авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Геометрическая топология

обобщённых 3-многообразий

А. КАВИЧЧОЛИ

Университет Модены и Реджо-нель-Эмилия,

Модена, Италия

e-mail: cavicchioli.alberto@unimo.it

Д. РЕПОВШ Университет Любляны, Любляна, Словения dusan.repovs@fmf.uni-lj.si Т. ТИКСТУН Юго-западный университет штата Техас, Сан-Маркос, США e-mail: tt04@swt.edu УДК 515.162.3+515. Ключевые слова: обобщённые 3-многообразия, клеточноподобное разрешение, то пологическое 3-многообразие, гипотеза Пуанкаре.

Аннотация Цель статьи — описать историю и современное состояние одной из главных класси ческих проблем маломерной топологии, распознавания топологических 3-многообра зий в классе всех обобщённых 3-многообразий (т. е. гомологических 3-многообразий, являющихся ANR). Эта проблема естественно расщепляется на проблему клеточнопо добного разрешения для 3-многообразий посредством гомологических многообразий и проблему общего положения для топологических 3-многообразий. Мы приводим также некоторые открытые проблемы.

Abstract A. Cavicchioli, D. Repovs, T. L. Thickstun, Geometric topology of generalized 3-man ifolds, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 11 (2005), no. 4, pp. 71—84.

In this paper, we describe the history and the present status of one of the main classical problems in low-dimensional geometric topology—the recognition of topological 3-manifolds in the class of all generalized 3-manifolds (i.e., ANR homology 3-manifolds).

This problem naturally splits into the cell-like resolution problem for 3-manifolds by means of homology 3-manifolds and the general-position problem for topological 3-manifolds. We have also included some open problems.

1. Введение Мы будем изучать задачу поиска геометрических свойств, которые отно сительно легко проверяются и позволяют различать 3-многообразия в классе Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 4, с. 71—84.

c 2005 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

72 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун топологических пространств. Более общим образом, Кэннон [9] высказал гипо тезу, что многообразия могут быть охарактеризованы как обобщённые много образия, удовлетворяющие минимальным образом свойству общего положения.

Необходимость такого критерия возникает, например, в теории непрерывных разбиений, когда нужно решить, будет ли клеточное разбиение данного то пологического многообразия снова давать топологическое многообразие (необ ходимо той же размерности). Уже известны некоторые результаты, среди них совместные работы Реповша и Лехера [24] и Давермана и Реповша [14, 15].

Хотя основное внимание будет уделено размерности 3, сопоставление с резуль татами, полученными для размерностей 5 и выше, даст как полезное понимание, так и мотивацию. Это имеет смысл объяснить теперь в терминах обобщённых n-многообразий X n, а именно локально компактных, локально стягиваемых, конечномерных метрических пространств с локальными относительными гомо логиями Rn, т. е. группа H (X n, X n \ {x};

Z) изоморфна H (Rn, Rn \ {0};

Z) для всех x X n.

В этой статье будет предполагаться, если противное не оговорено, что мно гообразия и обобщённые многообразия не имеют края. Для n 2 n-многооб разия совпадают с обобщёнными n-многообразиями, но для n 2 ситуация гораздо сложнее. Сделав очевидные замечания, что n-многообразия являются обобщёнными n-многообразиями и что последние определены через элементар ные свойства, мы видим, почему кэнноновская гипотеза ставит своей целью распознавание истинных многообразий среди обобщённых.

Если f : M X есть собственное клеточноподобное сюръективное отоб ражение, определённое на n-многообразии, и dim X, то X есть обоб щённое n-многообразие, но примеры, подобные бинговскому пространству соба чьей кости [1], показывают, что X не обязательно должно быть топологическим многообразием. Клеточноподобные отображения образуют первичный источник примеров с немногообразиями (о топологии клеточноподобных отображений и гомологических многообразий можно прочесть в [12]). Так, обобщённое n-мно гообразие X называется разрешимым, если существует собственное клеточно подобное сюръективное отображение f : M X, определённое на некотором n-многообразии M, в этом случае f называется (клеточноподобным) разреше нием для X.

За исключением некоторых трёхмерных примеров, существование которых зависит от от гипотетического опровержения трёхмерной гипотезы Пуанкаре, обобщённые многообразия, построение которых явно описано в литературе, все оказываются разрешимыми. Согласно Квинну [22], существование разре шения данного обобщённого n-многообразия X (n 5), сводится к некоторо му целочисленному алгебраическому препятствию i(X) к некоторой локальной проблеме перестроек. Это препятствие имеет интригующее свойство быть ло кально определённым и локально постоянным. Следовательно, если X связно и препятствие исчезает на некотором открытом подмножестве X (например, если некоторое открытое подмножество есть многообразие), тогда X разреши мо.

Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий Как известно, примеры обобщённых n-многообразий X (n 6) с неисчезаю щим препятствием Квинна i(X) = 1 существуют: они были построены Брайан том, Ферри, Мио и Вайнбергером [7]. Заметим, что ни одно такое связное обоб щённое многообразие не может иметь многообразия в качестве окрестности ни одной своей точки. Другие конструкции 4k-мерных обобщённых многообразий (k 1), которые не имеют разрешений, можно найти в [11]. Но если трёхмерная гипотеза Пуанкаре неверна, то имеется и неразрешимое обобщённое трёхмерное многообразие X 3. Более того, X 3 содержит такую точку x0, что X 3 \ {x0 } есть трёхмерное многообразие (см. [23]).

Центральная трёхмерная проблема разрешения состоит в следующем: при условии, что гипотеза Пуанкаре верна, будут ли все трёхмерные многооб разия иметь разрешения? Тикстун дал утвердительный ответ для обобщённых 3-многообразий, сингулярное множество которых имеет «свойство общего поло жения в размерности 1» (ранее он рассмотрел случай нульмерного сингулярного множества в [26]).

2. Свойства общего положения В размерностях больше четырёх работа Эдвардса [18] даёт средство детек тирования истинных многообразий среди обобщённых разрешимых в терминах следующего простого свойства общего положения. Говорят, что метрическое пространство X имеет свойство разделения дисков, если каждая пара отобра жений стандартного 2-диска I 2 (I = [0, 1]) в X может быть аппроксимирована произвольно близко парой отображений с дизъюнктными образами. Напомним, что почти-гомеоморфизм есть отображение X Y на метрическое простран ство, являющееся равномерным пределом сюръективных гомеоморфизмов.

Теорема 2.1 ([18]). Пусть p : M X клеточноподобное разрешение обоб щённого n-многообразия X (n 5). Тогда отображение p есть почти-гомеомор физм, если и только если X имеет свойство разделения дисков.

Первую теорему распознавания установил Бинг: он рассмотрел специальное клеточное непрерывное разбиение пространства R3, пространство которого X получило название пространства собачьей кости. Для того чтобы доказать, что X не есть 3-многообразие, он показал, что X не обладает некоторым свойством разделения дисков, которое выполнено в R3. Его пример особенно интригует тем, что, как оказывается, он даёт делитель 4-многообразия.

Теорема 2.2 ([1]).

1. X не является топологическим многообразием.

2. Произведение X R гомеоморфно R4.

Первые результаты в размерности 3, близкие к эдвардсовским, получили Ламберт и Шер [20] и, десятилетием позже, Реповш и Лехер [24]. Наконец, Даверман и Реповш доказали в [14, 15] трёхмерный вариант теоремы Эдвардса.

74 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун Одна из трудностей состояла в формулировке подходящего общего свойства.

Свойство разделение дисков, очевидно, не годится, поскольку ни трёх-, ни че тырёхмерные многообразия им не обладают, так что требовалось найти какое-то альтернативное свойство. Они изучили несколько подходов, в основном описы ваемых в терминах свойств, которые мы называем свойствами симплициальной аппроксимации.

Определение 2.3.

Пространство X обладает свойством слабой симплициальной аппроксима ции, если для каждого отображения µ : I 2 X и каждого 0 существует отображение : I 2 X, для которого distX (µ, ), причём (I 2 ) содержит ся в конечном объединении 2-клеток Bi X, каждая из которых вложена со свойством 1-LCC в X.

Более того, X обладает свойством симплициальной аппроксимации, если для каждого µ : I 2 X и каждого 0 существует отображение : I 2 X и конечный топологический 2-комплекс K X, такие что 1) distX (, µ) ;

2) (I 2 ) K ;

3) X \ K обладает свойством 1-FLG в X.

Наконец, X обладает свойством сферической симплициальной аппроксима ции, если это же верно с заменой всюду I 2 на S 2.

Условие 1-FLG есть известная характеризация ручного вложения 2-комплек са K в 3-многообразие M 3 (о многих понятиях, связанных с периферической ацикличностью и локальными гомотопическими свойствами, можно прочесть в [10, 13]).

Нужно отметить три элементарных, но имеющих важное значение наблюде ния. Первое, что для 2-комплекса K X без локально разбивающих точек X \ K имеет свойство 1-FLG в X, если и только если каждый 2-симплекс в K вложен со свойством 1-LCC в X. Второе, что свойство сферической сим плициальной аппроксимации влечёт свойство симплициальной аппроксимации, а свойство симплициальной аппроксимации, в свою очередь, влечёт свойство слабой симплициальной аппроксимации. Третье, что многообразия размерности n 3 обладают всеми этими свойствами аппроксимации.

Определение 2.4. Метрическое пространство (X, ) обладает свойством разделения для нульмерного отображения, если для каждого 0, каждо го k N и каждого отображения f : B X набора k стандартных 2-клеток k B= Bi в X, такого что i= 1) Nf Int B, где Nf = {y B | f 1 (f (y)) = y};

2) dim Nf 0;

2 3) dim Zf 0, где Zf = {x X | x f (Bi ) f (Bj ) для некоторого i = j}.

существует отображение F : B X, такое что 1) (F, f ) ;

Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий 2) F |B = f |B;

2 3) F (Bi ) F (Bj ) = при i = j.

Об усилении свойства разделения для нульмерного отображения см. [2].

В [14, 15] главными результатами были две теоремы распознавания 3-много образий, формулируемые в этой терминологии.

Теорема 2.5 ([14]). Разрешимое обобщённое 3-многообразие X есть тополо гическое 3-многообразие, если и только если X обладает как свойством слабой симплициальной аппроксимации, так и свойством разделения для нульмерного отображения.

Теорема 2.6 ([15]). Разрешимое обобщённое 3-многообразие есть топологи ческое 3-многообразие, если и только если оно обладает свойством сферической симплициальной аппроксимации.

Из этого следует, что разрешимое обобщённое 3-многообразие, являющееся многообразием вне нигде не плотного множества точек, будет 3-многообразием, если и только если оно имеет свойство симплициальной аппроксимации.

Проблема 2.7. Будет ли 3-многообразием разрешимое обобщённое 3-много образие со свойством слабой симплициальной аппроксимации (свойством сим плициальной аппроксимации, свойством разделения для нульмерного отображе ния)?

Приведём два естественных свойства для сингулярных дисков в разрешимом обобщённом 3-многообразии X, которые зависят от явного вида разрешения f : M X для X.

Определение 2.8. Пространство X обладает свойством разделения дисков для разрешения, если для каждого 0, каждого k N и каждого набора из k попарно дизъюнктных ручных вложений fi : B 2 M существуют отображе ния gi : B 2 X, для которых 1) (gi, fi ) ;

2) gi (B 2 ) gj (B 2 ) = при i = j.

Пространство X обладает свойством разделения дисков для вложения, ес ли для каждого 0 и каждого ручного вложения f : B 2 M существует вложение g : B 2 X, для которого (g, f ).

Довольно удивительно, что ещё не разрешена следующая проблема.

Проблема 2.9. Будет ли каждое клеточное разрешение обобщённого 3-мно гообразия со свойством разделения дисков для разрешения (свойством разделе ния дисков для вложения) почти-гомеоморфизмом?

Проблема 2.10. Будет ли каждое обобщённое 3-многообразие со свойством сферической симплициальной аппроксимации разрешимым (и значит, 3-много образием)?

76 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун 3. Клеточноподобные разрешения Гипотеза разрешения в размерности три влечёт гипотезу Пуанкаре. Доказа тельство этого (только намеченное здесь) опирается на следующее построение:

«замену» каждого полиэдрального 3-шара в данной дизъюнктной нуль-после довательности в произвольном замкнутом 3-многообразии M на компактное стягиваемое 3-многообразие. (Мы назовём полученное таким образом простран ство 3-почти-многообразием.) Конечно, если классическая гипотеза Пуанкаре верна, каждое компактное стягиваемое 3-многообразие гомеоморфно стандарт ному 3-шару и, значит, такое построение даст только M. Однако если гипоте за Пуанкаре неверна (и проделано бесконечно много замещений фальшивыми 3-шарами), то результирующее пространство будет неразрешимым обобщённым 3-многообразием. Более тонкие примеры неразрешимых обобщённых 3-многооб разий (при нарушении гипотезы Пуанкаре) были построены в [4,5]. Эти примеры не содержат фальшивых 3-шаров, но допускают так называемые «почти-разре шения» (определённые ниже). В свете указанных примеров следующая гипотеза является более разумной переформулировкой гипотезы разрешения (в том смыс ле, что при выполнении гипотезы Пуанкаре она ей эквивалентна, но гипотеза Пуанкаре из неё не следует).

Гипотеза почти-разрешения 3.1. Любое обобщённое 3-многообразие явля ется клеточноподобным образом 3-почти-многообразия.

Определение 3.2. Мы назовём такое отображение почти-разрешением обобщённого 3-многообразия. Далее, если X есть обобщённое 3-многообразие, то сингулярное множество в X определено как S(X) = {p X | p не имеет евклидовой окрестности}. Многообразная часть X есть M (X) = X \ S(X).

Замечания. Построение 3-почти-многообразия обобщено Джакобшеном, ко торый получил при условии нарушения гипотезы Пуанкаре контрпример к ги потезе Бинга—Борсука (она утверждает, что любой трёхмерный однородный ANR есть 3-многообразие). Этот пример представляет собой (аккуратно про веряемый) обратный предел 3-многообразий, содержащих последовательно уве личивающееся число фальшивых 3-шаров. Эти пространства являются всюду сингулярными обобщёнными 3-многообразиями, но клеточноподобными образа ми 3-почти-многообразий [Тикстун, не опубликовано] и, значит, совместимыми с гипотезой почти-разрешения.

Упор, делавшийся в основном на гипотезу разрешения (и также почти-раз решения), привел к ряду теорем разрешения, в каждой из которых делается какое-нибудь дополнительное предположение (помимо самой гипотезы разре шения), некоторое ограничение на «размер» (или в иных случаях «сложность») сингулярного множества рассматриваемого обобщённого 3-многообразия. Мы формулируем эти теоремы в порядке их появления (что примерно соответству ет порядку возрастания их общности, см. замечания ниже). В каждом из этих утверждений X есть замкнутое обобщённое 3-многообразие, и мы приводим нужные дополнительные определения.

Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий Теорема 3.3 ([8]). Если S(X) нульмерно и имеет свойство 1-LCC, то X есть замкнутое 3-почти-многообразие (и значит, тождественное отображение является почти-разрешением).

Замечание. Утверждение в [8] предполагает, что M (X) содержит не более конечного числа фальшивых 3-шаров, и заключает, что X есть 3-многообразие.

Приведённая формулировка является лёгким обобщением.

Теорема 3.4 ([4]). Если S(X) нульмерно и торально, то, по модулю гипоте зы Пуанкаре, X имеет разрешение.

Определение 3.5. Сингулярное множество S(X) торально, если для данной окрестности U множества S(X) в X найдётся его компактная окрестность V, V U, такая что граница V есть дизъюнктное объединение конечного числа торов.

Теорема 3.6 ([5]). Если S(X) нульмерно и имеет произвольно тесные окрестности с фундаментальными группами без кручения, то, по модулю ги потезы Пуанкаре, X имеет разрешение.

Определение 3.7. Сингулярное множество S(X) имеет произвольно тес ные окрестности с фундаментальной группой без кручения, если для данной окрестности U для S(X) имеется окрестность V, V U, такая что каждая компонента V имеет фундаментальную группу без кручения.

Теорема 3.8 ([25]). Если S(X) нульмерно, X имеет почти-разрешение.

Теорема 3.9 ([27]). Если S(X) имеет свойство общего положения в размер ности 1 в X, то X имеет почти-разрешение.

Определение 3.10. Если X — обобщённое 3-многообразие и A — компактное подпространство X, мы скажем, что A имеет общее положение в размерности в X, если любое отображение f : B 2 X может быть аппроксимировано (с точ ностью до любого данного 0) отображением g : B 2 X, таким что g(B 2 )A нульмерно. (Предупреждение: в первой версии [27] это свойство называлось «размерность вложения 1».) Замечания. Очевидно, теорема 3.9 влечёт теорему 3.8 и теорема 3.8 силь нее, чем каждая из теорем 3.3, 3.4 и 3.6. Соотношения между теоремами 3.3, 3.4 и 3.6 менее ясны. Конечно, из заключения теоремы 3.3 следует, что любое обобщённое 3-многообразие (как в условии) имеет «сферическое» сингулярное множество и поэтому теорема 3.4 применима a posteriori к более широкому классу обобщённых 3-многообразий. Неясно (и неизвестно авторам), будут ли условия теоремы 3.4 гарантировать отсутствие кручения для окрестностей S(X) и, значит, будет или не будет теорема 3.6 сильнее теоремы 3.4. С другой сторо ны, кажется, что не существует примера X обобщённого 3-многообразия, для которого dim S(X) = 0 и выполнено условие отсутствия кручения теоремы 3.6.

Обобщённое 3-многообразие, удовлетворяющее условиям теоремы 3.9, но не теоремы 3.8, построить легко. Для построения одного особенно прозрачного класса таких примеров нужно действовать следующим образом. Пусть K — 78 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун ручной 1-полиэдр в замкнутом 3-многообразии M, и пусть {Ci }iN — нуль-по следовательность попарно дизъюнктных клеточноподобных, но не клеточных компактов в M, такая что Ci K — одна точка для каждого i и (Ci K) i= плотно в K. Пространство разбиения M, состоящего из {Ci }iN и отдельных точек, даёт желаемый пример X.

4. Виртуальная теорема о петле Главная составляющая в доказательстве каждой из этих теорем есть либо теорема о петле классической топологии 3-многообразий [19], либо некоторое её расширение или вариант (хотя доказательство теоремы 3.4, по сравнению с тем, как оно представлено в [4], должно быть значительно изменено, чтобы подходить под этот шаблон). Намёк на значение расширений теоремы о петле и её роли в доказательстве гипотезы разрешения (или во всяком случае специаль ных случаев этой теоремы) имелся в диссертации Брина [3]. В дальнейшем Брин доказал некоторую форму теоремы о петле (мы её не приводим), беря в её усло виях некоторое компактное множество (вместо диска). То, что теорема о петле прямо вела к теореме 3.6 и её предположению об отсутствии кручения, вытекает из теоремы о петле Брина. Следующая теорема о петле (виртуальная теорема о петле) лежит в основе доказательства теоремы 3.9. Мы введём для начала один термин и некоторое обозначение. Для данного : S 1 Y (где Y связно) обозначим через [] объединение двух сопряжённых классов в 1 (Y ), которые представляет. Отображение g : B 2 X, где X есть обобщённое 3-многообразие, будет называться псевдовложением, если dim[g(B 2 ) S(X)] 0 и множество {x X | x g(B 2 ) и g 1 (x) не одноточечно} содержится в S(X) (так что, грубо говоря, g есть вложение «вне» S(X)).

Виртуальная теорема о петле 4.1. Допустим, что X есть обобщённое 3-многообразие с краем, R — связная поверхность в X, G — нормальная под группа в 1 (R) и f : (B 2, B 2 ) (X, R) — такое отображение, что [f |B 2 ] G.

Если S(X) имеет свойство общего положения в размерности 1 в X, то суще ствует псевдовложение g : (B 2, B 2 ) (X, R), для которого [g|B 2 ] G.

Замечания. Для удобства объяснений мы представили эту теорему в мень шей общности, чем она дана в [27]. Слегка изменённая виртуальная теорема о петле, имеющаяся в [25], давала бы то же утверждение, но с дополнительным условием, что dim S(X) 0.

Далее приводится очень краткий и сверхупрощённый набросок вывода тео ремы 3.9 (из виртуальной теоремы о петле), имеющий целью показать лишь ха рактер доказательства. Допустим, f : B 2 X — «нетривиальный» сингулярный диск «в общем положении» в X (т. е. dim[f (B 2 ) S(X)] = 0 и f не может быть -прогомотопировано от S(X)). Последовательно применяя виртуальную теоре му о петле, мы получим семейство {gi : B 2 X}n псевдовложений с попарно i= Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий дизъюнктными образами, такое что [f |B 2 ] принадлежит к нормальному замы канию объединения классов сопряжённости в 1 (U ), определённых {gi |B 2 }n, i= где U есть некоторая «малая» окрестность f (B 2 ) минус S(X). Теперь для каж дого i пусть Ni — регулярная окрестность gi (B 2 ) \ S(X) в M (X). Заметим, что Ni для каждого i гомеоморфно произведению открытого единичного интервала (0, 1) с B 2 \ Zi, где Zi есть некоторое компактное нульмерное подпространство 2. Прикрепим B 2 (0, 1) к X \ [gi (B 2 ) S(X)] с помощью этого гомео вB морфизма. Повторим эту процедуру для каждого i, чтобы получить некомпакт ное пространство, для которого f |B 2 гомотопно нулю в M (V ) = V \ S(V ).

Одноточечная компактификация V (обозначаемая X2 ) снова есть обобщённое 3-многообразие, сингулярное множество которого имеет свойство общего поло жения в размерности 1. Более того, если обозначить X = X1, найдётся легко определяемая «проекция» p1 : X2 X1, которая будет клеточной. Итерируя это построение (и используя подходящие нетривиальные сингулярные диски в об щем положении), мы получим обратную последовательность клеточноподобных отображений на обобщённые 3-многообразия:

p1 p2 p X 1 X2 X3....

Проекция из X = lim Xi в X1 есть клеточноподобное отображение, опре делённое на обобщённом 3-многообразии, и при этом любой сингулярный диск в X может быть аппроксимирован диском с образом в M (X ) (значит, S(X ) 1-LCC). По теореме 3.3 X есть 3-почти-многообразие, и доказательство закон чено.

Длинное (почти на 50 страниц) доказательство виртуальной теоремы о пет ле невозможно даже эскизно описать здесь сколько-нибудь адекватно, но мы укажем некоторые из главных идей (отметим, однако, что отличия между дока зательством виртуальной теоремы о петле, приведённой выше, и менее общей её версии в [25] имеют слишком технический характер, чтобы их здесь затра гивать) Напомним сначала доказательство классической теоремы о петле [19] (условия этой теоремы те же, что и в приведённой виртуальной теореме о петле, за исключением того, что объемлющее пространство X есть 3-многообразие, а заключение такое же, но требуется, чтобы g было вложением). Строится ком мутативная диаграмма (называемая «башней»).

X N1 N1 N2 N2 N3 · · · Nn1 Nn.

f1 f2 f3 fn B2 B2 B2 B...

Здесь f1 = f и N1 — регулярная окрестность f (B ). Ni есть регулярная окрест ность fi (B 2 ) в Ni1 для всех i, где Ni — связное двулистное накрытие Ni и fi — поднятие fi1 в Ni1. Можно показать, что «башня» должна «закон читься» (т. е. Nn не имеет связного двулистного накрытия), откуда выводится (через двойственность), что род Nn есть нуль. Тогда из fn (B 2 ) легко извле кается вложенная «подпетля», которая (будучи спроектирована в X) «избегает»

80 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун нормальную подгруппу G. Конечно, эта подпетля ограничивает диск в Nn.

Этот диск проектируется шаг за шагом к низу башни («вниз» значит влево по диаграмме). Однако если на данном уровне были введены самопересече ния, немедленно производятся разрезы Дена, чтобы восстановить инъективность (поскольку проекции двукратны, такие разрезы легко выполняются). Наконец, в нижней части башни (в X) мы получаем желаемое вложение.

В более общих условиях виртуальной теоремы о петле разрезы Дена ста новятся проблематичными (даже для отображений, самопересечения которых в M (X) являются простыми двойными линиями) и был придуман альтерна тивный подход. Мы сперва проиллюстрируем его использование в контексте классической теоремы о петле, но только чтобы вывести существование такого отображения g, что g|B 2 инъективно. Построим башню как раньше, но с та кими изменениями: отображения fi определены вместо B 2 на пространстве Z, полученном идентификацией двух точек x и y в B 2, для которых f (x) = f (y) (и f, ограниченное на одну из дуг B 2 \ {x, y}, инъективно). За отображение f принимается очевидный фактор f, определённый на Z. Каждое накрытие Ni есть «наибольшее» накрытие, куда поднимается f1 (т. е. 1 (Ni ) = (fi ) (1 (Z))).

Снова башня заканчивается, но теперь получается, поскольку (fn ) сюръектив но (благодаря двойственности), что род Nn не больше, чем 1. Обозначив через e : B 2 Z отображение отождествления, ограниченное на B 2, и приняв во внимание «гомологические» условия на fn e : B 2 Nn (где мы считаем, что Nn есть тор), можно вывести существование диска в Nn. Этот вновь по лученный диск проектируется вниз в X (без разрезов Дена). Это отображение либо удовлетворяет условиям теоремы о петле и имеет меньше граничных само пересечений, либо может быть использовано вместе с исходным отображением для получения такого отображения (через «разрезы и переклейки»). Итерация заканчивает доказательство.

Такой же поход используется, чтобы «устранить» сингулярности f |B 2 в до казательстве виртуальной теоремы о петле. Вместо регулярных окрестностей (которые, вообще говоря, не будут существовать), мы воспользуемся окрестно стями, которые являются регулярными по отношению к некоторой «большой»

компактной полиэдральной части f (B 2 ) \ S(X). Этим путём получается ком пактная плоская поверхность в M (X), продолжающаяся произвольно далеко к f (B 2 ) S(X). Эти отображения собираются вместе (с помощью комбинатор ного аргумента, использованного впервые в [6] и ставшего теперь основным приёмом в изучении некомпактных 3-многообразий) и дают желаемое (т. е.

отображение с меньшим числом граничных пересечений). Остаётся «превра тить» так полученный «деновский» сингулярный диск (т. е. диск без граничных самопересечений) в псевдовложение. Эта «десингуляризация» проводится с по мощью трансфинитной индукции. Она использует описанные идеи и даёт эк зотический вариант стандартной процедуры сжатия, используемой в изучении некомпактных 3-многообразий (и обычно применяемой для исчерпания таких 3-многообразий). Здесь эта «виртуальная процедура сжатия» применяется для исчерпания регулярной окрестности N для f (B 2 ) M (X) в M (X), чтобы в кон Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий це концов получить новое объемлющее 3-многообразие N, в котором граница деновского отображения (простая петля) гомотопна нулю и, значит, по классиче ской лемме Дена ограничивает вложенный диск. Ограничивая этот вложенный диск на N N, мы получаем в N вложенную компактную плоскую поверх ность, уходящую «произвольно далеко к бесконечности» в N (как «далеко», здесь определено окрестностью бесконечности в N, на которую виртуальная процедура сжатия была ограничена). Тот же комбинаторный аргумент, что и раньше, используется теперь, чтобы собрать вместе такие «плоские вложения»

для получения требуемого псевдовложения.

Даже наиболее общая из вышеприведённых теорем разрешения требует, что бы сингулярное множество обобщённого 3-многообразия было очень «малым», и её доказательство основывается на технике, идущей из изучения некомпактных 3-многообразий. Этот подход, возможно, исчерпал себя;

дальнейший прогресс может потребовать существенно новых идей.

Однако дальнейшее уточнение техники, использованной в доказательстве те оремы 3.9, может привести к более сильной теореме разрешения, если в качестве условия взять (вместо «S(X) имеет свойство общего положения в размерности в X») следующее свойство (в дальнейшем обозначаемое P ): любое отображение 2-диска в X может быть аппроксимировано таким, для которого прообраз S(X) при отображении нульмерен. Мы оставляем читателю проверку того, что P не более ограничительно, чем условие теоремы 3.9.

Мы выражаем признательность Р. Дж. Даверману за следующий пример, ко торый демонстрирует, что P в действительности менее ограничительно (в при мере строится обобщённое 3-многообразие X со свойством P, причём S(X) не имеет свойства общего положения в размерности, меньшей или равной 1, в X).

Пространство X есть пространство разбиения для клеточноподобного разбие ния S 3. Все его невырожденные элементы являются подмножествами подпро странства Z в S 3, которые строятся следующим образом. Обозначим канторово множество и компакт Уайтхеда через C и W соответственно. Пусть C W S будет вложением, полученным «разветвлением» определяющей последователь ности для стандартного вложения W в S 3. Выберем точку x W и вложим («ручным образом») цилиндр отображения двукратного сюръективного отобра жения f : C {x} L, где L — ручная дуга в S 3, дизъюнктная с C W. Тогда Z есть объединение C W с этим цилиндром отображения. Обозначим через F : Z L очевидную ретракцию, каждый невырожденный элемент разбиения есть F 1 (p) для некоторого p L (заметим, что для каждого p L F 1 (p) есть либо одноточечная компонента C W с прикреплённой к ней концом руч ной дугой, либо пара компонент, соединённых ручной дугой). Пусть теперь — простая петля в S 3 \ Z, которая обходит T (первое полноторие в определяющей последовательности для C W ). Пусть есть образ при фактор-отображении.

Ясно, что S(X) есть (гомеоморфный) образ L при фактор-отображении. Если бы нуль-гомотопия пересекала S(X) по нульмерному подпространству, то -под нятие дало бы существование нуль-гомотопии вне по крайней мере некоторых невырожденных элементов разбиения. Однако (геометрически) обходит их 82 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун всех. С другой стороны, так как любой сингулярный диск в S 3 может быть ап проксимирован диском, который пересекает Z по нульмерному подпространству, X имеет свойство P.

5. Заключение В следующей теореме разрешения, доказанной недавно Даверманом и Тикс туном [17], условием является не «размер» сингулярного множества, а скорее обилие полиэдральных подпространств. Эта теорема была навеяна характериза цией 3-многообразий среди разрешимых обобщённых 3-многообразий, найден ной в [14], и вместе с одной из теорем из [14] даёт характеризацию по модулю гипотезы Пуанкаре 3-многообразий среди обобщённых 3-многообразий.

Теорема 5.1 ([17]). Обобщённое 3-многообразие X имеет почти разрешение, если существует последовательность {fi : Ri X} отображений замкнутых i= поверхностей со следующими условиями:

k fi (Ri ) является полиэдром для всех k N;

1) i= 2) для данной пары точек p и q в X существует такое i N, что fi гомоло гически разделяет p и q.

Набросок доказательства. Строится обратная последовательность 1 2 X = X0 X1 X2...

обобщённых 3-многообразий и консервативных клеточноподобных отображений, такая что для каждого k все fi, для которых i k, -поднимаются в M (Xk ) (относительно 1 2... k ). Из этого свойства следует, что для каж дого i fi -поднимается в X (обратный предел), следовательно, как легко видеть, dim S(X ) = 0. Далее, обратный предел обобщённых 3-многообразий при клеточноподобных отображениях есть обобщённое 3-многообразие (и про екции будут клеточноподобны). Значит, X есть обобщённое 3-многообразие с нульмерным сингулярным множеством и, согласно [25], имеет почти-разреше ние. Композиция этого почти-разрешения и проекции из X в X тогда даёт требуемое почти-разрешение X.

Определение 5.2. Обобщённое 3-многообразие обладает свойством отно сительной симплициальной аппроксимации, если для данного компактного подполиэдра K в B 2 и отображения f : B 2 X, такого что f |K симплициаль но, f может быть аппроксимировано симплициальным отображением g : B 2 X так, что f |K = g|K. (Замечание: по теореме Никольсона [21] и классической теореме о симплициальной аппроксимации для отображений с полиэдральными областями определения и значений, все 3-многообразия имеют свойство относи тельной симплициальной аппроксимации.) Следствие 5.3. Любое обобщённое 3-многообразие, обладающее свойством относительной симплициальной аппроксимации, почти разрешимо.

Геометрическая топология обобщённых 3-многообразий Набросок доказательства. Почти прямо доказывается, что любое обобщён ное 3-многообразие со свойством относительной симплициальной аппроксима ции удовлетворяет условию предыдущей теоремы.

Теорема 5.4. Из гипотезы Пуанкаре следует, что обобщённое 3-многооб разие есть 3-многообразие, если и только если оно удовлетворяет свойству относительной симплициальной аппроксимации.

Доказательство. Скомбинируем следствие 5.3 с [15, теорема 3.1], отмечая, что свойство относительной симплициальной аппроксимации сильнее, чем свой ство сферической симплициальной аппроксимации.

Замечания. Отметим, что хотя, как предполагается, каждое обобщённое 3-многообразие разрешимо, свойство относительной симплициальной аппрокси мации, использованное выше для разрешимости (по модулю гипотезы Пуанка ре) a priori сильнее, чем свойство сферической симплициальной аппроксимации, требуемое для аппроксимируемости этого разрешения. Эта ситуация совершенно неудовлетворительна, поэтому неизбежно возникают следующие два вопроса.

Следует ли свойство относительной симплициальной аппроксимации из свой ства сферической симплициальной аппроксимации? Если положительного отве та нет, то можно ли показать, что обобщённые 3-многообразия со свойством сферической симплициальной аппроксимации почти разрешимы?

Эта работа была выполнена при поддержке Национальной группы по алге браическим и геометрическим структурам и их приложениям Национального совета по исследованиям Италии и частично поддержана Министерством об разования, университетов и науки Италии в рамках проекта «Геометрические свойства вещественных и комплексных многообразий» и программой Министер ства образования, науки и спорта Республики Словения № P1-0292-0101-04, грант BI-IT/03-05-009.

Литература [1] Bing R. H. A decomposition of E 3 into points and tame arcs such that the decomposition space is topologically different from E 3. — Ann. of Math. (2). — 1957. — Vol. 65. — P. 484—500.

[2] Brahm M. V. Approximating maps of 2-manifolds with zero-dimensional nondegeneracy sets // Topology Appl. — 1992. — Vol. 45. — P. 25—38.

[3] Brin M. G. Doctoral dissertation. — Univ. of Wisonsin, Madison, 1977.

[4] Brin M. G. Generalized 3-manifolds whose non-manifold set has neighborhoods bounded by tori // Trans. Amer. Math. Soc. — 1981. — Vol. 264. — P. 539—555.

[5] Brin M. G., McMillan D. R., Jr. Generalized three-manifolds with zero-dimensional non-manifold set // Pacific J. Math. — 1981. — Vol. 97. — P. 29—58.

[6] Brown E. M., Brown M. S., Feustel C. D. On properly embedding planes in 3-manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. — 1976. — Vol. 55. — P. 461—464.

84 А. Кавиччоли, Д. Реповш, Т. Тикстун [7] Bryant J., Ferry S., Mio W., Weinberger S. Topology of homology manifolds // Ann.

of Math. (2). — 1996. — Vol. 143. — P. 435—467.

[8] Bryant J. L., Lacher R. C. Resolving acyclic images of three-manifolds // Math. Proc.

Cambridge Philos. Soc. — 1980. — Vol. 88. — P. 311—319.

[9] Cannon J. W. The recognition problem: what is a topological manifold? // Bull. Amer.

Math. Soc. — 1978. — Vol. 84. — P. 832—866.

[10] Cavicchioli A. Imbeddings of polyhedra in 3-manifolds // Ann. Mat. Pura Appl. — 1992. — Vol. 162. — P. 157—177.

[11] Cavicchioli A., Hegenbarth F., Repov D. On the construction of 4k-dimensional s generalized manifolds // Proc. School ICTP «High-Dimensional Manifold Topology»

(Trieste, Italy, 21 May—8 June 2001). Vol. 2 / F. T. Farrell, W. Luck, eds. — 2003. — P. 103-124.

[12] Cavicchioli A., Hegenbarth F., Repov D. Topology of Cell-like Maps and Homology s Manifolds. — In preparation.

[13] Cavicchioli A., Repov D. Peripheral acyclicity and homology manifolds // Ann. Mat.

s Pura Appl. — 1997. — Vol. 172. — P. 5—24.

[14] Daverman R. J., Repov D. A new 3-dimensional shrinking theorem // Trans. Amer.

s Math. Soc. — 1989. — Vol. 315. — P. 219—230.

[15] Daverman R. J., Repov D. General position properties which characterize 3-mani s folds // Can. J. Math. — 1992. — Vol. 44. — P. 234—251.

[16] Daverman R. J., Row W. H. Cell-like 0-dimensional decompositions of S 3 are 4-manifold factors // Trans. Amer. Math. Soc. — 1979. — Vol. 254. — P. 217—236.

[17] Daverman R. J., Thickstun T. L. The 3-manifold recognition problem // Trans. Amer.

Math. Soc. — To appear.

[18] Edwards R. D. Approximating certain cell–like maps by homeomorphisms. — Manu script. — UCLA, Los Angeles, 1977.

[19] Hempel J. 3-Manifolds. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1986.

[20] Lambert H. W., Sher R. B. Pointlike 0-dimensional decompositions of S 3 // Pacific J.

Math. — 1968. — Vol. 24. — P. 511—518.

[21] Nicholson V. A. 1-FLG complexes are tame in 3-manifolds // General Topology Appl. — 1972. — Vol. 2. — P. 277—285.

[22] Quinn F. S. An obstruction to the resolution of homology manifolds // Michigan Math. J. — 1987. — Vol. 34. — P. 285—291.

[23] Repov D. Recognition problem for manifolds // Geometric and Algebraic Topology / s J. Krasinkiewicz, S. Spiez, H. Torunczyk, eds. — Warsaw: PWN, 1986. — P. 77—108. — (Banach Centre Publ.;

Vol. 18).

[24] Repov D., Lacher R. C. A disjoint disks property for 3-manifolds // Topology Appl. — s 1983. — Vol. 16. — P. 161—170.

[25] Thickstun T. L. An extension of the loop theorem and resolutions of generalized 3-manifolds with 0-dimensional singular set // Invent. Math. — 1984. — Vol. 78. — P. 161—222.

[26] Thickstun T. L. Strongly acyclic maps and homology 3-manifolds with 0-dimensional singular set // Proc. London Math. Soc. (3). — 1987. — Vol. 55. — P. 378—432.

[27] Thickstun T. L. Resolutions of generalized 3-manifolds whose singular sets have general position dimension one // Topology Appl. — 2004. — Vol. 138. — P. 61—95.



 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.