авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Абдельлатиф махмуд моделирование волн и гидродинамических течений в биологических жидкостях

На правах рукописи

Газиа Мохамед Сорор Абдельлатиф Махмуд

Моделирование волн и гидродинамических

течений в биологических жидкостях

05.13.18 Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Астрахань 2011

Работа выполнена в Астраханском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Тарасевич Ю.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Яковенко Г.Н.

(Московский физико-технический институт (ГУ)) доктор физико-математических наук, доцент Жуков М.Ю.

(Южный федеральный университет)

Ведущая организация Институт проблем управления РАН.

Защита состоится 17 июня 2011 г. в 14 часов на заседании диссерта ционного совета ДМ 212.009.06 при Астраханском государственном уни верситете по адресу: 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а, конференц зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Астра ханского государственного университета.

Автореферат разослан 13 мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.009. кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Смирнов Введение.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Отличительным свойством артериально го кровотока является его пульсирующий характер. Периодические вы бросы крови из левого желудочка сердца создают давление, и поток пульсирует в артериальной системе. Из-за его применения в артери альной механике распространение импульсов давления в заполненных жидкостью упругих трубках было изучено рядом исследователей1. В большинстве работ, посвященных распространению волн в эластичных трубках, рассматриваются волны малой амплитуды и игнорируются нелинейные эффекты;

основное внимание концентрируется на диспер сионных свойствах волн2. Следует подчеркнуть, что реальные артерии являются неоднородными, с переменными радиусами вдоль оси трубки.

Математическое моделирование потока крови через стенозирован ные артерии становится важным, поскольку основной причиной более чем половины всех смертей в промышленно развитых странах явля ется склерозирование артерий или атеросклероз. В ходе кровотока от ложения жировых веществ, холестерина, клеточных отходов, кальция и других веществ нарастают во внутренней оболочке артерий. Такое отложение называется бляшкой. Бляшки могут достигать достаточно больших размеров (стеноз), чтобы значительно уменьшить поток крови через артерии. Именно по этой причине изучение последствий стеноза на кровоток в артериях становится чрезвычайно важным.

Известно, что сосуды кровеносной системы выполняют проводящую и демпфирующую функцию3. Проводящая функция отвечает за транс порт крови, обогащенной кислородом, а демпфирующая функция при водит к сглаживанию импульсов давления. Заболевания сердечнососу дистой системы приводят к нарушению как первой, так и второй функ ций. Нарушением демпфирующей функции является артериосклероз, когда импульсы давления плохо сглаживаются из-за структурных изме нений стенок сосудов, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и разрушению сосудов. Поэтому представляет интерес по строение и анализ модели, учитывающей механические свойства стенок сосуда.

Изучение нелинейных волновых процессов в вязкоэластичных труб ках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают особенно сти сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в 1 Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. 400 с.

2 Demiray H. Wave propagation through a viscous uid contained in a prestressed thin elastic tube // Int. J. Eng. Sci. 1992. Vol 30. P. 1607–20.

3 Fung Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: Springer Verlag. 1993. 568 p.

них может способствовать прогнозированию развития заболеваний4.

При построении и анализе моделей гемодинамики возникает ряд трудностей. Первая особенность связана с необходимостью учета нели нейных эффектов, возникающих при течении крови. С точки зрения это суспензия частиц в водном растворе3. Другая реологии, кровь сложность состоит в том, что необходимо учитывать многослойную структуру стенки сосуда и ее нелинейные вязкоупругие свойства. Тре тья трудность связана с тем, что в литературе представлено недостаточ но данных по физическим параметрам, характеризующим модели гемо динамики, например вязкости стенки артерии и коэффициенту нели нейной упругости.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационного исследова ния установление влияния вязкости жидкости, упругости стенок со суда и его формы на амплитуду и скорость пульсовых волн;

выявление влияния режима испарения на гидродинамические течения внутри жид кости, испаряющейся в открытой цилиндрической ячейке.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основ ные задачи:

1. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках мо дели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предвари тельно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь как идеальная жидкость. Найдены и ис следованы аналитические решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами, являющего ся математическим представлением данной модели.



2. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках мо дели, когда артерия рассматривается как тонкостенная предвари тельно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь как идеальная жидкость. Найдены и ис следованы аналитические решения уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами, являющегося математическим представлением данной модели.

3. Исследовано распространение пульсовой волны в рамках модели, в которой принимается во внимание как эластичность стенки, так и эффекты сужения, а кровь рассматривается как идеальная жид кость. Найдены и исследованы аналитические решения обобщенно го уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициента ми, являющегося математическим представлением данной модели.

4. Исследовано распространение слабо нелинейных волн в рамках 4 Kudryashov N.A., Chernyavskii I.L. Nonlinear waves in uid ow through a viscoelastic tube // Fluid Dynamics. 2006. Vol. 41. No. 1. P. 49–62.

модели, когда артерия рассматривается как тонкостенная пред варительно напряженная упругая трубка, а кровь как вязкая жидкость. Численно решено и исследовано возмущенное уравне ние Кортевега–де Фриза, являющееся математическим представ лением данной модели.

5. Проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте ско рости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющей ся в открытой цилиндрической ячейке. Найдено аналитическое решение уравнения Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье– Бесселя.

6. Реализованы в виде комплексов программ в пакетах Maple и Mathematica алгоритмы нахождения решения обыкновенных диф ференциальных уравнении с использованием обобщенного мето да разложения по эллиптическим функциям Якоби и нахождения численных решений дифференциальных уравнений в частных про изводных с использованием метода разложения Адомяна.





Объекты и методы исследования. Основным объектом исследова ния являются нелинейные волны, возникающие в кровеносных сосудах, в частности, пульсовые волны. Исследования проводились с использо ванием нелинейных моделей. Результаты были получены путем приме нения аналитических (классический метод анализа симметрии, метод разложения по эллиптическим функциям Якоби, расширенный метод отображения) и численных (метод разложения Адомяна) методов мате матического моделирования.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссер тации, являются оригинальными. Впервые получены следующие из них.

1. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостен ная предварительно напряженная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом), а кровь как идеальная жидкость, найдены следующие режимы распространения волн: периодиче ские волны, солитоноподобные и уединенные волны.

2. В рамках модели, когда артерия рассматривается как тонкостен ная предварительно напряженная упругая трубка, а кровь как вязкая жидкость, численно исследовано распространение уединен ной волны в артерии и показано, что амплитуда этой уединенной волны медленно затухает во времени.

3. В рамках модели, в которой принимается во внимание как эла стичность стенки сосуда, так и влияние сужения сосуда, а кровь рассматривается как идеальная жидкость, найдены периодические решения, солитоноподобные решения и решения в виде уединен ных волн. Показано, что амплитуда и скорость уединенной вол ны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упру гих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки E( ) и ее радиус r0 ( ) меняются с расстоянием.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретиче ская значимость работы заключается в том, что был найден ряд новых решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных произ водных.

Практическая значимость работы состоит в том, что найденные ре шения позволяют интерпретировать некоторые процессы, протекающие при распространении пульсовых волн в стенозированных сосудах, что представляет интерес для медицины. В частности, полученные резуль таты позволяют прогнозировать амплитуду и скорость пульсовых волн в зависимости от модуля упругости стенок сосуда и его формы.

Разработанные соискателем комплексы программ на Maple и Mathematica5 позволяют находить аналитические и численные решения уравнений, представляющих интерес для задач гемодинамики, при раз личных значениях механических характеристик сосудов, реологических свойств жидкости и формах стеноза.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсужда лись на конференциях и иных научных мероприятиях.

• Шестнадцатая международная конференция Математика. Ком пьютер. Образование, г. Пущино, 19–24 января 2009 г;

• Международная конференция Геометрия в Астрахани, г. Астра хань, 10–16 сентябрь 2009 г;

• Международная конференция Геометрия в Одессе, г. Одесса, 24– 30 мая 2010 г;

• Международная конференция Геометрия в Кисловодске, г. Кис ловодск, 13–20 сентябрь 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2008 г, 2009 г, 2010 г, 2011 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубли ковано самостоятельно и в соавторстве 8 работ, в том числе, • статей в журналах, включенных в хотя бы одну из систем цитирования (библиографических баз) Web of Science, Scopus, Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical Abstracts, Springer, Agris, GeoRef) 2;

5 Примеры некоторых программ представлены в приложении к диссертации.

• статей в журналы, входящих в список ВАК, 2.

• тезисов докладов 4.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименования и четырех прило жений. Объем диссертации 123 страницы.

Основное содержание работы

Во введении формулируются цели и задачи исследования, обосновы вается актуальность проблемы, указываются объекты и методы иссле дования, научная новизна, объясняется теоретическая и практическая ценность исследования, приводятся информация о публикациях соис кателя по теме диссертации, вклад соискателя в разработку проблемы, апробация работы.

В первой главе приведен обзор источников, относящихся к теме дан ного исследования.

В первом разделе даны основные понятия об уединенных волнах.

Во втором разделе представлен обзор работ, связанных с волнами в заполненных жидкостью упругих трубках.

В третьем разделе представлен обзор работ, связанных с уединенны ми волнами в заполненных жидкостью упругих трубках.

Вторая глава основана на публикациях соискателя [3,5,7].

В артериальной механике широко применяется модель, в которой артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряжен ная упругая трубка с переменным радиусом (или со стенозом) и кровь как идеальная жидкость6. Определяющее уравнение, которое моделиру ет слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, это модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза с пе ременным коэффициентом ut + µ2 u2 ux + µ3 uxxx + h(t)ux = 0, (1) 6 Demiray H. Variable coecient modied KdV equation in uid-lled elastic tubes with stenosis: Solitary waves // Chaos Soliton Fract. 2009. Vol. 42. No. 1. P. 358–364.

где µ2, µ3 коэффициенты, характеризующие свойства материала трубки. t является отмасштабировонной координатой вдоль оси сосу да после статической деформации, характеризующей осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки. x является переменной, за висящей от времени и координаты вдоль оси сосуда. h(t) является фор мой стеноза. u характеризует усредненную осевую скорость жидкости.

С помощью классического метода анализа симметрии и метода раз ложения по эллиптическим функциям Якоби найдены новые точные решения для уравнения (1). Получено решение уравнения (1) в виде уединенной волны 6µ u=± sech x (2) h(t)dt µ3 t, µ скорость распространения которой задается формулой = (µ3 + h(t))1. (3) Предполагая в след за работой7, что кровоток в трубке и геометрия стеноза симметричны, запишем d0 1 (bn1 (t a) (t a)n ), a t a + b;

h(t) = (4) в противном случае, d0, где h(t) ширина сосуда со стенозом, d ширина сосуда без стеноза.

длина стеноза;

n( 2) параметр, определяющий форму стенозa, b L длина трубки, a указывает местонахождение стеноза (как показано на рис. 1).

Рис. 1. Геометрия трубки со стенозом (Mekheimer K. S., El Kot M. A.) 7 Mekheimer K. S. El Kot M. A. Inuence of magnetic eld and hall currents on blood ow through a stenotic artery // Appl. Math. Mech. 2008. Vol. 29. No. 8. P. 1093–1104.

Параметр задается формулой n n n = (5), d0 bn (n 1) где обозначает максимальную высоту стеноза, расположенную в точке с координатой x = a + bn n1.

Из выражения (2) ясно, что амплитуда уединенной волны зависит от параметров трубки µ2, µ3, (рис. 2).

u u 2.5 3. 2. 1.5 1. 0. 0. x x а) б) 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 Рис. 2. Изменение профиля уединенной волны а) t = 0, µ2 = 1, µ3 = 1;

б) t = 0, µ2 = 1, µ3 = Из выражения (3) ясно, что скорость распространения зависит от параметра трубки µ3 и формы стеноза h(t). Изменение скорости рас пространения волн в сосудах с различными формами стеноза, кото рые задаются уравнением (4), приведено на рис. 3, из которого видно, что скорость волны достигает максимального значения на пике стеноза.

Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

В другой модели артериальной механики артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка с пере менным радиусом (или со стенозом) и кровь как идеальная жидкость6.

Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные вол ны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, это уравнение Кортевега–де Фриза с переменным коэффициентом ut + µ1 uux + µ3 uxxx + h(t)ux = 0, (6) где µ1, µ3 константы, характеризующие свойства материала трубки.

t является отмасштабировонной координатой вдоль оси сосуда после статической деформации, характеризующей осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки. x является переменной, зависящей от времени и координаты вдоль оси сосуда. h(t) является формой стеноза.

u характеризует усредненную осевую скорость жидкости.

0.675 n 0. 0. 0.6 n2 n 0. 0. 0. t 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2. Рис. 3. Изменение скорости распространения волн в сосудах с различ ными формами стеноза С помощью классического метода анализа симметрии и метода раз ложения по эллиптическим функциям Якоби найдены новые точные решения для уравнения (6). Получено решение уравнения (1) в виде уединенной волны + 8µ3 12µ3 u= th x (7) h(t)dt t, µ1 µ где = const. Скорость распространения волны задается формулой = ( + h(t))1. (8) Предполагая в след за работой8, что кровоток в трубке и геометрия стеноза симметричны, запишем L 1 + cos, d t d + L;

a td 2 L h(t) = (9) в противном случае, a, где h(t) ширина сосуда со стенозом, a ширина сосуда без стеноза.

длина стеноза, а d указывает его местонахождение (как показано L на рис. 4).

Из выражения (7) ясно, что амплитуда уединенной волны зависит от параметров трубки µ1, µ3, (рис. 5).

Из выражения (8) ясно, что скорость распространения зависит от формы стеноза h(t). Изменение скорости распространения волны вдоль 8 Misra J. C., Ghosh S. K. A Mathematical model for the study of interstitial uid movement vis-a-vis the non-newtonian behaviour of blood in a constricted artery // Comput. Math. Appl. 2001. Vol. 41. P. 783–811.

Рис. 4. Геометрия трубки со стенозом (Misra J. C., Ghosh S. K.) u u 10 2 x x а) б) 4 2 2 4 4 2 2 Рис. 5. Изменение профиля уединенной волны а) t = 0, µ1 = 1, µ3 = 1, = 5;

б) t = 0, µ1 = 1, µ3 = 2, = трубки с формой стеноза, задаваемой уравнением (9), приведено на рис. 6.

0. 0. 0. 0. 0. t 1.2 1.4 1.6 1.8 Рис. 6. Изменение скорости распространения волны в сосуде с формой стеноза, задаваемой уравнением (9) Из рис. 6 видно, что скорость волны достигает максимального зна чения на пике стеноза. Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

В артериальной механике используется модель, когда артерия рас сматривается как тонкостенная предварительно напряженная упругая трубка и кровь как вязкая жидкость. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, это возмущенное уравнение Кортевега–де Фриза ut + µ1 uux + µ3 uxxx + µ4 u = 0. (10) B уравнении (10) µ1, µ3 константы, характеризующие упругие свой ства трубки, а µ4 вязкость жидкости. С использованием метода раз ложения Адомяна найдено численное решение для уравнения (10).

Численное решение очень длинное и содержит много слагаемых, по этому для простоты мы не будем приводить его здесь.

Полученное численное решение uappr. (x, t) уравнения (10) с началь ным условием u(x, 0) = sech2 (0.01x)) для различных моментов времени t представлено на рис. 7. Из рис. 7 видно, что уравнение (10) имеет ре шение в виде уединенной волны, и амплитуда этой уединенной волны затухает медленно во времени. Полученное поведение амплитуды волны согласуется с результатом, полученным в работе10.

Третья глава основана на публикациях соискателя [2,8] и посвящена изучению обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами, которое записывается в виде ut + f (t)uux + g(t)uxxx + k(t)ux + l(t)u = h(t). (11) В артериальной механике уравнения (11) было детально исследовано для следующих частных случаев 1. Если рассматривать артерию как предварительно напряженную, конусообразную, тонкостенную, длинную и упругую трубку, а кровь как несжимаемую невязкую жидкость, то распространение слабо нелинейных волн в таких заполненных жидкостью упругих трубках подчиняется уравнению11, u + µ1 uux + µ2 uxxx + A µ3 ux = 0. (12) Значения µ1, µ2 и µ3 зависят от начальной деформации материала трубки. Уравнение (12) является частным случаем уравнения (11).

9 Demiray H. On the derivation of some non-linear evolution equations and their progressive wave solutions // Int. J. Non. Linear. Mech. 2003. Vol. 38. P. 63–70.

10 Demiray H. Solitary waves in elastic tubes lled with a layered uid // Int. J. Eng.

Sci. 2001. Vol. 39. P. 629–639.

11 Demiray H. The eect of a bump on wave propagation in a uid-lled elastic tube // Int. J. Eng. Sci. 2004. Vol. 42. P. 203-215.

u u 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. x x а) б) 200 100 100 200 200 100 100 u u 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. x x в) г) 200 100 100 200 200 100 100 u u 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. x x д) е) 200 100 100 200 200 100 100 Рис. 7. Изменение профиля уединенной волны µ1 = µ3 = 0.1, µ4 = 0. а) t = 0;

б) t = 50;

в) t = 100;

г) t = 150;

д) t = 250;

е) t = 2. Уравнение (11) описывает распространение пульсовой волны через заполненные жидкостью трубки с эластичными стенками, с учетом эластичности стенки, а также влияния сужения12.

Некоторые новые точные решения обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами (11), воз никающего в артериальной механике, были получены с помощью расширенного метода отображений. Полученные решения включают в себя солитонные решения и солитоноподобные решения, периоди ческие решения, рациональные решения. Стоит отметить, что этот метод является надежным и эффективным в решении нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами.

В артериальной механики определяющее уравнение перемещения стенки задается уравнением E ( ) r0 ( ) 3 5 u + u+ uux+ 2 r0 ( ) 1 E( ) 4 E( ) r0 ( ) 2 k r0 ( ) 2 1 2n( ) uxxx + 1 n ( ) + ux = 0, (13) 8 E( ) 3 r0 ( )E( ) 2r0 ( ) 2 E( ) где r0 ( ) радиус ненапряженной трубки, u(x, ) смещение стенки из ненапряженной позиции, является отмасштабировонной координа той вдоль оси сосуда, x является переменной, зависящей от времени и координаты вдоль оси сосуда, E( ) модуль упругости (предполагает ся, что он не постоянный и зависит от переменной ). n( ) функция, которая зависит от начального состояния трубки. Будем считать, что трубка первоначально находилась в состоянии покоя (нулевой поток), и n( ) = k1, где k1 константа.

Получено решение уравнения (13) в виде уединенной волны u = A0 (x, t) A2 (x, t)th2 ( ), 0, (14) где A0 (x, t) = c4 E 4 ( )r0 ( ), (15) A2 (x, t) = c3 E ( )r0 ( ), (16) z1 (t) = c1, (17) E ( ) r0 ( ) c1 (2c3 + 3c4 E 4 ( )r0 ( )dt z2 (t) = 4 E( ) r0 ( ) +c2, (18) 12 Cascaval R. C. in Evolution Equations, edited by G. R. Goldstein, R. Nagel, S. Romanelli. Lecture Notes Pure Appl. Math. 2003. Vol. 234.

(x, t) = z1 (t)x + z2 (t) с условием совместности k1 E( ) = r ( ). (19) 256 Амплитуда решения (14) в виде уединенно волны задается формулой (16), и его скорость определяется формулой = E ( ) r0 ( ) c1 (2c3 +3c4 ) 2c1 k E 4 ( )r0 ( ) + (20).

r0 ( )E( ) 4 E( ) r0 ( ) Из выражений (14) и (20) ясно, что амплитуда и скорость уединенной волны (14) зависят от формы ненапряженной трубки r0 ( ) и модуля упругости E( ).

В четвертой главе, основанной на публикациях соискателя [1,6], проведены расчеты поля скоростей и усредненной по высоте скорости гидродинамических течений внутри жидкости, испаряющейся в откры той цилиндрической ячейки. Найдено аналитическое решение уравне ния Лапласа в виде обобщенного ряда Фурье–Бесселя (1) (1) µn µn u(r, z) = an ch z J0 r, rf rf n= где u(r, z) потенциал поля скоростей, rf, hf геометрические харак (1) теристики ячейки, Jm (r) функция Бесселя I рода порядка m, µn положительные корни уравнения J1 (r) = 0, rf (1) 2 µn an = r F (r) dr, J (1) rf (1) µn 2 rf sh hf J0 µn rf а функция F (r) определяется граничными условиями на свободной по верхности жидкости.

В заключении подводятся итоги исследования и формулируются по ложения, выносимые на защиту.

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. В артериальной механике артерия рассматривается как тонкостен ная предварительно напряженная упругая трубка с переменным как идеальная жидкость6.

радиусом (или со стенозом) и кровь Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упругих трубках, это уравнение Кортевега–де Фриза с переменным коэффициентом (6) или модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза с перемен ным коэффициентом (1). Показано, что амплитуда уединенной волны, которая распространяется в таких наполненных жидко стью упругих трубках, зависит от параметров трубки µ1, µ2, µ3, а скорость ее распространения зависит от параметра трубки µ3 и формы стеноза h(t) и достигает максимального значения на пике стеноза. Скорость волны является постоянной вне зоны стеноза.

2. В артериальной механике артерия рассматривается как тонкостен ная предварительно напряженная упругая трубка и кровь как вязкая жидкость9. Определяющее уравнение, которое моделирует слабо нелинейные волны в таких наполненных жидкостью упру гих трубках, это возмущенное уравнение Кортевега–де Фриза (10). Это уравнение не имеет точного решения13. С использовани ем метода Адомяна, получено численное решение уравнения (10) в виде уединенной волны, амплитуда которой медленно затухает во времени.

3. Определяющее уравнение, которое моделирует распространение пульсовой волны в заполненных жидкостью трубках с учетом эла стичности стенки, а также влияния сужения трубки12, это обоб щенное уравнение Кортевега–де Фриза с переменными коэффици ентами (11). Показано, что амплитуда и скорость уединенной вол ны, распространяющейся в таких наполненных жидкостью упру гих трубках, зависят от того, как модуль упругости трубки E( ) и ее радиус r0 ( ) меняются с расстоянием.

4. Исследовано влияние модельного закона испарения на гидроди намические течения внутри капли, испаряющейся в открытой ци линдрической ячейке. Для различных законов испарения получе ны аналитические выражения для усредненной по высоте скорости течения жидкости. Для частного случая, когда свободная поверх ность жидкости является плоской, найдено поле скоростей внутри ячейки.

13 Kudryashov N. A. Meromorphic solutions of nonlinear ordinary dierential equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2010. Vol. 15. P. 2778–2790.

На защиту выносятся • новые решения нелинейных математических моделей, описываю щих распространение пульсовых волн в артериях;

• результаты численного моделирования нелинейных волн в артери ях;

• результаты комплексного исследования распространения пульсо вых волн в стенозированных сосудах;

• комплекс программ, которые реализуют алгоритмы обобщенного метода разложения по эллиптическим функциям Якоби для на хождения решения обыкновенных дифференциальных уравнении и метода разложения Адомяна для нахождения численные реше ния дифференциальных уравнении в частных производных.

В приложении приводятся примеры некоторых программ на Maple и Mathematica, реализующих как аналитические, так и численные методы нахождения решений уравнений, исследованных в диссертации.

Основные публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, индексируемых Scopus 1. Tarasevich Yu. Yu., Vodolazskaya I. V., Isakova O. P., Abdel Latif M.

S. Evaporation-Induced Flow Inside Circular Wells: Analytical Results and Simulations // Microgravity Sci. and Tec. 2009. Vol. 21. Suppl 1.

P. S39–S44.

2. Abdel Latif M. S. Some exact solutions of KdV equation with variable coecients // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2011. Vol. 16.

P. 1783–1786.

Статьи в журналах, включенных в список ВАК 3. Абдель Латиф М.С. Симметрийный анализ и некоторые точные решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с пе ременными коэффициентами, возникающего в артериальной меха нике // Известия СГУ. Новая серия. Математика. Механика. Ин форматика. 2011. Т. 11. вып. 2. С. 42–48.

4. Абдель Латиф М.С. Численные исследования уединенных волн в наполненных жидкостью упругих трубках // Естественные науки.

2011. № 2 (35).

Тезисы докладов 5. Abdel Latif M. S. Symmetry analysis of two models from arterial mechanics // Геометрия в Астрахани 2009: тезисы докладов (Астрахань, 10 сентября – 16 сентября 2009) / под ред. В. Гольд берга, В. Кузоконя, А. Кушнера, В. Лычагина. Астрахань: Аст раханская цифровая типография, 2009. 46 с. С. 39.

6. Тарасевич Ю. Ю., Водолазская И. В., Исакова О. П., Абдель Латиф М. С. Моделирование гидродинамических течений внут ри открытой цилиндрической ячейки // Математика. Компьютер.

Образование. Под ред. Ризниченко Г.Ю. Сборник научных тези сов. Выпуск 16, ч.1, М., Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009. 316 с. ISBN 978-5-93972-716-7. С. 188.

7. Abdel Latif M. S. Symmetry analysis and exact solutions for a model arising in arterial mechanics // Геометрия в Одессе 2010. Тезисы Международной конференции (Одесса, 24 мая – 30 мая 2010) / под ред. В.М. Кузоконя, А.Г. Кушнера, В.В. Лычагина. Одесса:

Фонд Наука. ISBN 978-966-389-171-2. С. 69.

8. Abdel Latif M. S. Group classication of a variable coecient KdV equation arising in arterial mechanics // Геометрия в Кисловодске 2010. Тезисы докладов международной конференции Геометрия в Кисловодске-2010. Кисловодск, 13–20 сентября 2010 г. Астра ханская цифровая типография. 52 с. С. 46.

Подписано в печать 12 мая 2011 г.

Заказ № 2402. Тираж 100 экз.

Уч.-изд. л. 1,2. Усл. печ. л. 1, Издательский дом Астраханский университет 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, факс (8512) 25-17-18, тел. (8512) 54-01-87, 54-01-89;

E-mail: asupress@yandex.ru

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.