авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ЧАЙКОВСКИЙ Михаил Михайлович

СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНОГО АНИЗОТРОПИЙНОГО

СТОХАСТИЧЕСКОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДАМИ ВЫПУКЛОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ,

управление и обработка информации (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Научный консультант: доктор технических наук, старший научный сотрудник А.П. Курдюков

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Б.Т. Поляк доктор физико-математических наук, профессор П.В. Пакшин доктор технических наук, профессор В.Н. Афанасьев

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита диссертации состоится “ ” 2012 г. в часов на заседании Диссертационного совета Д002.226.01 при ИПУ РАН по адресу:

117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН.

Автореферат разослан “ ” 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д002.226. доктор технических наук В.К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи подавления неизвестных возмущений являются чрезвычайно важными задачами теории управления, неизбежно возникающими при проектировании современных систем управления техни ческими объектами. Как правило, системы автоматического управления ра ботают в условиях помех, под влиянием неизвестных внешних воздействий, к которым относятся как возмущения, так и задающие команды;

измеряемые значения сигналов содержат случайные ошибки;

управляющие воздействия могут отрабатываться со случайными погрешностями. При этом параме тры реального технического объекта управления могут отличаться от пара метров математической модели этого объекта, для которой проектировался закон управления. Изменение параметров может быть обусловлено, в числе прочего, стохастической изменчивостью среды функционирования системы управления.

Для решения задач подавления возмущений в теории управления при меняются разнообразные подходы. Задачу подавления возмущений можно сформулировать как задачу минимизации (ограничения) влияния этих воз мущений на качество работы системы управления. Выбор критерия каче ства в задаче подавления возмущений мотивируется различными предполо жениями о характере возмущений, действующих на систему. В задаче син теза линейно-квадратичного гауссовского (ЛКГ) регулятора — линейного регулятора, минимизирующего квадратичный по состоянию и управлению функционал качества — предполагается, что внешнее возмущение является гауссовским белым шумом. Основы этого подхода были заложены в начале 60-х годов ХХ века в работах А.М. Летова и Р. Калмана. Такая задача явля ется частным случаем более общей задачи H2 -оптимизации, рассмотренной в работе Д. Дойла, К. Гловера, П. Харгонекара, Б. Фрэнсиса1. С другой сто роны, если точная модель объекта управления недоступна или статистиче ский характер внешнего возмущающего воздействия неизвестен, требуется другое базовое предположение. При использовании H оптимального под хода предполагается, что внешнее возмущающее воздействие представляет собой сигнал, интегрируемый (суммируемый) с квадратом. Это направле ние было основано Д. Зеймсом в середине 80-х годов ХХ века и развивалось в работах Д. Дойла, У. Шейкеда, Б. Фрэнсиса, Д. Гу, П. Иглесиаса, К. Гловера, К. Шерера, К. де Сузы, Р. Скелтона, Т. Ивасаки, П. Гаинета, П. Апкаряна и многих других исследователей.

Стохастическая неопределенность случайных возмущений, рассматрива емая как различие между неточно известным распределением реального шу Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., and Francis B.A. State-space solutions to standard H2 and H control problems // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 831–847.

ма измерений и распределением его номинальной модели, может значительно ухудшить качество работы системы управления, если применяемая процеду ра синтеза регулятора основана на определенном законе распределения воз мущения и предположении, что этот закон известен точно. Подобные ситу ации могут также возникать из природного непостоянства условий рабочей среды системы управления. Так, H2 и H регуляторы являются полностью эффективными лишь при достаточно точном выполнении базовых гипотез о природе внешних возмущений. Известно, что H2 (или ЛКГ) регулятор может оказаться недостаточно эффективным в случае, если внешнее возму щение представляет собой сильно коррелированный шум2, в то время как H регулятор, проектируемый для наихудшего случая детереминирован ного возмущения, проявляет излишний консерватизм и требует избыточных энергетических затрат на управление, если внешнее возмущение представля ет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.

Идеи построения регуляторов, которые сочетали бы положительные ка чества ЛКГ (H2 ) и H регуляторов (т.е. минимизировали линейно-квад ратичный критерий качества и были бы достаточно робастны) возникли в начале 1990-х годов. В частности, можно выделить подход, предложен ный Д. Бернстайном и В. Хаддадом3 и связанный с минимизацией H2 нор мы замкнутой системы при ограничениях на ее H норму. Эти идеи были расширены на основе разделения внешних возмущений на сигналы с огра ниченным спектром и ограниченной мощностью и применения смешанно го H2 /H критерия качества (К. Жоу, К. Гловер, Б. Боденхаймер, Д. Дойл, Д. Ю, Р. Мирадоре, Г. Риччи). В основе другого подхода, разработанно го Д. Мустафой и К. Гловером4, лежит минимизация функционала H эн тропии при ограничениях на H норму замкнутой системы (П. Иглесиас, Д. Лаймбир, А. Яйш, У. Шейкед, Э. Фридман).



П. Харгонекар и М. Ротеа в 1991 г. рассмотрели смешанную H2 /H зада чу в терминах алгебраических неравенств (а не уравнений) Риккати и реши ли ее с помощью выпуклой оптимизации. С тех пор, как были разработаны эффективные алгоритмы внутренней точки5, выпуклая оптимизация стала стандартной стратегией анализа и синтеза систем управления. Методы ли нейных матричных неравенств (ЛМН) и полуопределенного программирова ния зарекомендовали себя, как мощная и гибкая методика формулирования проектных требований к разрабатываемой системе и синтеза регуляторов, применимая к широкому спектру линейных задач теории управления. После Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans. AC, 1978, Vol. 23, p. 756–757.

Bernstein D.S., and Haddad W.M. LQG control with an H performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans. AC, 1989, Vol. 34, p. 293–305.

Mustafa D. and Glover K. Minimum Entropy H Control. Springer-Verlag, NY, 1991.

Nesterov Yu. and Nemirovsky A. Interior point polinomial algorithms in convex programming, Vol. 13 of Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1994.

того, как было получено решение задачи синтеза H регулятора с помощью ЛМН, полуопределенное программирование успешно применяется для реше ния смешанных H2 /H и многокритериальных задач управления (К. Шерер, П. Гаинет, М. Чилали, И. Масубучи, С. Бойд, М. Оливейра, Ж. Жеромель, Ж. Бернуссо, П. Апкарян, Д. Арцелье, Д. Посель и др.).

Перспективный подход к подавлению неопределенных случайных возму щений на основе стохастического минимаксного управления был предложен в середине 1990-х годов И.Г. Владимировым, разработавшим анизотропийную теорию стохастического робастного управления. В свете этого подхода, робастность в стохастическом управлении достигается с помощью явного включения различных сценариев распределения шума в единый показатель качества, подлежащий оптимизации;

статистическая неопределенность из меряется в терминах энтропии, и показатель робастного качества можно выбрать так, чтобы количественно охарактеризовать возможности системы по подавлению наихудшего внешнего возмущения. Главными понятиями анизотропийной теории стохастического робастного управления являются анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайного вектора и анизотропийная норма системы. Функционал анизотропии является эн тропийной мерой отклонения вероятностного распределения в евклидовом пространстве от гауссовских распределений с нулевым средним и скаляр ными ковариационными матрицами. Средняя анизотропия стационарной случайной последовательности характеризует величину статистической не определенности, понимаемой как несоответствие между неточно известным фактическим распределением шума и семейством номинальных моделей воз мущения в виде стационарного дискретного гауссовского белого шума со скалярной ковариационной матрицей6. a-Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы (ДЛСС) количественно определяет возмож ности системы по подавлению возмущений наибольшим отношением мощ ностной нормы выхода системы к мощностной норме ее входа при условии, что средняя анизотропия входного сигнала не превышает заданного неотри цательного уровня a7.

В контексте стохастического робастного управления, направленного на подавление потенциально неблагоприятного воздействия статистической не определенности, анизотропийная теория предлагает важную альтернативу методам синтеза оптимального управления, основанным на точном знании закона распределения случайного внешнего возмущения. Минимизация кри терия качества в виде анизотропийной нормы замкнутой системы приводит Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179– 184.

Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., and Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Contr., 2001, No.74, p. 28–42.

к стабилизирующему регулятору по выходу, который проявляет меньший консерватизм управления по сравнению с H регулятором и является более эффективным при подавлении коррелированных возмущений, чем H2 регу лятор. Решение задачи синтеза анизотропийного оптимального регулято ра в пространстве состояний, полученное И.Г. Владимировым, основано на решении трех перекрестно связанных алгебраических уравнений Риккати, алгебраического уравнения Ляпунова и уравнения относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Получаемый в резуль тате решения задачи синтеза оценивающий регулятор полного порядка (цен тральный регулятор) является единственным. Но решение сложных систем перекрестно связанных уравнений требует разработки и применения специ альных вычислительных алгоритмов на основе метода гомотопий. Вместе с тем, применяемая процедура синтеза на основе решения уравнений не на правлена на синтез регуляторов пониженного или заданного порядка (а так же децентрализованных и многокритериальных регуляторов, регуляторов с заданной структурой), задачи синтеза которых до недавнего времени оста вались открытыми.

В диссертационной работе разработаны регулярные методы решения за дач синтеза субоптимальных анизотропийных регуляторов (в том числе по ниженного и заданного порядка) методами полуопределенного программи рования (ЛМН) и выпуклой оптимизации. Вместо минимизации анизотро пийной нормы системы, субоптимальный регулятор стабилизирует замкну тую систему и обеспечивает ограниченность ее анизотропийной нормы за данным значением, т.е. гарантирует подавление случайных внешних воз мущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального ани зотропийного регулятора, решение субоптимальных задач синтеза приво дит к некоторому семейству регуляторов, оставляя дополнительные степени свободы для определения некоторых дополнительных требований к замкну той системе с целью достижения желаемого качества управления, напри мер, требования заданного расположения полюсов замкнутой системы для достижения желаемого качества переходных процессов. В диссертационной работе получены результаты, направленные на применение мощной мето дологии полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации к синтезу анизотропийных субоптимальных и -оптимальных регуляторов в общем случае заданного порядка. Разработанные процедуры анализа и син теза являются привлекательными с вычислительной точки зрения и с точки зрения инженерной практики. Эти методы легко реализуются средствами некоммерческого программного обеспечения с открытым кодом, имеющего ся в свободном доступе, для численного решения задач выпуклой оптимиза ции и полуопределенного программирования, реализованного в виде пакетов программ, среди которых отметим свободно распространяемый интерфейс YALMIP и программу-решатель SeDuMi для систем Matlab и Scilab.

Целью диссертационной работы является разработка регулярных ме тодов синтеза субоптимальных анизотропийных стохастических робастных регуляторов для управления дискретными линейными стационарными си стемами под воздействием случайных возмущений, а также распространение стандартных методов выпуклой оптимизации и полуопределенного програм мирования (ЛМН) на решение задач синтеза анизотропийных субоптималь ных и -оптимальных регуляторов для эффективного подавления случайных внешних возмущений с неточно известными распределениями.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются ме тоды математической теории управления, оптимизации функций многих пе ременных, линейной алгебры и линейных матричных неравенств, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертационной рабо те, постановки задач и методы их решения являются новыми в анизотро пийной теории стохастического робастного управления. К основным новым результатам относятся следующие. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств. Решены задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу и анизотропийных субопти мальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу мето дами полуопределенного программирования (ЛМН) и численной оптимиза ции. Разработаны методы синтеза анизотропийных -оптимальных регу ляторов на основе полуопределенного программирования и выпуклой опти мизации. Получено решение многокритериальных задач анизотропийного управления, а также синтеза анизотропийного субоптимального регулято ра, обеспечивающего размещение полюсов замкнутой системы в заданной области комплексной плоскости. Получено решение задачи синтеза робаст ных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели ко торых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

Теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы явля ются развитием методов математической теории управления линейными си стемами и позволяют решать задачи анизотропийного анализа систем, а так же осуществлять синтез новых линейных робастных регуляторов, характе ризующихся меньшим консерватизмом, т.е. меньшими энергетическими за тратами на управление, при подавлении неопределенных коррелированных случайных внешних возмущений в сравнении с широко используемыми в на стоящее время H и H2 /H регуляторами. Благодаря распространению ме тодов выпуклой оптимизации и техники линейных матричных неравенств на решение задач анизотропийной теории стохастического робастного управле ния разработаны регулярные методы синтеза анизотропийных регуляторов (в том числе пониженного и заданного порядка), обеспечивающих также же лаемую динамику переходных процессов в замкнутой системе посредством размещения полюсов в заданной области и робастную устойчивость систем с неопределенными параметрами. Разработанный и применяемый в диссер тационной работе метод используется для решения задач анизотропийной -оптимальной фильтрации. Появилась возможность применения анизотро пийной нормы наряду с другими критериями качества и спецификациями, сформулированными в терминах ЛМН, в стандартных современных мно гокритериальных задачах управления. Дальнейшее развитие результатов диссертационной работы приводит к решению задач децентрализованного анизотропийного управления и одновременного анизотропийного управления множественными объектами.

Практическая ценность. Регулярные методы синтеза субоптималь ных и -оптимальных анизотропийных регуляторов, разработанные в дис сертационной работе, показали свою применимость для инженерной прак тики синтеза систем автоматического управления техническими объектами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Разработанные мето ды могут применяться для управления техническими системами с перемен ными параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач синтеза устройства автоматического управления самолетом в режиме посад ки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением ги ростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих приме рах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрировали наи лучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наимень ших затратах на управление по сравнению с традиционным в общемировой практике H2, H и H2 /H управлением, а замкнутые системы с анизотро пийными регуляторами характеризуются большей помехозащищенностью.

Реализация результатов работы. На основе результатов диссерта ционной работы совместно с ФГУП “НПЦ Автоматики и приборостроения им. акад. Н.А.Пилюгина” разработаны методы расчета системы управления одноосным силовым гиростабилизатором, элементом инерциальной навига ционной системы [5]. Методы показали достаточную простоту и пригодность для применения в инженерной практике. Для их численной реализации мо жет использоваться некоммерческое программное обеспечение с открытым кодом. Пример расчета устройства автоматического управления угловым положением гиростабилизированной платформы в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех подробно рассматривается в диссертационной работе.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной ра боты неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах по теории автоматического управления и оптимизации Лаборатории 7 им. академи ка Я.З. Цыпкина адаптивных и робастных систем ИПУ РАН, на научных семинарах рабочей группы Методов и алгоритмов в управлении Лаборато рии анализа и архитектуры систем CNRS, Тулуза, Франция (Groupe MAC, LAAS-CNRS, Toulouse, France), на Санкт-Петербургском Городском семи наре по теории управления (ИПМаш РАН, Санкт-Петербург), Лаборатории сигналов и систем университета SUPELEC, Париж, Франция (Laboratoire de Signaux et Systemes, SUPELEC, Paris, France), на семинарах по теории автоматического управления Лаборатории 1 динамических информационно управляющих систем ИПУ РАН, на семинаре “Проблемы нелинейной ди намики: качественный анализ и управление” Кафедры нелинейных дина мических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ, а также на различных научных симпозиумах и конференциях: на IX, Х, XI Меж дународных семинарах им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010, 2012), 17 й Международной конференции по управлению процессами PC’09 (Штрб ске Плесо, Словакия, 9-12 июня 2009 г.), 6-м Симпозиуме ИФАК по синте зу робастного управления IFAC ROCOND’09 (Хайфа, Израиль, 16-18 июня 2009 г.), 3-й Мультиконференции IEEE по системам и управлению IEEE MSC’09 (Санкт-Петербург, Россия, 8-10 июля 2009 г.), 4-й Международной научной конференции по физике и управлению PHYSCON’09 (Катания, Ита лия, 1-4 сентября 2009 г.), Международной научно-технической конферен ции “Мехатроника, автоматизация и управление” (Дивноморское, Россия, 28 сентября-3 октября 2009 г.), 19-м Международном симпозиуме по мате матической теории сетей и систем MTNS’10 (Будапешт, Венгрия, 5-9 июля 2010 г.), 18-м Симпозиуме ИФАК по управлению в авиации и космонавтике IFAC ACA’10 (Нара, Япония, 6-10 сентября 2010 г.), Конференции “Упра вление в технических системах” УТС-2010, (Санкт-Петербург, Россия, 12 14 октября 2010 г.), 18-м Всемирном конгрессе ИФАК (Милан, Италия, августа-2 сентября 2011 г.), 18-й Международной конференции по автома тическому управлению “Автоматика 2011” (Львов, Украина, 2011 г.), XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным на вигационным системам (Санкт-Петербург, 28–30 мая, 2012 г.), на Американ ской конференции по управлению ACC2012 (Монреаль, Канада, 27-29 июля 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра ботах [1–37]. По теме диссертации опубликовано 12 статей в рецензируе мых журналах [1–3, 6, 8, 11, 14–16, 22, 25, 35], из них 9 статей в журналах, включенных в международные индексы цитирования ISI Web of Science и Scopus [1–3, 8, 11, 14, 16, 22, 35]. Все результаты, составляющие основное со держание диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве дения, пяти глав, выводов и списка литературы (186 источников), содержит 62 рисунка, 13 таблиц. Объем диссертации 193 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении выполнен обзор результатов, относящихся к теме работы, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы его цели и задачи, дана общая характеристика полученных результатов, определена их научная новизна.

В первой главе для замкнутости изложения приводится минимально необходимый материал по анизотропии сигналов и анизотропийной норме систем. Эти результаты являются известными и поэтому приводятся в крат кой обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточ ники. Обозначим через Lm класс интегрируемых с квадратом Rm -значных случайных векторов, распределенных абсолютно непрерывно относительно m-мерной лебеговой меры mes m. Для любого вектора W Lm с плотно стью распределения вероятности (п.р.в.) f : R R+, анизотропия A(W ) m определяется в работе8 как минимальное значение относительной энтропии D(f pm, ) по отношению к гауссовским распределениям pm, в Rm с нулевым средним и скалярными ковариационными матрицами Im :

m 2e E|W |2 h(W ), A(W ) := min D(f pm, ) = ln 2 m где E обозначает математическое ожидание, h(W ) — дифференциальную энтропию W относительно mes m.





Пусть W := (wk )k+ — стационарная последовательность векто ров wk Lm, интерпретируемая как дискретный случайный сигнал. Сред няя анизотропия последовательности W определяется как средняя интен сивность анизотропии на единицу времени:

w A(W0:N ) :=..

.

A(W ) := lim, W0:N (1).

N N + wN Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // АиТ, 2006, 8, с. 92–111.

Обозначим через Gm (µ, ) класс Rm -значных гауссовских случайных век торов с математическим ожиданием Ewk = µ и невырожденной ковариаци онной матрицей cov(wk ) := E(wk µ)(wk µ)T =. Пусть V := (vk )k+ — последовательность независимых случайных векторов vk Gm (0, Im ), т.е.

m-мерный гауссовский белый шум. Предположим, что W = GV произво дится из V устойчивым формирующим фильтром с передаточной функцией mm G(z) H2. Тогда спектральная плотность W определяется выражением S() := G()G (),, (2) где G() := G(ei ) — граничное круговое значение передаточной функции G(z). В работе9 показано, что среднюю анизотропию (1) можно вычислять в терминах спектральной плотности (2) и H2 нормы формирующего фильтра G по формуле 1 mS() A(W ) = ln det d. (3) G 4 Поскольку распределение последовательности W полностью определяется формирующим фильтром G или спектральной плотностью S, вместо A(W ) используются также альтернативные обозначения A(G) и A(S).

Функционал средней анизотропии (3) всегда неотрицателен. Он прини мает конечные значения, если формирующий фильтр G полного ранга, в противном случае A(G) = +. Равенство A(G) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда G является системой полного пропускания (фазовраща ющей системой) с точностью до ненулевого постоянного множителя. В этом случае спектральная плотность (2) имеет вид S() = Im,, для некоторого 0, так что W представляет собой гауссовский белый шум с нулевым средним и скалярной ковариационной матрицей10.

Пусть F H — дискретная линейная стационарная система (ДЛСС) pm с m-мерным входом W и p-мерным выходом Z = F W. a-Анизотропийная норма системы F определяется как FG |||F |||a := sup, (4) G GGa mm где Ga := G H2 : A(G) a — множество устойчивых формирующих фильтров G, генерирующих гауссовские случайные последовательности W со средней анизотропией (3), ограниченной заданным параметром a 0.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179– 184.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., and Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete time invariant systems // Proc. of the 13-th IFAC World Congr., San-Francisco, California, USA, 1996, p. 179– 184.

В терминах вход-выходных сигналов a-анизотропийная норма определяется выражением ZP |||F |||a = sup, W Wa W P где Wa := {W m : A(W ) a} — множество входных сигналов с ограни P ченной средней анизотропией;

m = {W = (wk )k+ : wk Lm W +} P P — пространство стационарных в узком смысле последовательностей инте грируемых с квадратом случайных векторов;

мощностная норма последова тельности случайных векторов определяется как 1/ N E|wk | W := lim.

P N 2N + k=N Известно, что a-анизотропийная норма заданной системы F H явля pm ется неубывающей функцией уровня средней анизотропии a, удовлетворяю щей соотношениям F = |||F |||0 lim |||F |||a = F. (5) m a+ Важно отметить, что ДЛСС с ограниченной a-анизотропийной нормой асим птотически устойчива.

Во второй главе сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы, представляющая собой расширение известной ча стотной теоремы для H нормы на класс дискретных линейных стационар ных систем, на вход которых поступают случайные воздействия с ограни ченной средней анизотропией. Модель дискретной линейной стационарной системы F H с m-мерным входом W, n-мерным состоянием X и p pm мерным выходом Z имеет вид xk+1 AB xk =, (6) zk CD wk где размерности вещественных матриц A, B, C, D согласованы и матрица A устойчива ((A) 1). Предполагается, что входная последовательность W есть стационарная последовательность гауссовских случайных векторов с ограниченной средней анизотропией a 0, т.е. W производится из m мерного гауссовского белого шума V с нулевым средним и единичной кова риационной матрицей неизвестным устойчивым формирующим фильтром G, mm принадлежащим множеству Ga := G H2 : A(G) a. Задача состоит в следующем: для заданной системы F, уровня средней анизотропии входно го возмущения a 0 и числа 0 проверить выполнение условия |||F |||a, где |||F |||a — анизотропийная норма системы F, определяемая (4). Критерий проверки выполнения указанного условия установлен в следующей теореме.

Теорема 2.2. Пусть F H — система с реализацией в простран pm стве состояний (6), где (A) 1. a-Анизотропийная норма (4) системы F строго ограничена заданным значением 0, т.е.

|||F |||a, (7) если существует 2, такое что неравенство (e2a det(Im B T B DT D))1/m 2 (8) выполняется для вещественной (n n)-матрицы = T 0, удовлетво ряющей ЛМН AT A + C T C AT B + C T D 0. (9) B T A + DT C B T B + DT D Im Неравенства (8) и (9) формируют выпуклые ограничения относительно обе их переменных и. Известно, что 1. Функция (det )p (m m)-матрицы = T 0 является вогнутой по своему аргументу для любого 0 p m.

2. Функция (det )1/m (m m)-матрицы = T 0 есть не что иное как среднее геометрическое собственных значений этой матрицы 1 ()... m ().

1/m 3. Подграфик геометрического среднего двух неотрицательных величин, множество (1, 2, t) R3 | x1, x2 0, t 1 представимо в виде конуса второго порядка 1 + (1, 2, t) | : t ;

0,, 1 2 а подграфик геометрического среднего 2l неотрицательных величин, множество l (1,..., 2l, t) R2l+1 | i 0, i = 1,..., 2l, t (1 2... 2l )1/ также представимо в виде пересечения конечного числа конусов второго порядка.

Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000.

4. Если p — рациональное число, 0 m, то выпуклая функция p 0 представима в виде ЛМН.

(det )p (m m)-матрицы = T А именно, множество (, t) | = T (det )p 0, t представимо в виде (, t) | = T (1... m )p, 0, 0, t T diag где — нижняя треугольная (m m)-матрица, составленная из вспо могательных переменных с диагональными элементами i. Подграфик вогнутого одночлена t (1... m )p представим в виде конуса второго порядка12 и, следовательно, в виде ЛМН.

Систему неравенств (8), (9) теоремы 2.2 можно решить с помощью до ступных свободно распространяемых программных пакетов для решения задач выпуклой оптимизации, позволяющих использовать выпуклую функ цию (det())1/m (m m)-матрицы 0 не только в качестве целевой функции, но и в качестве ограничения. Такими программными средствами являются, например, интерфейс YALMIP (Дж.Лефберг, 2004) в сочетании с программой-решателем SeDuMi (Дж.Штурм, 1999) для систем Matlab и Scilab.

С учетом обозначения := 2, условия теоремы 2.2 позволяют вычислять минимальное значение из решения следующей задачи выпуклой оптимиза ции:

найти = inf на множестве,,, удовлетворяющих (8), (9).

Если минимальное значение найдено, a-анизотропийная норма системы F вычисляется приближенно как |||F |||a.

Условия теоремы 2.2 рассматриваются в двух важных предельных слу чаях, когда уровень средней анизотропии a гауссовской входной последова тельности равен нулю и стремится к бесконечности. Поскольку H2 норма и H норма являются двумя предельными случаями a-анизотропийной нормы при a 0, + (см. (5)), неравенства (8), (9) трансформируются в крите рии проверки строгой ограниченности масштабированной H2 нормы и H нормы системы F заданным пороговым значением. Показано, что в слу чае нулевого уровня средней анизотропии из выполнения неравенств (8), (9) следует tr(B T B + DT D) m 2, AT A + C T C 0.

Ben-Tal A. and Nemirovskii A. Lectures on Modern Convex Optimization. Technion, Haifa, Israel, 2000, p. 108.

что эквивалентно 1m F 2.

В случае a + из локализации 2 2 /(1e2a/m ) следует 2 ;

неравенство (8) становится недействительным. В этом случае, изменяя мас штаб матрицы := и применяя лемму Шура, ЛМН (9) можно привести к виду T AT B CT A A B T A B T B Im DT 0, (10) C D Ip хорошо известному в контексте H управления для дискретных систем.

Этот факт тесно связан со сходимостью lima+ |||F |||a = F в (5), бла годаря чему неравенство (7) ‘аппроксимирует’ F (11) для достаточно больших значений a. Таким образом, в пределе при a +, теорема 2.2 становится частотной теоремой для H нормы, устанавливаю щей эквивалентность между выполнением (11) и существованием положи тельно определенного решения ЛМН (10).

В диссертационной работе приводятся и обсуждаются результаты вычи слительных экспериментов, выполненных на достаточно большой выборки случайных реализаций устойчивых систем для проверки эффективности и надежности техники вычисления a-анизотропийной нормы методом выпукл ой оптимизации.

Частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств является ключевым результатом, который применяется для решения за дач синтеза анизотропийных субоптимальных (и -оптимальных) регулято ров методами выпуклой оптимизации и полуопределенного программирова ния, рассматриваемыми в третьей главе. Такие регуляторы гарантируют ограниченность анизотропийной нормы замкнутой системы заданным по роговым значением, гарантируя подавление возмущений с уровнем средней анизотропии, не превышающим a, с качеством не хуже заданного, или, соот ветственно, синтезируются для минимального порогового значения. Объект управления представлен дискретной линейной стационарной моделью P (z) с nx -мерным состоянием X, mw -мерным входом возмущения W, mu -мерным входом управления U, pz -мерным управляемым выходом Z и py -мерным из меряемым выходом Y :

xk+1 A Bw B u xk P (z) : zk = Cz Dzw Dzu wk, (12) yk Cy Dyw 0 uk где размерности всех матриц согласованы, pz mw, пара матриц (A, Bu ) является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой. Предполага ется, что средняя анизотропия (3) последовательности W не превосходит известного неотрицательного уровня a.

Задача синтеза — найти регулятор заданного порядка по измеряемому выходу в форме динамического компенсатора k+1 Ac Bc k K(z) : = (13) uk Cc Dc yk с n -мерным состоянием = (k )k+, стабилизирующий замкнутую си стему и гарантирующий некоторый заданный уровень качества подавления внешних возмущений. Предполагается, что для объекта управления (12) и регулятора (13) выполняется условие Кимуры13 порядка n : n nx mu py.

Выполнение этого условия гарантирует существование стабилизирующего регулятора заданного порядка n. Пусть Tzw (z) — матричная передаточная функция замкнутой системы от возмущения W к управляемому выходу Z.

Задача 3.1. Для заданных объекта управления P с моделью в простран стве состояний (12), уровня средней анизотропии a 0 входного возму щения W и некоторого желаемого порогового значения 0, найти дис кретный линейный стационарный регулятор по выходу K с моделью в про странстве состояний (13), стабилизирующий замкнутую систему и га рантирующий, что ее a-анизотропийная норма не превосходит порогового значения, т.е.

|||Tzw |||a. (14) Для объекта управления P и регулятора K, определенных выше, реализация замкнутой системы имеет вид k+1 k AB Tzw (z) : =, (15) zk wk CD где k Rn, n = nx + n, A + Bu Dc Cy Bu Cc Bw + Bu Dc Dyw AB :=.

Bc Cy Ac Bc Dyw CD Cz + Dzu Dc Cy Dzu Cc Dzw + Dzu Dc Dyw Условия (8), (9) частотной теоремы 2.2 для анизотропийной нормы невоз можно непосредственно применить для решения поставленной задачи синте за из-за перекрестных произведений неизвестной матрицы и матриц реа лизации замкнутой системы (A, B, C, D), аффинно зависящих от параметров регулятора. Преодолеть указанную трудность позволяет введение вспомога тельной переменной, вещественной (mw mw )-матрицы = T 0, которое приводит к следующей модификации теоремы 2.2.

Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Trans. AC, 1975, Vol. AC-20, p. 509–516.

Лемма 3.1. Пусть Tzw Hmw — матричная передаточная функция pz системы с реализацией (15), где (A) 1. Анизотропийная норма системы Tzw строго ограничена заданным пороговым значением 0, т.е. |||Tzw |||a, если существует 2, такое что неравенство (e2a det )1/mw 2 (16) выполняется для некоторых вещественных (mw mw )-матрицы = T и (n n)-матрицы = T 0, удовлетворяющих неравенствам AT CT T T Imw B D 0 Imw BT DT 0 0, 0. (17) B A 1 B 0 Ipz D 0 Ipz C D Решение общей задачи 3.1 синтеза регулятора заданного порядка получено прямым применением условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы (15).

Следствие 3.2. Для заданных a 0, 0, динамический регулятор по выходу K порядка n с реализацией (13), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (18) Imw Bw + Bu Dc Dyw 11 0, (19) T Bc Dyw Dzw + Dzu Dc Dyw 0 0 Ipz 11 T 12 22 0 0 Imw 0, (20) A + Bu Dc Cy Bu Cc Bw + Bu Dc Dyw 11 T Bc Cy Ac Bc Dyw 12 Cz + Dzu Dc Cy Dzu Cc Dzw + Dzu Dc Dyw 0 0 Ipz 2, 0, 11 12 11 12 (21) := 0, := T 22 T 12 разрешима относительно скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, матриц Ac Rn n, Bc Rn py, Cc Rmu n, Dc Rmu py и двух взаимнообратных (n n)-матриц,, удовлетворяющих условию = In, (22) где n = nx + n — порядок замкнутой системы.

Матрицы параметров регулятора Ac, Bc, Cc и Dc непосредственно входят в неравенства синтеза (19), (20), что позволяет накладывать на них допол нительные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализо ванного управления (с блочно-диагональными матрицами Ac, Bc, Cc и Dc ) или регулятора заданной структуры (с матрицами параметров регулятора Ac, Bc, Cc и Dc заданной структуры) из решения задачи (18)–(22).

Задача вычисления матриц параметров (Ac, Bc, Cc, Dc ) динамического ре гулятора заданного порядка (13), являющегося решением задачи 3.1, сводит ся к проверке разрешимости системы неравенств (18)–(21) при условии (22), из-за которого задача (18)–(22) не является выпуклой. Хотя применение из вестных алгоритмов поиска взаимнообратных матриц, удовлетворяющих ли нейным матричным неравенствам (19), (20) при выпуклом ограничении (18), может привести к успешному решению задачи (18)–(22), каждый из извест ных алгоритмов может сойтись к локальному минимуму. Применение одного из таких алгоритмов на основе метода условного градиента (модификация алгоритма Фрэнка и Вольфа) рассматривается в главе 5.

В диссертационной работе рассматриваются три частных случая струк туры объекта управления и регулятора: регулятор в виде статической обратной связи по состоянию для объекта, состояние которого измеряется точно;

динамический регулятор полного порядка по измеряемому выходу;

регулятор в виде статической обратной связи по измеряемому выходу.

Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования анизотропийного субоптимального регулятора в форме статической обрат ной связи по состоянию в случае полной информации о векторе состояния, когда модель объекта управления описывается уравнениями (6), где Cy = Inx, Dyw = 0.

Теорема 3.1. Для заданных a 0, 0, статический регулятор по состоянию uk = Kxk, стабилизирующий замкнутую систему ((A+Bu K) 1) и гарантирующий выполнение условия (14), существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (23) Imw 0 Imw 0, 0, (24) Bw A + Bu Bw Dzw 0 Ipz Cz + Dzu Dzw 0 Ipz 2, 0, 0 (25) разрешима относительно скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, (nx nx )-матрицы и (mu nx )-матрицы. Если зада ча (23)–(25) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица ста тического регулятора определяется выражением K = 1.

Неравенства (23)–(25) являются не только выпуклыми по и аффинными по и, но также линейными относительно 2. Минимизация 2 при огра ничениях (23)–(25) приводит к минимизации при тех же ограничениях.

Обозначим := 2. Условия теоремы 3.1 позволяют вычислять наименьшее значение из решения задачи оптимизации inf на множестве,,,,, (26) удовлетворяющих ограничениям (23)–(25).

Если задача выпуклой оптимизации (26) разрешима, матрица усиления ста тического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 3.1. Ани зотропийные регуляторы, получаемые из решений задач оптимизации, ана логичных (26), называются анизотропийными -оптимальными регулятора ми.

Для решения задачи синтеза регулятора полного порядка (n = nx ) эф фективно применяется известная линеаризующая замена переменных, вве денная П. Гаинетом в работе14. Решение задачи 3.1 синтеза регулятора пол ного порядка дано в следующей теореме.

Теорема 3.2. Для заданных a 0, 0, динамический регулятор по вы ходу K полного порядка n = nx с реализацией (13), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (27) Imw Bw + Bu Dc Dyw 11 11 Bw + Bc Dyw Inx 11 0, (28) Dzw + Dzu Dc Dyw 0 0 Ipz 11 Inx 11 0 0 Imw 0, (29) A11 + Bu Cc A + Bu Dc Cy Bw + Bu Dc Dyw 11 11 A + Bc Cy 11 Bw + Bc Dyw Inx Ac Cz 11 + Dzu Cc Cz + Dzu Dc Cy Dzw + Dzu Dc Dyw 0 0 Ipz 11 Inx 2, 0, 11 0, 11 0, 0 (30) Inx разрешима относительно скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, матриц Ac Rnx nx, Bc Rnx py, Cc Rmu nx, Dc P. Gahinet. Explicit controller formulas for LMI-based H synthesis // Automatica, 1996, Vol. 32, p. 1007– 1014.

Rmu py и двух (nx nx )-матриц 11, 11. Если задача (27)–(30) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ac Rnx nx, Bc Rnx py, Cc Rmu nx, Dc Rmu py единственным образом определяются выражениями Dc := Dc, (31) (Cc Dc Cy 11 )T, Cc := (32) Bc := 12 (Bc 11 Bu Dc ), (33) 1 (Ac 12 Bc Cy 11 11 Bu Cc T Ac := (34) T 11 (A + Bu Dc Cy )11 ) и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (nx nx )-матриц 12, 12, удовлетворяющих условию 12 T = Inx 11 11. (35) Условия теоремы 3.2 позволяют вычислять -оптимальный регулятор из чи сленного решения задачи выпуклой оптимизации, аналогичной (26).

В случае синтеза анизотропийного субоптимального управления в виде статической обратной связи по измеряемому выходу uk = Kyk (36) предполагается, что для объекта управления (12) выполняется условие Ки муры нулевого порядка nx mu py 0. Выполнение этого условия га рантирует существование стабилизирующей статической обратной связи по измеряемому выходу. Прямое применение достаточных условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации замкнутой системы приводит к следующему прямо му решению задачи 3.1.

Следствие 3.4. Для заданных a 0, 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (37) Imw 0 Imw 0, 0, Bw + Bu KDyw A + Bu KCy Bw + Bu KDyw Dzw + Dzu KDyw 0 Ipz Cz + Dzu KCy Dzw + Dzu KDyw 0 Ipz (38), 0, 0, 0 (39) разрешима относительно скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, (mu py )-матрицы K и двух взаимнообратных (nx nx ) матриц,, удовлетворяющих условию = Inx. (40) Матрица параметров регулятора K непосредственно входит в неравен ства синтеза (38), что позволяет накладывать на матрицу K дополнитель ные структурные ограничения для синтеза, например, децентрализованного управления (с блочно-диагональной матрицей K). Для решения системы неравенств (37)–(39) при ограничении (40) применяются алгоритмы поиска взаимнообратных матриц.

Линеаризующая замена переменных, предложенная К. Шерером в рабо те, может сделать результирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов управления, определенного структурным свой ством Pyu (z) := Cy (zInx A)1 Bu = 0. (41) Для стабилизируемого и детектируемого объекта управления (12), если вы полняется условие (41), существует преобразование подобия T, такое что A11 A12 Bw1 Bu T AT T Bw T Bu Cz T 1 Dzw Dzu = 0 A22 Bw2 0 (42) Cz1 Cz2 Dzw Dzu Cy T Dyw 0 Cy2 Dyw где подсистема (A11, Bu1 ) является управляемой, (A11, Cy2 ) — наблюдаемой, а матрица A22 — устойчивой. В следующей теореме установлены достаточные условия существования анизотропийной субоптимальной статической обрат ной связи по выходу для объекта управления со структурным свойством (41).

Теорема 3.3. Предположим, что для объекта управления P с реализаци ей (12) выполняется условие (41). Для заданных a 0, 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (43) P(Q, R) Imw 0 Imw 0, 0, B(R, S, K) P(Q, R) A(Q, R, S, K) B(R, S, K) P(Q, R) 0 Ipz D(K) C(Q, S, K) 0 Ipz D(K) (44) Q 0 A11 Q A11 S SA22 + A12 + Bu1 KCy P(Q, R) :=, A(Q, R, S, K) :=, 0 R 0 RA Bw1 + Bu1 KDyw SBw B(R, S, K) :=, D(K) := Dzw + Dzu KDyw, RBw C(Q, S, K) := [ Cz1 Q Cz1 S + Cz2 + Dzu KCy2 ], Scherer C.W. An ecient solution to multi-objective control problems with LMI objectives // Syst. & Contr.

Let., 2000, Vol. 40. p. 43–57.

2, 0, Q 0, R0 (45) разрешима относительно скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, матрицы регулятора K и матриц Q, R и S.

Кроме класса систем, определяемого структурным свойством (41), из вестны два важных частных случая структуры объекта управления, кото рые позволяют сформулировать задачу синтеза статического регулятора по выходу в виде некоторой задачи выпуклой оптимизации посредством приме нения невырожденных преобразований координат и введения структуриро ванных вспомогательных переменных подобно тому, как это было сделано в работе16 для задач синтеза H регуляторов. Эти случаи называются сингу лярными задачами управления и фильтрации.

В сингулярной задаче управления матрица Dzu реализации объекта упра вления (12) равна нулю, а матрица Bu имеет полный ранг по столбцам. В таком случае существует невырожденная матрица преобразования коорди нат состояния Tu, такая что Imu Bu := Tu Bu =.

В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид 1 1 A := Tu ATu, Bw := Tu Bw, Cz := Cz Tu, Cy := Cy Tu. (46) Теорема 3.4. Пусть для объекта управления P с реализацией (12) вы полняется Dzu = 0 и rank Bu = mu. Для заданных a 0, 0, анизотро пийный субоптимальный регулятор в виде статической обратной связи по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (47) Imw Bw + LDyw S S T Imw 0, 0, S S ST S A + LCy S Bw + LDyw Dzw 0 Ipz z C Dzw 0 Ipz (48), 0, 0, (49) где A, Bw, Cz, Cy определяются выражениями (46), разрешима относи переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, тельно скалярной (nx nx )-матрицы и двух структурированных матричных переменных S1 0 L S :=, L :=.

0 S2 Lee K.H., Lee J.H., and Kwon W.H. Sucient LMI conditions for H output feedback stabilization of linear discrete-time systems // IEEE Trans. AC, 2006, Vol. 51, p. 675–680.

Если система неравенств (47)–(49) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу K = S1 L1.

В сингулярной задаче фильтрации матрица Dyw реализации объекта управления (12) равна нулю, а матрица Cy имеет полный строчный ранг.

В таком случае существует невырожденная матрица преобразования коор динат Ty, такая что Cy := Cy Ty = Ipy 0. В новых координатах матрицы реализации объекта управления имеют вид 1 A := Ty ATy, Bw := Ty Bw, Bu := Ty Bu, Cz := Cz Ty. (50) Теорема 3.5. Предположим, что для объекта управления P с реализаци ей (12) выполняется Dyw = 0 и rank Cy = py. Для заданных a 0, 0, статический регулятор по выходу (36), являющийся решением задачи 3.1, существует, если система неравенств (e2a det )1/mw 2, (51) T RR Imw 0 Imw w 0, 0, (52) B AR + Bu M Bw Dzw 0 Ipz Cz R + Dzu M Dzw 0 Ipz 2, 0, 0, (53) где A, Bw, Cz, Cy определяются выражениями (50), разрешима в от ношении скалярной переменной, вещественных (mw mw )-матрицы, (nx nx )-матрицы и двух структурированных матричных переменных R1 M1 0.

R :=, M := 0 R Если система неравенств (51)–(53) разрешима и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора по выходу K = M1 R1.

Результаты теорем 3.1–3.5 позволяют вычислять статический анизотро пийный -оптимальный регулятор по выходу из решения задач выпуклой оптимизации, аналогичных (26).

Известно, что задачу синтеза динамического регулятора заданного по рядка можно представить в виде задачи синтеза статического регулятора по выходу, дополнив вектор состояния объекта управления состоянием регуля тора: A 0 Bw 0 B u 0 0 0 In A Bw Bu Cz Dzw Dzu := Cz 0 Dzw 0 Dzu. (54) 0 In 0 Cy Dyw 0 0 Cy 0 Dyw 0 Реализация замкнутой системы с расширенным объектом управления (54) имеет вид A Bw Bu AB Cy Dyw = + K = Cz Dzw Dzu CD A + Bu KCy Bw + Bu KDzw =, Cz + Dzw KCy Dzw + Dzu KDyw где матрица K включает матрицы параметров регулятора: K := Ac Dc. B c C c В четвертой главе решается многокритериальная субоптимальная за дача анизотропийного управления для стандартного объекта управления, в котором можно выделить несколько групп каналов от входов внешних возму щений с различными уровнями средней анизотропии к управляемому выхо ду, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимиза ции. Рассматривается объект управления, представленный дискретной ли нейной стационарной моделью P (z) с nx -мерным состоянием X, mw -мерным внешним входом W, mu -мерным входом управления U, pz -мерным управляе мым выходом Z и py -мерным измеряемым выходом Y :

xk+1 A Bw B u xk P (z) : zk = Cz Dzw Dzu wk, (55) yk Cy Dyw 0 uk где размерности всех матриц согласованы, pz mw, пара матриц (A, Bu ) является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой.

Предполагается, что в векторе управляемого выхода Z объекта упра вления (55) с учетом требований технического проектирования выделены N групп каналов управляемых выходов Zj (состоящих в минимальном случае из одного канала), и в векторе внешнего входа W также выделены N групп каналов внешних входов Wj, в которые могут входить как внешние возмуще ния, шумы измерений, так и эталонные сигналы. Одинаковые группы кана лов управляемых выходов Zj = Zi или внешних входов Wj = Wi считаются различными при j = i. Разбиение каналов по группам может осуществлять ся с учетом технических особенностей системы (например, эталонные сигна лы/внешние возмущения/шумы измерений) или близости свойств сигналов (например, слабо/сильно коррелированные сигналы). Для каждой из групп каналов внешних входов Wj предполагается, что средняя анизотропия (3) последовательности Wj не превосходит известного неотрицательного уровня aj : A(Wj ) aj, j = 1,..., N.

Пусть Tzw (z) обозначает матричную передаточную функцию от внешне го входа W к управляемому выходу Z замкнутой системы с регулятором заданного порядка K(z) в форме динамического компенсатора k+1 Ac Bc k K(z) : = (56) uk Cc Dc yk с n -мерным состоянием = (k )k+, стабилизирующим замкнутую систему и обеспечивающим некоторый заданный уровень подавления внеш них возмущений или заданное качество отслеживания эталонных сигналов.

Тогда Tzj wj (z) := Lj Tzw (z)Rj — матричная передаточная функция от груп пы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj, j = 1,..., N, где Lj Rpzj pz, Rj Rmw mwj — матрицы выбора групп входов и выходов, соответственно.

Задача 4.1. Для заданных объекта управления P с моделью в простран стве состояний (55), уровней средней анизотропии aj 0 групп внеш них входов Wj и некоторого набора желаемых пороговых значений j 0, j = 1,..., N, найти дискретный линейный стационарный регулятор по вы ходу K с моделью в пространстве состояний (56), стабилизирующий за мкнутую систему и обеспечивающий одновременное выполнение условий |||Tzj wj |||aj j. (57) Реализация передаточной функции замкнутой системы Tzj wj (z) = Lj Tzw (z)Rj от группы внешних входов Wj к группе управляемых выходов Zj имеет вид A + Bu Dc Cy Bu Cc Bwj + Bu Dc Dywj A Bj =, Bc Cy Ac Bc Dywj (58) Cj Dj Czj + Dzj u Dc Cy Dzj u Cc Dzj wj + Dzj u Dc Dywj где Bwj := Bw Rj, Czj := Lj Cz, (59) Dzj wj := Lj Dzw Rj, Dzj u := Lj Dzu, Dywj := Dyw Rj.

Для каждой из спецификаций (57) задачи 4.1 условия леммы 3.1 (частотной теоремы для анизотропийной нормы) устанавливают, что Tzj wj удовлетво ряет j-й спецификации (57), если существуют скалярная величина j j и матрицы j 0, j 0, удовлетворяющие неравенствам (16), (17). Из выполнения неравенств (16), (17) следует AT j A j 0, т.е. квадратич ная форма для замкнутой системы с матрицей j 0 является функцией Ляпунова Vj () = T j. Прямое применение достаточных условий (16), (17) леммы 3.1 к реализации (58) каждой из передаточных функций Tzj wj (z), j = 1,..., N, приводит к прямому решению задачи 4.1, аналогичному ре зультатам следствия 3.2.

Следствие 4.1. Для заданных aj 0, j 0, j = 1,..., N, динамиче ский регулятор по выходу K порядка n с реализацией (56), являющийся решением задачи 4.1, существует, если система неравенств j (e2aj det j )1/mwj j, (60) j j Imwj Bwj + Bu Dc Dywj 11j 0, (61) T 22j Bc Dywj 12j Dzj wj + Dzj u Dc Dywj 0 0 Ipzj 11j T 22j 12j 0 0 j Imwj 0, (62) A+B D C Bu Cc Bwj + Bu Dc Dywj 11j ucy T Bc Cy Ac Bc Dywj 12j 22j Czj + Dzj u Dc Cy Dzj u Cc Dzj wj + Dzj u Dc Dywj 0 0 Ipzj j j, j 0, 11j 12j 11j 12j (63) j := 0, j := 0, T 22j T 22j 12j 12j j = 1,..., N, разрешима относительно N скалярных переменных j, N вещественных (mwj mwj )-матриц j, матриц Ac Rn n, Bc Rn py, Cc Rmu n, Dc Rmu py и 2N взаимнообратных (n n)-матриц j, j, удовлетворяю щих условию j j = In, (64) где n = nx + n — порядок замкнутой системы.

Решение задачи (60)–(64) следствия 4.1 эквивалентно совместному реше нию N задач (18)–(22) следствия 3.2 для реализаций передаточных функций Lj 0 Rj Pj (z) := P (z), (65) 0 Ipy 0 Imu заданных значений aj, j относительно переменных j, j, j, j, j = 1,..., N, и одних и тех же неизвестных матриц реализации регулятора Ac, Bc, Cc и Dc. Как и в следствии 3.2, матрицы параметров регулятора непо средственно входят в неравенства синтеза (61), (62), что позволяет накла дывать на реализацию регулятора дополнительные структурные ограниче ния. Задача вычисления матриц параметров (Ac, Bc, Cc, Dc ) динамическо го регулятора заданного порядка (56) предполагает применение алгоритмов поиска взаимнообратных матриц. Вычислительный процесс может быть за труднен большой размерностью блочно-диагональных взаимнообратных ма триц blockdiag(1,..., N ), blockdiag(1,..., N ) и возможными проявлени ями локальной сходимости известных алгоритмов.

Применение стандартных процедур овыпукления позволяет сделать ре зультирующую задачу оптимизации выпуклой для ряда частных случаев структуры объекта управления и порядка регулятора. Решение многокри териальной задачи синтеза анизотропийного регулятора в виде статической обратной связи по состоянию можно сформулировать в виде задачи выпукл ой оптимизации в случае полной информации о векторе состояния, когда модель объекта управления описывается уравнениями (55), где Cy = Inx, Dyw = 0, если применить известную линеаризующую замену переменной K = 1, как это было сделано в теореме 3.1. Для применения данной процедуры овыпукления требуется существование общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы V() = T, AT A 0, 0, (66) для всех передаточных функций Tzj wj (z) в (57), что эквивалентно введению дополнительного ограничения 1 = · · · = N =, 1 = · · · = N = (67) в системе неравенств (16)–(17) леммы 3.1 (частотной теоремы для анизотро пийной нормы), записанных относительно каждой матричной передаточной функции Tzj wj (z) от группы внешних входов Wj к группе управляемых вы ходов Zj, j = 1,..., N. Известно, что ограничение (67) является жестким и вносит консерватизм в решение задачи синтеза. Тем не менее, применяемый подход обладает рядом неоспоримых преимуществ. Во-первых, он приводит процедуру синтеза к численному решению задачи выпуклой оптимизации.

Во-вторых, данный подход позволяет использовать все доступные степени свободы субоптимальной задачи. В-третьих, в рамках парадигмы существо вания общей функции Ляпунова на замкнутую систему можно накладывать и другие дополнительные ограничения, которые могут быть сформулирова ны в терминах ЛМН, например ограничения на H2 норму, ограничения на H норму, условия размещения полюсов замкнутой системы в заданной вы пуклой области комплексной плоскости, условия строгой пассивности, усло вия ограниченности в секторе, ограничения на максимум импульсной пе реходной характеристики, ограничения на время установления переходного процесса, подавление известных возмущений, отслеживание известных сиг налов17. Следующая теорема устанавливает достаточные условия существо вания многокритериального анизотропийного субоптимального регулятора в виде статической обратной связи по состоянию.

Теорема 4.1. Для заданных aj 0, j 0, j = 1,..., N, статический регулятор по состоянию uk = Kxk, стабилизирующий замкнутую систему Scherer C.W., Gahinet P., and Chilali M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization // IEEE Trans. AC, 1997, Vol. 42, p. 896–911.

((A + Bu K) 1) и гарантирующий выполнение условий (57) существует, если система неравенств j (e2aj det j )1/mwj j, (68) j Imwj 0 j Imwj 0, 0, (69) Bwj A + Bu Bwj Dz j w j 0 Ipzj Czj + Dzj u Dzj wj 0 Ipzj j j, j 0, 0, j = 1,..., N, (70) разрешима относительно N скалярных переменных j, N вещественных (mwj mwj )-матриц j, (nx nx )-матрицы и (mu nx )-матрицы. Если задача (68)–(70) разрешима, и неизвестные переменные найдены, матрица статического регулятора определяется выражением K = 1.

Решение выпуклой задачи (68)–(70) теоремы 4.1 эквивалентно одновре менному решению N систем неравенств (23)–(25) теоремы 3.1 для реали заций передаточных функций (65), заданных значений aj, j относительно переменных j, j, j = 1,..., N, и одних и тех же матриц и.

Обозначим i := i2. Условия теоремы 4.1 позволяют вычислять наимень шее пороговое значение i для одной из N групп каналов при заданных зна чениях j, j = i, из решения задачи оптимизации i inf на множестве j,,, j, i, (71) удовлетворяющих ограничениям (68)–(70).

Если задача выпуклой оптимизации (71) разрешима, матрица усиления ста тического регулятора по состоянию вычисляется согласно теореме 4.1. Фак тически возможна минимизация не единственного квадрата порогового зна чения i, а суммы или линейной комбинации нескольких или даже всех j, j = 1,..., N.

Для решения задачи синтеза многокритериального анизотропийного ре гулятора полного порядка (nc = nx ) используется линеаризующая замена пе ременных матриц регулятора П. Гаинета, используемая в теореме 3.2. При менить данную процедуру овыпукления можно при условии существования общей функции Ляпунова в виде квадратичной формы (66) для всех специфи каций (57), что эквивалентно введению дополнительного ограничения (67).

Следующая теорема является ‘многоканальным’ аналогом теоремы 3.2.

Теорема 4.2. Для заданных aj 0, j 0, j = 1,..., N, динамический регулятор по выходу K полного порядка n = nx с реализацией (56), явля ющийся решением задачи 4, существует, если система неравенств j (e2aj det j )1/mwj j, (72) j j Imwj Bwj + Bu Dc Dywj 11 0, (73) 11 Bwj + Bc Dywj Inx Dzj wj + Dzj u Dc Dywj 0 0 Ipzj 11 Inx 11 0 0 j Imwj 0, A11 + Bu Cc A + Bu Dc Cy Bwj + Bu Dc Dywj 11 11 A + Bc Cy 11 Bwj + Bc Dywj Inx Ac Czj 11 + Dzj u Cc Czj + Dzj u Dc Cy Dzj wj + Dzj u Dc Dywj 0 0 Ipzj (74) 11 Inx j j, j 0, 11 0, 11 0, 0, j = 1,..., N, (75) Inx разрешима относительно N скалярных переменных j, N вещественных (mwj mwj )-матриц j, матриц Ac Rnx nx, Bc Rnx py, Cc Rmu nx, Dc Rmu py и двух (nx nx )-матриц 11, 11. Если задача (72)–(75) разреши ма и неизвестные переменные найдены, матрицы регулятора Ac Rnx nx, Bc Rnx py, Cc Rmu nx, Dc Rmu py единственным образом определяются выражениями (31)–(34) и вычисляются из решения задачи нахождения двух невырожденных (nx nx )-матриц 12, 12, удовлетворяющих условию (35).

Условия теоремы 4.2 позволяют минимизировать одно или несколько зна чений j аналогично (71). Теорема 4.2 позволяет применять анизотропий ную норму замкнутой системы в целевой функции или спецификации каче ства для определенных групп вход-выходных каналов замкнутой системы в задачах многокритериального управления, решение которых основано на существовании общей функции Ляпунова, наряду с любыми другими специ фикациями качества и целевыми функциями, которые могут быть сформу лированы в терминах ЛМН17.

В случае синтеза многокритериального регулятора в виде статической обратной связи по измеряемому выходу предполагается, что для объекта управления (12) выполняется условие Кимуры нулевого порядка nx mu py 0. Прямое применение достаточных условий (16)–(17) леммы 3.1 к реа лизации замкнутой системы приводит к следующему прямому решению за дачи 4.1 — аналогу следствия 3.4 для многокритериальной задачи.

Следствие 4.3. Для заданных aj 0, j 0, j = 1,..., N, статический регулятор по выходу uk = Kyk, являющийся решением задачи 4.1, суще ствует, если система неравенств j (e2aj det j )1/mwj j, (76) j j Imwj Bwj + Bu KDywj j 0, (77) Dzj wj + Dzj u KDywj 0 Ipzj j 0 j Imwj 0, (78) A + Bu KCy Bwj + Bu KDywj j Czj + Dzj u KCy Dzj wj + Dzj u KDywj 0 Ipzj j j, j 0, j 0, j 0, j = 1,..., N, (79) разрешима относительно N скалярных переменных j, N вещественных (mwj mwj )-матриц j, (mu py )-матрицы K и 2N взаимнообратных (nx nx )-матриц j, j, удовлетворяющих условию j j = Inx. (80) Задача вычисления матрицы статической обратной связи по выходу K в общем случае не является выпуклой из-за условия (80) и требует примене ния алгоритмов поиска взаимнообратных матриц. Линеаризующая замена переменных К. Шерера15, применяемая в теореме 3.3, может сделать резуль тирующую задачу оптимизации выпуклой для отдельного класса объектов управления, определенного структурным свойством (41).

Теорема 4.3. Предположим, что для объекта управления P с реализаци ей (55) выполняется условие (41), т.е. Pyu (z) = 0. Для заданных aj 0, j 0, j = 1,..., N, статический регулятор по выходу uk = Kyk, являю щийся решением задачи 4.1, существует, если система неравенств j (e2aj det j )1/mwj j, (81) j j Imwj B(Rj, Sj, K) P(Qj, Rj ) 0, (82) 0 Ipzj D(K) P(Qj, Rj ) 0 j Imwj 0, (83) A(Qj, Rj, Sj, K) B(Rj, Sj, K) P(Qj, Rj ) C(Qj, Sj, K) 0 Ipzj D(K) Qj P(Qj, Rj ) :=, 0 Rj A11 Qj A11 Sj Sj A22 + A12 + Bu1 KCy A(Qj, Rj, Sj, K) :=, 0 Rj A Bw1j + Bu1 KDywj SBw2j B(Rj, Sj, K) :=, RBwj Cz1j Qj Cz1j Sj + Cz2j + Dzj u KCy C(Qj, Sj, K) :=, D(K) := Dzj wj + Dzj u KDywj, j j, j 0, Qj 0, Rj 0, j = 1,..., N, (84) где матрицы реализации определяются выражением (42) с учетом обозна чений (59), разрешима относительно N скалярных переменных j, N веще ственных (mwj mwj )-матриц j, матрицы регулятора K и 3N матриц Qj, Rj и Sj.

В отличие от результатов теорем 4.2 и 4.1, применение линеаризующей замены переменных К. Шерера не требует существования общей квадратич ной функции Ляпунова для всех ограничений (57) и потому не вносит допол нительного консерватизма в решение задачи синтеза.

С точки зрения обеспечения желаемого качества переходных процессов в замкнутой системе, большой интерес представляют решения задач синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размеще ние полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области комплексной плос кости. В работе18 ЛМН-областью называется любое подмножество D ком плексной плоскости C, которое можно определить как D = {z C: fD (z) 0}, где fD (z) = L + zM + z M T — характеристическая функция области D, L = LT и M — заданные вещественные матрицы. Определение ЛМН области включает полуплоскости, вертикальные и горизонтальные полосы, диски, конусы, а также их любые пересечения. Известно, что любые пересе чения ЛМН-областей также являются ЛМН-областями. ЛМН-области явля ются выпуклыми и симметричными относительно действительной оси. Лю бая выпуклая область комплексной плоскости, симметричная относительно действительной оси, может быть аппроксимирована ЛМН-областью с любой желаемой степенью точностью.

В задачах синтеза анизотропийного субоптимального регулятора задан ного порядка и регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида можно учитывать ограничения на распо ложение полюсов замкнутой системы в диске заданного радиуса с центром в начале координат Dr = {z C: |z| r}, r 1. В случае динамического регулятора заданного порядка система ограничения (18)–(22) следствия 3. или ограничения (60)–(64) следствия 4.2 (для многокритериальной задачи) Chilali M. and Gahinet P. H Design with pole placement constraints: an LMI approach // IEEE Trans.

AC, 1996, Vol. 41, No. 3, p. 358–367.

дополняются условиями rQ11 rQ12 A + Bu Dc Cy Bu Cc rQ22 Bc Cy Ac 0, rP11 rP rP P11 P12 Q11 Q = P 0, = Q 0, P Q = In.

T QT Q P12 P22 При решении задач синтеза анизотропийного регулятора в виде статической обратной связи по выходу для объекта управления общего вида ограниче ния (37)–(40) следствия 3.4 или (76)–(80) следствия 4.3 (для многокритери альной задачи) дополняются условиями rQ A + Bu KCy 0, P 0, Q 0, P Q = Inx.

T TTT A + Cy K Bu rP Ограничения на расположение полюсов замкнутой системы в произволь ной ЛМН-области можно учитывать в трех частных случаях, соответству ющих определенной структуре объекта управления и регулятора. Пред полагается, что заданная ЛМН-область представляет собой пересечение s элементарных ЛМН-областей: D = s Di {z C: |z| 1}, fDi (z) = i= T Li + zMi + z Mi.

В случае, когда вектор состояния в объекте управления измеряется точ но, и модель объекта управления описывается уравнениями (12) или, для многокритериальной задачи, уравнениями (55), где Cy = Inx, Dyw = 0, не равенства синтеза (23)–(25) теоремы 3.1 или система неравенств (68)–(70) теоремы 4.1 дополняются неравенствами Li + Mi (A + Bu ) + MiT (AT + T Bu ) 0, i = 1... s.

T В случае, когда в задачах синтеза 3 и 4 порядок анизотропийного субопти мального регулятора равен порядку объекта и применяется линеаризующая замена переменных П. Гаинета, неравенства синтеза (27)–(30) теоремы 3. или система неравенств (72)–(75) теоремы 4.2 дополняются неравенствами 11 Inx A11 + Bu Cc A + Bu Dc Cy Li + Mi + Inx 11 11 A + Bc Cy Ac 11 AT + CT Bu T AT + MiT c c 0, i = 1... s.

A + Bu Dc Cy A 11 + Cy BT T TTT T T c Если объект управления характеризуется структурным свойством (41), т.е. Pyu (z) = 0, и применяется линеаризующая замена переменных К. Шере ра, неравенства синтеза (43)–(45) теоремы 3.3 или система неравенств (81)– (84) теоремы 4.3 дополняются неравенствами Qi 0 A11 Qi A11 Si Si A22 + A12 + Bu1 KCy Li + Mi + 0 Ri 0 Ri A Qi AT + MiT 0, TT TT T T TT Si A11 A22 Si + A12 + Cy2 K Bu1 A22 Ri Qi 0, Ri 0, i = 1... s.

Полученные результаты применяются для решения задачи синтеза ро бастных анизотропийных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содержат неопределенные параметры, методами полуопределенного программирования и выпуклой оптимизации. Рассматривается объект упра вления, представленный дискретной линейной стационарной моделью с не определенными параметрами P (z) с nx -мерным состоянием X, mw -мерным внешним входом W, mu -мерным входом управления U, pz -мерным управляе мым выходом Z и py -мерным измеряемым выходом Y. Модель объекта упра вления в пространстве состояний имеет вид xk+1 A Bw B u P (z) : zk = Cz Dzw Dzu + yk Cy Dyw B xk + Dz (Ip D )1 C Dw Du wk, (87) Dy uk где размерности всех матриц согласованы, pz mw, пара матриц (A, Bu ) является стабилизируемой, а пара (A, Cy ) — детектируемой. Модель (87) содержит неопределенные (неизвестные) параметры, представленные матри цей Rm p, удовлетворяющей условию T Ip для извест ного числа 0, что эквивалентно (). Предполагается, что det(Ip D ) = 0. Матричную передаточную функцию P (z) можно вы разить через верхнее дробно-линейное преобразование P (z) = Fu (P, ) = Pyu +Pyw (Ip Pzw )1 Pzu, где P (z) — передаточная функция номинальной модели объекта управления.

Модель в пространстве состояний (87) можно представить в эквивалент ной форме с дополнительными p -мерным выходом неопределенности Z и m -мерным входом неопределенности W :

xk+1 A B B w B u xk z C D Dw Du wk P (z) : k = zk Cz Cz Dzw Dzu wk, wk = zk. (88) yk Cy Dy Dyw 0 uk Предполагается, что средняя анизотропия (3) последовательности внешнего возмущения W не превосходит известного неотрицательного уровня a.

Пусть Tzw (z) — матричная передаточная функция замкнутой системы от возмущения W к управляемому выходу Z, заданная нижним дробно линейным преобразованием Tzw (z) = Fl (P, K) = Fl (Fu (P, ), K). Предпо лагается, что для объекта управления (88) и регулятора (89) выполняется условие Кимуры порядка n : n nx mu py. Общая постановка зада чи синтеза анизотропийного субоптимального регулятора заданного поряд ка для объекта с неструктурированной неопределенностью, ограниченной по спектральной норме, следующая.

Задача 4.4. Для заданных объекта управления P с моделью в простран стве состояний (88), уровня средней анизотропии a 0 внешнего возму щения W, числа 0 и некоторого желаемого порогового значения 0, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K с мо делью в пространстве состояний k+1 Ac Bc k K(z) : = (89) uk Cc Dc yk с n -мерным состоянием = (k )k+, стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий, что ее a-анизотропийная норма не превосхо дит порогового значения, т.е.

|||Tzw |||a (90) для всех допустимых неопределенностей, где := Rm p : ().

Для решения задачи 4.4 ставится вспомогательная многокритериальная задача синтеза анизотропийного субоптимального регулятора для вспомога тельного объекта управления xk+1 A B B w B u xk z C D Dw Du wk P (z) : k = (91) zk Cz Cz Dzw Dzu wk yk Cy Dy Dyw 0 uk Z с расширенным управляемым выходом Z =, в котором вход и выход Z неопределенности W и Z в каждый момент дискретного времени k связаны соотношением E|wk |2 E|zk |2.

(92) Задача 4.5. Для заданных вспомогательного объекта управления P с мо делью в пространстве состояний (91), (92), уровня средней анизотропии a 0 внешнего возмущения W, числа 0 и некоторого желаемого порогового значения 0, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K заданного порядка n с моделью в пространстве состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему Fl (P, K) и обеспе чивающий одновременное выполнение условий |||Tzw |||a, (93) Tzw. (94) Связь между решениями вспомогательной и исходной задач устанавливается следующей леммой.

Лемма 4.1. Пусть для замкнутой системы Fl (P, K) с регулятором K вы полняются неравенства (93), (94), т.е. регулятор K является решением задачи 4.5. Тогда для замкнутой системы Fl (P, K) с тем же регулято ром K неравенство (90) выполняется для всех, т.е. регулятор K является также решением задачи 4.4. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Задача 4.5 — частный случай задачи 4.1 синтеза многокритериально го анизотропийного регулятора для вспомогательного объекта управления P (z), представленного реализацией (91), с расширенным управляемым вы ходом Z и двумя группами входов внешних возмущений W и W, характери зующихся уровнями средней анизотропии a1 = a и a2 +. Решения задач синтеза робастных анизотропийных субоптимальных регуляторов получены прямым применением следствия 4.1 (динамический регулятор по выходу за данного порядка), теоремы 4.1 (статическая обратная связь по состоянию), теоремы 4.2 (регулятор по выходу полного порядка) и следствия 4.3 (статиче ская обратная связь по выходу) к реализациям передаточных функций Tzw (z), Tzw (z) с учетом предельного случая (10), (11). Неравенства синтеза регу ляторов в виде статической обратной связи по состоянию и полного порядка по выходу могут дополняться ограничениями, обеспечивающими робастное расположение полюсов замкнутой системы в заданной ЛМН-области.

В главе 5 диссертационной работы рассматриваются примеры приме нения разработанных методов для синтеза систем управления техническими объектами. Регулярные методы синтеза субоптимальных и -оптимальных анизотропийных регуляторов на основе выпуклой оптимизации и полуопре деленного программирования показали свою применимость для инженерной практики синтеза систем автоматического управления техническими объек тами как в задачах стабилизации, так и в задачах слежения. Эти методы могут применяться для управления техническими системами с переменны ми параметрами, если множество значений этих параметров ограничено и границы его известны. Подробно рассмотрены примеры решения задач син теза устройства автоматического управления самолетом в режиме посадки в условиях ветровых возмущений и коррелированных шумов измерений, а также устройства автоматического управления угловым положением гиро стабилизированной платформы (ГСП) в условиях неопределенных ограни ченных внешних возмущений и коррелированных случайных помех. В этих примерах субоптимальные анизотропийные регуляторы продемонстрирова ли наилучшее качество подавления внешних возмущений и слежения при наименьших затратах на управление, а замкнутые системы с анизотропий ными регуляторами обладают большей помехозащищенностью.

Приведем некоторые результаты решения задачи управления угловым положением ГСП с переменным кинетическим моментом гироблока (ГБ) под воздействием внешних возмущений в условиях шумов измерений. Упрощен ная линейная математическая модель одноосного гиростабилизатора с уче том влияния качания ротора синхронного гистерезисного двигателя (СГД) на угловую погрешность имеет вид [5, 6] (t) = (t), Kg H(t) 1w 1u (t) = (t) (t) + M (t) M (t), J J J J (t) = (t), (95) H(t) Kg 1w 1u (t) = (t) (t) + M (t) M (t), J J J J H(t) = H0 + H0 sin (2f t), где (t) — текущее угловое положение оси стабилизации ГСП;

(t) — те кущая угловая скорость ГСП относительно оси стабилизации;

(t) — теку щее угловое положение оси прецессии чувствительного элемента (ЧЭ) ГБ;

(t) — текущая угловая скорость ЧЭ ГБ относительно оси прецессии;

H(t) — переменный кинетический момент ГБ;

H0 — номинальный кинетический момент ГБ;

H0 — амплитуда гармонического изменения кинетического мо мента ГБ;

f — частота качания ротора СГД;

J — момент инерции ГСП относительно оси стабилизации;

J — момент инерции ЧЭ ГБ относительно оси прецессии;

Kg — коэффициент вязкого трения в опорах карданова под веса ГСП;

Kg — коэффициент вязкого трения жидкости ГБ;

M (t) — внеш w ние возмущающие моменты относительно оси стабилизации ГСП;

M (t) — w внешние возмущающие моменты относительно оси прецессии ЧЭ ГБ;

M (t) u — управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ГСП;

M (t) u — управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ.

В качестве внешних возмущений рассматриваются неопределенные сиг налы конечной мощности. Шумы измерений представляют собой коррелиро ванные гауссовские случайные сигналы с неизвестными параметрами закона распределения.

Для объекта управления (95) требуется синтезировать алгоритм упра вления, обеспечивающий приведение ГСП к заданному угловому положению и нечувствительность выбранных управляемых переменных по отношению к неопределенным внешним возмущениям и шумам измерений. Управле ние направлено на отслеживание входных команд c, задающих требуемое угловое положение оси стабилизации ГСП, и обеспечение одновременной ста билизации в ноль текущего углового положения оси прецессии ЧЭ ГБ в присутствии неизвестных внешних возмущающих моментов M, M и кор w w релированных шумов измерений n, n угловых скоростей и. Упра вление угловым положением ГСП требует знания не только текущих значе ний углов, но и текущих значений интегралов ошибки углового положения.

Для решения задачи управления положением система (95) была расшире на и приведена к стандартной форме объекта управления (55) для задачи многокритериального управления, где u u (c ) M M ]T, x(t) = [ w w c M M ]T, w1 (t) = [ n n ]T, w2 (t) = [ u u ] T, u(t) = [ c u u ]T, z(t) = [ (c ) + n + n ]T y(t) = [ и в векторе внешних входов w(t) выделены две группы каналов w1 (t) (ко манды управления и внешние возмущающие моменты) и w2 (t) (шумы изме рений). Для достижения целей управления применяется регулятор в фор ме динамического компенсатора (56). Управляющие моменты M, M от u u двигателей силовой стабилизации формируются интегрированием сигналов управления на выходе регулятора:

u u M (t) = Ku u (t), M (t) = Ku u (t), где Ku, Ku — статические коэффициенты усиления. Предлагаемая струк тура управляющего устройства позволяет избежать дифференцирования из меряемого значения текущего углового положения оси прецессии ЧЭ ГБ, но требует измерения текущих угловых скоростей ГСП и ЧЭ ГБ и двухкрат ного интегрирования измеряемых значений.

В силу ограниченности переменного кинетического момента ГБ H(t) [H0 H0, H0 + H0 ], задачу синтеза управления для модели с перемен ным параметром можно решать как задачу синтеза робастного управления для модели с неопределенным параметром. В этом случае переменный ко эффициент H(t) в системе линейных уравнений (95) можно рассматривать как аффинный неопределенный параметр, принимающий любые значения из известного интервала:

H(t) = H0 + H, H [H0, H0 ].

Для объекта управления P с моделью в пространстве состояний (88), известных уровней средней анизотропии a1, a2 0 внешних возмущений, за данных пороговых значений 1, 2 0 и числа 0, найти дискретный линейный стационарный регулятор по выходу K полного порядка с моде лью в пространстве состояний (89), стабилизирующий замкнутую систему и гарантирующий подавление влияния внешних возмущений на увеличение ошибки отработки команды c с качеством не хуже заданного, т.е. выпол нение неравенств |||Tzw1 |||a1 1, |||Tzw2 |||a2 для всех допустимых неопределенностей, удовлетворяющих условию. Цель управления — отслеживание кусочно-постоянного зада () ющего воздействия c при одновременной стабилизации — в рассматри ваемой задаче достигается за счет включения ошибки слежения e = c и угла оси прецессии ЧЭ ГБ в вектор управляемых переменных Z, а интегралов от ошибки слежения и угла оси прецессии e, — в век тор измерений Y. Многокритериальный анизотропийный субоптимальный регулятор полного порядка Ka1 /a2 был получен из решения задачи 4.5 для уровней средней анизотропии возмущений a1 = 1.6, a2 = 0.6 и значения = 1/(2H0 ) = 0.016667. Для сравнения управления и замкнутых систем был синтезирован H2 /H регулятор K/2.

Некоторые результаты решения задачи и моделирования замкнутых си стем с различными регуляторами в условиях внешних возмущений и шумов измерений представлены в табл. 1 и проиллюстрированы на рис. 1–4. Опор ные значения c генерировались как ступенчатые сигналы со случайной ам плитудой из диапазона от 0 до 90 град равной продолжительности 2 с. На диаграммах рис. 1–4 системе с регулятором K/2 соответствует обозначение H2 /H, системе с регулятором Ka1 /a2 — обозначение RMAC19. При модели ровании замкнутых систем на входы внешних возмущающих моментов M, w M подавались периодические сигналы w w w imp n Mk = M sign sin M tk + K sign sin imp tk + K M nM k, imp n w w Mk = M sign sin M tk + K sign sin imp tk + K M nM k, M где nM — гауссовский белый шум (рис. 4), imp 20. На входы шумов изме рений подавалась гауссовская последовательность с уровнем средней анизо тропии a2 = 0.6.

Robust Multiobjective Anisotropic Controller — робастный многокритериальный анизотропийный регу лятор Таблица 1. Управление положением ГСП. Сравнение замкнутых систем Регулятор в цепи обратной связи Ka1 /a2 K/ Результаты решения:

a1 ( ) 4.2435 4. a2 (2 ) 1.5056 1. |||Tzw1 |||1.6 1.0014 1. |||Tzw2 |||0.6 0.020269 0. Tzw1 2.1318 2. Tzw2 2 0.00038681 0. Время ЦП, с 29.531 26. Результаты моделирования ЗС с переменным параметром:

max |c |, град 90 max ||, град 120.4 138. max ||, град 2 max | |, град/с 1305 max | |, град/с 3083 max |M |, г·см u 4.631 · 4.563 · max |M |, г·см u 2.096 · 2.226 · max |u |, А 2.297 1. max |u |, А 0.07861 0. Angular positions of stabilization and precession axes (deg) 50 c H2/H RMAC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (deg) c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (deg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Рис. 1. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слеже ния. Текущее угловое положение оси стабилизации ГСП (верхняя диаграмма);

ошибка текущего углового положения оси стабилиза ции ГСП e (средняя диаграмма);

текущее угловое положение оси прецессии ЧЭ ГБ (нижняя диаграмма) Angular velocities of stabilization and precession axes H /H 2 (deg/sec) 1000 RMAC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (deg/sec) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time varying moment of inertia H(t) (kg*m *s ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Рис. 2. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слеже ния. Текущая угловая скорость ГСП относительно оси стабили зации (верхняя диаграмма);

текущая угловая скорость ЧЭ ГБ относительно оси прецессии (средняя диаграмма);

переменный кинетический момент ГБ (нижняя диаграмма) Control actions of force stabilization motors x H /H 2 RMAC M (g cm) u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x M (g cm) u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Рис. 3. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача слеже ния. Управляющее воздействие от двигателя силовой стабилизации ГСП M (верхняя диаграмма);

управляющее воздействие от двига u теля силовой стабилизации ЧЭ ГБ M (нижняя диаграмма) u External disturbing moments M (g cm) v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mv (g cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Рис. 4. Управление ГСП, модель с переменным параметром, задача стаби лизации. Внешние возмущающие моменты M (верхняя диаграм v ма), M (нижняя диаграмма) v Моделирование замкнутых систем выполнялось с учетом физических ограничений на угловое значение оси прецессии ЧЭ ГБ || 2 град. Анализ результатов моделирования, представленных в табл. 1 и на рис. 1–3 показы вает, что • при отслеживании кусочно-постоянного задающего сигнала c макси мальное перерегулирование в ЗС с анизотропийным регулятором Ka1 /a составляет 30.4 град (33.778%), а в ЗС с H2 /H регулятором K/2 — 48.1 град (53.444%);

• максимальная амплитуда управляющего воздействия от двигателя си ловой стабилизации ГСП M в системе с H2 /H регулятором K/ u больше на 6800 г·см (1.4684%), а от двигателя силовой стабилизации ЧЭ ГБ M — меньше на 1300 г·см (5.8401%).

u В задаче управления угловым положением ГСП с переменным кинетическим моментом ГБ в условиях неизвестных внешних возмущений (задача сле жения) робастный многокритериальный анизотропийный регулятор Ka1 /a обеспечивает наилучшее качество слежения и подавления внешних возму щений при наименьших затратах на управление.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и сформулированы основные выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Сформулирована и доказана частотная теорема для анизотропийной нормы в терминах неравенств.

2. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов заданного порядка в виде динамической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

3. Поставлена и решена задача синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов в виде статической обратной связи по выходу методами полуопределенного программирования и численной оптимизации.

4. Разработан метод синтеза анизотропийных -оптимальных регулято ров на основе выпуклой оптимизации.

5. Выполнены постановки многокритериальных задач анизотропийного управления и получены их решения.

6. Получено решение задачи синтеза анизотропийных субоптимальных регуляторов, обеспечивающих размещение полюсов замкнутой системы в заданной выпуклой области комплексной плоскости.

7. Разработаны методы решения задач синтеза робастных анизотропий ных субоптимальных регуляторов для систем, модели которых содер жат неопределенные параметры, на основе полуопределенного програм мирования и численной оптимизации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Чайковский М.М. Синтез анизотропийных субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Дифференциальные уравнения, 2012, T. 48, № 2, с. 156–158.

2. Тимин В.Н., Чайковский М.М., Курдюков А.П. Решение задачи анизо тропийной субоптимальной фильтрации методом выпуклой оптимизации // Доклады Академии Наук, 2012, Т. 444, № 6, с. 612–615.

3. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Критерий строгой ограниченности анизотропийной нормы заданным значением в терминах матричных не равенств // Доклады Академии Наук, 2011, Т. 441, № 3, с. 318–321.

4. Чайковский М.М. Синтез статических субоптимальных анизотропийных регуляторов методами выпуклой оптимизации // Тезисы докл. ХI Межд.

сем. им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания нелинейных си стем управления”, Москва, ИПУ РАН, 2012, с. 334–336.

5. Межирицкий Е.Л., Никифоров В.М., Чайковский М.М., Егупов Н.Д. Ро бастная стабилизация динамических систем в условиях неопределенно сти внешних возмущающих факторов методами выпуклой оптимизации // Доклады XIX Санкт-Петербургской межд. конф. по интегрирован ным навигац. сист., Санкт-Петербург, Россия, 28–30 мая, 2012.

6. Никифоров В.М., Сапожников А.И., Орлов С.В., Ширяев А.С., Вино градов И.Е., Чайковский М.М. Влияние импульса подмагничивания син хронного гистерезисного двигателя на угловую погрешность одноосного гиростабилизатора // Труды “ФГУП НПЦ АП” “Системы и приборы управления”, 2012, 2, с. 3–21, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.

7. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Оптимальный анизотропийный ре гулятор на основе наблюдателя Люенбергера минимального порядка // Труды 18-й Межд. конф. по авт. управл. “Автоматика 2011”, Львов, Украина, 2011.

8. Чайковский М.М. Анизотропийная -оптимальная редукция дискретной линейной стационарной системы // Автоматика и телемеханика, 2010, № 12, с. 86–110.

9. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Программное обеспечение и вычисли тельные алгоритмы для редукции анизотропийных регуляторов методом сбалансированного отсечения // Труды конф. “Управление в техниче ских системах”, Санкт-Петербург, 12-14 октября 2010, с. 308–311.

10. Чайковский М.М. Синтез оптимального анизотропийного регулятора по ниженного порядка при частичном отсутствии шумов измерений // Тез.

докл. Х Межд. сем. им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”, Москва, ИПУ РАН, 2010.

11. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Нормализованная задача анизотро пийной стохастической H оптимизации для редукции замкнутой си стемы методом сбалансированного отсечения // Автоматика и телеме ханика, 2010, № 5, c. 53–69.

12. Курдюков А.П., Чайковский М.М. Робастный стохастический регуля тор пониженного порядка для управления самолетом в условиях внешних возмущений // Докл. Межд. науч.-тех. конф. “Мехатроника, автома тизация и управление”, Дивноморское, 28 сентября - 3 октября, 2009.

13. Чайковский М.М., Курдюков А.П. Робастное управление переходными процессами в энергетических системах // Доклады 4-й Международной конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 2009.

14. Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Оптимальная настройка ПИД регуляторов для многосвязных билинейных объектов управления // Ав томатика и телемеханика, 2009, № 1, с. 130–146.

15. Бойченко В.А., Курдюков А.П., Тимин В.Н., Чайковский М.М., Ядыкин И.Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и за данной структуры // Управление большими системами. Выпуск 19. М.:

ИПУ РАН, 2007, с. 23–126.

16. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг решения линейного матричного неравенства // Автоматика и телемеханика, 2007, № 9, с. 96–105.

17. Чайковский М.М. Нахождение сильно минимизирующего ранг реше ния линейного матричного неравенства // Тезисы докл. IX Межд. сем.

“Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” имени Е.С. Пятницкого, Москва, ИПУ РАН, 31 мая – 2 июня, 2006.

18. Tchaikovsky M.M. Static output feedback anisotropic controller design by LMI-based approach: General and special cases // Proc. 2012 American Control Conf., Montreal, Canada, June 27–29, 2012.

19. Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P., and Timin V.N. Strict anisotropic norm bounded real lemma in terms of inequalities // Proc. 18th IFAC World Congr., Milano, Italy, 2011.

20. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Reduced-order stochastic robust controller design for aircraft control in landing approach // Proc. 18th IFAC Symp. on Automat. Contr. in Aerospace, Nara, Japan, September 6-10, 2010.

21. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. on Mathematical Theory of Networks and Systems, Budapest, Hungary, 2010, p. 2391–2397.

22. Tchaikovsky M.M. Stochastic robust ight control under windshear by reduced-order anisotropic controller // Archives of Control Sciences, 2009, Vol. 19(LV), No. 4, p. 385–422.

23. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Anisotropy-based approximation of linear discrete time-invariant stochastic system // Proc. 4th Int. Scientic Conf. on Physics and Contr., Catania, Italy, 2009.

24. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. Stochastic robust controller reduction by anisotropic balanced truncation // Proc. 4th IEEE Multiconf.

Syst. Contr., Saint-Petersburg, Russia, 2009, p. 1772–1777.

25. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced order controller design // AT&P J. Plus 2 (ISSN 1336-5010), 2009, p. 6–18.

26. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On simplifying solution to normalized anisotropy-based stochastic H problem // Proc. 6th IFAC Symp. Robust Control Design, Haifa, Israel, 2009, p. 161–166.

27. Tchaikovsky M.M. Anisotropic balanced truncation: Application to reduced order controller design // Proc. 17th International Conference on Process Control, Strbsk Pleso, Slovakia, June 9-12, 2009, p.14–27.

e 28. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. Optimal industrial controller tuning algorithms in view of constraints for stability margins // 13th IFAC Symp.

on Inform. Contr. Probl. in Manufact., Moscow, Russia, June 3-5, 2009.

29. Kurdykov A.P., Tchaikovsky M.M., Misrikhanov M.S., and Ryabchenko V.N.

LMI-Based robust controller design for power systems // Proc. Int. Conf. on Math. Probl. in Engineering, Aerospace and Sciences, Genoa, Italy, 2008.

30. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Model reduction according to minimum anisotropic norm performance // Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems: Book of Abstracts of E.S. Pyatnitskiy X Int.

Workshop, Moscow, 2008, p. 166–167.

31. Yadykin I.B. and Tchaikovsky M.M. PID Controller tuning for bilinear continuous time invariant MIMO system // Proc. of 3rd IFAC Symp. on System, Structure and Control, Iguassu Falls, Brazil, 2007.

32. Kurdyukov A.P. and Tchaikovsky M.M. Longitudinal robust anisotropic optimal ight control in a windshear // Prep. 17th IFAC Symp. on Automatic Control in Aerospace, Toulouse, France, 2007.

33. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy method for solving anisotropy-based stochastic H optimization problem with uncertainty // 5th IFAC Symp. Rob. Contr. Design, Toulouse, France, 2006.

34. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Homotopy-based algorithm for computing stochastic H -optimal controller for LTI-system with uncertainty // Proc. 7th International Technical Conference on Process Control, Kouty nad Desnou, Czech Republic, 2006.

35. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. On computing anisotropic norm of linear discrete-time-invariant system via LMI-based approach // Archives of Control Sciences, 2006, Vol. 16, No. 3, p. 257–281.

36. Kurdyukov A.P., Maximov E.A., and Tchaikovsky M.M. Computing anisotropic optimal controller for system with parametric uncertainty via homotopy-based algorithm // Proc. IV Int. Conf. “System identecation and contr. probl.”, Moscow, Jan. 30 – Feb. 2, 2006.

37. Tchaikovsky M.M. and Kurdyukov A.P. LMI-based approach to computing the anisotropic norm of linear discrete time-invariant system // Proc. 15th Int. Conf. on Process Control, Strbsk Pleso, Slovakia, 2005.

e В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора состоит в следующем:

в [5, 7, 23, 24, 30] автору принадлежат постановки задач, формулировки и доказательства теорем, численные расчеты;

в [3, 11, 19, 26, 35, 37] автору принадлежат формулировки и до казательства теорем, численные расчеты;

в [2, 9, 12, 14, 20, 28, 31–34, 36] автору принадлежат вычислительные алгоритмы, численные расчеты;

в [6, 13, 21, 29] автор участвовал в числен ных расчетах и анализе моделей объектов управления.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.