm+1, определяемую тож деством ( ) T (z0, z1,..., zm1 ) z det z0, z1,..., zm1, z (4) для всех z, z0, z1,..., zm1 Rm+1. Вектор-функцию (z0, z1,..., zm1 ) называ ют m-местным векторным произведением в пространстве Rm+1 и обозначают через z0 z1... zm1.

При Cm1 (, ) рассмотрим векторы, определяемые формулой dj = j j... j def (m1) (5).

Теорема 2. Если Cm1 (, ), A A и векторы k, k,..., k (m1) — линейно независимые при любом k Z, то для того, чтобы функции j (t), t M, j Z, могли быть продолжены до функций класса C m1 (, ), необ ходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения j Z.

dT aj = 0, p = 1, 2,..., m, j+p Пусть Cm (, ). Введем следующее обозначение для вронскиана def ( ) W(t) = (t), (t),..., (m1) (t), (m) (t), def W (t) = det W(t).

Определим цепочку векторов A = {a } формулой def j a = dj+1 dj+2... dj+m.

def (6) j В приложении 1 изучены свойства цепочки A, в частности, доказано, что век тору a можно придать вид следующего символического определителя j j+ (m1) j+1... j+ dT j+ (m1) T dT j+ a = dj+2 j+1....

j+2 j+ j............

dT j+ (m1) dT j+1 dT j+...

j+m j+m j+m Теорема 3. Пусть Cm (, ). Если выполнено условие |W (t)| t (, ), (7) c = const и сетка X X (K0,, ) для некоторого K0 1, то при достаточно малом hX пространство S(X, A, ) лежит в пространстве C m1 (, ).

Замечание 1. Если на интервале (, ) компоненты вектор-функции образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения вида u(m+1) + p1 (t)u(m) +... + pm+1 (t)u = 0 с непрерывными коэффициентами, то условие (7) выполнено.

Следствие 2. В условиях теоремы 3 цепочка векторов {dj }jZ является полной, при этом справедливы соотношения dT a = 0, j+m+1 aj = 0.

dT jj Пространство S(X, A, ) называется пространством минимальных B сплайнов m-го порядка на сетке X. Сами сплайны будем называть минималь ными сплайнами максимальной гладкости.

Теорема 4. Пусть [(t)]0 1 для всех t (, ). Если цепочку векторов N def A = {aN } определить формулой j dj+1... dj+m def aN =, [dj+1... dj+m ] j то справедливо тождество j (t) 1 t (, ).

j Пространство S(X, AN, ) называется пространством нормализованных B сплайнов m-го порядка на сетке X.

Далее рассматриваются различные формулы для представления сплайна на каждом элементарном сеточном промежутке, указывается алгоритм построе ния сплайнов произвольного порядка и устанавливается связь этого алгоритма с алгоритмом построения элементарных симметрических многочленов. Некото рые из формул для представления сплайнов привлекают узлы, лежащие вне носителя сплайна, что неудобно для практического применения в вычислени ях. Сплайн, зависящий от минимального количества узлов, далее обозначается B B через j,m (t), где m — порядок сплайна, supp j,m (t) = [xj, xj+m+1 ].

B Теорема 5. Сплайн j,m (t) определяется узлами своего носителя xj, xj+1,..., xj+m+1 и векторами a m, a m +1,..., a m 1, a m, j j j+ j+ 2 2 2 dj, dj+1,..., dj+m+1, (S) (S) (S) j, j+1,..., j+m+1, S = 0, 1,..., m 1, где через m обозначена целая часть числа m.

2 Приведем примеры сплайнов порядка m = 0, 1, 2, 3. Рассмотрим измеримую функцию : (, ) R1 отличную от нуля почти всюду на интервале (, ).

Сплайнами нулевого порядка называются функции j,0 (t), j Z, удовлетворя B ющие условиям { t [xj, xj+1 ), (t), B (8) j,0 (t) = иначе.

0, Сплайны j,0 (t), получаемые для порождающей функции C 1 (, ), B (t) = 0 для всех t (, ) по формуле (8), называются кусочно-непрерывными сплайнами на сетке X, при этом j,0 (t) C 1 (, ).

B Для m = 1 формулы (5) и (6), использующие m-местное векторное произве def дение (4), для всех j Z принимают вид dT x det(j, x), x R2, и a = j+1.

j j Сплайны j,1 C(, ) и справедливы формулы B dT (t) j t [xj, xj+1 ), dT a, jj B j,1 (t) = dT (t) j+ dT a, t [xj+1, xj+2 ).

j+2 j При m = 2 сплайны j,2 C 1 (, ) и справедливы формулы B T dj (t) t [xj, xj+1 ), dT a, jj T d (t) dT a dT (t) j j j+1 j+ T T, t [xj+1, xj+2 ), B j,2 (t) = dj aj T dj aj dj+1 aj+ T d (t) j+ t [xj+2, xj+3 ).

dT a, j+3 j При m = 3 сплайны j,3 C 2 (, ) и справедливы B формулы T dj (t) t [xj, xj+1 ), dT a, jj T d (t) dT a dT (t) j j j+1 j+ dT a dT a dT a, t [xj+1, xj+2 ), jj jj j+1 j+ B j,3 (t) = dj+4 (t) dj+4 aj1 dT (t) T T j+ dT a dT a dT a, t [xj+2, xj+3 ), T j+4 j j+4 j j+3 j d (t) j+ t [xj+3, xj+4 ).

, dT a j+4 j Примеры полиномиальных и неполиномиальных сплайнов, построенных для различных порождающих вектор-функций, приведены в Приложении 2. При (t) = (1, t, t2,..., tm )T сплайны j,m (t) совпадают с известными полиномиаль B ными B-сплайнами m-ой степени.

Рассмотрим конечномерные пространства сплайнов на отрезке [a, b] (, ).

Введем обозначения def def def Jm,n = {m, m + 1,..., n 1, n}.

a = x0, b = xn, Из бесконечной сетки X выделим конечную сетку Xn, n N, n m + 1, Xn : xm... a = x0 x1... xn1 xn = b... xn+m, из полной бесконечной цепочки A A выделим конечную цепочку A, n { } A = a def m m, am m +1,..., an1+ m.

n 2 2 Для измеримого (по Лебегу) множества M R1 обозначим через mes (M) его лебегову меру. Пусть система {gj } состоит из функций gj (t), заданных почти везде на интервале (, ), и [a, b] (, ). Система функций {gj | mes (supp gj (a, b)) 0} называется сужением системы {gj } на отрезок [a, b].

Сузим все функции пространства S(X, A, ) на множество [a, b]. Совокуп ность этих сужений представляет собой конечномерное линейное пространство { } S(Xn, A, ) = u | u(t) = def cj j,m (t) cj R1, t [a, b] C m1 [a, b].

B n jJm,n def cj j,m (t), t [a, b] является следом B Теорема 6. Функция un (t) = jJm,n def t (, ) на отрезке [a, b], лежит в простран B функции u(t) = cj j,m (t), jZ стве S(Xn, A, ) и полностью определяется набором узлов {xj }jJm,m+n, на n (S) бором векторов {j }jJm,m+n, S = 0, 1,..., m 1, и набором коэффициентов {cj }jJm,n1.

B Следствие 3. Сужения функций j,m образуют линейно независимую си стему на отрезке [a, b], причем dim S(Xn, A, ) = n + m.

n Во второй главе рассматривается укрупнение и измельчение исходной сет ки (бесконечной и конечной). Глава посвящена калибровочным соотношениям и построению соответствующих матриц реконструкции, откуда следует вложен ность пространств B -сплайнов, построенных на различных сетках. На сетке X X (K0,, ), полученной из сетки X X (K0,, ) удалением одного узла, B строятся сплайны i,m. Устанавливаются калибровочные соотношения (обоб B щающие масштабирующее уравнение), выражающие сплайны i,m (на сетке X) B в виде линейной комбинации сплайнов j,m. Последовательное удаление узлов позволяет рассмотреть любую пару сеток X X и утверждать, что справед ливо вложение пространств S(X, A, ) S(X, A, ).

Ввиду теоремы 5 существует функция X, (t, g0, g1,..., gm+1 ), зависящая от вещественной переменной t (, ) и векторов g0, g1,..., gm+1 Rm+1, такая, что B j,m (t) = X, (t, dj, dj+1,..., dj+m+1 ).

Из исходной сетки X для фиксированного k Z удалим один узел xk+1 и на полученной таким образом укрупненной (разреженной) сетке X рассмотрим сплайны j,m (t), j Z.

B def def Пусть = xk+1, а xj – узлы вновь полученной сетки X = {xj | j Z} :

{ xj, j k, def (9) xj = xj+1, j k + 1.

Условимся ставить волну сверху над обозначениями всех ранее введенных объектов, определяемых новой сеткой X. В частности, положим (i) def j Z, j = (i) (xj ), i = 0, 1,..., S, dj = j j... j def (m1), a = dj+1 dj+2... dj+m.

def j B Функции j,m (t) можно отыскать по формуле (3), заменив узлы исходной сетки xj на узлы xj, j Z, при этом j,m (t) = X, (t, dj, dj+1,..., dj+m+1 ).

B Введем два множества пар индексов (i, j), полагая def M0 = {(i, j) | i, j {k m, k m + 1,..., k}}, def M1 = {(i, j) | i = j, j k m 1} {(i, j) | i = j 1, j k + 2}.

Для формулировки следующей теоремы необходимо рассмотреть систему линейных алгебраических уравнений (с неособенной матрицей системы) отно B сительно функций j,m, которые в этой ситуации будем считать неизвестными, k k+ T di a j,m = dT a j,m, i = k m, k m + 1,..., k.

B B (10) j ij j =km j=km Теорема 7. Любую функцию i,m, i Z можно представить в виде конеч B ной линейной комбинации функций j,m, j Z, B i Z, B B (11) i,m (t) = pi,j j,m (t), j где коэффициенты pi,j определяются следующей формулой находятся из системы (10), (i, j) M0, def (i, j) M1, 1, (12) pi,j = (i, j) M0 M1.

0, Соотношения (11) называются калибровочными соотношениями. Дадим их матричное представление. Введем бесконечномерные вектор-столбцы, компо нентами которых являются функции j,m (t) и j,m (t), j Z:

B B def B (t) = (..., 2,m (t), 1,m (t), 0,m (t), 1,m (t), 2,m (t),...)T, B B B B B def B (t) = (..., 2,m (t), 1,m (t), 0,m (t), 1,m (t), 2,m (t),...)T.

B B B B B Соотношения (11) представимы в виде t (, ), B (t) = P B (t), (13) def где P — бесконечная матрица вида P = (pi,j )i,jZ, элементы которой задаются формулой (12). Матрица P называется матрицей укрупняющей (разрежаю щей) реконструкции или матрицей удаления узла на интервале (, ).

Замечание 2. Матрицу P можно представить в виде.........

km+1 k km1 km k k+1 k+.................................

km1......

1 0 0... 0 0 0 km......

0 1... 0 0 0 pkm,km+ km+1......

0 0... 0 0 0 pkm+1,km+ P =..........

def........................

......

0 0 0... 0 pk1,k1 pk1,k k......

0 0 0... 0 1 pk,k k......

0 0 0... 0 0 0 k+.................................

Аналогичным образом рассматривается измельченная (уточненная или сгу щенная) сетка X X (K0,, ), полученная из сетки X добавлением одного но вого узла (xk, xk+1 ). Будем надчеркивать обозначения всех ранее введенных def объектов, определяемых сеткой X = {xj | j Z}:

xj, j k, def (14) xj =, j = k + 1, xj1, j k + 2.

На сетке X строятся сплайны B и устанавливаются калибровочные соот j,m B ношения, выражающие сплайны i,m (на сетке X) в виде линейной комбинации сплайнов B. Введем бесконечномерный вектор-столбец B (t), компонентами j,m которого являются функции B (t), j Z:

j,m def B (t) = (..., B (t), B (t), B (t), B (t), B (t),...)T.

2,m 1,m 0,m 1,m 2,m Тогда калибровочные соотношения представимы в виде t (, ), B (t) = P B (t), (15) def где P = (pi,j )i,jZ — матрица измельчающей (уточняющей или сгущающей) реконструкции или матрица добавления узла на интервале (, ).

Последовательное добавление узлов позволяет рассмотреть любую пару се ток X X, и утверждать, что справедливо вложение пространств S(X, A, ) S(X, A, ).

Рассмотрим калибровочные соотношения и соответствующие матрицы ре конструкции в конечномерном случае, используя введенные ранее сужения всех функций на отрезок [a, b].

Предполагая, что k {0, 1,..., n 2}, удалим узел xk+1 из сетки Xn ;

в результате получим укрупненную сетку Xn : xm... a = x0 x1... xn1 = b... xn+m1, где узлы xi, i = m,..., n + m 1, определяются формулами (9). Для k {0, 1,..., n 1} добавим узел (xk, xk+1 ) к сетке Xn ;

в результате получим измельченную сетку Xn : xm... a = x0 x1... xn+1 = b... xn+m+1, где узлы xi, i = m,..., n + m + 1, определяются формулами (14).

Введем конечномерные вектор-функции def B (t) = (m,m (t), m+1,m (t),..., n1,m (t))T, B B B (n) def B (t) = (m,m (t), m+1,m (t),..., n2,m (t))T, B B B (n) def B (t) = ( B B B T m,m (t), m+1,m (t),..., n,m (t)).

(n) Ввиду равенства (13) в конечномерном случае калибровочные соотношения для k {0, 1,..., n 2} могут быть записаны в виде t [a, b], B (t) = Pn B (t), (16) (n) (n) где Pn — прямоугольная числовая матрица размера (n + m 1) (n + m), на зываемая матрицей укрупняющей (разрежающей) реконструкции на отрезке [a, b].

Ввиду равенства (15) в конечномерном случае калибровочные соотношения для k {0, 1,..., n 1} могут быть записаны в виде t [a, b], B (t) = Pn B (t), (17) (n) (n) где Pn — прямоугольная числовая матрица размера (n+m)(n+m+1), называ емая матрицей измельчающей (уточняющей или сгущающей) реконструкции на отрезке [a, b].

Далее в этой главе вычисляются коэффициенты pi,j и pi,j для сплайнов по рядка m = 0, 1, 2, 3 и приводятся соответствующие матрицы реконструкции на интервале и на отрезке.

Третья глава посвящена построению систем функционалов, биортогональ ных системам минимальных сплайнов, и нахождению соответствующих матриц декомпозиции. Рассмотрим некоторое линейное пространство U над полем ве щественных чисел и сопряженное ему пространство U линейных функционалов f над пространством U. Значение функционала f на элементе u U обозначим через f, u. Введем линейное пространство Cc, d, состоящее из функций u(t) пространства C(c, d), которые имеют следующие конечные пределы lim u(t) и tc+ lim u(t). Введем также пространства td { } def def CX = Cxk, xk+1, CS = u | u(i) CX, i = 0, 1,..., S, S Z+.

X kZ Символом (CS ) обозначается пространство, сопряженное к пространству X CS. При CS (, ) пространства S(X, A, ) лежат в пространстве CS.

X X Для функционала f (CS ) будем писать supp f [c, d], если значение X f, u определяется значениями функции u CS на интервале (c, d).

X Теорема 8. Пусть CS (, ), A A и для каждого фиксированного def k Z определен вектор fk = ([fk ]0, [fk ]1,..., [fk ]m )T, компонентами которого являются функционалы [fk ]i (CS ), i = 0, 1,..., m, такие, что supp [fk ]i X [xk, xk+1 ]. Пусть матрица fk T со столбцами вида ( )T [fk ]0, []i, [fk ]1, []i,..., [fk ]m, []i, i = 0, 1,..., m, неособенная. Тогда при каждом фиксированном числе r {0, 1,..., m} система {gk }kZ функционалов [gk ]r (CS ), определяемых равенствами X [ ( )1 ] def k Z, [gk ]r = AT fkr+m T fkr+m, kr+m r представляет собой продолжение на CS системы функционалов, биортого X нальной системе минимальных (A, )-сплайнов {k }k Z, т. е.

k, k Z, [gk ]r, k = k,k где k,k — символ Кронекера. При этом supp [gk ]r [xkr+m1, xkr+m ].

Пусть {fj }jZ такая система функционалов, что supp fj [xj, xj+1 ].

Теорема 9. Для того, чтобы система функционалов {fj }jZ была биорто гональна системе минимальных (A, )-сплайнов {j }j Z, необходимо и до статочно, чтобы fj, = aj.

Далее будем предполагать, что система функционалов {fj }jZ биортогональ на системе функций {j,m }j Z, т. е. fj, j,m = j,j для всех j, j Z, и рас B B смотрим интерполяционную задачу u S(X, A, ), fj, u = vj, j Z, (18) где {vj }jZ — заданная последовательность чисел (бесконечная в обе стороны).

Теорема 10. В пространстве S(X, A, ) существует единственное реше ние задачи (18), и это решение дается формулой B (19) u(t) = vj j,m (t).

j Рассмотрим систему функционалов {fi }iZ биортогональную системе функ ций {j,m }jZ. Вычислим значения функционалов fi на функциях j,m (t). Пусть B B далее def qi,j = fi, j,m i, j Z.

B Введем два множества пар индексов (i, j), полагая def I0 = {(i, j) | i = k m + 1,..., k 1, j = k m,..., k + 1, j i + 1}, def I1 = {(i, j) | i = k m + 1,..., k 1, j = k m,..., k + 1, i j}.

Теорема 11. Для i, j, k Z справедливы равенства {j k m 1, i Z}, i,j {j = k m,..., k + 1, i k m}, 0, (i, j) I0, ( ) j det {aj }j Jk,j =j ai (20) qi,j = ( ), (i, j) I1, det a, a km+1,..., ak km {j = k m,..., k + 1, i k} i,j1, {j k + 2, i Z}.

def Матрица Q = (qi,j )i,jZ, элементы которой задаются формулами (20), на зывается матрицей укрупняющей (разрежающей) декомпозиции на интервале (, ).

Замечание 3. Матрицу Q можно представить в виде.........

km km+1 k km1 k k+1 k+.................................

......

1 0 0... 0 0 0 km km......

0 1 0... 0 0 0 km+1......

0... 0 0 0 qkm+1,km qkm+1,km+ Q =..........

def........................

......

0... 0 0 qk1,km qk1,km+1 qk1,k k......

0 0 0... 0 0 1 k......

0 0 0... 0 0 0 k+.................................

def def Пусть qi,j = fi, B для всех i, j Z. Матрица Q = (qi,j )i,jZ называет j,m ся матрицей измельчающей (уточняющей или сгущающей) декомпозиции на интервале (, ).

Теорема 12. Матрицы Q и Q являются левыми обратными к матрицам T T P и P соответственно, т. е.

T QPT = I, (21) Q P = I, где I — единичная матрица.

Пусть далее система функционалов {f j }jZ биортогональна системе функ ций { B,m }j Z.

j Замечание 4. Справедливы равенства pi,j = fj, i,m, pi,j = f j, i,m i, j Z.

B B Рассмотрим представление матриц декомпозиции на отрезке [a, b]. Выделим из множества функционалов {fj }jZ конечный набор из n+m функционалов, из множества функционалов {fj }jZ конечный набор из n+m1 функционалов, из множества функционалов {f j }jZ конечный набор из n + m + 1 функционалов.

Теорема 13. Для систем функционалов {fi }iJm,n1, {fj }jJm,n2 и {f l }lJm,n справедливы равенства fi, i,m = i,i, i, i Jm,n1, B fj, j,m = j,j, j, j Jm,n2, B l, l Jm,n, f l, B,m = l,l, l причем supp fi [a, b], supp fj [a, b], supp f l [a, b].

def Прямоугольная матрица Qn = (qi,j ), i Jm,n2, j Jm,n1, размера (n + m 1) (n + m) называется матрицей укрупняющей (разрежающей) декомпозиции def на отрезке [a, b], а прямоугольная матрица Qn = (qi,j ), i Jm,n1, j Jm,n, раз мера (n + m) (n + m + 1) называется матрицей измельчающей (уточняющей) декомпозиции на отрезке [a, b].

Теорема 14. Для матриц Pn и Qn, Pn и Qn справедливы соотношения T Qn PT = In+m1, Qn Pn = In+m, n где In+m1, In+m — единичные квадратные матрицы порядка n + m 1 и n + m соответственно.

Далее в этой главе вычисляются коэффициенты qi,j и qi,j для сплайнов по рядка m = 0, 1, 2, 3 и приводятся соответствующие матрицы декомпозиции на интервале и на отрезке.

Четвертая глава посвящена построению всплесковых разложений про странств сплайнов. Рассмотрим сплайн-всплесковое сжатие на интервале. Со гласно калибровочным соотношениям (11) справедливо вложение пространств S(X, A, ) S(X, A, ).

Рассмотрим оператор P проектирования пространства S(X, A, ) на под пространство S(X, A, ), задаваемый формулой ai i,m, ai = fi, u, u S(X, A, ), def def B Pu = i и введем оператор Q = I P, где I — тождественный оператор.

Пространство W = Q S(X, A, ) называется пространством всплесков, а def прямое разложение S(X, A, ) = S(X, A, ) W (22) называется сплайн-всплесковым сжатием пространства S(X, A, ).

В соответствии с равенством (22) для u S(X, A, ) имеем ( ) B B B u= ai i,m + bi i,m = ai pi,i + bi i,m, i i i i def так что для чисел cj = fj, u получаем j Z. (23) cj = ai pi,j + bj, i Пусть известны коэффициенты cj в разложении элемента u S(X, A, ) B B по элементам базиса j,m, а именно, u = cj j,m.

j Формулы ai = qi,i ci, i ( ) bj = cj pi,j qi,i ci, i i называются формулами декомпозиции.

def def Введем вектор-столбцы a = (..., a1, a0, a1,...)T, b = (..., b1, b0, b1,...)T, def c = (..., c1, c0, c1,...)T, и перепишем формулы декомпозиции в матричном виде a = Q c, b = c PT Q c.

Применяя к предыдущему равенству матрицу Q и используя формулу (21), получаем равенство Q b = 0, откуда следует, что вектор b содержится в ядре оператора Q : b ker Q.

Рассмотрим пространство L всех числовых последовательностей, представ def ленных вектор-столбцами l = (..., l1, l0, l1,...)T, и линейный оператор, опре деляемый матрицей Q в нем (это определение корректно, ибо упомянутая мат рица имеет конечное число ненулевых элементов в каждой строке). Ядро это го оператора представляет собой линейное пространство;

обозначим его через def B = {b | b = (..., b1, b0, b1,...)T, Q b = 0}, т. е. B = ker Q.

Рассмотрим еще два экземпляра пространства L, обозначая их через A и C.

Элементами пространства A являются векторы a, а элементами пространства C являются векторы c. Пусть F — прямое произведение пространств A и B:

def F = A B, т. е. {( ) } a F= a A, b B.

b Рассмотрим оператор ( ) Q def D : C F, D=, I PT Q для которого ( ) { () a = Qc a Q c = Dc =, I P Q b = (I PT Q) c T b этот оператор называется оператором декомпозиции.

Пусть теперь известны коэффициенты ai и bi в разложениях проекций эле мента u S(X, A, ) на пространства S(X, A, ) и W :

B B Pu = ai i,m, Qu = bi i,m.

i i Найдем формулы для определения коэффициентов cj для представления B элемента u в виде суммы u = cj j,m ;

упомянутые формулы имеют вид (23) j и называются формулами реконструкции.

( ) def Оператор R : F C, R = P I, для которого T () ( ) (a) a c = PT a + b, T c=R =P I b b называется оператором реконструкции.

Теорема 15. Операторы D и R взаимно обратны;

они реализуют линей ный изоморфизм пространств C и F.

Рассмотрим сплайн-всплесковое сжатие на отрезке. Согласно калибровоч ным соотношениям (16) справедливо вложение пространств S(Xn, An, ) S(Xn, A, ).

n Рассмотрим оператор Pn проектирования пространства S(Xn, A, ) на под n пространство S(Xn, An, ), задаваемый формулой ai i,m, ai = fi, u, u S(Xn, A, ), def B Pn u = n iJm,n и введем оператор Qn = I Pn, где I — тождественный в S(Xn, A, ) оператор.

n def Пространство Wn = Qn S(Xn, An, ) называется пространством всплесков, а прямое разложение S(Xn, A, ) = S(Xn, An, ) (24) Wn n называется сплайн-всплесковым сжатием пространства S(Xn, A, ). n В соответствии с равенством (24) для u S(Xn, A, ) имеем n ( ) B B B u= ai i,m + bi i,m = ai pi,i + bi i,m, i Jm,n1 i Jm,n iJm,n2 iJm,n так что для чисел cj = fj, u получаем j Jm,n1. (25) cj = ai pi,j + bj, iJm,n Пусть известны коэффициенты cj в разложении элемента u S(Xn, A, ) n B B по элементам базиса j,m, а именно, u = cj j,m.

jJm,n Формулы i Jm,n2, (26) ai = qi,i ci, i Jm,n ( ) b j = cj j Jm,n1, (27) pi,j qi,i ci, i J iJm,n m,n называются формулами декомпозиции.

def def Введем вектор-столбцы an = (am, am+1,..., an2 )T, bn = (bm, bm+1,..., def bn1 )T, cn = (cm, cm+1,..., cn1 )T.

Рассмотрим пространство Li, i N, всех числовых последовательностей, def представленных вектор-столбцами li = (lm, lm+1,..., li )T, и линейный опе def def ратор из пространства Cn = Ln1 в пространство An = Ln2, определяе мый матрицей Qn в нем. Ядро этого оператора представляет собой линейное def пространство;

обозначим его через Bn = {bn | bn = (bm, bm+1,..., bn1 )T, Qn bn = 0}, т. е. Bn = ker Qn.

def Пусть Fn — прямое произведение пространств An и Bn : Fn = An Bn, т. е.

{( ) } an Fn = an An, bn Bn.

bn Рассмотрим оператор ( ) Qn def Dn : Cn Fn, Dn =, I P T Qn n для которого ( ) { ( ) an = Qn cn an Qn cn = Dn cn =, I Pn Qn bn = (I PT Qn ) cn T bn n этот оператор называется оператором декомпозиции.

Пусть известны коэффициенты ai, i Jm,n2 и bi, i Jm,n1 в разложениях проекций элемента u S(Xn, A, ) на пространства S(Xn, An, ) и Wn :

n B B Pn u = ai i,m, Qn u = bi i,m.

i Jm,n iJm,n Найдем формулы для определения коэффициентов cj для представления B элемента u в виде следующей суммы u = cj j,m ;

упомянутые формулы jJm,n имеют вид (25) и называются формулами реконструкции.

( ) def Оператор Rn : Fn Cn, Rn = PT I, для которого n ( ) ) (a ) ( an n cn = PT an + bn, PT c n = Rn = I n n bn bn называется оператором реконструкции.

Теорема 16. Операторы Dn и Rn взаимно обратны;

они реализуют линей ный изоморфизм пространств Cn и Fn.

Рассмотрим сплайн-всплесковое уточнение на интервале. Согласно калибро вочным соотношениям (15) справедливо вложение пространств S(X, A, ) S(X, A, ). Используя систему функционалов {fj } для построения оператора проектирования пространства S(X, A, ) на подпространство S(X, A, ) на ходим следующее представление S(X, A, ) = S(X, A, ) W, называемое сплайн-всплесковым уточнением пространства S(X, A, ), W — пространство всплесков, которое натянуто на B -сплайн, соответствующий до бавленному (к сетке X) узлу. Согласно калибровочным соотношениям (17) спра ведливо вложение пространств S(Xn, A, ) S(X n, An, ), откуда находим n представление S(X n, An, ) = S(Xn, A, ) W n, n называемое сплайн-всплесковым уточнением пространства S(X n, An, ), W n — пространство всплесков. Для сплайн-всплескового уточнения на интервале и отрезке построены операторы декомпозиции и реконструкции, найдены фор мулы декомпозиции и реконструкции. Соответствующие коэффициенты в них def def обозначаются через векторы a = (..., a1, a0, a1,...)T, b = (..., b1, b0, b1,...)T, def c = (..., c1, c0, c1,...)T.

Далее в данной главе для последовательности вложенных сеток рассмат риваются варианты систем вложенных пространств B -сплайнов (телескопи ческие системы пространств), для которых получено разложение в прямую сумму всплесковых пространств, приведены соответствующие формулы деком позиции и реконструкции для сплайнов порядка m = 0, 1, 2, 3.

В пятой главе рассматриваются вопросы аппроксимации минимальными сплайнами максимальной гладкости. Пусть дана функция u C m+1 (, ). Рас смотрим сплайн fj, u j,m, uh = B (28) j где fj, u — некоторые линейные функционалы над пространством C m+1 (, ), которые в этом случае будем называть аппроксимационными.

def Введем обозначения e = (0,..., 0, 1)T, u(t) []0 (t) []1 (t)... []m (t) [] 1 (t)... [] m (t) u (t) [] 0 (t) [] (t)... [] (t) u (t) [] 0 (t) def 1 m W (u, )(t) =,...............

(m) (m) (m) u(m) (t) []0 (t) []1 (t)... []m (t) (m+1) (m+1) (m+1) u(m+1) (t) []0 (t) []1 (t)... []m (t) t ( ) W (u, )( ) W1 ( ) (t), e Rm+ def t0 (, ).

Rt0 u(t) = d, W ( ) t Теорема 17. Если u C m+1 (, ), t (xk, xk+1 ), то справедливо представ ление B k u (t) u(t) = h fj, Rt u(·) j,m (t), j=km где символ · означает переменную, по которой вычисляются функционалы fj.

Аппроксимация (28) при t (xk, xk+1 ) обладает свойством точности на { } функциях u []s | s = 0, 1,..., m, т. е.

{ } uh (t) u(t) при u []s | s = 0, 1,..., m.

Далее в главе приводятся результаты численных экспериментов по аппрок симации сплайнами порядка m = 0, 1, 2, 3. Аппроксимация (28) рассматрива def лась на отрезке [a, b] для сеток вида Xn = {xj = a + j(b a)/n, j = 0,..., n}, и искалась экспериментальная погрешность приближения E m = max |uh (t)u(t)| t[a,b] на вспомогательной более мелкой сетке. В качестве набора тестовых функций использовались, например, функция Рунге 1+25 t2 и некоторые другие суперпо зиции элементарных функций. В качестве порождающих вектор-функций вы бирались, например, вектор-функция (t) = (1, sh t, ch t)T и многие другие ва рианты. Построенные аппроксимации обладают свойством точности на компо нентах вектор-функции.

В главе также рассматривается модель сплайн-всплесковой аппроксимации в случае добавления одного узла к исходной сетке. Для наглядности графически изображается погрешность приближения на исходной сетке и на измельченной сетке, а также всплесковый базис, которым служит добавленный B -сплайн (добавленная базисная функция).

Шестая глава посвящена рассмотрению всплескового разложения простран ства исходных потоков. Дана оценка числа арифметических операций в фор мулах декомпозиции и реконструкции. Исследована устойчивость вычислений при декомпозиции и реконструкции.

Рассмотрим сплайн-всплесковое сжатие и уточнение с соответствующими формулами декомпозиции и реконструкции. Для удобства одновременного рас def смотрения упомянутых выше объектов введем единые обозначения a = (..., a1, def a0, a1,...)T либо (..., a1, a0, a1,...)T, b = (..., b1, b0, b1,...)T либо (..., b1, b0, def def def b1,...)T, c = (..., c1, c0, c1,...)T либо (..., c1, c0, c1,...)T, P = P либо P, Q = Q либо Q, соответственно.

Для векторов a, b, c и матриц P, Q справедливы формулы декомпозиции b = c PT Q c, a = Q c, (29) и формулы реконструкции c = PT a + b. (30) Вектор c называется исходным потоком, вектор a — основным потоком, вектор b — всплесковым потоком.

Рассмотрим два экземпляра введенного ранее пространства L, обозначая их через A и C. Элементами пространства A являются векторы a = (..., a1, a0, a1,...)T, а элементами пространства C являются векторы c = (..., c1, c0, c1,...)T.

Матрицы P и Q будем рассматривать как линейные операторы, действующие из пространства C в пространство A. Упомянутые линейные операторы будем обозначать теми же символами P, Q [C A]. Оператор PT, порождаемый транспонированием матрицы P, будем рассматривать как оператор, действу ющий из пространства A в пространство C : PT [A C]. Пространство C называется пространством исходных потоков.

Рассмотрим формулы декомпозиции (29) и реконструкции (30) при a A, c, b C. Обозначим через IA и IC тождественные операторы в пространствах A и C соответственно. Ввиду равенств (21) справедливо соотношение Q PT = IA и, следовательно, верно равенство Q b = 0. Таким образом, вектор b ker Q.

Рассмотрим подпространство S пространства C, определяемое равенством def def S = {a | a = PT a a A}, и положим B = ker Q.

Теорема 18. Оператор PT, рассматриваемый в паре пространств A и S, PT : [A S], является изоморфизмом этих пространств. Обратным опера тором служит сужение оператора Q на подпространство S :

( ) Q|S = PT.

Теорема 19. Пространство C может быть представлено в виде прямой суммы C = S B.

def Оператор R = PT Q проектирует пространство C на подпространство S, а оператор IC R проектирует пространство C на подпространство B.

Теорема 20. Если S и B — гильбертовы пространства со скалярными про изведениями (s1, s2 )S и (b1, b2 )B соответственно, то относительно скалярно го произведения в пространстве C, вводимого для любых элементов c1, c2 C по формуле def def def (c1, c2 )C = (s1, s2 )S + (b1, b2 )B, si = Rai, bi = (IC R)ai, i = 1, 2, ( )+ линейный оператор PT [C C], задаваемый соотношением { ( T )+ def Qa, a S, c= P a B, 0, является псевдообратным оператором.

Норму, порождаемую скалярным произведением в пространстве C, обозна def чим через c = (c, c)C, c C.

Следствие 4. Уравнение PT a = c0, рассматриваемое при фиксированном c0 C относительно a A, разреши мо при c0 B, а при c0 B это уравнение не имеет решения. Вектор def ( )+ a = PT c0 может рассматриваться как «наилучшее обобщенное решение» уравнения в том смысле, что PT a c0 PT a c0 a A, причем равенство достигается лишь при a = a.

Оценим число арифметических операций в формулах декомпозиции (29) и реконструкции (30) без учета числа операции необходимых при вычислениях элементов матриц P и Q. Оценка этого количества может быть получена при конкретных вариантах задания порождающей вектор-функции.

Теорема 21. При декомпозиции для отыскания каждого элемента основ ного потока требуется не более m мультипликативных и не более m аддитивных операций, а для отыскания всплескового потока дополнительно требуется не более 2 мультипликативных и не более 2 аддитивных опера ций. Для определения каждого элемента реконструируемого исходного потока требуется не более 2 мультипликативных и не более 2 аддитивных операций.

def Следствие 5. Если пространства A, C — конечномерны и N = dim A, def M = dim C — их размерности, то при декомпозиции для отыскания основ ного потока требуется не более Nm мультипликативных и не более N(m 1) аддитивных операций, а для отыскания всплескового потока дополнительно требуется не более 2M мультипликативных и не более 2M аддитивных опе раций. Для определения реконструируемого исходного потока требуется не более 2M мультипликативных и не более 2M аддитивных операций.

Для i, j Z введем обозначения def def P (j) = {i | pi,j = 0}, Q(i) = {j | qi,j = 0}, def def |pi,j |, |qi,j |.

P = sup Q = sup jZ iZ iP (j) jQ(i) Пусть pj — число ненулевых элементов в j-й строке матрицы PT, а qi — число ненулевых элементов в i-й строке матрицы Q. Ясно, что для чисел pj и qi справедливы равенства pj = |P (j) |, qi = |Q(i) |.

Будем считать, что пространства A и C сужены так, что их элементы имеют def def конечные нормы a = sup |[a]i |, c = sup |[c]j | соответственно.

iZ jZ Теорема 22. При декомпозиции для векторов a и b справедливы оценки a Q c, b (1 + QP) c, а при реконструкции верно неравенство c P a + b.

Далее в главе даны способы распараллеливания всплесковых разложений.

Приведены параллельные формы для вычисления формул декомпозиции и ре конструкции. Представлены результаты применения алгоритмов декомпозиции и реконструкции к сжатию и восстановлению модельных числовых потоков, в том числе и изображений. Приводятся результаты численного сравнения сплайн всплескового алгоритма сжатия (на неравномерной сетке) и алгоритмов сжатия, использующих различные известные всплески (на равномерной сетке). Упомя нутые методы сжатия применялись к набору одномерных сигналов, генерируе мых модельными функциями u(t). В качестве критерия сравнения методов была взята оценка погрешности приближения E = max |uc (t) u(t)|, где uc — значе t[a,b] ния сжатой функции в узлах исходной сетки. Для сжатия сигнала известными всплесками использовался пакет Wavelet Toolbox системы MATLAB, в котором, в частности, реализован всплеск Хаара (haar), всплески Добеши (db2–db5), кои флеты (coif1–coif3), биортогональные всплески (bior2.2, bior3.1–bior3.5). Напри мер, для сигнала, генерируемого модельной функцией u(t) = sin(30 t) на отрезке [a, b] = [0, 1] c сеткой Xn, n = 1000, перечисленные всплески заметно уступают сплайн-всплесковому сжатию B -сплайнами, (t) = (1, t, t2 )T, при сжатии дан ного сигнала в 20 и, особенно, в 100 раз. Сплайн-всплесковый метод сжатия на неравномерной секте также показал лучшие результаты при большом сжатии (в 100 и более раз) и во всех других рассмотренных случаях.

Седьмая глава посвящена описанию разработанного программного ком плекса моделирования минимальных сплайнов максимальной гладкости, пред назначенного для решения вычислительных задач аппроксимации функций, сжатия, уточнения и восстановления числовых потоков данных, в том числе и изображений.

Программный комплекс состоит из отдельных модулей (функциональных блоков), написанных с использованием языка программирования C# и системы компьютерной математики Maple;

дадим их краткое описание.

Первый блок (MSApprox) предназначен: для моделирования минимальных сплайнов в зависимости от порождающей вектор-функции ;

для выбора подхо дящего аппарата аппроксимации, используя априорную информацию о харак тере обрабатываемого сигнала;

для восстановления функциональных зависи мостей полученных с помощью аналоговых или цифровых регистраторов (либо непрерывная модельная функция, либо множество отсчетов значений сигнала);

для нахождения погрешности аппроксимации;

для отображения получаемых аппроксимаций и погрешностей аппроксимации в графическом виде.

Второй блок (InputFlowGenerator) выполняет генерацию исходного потока def при помощи чисел cj = fj, u, где u — функция, задаваемая либо некоторой модельной функцией, либо массивом отсчетов значений сигнала. Аналогично интерполяционной задаче (18) ищется соответствующее решение (19).

В третьем блоке (Compressor) анализируется исходный поток. Новая сет ка Xn автоматически строится неравномерной, она укрупняется обратно про порционально росту первой производной (разностному отношению). Механизм адаптации алгоритма сжатия заключается в определении количества узлов, ко торые можно исключить из данной сетки, учитывая особенности сжимаемого числового потока. Далее по формулам декомпозиции (26)–(27) получается ос новной и всплесковый потоки.

В четвертом блоке (Restorer) по основному потоку строится сплайн, который приближенно восстанавливает исходный поток. При этом происходит «восста новление с потерей информации».

В пятом блоке (Reconstructor) по основному и всплесковому потокам, ис пользуя формулы реконструкции (25), строится сплайн, который полностью реконструирует исходный поток.

Для сжатия изображений был разработан дополнительный модуль считыва ния изображения, восстановления изображения по основному потоку и модуль реконструкции изображения по основному и всплесковому потокам.

В заключении перечислены основные результаты исследования.

В конце имеются два приложения. Первое из них посвящено изучению свойств определяющей цепочки векторов и доказательству различных алгеб раических тождеств между определителями матриц порядка m, элементами которых служат определители матриц порядка m + 1. Второе приложение со держит различные примеры построения полиномиальных и неполиномиальных сплайнов.

Публикации автора по теме диссертации [1] Макаров А. А. Об одном алгебраическом тождестве в теории B -сплайнов второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 96–98.

(Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 40 (2007), no. 1, 85–88.) [2] Макаров А. А. О распараллеливании вэйвлетных методов сжатия инфор мации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 4. С. 45–49.

[3] Макаров А. А. Нормализованные тригонометрические сплайны лаг ранжева типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 81–87.

(Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 41 (2008), no. 3, 266–272.) [4] Макаров А. А. О вэйвлетном разложении пространств сплайнов первого порядка // Проблемы матем. анализа. 2008. Вып. 38. С. 47–60. (J. Math.

Sci. 156 (2009), no. 4, 617—631.) [5] Макаров А. А. Моделирование калибровочных соотношений для неполи номиальных сплайнов // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13. Спец. вып. 4.

С. 94–100.

[6] Макаров А. А. Один вариант сплайн-вэйвлетного разложения пространств B-сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 2. С. 59–71.

[7] Макаров А. А. О построении сплайнов максимальной гладкости // Про блемы матем. анализа. 2011. Вып. 60. С. 25–38. (J. Math. Sci. 178 (2011), no. 6, 589–604.) [8] Макаров А. А. Матрицы реконструкции и калибровочные соотношения для минимальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. 2011. Вып. 60.

С. 39–52. (J. Math. Sci. 178 (2011), no. 6, 605–621.) [9] Макаров А. А. Матрицы реконструкции и декомпозиции для линейных сплайнов // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 18. С. 215–236.

[10] Макаров А. А. Алгоритмы вэйвлетного уточнения пространств сплайнов первого порядка // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 19. С. 203–220.

[11] Макаров А. А. Матрицы добавления и удаления узлов для неполиноми альных сплайнов // Вычислительные методы и программирование. 2012.

Т. 13. С. 74–86.

[12] Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для непо линомиальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. 2006. Вып. 34.

С. 39–54. (J. Math. Sci. 142 (2007), no. 1, 1769–1787.) [13] Демьянович Ю. К., Косогоров О. М., Макаров А. А. Возможности распа раллеливания вэйвлетно-сплайнового сжатия на неравномерной сетке // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных си стемах. Материалы Седьмой Международной конференции-семинара. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. С. 381–384.

[14] Макаров А. А. Сплайн-вэйвлетная модель аппроксимации на неравномер ной сетке // Космос, астрономия и программирование (Лавровские чте ния): Тезисы докладов междунар. науч. конференции, С.-Петербург, 20– мая 2008 г. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 216–221.

[15] Макаров А. А. Минимальные тригонометрические сплайны нулевой высо ты // Методы вычислений. Вып. 22. Сб. / Под ред. В. М. Рябова. — СПб.:

Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 82–98.

[16] Косогоров О. М., Макаров А. А. О сплайн-вэйвлетном сжатии на нерав номерной сетке // Питання оптимизацii обчислень (ПОО-XXXV): Працi мiжнародного симпозiуму, смт. Кацивелi, Украiна, 24–29 вересня 2009 р.

— Киiв: Iнститут кiбернетики iменi В. М. Глушкова, 2009. Т. 1. С. 340–345.

[17] Kosogorov O. M., Makarov A. A. Spline wavelet decomposition and parallel compression // Zbornik radova konferencije MIT 2009. University of Pristina.

Beograd, 2010. P. 202–205.

[18] Макаров А. А. Кусочно-непрерывные сплайн-вэйвлеты на неравномерной сетке // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 14. C. 103–131.

[19] Макаров А. А. Сплайн-вэйвлетные разложения на неравномерной сет ке. Некоторые варианты построения. Lambert Academic Publishing, 2010.

130 с.

[20] Макаров А. А. Сплайн-вейвлетное сжатие на отрезке // Семи нар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 12 ноября 2011 г.

(http://dha.spb.ru/reps11.shtml#1112)

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.