авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Непрерывный аналог метода ньютона в обратной задаче теории рассеяния

На правах рукописи

Козлова Ольга Викторовна

НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НЬЮТОНА

В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВ Т О Р Е Ф ЕР А Т

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2007

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

(г. Москва)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Жидков Евгений Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент, Ланеев Евгений Борисович, Российский университет дружбы народов кандидат физико-математических наук, Стрельцова Оксана Ивановна, Объединенный институт ядерных исследований

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится « 02 » ноября 2007 г.

в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.08 в Российском университете дружбы народов по адресу:

117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.3.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу:

117198, г. Москва, ул.Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан « 02 » октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент М.Б. Фомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Моделирование квантовых и ядерных взаимодействий на протяжении многих лет является актуальной задачей, связанной как с решением фундаментальных проблем современ ной физики, так и с прикладными исследованиями структуры квантовых и ядерных рассеевающихся центров. Тема диссертации относится к моде лированию процессов рассеяния микрочастиц на квантовых потенциалах, как дальнодействующих, так и короткодействующих, как в случае отсут ствия связанных состояний, так и в случаи их присутствия. К настоящему времени очень много результатов обратной задачи рассеяния (ОЗР) полу чено в области квантомеханических потенциалов, а также в области ядер ных потенциалов в случае отсутствия связанных состояний. Нами пред принята попытка построить и реализовать устойчивый метод решения ОЗР для случаев короткодействующих потенциалов при наличии связан ных состояний.

Обратной задаче рассеяния, задаче восстановления потенциала в уравнении Шредингера по тем или иным известным асимптотическим свойствам его решений (известна спектральная функция или предельная фаза) посвящено большое количество работ. При определенных условиях были доказаны теоремы существования и единственности, разработаны методы, позволяющие фактически строить потенциал по предельной фазе как решение некоторого нелинейного уравнения.

Использование этих результатов для решения задачи математиче ской обработки экспериментальных данных по рассеянию связано с опре деленными трудностями. Математический аппарат, применяемый в этих работах довольно сложен, что затрудняет проведение численных расчетов на основе этих работ. Кроме того, обратная задача рассеяния является неустойчивой к погрешности входных данных, то есть некорректно по ставленной. Это делает необходимым применение методов регуляризации при приближенном решении нелинейных уравнений первого рода и по строение регуляризирующих алгоритмов1.

Наибольшую эффективность при численном решении задач этого круга показал непрерывный аналог метода Ньютона2, применявшийся в случае отсутствия связанных состояний. В практических задачах связан ные состояния, как правило присутствуют. Поэтому весьма актуальна за дача разработки численных методов решения задачи в этом случае.

Цель работы: разработка алгоритма и эффективной численной схемы решения обратной задачи рассеяния при наличии собственных функций и собственных значений. Достижение цели осуществляется ре шением следующих задач: выбор и обоснование метода решения обрат ной задачи рассеяния в случае отсутствия связанных состояний;

построе ние и реализация численного решения обратной задачи рассеяния в слу чае со связанными состояниями, построение решения вспомогательной задачи на собственные значения, применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач.

Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты:

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979.

Жидков Е.П., Пузынин И.В. О некоторых новых приложениях метода введения пара метра к физическим задачам. // В кн.Совещания по программированию и мат.методам решения физических задач. Труды, ОИЯИ Д10-7707, Дубна, 1973.

В отличии от изестных результатов других авторов в диссертации 1.

обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и про цедуры дифференцирования «фазовой функции» при построении уравнения Фредгольма I рода для решения.

Впервые собраны в единый алгоритм процедуры решения частичных 2.

задач, на которые распадается процесс решения обратной задачи рас сеяния с собственными значениями и собственными функциями, а именно:

• построение приведенных параметров в процедуре сведения общей обратной задачи рассеяния к частной обратной задачи рассеяния без собственных значений;



• построение промежуточного потенциала приведенной об ратной задачи рассеяния (без собственных значений);

• решение вспомогательной задачи на собственные значения и собственные функции для восстановления искомого потен циала исходной общей обратной задачи рассеяния (с собст венными значениями).

Вспомогательная задача на собственные значения и собственные 3.

функции решается на основе непрерывного аналога метода Ньютона, то есть методом согласованным с методом решения других этапов общей задачи.

Практическая ценность работы.

Разработанные в диссертации алгоритмы могут применяться в за дачах квантовой механики, мезомолекулярной физики и теории ядра. Ис пользование метода введения непрерывного параметра и метода регуля ризации, развитых в диссертации, для решения обратной задачи теории рассеяния позволяет при определении радиальной зависимости потенциа ла избежать предположений о конкретной аналитической зависимости потенциала от расстояния между взаимодействующими частицами. Это дает возможность использовать этот факт при решении задачи упругого рассеяния нуклонов нуклонами (и решать задачу о нахождении потенциа ла системы двух нуклонов в более общем виде), в теории солитонов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонауч ных дисциплин (Москва, 2002 - 2006);





на международной конференции «Тихонов и современная математика» (2006);

на научных семинарах под руководством профессора Е.П.Жидкова, профессора Л.А.Севастьянова, профессора Е.Б.Ланеева в РУДН, на семинаре МИЭМ под руководством доктора технических наук, профессора Афанасьева В.Н.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе три работы опубликованы в ведущих рецензируемых научных жур налах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве дения, трех глав, заключения, списка литературы из 108 наименований и трех приложений. В ней имеется 23 рисунка и 6 таблиц. Общий объем диссертации составляет 102 страницы.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, подчеркивается научная новизна и практическая ценность, конкретизиру ется цель исследования, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведено краткое описание содержания диссертации.

В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе.

Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для из ложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности ре шения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов ОЗР.

В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния.

Приведем основные сведения, которые понадобятся для даль нейшего изложения.

В квантовой механике стационарное состояние системы, состоя щей из двух частиц с массами m1 и m2 и энергией можно описать =E k волновой функцией удовлетворяющей уравнению Шредингера1:

( x ) + v ( x ) ( x ) = k ( x ), где v (x ) - потенциал взаимодействия, x - расстояние между частицами.

Разложение (x ) по сферическим гармоникам приводит к краевой зада че:

u + [ k 2 l (l + 1) x 2 v ( x )]u = 0, 0 x, (1)-(2) u l ( 0, k ) = 0.

l – значение орбитального момента.

Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М., «Мир», x При достаточно быстром убывании при v (x ) ( ) 0, и вещественных k решение задачи ul ( x, k ) имеет v( x) = O( x ), асимптотику:

ul ( x, k ) Al ( k ) sin( kx + ( 2 )l l ( k )), x, (3) Al (k ) называется амплитудой, а l (k ) - фазой рассеяния.

Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, опреде ляющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале.

В работе рассматривается задача для случая l = 0.

u + [ k 2 v ( x )]u = 0, 0 x, (4) - (5) u ( 0, k ) = с так называемыми, короткодействующими потенциалами и предполага ется, что v (x ) вещественная измеримая функция, удовлетворяющая усло вию x v ( x ) dx. (6) Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в рабо те считаем выполненым.

При выполнении условия (6) спектр оператора (4)-(5) непрерывен на по луоси k 2 0 и состоит из конечного числа отрицательных собственных {} : k m = i m, m 0.

N значений k m m = Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (4)-(5), введены определения функции рассеяния, данных рассеяния, функции Йоста.

При выполнении условия (6) задача (4)-(5) допускает решения f (v;

x, k ), определяемые условиями:

Im k 0, lim f (v;

x, k ) exp(ikx) = 1, (7) f (v;

x, k ) :

x а также решения (v;

x, k ) : (v;

0, k ) = 0, x (v;

0, k ) = 1. (8) Решения f (v;

x, k ) принято называть решениями Йоста. Функциями Йоста называются значения решений Йоста f (v;

x, k ) при х = 0.

f (v;

x, k ) = f (v;

0, k ), Im k 0.

Функция s (v;

k ) = f (v;

k ) f (v;

k ) = exp{ 2i ( k )}, k (9) называется функцией рассеяния, где (k ) - уже введенная с помощью (3) фаза рассеяния.

Набор величин S v (k ) = v (k ), 0 k ;

m (v);

C m (v);

m = 1,...N, (10) где C m (v) = 2 (v;

x, i m ) dx (11) 0 нормирующие множители для собственных функций (v;

x, i m ), назы вается данными рассеяния краевой задачи (4)-(5).

В параграфе приведены результаты Марченко В.А1, им были най дены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетво Марченко В.А. Спектральная теория Штурма-Лиувилля. Киев, 1972.

рять величины (10) для того, чтобы служить данными рассеяния краевой задачи (4)-(5).

В третьем параграфе наряду с описанной классической поста новкой – рассматривается постановка с использованием фазового уравнения y ( x, k ) = v ( x ) sin [ kx + y ( x, k )] / k (k- параметр).

(12) Начальное условие (5) при этом переходит в начальное условие y ( 0, k ) = 0 (13) для уравнения (12).

При выполнении условия (6) решение задачи (12)-(13) обладает свойст вом lim y ( x, k ) = ( k ). (14) x В четвертом параграфе сформулирована прямая задача рассея ния, как нелинейное операторное уравнение, введены нормы в простран ствах потенциалов и данных рассеяния.

Соответствие v Sv (k ), относящее каждому потенциалу v его данные рассеяния S (k ) позволяет определить отображение P : X Y из v пространства потенциалов Х в пространство данных рассеяния Y S v ( k ) = P (v ). (15) Воспользуемся определениями1:

• X - пространство вещественных функций v(x) с нормой Жидков Е.П., Малышев Р.В., Христов Е.Х. Решение обратной задачи теории рассея ния методом Ньютона. // Сообщения ОИЯИ Р5-9063, Дубна, = x v( x) dx ;

v X • ( N ) X, N = 0,1,... - множество потенциалов, для которых задача (1)-(2) имеет ровно N собственных чисел { m }m=1.

N На множестве ( 0 ) отображение P определяется следующим образом v (k ) = P(v), v (0), v Y, 0 k.

Область его значений содержится в пространстве Y0 вещественных функ ций G (k ), представимых в виде:

G (k ) = g ( x ) sin 2kxdx, g ( x ) dx, 0 с нормой G = g ( x) dx = g.

Y L Равенством P(v) = S v (k ), N N S (k ) = (k ) + 2 arctg m, o k ;

{ m (v)}m=1;

{Cm (v)}m= N v v k m =1 отображение P (v ) определено на множестве (N ), N = 1,2..., где { m }m= N - собственные значения, C m (v) нормирующие множители (11).

Область значений R P содержится в пространстве Y = Y R R.

N N N Отображение P : X Y с введенными таким образом нормами и..Y X определяет оператор P (v ). В параграфе приведены основные дифферен циальные свойства, построенного таким образом, оператора.

В пятом параграфе дан обзор результатов по обратной задаче рассеяния. Приведены интегральные уравнения: Крейна, Марченко, Гельфанда-Левитана. Дан обзор литературы по этой теме.

В шестом праграфе в рамках модели (12)-(14) ставится обратная задача рассеяния в териминах фазовых функций: по заданной функции (k )(0 k ) найти такую функцию v( x)(0 x ), чтобы решение y ( x, k ) задачи Коши (12)–(13) с потенциалом v(x ), давало заданную пре дельную фазу (k ) в силу соотношения (14).

После чего, в рамках терминов и понятий прямой задачи рассеяния (см.

соотношение (15)) обратная задача рассеяния сформулирована как нели нейное операторное уравнение:

P (v ) = S ( k ). (16) В такой постановке обратной задачи рассеяния в дальнейшем в работе будет использован метод введения непрерывного параметра.

Во второй главе развита идея применения непрерывного аналога метода Ньютона решения обратной задачи теории рассеяния без собст венных значений и собственных функций на случай обратной задачи рас сеяния с их наличием. Показано, каким образом собственные значения, если они существуют, входят в процедуру вычисления потенциала.

В первом параграфе приведен обзор метода введения непрерыв ного параметра.

Во втором параграфе построено устойчивое решение нелинейно го операторного уравнения (16) обратной задачи рассеяния, которое в случае отсутствия собственных значений принимает вид P(v) = (k ). (17) Для ОЗР с собственными значениями приведены расчетные фор мулы для вычисления вспомогательной фазы рассеяния и вспомогатель ного потенциала.

Далее задача сведена к решению интегрального уравнения Фред гольма I рода. В функции y ( x, k ) и v(x) введена зависимость от парамет ра t ( 0 t ), после чего обе части фазового уравнения (12) и условие (13) продифференцированы по параметру t. Решение полученной в ре зультате дифференцирования задачи относительно yt ( x, k ) при известной функции y ( x, k ) выражается следующим образом1:

1 [ ] () 1x vt ( s, t ) sin [ ks + y ( s, t )] exp v, t sin 2 k + y (, t ) d ds y t ( x, t ) = (18) ks k На основе последних преобразований в диссертации доказаны следующие леммы, которые лежат в основе построения устойчивого метода решения решения ОЗР.

Лемма 1: Пусть функция y ( x, k, t ), являющаяся решением задачи (12) (13), а также функция yt ( x, k, t ), являющаяся решением соответствующей задачи (задача (2.2.3)-(2.2.4) в диссертации), непрерывны по совокупности x, t. Тогда, предельное значение lim y t ( x, k, t ) равно производной пре x дельного значения lim y ( x, k, t ), т.е. возможна перестановка операций пре x дельного перехода (по х) и взятие производной (по t):

d lim y t ( x, k, t ) = (19) lim y ( x, k, t ).

x dt x Жидков Е.П., Макаренко Г.И, Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона нелинейных задачах. // ЭЧАЯ, 1973, т.4, вып.1, с.127.

Из условий (14) и (17) следуют равенства производных:

( k, t ) = P[v ( x, t ) ].

d d dt dt Следствие: Из леммы 1, с учетом условия (14) и равенства (17) вытекает, что:

1 1 [ ] [ ] () d v ( x, t ) sin [ kx + y ( x, t )] exp v, t sin 2 k + y (, t ) d dx. (20) P v ( x, t ) = t kx k dt Далее, рассмотрено уравнение непрерывного аналога метода Нью тона, примененного к (17):

[ ] ( ) d P[v( x, t )] * (k ) dt = P (v) * (k ). (21) Левая часть уравнения совпадает с выражением (20). В силу этого, (21) может быть представлено в форме интегрального уравнения:

vt ( x, t ) sin [ kx + y ( x, t )] exp[ v (, t ) sin 2[ k + y (, t )d ]dx = kx = k [ P (v ) * ( k )]. (22) Далее в диссертации с помощью дискретизации v (t + ) v(t ), t t, v t ( x, t ) n проведен переход задачи (22) к ее дискретному аналогу:

v n+1 v n 1 sin [ kx + y n ( x )] exp v n sin 2[ k + y n ( )]d dx = n kx = k [ P (vn ) * (k )]. (23) Полученные результаты и конструкции позволяют доказать следующую лемму.

Лемма 2: Пусть задана функция *(k ), удовлетворяющая условиям ос новной теоремы Марченко В.А. (существования и единственности ОЗР), тогда существует v 0 (0), такое что последовательность {vn }=0, где vn n определяется из (23), сходится по норме пространства X к потенциалу v *, для которого фаза рассеяния равна заданной фазе * (k ).

С целью упрощения численных алгоритмов, обозначим приращение потенциала vv +1 vn, z n +1 = (24) n в результате чего приходим к уравнению:

1 z n +1 sin 2 [kx + y n ( x)] exp v n sin 2[k + y n ( )]d dx = kx = k[ P(vn ) * (k )]. (25) Таким образом, обратная задача рассеяния сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода. Задача о его решении явля ется некорректной. Для ее решения в работе мы применяем метод регуля ризации для интегральных уравнений первого рода, разработанный А.Н.Тихоновым. Для нахождения приближенного (регуляризованного) решения уравнения Фредгольма I рода достаточно найти функцию, мини мизирующую сглаживающий функционал и параметр регуляризции :

M [z n+1 ] = An z n+1 u n + [z n+1 ], (26) e где 1 z n+1 ( x) sin 2 [kx + yn ( x )] exp vn ( x) sin 2[ k + y n ( )]d dx, An z n+1 = k0 kx u n = [ P (vn ) e ( k )], e (27) [zn +1 ]-стабилизирующий функционал, 0 -параметр регуляризации.

Решение задачи минимизации функционала Тихонова рассмотре но в третьем параграфе.

Алгоритм вычисления собственных значений в случае наличия связанных состояний в задаче приведен в четвертом параграфе главы.

В третьей главе приведены результаты численных эксперимен тов, на основе расчетных формул, полученных во второй главе.

В первом параграфе для модельных исходных потенциалов1, не допускающих связанных состояний, решена прямая задача вычисления предельной фазы. После этого решалась обратная задача рассеяния с не сколькими вариантами входных данных и стабилизирующих функциона лов в методе тихоновской регуляризации построения сглаживающего функционала (26). Процесс минимизации сглаживающего функционала итеративный: функционал минимизируется при заданном параметре регу ляризации. Определение осуществляется по невязке.

В качестве стабилизирующего функционала выбирался2 функ ционал [v] = v v z с нормами в пространствах W21 и W22 и «затравоч ными» потенциалами v z = 0 и v z 0. Численные эксперименты показали, что результат не зависит от того, равен или не равен нулю v z. Получены следующие результаты: за меньшее время вариант с нормой W22 дает лучшую точность в евклидовой метрике сеточных функций, численно моделирующих исходный потенциал.

Жидков Е.П., Малышев Р.В., Христов Е.Х. О расчете на ЭВМ обратной задачи рас сеяния. // Сообщения ОИЯИ Р5-9923, Дубна, 1976.

При численных расчетах выбор стабилизирующего функционала определялся с уче том (24).

В качестве входных данных выбирались различные значения на чального потенциала в общем алгоритме решения ОЗР и различные на чальные значения z0 при минимизации тихоновского функционала. Чис ленные эксперименты показали, что надлежащий выбор z0 приводит к меньшему числу итераций. Путем численных расчетов проиллюстрирова на зависимость степени точности восстановления потенциала от точности задания входных данных. Численные эксперименты показали, что потен циал восстанавливается практически с такой же точностью, с какой зада ны данные рассеяния.

На рис.1 приведены результаты решения обратной задачи рассеяния для потенциала Стабилизирующий v( x) = 0,75(3x 2)(3x 4) exp((3x / 4) 2 ).

выбирался с нормой в W22, v z = 0.

функционал v v z b) 6 -0. vn -0. v* -0. v -0. -0. -0. n -0. * -0. -0. - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 a) b) Рис.1 Решение ОЗР без собственных значений, n=130;

норма стабилизирующего функционала из W22.

а) v0-значение начального потенциала, v*-значение восстанавливаемого потенциа ла, vn - значение расчетного потенциала b) * - значение экспериментальной фа зы, n -значение расчетной фазы, соответствующее расчетному потенциалу vn.

Во втором параграфе для потенциалов допускающих связанные состояния1 решена прямая задача вычисления предельной фазы. Вычис ленная фаза принимается за экспериментальную. Количество собствен ных значений, соответствующее экспериментальной фазе, проверяется из условия теоремы Марченко для фазы рассеяния. По приведенным в дис сертации формулам, строится новая фаза, для которой собственные зна чения отсутствуют. Для новой фазы решается обратная задача рассеяния (без собственных значений). По построенному таким образом «промежу точному» потенциалу ОЗР (без собственных значений) вычисляется (по приведенным в диссертации формулам) реальный потенциал, соответст вующей исходной экспериментальной фазе.

На рис.2 приведены результаты для потенциала с одним собст венным значением v( x ) = ( 4 5 x ) exp( x), = 0,5391, норма стабилизи W22, v z = 0.

рующего функционала v v z 2 в этом примере выбиралась в 4 0. v n 3.5 0. n v* 3 n 0. * v* 2.5 0. 2 0. 1.5 0. 1 0. 0.5 0 -0. -0.5 -0. -1 -0. 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a) b) Рис.2 Решение ОЗР с одним собственным значением, n=153;

норма стабилизи рующего функционала из W22.

а) v -значение восстанавливаемого потенциала, vn*-значение расчетного потенциа * ла, vn0 - значение «промежуточного» потенциала без собственных значений, вос Визнер Я., Жидков Е.П., Лелек В. и др. Итерационные методы решения обратной задачи теории рассеяния. // ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.3, с. становленного по «откорректированной» фазе b) *0- значение экспериментальной «откорретированной» фазы, n0 -значение расчетной фазы, соответствующее рас четному потенциалу vn0.

Приведенные численные результаты подтверждают правильность и эффективность разработанного алгоритма и созданного комплекса программ.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.

На защиту выносятся следующие результаты Предложен и обоснован метод решения обратной задачи рассея 1.

ния в случае связанных состояний на основе непрерывного ана лога метода Ньютона.

Разработан алгоритм полного устойчивого численного решения 2.

обратной задачи рассеяния со связанными состояниями.

Предложен алгоритм решения вспомогательной задачи на собст 3.

венные значения и собственные функции для построения приве денной фазы в методе сведения обратной задачи рассеяния со связанными состояниями к обратной задаче рассеяния без свя занных состояний.

Эффективность метода предложенных алгоритмов и программная 4.

реализация показана на модельных задачах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следую щих работах:

Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода 1.

Ньютона в обратной задаче рассеяния. // Вестник РУДН. Серия «При кладная и компьютерная математика», 2004, Т.3. №1. 2004, с. 99-105.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной 2.

задаче рассеяния. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2005, Т. 4, № 1, с. 67-75.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода 3.

Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений. Математическое моделирование, 2006, Т. 18, № 2, с. 120-128.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Некоторые методы решения об 4.

ратной задачи теории рассеяния. XXXVIII Всероссийская научная конфе ренция по проблемам математики, информатики, физики, химии и мето дики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов.

Физические секции. – М.: Изд-во РУДН, 2002. – с.44.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Непрерывный аналог метода 5.

Ньютона в обратной задаче теории рассеяния. XXXIX Всероссийская на учная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. – М.: Изд-во РУДН, 2003. – с.7.

Жидков Е.П., Козлова О.В. О методе регуляризации реше 6.

ния интегрального уравнения в обратной задаче рассеяния. XL Всерос сийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин:

Тезисы докладов. Физические секции. – М.: Изд-во РУДН, 2004. – с. 159-160.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Связанные состояния в обратной 7.

задаче рассеяния. XLI Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания есте ственнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. – М.:

Изд-во РУДН, 2005. – с. 13-14.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Численные методы в обратной 8.

задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений. XLII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, инфор матики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. – М.: Изд-во РУДН, 2006. – с. 58.

Жидков Е.П., Козлова О.В. Численные методы в обратной 9.

задаче рассеяния при наличии собственных функций и значений. Между народная конференция «Тихонов и современная математика.» Тезисы докладов секции «Математическое моделирование». М., Июнь 19-25 2006, с.199-200.

Козлова Ольга Викторовна Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассея ния В диссертационной работе предложен и обоснован численный метод решения обратной задачи рассеяния, задачи восстановления потен циала по фазе рассеяния в уравнении Шредингера, в случае связанных состояний на основе непрерывного аналога метода Ньютона. Разработан алгоритм и эффективная численная схема решения обратной задачи рас сеяния при наличии собственных функций и собственных значений.

Kozlova Olga The continuous analogue of Newton's method in an inverse scattering problem theory.

In this thesis we have presented and proved the numerical solution method for an inverse scattering problem, for the problem of reconstruction of a potential in the Schrodinger equation, in case of presence of bounded states based on continuous analogue of Newton's method. Also, algorithm and effective scheme was found to solve an inverse scattering problem using eigenfunctions and eigenvalues.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.