авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 1

МЕХАНИКА

УДК 539.3

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОБОЛОЧЕК

В КООРДИНАТАХ ОБЩЕГО ВИДА

А. А. Барышев1, С. А. Лычев2, А. В. Манжиров3

1

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории упругости и биомеханики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, BaryshevAA@gmail.com 2 Доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории моделирования в механике деформируе мого твердого тела, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, lychevsa@mail.ru 3 Доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией моделирования в механике деформируемого твердого тела, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, manzh@inbox.ru Построена математическая модель упругих однородных оболочек в рамках кинематики типа Рейсснера–Миндлина. На основе прямых (бескоординатных) методов тензорного исчисления получены уравнения равновесия в перемещениях в произвольной (не обязательно ортогональной) системе координат, учитывающие асимметрию расположения лицевых по верхностей. Для сферической оболочки предложена процедура построения решения, основанная на методе спектрального разложения, описывающего напряженно-деформированное состояние при потенциальных силовых и моментных статиче ских нагрузках.

Ключевые слова: сферическая оболочка, статический изгиб, аналитические решения, спектральные разложения, собствен ные функции.

Задачи математического моделирования тонкостенных тел, в частности тонких оболочек, возни кают при исследовании очень широкого класса современных материалов и конструкций. Создание новых моделей (теорий) или модификация существующих объясняется, с одной стороны, исполь зованием новых материалов, например наноматериалов [1] композитных материалов [2], с другой ’ — описанием технологических процессов, при которых объекты создаются путем наращивания, на пример при электролитическом, газодинамическом, парофазном осаждениях, ионной имплантации, стереолитографии [3]. Большинство работ в этом направлении основаны на идее редукции задачи о деформировании трехмерного тела к задаче о некоторой специальной трансформации двумерного мно гообразия, представленного поверхностью осреднения оболочки. Такое преобразование может быть выполнено различным образом. Это означает, что несмотря на введение в модель одних и тех же ки нематических и статических ограничений на напряженно-деформированное состояние, окончательные соотношения и уравнения оказываются различными [4].

Создание моделей тонкостенных тел, позволяющих описывать новые эффекты, естественно, ос новано на использовании современных понятий механики твердого тела, заложенных в трудах C. Trusdell, R. A. Toupin [5], W. Noll [6], M. Epstein [7], M. E. Gurtin [8], G. A. Maugin [9], Cohen [10] и др. Это позволяет осуществить моделирование процессов, выходящих за рамки классической механики оболочек. Так, слоистые оболочки представляют собой соединения континуального множе ства мембран, или по терминологии [8] — материальных поверхностей, каждая из которых обладает своей индивидуальной отсчетной конфигурацией. Поэтому деформации этих мембран в «сборке», за исключением специальных случаев, не являются совместными, т. е. слоистые оболочки не обладают натуральной конфигурацией [11].

Целью настоящего исследования является построение уравнений равновесия упругих оболочек в рамках кинематики типа Рейсснера–Миндлина, учитывающих асимметрию строения, в координатах общего вида.

Тонкостенные тела интуитивно понимаются как тела, образы конфигураций которых определяются характерными размерами различных порядков: один их них можно трактовать как «малый параметр».

Это определение можно сформулировать более строго, если рассмотреть в физическом пространстве две совокупности открытых шаров. Пусть элементы первой совокупности содержат все образы до пустимых конфигураций, а элементы второй полностью содержатся в них. Тогда можно определить c Барышев А. А., Лычев С. А., Манжиров А. В., А. А. Барышев и др. Уравнения равновесия оболочек в координатах общего вида наибольший шар из второй совокупности и наименьший из первой. Отношение их радиусов дает пара метр, определяющий отношение характерных размеров. Порядок малости этого параметра определяет «степень тонкостенности».

Оболочки определяются как подмножество класса тонкостенных тел, граница которых устроена специальным образом: она представляет объединение двух поверхностей, называемых лицевыми, и конечного множества (возможно, пустого) линейчатых поверхностей. Последние задают так называе мый опорный контур оболочки. Если лицевые поверхности эквидистантны, то оболочка классифици руется как оболочка постоянной толщины. Здесь и далее поверхность осреднения будем обозначать символом S. Ортогональная проекция средней линии линейчатых поверхностей на S определяет на ней совокупность (возможно, пустую) замкнутых кривых, которые определяют опорный контур.

Заметим, что в наиболее общем случае S можно рассматривать как ориентируемую поверхность лишь локально, а в целом S представляет собой двумерное гладкое многообразие, накрываемое со вокупностью локальных карт, образующих атлас S. То же самое следует сказать и о лицевых по верхностях. Примеры подобных оболочек можно построить как обобщения известных примеров из топологии: лист Мебиуса, бутылка Клейна, яйцо Дунса. Вместе с тем, в рамках статьи ограничимся оболочками, для которых S представляет собой тривиальное многообразие, т. е. двумерное многооб разие, атлас которого состоит из одной карты. Более того, будем полагать, что S может быть вложено в физическое (евклидово) пространство E посредством отображения : D E, D R2.

Предположение о возможности вложения достаточно сильное: из него вытекает вполне опреде ленная связность, определяющая S глобально как риманово двумерное многообразие. Если дополни тельно предположить, что не имеет особых точек, а на S может быть построено непрерывное поле единичных нормалей, то S можно характеризовать как неособую ориентируемую поверхность1.

1. Рассмотрим подробно необходимые для дальнейшего изложения геометрические структуры на S.

Отображение определяет на S поле реперов, которые принято в механике называть векторными базисами [12]:

(q 1, q 2 ) D R2.

= (1) q На языке геометрии это поле реперов (вернее, их линейные оболочки) задает касательное расслое ние T S. В общем случае реперы представляют неортогональные пары векторов (скалярное произве дение индуцируется скалярным произведением в физическом пространстве) и порождают дуальные реперы :

· =.

Поле дуальных реперов определяет кокасательное расслоение T S.

Определим первый фундаметальный тензор поверхности A:

A = = = a = a. (2) Компоненты a, a определяются скалярными произведениями векторных базисов a = ·, a = ·. Отметим, что этот тензор является оператором ортогонального проектирования на касательное пространство, т. е.

u TS A·u = u·A = u.

Определим, принимая нотацию Гиббса [13], двумерный оператор Гамильтона на многообразии S по формуле s =. (3) q Тогда градиент векторного поля нормалей n = 1 имеет следующий вид:

|1 2 | n s n = = B. (4) q Он определяет второй фундаментальный тензор поверхности B.

1 Из классификационной теоремы для двумерных многообразий вытекает, что продолжение S топологически эквивалентно либо плоскости, либо сфере, либо n-тору.

Механика Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. Таким образом, с каждой точкой поверхности S ассоциирована тройка векторов 1, 2, n, которая в силу условий, указанных выше, образует базис в векторном простанстве, ассоциированным с E.

В дальнейшем нам понадобятся следующие разложения градиента векторного поля и дивергенции тензорного поля, определенного на поверхности осреднения [14]:

u TS s u = s u·A + B ·u n, (5) T TS TS s ·T = (s ·T )·A + (B : T )n. (6) Причем операции с поверхностным оператором Гамильтона могут быть выражены в терминах кова риантной производной и соответствующих символов Кристоффеля 2-го рода на поверхности :

u u u, s u·A = u = u, u = + u, u = q q T + T + T.

((s ·T )·A) = q Производные базисных векторов можно представить разложениями:

= + b n, = + b n. (7) q q Координатное представление на поверхности S порождает криволинейные координаты в окрестно сти S. Фактически, эти криволинейные координаты задают некоторую карту из атласа, накрывающего все физическое пространство:

R = + zn, (8) где z — координата, отсчитываемая вдоль нормали, которую далее будем называть трансверсальной координатой. Эта карта является важным элементом теории, поскольку позволяет ввести согласован ные координаты как на S, так и на всех слоях, образующих оболочку. Порождаемые этой картой поля реперов (основных и взаимных) имеют вид R R ·R =, R3 = R3 = n.

R =, (9) q Из соотношений (1), (4) и формул (7), (9) следует, что R = (A zB)1 ·.

R = (A zB)·, (10) Тогда пространственный оператор Гамильтона в окрестности поверхности можно представить в терминах поверхностного оператора s (3):

= (A zB)1 ·s + n.

= R +n (11) q z z 2. В теории оболочек Рейсснера–Миндлина (в некоторых работах называемой теорией типа Тимо шенко [15]) принимаются следующие гипотезы:

1. Нормальный элемент к поверхности осреднения до деформации не изменяет своей длины.

2. Напряжения обжатия по толщине n··n малы и ими можно принебречь.

Первую группу гипотез можно классифицировать как кинематические, поскольку они задают ограничения на деформацию тела, а вторую — как статические, ввиду того что в ней речь идет о специальном типе распределения напряжений.

Очевидно, что постулирование кинематических гипотез эквивалентно введению дополнительных идеальных связей. По этой причине оболочки можно рассматривать как тела со связями [12].

Математическая формулировка кинематических ограничений определяется соотношением u = v + wn z, v·n = 0, ·n = 0, (12) где v = v(q 1, q 2 ), w = w(q 1, q 2 ) — вектор тангенциальных смещений и прогиб точек поверхности осреднения, = (q 1, q 2 ) — вектор, характеризующий поворот нормального элемента. С другой 46 Научный отдел А. А. Барышев и др. Уравнения равновесия оболочек в координатах общего вида стороны, вводя вектор поворота как = 2 e1 1 e2, поле перемещений можно записать [16] в виде u = v + wn + z n.

При заданных ограничениях на поле перемещений (12) его градиент может быть вычислен следу ющим образом:

u = (A zB) ·s + n (v + wn z) = z = (A zB) ·(s v Bw + s w n zs ) n. (13) Непосредственное использование выражения (13) в значительной степени затрудняется наличием множителя (A zB). В различных вариантах теории оболочек используются разные формы его представления. Ряд авторов полагают его равным A (ввиду малости z и главных значений тензора кривизны), либо используют разнообразные аппроксимации. Это приводит к отличиям в окончатель ных уравнениях. В этой связи представляется важным конкретизировать форму представления этого множителя. Далее используется асимптотическое разложение:

(A zB) = A + zB + o(z), (14) которое отражает идею представления полей в виде формулы Тейлора первого порядка по отношению к трансверсальной координате z.

Соответствующее представление для градиента перемещений (13) имеет вид u = s v·A Bw + (B ·v + s w) n n + +z s ·A + B ·(s v·A Bw) + (B ·(B ·v + s w )) n. (15) Заметим, что подчеркнутые слагаемые, как правило, не учитываются [17, с. 31;

18, с. 82;

19].

Тензор, сопряженный к градиенту перемещений (15), может быть записан в форме (u) = A·(s v) Bw + n (B ·v + s w) n+ +z A·(s ) + A·(s v) Bw ·B + n (B ·(B ·v + s w )).

Полученные соотношения позволяют записать выражение для тензора малых деформаций 2 = u + (u) следующим образом:

sym Bw + [(B ·v + s w ) n]sym + = [s v·A] sym sym + [B ·(B ·v + s w ) n]sym ).

+z ( [s ·A] + [B ·(s v·A Bw)] (16) Эти и все дальнейшие выражения могут быть записаны в компактном виде, если ввести так называемые меры мембранной, изгибной и угловой деформации:

sym sym = [s v·A] Bw, = [s ·A], = B ·v s + s w. (17) Здесь [...]sym означает операцию выделения симметричной части тензора, т. е. [T ]sym = (T + T ) /2.

В терминах (17) тензор (16) записывается в виде sym = + [ n]sym + z B · + A·Z + [(B ·) n], (18) где Z определяется формулой Z = (s v) ·B B ·(s v) /2. Заметим, что слагаемые B · + A·Z в большинстве работ входят в тензор изгибной деформации [18, 19].

3. Для изотропного линейного упругого материала оболочки принимаем следующие определяющие соотношения:

E 2µ E = 2µ : + Atr µ= = =. (19) 1 2(1 + ) Здесь тензор — тензор напряжений Коши, а тензор имеет вид = + k (n n + n n), Механика Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. где k — коэффициент поперечного сдвига [15]. Заметим, что в этом случае выполняется статическая гипотеза в «жестком» варианте [20], так как tr умножается на двумерный единичный оператор A.

Тензор напряжений представим в форме следующего разложения:

= 0 + + z 1 +, 0 sym где 0 = 2µ + Atr, = kµ [ n], 1 = 2µ (B · + A·Z ) + A (B : tr ), sym = kµ [B · n].

Ниже приведем результат применения операции tr к тензорам деформаций:

tr = s ·v wtr B tr = s · tr Z = 0.

Следующий важный этап редукции трехмерных уравнений к двумерным связан с аппроксимацией выражения G(A zB)1. Введение редуцированных напряжений — сил и моментов — основано на интегрировании по трансверсальной координате относительно поверхности осреднения. Для выпол нения операции интегрирования удобно предварительно ввести напряжения, приведенные к метрике поверхности осреднения S. Эти напряжения будем обозначать символом :

= G(A zB)1 · G = G(z) = det (A zB). (20) Из теоремы Гамильтона–Кэли, записанной для тензора, определенного на поверхности, которая может быть сформулирована следующим образом [14]:

X 2 Xtr X + Adet (X) = 0, X = (A zB), det (X) = G, tr A = 2, где получаем, что G (A zB) = A + zC, C = B Atr B.

Поэтому разложение в ряд Тейлора по трансверсальной координате тензорного поля дает = 0 + + z 1 + + o(z), 0 1 (21) а входящие в него компоненты определяются формулами = kµ n, 0 = 0, = kµD· n, 1 = 2µ (D· + A·Z ) + (Atr (D· ) + Y : ) (22) где D = B + C, Y = B A A B.

Определим тензоры усилий T и тензор моментов M формулами [14, 21, 22]:

h+ h+ T= dz, M = z n dz. (23) h h Из определений тензоров следует, что n·T = 0, n·M = M ·n = 0. Составляющие тензора усилий определяют тензор мембранных усилий T = T ·A и вектор перерезывающих сил Q = T ·n.

На основании (23) выразим тензоры мембранных усилий, моментов и вектор перерезывающих сил через меры деформации (17), обозначая через h = h+ + h толщину оболочки:

h2 h + T = h (2µ + Atr ) (2µ + Atr ) + T c, h2 h + Tc= {2µ (D· + A·Z) + (Atr (D·) + Y : )}, h2 h2 h3 + h + (2µ + Atr ) + M = (2µ + Atr ) n + M c, (24) 2 h3 + h M c = + {2µ (D· + A·Z) + (Atr (D·) + Y : )} n, h2 h Qc = + Q = hkµ + Q c kµD·, 48 Научный отдел А. А. Барышев и др. Уравнения равновесия оболочек в координатах общего вида В этих формулах мы выделяем из общих выражений составляющие сил и моментов, подчеркнутые ранее, наделяя их индексом с (curvature). Отметим, что наличие этих слагаемых приводит к тому, что соответсвующие тензоры сил и моментов являются несимметричными.

Зависимость введенных в (24) тензоров от перемещений и углов поворота точек поверхности осреднения приобретает вид sym T = h {2µ [s v·A] + As ·v (Atr B + 2µB) w} h2 h sym + {2µ [s ·A] + As ·} + T c, h2 h sym sym + Tc= {2µ (C ·[s v·A] + [B ·s v·A] ) + (A(C : (s v Bw))+ +Bs ·v) 2B ·(Atr B + 2µB + µC)w}, h2 h2 sym + M = {2µ [s v·A] + As ·v (Atr B + 2µB) w} n h3 + h sym + {2µ [s ·A] + As ·}n+M c, (25) h3 + h3 sym sym M c = + {2µ (C ·[s v·A] + [B ·s v·A] )+ +(A(C : (s v Bw)) + Bs ·v) 2B ·(Atr B + 2µB + µC)w} n, h2 h + Q = hkµ (B ·v s + s w ) + Q c Qc = kµD·(B ·v s + s w ).

4. Для решения краевых задач часто эффективны методы разложения по собственным функци ям дифференциального оператора, порождаемого уравнениями равновесия, записанными в терминах перемещений. Как правило, такие системы уравнений приведены для оболочек постоянной толщи ны канонической формы в традиционных ортогональных системах координат либо в случаях, когда h B 1.

Получим уравнения равновесия теории оболочек в перемещениях. На основе [11] эту систему, записанную в усилиях и моментах, примем в виде s ·T ·A B ·Q + g = 0, s ·M ·A + Q n + m = 0, (26) s ·Q + B : T + q = 0.

Здесь g = p·A, q = p·n, а p — вектор плотности распределенных усилий, m — вектор распределенных моментов.

Подставим выражения сил и моментов, записанные через перемещения (25):

h µ2 v·A + ( + µ)s s ·v s ·((2µB + AtrB) w) kµB ·(B ·v + s w ) s h2 h + µ2 ·A + ( + µ)s s · + s ·T c ·A B ·Q c + g = 0, s h kµ 2 w s · + s ·(B ·v) + 2µB : s v + tr Bs ·v 2µtr B 2 + tr 2 B w s h2 h + {2µB : s + tr Bs ·} + B : T c + s ·Q c + q = 0, (27) h3 + h + µ2 + ( + µ)s s · + khµ (B ·v + s w ) n s 2 h h + µ2 v + ( + µ)s s ·v s ·((2µB + Atr B) w) n+ s +Q c n s ·M c ·A + m = 0.

Оператор 2 необходимо определять следующим образом: 2 f = s ·(s f ·A).

s s 5. Несмотря на сложность уравнений (27), в ряде случаев удается построить аналитические реше ния порождаемых ими краевых задач. Конечно, это возможно для специальных форм граничных усло Механика Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. вий, однако такие «модельные» решения позволяют изучить качественные особенности напряженно деформированного состояния исследуемых тонкостенных конструкций и построить на их основе ал горитмы численного решения. Наиболее удобной в этом смысле является сферическая оболочка, т. е.

оболочка, поверхность осреднения которой представляет собой связанную часть сферы.

Пусть (,, z) — сферические координаты, которые связаны с декартовыми следующими форму лами:

X = (R + z) sin cos, Y = (R + z) sin sin, Z = (R + z) cos.

Здесь R — радиус поверхности осреднения. Связь базиса (1) с декартовым базисом и другие соотно шения приведены в статье [11].

Сфера выгодно отличается от других поверхностей тем, что тензор B на ней является шаровым, т. е. B = A/R. Это приводит к существенным упрощениям в системе (27).

Приведем здесь выражения усилий и моментов для сферической оболочки из (25):

sym T = h 2µ [s v·A] + As ·v + ( + µ) Aw R h2 h2 v sym + (2µ [s ·A] + As ·), Q = hkµ + s w, (28) 2 R h2 h2 sym M = + 2µ [s v·A] + As ·v + ( + µ) Aw n 2 R h3 + h3 sym + (2µ [s ·A] + As ·) n.

Уравнения равновесия (27) примут вид 2 kµ v h µ2 v·A + ( + µ) s s ·v + ( + µ) s w + + s w s R R R h2 h + µ2 ·A + ( + µ)s s · + g = 0, s 1 2 h kµ 2 w s · s ·v ( + µ) s ·v 2 ( + µ)w + s R R R h2 h2 2 ( + µ) ++ s · + q = 0, (29) 2 R h3 + h3 v + µ2 + ( + µ)s s · + khµ + s w n s 3 R h2 h2 + µ2 v + ( + µ)s s ·v + ( + µ) s w n + m = 0.

s 2 R 6. Пусть опорный контур сферической оболочки представляет собой окружности = 0, = 1.

Будем полагать, что края оболочки на опорном контуре жестко закреплены:

v| = 0, | = 0, w| = 0. (30) Рассмотрим случай, когда напряженно-деформированное состояние, возникающее в оболочке, осе симметрично (некоторые несимметричные НДС рассмотрены в [23]). Тогда решение краевой задачи (29), (30) будем искать в пространстве интегрируемых с квадратом вектор-функций, определенных в области [0 ;

1 ], со скалярным произведением X, Y = X ·H ·Y sin d в форме разложения по собственным функциям оператора L :

k U= Uk, k k= 50 Научный отдел А. А. Барышев и др. Уравнения равновесия оболочек в координатах общего вида где Uk — собственные функции обобщенной задачи Штурма–Лиувилля:

L [Uk ] + k HUk = 0, B [Uk ] = 0, (31) а k — коэффициенты Фурье, определяемые заданными внешними силовыми и моментными полями:

1 R2 g, m, R2 q.

k = U k, G, G= E Здесь H — матрица, содержащая инерционные члены динамической задачи, определяется формулой h2 h2 h2 h2 h3 +h 1 + +Rh + +2 + 2Rh 3Rh h2 h2 h3 +h3 h3 +h H=, + 2 3Rh + + + 2Rh 3Rh h2 h 0 0 1 + Rh + оператор L, характеризующий упругую реакцию оболочки на перемещения, имеет вид d h2 h 2 1 s sin2 + C K K + 2Rh (s sin2 + C) (K + B) + d d h2 h2 h3 +h3 h2 h K + + (2 1 + C) 2 s sin2 + C K K 2Rh B + + L =, s sin2 3R2 h 2Rh d d d 2 h h K2 2B (K + B) + cot K + B + cot s 2Rh d d U = (v/R,, w/R) — искомый вектор. Заметим, что в рассматриваемом случае введенный оператор d2 d является самосопряженным;

2 = 2 + cot ;

B = 1 +, C = 1, K = kC/2. Оператор краевых s d d условий можно записать в форме B[U] = {v|=0, |=0, w|=0, v|=1, |=1, w|=1 }. (32) Целесообразность использования введенного скалярного произведения обусловливается тем, что каждое собственное значение с точностью до множителя определяет собственную частоту колеба ний оболочки.

Считается, что внешние поля являются потенциальными, т. е. g = g, m = m. В этом случае собственные функции могут быть выражены через известные специальные функции. Будем искать тангенциальное смещение и угол поворота в форме v =, =. Подставим эти представления в k k d 1d 2 d = 2. Тогда уравнения и первые два проинтегрируем по, учитывая, что s s d sin2 d система принимает вид линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффици ентами относительно оператора дифференцирования 2 :

s R2 1 h2 h + 2 + C K k K + (2 + C) k + (K + B) wk = g, s s 2Rh E h2 h2 h3 + h K+ + + (2 + C) k + 2 + C K k + s s 3R2 h 2Rh 1 h2 h + + K B w= m, 2Rh E R2 1 h2 h + (K + B) 2 k K B 2 k + K2 2B wk = q.

s s s 2Rh E Это свойство позволяет представить решение рассматриваемой краевой задачи в форме разложе ния по базисным функциям, определяемым хорошо изученными решениями уравнения Гельмгольца:

2 =. В силу матричной структуры полученных уравнений векторы (k, k, wk ) можно пред s ставить как (k, k, wk ) = (ak, bk, ck ) k, где функции k = k () являются решением порождающего Механика Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. уравнения 2 = k. Характеристические числа k в этом случае являются корнями уравнения s h2 h +C K K+ ( + C) K +B + 2Rh h2 h2 h3 +h3 h2 h = 0, (33) K+ ( + C) ( + C) K K 2Rh B + + + 3R2 h 2Rh h2 h (K + B) K B K 2B + 2Rh а собственные значения k находятся путем удовлетворения граничных условий. Такой способ полу чения решения по-видимому впервые применен в статье [24].

Таким образом, в работе на основе прямых (бескоординатных) методов тензорного исчисления по лучены уравнения равновесия в перемещениях в произвольной (неортогональной) системе координат, учитывающие асимметрию расположения лицевых поверхностей. Для сферической оболочки предло жена процедура построения решения, основанная на методе спектрального разложения, описывающем напряженно-деформированное состояние при потенциальных силовых и моментных статических на грузках.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 11-01-00669-а, 12-08-01119-а, 12-08-01260-а, 12-08-90806-мол-рф).

Библиографический список 1. Еремеев В. А., Альтенбах Х., Морозов Н. Ф. Ли- 14. Еремеев В. А., Зубов Л. М. Механика упругих обо нейная теория оболочек при учете поверхностных на- лочек / отв. ред. В. А. Бабешко. М. : Наука, 2008.

пряжений // Докл. АН. 2009. Т. 429, № 4. С. 472–476. 280 с.

2. Shen H. S. Functionally graded materials : nonlinear 15. Григолюк Э. И. Селезов И. Т. Неклассические тео analysis of plates and shells. CRC Press, 2009. 280 p. рии колебаний стержней, пластин и оболочек. М. : ВИ 3. Лычев С. А., Лычева Т. Н., Манжиров А. В. Неста- НИТИ, 1973. 272 с.

ционарные колебания растущей круглой пластины // 16. Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек : учеб.

Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 199–208. пособие. Львов : Выща школа, 1978. 159 с.

4. Leissa A. W. Vibration of shells. Acoustical Society of 17. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л. : Суд America, 1993. 428 p. промгиз, 1962. 431 с.

5. Truesdell C., Toupin R. A. The classical field theories. 18. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Handbuch der Physik. B. III/1 / ed. S. Flgge. Berlin :

u Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная Springer-Verlag, 1960. P. 226–858. теория упругих оболочек / под ред. К. Ф. Черныха, 6. Noll W. Materially uniform simple bodies with С. А. Кабрица. СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.

inhomogeneities // Arch. Rat. Mech. Anal. 1956. Vol. 27, 388 с.

№ 1. P. 1–32.

19. Chapelle D., Bathe K. J. The Finite Element Analysis 7. Epstein M. The geometrical language of continuum of Shells — Fundamentals. N. Y. : Springer, 2011. Vol. XV.

mechanics. Cambridge : Cambridge University Press, 410 p.

2010.

20. Михайловский Е. И. Классическая теория оболо 8. Gurtin M. E., Murdoch A.I. A continuum theory of чек // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1 : Мат. Мех.

elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. Anal.

Инф. 2006. Вып. 6. С. 123–164.

1975. Vol. 57, № 4. P. 291–323.

21. Lebedev L. P., Cloud M. J, Eremeyev V. A.

9. Maugin G. A. Material inhomogeneities in elasticity.

Advanced Engineering Analysis: Calculus of Variations London : Chapman and Hall, 1993. 280 p.

and Functional Analysis with Applications in Mechanics.

10. Cohen H., Wang C.-C. Some equilibrium problems for New Jersey : World Scientific, 2012. 499 p.

compressible, anisotropic, laminated nonlinearly elastic 22. Жилин П. А. Прикладная механика. Основы тео bodies // Arch. Ration. Mech. Anal. 1992. Vol. 119, № 9.

рии оболочек : учеб. пособие. СПб. : Изд-во Политехн.

P. 1–34.

ун-та, 2006. 167 с.

11. Лычев С. А., Барышев А. А. Уравнения равновесия 23. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Колебания ме для материально единообразных неоднородных оболо таллополимерных и однородных сферических оболочек.

чек со слоистой структурой // Вестн. ПНИПУ. Меха Минск : Наука и техника, 1984. 192 с.

ника. 2012. № 4. С. 42–65.

24. Сеницкий Ю. Э., Лычев С. А. Динамика трёхслой 12. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М. :

ных сферических оболочек несимметричной структу Наука, 1980. 512 с.

ры // Тр. XVIII междунар. конф. по теории оболочек и 13. Gibbs J. W. Elements of vector analysis. New Haven, пластин. Саратов, 1997. Т. 1. С. 47–52.

1884.

52 Научный отдел А. А. Барышев и др. Уравнения равновесия оболочек в координатах общего вида The Equilibrium Equations of Shells in the Coordinates of the General Form A. A. Baryshev1, S. A. Lychev2, A. V. Manzhirov Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, BaryshevAA@gmail.com Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Science, Russia, 119526, Moscow, prosp. Vernadskogo, 101, block 1, lychevsa@mail.ru, manzh@inbox.ru A mathematical model of homogeneous elastic shells is consider under kinematics Reissner–Mindlin type. Through direct (coordinateless) methods of the tensor calculus equations of equilibrium are obtained in terms of displacements in an arbitrary (not necessarily orthogonal) coordinate system, taking into account the asymmetry of the location of the front surface. For a spherical shells proposed procedure for constructing solutions, based on the method of spectral decomposition, which describes the stress-strain state at the potential power and torque static loads.

Key words: sphere shell, equilibrium equations, analytical solutions, spectral decomposition, eigenfunctions.

References 1. Altenbach H., Eremeyev V. A., Morozov N. F. Linear 15. Grigoliuk E. I. Selezov I. T. Neklassicheskie teorii theory of shells taking into account surface stresses. kolebanii sterzhnei, plastin i obolochek [Non-classical Doklady Physics, 2009, vol. 54, no. 12, pp. 531–535. theory of vibrations of rods, plates and shells]. Moscow, 2. Shen H. S. Functionally graded materials : nonlinear VINITI, 1973, 272 p. (in Russian).

analysis of plates and shells. CRC Press, 2009, 280 p. 16. Pelekh B. L. Obobshchennaia teoriia obolochek 3. Lychev S. A., Lycheva T. N., Manzhirov A. V. [Generalized theory of shells]. L’vov, Vyshcha shkola, Unsteady vibration of a growing circular plate. Mech. 1978, 159 p. (in Russian).

Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 325–333. 17. Novozhilov V. V. Teoriia tonkikh obolochek [The 4. Leissa A. W. Vibration of shells. Acoustical Society of theory of thin shells]. Leningrad, Sudpromgiz, 1962, America, 1993. 428 p. 431 p.

5. Truesdell C., Toupin R. A. The classical field 18. Kabrits S. A., Mikhailovskii E. I., Tovstik P. E., theories. Handbuch der Physik [Encyclopedia of Physics]. Chernykh K. F., Shamina V. A. Obshchaia nelineinaia Vol. III/1 / ed. S. Flgge. Berlin, Springer-Verlag, 1960, teoriia uprugikh obolochek [General nonlinear theory u pp. 226–858 (in German). of elastic shells]: ed. K. F. Chernyh, S. A. Kabrica.

6. Noll W. Materially uniform simple bodies with St. Petersburg, St. Petersburg Press, 2002, 388 p. (in inhomogeneities. Arch. Rat. Mech. Anal., 1956, vol. 27, Russian).

no. 1, pp. 1–32. 19. Chapelle D., Bathe K. J. The Finite Element Analysis 7. Epstein M. The geometrical language of continuum of Shells — Fundamentals. New York, Springer, 2011, mechanics. Cambridge, Cambridge University Press, Vol. XV, 410 p.

2010. 20. Mikhailovskii E. I. Klassicheskaia teoriia obolochek 8. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory [The classical theory of shells]. Vestnik Syktyvkarskogo of elastic material surfaces. Arch. Ration. Mech. Anal., universiteta. Ser. 1.: Math. Mech. Inform., 2006, no. 6, 1975, vol. 57, no. 4, pp. 291–323. pp. 123–164 (in Russian).

9. Maugin G. A. Material inhomogeneities in elasticity. 21. Lebedev L. P., Cloud M. J, Eremeyev V. A. Advanced London, Chapman and Hall, 1993, 280 p. Engineering Analysis: Calculus of Variations and 10. Cohen H., Wang C.-C. Some equilibrium problems for Functional Analysis with Applications in Mechanics.

compressible, anisotropic, laminated nonlinearly elastic New Jersey, World Scientific, 2012. 499 p.

bodies. Arch. Ration. Mech. Anal., 1992, vol. 119, no. 9, 22. Zhilin P. A. Prikladnaia mekhanika. Osnovy teorii pp. 1–34. obolochek [Applied Mechanics. Foundations of the Theory 11. Lychev S. A., Baryshev A. A. Equilibrium equations of Shells]. St. Petersburg, St. Petersburg State Polytech.

for material uniform and inhomogeneous laminated shells. Univer. Press, 2006, 167 p. (in Russian).

PNRPU Mechanics Bulletin. Mechanics, 2012, no. 4, 23. Lizarev A. D., Rostanina N. B. Kolebaniia metal pp. 42–65 (in Russian). lopolimernykh i odnorodnykh sfericheskikh obolochek 12. Lurie A. I. Nelineinaia teoriia uprugosti [Nonlinear [Vibration in metal- and homogeneous spherical shells].

theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1980, 512 p. (in Minsk, Nauka i tekhnika, 1984, 192 p. (in Russian).

Russian). 24. Senitskii Yu. E., Lychev S. A. Dinamika trekhsloinykh 13. Gibbs J. W. Elements of vector analysis. New Haven, sfericheskikh obolochek nesimmetrichnoi struktury [The 1884. dynamics of three-layer spherical shells asymmetric 14. Eremeev V. A., Zubov L. M. Mekhanika uprugikh structure]. Trudy XVIII mezhdunarodnoi konferentsii po obolochek [Mechanics of Elastic Shells]. Moscow, Nauka, teorii obolochek i plastin. Saratov, 1997, vol. 1, pp. 47– 2008. 280 p. (in Russian). (in Russian).

Механика

 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.