авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Лекция № 5 «Кинетостатический анализ механизмов»

Учебные вопросы

5.1 Силовое исследование механизмов

5.2Динамический анализ и синтез механизмов

5.3Линейные уравнения в

механизмах

5.4 Нелинейные уравнения движения в механизмах

5.5 Регулирование хода машин

5.6 Приведение сил и масс в механизмах

149

5.1 Силовое исследование механизмов

Основные задачи силового исследования механизмов Целью силового исследования механизмов является определение всех сил, приложенных к звеньям механизма и реакций в кинематических парах по заданным внешним силам, приложенным к механизму, массам и моментам инерции звеньев, а также закону движения ведущего звена (обычно закон движения ведущего звена бывает неизвестен). В этом случае считают приближенно, что ведущее звено вращается равномерно и тогда дополнительно вводят, а затем определяют уравновешивающую силу или уравновешивающий момент, приложенный к механизму.

Так как механизм находится в движении, то следует предварительно к механизму, представляющему собой движущуюся механическую систему, применить принцип Даламбера: если в какой-либо момент к движущейся системе материальных точек приложить все силы, действующие в этот момент, и все силы инерции, то система будет в равновесии.

Определение сил инерции звеньев механизма Как известно из теоретической механики, в общем случае силы инерции звена, совершающего плоскопараллельное движение и имеющего плоскость симметрии, параллельную плоскости движения, могут быть сведены к силе инерции, приложенной в центре масс звена и к паре сил инерции, момент которой равен. Сила может быть определена из уравнения (5.1) В этом уравнении есть вектор силы инерции звена – масса, звена и - вектор полного ускорения центра масс звена.

Таким образом, для определения силы инерции звена плоского механизма надо знать его массу и вектор полного ускорения его Рисунок 5.1 – Звено BC, совершающее плоско-параллельное центра масс или проекции этого вектора движение на координатные оси. Из формулы следует, что сила инерции имеет размерность, т.е. измеряется в Ньютонах (Н).

Вектор полного ускорения центра масс в механизмах удобно определять из построенного плана ускорений, применяя известное из кинематики свойство подобия. Пусть, например, дано звено и известны ускорения его точек, которые на плане ускорений изображаются отрезками, построенными в масштабе. Чтобы определить полное ускорение центра масс звена, соединяем точки прямой и делим этот отрезок в том Рисунок 5.2 – К вопросу определения вектора полного ускорения же отношении, в котором точка делит отрезок. Соединив полученную на плане ускорений точку с точкой, получим величину полного ускорения точки :

.

Сила инерции звена направлена противоположно полному ускорению точки S и равна по величине.

Момент пары сил инерции направлен противоположно угловому ускорению и может быть определен по формуле, (5.2) где - момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс S и перпендикулярной к плоскости движения звена;

- угловое ускорение звена.

Таким образом для определения момента пары сил инерции звена плоского механизма надо знать величину его момента инерции,а также величину и направление углового ускорения этого звена.

Момент инерции имеет размерность. Угловое ускорение имеет размерность. Следовательно, момент пары сил инерции имеет размерность, ибо есть Ньютон.

Величина углового ускорения определяется из равенства где – тангенциальное ускорение в относительном движении звена и - длина звена ВС.

Таким образом, все силы инерции звена в общем случае могут быть сведены к главному вектору сил инерции, приложенному в центре масс S звена, и к главному моменту пары сил инерции.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи движения звеньев механизма.

Если звено движется поступательно с некоторым ускорением, то сила инерции равна, где - есть масса звена;

- ускорение его центра масс S. Так как угловое ускорение звена при этом равно нулю, то момент пары сил инерции будет также равен нулю, и все силы инерции сведутся к одной результирующей силе, приложенной в центре масс S Рисунок 5.3 – Поступательное движение звена и направленной противоположно ускорению.

BC Если звено находится только во вращательном движении вокруг оси, проходящей через его центр масс, то ускорение центра масс S этого звена равно нулю и сила инерции также равна нулю =0.

Если при этом угловое ускорение этого звена не равно нулю, то силы инерции составят пару с моментом, равным.

Такой случай может иметь место, например, для неравномерно вращающихся деталей (шкивы, барабаны, роторы и т.д.), центр масс S которых находится на оси вращения. При равномерном вращении этих деталей результирующие сил инерции и моменты от сил инерции равны нулю (при плоской задаче).

В случае вращательного движения звена BC вокруг некоторой оси, например оси B, не проходящей через центр масс S, его силы инерции могут быть сведены к приложенной в центре масс S силе, направленной противоположно ускорению и равной, и к паре сил инерции с моментом, равным, где - есть момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Силу инерции и момент пары сил инерции можно заменить одной силой, равной силе. Для этого нужно силу перенести параллельно так, чтобы ее момент относительно Рисунок 5.4 – Звено BC центра тяжести был равен моменту. Это будет совершает вращательное выполнено, если плечо перенесенной силы инерции движение В этом случае составляющая пары с моментом, приложенная в центре тяжести, уравновешивает силу инерции, приложенную в центре тяжести, в результате чего остается одна сила, приложенная в точке (см.

рисунок), называемой полюсом инерции.

Если звено вращается вокруг неподвижной оси, не совпадающей с его центром тяжести, то сила инерции прикладывается в центре качания звена, рассматриваемого как физический маятник. Докажем это.

Пусть звено, имеющее центр тяжести в точке S, вращается вокруг неподвижной оси O (случай чистого качения).

Рассматривая движение звена как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с центром тяжести S и вращения вокруг последнего, прикладываем силу инерции в центре тяжести и момент пары сил инерции. Заменяя силу и пару с моментом одной силой, смещенной относительно центра тяжести S на расстоянии находим точку K ее пересечения с продолжением радиуса – вектора центра тяжести. Имеем Кроме того, имеем Имея в виду, что, где – Рисунок 5.5 – Случай чистого качения звена АВ радиус инерции и, после подстановки значений и, получим Отсюда.

Это уравнение показывает, что точка является центром качания физического маятника с приведенной длиной. Известно, что период колебания физического маятника определяется из формулы (5.3) где - момент инерции массы звена относительно оси вращения, определяется из равенства.

Заменяя, имея в виду, что, получаем (5.4) т. е.

(5.5) где - приведенная длина физического маятника.

Пример:

Рисунок 5.6 – К определению инерционной нагрузки кривошипно-ползунного механизма Для кривошипно-ползунного механизма найти инерционную нагрузку всех звеньев, если длины звеньев равны положения центров масс звеньев:

массы звеньев: кривошипа шатуна ;

ползуна 3 ;

центральный момент инерции шатуна. Угловая скорость кривошипа постоянна и равна.

Задачу решить для положения механизма, когда угол.

Решение. 1. Задаемся масштабом чертежа, и строим план механизма. Длины отрезков на чертеже будут:

2. Строим план скоростей механизма в масштабе.

Построение проводим согласно уравнению На этом плане отрезок, изображающий скорость точки В, будет равен 3. Строим план ускорений в масштабе:

Построение проводим в соответствии с равенством На этом плане отрезок, изображающий вектор нормального ускорения точки В, будет равен.

Отрезок изображающий на плане ускорений нормальное ускорение точки во вращении звена относительно точки В, найдется из равенства где - отрезок в натуре, изображающий скорость точки в движении (вращении) звена относительно точки В. По правилу подобия (по теореме о картине относительных ускорений) находим точки (концы векторов ускорений центров масс звеньев кривошипа АВ, шатуна ВС и ползуна 3).

4. Подсчитываем инерционную нагрузку для каждого звена механизма 4.1. Инерционные силы. Сила инерции кривошипа равна приложена в центре масс кривошина и по направлению противоположна вектору ускорения этого звена.

Сила инерции шатуна равна приложена в центре его масс и ползуна 3 равна приложена в центре его масс (точке ) и по направлению противоположна вектору ускорения этого центра.

4.2. Инерционные моменты. Для кривошипа АВ инерционный момент равен, так как звено вращается равномерно ;

1=0.

Для шатуна ВС инерционный момент найдем по формуле Этот момент по направлению противоположен угловому ускорению звена ВС. Угловое ускорение звена в нашем случае направлено против хода часовой стрелки, в соответствии с направлением тангенциального ускорения точки во вращении звена относительно точки В.

Для ползуна 3 инерционный момент равен, так как звено движется поступательно.

Метод замещающих точек (определение сил инерции методом замещения масс) Вместо приведения всех сил инерции звена к силе и паре сил или к результирующей силе, приложенной в определенной точке этого звена, в некоторых случаях удобно заменить эти силы силами инерции масс, сосредоточенных соответствующим образом в выбранных точках, которые носят название замещающих точек. В этом случае определение сил инерции звеньев сводится к определению сил инерции масс, сосредоточенных в определенных точках, и, таким образом, отпадает необходимость определения пары сил инерции, а значит углового ускорения звена.

Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять выбранные точки, чтобы полученная система была эквивалентна первоначальной.

Чтобы результирующая сила инерции масс, сосредоточенных в замещающих точках, равнялась силе инерции всего звена, необходимо, чтобы удовлетворились следующие условия:

1) сумма масс, сосредоточенных в замещающих точках, должна равняться массе всего Рисунок 5.7 – Звено Q, имеющее плоскость симметрии, параллельную плоскости звена;

движения 2) общий центр масс, сосредоточенных в замещающихся точках, должен совпадать с центром масс звена.

Удовлетворение этих условий дает так называемое статическое размещение массы звена.

Чтобы результирующая пара сил инерции масс, сосредоточенных в замещающих точках, была эквивалентна паре сил инерции звена, необходимо, кроме соблюдения двух указанных условий, удовлетворить еще третьему условию, которое сводится к тому, чтобы сумма моментов инерции масс, сосредоточенных в замещающих точках, относительно оси, проходящей через общий центр масс, равнялась моменту инерции звена относительно этой же оси. Удовлетворение этого третьего условия вместе с двумя первыми дает так называемое динамическое размещение массы звена.

Указанные условия статического и динамического размещений могут быть выражены следующими уравнениями:

(5.6) В этих уравнениях: – масса, сосредоточенная в замещающей точке с индексом ;

- масса всего звена;

- координаты - ой точки, относительно осей, проходящих через центр масс;

- момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку S и перпендикулярной к плоскости движения.

Первые три уравнения соответствуют статическому размещению массы звена, а уравнение последнее вместе с первыми тремя уравнениями – соответствуют динамическому размещению.

Рассмотрим вопрос о числе параметров, которым необходимо задаваться при решении вышеприведенных уравнений. Искомыми являются положение каждой замещающей точки, определяемое двумя координатами, и масса, сосредоточенная в этой точке. Таким образом, для одной точки имеем три неизвестных, которые подлежат определению.

Число уравнений для определения неизвестных равно четырем. Если обозначить число выбранных точек через n, то число параметров p, которые мы должны задать, равно. (5.7) При этому уравнению нельзя удовлетворить. При, т.е.

мы можем задаться, например, двумя координатами одной из точек, или одной координатой и одной массой. При получаем, т.е. при этом могут быть произвольно заданы, например, положения двух точек и масса одной из точек;

при получаем, т.е. мы можем в этом случае задать положение четырех точек или положение трех точек и массы двух точек, и т.д.

Если производится динамическая замена двумя массами, то массы должны быть сосредоточены в точках А и К, лежащих на прямой, проходящей через центр тяжести S звена. Уравнения динамического размещения масс будут иметь вид:

Одну из масс можно поместить в произвольной точке, однако для удобства целесообразно помещать ее в центре одного из шарниров, например А, тогда второе расстояние K и обе массы легко определяются из Рисунок 5.8 – Размещение массы звена на две точки A и K приведенных уравнений Как видно, точка к является центром качания физического маятника, имеющего точку подвеса, совпадающую с точкой А звена.

Изложенный способ замены массы звена эквивалентной системой сосредоточенных масс применим для определения линии действия силы инерции. Допустим, что масса звена разнесена в две точки А и К. Тогда, Рисунок 5.9 – Инерционная нагрузка звена AB определив ускорения точек А и К, нетрудно вычислить силы инерции и масс.

Сила инерции, очевидно, представляет собой равнодействующую сил и, линию действия которой можно найти, если построить точку Т пересечения направлений сил и. Для определения положения точки Т нет надобности вычислять силы инерции и ;

достаточно через точки А и К провести направления, а в точке их пересечения приложить силу. В том, что нетрудно убедиться.

+ Действительно, подставив в выражение для значения имея ввиду, что получим Окончательно Рисунок 5.10 – Определение полюса инерции T Таким образом, для построения вектора силы инерции необходимо сначала найти при помощи картины относительных ускорений ускорение точки к, затем, проведя через точки А и К линии, параллельные ускорениям и, в точке Т их пересечения приложить силу.

5.2 Динамический анализ и синтез механизмов Условия статической определимости кинематических цепей При решении задач силового расчета механизмов закон движения ведущего звена предполагается заданным;

точно так жа предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев механизма. Таким образом, всегда могут быть определены те силы инерции, которые необходимы для решения задач силового расчета с помощью уравнения равновесия.

Вопрос о силовом расчете механизмов начнем с рассмотрения вопроса об определении реакций в кинематических парах.

В тех случаях, когда при расчете в число заданных сил не входят силы инерции звеньев, расчет называется статическим.

Если в число заданных сил при расчете входят и силы инерции звеньев, известные нам по величине, направлению и точкам приложения, то такой расчет называется кинетостатическим. Далее в первом приближении будем вести расчет без учета сил трения.

Рассмотрим, как будут направлены Рисунок 5.11 – Силы реакций связей в низших и высших кинематических парах реакции в различных кинематических парах плоских механизмов. Во вращательной паре V- го класса результирующая сила реакци проходит через центр шарнира. Величина и направление этой реакции неизвестны, так как они зависят от величины и направления заданных сил, приложенных к звеньям пары. В поступательной паре V го класса реакция перпендикулярна к оси движения х-х этой пары. Она известна по направлению, но неизвестны ее точка приложения и величина. Наконец, в высшей паре IV -го класса реакция приложена в точке с касания звеньев 1 и 2 и направлена по общей нормали n-n, проведенной к соприкасающимся профилям звеньев 1 и 2 в точке с, т.е. для высшей пары IV го класса нам известны направление реакции и ее точка приложения.

Таким образом, для определения реакции в каждой из низших пар V -гокласса необходимо найти по две неизвестных, а для определения реакции в высшей паре IV го класса – только одну неизвестную величину.

Обозначим число подвижных звеньев плоской кинематической цепи через, число пар V –го класса – через и число пар IV го класса – через.

Составим теперь условие статической определимости кинематической цепи. Так как для каждого звена, совершающего плоскопараллельное движение, можно написать три уравнения равновесия, то число уравнений, которое мы сможем составить при звеньях, будет равно. Число неизвестных, которое необходимо определить, будет равно для пар V го класса и для пар IV –го класса Следовательно, кинематическая цепь будет статически определима, если удовлетворяется условие Как известно, любой механизм с парами IV –го и V –го классов может заменен механизмом с парами только V го класса.

Тогда формула будет написана так:

откуда (5.8) Так как числа и должны быть целыми, то этому соотношению удовлетворяют следующие ряды чисел звеньев и кинематических пар:

Как уже известно, первое сочетание звеньев и пар, т.е. два звена, входящих в три пары, представляет собой группу II –го класса;

второе сочетание из четырех звеньев, входящих в шесть пар, представляет собой группу III –го класса третьего порядка или группу IV –го класса второго порядка и т.д. Таким образом, статически определимыми являются кинематические цепи, названные выше группами. Поэтому, наиболее рациональным является рассмотрение методов определения реакций в кинематических парах по тем классам и порядкам групп, которые были нами установлены.

Известно, что при кинематическом исследовании механизма порядок исследования совпадает с порядком присоединения групп, т.е.

вначале рассматривается группа, присоединяемая к начальному или начальным звеньям и стойке. Потом рассматривается следующая группа и т.д. Порядок силового расчета является обратным порядку кинематического исследования, т.е. силовой расчет начинается с последней (считая от начального звена) присоединенной группы и кончается силовым расчетом начального звена.

Пусть, например, подлежит силовому расчету шестизвенный механизм, показанный на рисунке.

К начальному звену и стойке присоединена первая группа II класса, состоящая из звеньев 3 и 4.

Рисунок 5.12 – Шестизвенный механизм Далее к звену 3 и стойке присоединена вторая группа II класса, состоящая из звеньев 5 и 6. Силовой расчет следует начинать с последней по присоединению группы, т.е. с группы, состоящей из звеньев 5 и 6, после этого следует перейти к группе, состоящей из звеньев 3 и 4 и, наконец, к силовому расчету начального (входного) звена 2.

Определение реакций в кинематических парах групп II –го класса Кинетостатика группы Ассура II –го класса, 2-го порядка 1-го вида.

Пусть задана группа II го класса первого вида, введем следующие обозначения: звено, к которому присоединяется звено, обозначим номером 1, звено - номером 2, звено - номером 3 и звено, к которому присоединяется звено, - номером 4.

Силу, действующую на звено с номером со стороны звена с номером, будем обозначать через, момент силы относительно точки А – через, расстояние между двумя какими-либо Рисунок 5.13 – Кинетостатика группы Ассура II класса, 2-го порядка 1-го вида точками А и В звена АВ через и, наконец, момент пары, действующей на звено с номером k, - через.

Пусть группа II –го класса нагружена силами и парами с моментами.требуется определить реакции в кинематических парах.

Эта задача может быть решена методом планов сил. В точках В и D прилагаем неизвестные пока реакции и составляем уравнение равновесия группы, т.е. приравниваем нулю сумму всех сил, действующих на группу. Имеем:

В этом уравнении нам известны силы по величине, направлению и точкам приложения. Для определения величины этих реакций разлагаем их на две составляющие: одну, действующую по оси звена, другую, перпендикулярную к оси звена. Будем обозначать первую составляющую реакцию индексом, а вторую составляющую индексом.

Тогда получаем:

Величины и могут быть непосредственно получены из уравнений равновесия, написанных для каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности.

Для этого рассмотрим сначала равновесие звена 2. Звено находится под действием следующих сил и пар: силы, составляющих реакций, реакции и пары с моментом. Составим уравнение моментов всех сил относительно точки С. Так как направление силы нам неизвестно, то при составлении уравнения моментов задаемся произвольным знаком момента этой силы. Если после определения этой величины силы она окажется отрицательной, то очевидно, что ее истинное направление должно быть выбрано противоположным.

Имеем Так как и Далее, так как то составленное уравнение моментов получает вид откуда и определяем величину силы Имеем Направление силы определяется знаком правой части этого уравнения. Аналогично из условия равновесия звена 3 получаем уравнение моментов:

так как и. Для величины теперь получаем:

Направление силы определяется знаком правой части этого уравнения. Полученные выражения для и подставляем в вышеприведенное выражение, имеем В этом уравнении нам неизвестны только величины составляющих и реакций, направленных по осям звеньев.

Величины этих составляющих могут быть определены из построения плана сил. Для этого из произвольной точки - полюса плана сил откладываем в произвольном масштабе силу прибавляем к ней силу.

Прикладываем к ним в том же масштабе соответственно силы и, которые уже были определены. Эти силы перпендикулярны к осям звеньев Далее, из точки проводим прямую, параллельную оси звена,а из точки – прямую, параллельную оси звена.

Точка пересечения этих двух прямых и определит величины составляющих и. Полные реакции могут быть получены как результирующие. Первая реакция в плане сил получается, если соединить точки и, вторая – соединением точек и. Для определения реакции звена 2 на звено 3 напишем уравнение равновесия сил, действующих на звено 3. Имеем:

Единственной неизвестной по величине силой в этом уравнении является сила. Величина ее может быть получена непосредственно из уравнения построением силового треугольника. Для этого в плане сил достаточно соединить точки и в. Очевидно, что реакция, равная по величине реакции, но противоположная ей по направлению, может быть определена из уравнения равновесия звена 2. Имеем:

В плане сил вектор будет представлен тем же отрезком в), что и реакция, но будет иметь противоположное направление.

Кинетостатика группа Ассура II класса 2го порядка 2-го вида Ось х-х есть ось движения звеньев поступательной пары. На группу действуют внешние силы и пары с моментами. Определим давления в кинематических парах методом планов сил. Векторные уравнения всех сил, действующих на группу, будут иметь следующий вид:

(5.13) Рисунок 5.14 – Кинетостатика группы Ассура II класса 2-го порядка 2-го вида Реакция она перпендикулярна к направляющей х-х. Точка приложения этой реакции и ее величина не известны. Для реакции известна точка приложения, не известны ни ее величина, ни направление.

Разлагаем реакцию на две составляющие: одну, направленную на оси звена, и вторую, перпендикулярной к этой оси.

Получаем:

Величина силы определяется из уравнения моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки С. Имеем:

так как Момент равен Следовательно (5.14) Направление силы определяется законом (а именно знаком) суммы моментов и. Подставив полученное выражение для, получим:

.

В этом уравнении не известны только величины сил и.

Величины этих сил легко определяются построением плана сил. Из произвольно выбранной точки а в выбранном масштабе откладываем силу. В том же масштабе прибавляем к ней силу. Из точки с откладываем известную силу, перпендикулярную к оси звена, и из точки d проводим прямую в направлении силы, т.е. параллельную оси звена. Далее, из точки а проводим прямую в направлении силы, т.е.

перпендикулярную к оси хх. Точка пересечения е этих прямых определит величины реакций будет представлена в масштабе отрезком (се), а реакция - отрезком (еа). Реакция или равная ей по величине и противоположная по направлению реакция будет представлена отрезком (ве).

Остается еще определить точку к приложения силы направляющей хх. Для этого составляем уравнение моментов сил, действующих на звено 2, относительно точки с. Имеем:

так как В этом уравнении неизвестным будет только плечо h силы, которое из этого уравнения может быть определено.

Имеем:

(5.15) Положение плеча h относительно точки с определится знаком правой части этого уравнения.

В общем случае точка к положения силы может оказаться лежащей вне ползуна. Тогда очевидно, что под действием этой силы ползун получит некоторый момент, перекашивающий этот ползун в направляющих.

Для определения этого перекашивающего момента переносим точку приложения силы в точку 0- центр ползуна. На ползун действует сила и пара сил с моментом, равным по величине, где расстояние от точки к до точки о – центра ползуна. Пару сил с моментом М удобно представить в виде двух сил и, приложенных в крайних точках N и L ползуна. Если обозначить длину ползуна через, то величина силы выразится так:

(5.16) Таким образом, ползун будет находиться под воздействием силы, приложенной в точке о, и сил и приложенных в точках N и L и создающих пару с моментом М.

Рисунок 5.15 – К определению координаты точки K Кинетостатика группы Ассура II класса, 2-го порядка 3-го вида Звенья поступательной пары имеют движение вдоль оси хх. На группу действуют внешние силы и и пары с моментами и.

Рисунок 5.16 – Кинетостатика группы Ассура II класса 2-го порядка 3-го вида Уравнение равновесия всех сил, действующих на группу II класса рассматриваемого вида таково:

. (5.16) Реакции разлагаем на составляющие, параллельные оси х х и перпендикулярные к ней. Имеем:

Для определения составляющие и составляем уравнения равновесия каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности. Уравнения равновесия составляем в виде уравнений проекций на ось х-х всех сил, действующих на каждое из звеньев 2 и 3.

Для звена 2 имеем:

так как проекции сил и х-х равны нулю.

Для звена 3 имеем:

так как проекции сил и на ось х-х равны нулю. Определяем составляющие и. Имеем:

Подставляя полученные значения, имеем:

В написанном уравнении не известны только величины сил и. Для их определения строим план сил. Из произвольной точки в масштабе откладываем силу и прибавляем к ней силу. Далее из точки с откладываем известную нам силу, а из точки а – известную силу, параллельные оси х-х. Cоединив точки и, получаем отрезок, который представляет сумму сил и, так как эти силы параллельны.

Для определения каждой из этих сил в отдельности составляем уравнение моментов сил, действующих на рассматриваемую группу, относительно точки D. Имеем:

Из этого уравнения определится величина силы. Отложив величину этой силы в виде отрезка на прямой, получаем, что сила будет тогда изображаться в плане сил отрезком. Полная реакция будут изображаться в масштабе отрезком, полная реакция отрезком и, наконец, две равные и противоположно направленные реакции и - отрезком (в.

Для определения точки к приложения силы составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки D.

Имеем:, так как. В уравнении неизвестным является только плечо h силы, входящее в выражение для момента.

Определяем h:

(5.17) Так же как и для группы II класса второго вида, действие результирующей реакции может быть заменено действием реакции, приложенной в центре поступательной пары, и парой сил,.

Кинетостатический расчет начального звена механизма Рассмотрим теперь, как может быть определена в общем случае реакция в кинематической паре, в которую входит со стойкой начальное звено. Это звено обычно входит со стойкой или в поступательную пару V класса или во вращательную пару V класса. Поэтому рассмотрим оба эти случая отдельно.

Под действием произвольно приложенных к нему сил, в том числе и сил инерции, начальное звено в общем случае не находится в равновесии, так как при числе подвижных звеньев, равном единице, и числе пар V класса, равном также единице, число уравнений равновесия, которое мы можем составить, на единицу меньше числа неизвестных, подлежащих определению, так как Чтобы имело место равновесие, необходимо дополнительно ввести силу или пару сил, уравновешивающую все силы, приложенные к начальному звену. Эта сила и момент носят название уравновешивающей силы и уравновешивающего момента. Условимся уравновешивающую силу обозначить через, а уравновешивающий момент – через. Рассмотрим вопрос о том, какие же силы и моменты будут в машинах уравновешивающими.

Рисунок 5.17 – Кинетостатика ведущего звена (ведущее звено входит со стойкой во вращательную пару) Предположим, что рассматривается задача о силовом расчете кривошипно-шатунного механизма одноцилиндрового поршневого двигателя, приводящего во вращение какую-либо рабочую машину. Если в качестве звена, закон движения которого задан, выбран кривошип двигателя, то присоединяемая группа II класса будет состоять из шатуна и поршня. После силового расчета этой группы определится реакции шатуна на кривошип Рисунок 5.18 Кинетостатика ведущего (сила ). Кроме того, кривошип будет звена ( ведущее звено со стойкой находиться под действием силы и пары входит в поступательную сил с моментом. Под действием этих кинематическую пару) сил и реакции кривошип в общем случае не будет находиться в равновесии. Для равновесия необходимо приложить уравновешивающую силу или момент. этими уравновешивающими силой и моментом будут реактивные силы или момент от сил сопротивления той рабочей машины, которая приводится в движение рассматриваемым двигателем. Если коленчатый вал двигателя и главный вал рабочей машины соединены посредством муфты, то мы будем иметь в качестве уравновешивающего момента, приложенного к валу двигателя, момент от сил сопротивления рабочей машины.

Если коленчатый вал двигателя соединен с главным валом рабочей машины посредством зубчатой передачи, то мы будем иметь в качестве уравновешивающей силы, приложенной к зубчатому колесу, сидящему на валу двигателя, приведенную силу от всех сил сопротивления рабочей машины. Очевидно, что эта приведенная сила, если пренебречь трением в сопряженных профилях зубцов, будет направлена по нормали к профилям сопряженных зубцов зубчатой передачи. Таким образом, линия действия уравновешивающей силы полностью определяется конструкцией передаточного механизма от двигателя к рабочей машине.

Обратно, при силовом расчете ведущего звена рабочей машины уравновешивающими силой или моментом будут сила или момент, развиваемые двигателем и приложенные к ведущему звену рабочей машины.

Пусть ведущее звено АВ входит с неподвижным звеном во вращательную пару, и на это звено действует сила, представляющая собой реакцию звена 2 на звено 1, заданная сила и паре сил с моментом.

Для определения величины уравновешивающей силы необходимо найти ее линию действия. Последнее может быть сделано, если рассмотреть конструкцию передаточного механизма, связывающего звено АВ со звеном той машины, которая приводится в движение от звена АВ или от которой звено АВ само приводится в движение. Пусть линией действия уравновешивающей силы будет прямая хх. Тогда величина момента определится из уравнения моментов всех сил, действующих на звено АВ, относительно точки А.

Имеем:

так как. Отсюда получаем значение момента :

Знак момента определяется величинами и знаками моментов: и. Величина уравновешивающей силы, определяется из условия где - есть известное плечо уравновешивающей силы. Тогда имеем:

(5.19) Так как величина и направление силы теперь нам известны, то давление в кинематической паре А определится обычным способом из уравнения Графическое решение этого уравнения показано на рисунке.

Если уравновешивающей будет не сила, а пара сил, то величина уравновешивающего момента определится из уравнения:

Давление в кинематической паре А определится из уравнения =0, Откуда Предположим, далее, что ведущее звено 1 входит с неподвижным звеном в поступательную пару. Тогда давление в паре А будет направлено перпендикулярно к оси движения поступательной пары. Пусть уравновешивающая сила направлена по линии действия х-х. Величина силы определится из уравнения:

В этом уравнении силы заданы, а сила и известны по направлению. Графическое решение этого уравнения показано на рисунке (5.18) Для определения точки N приложения реакции составляем уравнение моментов всех сил относительно точки к приложения силы.

Имеем:

В этом уравнении неизвестно только плечо h силы, которое и может быть определено. Имеем:

Направление, в котором должен быть отложен отрезок h зависит от величины и знаков моментов и,.

Основные выводы по силовому расчету механизмов и определению реакций в кинематических парах 1. В задачу силового расчета входит определение всех сил и моментов пар сил, которые приложены к каждому отдельному звену механизма. Эти силы или моменты надо знать, например, для расчета на прочность отдельных звеньев механизма или их частей (деталей).

Для того, чтобы механизм находился в равновесии под воздействием внешних сил, к одному из звеньев его должна быть приложена уравновешивающая сила или уравновешивающая пара сил, характеризуемая ее моментом - уравновешивающим моментом. Эти силу или момент обычно считают приложенными к ведущему звену, которое либо получает энергию, потребную для движения механизма извне, как это имеет место у механизмов рабочих машин, либо отдает ее, как это имеет место у механизмов двигателей.

Если при силовом расчете механизма в число известных внешних сил не включена инерционная нагрузка на звенья, то силовой расчет механизма называется статическим. Такой расчет состоит из а) определения реакций в кинематических парах механизма, б) нахождения уравновешивающей силы или момента. Если же при силовом расчете механизма в число известных внешних сил, приложенных к его звеньям, входит инерционная нагрузка на звенья, то силовой расчет механизма называется кинетостатическим. Для проведения его необходимо знать закон движения ведущего звена, чтобы иметь возможность предварительно определить инерционную нагрузку на звенья.

2. В методах силового расчета предполагается, что к плоскому механизму приложена плоская система сил. Такое предположение практически справедливо только тогда, когда подвижные звенья механизма имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскостям движения их точек, и все силы лежат в этой плоскости.

Следует иметь в виду, что определяемые излагаемыми методами реакции в кинематических парах являются результирующими распределенных нагрузок, которые реально возникают между элементами кинематических пар механизма. Характер распределения этих нагрузок на элементах кинематических пар зависит от конструктивного оформления этих элементов, их размеров, упругих свойств и т.п. Это обстоятельство всегда надо иметь в виду при расчете на прочность элементов кинематических пар, а также при учете работы или мощности, затрачиваемой на преодоление трения в этих парах.

В постановке задач настоящего раздела в большинстве случаев не учитывается трение в кинематических парах механизма. Получающиеся от этого ошибки незначительны, так как обычно в механизмах элементы кинематических пар работают со смазкой и поэтому реакции, рассчитанные без учета трения, мало отличаются по величине и направлению от реакций, найденных с учетом трения. Трением нельзя пренебрегать при значительных величинах коэффициентов трения и при положениях механизма, в которых возможно заклинивание или самоторможение.

Силовой расчет производится в следующей 3.

последовательности.

Определяются все внешние силы, приложенные к звеньям 3.1.

механизма, от действия которых требуется найти реакции в кинематических парах механизма.

Выбирается ведущее звено. Устанавливается, что приводит 3.2.

в движение извне это звено (для механизмов рабочих машин) или что приводится в движение вовне этим звеном (или механизмов двигателей), для решения вопроса о том, должна ли быть приложена к ведущему звену уравновешивающая сила или уравновешивающий момент, чтобы был обеспечен заданный закон движения ведущего звена.

Проводится расчленение ведомой кинематической цепи 3.3.

механизма на группы Ассура.

Проводится силовой расчет каждой группы Ассура в 3.4.

отдельности, так как группа Ассура является статически определимой системой. Расчет следует начинать с группы Ассура, присоединенной к механизму при его образовании в последнюю очередь;

затем перейти к следующей группе и так до тех пор, пока не будет произведен силовой расчет всех групп, образовавших ведомую часть механизма.

В заключении производится силовой расчет ведущего 3.5.

звена. Задачи обычно решают графоаналитическим методом, используя уравнения равновесия всей группы или отдельных ее звеньев в форме В число сил и моментов, входящих в эти уравнения, включаются реакции в кинематических парах группы.

На основании этих уравнений строится многоугольник сил, который носит название плана сил группы, причем в первую очередь находятся реакции во внешних кинематических парах группы, а затем во внутренних парах по условиям равновесия звеньев группы, взятых порознь.

В случае, когда в механизме имеются кинематические пары IV класса (высшие), необходимо построить заменяющий механизм и далее вести расчет погруппно.

Для реакций, возникающих между элементами кинематических пар, приняты следующие обозначения: реакция со стороны звена к на звено l обозначается, реакция же со стороны звена l на звено к соответственно обозначается. очевидно, что Реакция характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения.

Пренебрегая трением в кинематических парах, можно отметить следующее. Во вращательной паре подлежат определению величина и направление реакции, так как ее линия действия проходит через ось вращения пары. В поступательной паре подлежат определению величина и точка приложения реакции, так как известно только то, что направление реакции всегда перпендикулярно оси направляющих пары. В высшей кинематической паре (паре IV класса) подлежит определению только величина реакции, так как реакция направлена по общей нормали к кривым, образующим пару, и приложена в точке их касания.

Примеры на силовой расчет механизмов Пример 1. Провести силовой расчет кривошипно-ползунного Рисунок 5.19 Силовой расчет кривошипно - ползунного механизма компрессора механизма компрессора, данного в положении, когда угол.

Размеры звеньев: =0,1 м;

=0,4 м;

нагрузка на звенья механизма: к звену AB в точке приложена сила она направлена вдоль линии AB, расстояние =0,02 м;

к звену 2 приложена сила, она направлена под углом к линии ВС и приложена в точке.

Расстояние =0,1 м. К этому же звену приложен момент ;

к звену 3 приложена сила, она направлена параллельно линии Ax и так, что ее линия действия проходит через точку С. Уравновешивающий момент приложен к звену 1.

Определить: реакцию в поступательной кинематической паре С, которая направлена перпендикулярно линии реакцию во Ax;

вращательной паре С;

реакцию во вращательной паре В;

реакцию во вращательной паре А и уравновешивающий момент, приложенный к звену 1.

Решение.

1. Все внешние силы, действующие на звенья механизма, заданы, поэтому этот этап расчета выполнен.

2. Уравновешивающий момент по условию приложен к звену 1, поэтому ведущим звеном следует считать звено 1.

3. От механизма может быть отделена группа Ассура, состоящая из звеньев 2 и 3. Эта группа относится ко второму классу второго вида.

4. Составляем уравнения равновесия группы, состоящей из звеньев 2 и 3:

В этом уравнении содержится три неизвестных: величина и направление реакции и величина реакции. Для того, чтобы его решить, т.е. чтобы построить представленную им векторную сумму, разложим реакцию на две составляющих:, направленную перпендикулярно линии ВС, и направленную параллельно линии ВС.

Теперь геометрическая сумма сил, приложенных к группе, равна Величину силы найдем, рассматривая равновесие звена 2.

Напишем равенство нулю суммы моментов относительно точки С вех сил, приложенных к звену 2 (тем самым исключим из него момент неизвестной реакции ).

В качестве второго взято уравнение которое, будучи развернутым, примет вид откуда где найдено по чертежу.

Строим план сил группы в масштабе Порядок построения векторной суммы, вообще говоря, безразличен, но применительно к группам Ассура можно рекомендовать следующий:

назначаем обход контура группы в каком-либо направлении (например, по ходу часовой стрелки) и силы на плане сил откладываем в такой же последовательности, в какой мы эти силы встречаем на группе при обходе ее контура в выбранном направлении. В нашем случае принят обход контура группы по ходу часовой стрелки. Отложим от точки а силу в виде отрезка от точки откладываем силу в виде отрезка, далее от точки с откладываем силу в виде отрезка Через точку а проводим прямую, параллельную ВС. Это будет линия действия силы, а через точку d – прямую, перпендикулярную Ах.

Она будет линией действия силы Находим точку пересечения е этих двух прямых.

Отрезок в масштабе даст искомую реакцию, а отрезок в том же масштабе – реакцию и, наконец, отрезок даст искомую реакцию.

Для нахождения реакции напишем условие равновесия звена 2:

Из плана сил видно, что отрезок в масштабе соответствует искомой реакции.

Реакция должна проходить через точку С, так как к ползуну приложены только три силы, из которых две ( и ) проходят через эту точку.

5. Силовой расчет ведущего звена 1. К звену 1 приложена сила сила (ее величина определяется из плана сил отрезком, сила сила (реакция) и уравновешивающий момент Из равенства нулю суммы моментов относительно точки А сил, приложенных к звену 1, находим величину момента уравновешивающей пары сил:

, где (плечо силы находится по чертежу. Условием равенства нулю векторной суммы сил, приложенных к звену 1, будет Отсюда находим модуль реакции путем построения векторного треугольника сил:.

Пример 2. Для механизма шасси самолета найти мощность N, затрачиваемую на трение во всех кинематических парах при том положении его звена 1, когда. Угловая скорость звена 1 постоянна и равна. Размеры звеньев: ;

;

. К механизму приложены ;

;

;

нагрузки: к звену 3 – сила тяжести (приложена в центре масс, координата центра масс, горизонтальная сила от набегающего воздушного потока (приложена в центре масс ) и сила тяжести колеса (приложена в точке Е);

звено 2 не нагружено. Диаметры цапф вращательных кинематических пар А, В, С, D соответственно равны коэффициенты трения во всех кинематических парах.

Заметим, что в тех случаях, где надо определить мощность, затрачиваемую на преодоление трения в кинематических парах механизма, следует поступать так:

- в начале определяем реакции в кинематических парах, не учитывая трение между элементами кинематических пар;

- далее по найденным реакциям подсчитываем силы или моменты сил трения, возникающие в этих парах.

По определенным силам или моментам сил трения подсчитываем мощность, затрачиваемую на преодоление трения в кинематических парах механизма.

Рисунок 5.20 – Силовой расчет механизма шасси самолета Решение. 1. Строим схему механизма в масштабе 2. Строим план скоростей по уравнению.

На плане скорость изображена отрезком, скорость отрезком и скорость - отрезком.

Масштаб плана скоростей 3. Находим абсолютные угловые скорости звеньев (знак «плюс»

приписываем угловой скорости, направленной против движения часовой стрелки).

Угловая скорость звена 1 известна (задана), угловая скорость звена 2 равна а угловая скорость звена 3 равна Подсчитываем относительные угловые скорости :

5.Определяем реакции в кинематических парах механизма.

Рассматриваем равновесие группы второго класса первого вида (в нее входят звенья 2 и 3).

Звено 2 не нагружено, поэтому реакция в шарнире В направлена вдоль линии ВС. Эту реакцию находим из условия равновесия всей группы, каким является равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к звеньям группы, относительно оси шарнира D:

Отсюда где - плечи соответствующих сил, найденных по чертежу.

Величина реакции в шарнире С равна, так как звено 2 не нагружено. Реакция в шарнире D найдется построением плана сил группы:

На плане сил сила изображается отрезком, поэтому она равна.

Масштаб плана сил Переходим к ведущему звену. Для ведущего звена 1 уравнением равновесия будет так как, то Подсчет мощности, теряемой на трение в отдельных кинематических парах, производится по формуле:

во вращательной паре где - величина нормальной составляющей реакции со стороны звена на звено ;

- коэффициент трения скольжения во вращательной паре;

- радиус шипа звена ;

- угловая скорость звена по отношению к звену, равная алгебраической разности абсолютных угловых скоростей звеньев и :

.

Затрата мощности в каждой из пар А, В, С и D будет соответственно равна Общая мощность, теряемая на трение во всех парах, равна 5.3 Линейные уравнения в механизмах Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью подвижности уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении типовых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка, относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения механизма может быть выше второго. Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени.

Условимся в левой части уравнения записывать члены, содержащие обобщенную координату и ее производные, а в правой части иметь функцию времени и ее первую производную. Таким образом, в левую часть войдут члены, представляющие приведенные моменты сил инерции, и члены, являющиеся составляющими обобщенных (приведенных) внешних сил и сил трения, зависящие от положений и скоростей точек звеньев. В правой части будет функция и ее первая производная по времени. При указанных предположениях уравнение движения механизма принимает вид (5.20) где - постоянные коэффициенты.

,,,, Обобщенные координаты могут быть угловыми и линейными величинами. Для удобства рассмотрения нелинейного механизма, а группы механизмов, переменные, входящие в уравнение (5.20), представляют в безразмерной форме. За модули измерения обобщенной координаты и обобщенных сил (моментов) принимают их средние, номинальные или начальные значения. Безразмерные переменные обозначим через а коэффициенты при переменных у и х будем считать равными единице. Тогда уравнение (5.20) принимает вид (5.21) Постоянные коэффициенты имеют размерность времени,, (секунды) и потому называются постоянными времени. Изменения обобщенных координат (перемещения точек звеньев) происходят в механизмах под действием заданных сил. Поэтому функцию х при исследовании динамики механизмов часто называют входной величиной, а функцию у – выходной величиной, или откликом системы.

Если оператор дифференцирования по времени обозначить через р, то производные будут представлены в следующем виде:

,,.

, Подставляя эти обозначения в уравнение (5.21), получаем его операторную запись или. (5.22) При частных значениях коэффициентов и получаем, частные виды уравнения (5.22). Cреди них выделим типовые уравнения, часто встречающиеся при рассмотрении движения, точнее, динамики механизмов. Эти уравнения разделим на три группы:

- уравнения позиционного типа;

- уравнения интегрирующего типа;

- уравнения дифференцирующего типа.

Заметим, что в теории автоматического регулирования говорят не о типе уравнений, а о «динамических звеньях», движение которых описывается данным уравнением, например, интегрирующее звено, дифференцирующее звено и т.д.

К уравнениям позиционного типа относятся:

- уравнение усилительного типа (безынерционного) (5.23) - уравнение апериодического типа (5.24) - уравнение второго порядка апериодического типа (5.25) где ;

- уравнение колебательного типа (5.26) где - уравнение консервативного типа (5.27) В механизме с уравнением усилительного (безынерционного) типа (5.23) при изменении входной величины (безразмерной силы х) мгновенно без запаздывания изменяется и выходная величина (безразмерная координаты у). Переходный процесс отсутствует, а коэффициент к, называемый коэффициентом усиления (передаточным коэффициентом), дает всегда отношение выходной и входной величин.

В механизме с уравнением апериодического типа (5.24) выходная величина у при скачкообразном изменении входной величины х нарастает монотонно, и продолжительность переходного процесса зависит от постоянной времени Т. Чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает процесс. Коэффициент усиления к дает отношение установившихся значений выходной и входной величин.

В механизмах с уравнением второго порядка апериодического типа (5.25) переходной процесс также монотонный, но его продолжительность зависит от двух постоянных времени: и.

В механизмах с уравнением колебательного типа (5.26) выходная величина у после скачкообразного изменения входной величины х совершает колебания около того значения, которое должно установиться.

Затухание колебаний зависит от коэффициента, называемого иногда коэффициентом демпфирования. Чем больше, тем быстрее заканчивается переходный процесс.

Уравнение консервативного типа (5.27) можно рассматривать как вырожденный случай уравнения колебательного типа. Колебания в механизме с уравнением этого типа не затухают. Коэффициент усиления к дает отношение амплитуды гармонических колебаний выходной величины к постоянной входной величине.

К уравнениям интегрирующего типа относятся:

- уравнения интегрирующего идеального типа (5.28) - уравнения интегрирующего инерционного типа (5.29) уравнения изодромного типа (5.30) В механизмах с уравнениями интегрирующего типа при постоянном входном воздействии х выходная величина у неограниченно растет. В механизмах с уравнением интегрирующего идеального типа (5.28) коэффициент усиления к определяет скорость роста выходной величины. В механизмах с уравнением интегрирующего инерционного типа (5.29) режим пропорционального роста выходной величины устанавливается не сразу, а позднее, чем больше постоянная времени Т.

В механизмах с уравнением изодромного типа (5.30) имеет место некоторый начальный скачок выходной величины у, а затем ее неограниченное нарастание. Коэффициент усиления к определяет скорость последующего нарастания выходной величины у.

К уравнениям дифференциального типа относятся:

- уравнение дифференцирующего идеального типа (5.31) - уравнение дифференцирующего инерционного типа (5.32) В механизмах с уравнениям дифференцирующего типа выходная величина у изменяется в зависимости от скорости изменения входной величины. Например, если входная величина в уравнении дифференцирующего типа нарастает с постоянной скоростью, то выходная величина у удерживается на постоянном уровне, пропорциональном этой скорости.

Уравнения движения механизма, представленные уравнениями (5.23) – (5.32), можно решать различными методами, разработанными для дифференциальных уравнений с правой частью и постоянными коэффициентами в левой части. В некоторых случаях можно найти в справочниках готовое решение. Однако надо иметь в виду, что в уравнениях (5.23) – (5.32), функции могут быть довольно разнообразными, и потому число возможных комбинаций уравнений оказывается больше, чем имеется в справочниках. Кроме того, для вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям также могут потребоваться трудоемкие выкладки.

Из всех известных методов решения линейных дифференциальных уравнений в задачах теории механизмов и машин наибольшее распространение за последние годы получил операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. К достоинствам этого метода надо отнести:

во-первых, замену дифференциальных уравнений алгебраическими, решение которых позволяет затем найти искомые решения дифференциальных уравнений;

во-вторых, возможность получения вспомогательных функций (динамических передаточных функций), которые позволяют установить свойства получаемых решений, не зависящие от вида функций и от начальных условий, что облегчает качественное исследование уравнений движения механизма.

5.4 Нелинейные уравнения движения в механизмах Методы линеаризации при решении уравнений движения.

Виды нелинейностей в механизмах.

Нелинейности в уравнениях движения механизмов возникают или из-за нелинейной зависимости инерционных коэффициентов от обобщенных координат, или из-за нелинейных характеристик сил, действующих на звенья механизма. На рисунке (5.21)показаны типовые нелинейные характеристики упругих и диссипативных (рассеянных) сил.

В большинстве случаев зависимость между силой F и упругой деформацией х в соответствии с законом Гука для металлов принимается линейной (прямая 1, (a)), т.е. Рисунок 5.21 – Типовые нелинейные характеристики упругих и диссипативных коэффициент жесткости c (рассеянных) сил считается постоянной величиной. Однако для резины коэффициент жесткости возрастает с увеличением силы F, и тогда характеристика F(x) называется жесткой (кривая 2, (a)). Такую же характеристику имеют упругие силы, действующие на элементы высших пар, так как при точечном или линейном контактах рабочих поверхностей контактная жесткость возрастает с ростом нагрузки.

Мягкую характеристику (кривая 3, ) часто имеют звенья, выполненные из полимеров. Кроме того, иногда для получения требуемых динамических характеристик вводят в состав механизма специальные демпфирующие устройства и конические пружины с нелинейными характеристиками типа кривых 2 и 3.

Нелинейными считаются также характеристики, которые имеют точки разрыва или излома. Например, на рис.5.21 показана нелинейная характеристика типа зазор. При перемещении элемента кинематической пары в пределах зазора на величину упругая сила равна нулю, а затем изменяется по линейному или нелинейному законам. Характеристики сил с точками разрыва или излома называют существенно нелинейными, так как в этих точках нельзя определить производную функции и использовать обычный прием линеаризации посредством разложения в ряд Тейлора. На этом основании характеристика силы трения при сухом или граничном трении считается нелинейной даже в случае, если коэффициент трения скольжения имеет постоянную величину.

В некоторых случаях деформации звеньев механизма сопровождаются заметной диссипацией (рассеянием) энергии, связанной с учетом сил неупругого сопротивления. Тогда график имеет две ветви, причем верхняя ветвь соответствует нагрузке, а нижняя разгрузке (г).

Контур, образованный этими ветвями, называется петлей гистерезиса.

Площадь, расположенная внутри петли гистерезиса, пропорциональна работе, затраченной за один цикл на преодоление сил неупругого сопротивления. Отношение этой работы к работе, затраченной на деформацию, называется коэффициентом рассеяния.

Линеаризация на малых участках характеристики.

При малых перемещениях х нелинейная характеристика может быть линеаризована в окрестности некоторой величины х=х0, находящейся внутри рассматриваемого отрезка изменения х, на основании разложения функции в ряд Тейлора со степенями отклонения.

Ограничиваясь первыми двумя членами этого ряда, получаем (5.33) где - производная от по х.

Геометрическое условие означает, что на нелинейной характеристике в окрестности точки х=х0 кривая заменяется отрезком касательной в этой точке.

Рисунок 5.22 – Линеаризация на малых участках характеристики Линеаризация на больших участках характеристики.

В этом случае для замены кривой на отрезке прямой линией следует применять методы приближения функций. Ограничимся изложением двух простейших способов. По первому способу на отрезке ближе к его концам выбираются две точки с абсциссами х1 и х2, и через эти точки проводится искомая прямая, заменяющая характеристику на выбранном отрезке. Этот способ соответствует линейному интерполированию кривой по двум точкам (5.34) где : – угловой коэффициент прямой, d – ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Рисунок 5.23 - Линеаризация на больших участках характеристики Из линейной системы (5.34) находим величины и d, определяющие искомую линеаризацию на участке :

При произвольном выборе абсцисс и отклонение прямой линии от заданной кривой по концам отрезка и максимальное отклонение внутри этого отрезка в общем случае оказываются не равными между собой. Путем изменения абсцисс и можно достичь равенства указанных отклонений, и тогда на основании теории равномерного (наилучшего) приближения функций максимальное отклонение будет минимальным (приближение по Чебышеву). Отсюда следует второй способ линеаризации, который приводит к решению системы четырех уравнений (5.35) где - максимальная величина отклонения прямой от заданной кривой;

- абсцисса точки кривой внутри отрезка, в которой достигается величина.

Вместо решения системы можно с достаточной для механизма точностью воспользоваться графическим построением искомой прямой по условию равенства максимальных отклонений с последовательным чередованием знаков.

При аналитическом определении коэффициентов и d можно применить также условия квадратического приближения, при котором минимизируется величина среднеквадратического отклонения.

Метод гармонического баланса.

Линеаризация отдельных членов нелинейного уравнения движения механизма позволяет привести его к линейному виду, но получаемые при этом приближенные решения оказываются близкими к точным только в тех пределах изменения обобщенных координат и скоростей, которые были приняты при линеаризации. Обычно эти пределы соответствуют малым колебаниям около положения равновесия, и поэтому методы линеаризации, рассмотренные ранее, как правило, не пригодны для исследования периодических движений с достаточно широкими пределами изменения обобщенных координат и скоростей. В этих случаях удобнее методы, основанные на приближенной замене нелинейного уравнения движения механизма линейным уравнением определенного типа, решение которого предположительно является близким к искомому решению.

Метод Галеркина.

Приближенное решение нелинейного уравнения, получаемое по методу гармонического баланса, будет близко к точному только при условии, что форма предполагаемого решения выбрана удачно, т.е. движение близко к гармоническому. Большие возможности для выбора формы предполагаемого решения уравнения предоставляет метод Галеркина, согласно которому искомое приближенное решение можно выбирать из семейства функций, зависящих от независимых параметров, причем все функции, принадлежащие этому семейству, являются периодическими с периодом, равным периоду функции.

Метод малого параметра.

Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее значение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр. Происхождение термина связано с тем, что при уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок.

Линейное уравнение, получаемое при, называется порождающим.

Метод медленно меняющихся параметров.

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т.е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т.п.). Тогда для отыскания приближенных решений нелинейных уравнений движения и исследования их устойчивости применяется метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный на усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения.

Метод точечных преобразований.

Движение механизма с одной степенью свободы в любой момент времени определяется значениями его обобщенной координаты и обобщенной скорости. Скалярные величины и можно рассматривать как декартовы координаты точки в плоской системе координат,.

Эта точка называется изображающей, а плоскость - фазовой плоскостью. При движении звеньев механизма величины и изменяются, и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, описывающих возможные движения звеньев механизма, называется фазовым портретом (фазовой диаграммой).

Применительно к уравнениям движения механизма не выше второго порядка уравнение фазовой траектории можно получить, если заменить уравнение движения механизма эквивалентной системой двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно и :

(5.36) Интегрирование этой системы дает зависимость, т.е.

уравнение фазовой траектории. Заметим, что эта система является автономной, т.е. не зависит от времени. При колебательных движениях величины не выходят за некоторые пределы, и весь фазовый портрет занимает ограниченную часть фазовой плоскости.

5.5 Регулирование хода машин Графоаналитические методы решения нелинейных уравнений движения механизма при силах, зависящих от положения звеньев Пусть приведенная сила задана как функция обобщенной координаты (линейного перемещения точки приведения звена приведения – начального (входного) звена. Приведенная масса также есть заданная функция той же координаты. Тогда для определения закона движения начального звена удобно применить уравнение движения машинного агрегата (звена приведения) в форме кинетических энергий для поступательного движения (5.37) В этом уравнении - приведенные масса и скорость точки приведения, соответствующие начальному положению точки приведения.

Из уравнения получаем (5.38) Если начальный момент движения агрегата соответствует началу пуска агрегата, то скорость равна нулю, а искомая скорость равна (5.39) Эти уравнения и дают зависимость скорости точки приведения от пути точки приведения, т.е. зависимость.

Для определения времени движения агрегата можем воспользоваться уравнением откуда S (5.40) Подставляя значение получим (5.41) Если за начало отсчета времени принимается момент пуска агрегата, то уравнение принимает вид (5.42) Получив зависимости и, методом исключения пути S получим зависимость.

Для определения полного ускорения точки приведения можно воспользоваться разложением его на нормальное и тангенциальное ускорения:

Величина нормального ускорения равна (5.43) где – длина звена приведения.

Величина тангенциального ускорения точки приведения равна (5.44) Таким образом, тангенциальное ускорение может быть определено, если продифференцировать зависимость.

Пусть приведенный момент сил задан как функция обобщенной координаты (угла поворота звена приведения – начального звена).

Приведенный момент инерции также есть заданная функция той же координаты. Тогда для определения закона движения начального звена удобно применить уравнение движения машинного агрегата в форме кинетических энергий для вращательного движения (в форме интеграла энергии).

(5.45) с начальными условиями: при Из уравнения движения механизма непосредственно получаем величину угловой скорости начального звена как функцию обобщенной координаты :

(5.46) В некоторых случаях интеграл в подкоренном выражении может быть представлен в конечном виде. Однако, как правило, этот интеграл может быть найден только численными методами, и тогда искомая функция представляется рядом своих последовательных значений при изменении угла до некоторого значения, определяющего конец рассматриваемого этапа движения.

Для того, чтобы найти закон движения начального звена, представим известную нам теперь функцию в следующем виде:

После интегрирования получаем (5.47) Это интегрирование также выполняется численным методом.

В результате находим функцию, зная которую можно найти искомую функцию (5.48) Если требуется найти угловое ускорение начального звена, то, продифференцировав функцию по обобщенной координате, т.е.

определив аналог углового ускорения, находим угловое ускорение (5.49) Указанный путь определения функций оказывается невозможным, если. Тогда на участке от до применяется дифференциальное уравнение движения второго порядка (5.50) Из этого уравнения при и получаем (5.51) При достаточно малом приращении времени для вычисления и, т.е. следующей точки функции, применяются формулы равноускоренного движения (5.52) Далее можно вычислять интеграл в пределах от или же продолжить решение дифференциального уравнения любым численным методом.

(5.53) При больших объемах вычислений можно воспользоваться усовершенствованными приемами интегрирования дифференциальных уравнений, излагаемых в курсах вычислительной техники.

МД Мс j Jn м а) Fab Fcd Мс МД Fbc в) с a e b d e T T б) т k1 1 n 3 Jn 0 p k 11 10 84 l г) l Oт Oм m Рисунок 5.24 -Диаграмма энергомасс (метод Виттенбауэра) Графоаналитический метод решения нелинейных уравнений методом Виттенбауэра Характеристики сил, действующих на звенья механизма, как правило, известны лишь приближенно и часто задаются в графическом виде. Поэтому наряду с численными методами интегрирования уравнений движения механизма применяются также графические и графоаналитические методы. Из этих методов рассмотрим только метод Виттенбауэра, который позволяет в наглядной форме показать, как изменяется угловая скорость начального звена и кинетическая энергия механизма при изменении приведенного момента инерции.

Рассмотрим, например, установившееся движение с периодом, равным. Движущий момент сил, действующих на вращающееся звено, имеет постоянную величину, приведенный к этому звену момент всех других внешних сил функция обобщенной координаты (угла поворота начального звена). Для удобства расчетов величина отложена вверх от оси абсцисс, если есть момент сил сопротивления.

При установившемся движении должно удовлетворяться условие (5.54) Отсюда (5.55) где - соответственно масштабные коэффициенты моментов сил и углов поворота ;

) – площадь, заключенная между осью абсцисс и ( графиком, причем площадь, расположенная ниже оси абсцисс, должна вычитаться из площади, расположенной выше оси абсцисс.

Уравнение движения в данном случае имеет вид (5.56) где - приращение кинетической энергии по отношению к начальному положению, т.е. разность между значением кинетической энергии при данном значении угла и ее значением при.

По этому уравнению строим график приращения кинетической энергии как функции угла. Для этого измеряем любым способом в мм2, заключенную между графиками в пределах от до текущего значения считая эту площадь положительной при и отрицательной при. С учетом масштабных коэффициентов получаем.

Затем по формуле для приведенного момента инерции (5.57) для исследуемого механизма строим график зависимости приведенного момента инерции от угла, причем с целью упрощения последующего исключения переменной из графиков располагаем координатные оси, как показано на рисунке. Исключение угла выполняется путем нахождения пересечения горизонталей, проведенных из точек графика с вертикалями, проведенными из соответствующих точек графика (г). Полученный график зависимости приращения кинетической энергии от приведенного момента инерции называется диаграммой энергомасс (Виттенбауэра). По ней можно определить значение угловой скорости начального звена в любом положении механизма, если известно значение при. Для этого откладываем значение кинетической энергии при от начала координат графика вниз по оси ординат. Полученная точка определяет начало координат графика. Луч, соединяющий любую точку диаграммы Виттенбауэра с началом координат, образует с осью абсцисс угол, тангенс которого пропорционален квадрату угловой скорости. Для доказательства этого положения найдем из прямоугольного треугольника и учитывая, что получим (5.58) Если соединить последовательно все точки кривой с началом, определить последовательно все углы воспользовавшись формулой(5.58) подставить значения тангенсов этих углов, то можно получить значение квадратов угловых скоростей звена (начального) для всех положений механизма.

Имеем:

(5.59) Отсюда следует, что угловые скорости звена пропорциональны корням квадратным из тангенсов углов (5.60) Так определяются значения угловой скорости звена приведения механизма.

Пользуясь этими значениями, можно построить график угловой скорости звена приведения в функции угла, т.е.

Рисунок 5,25 - График угловой скорости звена.

приведения в функции Кривая времени движения в функции угла, т.е. может быть построена, если воспользоваться вышеприведенным уравнением.

Любой промежуток времени от начала движения до данного момента времени равен (5.61) Интеграл в правой части формулы может быть получен, точнее определен аналитически (численными методами) или графически, если задана величина в функции угла. Кривая, изображающая эту зависимость, может быть построена по точкам, так как значения скорости уже известны.

Величина скорости приведения равна. Далее можно определить тангенциальное уравнение точки, так как величина этого ускорения может быть представлена так:

(5.62) Видно, что правая часть уравнения (5.62) может быть определена, так как производная может быть получена путем графического дифференцирования графика.

Нормальное ускорение определится по уравнению (5.63) Зная скорость и ускорение точки А звена приведения, нетрудно методом планов скоростей и ускорений определить скорости, ускорения и силы инерции отдельных звеньев, а также провести полный силовой расчет механизмов машинного агрегата в условиях неравномерно вращающегося звена приведения.

Таким образом, с помощью диаграммы и последующих графоаналитических расчетов может быть полностью и точно исследован вопрос о движении агрегата при силах, зависящих от положений звена приведения.

Если движущие силы и силы сопротивления зависят от скоростей, то решение с помощью диаграммы становится невозможным.

5.6 Приведение сил и масс в механизмах Приведенные силы и моменты.

При исследовании движения машины или механизма, находящегося под действием заданных сил, удобно все силы, действующие на них, Рисунок 5.26 – К вопросу заменять силами, приложенными к одному из приведения силы и масс звеньев механизма или машины. При этом необходимо, чтобы работа на рассматриваемом возможном перемещении или мощность, развиваемая заменяющими силами, были соответственно равны сумме работ или мощностей, развиваемых силами, приложенными к звеньям исследуемых механизмов.

Заменяющие силы, удовлетворяющие этим условиям, получили название приведенных сил.

Звено механизма, к которому приложены приведенные силы, носит название звена приведения, а точка приложения приведенных сил – точки приведения.

Так как машинный агрегат представляет собой систему, обладающую одной степенью подвижности, то, очевидно, для изучения его движения достаточно знать закон движения одного из звеньев. Обычно в качестве такого звена выбирают ведущий вал рабочей машины или ведомый вал двигателя. К этому звену и удобно привести все силы, т.е. принять его за звено приведения. Тогда вместо рассмотрения всего комплекса сил действующих на машинный агрегат, можно рассмотреть звено, например кривошип, в точке А которого перпендикулярно к оси кривошипа приложены две приведенные силы: сила - приведенная движущая сила и сила - приведенная сила сопротивления. При этом сила должна производить работу, равную работе всех движущих сил, или развивать мощность, равную мощности всех движущих сил, а сила - производить работу, равную работе всех сил сопротивлений, или развивать мощность, равную мощности всех сил сопротивлений.

В общем виде уравнение для определения приведенных сил или моментов может быть представлено в следующем виде:

(5.64) В этом уравнении - мощность, развиваемая приведенной силой или приведенным моментом;

- мощности, развиваемые силами и моментами, приложенными к i-му звену и подлежащими определению.

Мощность может быть представлена в виде:

(5.65) где - величина приведенной к точке А звена приведения силы, могущей быть в частном случае или приведенной движущей силой, или приведенной силой сопротивления - скорость точки А приведения;

- приведенный момент;

- угловая скорость звена приведения.

Тогда величина приведенной силы и приведенного момента могут быть представлены в следующем виде:

(5.66) (5.67) Сумма в развернутом виде может быть представлена так:

(5.68) где и - силы и моменты, приложенные к i-му звену;

- скорость точки приложения силы ;

- угловая скорость i-го звена;

– угол, образованный вектором силы и вектором скорости.

Подставляя выражение для - из уравнения(5.68) в уравнения (5.66) и (5.67)получим:

(5.69) и (5.70) Из уравнений следует, что если для каждого положения механизма известны приведенные силы и моменты, то приведенная сила и приведенный момент будут зависеть только от отношения скоростей, которые, как было показано в кинематике механизмов, зависят, только от конфигурации механизма, т.е. от положения его звеньев.

Из уравнений (5.69) и (5.70) следует, что при заданных силах и моментах определения приведенной силы и момента не представляет значительных трудностей и может быть сделано, если для каждого исследуемого положения механизма будет построен план скоростей и отношения скоростей в уравнениях и будут выражены через соответствующие отрезки плана.

Рычаг Н.Е. Жуковского Силовой расчет и динамическое исследование механизмов можно всегда произвести, используя принцип возможных перемещений. Согласно этому принципу, если на какую-либо механическую систему действует ряд сил, то, прибавив условно к задаваемым силам силы инерции и дав всей системе возможные для данного ее положения перемещения, получим ряд элементарных работ, сумма которых должна равняться нулю.

Аналитически это может быть представлено так. Пусть к системе приложены силы причем в число этих сил входят и силы инерции. Обозначим проекции возможных для данного момента перемещений на направления сил через.

Тогда, согласно принципу возможных перемещений при условии, что все связи, наложенные на отдельные звенья механизма, - неосвобождающие, будем иметь:

(5.71) или (5.72) Так как механизм является кинематической цепью принужденного движения, т.е. с вполне определенным движением всех звеньев при заданном движении ведущих (входных) звеньев, и так как связи в механизме нами приняты не зависящими от времени, то очевидно, что в механизме действительные перемещения будут в числе возможных, и уравнение можно написать так:

(5.73) или (5.74) где есть проекции действительных перемещений на направления приложенных сил.

Рисунок 5.26 - Построение мгновенного Рисунок 5.27 - Повернутый на 90 градусов центра вращения (точки О) план скоростей в любую сторону Рассмотрим, как может быть представлена элементарная работа какой-либо силы из входящих в уравнение(5.74). Пусть на звено АВ в точке С действует сила, и пусть нам известны скорости точек А и В.

Действительное элементарное перемещение точки С имеет направление скорости точки С. Направление скорости легко определится построением мгновенного центра вращения О, находящегося в пересечении перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям этих точек.

Соединив точку С прямой с точкой О и проведя через точку С прямую, перпендикулярную к ОС, получим направление скорости.

Сторона направления скорости определяется знаком мгновенной угловой скорости. Направление действительного перемещения точки С совпадает с направлением скорости этой точки. Элементарная работа силы равна (5.75) Перемещение, входящее в уравнение (5.75) может быть представлено так:

(5.76) где есть угол, образуемый скоростью и силой. Подставляя это значение в уравнение (5.75), получим:

или так как, то (5.77) Величину скорости удобно определить построением плана скоростей звена АВ. Для этого строим в произвольном масштабе повернутый в любую сторону на план скоростей звена АВ. В плане скоростей величина скорости точки С представится отрезком, отложенным в масштабе от полюса плана скоростей в направлении, перпендикулярном к скорости точки С, т.е.

Полученное значение величины скорости подставим в уравнение (5.77) Имеем:

(5.78) Переносим, далее, силу со схемы звена в точку с плана скоростей и из точки опускаем на направление этой силы перпендикуляр. При этом переносе оставляем без изменения величину и направление силы.

Нетрудно видеть, что угол, образуемый отрезком и перпендикуляром,равен углу, так как отрезок перпендикулярен к направлению,а отрезок перпендикулярен к направлению силы. Имеем:

(5.79) Подставляя полученное выражение в уравнение (5.77)получаем:

(5.80) Произведение величины силы на плечо представляет собой величину момента этой силы относительно точки полюса плана скоростей. Так как все скорости в плане повернуты в одну сторону, то, как легко видеть, знак момента для всех сил совпадает со знаком элементарной работы силы. Следовательно, имеем (5.81) Таким образом получаем, что элементарная работа силы, действующей на звено механизма, пропорциональна моменту относительно полюса плана скоростей этой же силы, перенесенной в соответствующую точку плана.

Очевидно, что аналогичные выражения для элементарных работ можно получить и для сил, действующих на другие звенья механизма. Тогда уравнение (5.73) может быть представлено так:

(5.82) или. (5.83) Так как сюда входит общий множитель, не равный нулю, то из уравнения следует (5.84) или (5.85) Уравнение геометрически может быть истолковано следующим образом.

Переносим все заданные силы, действующие в рассматриваемый момент времени на звенья механизма, в том числе и силы инерции, в одноименные точки повернутого плана скоростей, не изменяя при этом величины и направления этих сил, и составляем, далее, уравнение моментов (5.85) всех перенесенных сил относительно полюса плана скоростей, т.е.



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.