авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


188

УДК 531.391

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ

ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

Шатина А. В., д.ф.-м.н., профессор, Email: shatina_av@mail.ru

Шерстнев Е. В., аспирант, Email: sherevv@gmail.com

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и

автоматики (МГТУ МИРЭА), Москва

Аннотация. В работе исследуется приливная эволюция орбитального движения в системе планета-спутник. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, а спутник - материальной точкой. Методами аналитической механики получена система уравнений движения. Проведено исследование устойчивости стационарных движений. Получена оценка эволюции больших полуосей орбит планет Солнечной системы.

Ключевые слова: приливная эволюция, эволюция движения, переменные Делоне, орбита спутника, вязкоупругое тело, диссипация, стационарное движение, устойчивость.

ABOUT ONE MODEL TIDAL EVOLUTION MOTION OF CELESTIAL BODIES Shatina Albina V., D. of Physical and Mathematical Sciences, proff., Email:

shatina_av@mail.ru Sherstnev Evgeny V., postgraduate, Email: sherevv@gmail.com Moscow State Technical University of Radio Engineering, Electronics and Automation (MSTU MIREA), Moscow Abstract. The subject of this paper is the tidal evolution of the orbital motion in a planet satellite system. The planet is modeled as an isotropic viscoelastic body, which has a spherical form in its natural non-deformed state, and the satellite is modeled as a material point. The system of equations describing the motion of the system is derived by applying methods of analytical mechanics. The stability of stationary motions investigated. An estimate of the evolution of semi-major axes of the orbits of the planets of the Solar system is obtained.

Keywords: tidal evolution, evolution of the motion, Delaunay variables, orbit of a satellite, viscoelastic body, dissipation, stationary motion, stability.

Одной из классических задач небесной механики является задача двух тел, в которой изучается движение двух материальных точек, притягивающихся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона. Эта задача является основной в проблеме движения планет Солнечной системы, а также спутников планет, так как в большинстве случаев силы взаимного притяжения между планетами, спутниками планет, между планетами и спутниками других планет малы по сравнению с силами гравитационного притяжения планеты и Солнца, планеты и ее спутника.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения в задаче двух тел сводится к квадратурам. Для орбит планет справедлив первый закон Кеплера: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Кеплеровское движение планеты или спутника называют еще невозмущенным движением.

Одним из важнейших возмущающих факторов движения небесных тел является наличие приливных сил. Поскольку небесные тела обладают протяженностью и не являются абсолютно твердыми, то возникает деформация, приводящая к образованию приливного горба. Механизм приливной эволюции можно описать следующим образом. Движение спутника вокруг планеты создает горбы в вязкоупругом теле планеты. Эти горбы стремятся расположиться по линии, соединяющей центр масс планеты и спутник. Из-за вращения планеты относительно собственного центра масс они перемещаются в теле планеты в направлении, противоположном ее вращению. В силу наличия внутреннего вязкого трения эти процессы сопровождаются рассеянием энергии, что является причиной динамической эволюции системы.

Исследование приливной эволюции системы планета-спутник проводилось ранее многими авторами с использованием различных моделей для приливного потенциала и момента приливных сил [1-4]. В данной работе используются методы, предложенные Вильке В.Г. в монографии [5]. Ранее этот подход был применен к ряду задач, в частности к задачам о поступательно-вращательном движении шара в центральном ньютоновском поле сил [6,7], о поступательно-вращательном движении двух вязкоупругих планет в гравитационном поле сил взаимного притяжения [8].

1. Постановка задачи. Уравнения движения Рассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле взаимного притяжения. Планету будем моделировать однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, а спутник - материальной точкой P. Пусть m, - массы планеты и спутника соответственно, r0 - радиус планеты, - ее плотность ( m 4 r03 3 ).

Введем инерциальную систему координат OXYZ с началом в центре масс системы. Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат Cx1 x2 x3 с началом в ее центре масс и систему осей Кенига C123. Положим R CP.

Радиус-векторы точки P и точки M вязкоупругой планеты в инерциальной системе координат имеют вид:

m RP R, m (1.1) R r u, RM m где - оператор перехода от системы координат Cx1 x2 x3 к системе осей Кенига, u u r,t - вектор упругого смещения планеты.

Следующие условия однозначно определяют радиус-вектор центра масс деформированной планеты и связанную с ней систему координат Cx1 x2 x3 [5]:

R M r, t dv, OC mV (1.2) udv 0, rot udv 0, V V где V r E 3 : r r0.

Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом fdv, (1.3) R r u V где f - универсальная гравитационная постоянная.

Функционал потенциальной энергии упругих деформаций введем в соответствии с линейной моделью теории упругости:

E Eu dv, Eu I 2 II E, (1.4) 1 E V 1 2 1 1, 2, 2 1 1 2 I E eii, II E eii e jj eij, i 1 i j 1 u u j eij i, 2 x j xi - модуль упругости Юнга, - коэффициент Пуассона деформируемой планеты, u u1, u2, u3.

Для описания диссипативных свойств планеты введем диссипативный D u Eu, функционал, соответствующий модели Кельвина-Фойгта: коэффициент внутреннего вязкого трения.

Уравнения движения рассматриваемой механической системы получим из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа [1]:

R, R M dv R P, R P M V Eu D u, u dv u (1.5) u V 2, rot u dv 0, V где 1, 2 - неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1.2).

Из равенств (1.1) получим:

RM R m r u 2 u r u u, R M R m r u u, m m RP R, R P R. (1.6) m m Здесь 1,. Подставляя (1.6) в (1.5) и приравнивая коэффициенты при независимых вариациях R,, u, получим уравнения движения системы планета – спутник:

R r u m R f dv 0, (1.7) R r u m V r u R r u L f dv 0, (1.8) R r u V 1R r u R M f 1 dv R r u V uEu u 1, u dv V 2 n u d 0, (1.9) V d L r u r u dv где вектор кинетического момента планеты dt V относительно центра масс, V - граница области V, n - единичный вектор внешней нормали к V. При получении уравнений (1.7)-(1.9) были учтены условия (1.2).

2. Построение возмущенной системы уравнений движения Считаем, что жесткость деформируемой планеты велика, т.е. мал безразмерный параметр 0 r02 1, где 0 - величина модуля начальной угловой скорости планеты.

Выбрав соответствующим образом масштабы размерных величин, можно получить 1. При 0 вектор упругого смещения u полагается равным нулю. Тогда получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого шара и материальной точки в гравитационном поле взаимного притяжения. Уравнения движения невозмущенной задачи имеют вид:

f m R R 0, A 0, (2.1) R где A 0, 4mr02 - момент инерции шара относительно диаметра, R R.

При 0 согласно методу разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы [5] из уравнения (1.9) будем искать вектор-функцию u, описывающую квазистатические деформации планеты под действием внешних сил и сил инерции в виде:

u u1 2u2.

При этом множители Лагранжа 1, 2 также ищем в виде разложений по степеням малого параметра :

1 10 11, 2 20 21.

Полагая в (1.9) последовательно u r, u, 3 и учитывая, что работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах и поступательном движении равна нулю, получим 10 20 0. Краевая задача для нахождения вектор-функции u1 первого приближения по малому параметру примет вид:

Eu u 2 r u 1 3 (2.2) 1 3 f 1 r2, r 3 r, r, 3 R 3 n 0, (2.3) где, 1R R, а условие (2.3) означает равенство нулю напряжений на поверхности планеты [5,9]. При получении уравнения (2.2) было учтено условие r r0 R. Заметим, что величины, R,, входящие в правую часть уравнения (2.2), зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (2.1).

Решение квазистатической задачи теории упругости (2.2)-(2.3) имеет вид [2,7]:

u1 u10 u11 u12, (2.4) где d1r 2 d 2 r02 r, u 1 u11 a1 2 r 2, r r 6 a2 r 2 a3r02 2r, r, u12 u120 u120, 3f 1 2 r, r 2 r u120 3 a R a2 r 2 a3r02 r, r, 3 1 1 2, d 10 1 1 2 3, d 10 1 2 1 2 1, a1, a 5 7 5 3 2 1.

a 5 Далее функцию u u1, где u1 определяется формулой (2.4), подставим в уравнения (1.7)-(1.8), предварительно линеаризовав их по u и учитывая условие r u R :

f m R R R 5, r, u r, u V r, u u, r dv 0, (2.5) u, r r, u dv 0.

3 f L (2.6) R3 V После вычисления тройных интегралов по шару в уравнениях (2.5)-(2.6) получим векторную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы планета спутник в поле сил взаимного притяжения с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией:

f m R R R 3f 2 D m 2 2, (2.7) mR R 6 f 5, 3 3 0, R R 6f 2 D 3 f, 3 0, L (2.8) R R 4k r07 1 9 13.

, k где D 5 Уравнения (2.7)-(2.8) имеют первый интеграл – закон сохранения момента количества движения относительно центра масс системы:

m R R L G0.

m 3. Стационарное движение спутника и его устойчивость Будем полагать, что масса планеты много больше массы спутника, и рассмотрим задачу о движении материальной точки в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты. Вектор будем считать постоянным. Ось OZ инерциальной системы координат направим по вектору. Уравнение (2.7) для радиус вектора R спутника можно записать в виде:

R F0 F1 F2, (3.1) где f m F0 R, R 2 6 f F1 C1 5 R 8 R R R 2 R, 5R R,, R5 R7 C2 3R F2, R7 R 3 f 2 D m C1, C2 6 fC1,.

m Заметим, что силы F0 и F1, входящие в правую часть уравнения (3.1), являются потенциальными:

F0 grad U 0, F1 grad U1, f m U0, R f 2 R, U1 C1 6 3.

R 3R R Составляющая F2 является неконсервативной.

Выпишем компоненты вектора в сферических координатах R,, :

R R R cos sin ;

R sin sin ;

R cos. Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид:

f m R R2 R 2 sin 2 R 2 6 f 18 f b 1 3cos R 0, R4 R R R 2R sin 2R cos 6bf sin 0, R R 2 R R 2 sin cos (3.2) b 2 6bf sin 2 0, R R где b C1.

Система уравнений (3.2) имеет стационарное решение:

2,, R R, (3.3) f m b2 6bf 5 8 2.

где R является корнем уравнения R R R Полученное решение (3.3) соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса R в экваториальной плоскости планеты с орбитальной скоростью, равной угловой скорости вращения планеты.

Исследуем устойчивость стационарного решения (3.3). Положим R R 1 x1, 1 x2, 2 x3 и выпишем уравнения первого приближения возмущенного движения системы:

x1 3b1 x1 b2 x1 b3 x2 0, x2 b1 x2 2 x1 0, x3 b1 x3 b4 x3 0, (3.4) где 6bf b1, R 2 f m 4b 2 42bf b2 2, R3 R5 R 2b b3 2 2, b4 2 1 5.

R Решение уравнений (3.4) будем искать в виде: xi Ae t i 1, 2,3. Получим i характеристическое уравнение [10]:

b b 1 (3.5) 4b 3b b2 2b3 b1b2 0.

3 2 1 Так как b1b2 0, то характеристическое уравнение (3.5) имеет положительный корень, следовательно, стационарное решение (3.3) является неустойчивым.

4. Эволюционная система уравнений движения спутника Рассмотрим сначала невозмущенную задачу – движение спутника (материальной точки массы ) под действием силы F0. Кинетическая энергия спутника имеет вид:

T R R 2 sin 2 2 R 2 2.

От обобщенных скоростей перейдем к обобщенным импульсам R,, pR, p, p :

T pR R, R T p R 2 sin 2, T p R 2.

Невозмущенный гамильтониан задачи имеет вид:

p pR H0 2 2 R sin (4.1) f m p.

2 R 2 R От переменных pR, p, p, R,, перейдем к переменным Делоне L, G, H, l, g, h [7,11] с помощью соотношений:

W W W pR, p, p, R W W W g,h,l, G H L где W W R,,, L, G, H - производящая функция канонического преобразования, H W H G 2 d sin 2 f 0 2 G 2 f 02 2 2 dR, R R L f0 f m.

Компоненты вектора R в переменных Делоне в системе координат C определяются равенством:

R 3 h 1 i 3 g R,0,0, T (4.2) где G H cos i, e 1 2, G L G R, f 0 1 e cos cos sin 3 sin cos 0, 0 1 1 0 cos sin, 0 sin cos e - эксцентриситет орбиты спутника, g - долгота перигелия от восходящего узла, истинная аномалия, зависящая от переменных через соотношения:

l, L, G e cos cos w, l w e sin w, в которых l - средняя аномалия, w - эксцентрическая 1 e cos аномалия.

Невозмущенный гамильтониан задачи (4.1) в переменных Делоне имеет вид:

f 02 H0, а дополнительный член возмущенного гамильтониана равен 2 L f 2 R, H1 U1 C1 6 3, где вектор R определяется равенством (4.2), R 3R R при этом его модуль R является функцией переменных L, G, l. Таким образом, гамильтониан задачи равен H H 0 H1.

Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид:

H1 H l n L L Ql, QL, l L H1 H G Qg, g QG, (4.3) g G H1 H H Qh, h QH, h H f 02 где n L, а обобщенные силы Ql, Qg, Qh, QL, QG, QH определяются из выражения L для элементарной работы A F2 R Ql l Qg g Qh h QL L QG G QH H.

После вычисления обобщенных сил и усреднения правых частей уравнений (4.3) по «быстрой» угловой переменной l получим замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие» и L, G, H медленных угловых переменных g, h :

cos i 1 e 1n F2 e nF3 e, 2 L 1 e 2 15 cos i 1 e 1n F1 e nF2 e, 2 G 1 e n4 1 e 2 F1 e H 1 1 e 1 3e 2 e 4 sin i 2 3e 2 e 4 2 sin i sin 2 g F2 e n cos i, 2 2 n 7 3 5 2 1 g cos i 1 e 2 15 1 3e 2 e 2 n m 1 e 3 n13 3 3e 2 e 4, cos i sin 2 g 1 e 25 2 2n 2 cosi h 1 e 3 n13 3 3e 2 e sin 2 g.

(4.4) 1 e2 5 2 Здесь f 02 n, L F1 e 1 3e 2 e 4, 15e 45e 4 5e F2 e 1, 2 8 31e2 255e4 185e6 25e F3 e 1, 2 8 16 27k 2 mr 1, 70 m 9k mr0 2, 3.

140f 0 2 f 02 Заметим, что уравнение для угловой переменной h отделяется от остальных уравнений системы (4.4), правые части которых не зависят от h. Из первых трех уравнений системы (4.4) получим эволюционную систему уравнений относительно среднего движения спутника по орбите n, эксцентриситета e и наклонения орбиты i :

cos i 1 e, 63n16 F2 e nF3 e 2 n 1 e 2 15 cos i 1 e 23n13 3e F5 e nF4 e, 2 32 (4.5) e 1 e 2 13 2 n13 3 sin i 1 9 3 2 di 3 sin g e 1 e2 2 4 2 dt 5 sin 2 g e4, 16 где 135 2 135 4 45 F4 e 9 e e e, 4 8 11 33 2 11 F5 e e e.

24 Система уравнений (4.5) совместно с четвертым уравнением системы (4.4) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений 4-го порядка относительно параметров орбиты спутника n, e, i, g. Для большой полуоси орбиты справедливо равенство:

f 0 n2.

a (4.6) Из последнего уравнения системы (4.5) следует, что или i 0, или наклонение орбиты во все время движения монотонно уменьшается.

На рис.1 изображен фазовый портрет системы уравнений (4.5) в случае i 0 в плоскости переменных e, n, где n n1, т.е. для дифференциального уравнения 3n 1 e F2 e nF3 e.

2 dn e 1 e2 1 e2 F5 e nF4 e de Рис. 1.

В 2004 году российскими астрономами [12] было установлено, что ежегодно Земля удаляется от Солнца в среднем на 15 сантиметров. Используя этот факт, получим средние скорости изменения больших полуосей других планет Солнечной системы в рамках рассматриваемой в данной работе модели. Из (4.5), (4.6) следует, что в случае i 27mr0 n11 a 1 e 35 f 1 3 m 2 15 (4.7) 1 e F2 e nF3 e, 2 где k.

Найдем значение параметра, связанного с вязкоупругими свойствами Солнца, рассматривая систему Солнце-Земля и используя следующие значения параметров, входящих в уравнение (4.7) [13]:

см м 4, 753 109, a год с 5,974 10 кг, m 1,989 1030 кг, Н м r0 6,96 108 м, f 6, 67 1011, кг рад n 1,991107, с рад 2 e 0, 0167, 2,865 106 (n,, =365,26 сут – период обращения с T Земли вокруг Солнца, T 25,38 сут – сидерический период вращения Солнца).

м с Получим 3, 2977 105.

кг Используя найденное значение, найдем из равенства (4.7) значения a для остальных планет солнечной системы, моделируя их материальными точками.

Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Таблица 1.

рад см (кг) n a Планета e с год 8, 267 3,302 Меркурий 170, 0, 4,869 10 3, 236 Венера 68, 0, 5,974 10 1, Земля 15, 0, 1,059 6, 419 Марс 0, 0, 1,678 1,899 10 Юпитер 0, 0, 6,712 109 6,364 5,685 Сатурн 0. 2,369 109 2,103 8,663 Уран 0. 1, 210 109. 2,069 1,028 Нептун 0, Список литературы Приливы и резонансы в Солнечной системе. / Сборник статей под редакцией 1.

В.Н. Жаркова. М.: Мир, 1975. 286 с.

Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в 2.

гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.

Марков Ю.Г., Миняев И.С. Роль приливной диссипации в движении планет 3.

и их спутников // Астрономический вестник. 1994. Т. 28, №2. С. 59-72.

Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 4.

2010. – 588 с.

Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом 5.

степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1997. Ч1 216 с. Ч2 160 с.

Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском 6.

поле сил // Прикладная математика и механика. 1980. Т.44. Вып. 3.

С.395-402.

Шатина А.В. Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном 7.

ньютоновском поле сил // Космические исследования. 2001. Т. 39, №3.

С. 303-315.

Вильке В.Г., Шатина А.В., Шатина Л.С. Эволюция движения двух 8.

вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования. 2011. Т. 49, №4. С. 355-362.

Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1942.

9.

304 с.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987.

10.

304 с.

Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 11.

1975. 800 с.

12. Krasinsky G.A., Brumberg V.A. Secular increase of astronomical unit from analysis of the major planet motions, and its interpretation // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2004. V 90. P 267-288.

Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии. М.: Книжный дом 13.

«ЛИБРОКОМ», 2009. 704 с.



 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.