авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Размерностные многочлены промежуточных

дифференциальных полей и жёсткость системы

дифференциальных уравнений с действием группы

А. Б. ЛЕВИН

Американский католический университет,

Вашингтон, США

e-mail: Levin@cua.edu УДК 512.628 Ключевые слова: дифференциальное поле, дифференциальный модуль, дифферен циальный размерностный многочлен, жёсткость системы дифференциальных уравне ний, модуль кэлеровых дифференциалов.

Аннотация Пусть K — дифференциальное поле характеристики нуль с множеством диффе ренцирований = {1,..., m }, и пусть обозначает свободную коммутативную k km полугруппу элементов вида = 1 1... m, где ki N (1 i m). Назовём по m рядком каждого такого элемента число ord = ki и для любого r N положим i= (r) = { | ord r}. Пусть L = K 1,..., s — дифференциальное расши рение поля K, порождённое конечным множеством = {1,..., s }, и пусть F — промежуточное дифференциальное поле расширения L/K. Для любого r N пусть s Lr = K и Fr = Lr F.

(r)i i= Мы докажем существование и опишем некоторые свойства многочлена K,F, (t) Q[t], такого что K,F, (r) = trdegK Fr для всех достаточно больших r N. Этот результат влечёт существование размерностного многочлена, описыва ющего жёсткость (в смысле А. Эйнштейна) системы дифференциальных уравнений с действием группы. Мы представляем также более общий результат, теорему о диф ференциальном размерностном многочлене от многих неизвестных, ассоциированном с промежуточным полем F и разбиением множества дифференцирований.

Abstract A. B. Levin, Dimension polynomials of intermediate differential fields and the strength of a system of differential equations with group action, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 14 (2008), no. 4, pp. 167—180.

Let K be a differential field of zero characteristic with a basic set of derivations = {1,..., m } and let denote the free commutative semigroup of all elements of k km the form = 1 1... m where ki N (1 i m). Let the order of such an element m be defined as ord = ki, and for any r N, let (r) = { | ord r}.

i= Let L = K 1,..., s be a differential field extension of K generated by a finite set = {1,..., s } and let F be an intermediate differential field of the extension L/K.

Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, № 4, с. 167—180.

c 2008 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

168 А. Б. Левин s Furthermore, for any r N, let Lr = K and Fr = Lr F. We prove (r)i i= the existence and describe some properties of a polynomial K,F, (t) Q[t] such that K,F, (r) = trdegK Fr for all sufficiently large r N. This result implies the existence of a dimension polynomial that describes the strength of a system of differential equations with group action in the sense of A. Einstein. We shall also present a more general result, a theorem on a multivariate dimension polynomial associated with an intermediate differential field F and partitions of the basic set.

1. Введение Эта статья посвящается памяти Евгения Васильевича Панкратьева, который внёс неоценимый вклад в теорию базисов Грёбнера над кольцами обобщённых полиномов, теорию дифференциальных и разностных размерностных многочле нов и во многие другие ветви дифференциальной и разностной алгебры. Ему принадлежат также превосходные обзоры этих теорий, представленные в его книгах [4, 6, 10] и статьях [2, 3, 5, 13, 14]. В 1980 г. Е. В. Панкратьев открыл поразительную взаимосвязь между размерностными многочленами Е. Колчина и введённым А. Эйнштейном понятием жёсткости системы алгебраических диф ференциальных уравнений (см. [2]). Е. В. Панкратьев показал, что жёсткость такой системы в смысле А. Эйнштейна может быть выражена определённым дифференциальным размерностным многочленом, ассоциированным с этой си стемой. Далее мы подробно опишем эту связь и докажем существование раз мерностного многочлена, выражающего жёсткость системы дифференциальных уравнений с заданным действием группы.

Всюду далее Z, N и Q обозначают соответственно множества целых, неотри цательных целых и рациональных чисел. Под кольцом мы понимаем ассоци ативное кольцо с единицей. Каждый гомоморфизм колец единицу переводит в единицу, каждое подкольцо кольца содержит его единицу. Если иного не оговорено, под модулем над кольцом A понимается левый A-модуль. Каждый модуль над кольцом унитарен, и каждая алгебра над коммутативным кольцом также унитарна.

2. Основные факты и определения Под дифференциальным кольцом будем понимать коммутативное кольцо R, на котором определены попарно коммутирующие дифференцирования из конеч ного множества. Это множество будем называть базисным для дифферен циального кольца R, а кольцо R будем также называть -кольцом. (В дальней шем мы часто будем заменять прилагательное «дифференциальный» префик сом «-».) Подкольцо (или идеал) R0 -кольца R будем называть дифференци альным подкольцом или -подкольцом кольца R (соответственно дифференци альным идеалом или -идеалом R), если R0 замкнуто относительно действия Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей любого оператора. Если дифференциальное кольцо (-кольцо) является полем, оно называется дифференциальным полем или -полем.

Если R — дифференциальное кольцо с базисным множеством = = {1,..., m }, то (или, если базисное множество фиксировано) будет обозначать свободную коммутативную полугруппу с единицей, порождённую элементами 1,..., m. Элементы будем записывать в мультипликативной фор ме 1 1... m (k1,..., km N) и интерпретировать как отображения кольца R k km в себя.

Пусть R — дифференциальное кольцо с базисным множеством и S R.

Пересечение всех -идеалов кольца R, содержащих множество S, будем обо значать [S]. Очевидно, [S] является наименьшим -идеалом кольца R, содержа щим S;

как идеал он порождён множеством S = {(a) |, a S}. Если J = [S], будем говорить, что -идеал J порождён множеством S, которое будем называть множеством дифференциальных образующих или -образующих J.

Если S конечно, S = {a1,..., ak }, будем писать J = [a1,..., ak ] и говорить, что J — конечно порождённый -идеал R. (В этом случае элементы a1,..., ak будем называть -образующими J.) Пусть R — дифференциальное кольцо с базисным множеством, R0 — подкольцо R и B R. Пересечение всех -подколец R, содержащих R0 и B, будем называть -подкольцом R, порождённым над R0 множеством B, бу дем обозначать его R0 {B}. (Как кольцо R0 {B} совпадает с кольцом R0 [{(b) | b B, }], полученным присоединением множества {(b) | b B, } к кольцу R0.) Множество B будем называть множеством -образующих -кольца R0 {B} над R0. Если это множество конечно, B = {b1,..., bk }, бу дем говорить, что R = R0 {B} является конечно порождённым дифференциаль ным расширением (или -расширением) кольца (или надкольцом) R0, и писать R = R0 {b1,..., bk }.

Если R — -поле, R0 — -подполе R и B R, то пересечение всех -подпо лей R, содержащих R0 и B, будем обозначать через R0 B (или R0 b1,..., bk, если B = {b1,..., bk } является конечным множеством). Оно является наимень шим -подполем R, содержащим R0 и B;

это -подполе совпадает с полем R0 ({(b) | b B, }). Множество B будем называть множеством -обра зующих -поля R0 B над R0.

Пусть R и S — два дифференциальных кольца с одним базисным множе ством дифференцирований = {1,..., m }, причём элементы действуют на каждом кольце как попарно коммутирующие дифференцирования. (Более стро го, мы предполагаем, что существуют инъективные отображения множества в оба базисных множества колец R и S. Для удобства мы будем обозначать образы элементов при этом отображении теми же символами 1,..., m.) Гомоморфизм колец : R S будем называть дифференциальным гомомор физмом или -гомоморфизмом, если (a) = (a) для всех, a R.

Понятия -эпиморфизма, -мономорфизма, -автоморфизма и т. д. опреде ляются естественным образом (как соответствующие кольцевые гомоморфизмы, которые являются -гомоморфизмами).

170 А. Б. Левин Пусть K — дифференциальное поле характеристики нуль с базисным множе ством = {1,..., m }, и пусть — свободная коммутативная полугруппа всех элементов вида = 1 1... m (ki N для i = 1,..., m). Мы определим порядок k km m ki и положим (r) = { | ord r} для каждого элемента как ord = r N. i= Пусть L = K 1,..., s — дифференциальное расширение поля K, поро ждённое конечным множеством = {1,..., s }. Следующее утверждение — классическая теорема Колчина о дифференциальном размерностном многочлене, впервые появившаяся в [9].

Теорема 2.1. В сделанных выше предположениях существует многочлен |K (t) Q[t], такой что 1) |K (r) = trdegK K({j | (r), 1 n}) для всех достаточно j больших r Z;

m ai t+i, m и |K (t) может быть записан в виде |K (t) = 2) deg |K i где a0,..., am Z;

i= 3) d = deg |K, am и ad не зависят от выбора системы -образующих расширения L/K (очевидно, что ad = am в том и только том случае, когда d m, т. е. am = 0). Более того, am равно дифференциальной степени трансцендентности L над K (обозначаемой как -trdegK L), т. е.

максимальному числу таких элементов 1,..., k L, что множество {i |, 1 i k} является алгебраически независимым над K.

Многочлен |K (t) называется дифференциальным размерностным мно гочленом -расширения поля L/K, ассоциированным с множеством -обра зующих = {1,..., s }. Методы и примеры вычисления дифференциальных размерностных многочленов можно найти в [1;

2;

4;

6;

10, гл. 5 и 9;

12].

Пусть Y = {y1,..., ys } — набор символов. Рассмотрим кольцо многочленов R = K[{yj |, 1 j s}] от счётного числа переменных yj. Это кольцо является дифференциальным расширением K, если положить (yj ) = ()yj.

Кольцо R называется кольцом дифференциальных многочленов над K;

оно обозначается как K{y1,..., ys }.

Систему алгебраических дифференциальных уравнений над K определим как систему уравнений вида fi (y1,..., ys ) = 0 (i I), где {fi }iI R;

под решением системы будем понимать s-вектор (a1,..., as ) с координатами из некоторого дифференциального расширения поля K, кото рый аннулирует все fi. Другими словами, fi (y1,..., ys ) становится нулём, если заменить каждое значение yj в fi на aj (, 1 j s).

Пусть P — дифференциальный идеал, порождённый множеством {fi | i I} в R. Если этот идеал является простым, можно рассмотреть соответствующее поле частных Q(R/P) = K 1,..., s, где j является образом yj в R/P (1 s). Соответствующий многочлен |K (t), существование которого j Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей установлено в теореме 2.1, называется дифференциальным размерностным многочленом данной системы дифференциальных уравнений.

Понятие дифференциального размерностного многочлена, как было показано в [2], может рассматриваться как алгебраическая версия введённого А. Эйн штейном понятия жёсткости системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей физическое поле. В [7] А. Эйнштейн определяет жёсткость следующим образом: «... систему уравнений следует выбрать так, чтобы полевые величины определялись этой системой как можно более жёстким образом. Чтобы применять этот принцип, нам нужен механизм, который позво лял бы дать меру жёсткости системы уравнений. Поступим следующим образом:

разложим переменные вблизи точки P в ряд Тейлора (предполагается аналити ческий характер поля). Коэффициенты разложения, которые представляют со бой не что иное, как производные элементов поля в точке P, распадаются на группы соответственно порядку дифференцирования. В каждом порядке диф ференцирования мы на первых порах получаем набор коэффициентов, которые можно было бы выбрать произвольно, если бы поле не должно было удовле творять системе уравнений. Благодаря наличию системы дифференциальных уравнений (и уравнений, полученных из них путём дифференцирования по ко ординатам) число независимых коэффициентов уменьшается, так что в каждой группе уже меньшее число коэффициентов может быть выбрано произвольно.

Количество «свободных» коэффициентов в каждой группе непосредственно даёт меру «слабости» системы уравнений и, таким образом, определяет и «жёсткость»

системы».

В следующем разделе мы докажем существование многочлена, который опи сывает более общее понятие, рассматриваемое А. Эйнштейном: жёсткость систе мы дифференциальных уравнений, решения которой должны быть инвариантны относительно действия некоторой группы G.

3. Размерностный многочлен промежуточного дифференциального поля Следующий результат, который является существенным обобщением теоре мы 2.1, устанавливает существование размерностного многочлена, ассоцииро ванного с подрасширением конечно порождённого расширения дифференциаль ного поля.

Теорема 3.1. Пусть K — дифференциальное поле характеристики нуль с ба зисным множеством дифференцирований = {1,..., m }, и пусть L = = K 1,..., s — дифференциальное расширение поля K, порождённое конеч ным множеством = {1,..., s }. Пусть F — промежуточное дифференциальное поле расширения L/K и для любого r N положим Fr = F K({j | (r), 1 j s}).

172 А. Б. Левин Тогда существует многочлен K,F, (t) Q[t], такой что 1) K,F, (r) = trdegK Fr для всех достаточно больших r Z;

m bi t+i, 2) deg K,F, m и K,F, (t) может быть записан как K,F, (t) = i где b0,..., bm Z;

i= 3) d = deg K,F, (t), bm и bd не зависят от множества дифференциальных образующих расширения L/K. Более того, bm = -trdegK F.

Доказательство этой теоремы основано на некоторых свойствах дифферен циальных модулей, которые будут изложены ниже.

Как и прежде, пусть K — дифференциальное поле с тем же базисным мно жеством дифференцирований = {1,..., m }, и пусть — свободная ком мутативная группа, определённая ранее. Пусть D обозначает множество всех a, где a K (такая сумма называется дифференци конечных сумм вида альным оператором или -оператором над K;

два -оператора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты совпадают).

Множество D может рассматриваться как кольцо относительно его есте ственной структуры левого K-модуля и соотношений a = a + (a) (, a K), распространяемых по дистрибутивности. Это кольцо называется коль цом дифференциальных операторов или кольцом -операторов над K.

Под дифференциальным модулем над K (также называемым -K-модулем) будем понимать левый D-модуль M, т. е. векторное K-пространство, на котором элементы действуют как аддитивные попарно коммутирующие операторы так, что (ax) = a(x) + (a)x для всех, x M, a K.

Будем говорить, что M является конечно порождённым -K-модулем, если M конечно порождён как левый D-модуль.

Под фильтрацией -K-модуля M мы понимаем исчерпывающую отделимую фильтрацию M как D-модуля, т. е. возрастающую цепочку (Mr )rZ векторных K-подпространств M, таких что Dr Ms Mr+s для всех r, s Z, Mr = 0 для всех достаточно малых r Z и Mr = M. Такая фильтрация называется rZ отличной, если каждый Mr (r Z) конечно порождён над K и существует такое r0 Z, что Mr = Drr0 Mr0 для любого r r0.

Доказательство двух следующих результатов можно найти в [10, гл. 5].

Теорема 3.2 [10, теорема 5.1.11]. В сделанных выше предположениях пусть M является -K-модулем, снабжённым отличной фильтрацией (Mr )rZ. Тогда существует многочлен (t) Q[t], такой что 1) (r) = dimK Mr для всех достаточно больших r Z;

m ai t+i, где m и (t) может быть записан в виде (t) = 2) deg i a0,..., am Z;

i= 3) числа d = deg, am и ad не зависят от выбора отличной фильтрации M.

Более того, коэффициент am равен дифференциальной размерности моду ля M над K (обозначаемой -dimK M ), т. е. максимальному числу таких элементов x1,..., xk M, что семейство {xi |, 1 i k} является линейно независимым над K.

Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей Теорема 3.3 [10, утверждение 5.1.15]. Пусть µ : N M — инъективный гомоморфизм фильтрованных -K-модулей M и N, снабжённых фильтрациями (Mr )rZ и (Nr )rZ соответственно (т. е. µ является гомоморфизмом D-модулей и µ(Nr ) Mr для всех r Z). Если фильтрация M отличная, то фильтрация модуля N также является отличной.

Доказательство теоремы 3.1. Пусть L = K 1,..., s, и пусть L|K — модуль кэлеровых дифференциалов. Тогда L|K может рассматриваться как -L-модуль, на котором элементы из действуют так, что (d) = d() для всех, L (подробнее см. [8]).

Пусть M = L|K, и для всех r N пусть Mr обозначает векторное L-про s странство, порождённое всеми элементами d, такими что K (r)i.

i= Легко проверить, что (Mr )rZ (Mr = 0, если r 0) является отличной филь трацией -L-модуля M.

Пусть F — некоторое промежуточное дифференциальное поле L/K, и для любого r N пусть Fr = F K({j | (r), 1 j s}).

Пусть DL обозначает кольцо -операторов над L и N — DL -подмодуль M, по рождённый всеми элементами вида d, где F. Для любого r N пусть Nr — векторное L-пространство, порождённое всеми элементами d, для кото рых Fr, и пусть Nr = 0, если r 0. Тогда (Nr )rZ является фильтрацией -L-модуля N и вложение N M становится гомоморфизмом фильтрованных -L-модулей. Так как фильтрация (Mr )rZ отличная, мы можем применить тео рему 3.3 и получить, что фильтрация (Nr )rZ также является отличной. Следо вательно, существует такой полином K,F, (t) Q[t], что K,F, (r) = dimK Nr для всех достаточно больших r Z.

Так как семейство (i )iI элементов Fr (r Z) является алгебраически независимым над K в том и только том случае, когда семейство (di )iI является линейно независимым над L, dimK Nr = trdegK Fr для всех достаточно больших r N. Применив теорему 3.2, мы получим результат теоремы 3.1.

Заметим, что если F = L, то теорема 3.1 представляет собой теорему Кол чина 2.1. Далее, теорема 3.1 показывает, что жёсткость в смысле А. Эйнштей на системы алгебраических дифференциальных уравнений, решения которой должны быть инвариантны относительно действия некоторой группы G, комму тирующего с базисными дифференцированиями i, выражается полиномиальной функцией. (Мы подразумеваем, что i G = Gi для i = 1,..., m и предполагаем, что g(a) = a для всех g G, a K.) В этом случае жёсткость системы описы вается размерностным многочленом вида K,F, (t) (мы используем обозначения теоремы 3.1 и интерпретацию жёсткости, обсуждавшуюся перед теоремой 2.1), где F — неподвижное поле группы G (очевидно, это поле является дифферен циальным).

174 А. Б. Левин Легко убедиться, что если группа G не коммутирует с элементами, то неподвижное поле E этой группы не обязано быть дифференциальным подпо лем дифференциального поля L. В этом случае возможно, что не существу ет многочлена, значения которого для достаточно больших r Z совпадают с trdegK (E K({j | (r), 1 s}) (мы используем обозначе j ния теоремы 3.1). В самом деле, пусть K — обыкновенное дифференциальное поле с одним базисным дифференцированием, L = K y — дифференци альное поле рациональных дробей от одной дифференциальной переменной y над K, и пусть E = K( 2 y,..., 2k y,...). Тогда = { i | i N}, (r) = = {1,,..., r } и trdegK (E K({y | (r)}) = [ 2 ], где [ 2 ] — целая часть r r r числа 2, которая не является полиномом от r. В этом случае функция (r) = = trdegK (E K({y | (r)}) хотя бы близка к многочлену 1 r, но если мы k рассмотрим промежуточное поле K( 2 y, 4 y,..., 2 y,...), то соответствующая функция имеет вид (r) = [log2 r], весьма далёкий от многочлена.

В то же время мы можем сформулировать следующее утверждение, которое является очевидным следствием теоремы 3.1.

Следствие 3.4. Пусть K — дифференциальное поле нулевой характеристи ки с базисным множеством дифференцирований = {1,..., m }. Пусть L = = K 1,..., s — дифференциальное расширение поля K, порождённое конеч ным множеством = {1,..., s }, F — промежуточное -поле расширения L/K и E — конечное расширение поля F, содержащееся в L (E не обязательно явля ется дифференциальным полем). Пусть Er = E K({j | (r), 1 j s}) для каждого r N. Тогда существует многочлен K,E, (t) Q[t], такой что 1) K,E, (r) = trdegK Er для всех достаточно больших r Z;

m bi t+i, 2) deg K,E, m и K,E, (t) может быть записан как K,E, (t) = i где b0,..., bm Z;

i= 3) d = deg K,E, (t), bm и bd не зависят от множества дифференциальных образующих расширения L/K. Более того, bm = -trdegK F.

4. Дифференциальный размерностный многочлен от нескольких переменных, ассоциированный с промежуточным дифференциальным полем Следующие рассуждения ведут к существенному обобщению теоремы 3.1.

Рассматривая промежуточное дифференциальное поле F конечно порождённого расширения L/K, мы докажем существование размерностного многочлена от нескольких переменных, ассоциированного с расширением F/K и с разбиением базисного множества дифференцирований.

Пусть K — дифференциальное поле нулевой характеристики, и пусть базис ное множество его дифференцирований представлено в виде объединения 1): = 1... p, где p непересекающихся конечных множеств (p Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей i = {i1,..., imi } (mi N для i = 1,..., p и m1 +... + mp = m, где m = Card ). Всюду далее мы будем предполагать, что такое разбиение ба зисного множества зафиксировано.

Для любого kpm k1m k = 11... 1m11 21... pmpp k мы определим порядок элемента относительно i следующим образом:

mi ordi = kij, i = 1,..., p.

j= Для любого r1,..., rp N положим (r1,..., rp ) = { | ordi ri для i = 1,..., p}.

Следующая теорема о дифференциальном размерностном полиноме от нескольких переменных доказана в [11].

Теорема 4.1. Пусть K — дифференциальное поле, базисное множество диф ференцирований которого разбито на p различных конечных множеств 1): = 1... p, где i = {i1,..., imi } (i = 1,..., p). Пусть (p L = K 1,..., s — -расширение поля K, порождённое конечным множеством = {1,..., s }. Тогда существует многочлен (t1,..., tp ) от p переменных t1,..., tp с рациональными коэффициентами, такой что s для всех достаточно боль 1) (r1,..., rp ) = trdegK K (r1,..., rp )j j= ших (r1,..., rp ) Np (т. е. существуют такие s1,..., sp N, что последнее равенство выполняется для всех элементов (r1,..., rp ) Np с r1 s1,..., rp sp );

mi (1 i p), причём deg m и многочлен (t1,..., tp ) 2) degti может быть представлен в виде mp m t1 + i1 tp + ip (t1,..., tp ) =... ai1...ip..., i1 ip i1 =0 ip = где ai1...ip Z для всех i1,..., ip.

Многочлен (t1,..., tp ) называется (1,..., p )-размерностным много членом расширения L/K, ассоциированным c множеством дифференциальных образующих. (Мы также будем говорить, что является дифференциальным размерностным многочленом расширения L/K, ассоциированным с заданным разбиением базисного множества и множеством дифференциальных образу ющих.) Легко убедиться, что если мы рассмотрим конечно порождённое диффе ренциальное расширение поля, ассоциированное с системой алгебраических дифференциальных уравнений, то соответствующий (1,..., p )-размерност ный полином представляет «обобщённую» жёсткость системы алгебраических 176 А. Б. Левин дифференциальных уравнений, которая определяется тем же способом, кото рым Эйнштейн определял понятие жёсткости, но с ограничениями на порядки частных производных относительно каждой группы базисных дифференцирова ний.

Следующая теорема 4.2 показывает, что если p 1, то (1,..., p )-размер ностный полином содержит больше инвариантов расширения дифференциально го поля, чем многочлен от одной переменной, описываемый в теореме Колчина.

Для любой перестановки (j1,..., jp ) множества {1,..., p} определим лекси кографический порядок j1,...,jp на Np следующим образом: (r1,..., rp ) j1,...,jp j1,...,jp (s1,..., sp ) тогда и только тогда, когда rj1 sj1 или существует k N, 1 k p 1, такое что rj = sj для = 1,..., k и rjk+1 sjk+1.

Всюду далее, если Np, будет обозначать множество {e | e — максимальный элемент множества относительно одного из p! лексикографических порядков j1,...,jp }.

Например, если = {(3, 0, 2), (2, 1, 1), (0, 1, 4), (1, 0, 3), (1, 1, 6), (3, 1, 0), (1, 2, 0)} N3, то = {(3, 0, 2), (3, 1, 0), (1, 1, 6), (1, 2, 0)}.

Теорема 4.2 [11, теорема 4.8]. Пусть K и L те же, что и в теореме 4.1, и пусть mp m t1 + i1 tp + ip — (t1,..., tp ) =... ai1...ip...

i1 ip i =0 i = 1 p соответствующий размерностный многочлен. Пусть E = {(i1,..., ip ) Np | 0 mk для k = 1,..., p и ai1...ip = 0}.

ik Тогда степень d полинома, коэффициент am1...mp, элементы (j1,..., jp ) E, соответствующие коэффициенты aj1...jp и коэффициенты при мономах полной степени d не зависят от выбора системы дифференциальных образующих рас ширения L/K. Коэффициент am1,...,mp равен дифференциальной степени транс цендентности поля L над K.

Последняя часть статьи посвящена доказательству следующего утвержде ния о размерностном многочлене от нескольких переменных промежуточного дифференциального поля, которое обобщает теоремы 3.1 и 4.1.

Теорема 4.3. В предположениях и обозначениях теоремы 4.1 пусть F — промежуточное дифференциальное поле расширения L = K 1,..., s и s Fr1,...,rp = F K для всех r1,..., rp N. Тогда существует (r1,..., rp )j i= многочлен (t1,..., tp ) Q[t1,..., tp ], такой что 1) (r1,..., rp ) = trdegK Fr1,...,rp для всех достаточно больших элементов (r1,..., rp ) Np ;

Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей p), следовательно, deg mи 2) degti mi (1 i mp m t1 + i1 tp + ip =... ai1...ip..., i1 ip i1 =0 ip = где ai1...ip Z для всех i1,..., ip ;

3) если A = {(i1,..., ip ) Np | 0 mk для k = 1,..., p и ai1...ip = 0}, ik то d = deg, коэффициент am1...mp, элементы (j1,..., jp ) A, соот ветствующие коэффициенты aj1...jp и коэффициенты при мономах полной степени d не зависят от выбора системы дифференциальных образующих в L/K. Коэффициент am1,...,mp равен дифференциальной степени транс цендентности F над K.

Для доказательства теоремы 4.3 рассмотрим кольцо D дифференциальных операторов над дифференциальным полем L = K 1,..., s как кольцо с p-мер ной фильтрацией {Dr1...rp | (r1,..., rp ) Zp }, где Dr1...rp — векторное L-под пространство D, порождённое (r1,..., rp ), если ri 0 для i = 1,..., p, и Dr1...rp = 0, если (r1,..., rp ) Zp \ Np.

Если M — дифференциальный L-модуль (т. е. левый D-модуль), то семейство {Mr1...rp | (r1,..., rp ) Zp } векторных L-подпространств M будем называть p-мерной фильтрацией M, если 1) Mr1...ri...rp Mr1...ri1,ri +1,ri+1...rp для любых целых r1,..., rp (1 i p);

2) существуют такие r1,..., rp Z, что Mr1...rp = 0, если неравенство ri ri выполняется хотя бы для одного i = 1,..., p;

3) {Mr1...rp | (r1,..., rp ) Zp } = M ;

4) Dr1...rp Ms1...sp Mr1 +s1,...,rp +sp для любых (r1,..., rp ), (s1,..., sp ) Zp.

Если каждое векторное L-пространство Mr1...rp является конечно поро ждённым и существуют такие (h1,..., hp ) Zp, что Dr1...rp Mh1...hp = = Mr1 +h1,...,rp +hp для каждой p-мерной точки (r1,..., rp ) Np, то p-мер s Dui, то фильтрация ная фильтрация называется отличной. (Если M = s i= Dr1...rp ui | (r1,..., rp ) Z p является отличной фильтрацией модуля M.) i= Следующая теорема о размерностном многочлене от нескольких перемен ных конечно порождённого дифференциального модуля над дифференциальным полем доказана в [11] (см. [11, теорема 4.2]). Доказательство основано на ис пользовании техники базисов Грёбнера относительно нескольких упорядочений термов, которая также даёт и алгоритм для вычисления размерностного поли нома от нескольких переменных.

Теорема 4.4. Предположим, что {Mr1...rp | (r1,..., rp ) Zp } — отлич ная p-мерная фильтрация левого D-модуля M. Тогда существует многочлен (t1,..., tp ) Q[t1,..., tp ], такой что 1) (r1,..., rp ) = dimL Mr1...rp для всех достаточно больших элементов (r1,..., rp ) Zp ;

178 А. Б. Левин p), причём deg m и многочлен (t1,..., tp ) 2) degti mi (1 i может быть представлен как mp m t1 + i1 tp + ip (t1,..., tp ) =... ai1...ip..., i1 ip i1 =0 ip = где ai1...ip Z для всех i1,..., ip ;

3) если A = {(i1,..., ip ) Np | 0 ik mk для k = 1,..., p и ai1...ip = 0}, то d = deg, am1...mp, элементы (j1,..., jp ) A, соответствующие коэффи циенты aj1...jp и коэффициенты при мономах полной степени d не зависят от отличной фильтрации. Более того, am1,...,mp равен максимальному чис лу линейно независимых над D элементов модуля M.

Многочлен (t1,..., tp ), существование которого устанавливается теоре мой 4.4, называется (1,..., p )-размерностным полиномом -K-модуля M, ассоциированным с заданной отличной p-мерной фильтрацией.

Следующая теорема является аналогом теоремы 3.3 для размерностного мно гочлена, ассоциированного с многомерной фильтрацией. Доказательство этого утверждения получается по той же схеме, что и доказательство предложе ния 5.1.15 в [10].

Теорема 4.5. Пусть µ : N M — инъективный гомоморфизм дифференци альных L-модулей N и M с p-мерными фильтрациями {Nr1...rp | (r1,..., rp ) Zp } и {Mr1...rp | (r1,..., rp ) Zp } соответственно, такой что µ(Nr1...rp ) Mr1...rp для каждого (r1,..., rp ) Zp. Если фильтрация модуля M является отличной, то и фильтрация модуля N также является отличной.

Завершение доказательства теоремы 4.3. Пусть L|K — модуль кэлеро вых дифференциалов, ассоциированный с расширением -полей L = = K 1,..., s. Как мы уже видели, он может рассматриваться как -L-модуль (т. е. левый модуль над кольцом -операторов D над L), где (d) = d() для s всех, L. Ясно, что L|K = Ddi.

i= Пусть (L|K )r1...rp (r1,..., rp N) — векторное L-подпространство L|K, по рождённое всеми элементами d с K({j | (r1,..., rp ), 1 j s}), и пусть (L|K )r1...rp = 0, если хотя бы одно ri отрицательно. Тогда легко убе диться, что {(L|K )r1...rp | (r1,..., rp ) Zp } — отличная p-мерная фильтрация s L|K. (Кроме того, trdegK K = dimL (L|K )r1...rp для всех (r1,..., rp )j j= (r1,..., rp ) Zp, поэтому (1,..., p )-размерностный многочлен -L-модуля L|K, ассоциированный с фильтрацией {(L|K )r1...rp | (r1,..., rp ) Zp }, совпа дает с (1,..., p )-размерностным полиномом расширения L/K, ассоциирован ным с множеством дифференциальных образующих.) Как и в доказательстве теоремы 3.1, пусть M = L|K и N — D-подмодуль M, порождённый всеми элементами вида d, где F. Для всех r1,..., rp N пусть Nr1...rp — векторное L-пространство, порождённое всеми элементами Размерностные многочлены промежуточных дифференциальных полей d, где Fr1...rp, и пусть Nr1...rp = 0, если ri 0 для хотя бы одно го i = 1,..., p. Тогда {Nr1...rp | r1... rp Z} — фильтрация -L-модуля N, и вложение N M становится гомоморфизмом -L-модулей, согласованным с p-мерными фильтрациями M и N. Так как фильтрация {Mr1...rp | r1... rp Z} является отличной, мы можем применить теорему 4.5 и получить, что фильтра ция {Nr1...rp | r1,..., rp Z} также является отличной. Следовательно, суще ствует такой многочлен (t1... tp ) Q[t1... tp ], что (r) = dimK Nr1...rp для всех достаточно больших r1,..., rp Z.

Так как семейство (i )iI элементов поля Fr1...rp (r1,..., rp Z) алгебраи чески независимо над K в том и только том случае, если семейство (di )iI ли нейно независимо над L, dimK Nr1...rp = trdegK Fr1...rp для всех r1,..., rp N.

Применив теорему 4.4, мы получим результат теоремы 4.3.

В качестве следствия теоремы 4.3 мы можем сформулировать аналог след ствия 3.4 (заменяя промежуточное дифференциальное поле F в теореме 4.3 на промежуточное поле E расширения L/K, которое является конечным расшире нием промежуточного дифференциального поля F этого расширения). Кроме того, результат теоремы 4.3 позволяет дать алгебраическое описание жёст кости (в смысле А. Эйнштейна) системы алгебраических дифференциальных уравнений с действием группы G, коммутирующей с основными дифференциро ваниями. Как и в замечании после теоремы 4.1, «обобщённая» жёсткость такой системы (связанная с ограничениями на порядки производных по каждой группе основных дифференцирований) выражается соответствующим (1,... p )-раз мерностным многочленом, описанным в теореме 4.3 (где F обозначает непо движное поле группы G).

Литература [1] Кондратьева М. В., Панкратьев Е. В. Алгоритмы вычисления характеристических многочленов Гильберта // Пакеты прикладных программ. Аналитические преобра зования. — М.: Наука, 1988. — С. 129—146.

[2] Михалёв А. В., Панкратьев Е. В. Дифференциальный размерностный многочлен системы дифференциальных уравнений // Алгебра. Сб. статей. — М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1980. — С. 57—67.

[3] Михалёв А. В., Панкратьев Е. В. Дифференциальная и разностная алгебра // Ито ги науки и техн. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. Вып. 25. — М.: ВИНИТИ, 1987. — С. 67—139.

[4] Михалёв А. В., Панкратьев Е. В. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифферен циальной и разностной алгебре // М.: Моск. гос. ун-т, 1989.

[5] Панкратьев Е. В. Стандартные базисы в дифференциальной алгебре // Вестн. Моск.

ун-та. Сер. 1, Математика, механика. — 2003. — № 3. — С. 48—56.

[6] Панкратьев Е. В. Элементы компьютерной алгебры. — М.: Интернет-университет информационных технологий, 2007.

[7] Einstein A. The Meaning of Relativity. Appendix II (Generalization of gravitation the ory). — Princeton, 1953. — P. 133—165.

180 А. Б. Левин [8] Johnson J. Differential dimension polynomials and a fundamental theorem on differen tial modules // Amer. J. Math. — 1969. — Vol. 91. — P. 239—248.

[9] Kolchin E. R. The notion of dimension in the theory of algebraic differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1964. — Vol. 70. — P. 570—573.

[10] Kondratieva M. V., Levin A. B., Mikhalev A. V., Pankratiev E. V. Differential and Difference Dimension Polynomials. — Kluwer Academic, 1999.

[11] Levin A. B. Gr bner bases with respect to several orderings and multivariable dimen o sion polynomials // J. Symbolic Comput. — 2007. — Vol. 42. — P. 561—578.

[12] Pankrat’ev E. V. Computations in differential and difference modules // Acta Appl.

Math. — 1989. — Vol. 16, no. 2. — P. 167—189.

[13] Pankratiev E. V. Constructive methods in differential algebra // Proc. First Int. Conf.

«Mathematical Algorithms». — Nizhny Novgorod, 1995. — P. 90—105.

[14] Pankratiev E. V. Some approaches to construction of standard bases in commutative and differential algebra // Proc. Fifth Int. Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing (CASC-2002) / V. G. Ganzha, E. W. Mayr, E. V. Vorozhtsov, eds. — Garching: Technische Univ. Munchen, 2002. — P. 265—268.



 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.