авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Математическое моделирование и анализ аттракторов и бифуркаций нелинейных стохастических систем

На правах рукописи

ПЕРЕВАЛОВА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ

АТТРАКТОРОВ И БИФУРКАЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2011

Работа выполнена на кафедре математической физики ГОУ ВПО «Ураль ский государственный университет им. А.М. Горького»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Л. Б. Ряшко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ананьев Борис Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Логинов Михаил Иванович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Защита состоится " 16 " марта 2011 года в 15:00 часов на заседании диссер тационного совета Д 212.286.10 при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» по адресу: 620000, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Ураль ский государственный университет им. А.М. Горького».

Автореферат разослан " 11 " февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Настоящая диссертация посвящена моделированию и анализу аттракторов нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений. Случайные возмущения, сопровождающие функционирование любых реальных физических, химических, биологических систем, могут ока зать существенное влияние на их динамику. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получил Arrhenius S.A. еще в 1899 году. Значительную извест ность имеет классическая работа Понтрягина Л.С., Андронова А.А., Витта А.А. ”О статистическом рассмотрении динамических систем”. Опубликован ная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач, изучения сто хастической динамики, остающихся актуальными и на сегодняшний день.

Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающих работ Каца И.Я. и Красовского Н.Н. 1960 г., является теоретическим фунда ментом анализа устойчивости стохастических систем. Этот метод позволил не только распространить на стохастические уравнения базовые конструкции классической теории детерминированной устойчивости, но и получить новые интересные результаты, отражающие особенности, присущие только вероят ностным системам. Данная методика получила в дальнейшем широкое раз витие в работах Хасьминского Р.З., Гихмана И.И., Кушнера Х., Мильштейна Г.Н., Колмановского В.Б., Воронова А.А., Пакшина П.В., Ряшко Л.Б.

В последнее время при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое разнообра зие режимов в сравнении с детерминированными системами. К данной груп пе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions). Первое описание данных явлений было дано в конце 50х - начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича Р.Л., Тихонова В.И., Ланды П.С. Спустя несколько лет эти эффекты были переоткрыты в контексте экологических систем у May R.M., Hahn H.S. и др. Классической работой по индуцированным шумом переходам стала книга Horsthemke W., Lefever R.

В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохасти ческих бифуркаций, изучающая качественное изменение поведения динами ческих систем под воздействием случайных возмущений. В работах Arnold L. выделяются два основных подхода к определению понятия стохастическая бифуркация: феноменологический подход (P-бифуркация), описывающий ка чественное изменение стационарной плотности распределения, и динамиче ский (D-бифуркация), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках, ин дуцированных шумом переходов для одномерного случая, проведен в работах Crauel H., Flandoli F., Leng G., Namachchivaya N. Воздействие шума на би фуркацию Хопфа двумерных систем подробно рассмотрено в работах Moss F., McClintock P.V.E., Lefever R., Turner J., Kuske R., Xu W., Zhu W.Q., He Q., Leung H., Malick K., Анищенко В.С., Вадивасовой В.Е..

Наиболее общее вероятностное описание воздействия шума на динамиче скую систему дает уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК). Если характер переходного процесса является несущественным, то обычно огра ничиваются рассмотрением стационарного уравнения ФПК. Однако прямое использование этого уравнения даже в простейшем случае нелинейного сто хастического осциллятора с одной степенью свободы является затруднитель ным. Аналитически стационарная плотность распределения может быть по лучена только для одномерных систем. Для двумерных динамических систем этого сделать, как правило, не удается.

Для систем с малыми случайными возмущениями в работе Вентцеля А.Д.

и Фрейдлина М.И. предложен подход, использующий некоторую специально конструируемую функцию Ляпунова – квазипотенциал, с помощью которой можно находить асимптотику ряда важных вероятностных характеристик выхода случайных траекторий из области устойчивого аттрактора детерми нированной системы. При помощи функции квазипотенциала удается пред сказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Применительно к точке покоя данный подход развивался в работах Bucklew J.A., Dembo M. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Day M.V., Ludvig D., Maier R.S., Dykman M.I., Graham L., Tel T., Naeh T., Smelyanskyi V.N., Мильштейна Г.Н., Ряшко Л.Б.



В исследованиях Ряшко Л.Б. и Башкирцевой И.А. разработана методика анализа стохастической чувствительности аттракторов. Данная методика ба зируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стоха стической чувствительности (ФСЧ), описывающей ковариацию отклонения случайной траектории от детерминированного аттрактора. ФСЧ является естественной вероятностной мерой, характеризующей реакцию стохастиче ского аттрактора на малые внешние возмущения. Стихин П.В. в своих рабо тах использовал аппарат ФСЧ для анализа обратных стохастических бифур каций в трехмерных системах при малых аддитивных шумах. Численным процедурам отыскания стохастической чувствительности для многомерных систем посвящены работы Губкина А.А. Развитие аппарата ФСЧ для дис кретных систем и применение его в анализе обратных стохастических би фуркаций для одно- и двумерных систем с дискретным временем приведено в работах Цветкова И.Н.

Целью работы является разработка аппарата математического моделиро вания, включая теорию, численные алгоритмы и программную реализацию, для анализа стохастических аттракторов и бифуркаций нелинейных стоха стических систем.

Методы исследования диссертационной работы можно условно разделить на две группы. Первая группа методов опирается на численное моделиро вание случайных траекторий динамических систем. Вторая группа методов опирается на использование явно найденной функции плотности распределе ния или аппарата функции стохастической чувствительности. Приведенные в представленной работе численные алгоритмы реализованы в разработанном программном комплексе.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Получена оценка сдвига стохастических аттракторов общих одномерных систем под воздействием мультипликативного шума. Проведен парамет рический анализ сдвигов аттракторов для ряда одномерных и двумер ных систем.

2. Для одномерной кубической системы и систем Хопфа (мягкий и жесткий случаи) детально исследованы стохастические бифуркации, связанные с качественными изменениями формы графика стационарной плотности распределения при изменении мультипликативного шума.

3. Получены необходимые и достаточные условия существования функции стохастической чувствительности в случае цикла на плоскости (Теорема 1). С помощью этой функции проведено параметрическое исследование стохастических аттракторов моделей Хопфа, Ван-дер-Поля и брюсселя тора.

4. Разработан и отлажен программный комплекс ”Моделирование и анализ аттракторов нелинейных стохастических систем”, позволяющий прово дить численные эксперименты по моделированию стохастической дина мики одно- и двумерных динамических систем, проводить детальный анализ стохастических аттракторов и бифуркаций.

Теоретическая и практическая значимость исследований Теоретическая значимость представляемой диссертационной работы за ключается в проведенном анализе стохастических аттракторов и бифурка ций ряда одномерных и двумерных динамических моделей. Для случая цикла на плоскости доказаны необходимые и достаточные условия существования функции стохастической чувствительности (ФСЧ), получена оценка погреш ности ФСЧ-аппроксимацией для стационарных плотностей.





Практическая ценность работы заключается в проведенном параметри ческом анализе явлений сдвига и бифуркаций стохастических аттракторов под действием мультипликативного шума для одномерных и двумерных си стем Хопфа, в применение аппарата ФСЧ в исследовании аттракторов моде лей Хопфа, Ван-дер-Поля и брюсселятора. Практическую значимость также имеет программный комплекс разработанный и отлаженный для проведения численных экспериментов.

Личный вклад. Все представленные в диссертационной работе результа ты получены при личном участии автора. Ею был разработан программный комплекс, использующийся в ходе численных экспериментов, проведены все теоретические исследования и обработаны их результаты. Автор участвовал в постановке промежуточных задач и в обсуждении конечных результатов исследования. В коллективных публикациях она лично принимала участие в написании текстов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докла дывались и обсуждались на представительных научных форумах: Между народная научная конференция по устойчивости, управлению и моделиро ванию динамических систем, посвященная 75-летию со дня рождения Каца И.Я. (Екатеринбург, 2006);

Международная научно-техническая конферен ция ”Компьютерное моделирование” (Санкт-Петербург, 2006, 2007, 2008);

38 я, 39-я, 40-я, 41-я Региональные молодежные конференции по проблемам тео ретической и прикладной математики (Екатеринбург, 2007, 2008, 2009, 2010);

Всероссийская научно-практическая конференция ”Информационные и ком муникационные технологии в образовании” (Борисоглебск, 2007);

Межвузов ская научная конференция по проблемам информатики ”СПИСОК-2009” (Ека теринбург, 2009);

Конференция, посвященная 50-летию кафедры вычисли тельной математики и математико-механического факультета УрГУ (Екате ринбург, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 2 статьи в реферируемых научных журналах, 11 тезисов докладов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, приложения, заключения и списка цитируемой лите ратуры. Общий объем диссертации составляет 171 страницу машинописного текста, она содержит 61 рисунок, 3 таблицы и 133 ссылки на литературные источники.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, указаны научная новизна, практическое значение и апробация про веденных исследований.

В первой главе ”Стохастические аттракторы и бифуркации” рас сматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений x, f Rn (1) dx = f (x)dt, и соответствующие ей стохастические системы в форме Ито (2) dx = f (x)dt + (x) dw(t), или Стратоновича dx = f (x)dt + (x) dw(t). (3) Здесь w(t) – m-мерный стандартный винеровский процесс, (x) – достаточ но гладкая n m матричная функция, задающая зависимость случайных возмущений от состояния системы, – параметр интенсивности возмущений.

Обозначение dw(t) указывает на то, что уравнение (3) является стохасти ческим дифференциальным уравнением Стратоновича.

Предполагается, что детерминированная система (1) имеет экспоненциаль но устойчивый аттрактор M. В результате действия невырожденных шумов ((x)|M = 0) случайные траектории системы покидают детерминированный аттрактор M и формируют вокруг него некоторый пучок.

Детальное вероятностное описание случайных траекторий системы (2) в этом пучке в терминах плотности распределения (t, x, ) дается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) 2 2 n n (aij ) aij = [ T ]ij. (4) = (fi ), t 2 i,j=1 xi xj xi i= Если характер переходного процесса является несущественным, а основной интерес представляет возможный установившийся режим, то можно ограни читься рассмотрением стационарной плотности распределения (x, ), зада ваемой стационарным уравнением ФПК 2 2 n n (aij ) aij = [ T ]ij. (5) (fi ) = 0, 2 i,j=1 xi xj xi i= В разделе 1.1 рассматривается стохастическое одномерное нелинейное дифференциальное уравнение (6) dx = f (x)dt + (x)dw.

В детерминированном одномерном случае аттракторами системы являются устойчивые точки покоя x(t) x.

Для системы (6) построено решение x K 2 f (s) exp 2 (7) (x) = 2 ds 2 (s) (x) x стационарного уравнения ФПК (5), которое задает функцию стационарной плотности распределения. Здесь K – константа интегрирования, которая мо жет быть найдена из условия нормировки (x)dx = 1.

Величины x, отвечающие максимальным значениям плотности вероятно сти (x) играют важную роль в описании стохастического равновесия: x от мечают точки, в которых концентрация случайных состояний системы макси мальна. В работе исследовано взаимное расположение x и x в зависимости от шума: в присутствии лишь аддитивного шума точки с максимальной и ми нимальной концентрацией совпадают с точками покоя детерминированной системы;

при мультипликативных шумах точка максимальной концентрации x смещается от равновесия x детерминированной системы. Для величины сдвига () = x() x получено следующее разложение по степеням.

Лемма 1. Пусть x – устойчивое равновесие (f (x) 0). Для функции () при малых значениях и достаточно гладких f (x) и (x), справедливо раз ложение (x) (x) () = x() x = (8) + f (x) 2f (x)(( (x))2 + (x)(x)) (x)(x) f (x)( (x))2 2 (x) + O(6 ).

+ (x)) 2(f В разделе 1.1.1 рассматривается стохастическая линейная система в ин терпретации Ито dx = µxdt + 1 (x a)dw1 + 2 dw2. (9) У детерминированной системы при µ = 0 существует единственная точка покоя x = 0, устойчивая при значении параметра µ 0 и неустойчивая при µ 0.

Для стохастического уравнения (9) построено решение стационарного урав нения ФПК (5) для случаев воздействия на систему аддитивного и мульти пликативного шума. Изменение интенсивности 2 аддитивного шума не меня ет положения экстремума функции плотности распределения (x), в то время как изменение интенсивности 1 мультипликативного шума сдвигает его. При этом в зоне параметра µ (0, 1 ) наблюдается стабилизация неустойчивого равновесия.

Также рассматривается стохастически возмущенная система (9) в интер претации Стратоновича dx = µxdt + 1 (x a) dw1 + 2 dw2. (10) Построено решение стационарного уравнения ФПК (5) для случаев адди тивного шума и мультипликативного шума. Получено, что в интерпретации Стратоновича не существует зоны стабилизации неустойчивой точки покоя.

При µ 0 в системе (10) также наблюдается сдвиг стохастического аттрак тора при изменении интенсивности параметрического шума.

В разделе 1.1.2 представлены результаты исследования системы с квад ратичной нелинейностью в интерпретации Стратоновича dx = x(µ x)dt + 1 x dw1 + 2 dw2. (11) У детерминированной системы существуют две точки покоя x1 = 0 и x2 = µ. При значении параметра µ 0 точка покоя x1 = 0 устойчива, а точка покоя x2 = µ неустойчива. При µ 0 равновесие x1 = 0 неустойчиво, а x2 = µ устойчиво.

Для стохастического уравнения (11) найдена стационарная плотность рас пределения. Показано, что в системе с аддитивным шумом не существует ре гулярного стохастического аттрактора, траектории стохастической системы уходят в бесконечность. В случае воздействия на систему только невырож денного мультипликативного шума (1 = 0, 2 = 0) найдена стационарная 2 1 2µ 2x плотность распределения (x) = Kx e 1. В зависимости от значений па раметров распределение (x) имеет три качественно различные формы (рис.

1). При 2µ 1 функция (x) имеет lim (x) = и монотонно убывает на 2 x+ 2µ (0, +). При = 1 функция (x) монотонно убывает на интервале (0, +) 2µ и имеет в нуле конечное значение. Если 1, то (0) = 0, функция (x) перестает быть монотонной, и имеет на (0, +) максимум в точке xs = µ 1.

В случае достаточно больших шумов, когда 1 2µ, плотность распре деления неограниченно возрастает в нуле. Случайные траектории системы Рис. 1: Функция плотности распределения системы (11) при µ = 1 для а) 1 = 0.2, б) 1 = 1, в) 1 = 2, г) 1 = 3.

концентрируются вблизи равновесия x1 = 0, что интерпретируется как стаби лизация неустойчивого равновесия системы, вызванное увеличением мульти пликативного шума. В диапазоне 0 1 2µ у системы (11) наблюдается сдвиг стохастического аттрактора при изменении интенсивности параметри ческого шума 1.

Раздел 1.1.3 посвящен исследованию системы с кубической нелинейно стью в интерпретации Стратоновича dx = x(µ x2 )dt + 1 x dw1 + 2 dw2. (12) У детерминированной системы существуют три точки покоя: x1 = 0, x2 = µ, и x3 = µ. При µ 0 единственная точка покоя x1 = 0 устойчива. При µ 0 положение x1 = 0 теряет устойчивость, и появляется пара устойчивых равновесий x2 = µ, x3 = µ.

В случае, когда на систему действует только аддитивный шум (1 = 0, 2 = 0) случайные траектории концентрируются вокруг устойчивых равно весий x2, x3 (рис. 2). Под воздействием случайных возмущений наблюдается перераспределение решений стохастической системы из окрестности одного равновесия в окрестность другого. Такие индуцированные шумом случайные колебания интерпретируются как стохастический цикл. Увеличение аддитив ного шума уменьшает время нахождения случайных траекторий в окрестно сти одного равновесия и увеличивает частоту перехода.

В случае воздействия невырожденного мультипликативного шума наблю дается качественное изменение формы графика стационарной плотности. При увеличении его интенсивности форма (x) меняется от бимодальной к унимо 2x 2x 2x 1 1 0 0 1 1 t t t 2 2 0 5000 10000 б) 0 500 1000 в) 0 500 а) Рис. 2: Случайные траектории системы при µ = 1, а) 2 = 0.2, б) 2 = 0.5, в) 2 = 1.

дальной. Это интерпретируется как обратная стохастическая бифуркация.

В точке 1 = 2µ происходит качественное изменение динамики. В зоне 0 1 2µ система имеет стохастический цикл, а в зоне 1 2µ – стохастическое равновесие.

Для систем (10) (12) проведен анализ оценки (8) сдвига в зависимости от параметра = 1. Для квадратичной системы (11) справедлива точная формула = 1. Для линейной (10) и кубической (12) систем на рис. 3 пред ставлены: график (а) точной функции (1 ), и ее первого (б) и второго (в) приближений, найденных из разложения (8).

Рис. 3: Оценка сдвига стохастического аттрактора (1 ) для линейной (10) (слева) и куби ческой (12) (справа) систем: (а) точная функция (1 ), (б) первое приближение, (в) второе приближение.

В разделе 1.2 рассматриваются двумерные системы нелинейных стоха стических дифференциальных уравнений Хопфа (мягкий и жесткий режи мы) в форме Стратоновича.

В разделе 1.2.1 приведен детальный анализ поведения аттракторов си стемы Хопфа (мягкий режим) { dx = (µx y + (x2 + y 2 )x)dt + 1 x dw1 + 2 dw2, (13) dy = (x + µy (x2 + y 2 )y)dt + 1 y dw1 + 3 dw3.

При значении параметра µ 0 единственным аттрактором детерминирован ной системы является устойчивая точка покоя (0, 0). При µ 0 система имеет неустойчивое равновесие (0, 0) и устойчивый предельный цикл µ = x2 + y 2.

В случае, когда на систему действует только аддитивный шум (1 = 0, 2 = 0), изменение его интенсивности не меняет положение локальных экс тремумов функции плотности распределения. Увеличение аддитивного шума приводит к увеличению разброса случайных траекторий системы Хопфа во круг детерминированных аттракторов (т.е. вокруг устойчивой точки покоя 0 и вокруг устойчивого предельного цикла x2 + y 2 = µ при (0, 0) при µ µ 0). Таким образом, в отсутствие параметрических шумов точка бифурка ции детерминированной системы является одновременно точкой бифуркации системы с аддитивными помехами. Как видим, аддитивный шум не меняет расположения точек бифуркации.

Присутствие невырожденного мультипликативного шума (1 = 0) изменя ет точку бифуркации от µ = 0 (для детерминированной системы) к µ = (для стохастической). Таким образом, увеличение интенсивности 1 приводит к перераспределению концентрации возмущенных траекторий от предельного цикла к точке покоя. В работе подробно описан эффект обратной стохасти ческой бифуркации и построена бифуркационная диаграмма стохастической системы.

p p x x 0.3 0 0.3 2 1 0 1 а) б) Рис. 4: Графики функции p при 2 = 0.1, 1 = 0.1 (сплошная), 1 = 2 (пунктир) для а) µ = 1, б) µ = 1.

На рис. 4 можно проследить качественное изменение формы графика ста ционарной плотности p при изменении параметра мультипликативного шума 1. В зоне µ 0 увеличение интенсивности мультипликативного шума 1 ве дет к уменьшению разброса случайных траекторий вокруг равновесия (0, 0) (рис. 4 а). В зоне µ 0 увеличение 1 ведет к уменьшению плотности ве роятности случайных траекторий вокруг стохастического предельного цикла x2 + y 2 = µ и к повышению их концентрации в окрестности равновесия (0, 0) (рис. 4 б).

Раздел 1.2.2 посвящен анализу поведения аттракторов системы Хопфа (жесткий режим) { dx = (x(µ + 2x2 + 2y 2 (x2 + y 2 )2 ) y)dt + 1 x dw1 + 2 dw2, (14) dy = (y(µ + 2x2 + 2y 2 (x2 + y 2 )2 ) + x)dt + 1 y dw1 + 3 dw3, При µ 1 единственным аттрактором детерминированной системы яв ляется устойчивая точка покоя (0, 0). При 1 µ 0 – два устойчивых аттрактора (равновесие (0, 0) и цикл x2 + y 2 = 1 + 1 + µ) и один неустой чивый (цикл x2 + y 2 = 1 1 + µ). При µ 0 система имеет неустойчивое равновесие (0, 0) и устойчивый предельный цикл x2 + y 2 = 1 + 1 + µ.

В случае, когда на систему Хопфа действует только аддитивный шум (1 = 0, 2 = 0), изменение его интенсивности не меняет положение локаль ных экстремумов функции плотности распределения. Точки бифуркации де терминированной системы являются одновременно точками бифуркации си стемы с аддитивными помехами. Таким образом, аддитивный шум не меняет расположения точек бифуркации.

В случае, когда на систему действует невырожденный мультипликативный шум (1 = 0), показано, что для каждого фиксированного значения парамет ра µ 0 увеличение 1 приводит к переходу от стохастического предельного цикла (0 1 µ) к одновременному существованию стохастического предельного цикла и стохастической точки покоя ( µ 1 µ + 1), а за тем к стохастическому равновесию (1 µ + 1). Таким образом, в точках 1 = µ и 1 = µ + 1 наблюдаются обратные стохастические бифурка ции.

На рис. 5 качественные изменения формы графика стационарной плотно сти наглядно иллюстрируют обратные стохастические бифуркации:

”цикл” ”цикл+равновесие” ”равновесие”.

При фиксированном значении µ = 0.1 стохастические бифуркации проис ходят в точках 1 = 0.1 0.316 и 1 = 1.1 1.049. При увеличении интенсивности мультипликативного шума от 1 = 0.3 (рис. 5 а) к 1 = 0. (рис. 5 б), форма графика функции p(x, y) преобразуется из ”кратер” в ”кра тер+пик”. Увеличение от 1 = 0.8 (рис. 5 б) к 1 = 1.5 (рис. 5 в) преобразует y p y x x 2 0 а) y p y x x 2 0 б) y p y x x 2 0 в) Рис. 5: Графики функции p(x, y) и случайные состояния системы 14 при µ = 0.1, 2 = 0. для a) 1 = 0.3, б) 1 = 0.8, в) 1 = 1.5.

форму графика из ”кратер+пик” в ”пик”. Дальнейшее увеличение 1 приво дит лишь к увеличению высоты пика.

Во второй главе ”Анализ аттракторов методом функции стоха стической чувствительности” описаны основные методы анализа детер минированной устойчивости аттракторов нелинейных двумерных систем, а также введена конструкция функции стохастической чувствительности, поз воляющая исследовать чувствительность аттрактора к случайным помехам.

Проведен анализ стохастической чувствительности аттракторов к случайным возмущениям на примере систем: Хопфа (мягкий и жесткий режимы), Ван дер-Поля, брюсселятора.

В разделе 2.1 изложены основы классического анализа локальной устой чивости аттракторов системы по первому приближению. Описана методика исследования устойчивости с использованием техники мультипликаторов и характеристических показателей Ляпунова.

Раздел 2.2 посвящен анализу стохастической чувствительности аттрак торов детерминированной системы, возмущенной шумом малой интенсивно сти. Излагается теоретический подход, опирающийся на использование функ ции стохастической чувствительности. Основным объектом, рассматривае мым в данной главе, является система стохастических дифференциальных уравнений Ито (15) dx = f (x)dt + (x) dw(t).

С помощью некоторой функции Ляпунова – квазипотенциала – в случае малых шумов можно получить асимптотику стационарной плотности распре деления случайных траекторий в форме нормального закона ( ) ((x), + ((x))(x)) (x, ) Kexp с ковариационной матрицей 2 (), где (x) – ближайшая к x точка детер минированного аттрактора, (x) = x (x). Матричная функция (x) – функция стохастической чувствительности (ФСЧ) – позволяет описать ос новные вероятностные характеристики стохастически возмущенного аттрак тора. Конструктивное построение этой функции и исследование с ее помощью свойств стохастических аттракторов двумерных систем составляет основное содержание этой главы.

Раздел 2.2.1 посвящен анализу стохастической чувствительности точки покоя. Рассматривается случай, когда аттрактором M системы (1) является единственная экспоненциально устойчивая точка покоя x (M = {x}). В этом случае для квазипотенциала используется квадратичная аппроксимация v(x) (x x, W 1 (x x)).

Эта аппроксимация позволяет представить асимптотику стационарной плот ности (x, ) в форме нормального распределения ( ) (x x, W 1 (x x)) (x, ) Kexp с ковариационной матрицей 2 W, характеризующей разброс случайных тра екторий системы (15) вокруг равновесия x.

Матрица W является решением алгебраического уравнения f F W + W F = S, S = GG, F= (x), G = (x).

x В разделе 2.2.2 рассматривается случай, когда аттрактором M систе мы (1) является предельный цикл, задаваемый некоторым T -периодическим решением x = (t), где x0 = (0) – фиксированная точка цикла. Решение (t) на интервале [0, T ) задает естественную параметризацию точек цикла:

M = {(t)|0 t T }. Предполагается, что цикл является экспоненциально устойчивым.

Для малых шумов с помощью соответствующей квадратичной аппрокси мации квазипотенциала вблизи точки (t) цикла можно записать экспонен циальную гауссовскую асимптотику ( ) (x (t)) W + (t)(x (t)) t (x, ) = Kexp со средним значением mt = (t) и ковариационной матрицей D(t, ) = 2 W (t).

Функция стохастической чувствительности W (t) цикла является решени ем системы W = F (t)W + W F (t) + P (t)S(t)P (t), (16) с условиями периодичности (17) W (t + T ) = W (t) и вырожденности (18) W (t)r(t) = 0, r(t) = f ((t)).

S(t) = G(t)G (t), G(t) = ((t)), P (t) = Pf ((t)), f Здесь F (t) = x ((t)), Pr = I rr r.

r Лемма 2. Для проекционной матрицы P (t) = p(t)p (t) справедливы равен ства p (t)P (t)p(t) 1, p (t)P (t)p(t) 0.

Здесь p(t) – нормированный вектор, ортогональный касательному вектору f ((t)).

В случае цикла на плоскости (n = 2) матрица W (t) представима в виде W (t) = m(t)P (t), где m(t) 0 – T -периодическая скалярная функция, зада ющая разброс пучка по нормали p(t) к циклу. Для функции m(t) справедлива краевая задача (19) m(t) = a(t)m(t) + b(t), m(0) = m(T ) с T -периодическими коэффициентами a(t) = p (t)(F (t) + F (t))p(t), b(t) = p (t)S(t)p(t).

Лемма 3. Пусть T t R1 b(t) 0, (20) b(t)dt 0.

Для того чтобы краевая задача (19) имела единственное решение m(t) на [0, T ], необходимо и достаточно, чтобы для коэффициента a(t) выпол нялось неравенство T (21) a(t)dt 0.

Решение краевой задачи (19) находится явно в виде m = g(t)(C + h(t)), где t t b(s) g(T )h(T ) g(t) = exp a(s)ds, h(t) = ds, C=.

1 g(T ) g(s) 0 Лемма 4. При n = 2 ненулевой характеристический показатель детер минированной системы (22) dz = F (t)zdt имеет вид T (23) = a(t)dt.

2T Теорема 1. Пусть цикл, задаваемый T -периодическим решением (t), яв ляется Э-устойчивым. Для того чтобы краевая задача (19) имела един ственное решение m(t) 0 необходимо и достаточно, чтобы в некоторой точке t [0, T ] выполнялось неравенство ((t))p(t) = 0.

Функция m(t) дает детальное описание стохастической чувствительности вдоль цикла. В анализе влияния случайных возмущений на стохастическую динамику системы около предельного цикла важную роль играет коэффици ент чувствительности цикла к случайным возмущениям M = max m(t), [0,T ] который является удобной характеристикой цикла в целом.

В разделе 2.3 аппарат функции стохастической чувствительности при меняется к анализу классических двумерных моделей нелинейной динамики.

В разделе 2.3.1 проведен анализ чувствительности аттракторов с помо щью аппарата ФСЧ для системы Хопфа (мягкий режим).

В разделе 2.3.2 для системы Хопфа (жесткий режим) найдена функция стохастической чувствительности аттракторов и проведен анализ влияния аддитивного и мультипликативного шума на их чувствительность.

Получено, что стохастическая чувствительность равновесия не зависит от параметрического шума. Для цикла добавление мультипликативного шума меняет его стохастическую чувствительность пропорционально величине (рис. 6).

Рис. 6: Коэффициент стохастической чувствительности аттракторов системы Хопфа (жесткий режим) для равновесия (пунктир) и цикла (сплошная) при а) 1 = 0, б) 1 = 3, в) 1 = 5.

В разделе 2.3.3 проведена оценка погрешности аппроксимации плотно сти распределения, найденной с помощью функции стохастической чувстви тельности. На рис. 7 представлены графики аналитически найденной функ ции плотности распределения (x, ) (сплошная) системы Хопфа (мягкий ре жим) и ее ФСЧ-аппроксимация (x, ) (пунктир) при 1 = 0, 2 = 3 = 1 для 1 = 0.3 (рис. 7 а) и 2 = 1 (рис. 7 б). Увеличение шума ведет к увеличению погрешности.

В работе также получены результаты оценки погрешностей для трех норм R1 () = max |(x, ) (x, )|, x 2 1 0. x x 0 0.5 0 0.5 2 1 0 1 а) б) Рис. 7: Точная функция плотности распределения (x, ) (сплошная) и ее ФСЧ аппроксимация (x, ) (пунктир) при 1 = 0, 2 = 3 = 1 для а) = 0.3, б) = 1.

((x, ) (x, ))2 dx, R2 () = |(x, ) (x, )| dx.

R3 () = Результаты для систем Хопфа в обоих случаях представлены в таблицах.

В зоне малых шумов ( 0.5) ошибка аппроксимации не превышает 5%.

Раздел 2.3.4 посвящен исследованию стохастической чувствительности аттракторов системы Ван-дер-Поля { dx = ydt, (24) dy = (x + y(1 x2 ))dt + 1 y(1 x2 )dw1 + 2 dw2.

На рис. 8 представлены графики случайных траекторий стохастического осциллятора Ван-дер-Поля. Как видим, разброс случайных траекторий во круг цикла с ростом уменьшается. При этом ширина пучка вдоль цикла за метно меняется. Это означает, что стохастическая чувствительность отдель ных участков цикла может существенно отличаться. Функция стохастической чувствительности позволяет получить детальное описание этих явлений.

Увеличение мультипликативного шума приводит к перераспределению слу чайных состояний системы от предельного цикла к окрестности детерминиро ванного равновесия. Подобное поведение наблюдается в системе Хопфа. На y m 2. x t 2 0 2 2 4 а) y m 0. t x 2 4 2 0 б) y m 0. 0. t x 2 6 2 0 в) Рис. 8: Случайные траектории и функции стохастической чувствительности модели Ван дер-Поля при = 0.1, 1 = 0, 2 = 1 для а) = 0.1, б) = 1, в) = 5.

рис. 9 представлены состояния стохастической системы Ван-дер-Поля при различных значений интенсивности 1.

В разделе 2.3.5 представлены результаты исследования чувствительно сти аттракторов системы брюсселятора.

В Третьей главе описан программный комплекс ”Моделирование и ана лиз аттракторов нелинейных стохастических систем”. Глава состоит из че тырех пунктов и содержит основные сведения о программном комплексе, его структуре, назначении и описании реализованных алгоритмов по моде y y 3 0 3 x x 2 0 2 2 0 а) б) y y 3 0 3 x x 2 0 2 2 0 в) г) Рис. 9: Случайные состояния системы Ван-дер-Поля при = 1, = 1, 2 = 1 для а) 1 = 0.1, б) 1 = 0.4, в) 1 = 1, г) 1 = 2.

лированию и анализу аттракторов. Также приведен перечень моделей, для которых реализованы алгоритмы моделирования и анализа аттракторов и стохастических бифуркаций. В главе представлены численные схемы постро ения решений детерминированных и стохастических систем. Описаны формы преобразования для реализации двух нормально распределенных случайных величин. Глава содержит подробное описание решаемых в комплексе задач, отдельно для одномерных и двумерных систем, а также описание интерфейса пользователя по применению разработанного программного комплекса.

Приложение содержит руководство пользователя.

В Заключении приведен перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В. Анализ стохастических аттракто ров при бифуркации точка покоя - цикл // Автоматика и Телемеханика.

2007. N 10, C. 53-69.

2. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б. Анализ индуцирован ных шумом бифуркаций для системы Хопфа // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. Саратов. 2010. T. 17. N. 5. C. 3-16.

Другие публикации:

3. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В. Метод функции стохастической чувствительности в анализе случайных возмущений предельных цик лов // Устойчивость, управление и моделирование динамических систем.

Екатеринбург: УрГУПС. 2006. N 54(137), C. 20.

4. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В. Бифуркация ”Точка покоя-цикл” для систем со случайными возмущениями // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-ой региональной молодежной кон ференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. C. 116.

5. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В. Компьютерное моделирование 2D аттракторов стохастических систем // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 41-ой региональной молодежной кон ференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2010. C. 216.

6. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б. Анализ стохастиче ских бифуркаций в присутствии параметрических шумов // Пробле мы теоретической и прикладной математики: Труды 39-ой региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2008. C. 97.

7. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б. Индуцированные шума ми переходы и бифуркации: модельные примеры // Проблемы теоретиче ской и прикладной математики: Труды 40-ой региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2009. C. 112.

8. Перевалова Т.В. Компьютерное моделирование стохастической дина мики нелинейных колебаний // Компьютерное моделирование 2006. Санкт Петебург. 2006. C. 86-87.

9. Перевалова Т.В. Стохастические бифуркации в модели Хопфа // Ком пьютерное моделирование 2007. Санкт-Петебург. 2007. C. 57.

10. Перевалова Т.В. Анализ стохастических аттракторов и бифуркаций при переходе ”точка покоя - цикл” // Информационные и коммуника ционные технологии в образовании. 2007. Борисоглебск. 2007. C. 140.

11. Перевалова Т.В. Программный комплекс ”Исследование стохастической устойчивости динамических систем” // Компьютерное моделирование 2008. Санкт-Петебург. 2008. C. 147.

12. Перевалова Т.В. Программный комплекс ”Моделирование и анализ дина мики нелинейных динамических систем” // Материалы межвузовской конференции по проблемам информатики СПИСОК-2009. Екатеринбург.

2009. C. 127-129.

13. Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б., Федотов С.П. Индуцированный шумом транспорт аттракторов стохастических систем // Материалы кон ференции, посвященной 50-летию кафедры вычислительной математики и математико-механического факультета УрГУ. Екатеринбург. 2010. C.

62-66.

Подписано в печать. Формат 60x80 1/16.

Бумага ВХИ. Печать ризограф.

Гарнитура ”Arial”.

Заказ N. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИПЦ "Издательство УрГУ".

620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.