авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Астрологический Прогноз на год: карьера, финансы, личная жизнь


Математика в высшем образовании

2008 №6

МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ

УДК 513.73

МАТЕМАТИКА В ФИЗИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ:

НЕОБХОДИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЗАЦИИ1

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк

Российский университет дружбы народов,

Россия, 117939, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6;

Центр естественно-научного образования, e-mail: rudikar@mail.ru Кафедра теоретической физики, e-mail: vsanyuk@mail.ru Дан краткий очерк развития взаимосвязи физики как наиболее фундамен тальной науки о природе и геометрии как одного из наиболее универсальных разделов математики. Основной вывод состоит в том, что в обязательные учеб ные курсы математики по крайней мере, для физических, физико-технических и естественно-научных специальностей университетов следует шире вводить элементы современной геометрии как универсального языка современной физи ки и естествознания.

Ключевые слова: геометрия, физика, механика, квантовая теория поля.

1. ВВЕДЕНИЕ На развитие физики и других естественных наук постоянно оказывали влияние достижения в таких областях математики, как алгебра, анализ, тео рия вероятностей и геометрия. По нашему убеждению в физике завтрашнего дня вс более существенное место будет занимать геометрия2, и мы попыта е емся кратко обосновать эту точку зрения применительно к реалиям отече ственного образования.

Взаимосвязь физики (включая механику и астрономию) и геометрии ухо дит своими корнями в глубокую античность по сути дела, ко временам зарождения этих наук и ассоциируется прежде всего с именами Евклида и Архимеда, Гиппарха и Птолемея. Высоко ценил геометрию Платон, считав ший, что именно она “приближает разум к истине”.

Более глубокая связь между естественными науками и геометрией начала устанавливаться в XVII столетии в трудах Декарта, Паскаля и Ферма, с од ной стороны, и Кеплера, Галилея и Ньютона с другой. В дальнейшем эта связь продолжала укрепляться, так что современную физику невозможно се бе представить вне геометрического языка. Однако, на наш взгляд, этот факт еще не нашел адекватного отражения в учебных программах и учебных посо биях для “среднего” физика (не теоретика), не говоря уже об естественниках и инженерах.

Данная статья является развернутым изложением доклада, представленного автора ми в марте 2008 года на Международной конференции к 85-летию чл.-корр. РАН проф.

Л. Д. Кудрявцева [36].

Современное по содержанию и блестящее по форме изложение этого круга вопросов дано Ж. Лошаком (учеником Луи де Бройля) в общедоступной (без единой формулы!) книге [1].

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк Для того чтобы в полной мере осознать возникновение и развитие этой связи, следовало бы детально проследить длительную историческую эволю цию как самого термина, так и обозначенного им понятия прежде всего в самой математике, что в пределах данной публикации сделать затруднитель но.

Читателя можно адресовать, например, к энциклопедическим статьям по этой тематике в [2] и к содержательным историко-методологическим кни гам [3–6], а также к полезным и доступным даже на школьном уровне книгам по геометрии [7–11] и е применениям в физике [12–15]. Более общие аспек е ты взаимоотношений математики, физики и естественных наук отражены, например, в [16–18].

Ясно, что как сами области науки, так и соответствующие им основные термины, со временем намного перерастают свои первоначальные предмет ные и смысловые рамки. Так, геометрия, зародившаяся в виде планиметрии, разделилась затем на евклидову и неевклидову, аналитическую, алгебраиче скую, дифференциальную и т. п.

В физике расширение области применимости геометрии стало происхо дить с середины XVIII века в исследованиях Даламбера, Лагранжа и позднее Гамильтона по аналитической механике. Все эти ученые были скорее мате матиками, чем физиками;

они ввели понятия обобщенных координат, а на их основе понятия конфигурационного и фазового пространств.

2. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ФИЗИКИ КАК НАУКИ Длительное время геометрические понятия и методы в механике и физи ке оставались вспомогательными и их использование было продиктовано в основном чисто вычислительными удобствами. Важная роль геометрических представлений в классической механике подчеркивалась в книге Синга [23], изданной в 1960 году в качестве одного из томов немецкой физической эн циклопедии издательства “Шпрингер”.

В настоящее время геометрический подход в физике получил серьезное концептуальное развитие;

выяснилось, например, что наиболее естественным математическим языком современной квантовой теории поля является топо логия и геометрия расслоенных пространств3 (подробнее см., напр., [1, 28, 29, 31, 44, 46]).

Однако тенденция к “геометризации” затронула и более традиционные разделы физики;

оказалось, что наиболее естественным математическим язы ком гамильтоновой динамики является так называемая симплектическая гео метрия фазового пространства физического объекта, тогда как адекватным языком термодинамики контактная геометрия пространства термодина мических параметров. Эти идеи в течение более чем 30 лет последовательно развивались В. И. Арнольдом и его школой [19–22];

приведем здесь наиболее характерные высказывания.

Убедительным отражением тенденции сближения современной физики и геометрии можно считать открытие 20 лет назад международного “Журнала геометрии и физики” (Journal of Geometry and Physics), в редколлегию которого входят такие авторитетные ученые, как Арнольд, Джимбо, Дубровин, Тирринг, Траутман (гл. редактор), Фаддеев, Янг.



Математика в высшем образовании 2008 № “Характеризуя аналитическую динамику в своих “Лекциях о развитии ма тематики в ХIХ столетии” Ф. Клейн писал, что “физик для своих задач может извлечь из этих теорий лишь очень немного, а инженер ничего”. Развитие науки в последующие годы решительно опровергло это замечание.

Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является од ним из наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осознано значение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области” (из книги [19]).

“... Симплектическая геометрия упрощает и делает обозримым устраша ющий (! Авт.) формальный аппарат гамильтоновой динамики (... ) таким же образом, как обычная геометрия линейных пространств сводит громозд кие координатные вычисления к небольшому числу простых основных прин ципов” (из книги [21]).

“... Любому математику известно, что невозможно понять (! Авт.) ни один элементарный курс термодинамики. Причина в том, что согласно формулировке Гиббса (очевидно, имеется в виду цикл термодинамических работ Гиббса 1870-х годов. Авт.) термодинамика основана на достаточно сложной математической теории контактной геометрии.

Эта геометрия входит в число нескольких “простых геометрий” из так называемого списка Картана, но вс еще почти неизвестна физикам е в отличие, например, от римановой и симплектической, или пуассоновой гео метрий, чья фундаментальная роль в физике сегодня полностью признана” (из статьи [20], перевод наш. Авт.).

Одним из самых впечатляющих достижений недавно истекшего ХХ столе тия является создание Эйнштейном (1905) новых представлений о простран стве и времени (специальная теория относительности), обобщенных им (1916) в рамках общей теории относительности.

На многие последующие годы стало вполне традиционным (а для некото рых, к сожалению, и исчерпывающим) применение геометрии именно к про странствам событий. Эти пространства дают необходимую основу для описа ния лишь кинематических аспектов физических теорий как классических, так и квантовых.

Однако наряду с этим в физике необходимо также использование и про странств состояний (например, фазового пространства), без которых невоз можны важнейшие прежде всего динамические аспекты физического описания. Иначе говоря, для физики представляет интерес не только то, где и когда происходят те или иные физические события, но и то, в каких ма тематических понятиях следует описывать само содержание этих событий;

последнее настоятельно требует расширения круга геометрических представ лений.

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк 3. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ФИЗИКИ КАК УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Таким образом, применение геометрии (в широком смысле слова, включая топологию) в физике становится вс более актуальным и требует адекватного е отражения в математической подготовке как физиков, так и естественников и инженеров. Разумеется, этот “вызов” уже достаточно давно принят математи ческим сообществом и нашел вполне адекватный ответ на уровне подготовки профессиональных физиков-теоретиков.





В конце 60-х – начале 70-х годов ХХ века (кстати, по инициативе меха ников, а не “чистых” математиков) возникла проблема модернизации гео метрических курсов, читаемых на мехмате МГУ. Этим занялась группа та лантливых молодых топологов под руководством С. П. Новикова, и одним из важнейших результатов их деятельности стали замечательный по ясности из ложения, деформализованный и ориентированный на интересы и возможно сти механиков и физиков курс современной геометрии [24] и его дальнейшие модификации [25–27].

Значительный интерес представляют методические установки авторов этих курсов (см., например, предисловие к [24]), применимые и в более широ ком контексте математического образования физиков и инженеров (курсив всюду наш. Авт.).

“... Язык изложения должен быть предельно простым, не абстракт ным, терминология всюду, где это возможно, общей с той, которая ис пользуется физиками.... Мы имели в виду читателя, впервые изучающего топологическую книгу и желающего узнать не слишком мало и при этом за минимально возможное время, например, молодого физика-теоретика современной школы.

Нам казалось разумным в той мере, в которой это вообще возможно в математической книге, пытаться использовать методический опыт, накоп ленный физиками: как сделать математические нетривиальные явления понятными с помощью минимальных общедоступных средств”.

“... мы старались минимизировать уровень абстрактности языка изло жения и системы обозначений, жертвуя часто так называемой “общностью” формулировок и доказательств. Нередко важный факт в узловых, определя ющих всю суть дела примерах 4 может быть получен из элементарных со ображений классического анализа и геометрии, не использующих никакие современные “сверхинвариантные” понятия и обозначения, но его формули ровка и особенно доказательство “в общем виде” требуют резкого усложнения уровня формализации... ”.

“... мы соблюдали также принцип возможной независимости изложения различных глав, чтобы каждую из них в отдельности было легче читать (ес ли это вообще допускается сутью дела). Однако для ряда понятий топологии, не представленных никакими аналогиями в классической математике, слож ность для читателя существенно возрастает тут ничего не поделаешь.

Этот подход вполне соответствует одному из принципов, приписываемых Ньютону, гласящему, что “при изучении наук примеры важнее правил”.

Математика в высшем образовании 2008 № В любом случае, по нашему мнению, понимание должно предшество вать формализации и обоснованию. Ясное понимание деловой сути предмета должно достигаться до того, как началась формализация: когда формализу ешь что-то, надо это уже понимать. Обосновывать еще не понятую теорию нелепо;

формальный язык разделяет, а не объединяет математику, затруд няет понимание”.

Еще более отчетливо звучат основные из этих идей спустя более чем 30 лет в предисловии к новой монографии Новикова и Тайманова [27]:

“Следует со всей определенностью сказать, что даже сейчас нет удобова римого учебного курса, покрывающего основные достижения классической топологии 1950–70-х гг., не говоря уже о более позднем периоде. По наше му убеждению, сейчас наступает период, когда широкое сообщество матема тиков геометров, аналитиков и многих других возьмется, наконец, за серьезное изучение того математического багажа, который создала теоре тическая физика ХХ века.

Уже 25 лет назад было ясно, что такой момент должен наступить, но в тот период широкое математическое сообщество еще не осознало необходи мость этого. Соответствующие начинания в некоторых наших книгах долго оставались недостаточно потребленными;

сейчас, однако, положение меняет ся, и осознание необходимости изучить математический аппарат физики среди математиков возросло.

К тому же положение дел в самой теоретической физике таково, что весь ма возможно, что сохранить созданные ею в ХХ веке глубокие математи ческие методы для будущего человечества сможет только сообщество ма тематиков. Потеря замечательного соединения трезвой рациональности при изучении реального мира с выдающимся творением новой высокой матема тики настораживает”. (Курсив всюду наш. Авт.) Вряд ли возможно более адекватно и точно сформулировать суть взаимо отношений между математикой и физикой нашего времени. Существенно, что высказанные принципы были активно реализованы, и во многом под влияни ем и при участии школы Новикова в физике возник геометро-топологический “бум”, отражением которого5 в литературе явился ряд полезных книг и статей как в России [28–32], так и за рубежом [33, 34].

Проблема, однако, состоит в том, что как по уровню изложения, так и по объему все эти источники (может быть за исключением [33]) превышают возможности “средних” физиков, не говоря уже о других естественниках и ин женерах. Отсутствие более адекватной этим категориям читателей учебной литературы во многом объясняется просто недостаточным взаимным обме ном информацией между математикой и физикой.

Во многом это обусловлено также неизбежным, но порою явно излишним грузом традиций в преподавании обеих наук. И если эффективно повлиять на первую причину вряд ли возможно, то разумное преодоление второй с учетом необходимой преемственности и даже некоторого консерватизма, при сущего образованию, прямая задача научно-педагогического сообщества.

Краткое описание причин и основных этапов возникновения этого бума можно найти в книгах [6] и [31, гл. 6].

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк В поддержку такой позиции обратимся к мнению столь признанного ав торитета в области преподавания современной математики, как Кудрявцев (см. в этой связи его книгу [35];

курсив в цитатах наш. Авт.).

“... Вопросу общей эрудиции следует уделять большое внимание при под готовке не только преподавателей, но и научных работников, чтобы они дей ствительно были учеными и не занимались открытием давно уже извест ных вещей... К сожалению, не существует точных рецептов, как надо препо давать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство”.

“Большинству (преподавателей математики) свойственно считать, что так, как они сами учились (у кого-нибудь или самостоятельно), так лучше всего учить и других, забывая о том, что часто с тех пор, когда они учились сами, прошло 40–50 лет;

иногда они полагают, что то, что понравилось им в свое время или хорошо было освоено, является самым важным и нужным и теперь. Часто то, что преподаватель сам не учил совсем или учил в зре лом возрасте, кажется ему сложным, изысканным и трудным, а потому и ненужным при общем образовании”.

“... Передовая педагогическая математическая мысль давно уже счита ет приоритетом не навыки (которые нужны, но не являются самоцелью), а привитие общей математической культуры, что иногда называют “чистой” математикой... Учить следует тому, что нужно и чему трудно научить”.

“Наиболее разумным представляется положение (... ), когда объем мате матических знаний, степень владения ими и характер приобретаемых сту дентам навыков (т. е. чему учить) определяется ведущими специалистами в области будущей специализации студентов, а как этому учить остается делом профессионалов-математиков”.

4. НЕОБХОДИМОСТЬ ОБЗОРНОГО КУРСА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Таким образом, существенно возрастает роль и ответственность обеих ча стей научно-педагогического сообщества и естественно-научной, и матема тической за правильное понимание того, чего именно недостает для адек ватной и всесторонней подготовки современных специалистов.

При решении поставленной задачи, по-видимому, не должен слишком ост ро стоять важный для математиков вопрос о строгости изложения: ведь изу чающему нет необходимости сразу и активно применять весь математический “арсенал”. Однако представлять себе его состав и возможности ему все-таки следует хотя бы для того, чтобы знать, как именно продолжить свое обра зование.

Поэтому проблема, на наш взгляд, состоит именно в поисках разумно го компромисса;

так, если исходить из общепринятого понятия “физической строгости”, то может оказаться вполне возможным изложение большей ча сти новых геометрических понятий лишь на концептуальном, но логически достаточно связном уровне. Разумеется, конкретные методические вопросы Математика в высшем образовании 2008 № подобного изложения должны оставаться в компетенции профессионалов математиков.

Представляется, что наряду с обычными регулярными курсами матема тики (может быть, лишь слегка “ужатыми”) следует читать дополнительные пропедевтические или обзорные курсы6 (а еще лучше и те, и другие), что позволяет увидеть вс “пространство геометрии” е а по большому счету, и всей математики как единого целого с высоты “птичьего полета”.

По существу речь идет о создании нового учебного курса с услов ным названием7 “Концепции современной математики” (КСМ) в известной мере по аналогии с уже существующим и успешно раз вивающимся “Концепции современного естествознания” (КСЕ).

Разумеется, с реализацией предлагаемого проекта связаны неизбежные трудности, но ведь еще 10–15 лет назад курс КСЕ тоже казался немысли мым во всяком случае, в массовом высшем профессиональном образова нии;

сегодня этот курс уже вошел обязательным федеральным компонентом в учебные планы всех гуманитарных специальностей.

Как построить и читать курс КСМ, избегая верхоглядства и поверхност ности, дело, разумеется, самих математиков, однако мы полагаем, что это в принципе возможно без существенного ущерба для “чистоты” математи ки. Во всяком случае, успешный прецедент такого рода существует: ровно 300 лет назад Кеплеру удалось впервые превратить астрономию из “небес ной геометрии” в “небесную физику”. Насколько сложной была эта задача, видно из признания самого Кеплера в его сочинении “Новая, изыскивающая причины астрономия, или физика неба” (1609):

“Тяжкий жребий писать в наши дни математические книги... Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, до казательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги стано вится затруднительным... ” В том, что разумный компромисс вс же возможен, убеждают, например, е достаточно глубокие книги Манина [16] и Пенроуза [18], а также Мандель брота [40], написанные в жанре научного эссе и практически не содержащие формул (а следовательно, по мнению некоторых, и недостаточно полные и строгие).

Мы разделяем мнения по этому поводу, высказанные рядом выдающих ся математиков: “Господа, для Гауссовской строгости у нас нет времени... ” (Якоби) и “результат должен быть не строгим, а верным... ” (Колмогоров).

С другой стороны, согласно Гильберту, “будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве есть враг простоты;

(... ) иногда строгое наиболее доступно”.

Подобные идеи вс более становятся общепринятыми в среде преподавателей мате е матики см., например, материалы недавней (март 2008) конференции [36] к 85-летию чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева.

Не следует путать предлагаемый курс с уже существующим в рамках комплекса дис циплин фундаментального естественно-научного образования курсом “Математика и ин форматика” только для гуманитарных специальностей.

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк В качестве современного примера реализации идей, созвучных высказан ным выше, приведем двухсеместровый курс [33], который в течение 10 лет (с 1980 по 1990 год) создавался в Гарвардском университете двумя известными Бамбергом и Стернбергом8 ;

их методиче американскими математиками ские установки представляются весьма разумными и убедительными.

“Большинство математиков и все физики, результаты которых представ лены в этой книге, работали в первом десятилетии двадцатого века. Это зна чит, что изложенному материалу уже по крайней мере 90 лет. И, тем не ме нее, он еще не вошел в наши элементарные курсы математики, хотя бoльшая его часть должна изучаться современными физиками, что они и делают на определенном этапе своей карьеры. Причины этого, в значительной мере, ис торические”.

“Математики уже согласились, а физики постепенно привыкают к тому, что самым удобным аппаратом для геометрического анализа является внеш нее дифференциальное исчисление Грассмана и Картана. Его преимущество состоит в том, что наряду с простыми и четкими правилами вычисления все объекты имеют прозрачный геометрический смысл.

В рамках внешнего анализа геометрические законы физики принимают простую и элегантную форму. И нам кажется, что пришла пора заменить им векторное исчисление в программах начального университетского обуче ния... Мы полагаем, что разумно уже в самом начале изучения математики дать студентам представления о связи физики и геометрии”.

“Наш педагогический метод изложение по “спирали”, т. е. мы рассмат риваем одну и ту же тему несколько раз, возвращаясь к ней на более высоком уровне, одновременно расширяя области е применения. Такое построение мы е предпочитаем “прямолинейному” строгому логическому порядку. Надеемся, что при этом мы избежим логических ошибок типа “порочного круга”.

Такой подход требует от студентов определенного доверия и терпения. Но мы надеемся, что в конце концов они будут вознаграждены более глубоким интуитивным пониманием предмета в целом”.

Разумеется, как методические принципы, так и конкретное содержание подобных курсов могут быть весьма различными, однако в любом случае, по образному выражению В. Высоцкого, “нам тайны неоткрытые открыть по ра... ”! Без этого математика может оказаться в ситуации “скупого рыцаря”, у которого “лежат без пользы тайны как в копилке... ”, причем этим “тайнам” современной геометрии, в “раскрытии” которых может быть заинтересован студент-естественник, как правило, уже не менее ста лет (хорошо уже, что не триста!).

По нашему убеждению, круг подобных вопросов следовало бы отразить в курсах математики, обеспечивающих в настоящее время преподавание ком плекса дисциплин фундаментального естественно-научного образования. В Характерно, что, по утверждению самих авторов, их “Курс математики для студентов физиков” с равным правом можно было бы назвать “Курс физики для студентов математиков”. Курс математической физики аналогичного типа, но значительно более сложный по уровню, недавно создан известным австрийским физиком-теоретиком Тир рингом [34].

Математика в высшем образовании 2008 № подтверждение сошлемся на интересное высказывание В. И. Арнольда (кур сив наш. Авт.) в предисловии к русскому изданию книги [45] “Геометрия и физика узлов”, принадлежащей перу одного из крупнейших современных математиков М. Атьи:

“Вс развитие теоретической физики убедительно показало, что только е последовательная геометризация делает обозримым вс многообразие наблю е даемых явлений. Достижения Ньютона и Гамильтона, Максвелла и Гиббса, Эйнштейна и Дирака, Фейнмана и Янга доставляют многочисленные и хоро шо известные примеры плодотворности геометрических концепций в физи ке.

Сегодня, однако, мы стали свидетелями обратного процесса: использова ния развитых в теоретической физике концепций в фундаментальной мате матике. Не скованные ни иссушающим алгебраически-бурбакистским образо ванием, ни обязанностью строго доказывать (или хотя бы сформулировать) свои утверждения, физики оказались способными предсказывать глубокие математические факты в топологии и алгебре, в теории чисел и алгебраи ческой геометрии”.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Заметим, что в современной физике развиваются весьма интересные и многообещающие процессы, ведущие, по всей видимости, к наиболее ради кальным изменениям за всю историю существования физики как науки.

Прежде всего это связано с фактическим завершением эпохи так называемой “линейной парадигмы” в развитии физики, в основе которой лежит чрезвы чайно простая идея: все процессы на малых расстояниях и за малые проме жутки времени протекают приблизительно равномерно.

Похоже, что эта идея была близка еще Евдоксу Книдскому и Архимеду, но “в полный рост” е первым осознал и сформулировал Ньютон, который е воспринимал ряды как универсальный метод решения задач о движении тел и при этом обычно ограничивался лишь первыми линейными членами разложений. На этой же идее построены дифференциальное и интегральное исчисление основной математический аппарат курса общей физики, а так же все его последующие модификации.

Ясно, что в рамках подобной парадигмы (иногда называемой “теорией возмущений”) в принципе возможно только локальное физическое описание.

Глобальное описание предполагает, как минимум, сходимость соответствую щих рядов (трудно проверяемую и далеко не всегда существующую), однако уже задолго до этого могут вообще перестать выполняться физические пред положения, положенные в основу локального линейного описания.

Поворотным моментом перехода от “линейного” (локального) мышления к “нелинейному” (глобальному) стали 70-е годы ХХ века, хотя отдельные “проблески”, конечно, имели место и значительно раньше. Ограниченность математического аппарата “линейной физики” проявилась особенно отчетли во при попытках решения существенно нелинейных физических задач, прин Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк ципиально нелинеаризуемых, т. е. не сводящихся к линейным9. Прогресс в изучении подобных задач был достигнут только после освоения адекватных математических средств таких как дифференциальная геометрия, алгеб раическая топология, теория расслоенных пространств, вариационное исчис ление в целом, геометрия фракталов и т. д.

Для того чтобы обо всем этом можно было говорить в рамках курса общей физики, требуется, как минимум, некоторая модернизация геометрического образования физиков. Стандартные курсы аналитической геометрии, огра ничивающиеся изучением прямых, плоскостей и конических сечений, следует дополнить теорией кривых и поверхностей.

Представления о таких геометрических инвариантах, как кривизна и кру чение пространственных кривых, квадратичные формы поверхностей, гаус сова и средняя кривизна поверхностей, эйлерова характеристика, оказались весьма востребованными при описании свойств солитонных решений.

Этот класс решений актуален не только в квантовой теории поля, но и в теории твердого тела (доменные стенки в ферромагнетиках и сегнетоэлектри ках), а также в нелинейной гидродинамике (ударные волны и теория турбу лентности). Полезно а порой необходимо знакомство физиков и с первич ными понятиями топологии многообразий, теории гомотопий и когомологий, например в объеме учебника [24].

Предлагаемая модернизация геометрического образования физиков, есте ственников и инженеров даст возможность даже в рамках общих курсов фи зики знакомить студентов с современными достижениями нелинейной науки, без чего трудно себе представить себе квалифицированного современного спе циалиста.

ЛИТЕРАТУРА 1. Лошак Ж. Геометризация физики. М. – Ижевск: РХД, 2005. 279 с.

2. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1988. 847 с.

3. Бурбаки Н. Элементы математики. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.

292 с.

4. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории матема тики. “Современная математика”. Популярная серия. М.: Мир, 1986. 156 с.

5. Визгин Вл. П. “Эрлангенская программа” и физика. М.: Наука, 1975. 112 с.

6. Монастырский М. И. Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. 188 с.

7. Клайн М. Геометрия. В сб.: “Математика в современном мире”. М.: Мир, 1967.

С. 47–63.

8. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. Серия “Мир знаний”. М.: Просвещение, 1979. 159 с.

9. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. Дифференциалы помогают геометрии. Серия “Мир знаний”. М.: Просвещение, 1982. 192 с.

10. Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Сов.

радио, 1980. 145 с.

Элементарное, но достаточно корректное описание этих проблем можно найти, напри мер, в книгах [43, 44].

Математика в высшем образовании 2008 № 11. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. 2-е изд. М.: УРСС, 2004. 192 с.

12. Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. Что такое теория относительности? 3-е изд. М.: Сов.

Россия, 1975. 112 с.

13. Дубровский В. Н., Смородинский Я. А., Сурков Е. Л. Релятивистский мир. Биб-ка “Квант”, вып. 34. М.: Наука, 1984. 178 с.

14. Кадомцев С. Б. Геометрия Лобачевского и физика. М.: Знание, 1984. 64 с.

15. Воловик Г. Е., Минеев В. П. Физика и топология. М.: Знание, 1980. 63 с.

16. Манин Ю. И. Математика и физика. М.: Знание, 1979. 64 с.

17. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. 446 с.

18. Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. М.:

УРСС, 2003. 382 с.

19. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 472 с.

20. Arnold V. I. Contact Geometry: the Geometrical Method of Gibbs’s Thermodynamics // Proceedings of the Gibbs Symposium. Yale University, May 15–17, 1989. Р. 163–179.

21. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-е изд. М. – Ижевск:

РХД, 2000. 167 с.

22. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-е изд. М.: УРСС, 2002. 414 с.

23. Синг Дж. Л. Классическая динамика. М.: Физматлит, 1963. 448 с.

24. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, Физматлит, 1979. Т. 1, Т. 2. 1-е изд.;

1999. Т. 1. 5-е изд.;

1998. Т. 2. 4-е изд.;

М.: УРСС, 2001. Т. 3.

25. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.

М.: Наука, Физматлит, 1987. 431 с.

26. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топо логии. М.: Физматлит, 2004. 302 с.

27. Новиков С. П., Тайманов И. А. Современные геометрические структуры и поля. М.:

МЦНМО, 2005. 312 с.

28. Шапиро И. С., Ольшанецкий М. А. Лекции по топологии для физиков. М. – Ижевск:

РХД, 1999. 131 с.

29. Ольшанецкий М. А. Краткий путеводитель для физиков по современной геометрии // Успехи физ. наук. 1982. Т. 136, вып. 3. С. 421–433.

30. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. Серия “Современная математика”. Вводные курсы. М.: Мир, 1984. 303 с.

31. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред.

М.: ПАИМС, 1995. 188 с.

32. Применение и развитие идей Лобачевского в современной физике // Труды Меж дународного семинара, посвященного 75-летию проф. Н. А. Черникова. Дубна, 25– февраля 2004 г. Дубна: ОИЯИ, 2004. 156 с.

33. Бамберг П., Стернберг Ш. Курс математики для студентов-физиков. М.: Фазис, 2004. Т. I. С. 1–574;

2005. Т. II. С. 575–1220.

34. Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. Киев: TIMPANI, 2004.

Т. 1, 264 с.;

Т. 2, 224 с.;

Т. 3, 272 с.;

Т. 4, 266 с.

35. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и е преподавание. Избранные труды.

е М.: Физматлит, 2008. Т. 3. С. 16–169.

Ю. Г. Рудой, В. И. Санюк 36. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология.

Проблемы математического образования // Тезисы докладов 3-й Международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева. М., РУДН, 25–28 марта 2008 г. М.: МФТИ. 816 с.

37. Мизнер Ч., Уилер А. Классическая физика как геометрия. В сб.: “Астрофизика и теория относительности” (к 100-летию А. Эйнштейна). М.: Мир, 1979.

38. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. М. – Ижевск: РХД, 2000.

160 с.

39. Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окон чательной теории. М.: УРСС, 2004. 286 с.

40. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М. – Ижевск: ИКИ, 2002. 655 с.

41. Бернстейн Г., Филлипс Э. Расслоения и квантовая теория // Успехи физ. наук. 1982.

Т. 136, вып. 4. С. 665–692.

42. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983. 394 с.

43. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. Биб-ка “Квант”. М.: Физматлит, 1986. 212 с.

44. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: Физматлит, 1989. 400 с.

45. Атья М. Геометрия и физика узлов. М.: Мир, 1995. 192 с.

MATHEMATICS AS EDUCATIONAL SUBJECT OF PHYSICISTS:

NECESSITY OF GEOMETRIZATION Yu. G. Rudoy, V. I. Sanjuk A brief outline of development of interdependence of physics as the most fundamental science about nature, and geometry as one of the most universal branches of mathematics is given. The main conclusion is the following: the basic academic mathematical courses at least for university specializations of physics, techniques, and natural science must wider use the elements of modern geometry as a universal language of modern science.

Keywords: geometry, physics, mechanics, quantum theory.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.