авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


ЛОГИКА

Учебно-методический комплекс

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Программа курса «Логика» («Логика и дискретная математика»)

разработана в

соответствии с требованиями Государственного

образовательного стандарта профессионального высшего образования для

обучения студентов по направлению «Государственное и муниципальное

управление».

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к

творческому восприятию последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин. Курс нацелен на формирование у студентов, во первых, сознательного отношения к познанию и общению и, во-вторых, научного подхода к планированию и осуществлению различных видов деятельности.

Основными задачами курса являются: формирование правильного мышления на основе качеств, выражающих логическую культуру:

обоснованность;

непротиворечивость;

устойчивость;

выводимость одних форм мышления из других.

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

•формы теоретического мышления – понятие, суждение, умозаключение;

• основные законы и язык логики;

• систему логических категорий.

Студент должен уметь:

• совершать действия с логическими формами мысли;

• выводить более сложные логические формы из простых;

• формализовано выражать логические действия;

• доказывать и опровергать суждения.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА «ЛОГИКА»

(«ЛОГИКА И ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА») В том числе:

№ Тема занятий Всего Лекции Практич. Самост.

часов занятия работа 1 2 3 4 5 1. Основы классической логики 26 8 4 2. Отношения между понятиями, 16 4 4 суждениями. Умозаключение из суждений с отношениями 3. Классы и множества. 20 4 6 Логические отношения между классами (множествами). Связь между бинарными отношения ми и двуместными предикатами 4. Комбинаторные методы 10 2 2 решения логических задач 5. Формализация бинарных 24 6 6 отношений и двуместных предикатов в виде графов 6. Повторение пройденного 12 8 материала. Решение задач.

ИТОГО: 108 24 30 СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ Тема 1. Основы классической логики Лекция 1: «Предмет и значение логики. Этапы развития. Виды логик (классическая и неклассическая). Структура курса. Понятие как форма мышления. Понятие и представление. Понятие и термин. Определение и структура понятия. Содержание и объем понятия. Виды понятий.

Классификация».

Лекция 2: «Суждение. Виды суждений. Объединенная классификация суждений по качеству и количеству. Виды суждений, не рассматриваемых в классической логике. Комплексный анализ простого категорического суждения».

Лекция 3: «Умозаключения. Дедуктивные умозаключения. Силлогистика.

Индуктивные умозаключения и их виды».

Лекция 4: «Логические основы теории аргументации. Виды и правила доказательства и опровержения. Доказательства и опровержения. Основные законы логики (тождества, противоречия, исключенного третьего, достаточного основания)».

Тема 2. Отношения между понятиями, суждениями. Умозаключение из суждений с отношениями Лекция 5: «Суждения и высказывания как формы мышления. Основные операции над высказываниями. Таблицы истинности. Эквивалентные высказывания и логические законы. Методы доказательства».

Лекция 6: «Предикаты, кванторы общности и существования как элементы логической структуры суждений. Логические законы, формулирующиеся с использованием кванторов».

Тема 3. Классы и множества. Логические отношения между классами (множествами). Связь между бинарными отношениями и двуместными предикатами Лекция 7: «Множества и классы понятий. Подмножества. Простейшие операции над множествами классов (дополнение, объединение, пересечение, разность, симметрическая разность). Круги Эйлера. Пустое и универсальное множества. Тождества теории множеств и методы их доказательства. Прямое (декартово) произведение множеств. Понятие структуры на множестве».

Лекция 8: «Понятие отношения. Обратное отношение. Графическое представление отношений. Свойства отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, асимметричность, антисимметричность).

Разбиения множества и отношение эквивалентности. Отношения порядка.

Отображения и их основные свойства. Функциональные отображения.

Взаимнооднозначное соответствие множеств. Функции, последовательности, операторы».

Тема 4. Комбинаторные методы решения логических задач Лекция 9: «Представление сложных отношений в виде комбинаторных структур. Размещения, перестановки, сочетания с повторением и без повторения. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и их свойства.

Треугольник Паскаля. Комбинаторные методы решения логических задач».

Тема 5. Формализация бинарных отношений и двуместных предикатов в виде графов Лекция 10: «Основы теории графов, как теории позволяющей формализовать отношения и двуместные предикаты. Основные определения. Виды графов.

Изоморфизм графов. Маршруты, цепи, циклы».

Лекция 11 «Операции над графами(объединение, произведение, слияние, расщепление).Графы и матрицы (смежности, достижимости, инцидентности)».

Лекция 12: «Деревья, как способ формализованного подхода получения умозаключения. Виды деревьев (ориентированные, сбалансированные, бинарные, остовные). Разрезы. Потоковые и социометрические модели».

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Тема 1. Основы классической логики Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Определите объем и содержание понятий:

Город на Неве.

a) Северный ветер.

b) Завтрашний день.

c) Паводок.

d) Река.

e) Николо-Богоявленский морской собор в г. Москве.

f) 3. Определите виды понятий:

Третьяковская галерея.

a) Город.

b) Город Зеленоград.

c) Храм «Спас на Крови».

d) Храмы Санкт-Петербурга.

e) f) Храм Христа Спасителя в г. Москве.

g) Морской бриз.

на дом a) Кащей Бессмертный.

b) Петр Первый.

c) Памятник архитектуры.

d) Купидон.

e) Гордыня.

4. Собирательными или разделительными являются выделенные понятия?

a) Парламент принял указ об амнистии. Парламент обладает законодательной функцией.

b) Народ проголосовал за Конституцию. Народы хотят мира.

c) Институт принял участие в Международном конкурсе. Институт – высшее учебное заведение.

d) Пролетариат борется против буржуазии. Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

e) Хищные животные в ярости страшны для человека. Хищным животным необходимо движение.

на дом a) Вся группа сдала зачет. Группа приняла участие в конференции.

b) Преступный элемент – правонарушитель. Всех преступников поймали.

5. Какие из приведенных ниже предложений являются суждениями?

a) «Пусть сильнее грянет буря!» (Лермонтов М. Ю.).

b) «Который час?»

c) Современному человеку необходимо умение пользоваться современными средствами связи.

d) Переходить улицу надо на зеленый свет светофора.

e) Курение опасно для здоровья.

на дом a) «Какой русский не любит быстрой езды? (Гоголь Н. В.).

b) Метрополитен является источником повышенной опасности для человека.

c) Граждане, выполняйте правила пользования метрополитеном!

6. Определите виды суждений, проанализируйте структуру, запишите формулы. Выразите все простые суждения в виде категорических суждений:

a) Люди живут во всех климатических зонах.

b) В России крепостное право отменили в 1861 году.

c) У планеты Марс два естественных спутника.

d) Все нотариусы – юристы.

e) Не все Золушки становятся принцессами.

f) Осенью всегда идут дожди, а иногда и мокрый снег.

g) Распоряжения городской администрации издаются за подписью главы администрации либо одного из его заместителей.

h) Будда, Христос, Магомед – основоположники мировых религий.

i) Если гражданин достиг 18-летнего возраста, то он становится совершеннолетним, а если у него нет попечителей или опекунов – то он является дееспособным.

на дом a) Миф – это больше чем сказка.

b) Ни одна кошка не умеет лаять.

c) Зима всегда холоднее лета.

d) Гладкошерстные собаки и кошки существуют.

e) Реки Ока и Кама восточнее Дублина.

Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Даны три предпосылки: если целое число оканчивается на 0 или на 4, то оно делится на 2;

данное число делится на 2;

данное число не оканчивается на 0. Вытекает ли из них логическое следствие о том, что число оканчивается 4?

3. Сделайте умозаключения из суждений:

a) Все деревья не являются травой. Всякая трава – растение.

b) Глина – это жидкость или газ. Но глина – не газ.

c) Страсти – это средневековая драматическая форма, навязанная евангельскими текстами. У каждого человека есть страсти.

d) У всех носорогов на носу есть один или два рога. У всех носорогов есть хвост.

e) Все планеты обращаются вокруг Солнца. Земля обращается вокруг Солнца.

f) Некоторые люди обладают способностью к быстрому счету.

Некоторые люди – математики.

g) Преображенский полк участвовал в битве при Бородино. N состоял в Преображенском полку.

h) Ртуть – жидкость. Ртуть – металл.

i) Работа, в которой нет новых идей, не может получить премию на конкурсе. Эта работа получила премию.

на дом a) Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи.

Петербург не находится за Полярным кругом.

b) Позитрон имеет положительный заряд. Позитрон – элементарная частица.

c) Интерес к логике облегчает ее изучение. Андрей интересуется логикой.

4. Проверьте, являются ли приведенные ниже категорические силлогизмы правильными, а заключение - истинным суждением:

a) Все моржи ластоногие.

Это животное ластоногое.

Это животное — морж, b) Все полезные ископаемые — природные богатства.

Гранит — полезное ископаемое..

Гранит — природное богатство.

c) Все металлы тяжелее воды.

Натрий — металл..

Натрий — тяжелее воды.

на дом Материя — вечна.

Ситец — материя.

Ситец — вечен.

5. Определите вид умозаключения:

a) Все, что способствует эффективному обучению детей, полезно.

Новаторство способствует эффективному обучению детей.

Новые методы обучения — новаторство.

Метод российского педагога Шаталова - новый метод обучения.

Метод российского педагога Шаталова полезен.

b) Крупные акулы опасны для человека.

Гигантская акула размером до 20 м — крупная акула.

Гигантская акула опасна для человека.

c) Все опасное для человека может принести человеку вред.

Гигантская акула опасна для человека..

Гигантская акула может принести человеку вред.

d) Если прилетели перелетные птицы, то весна наступила.

Перелетные птицы не прилетели..

Весна не наступила.

e) Если магнит нагреть, то он размагнитится.

Магнит размагнитился..

Магнит нагрели.

на дом a) Все, что способствует прогрессу человечества, необходимо.

Образование способствует прогрессу общества.

Значит, образование необходимо.

Профессиональное образование вид образования., Профессиональное образование необходимо.

b) Если наступает наводнение, то уровень воды поднимается.

Если уровень воды подминается, то это может привести к затоплению домов..

Если наступает наводнение, то это может привести к затоплению домов.

c) Если цветок кактус, то, как и все цветы, он чутко откликается на любовь человека.

Этот цветок — кактус..

Этот цветок чутко откликается на любовь человека.

6. Определите вид индукции (полная;

неполная;

популярная, через анализ и отбор фактов;

научная;

математическая):

a) Все свидетели ошибаются. Все врачи ошибаются.

b) Хорошая организация дела - половина успеха.

c) «Сейчас полиция обходит дом за домом в надежде найти этого человека или хотя бы место, где он жил» (Д. Чейз).

на дом a) На основании определенного вида индукции судят о средней урожайности поля, всхожести семян, составе найденных полезных ископаемых, больших партий товаров(например, консервов).

b) «-Видите ли, Джон, во все времена и у всех народов талант и усердие всегда поощрялись» (П. Чейни).

7. Проанализируйте отрывки из детективных произведений Д. Чейза.

Найдите в каждом из приведенных текстов тезис и аргументы, объясните прямой или косвенный способ доказательства использовали действующие лица.

a) «Его сердечность радовала: большинство моих так называемых друзей старались поскорее отделаться от меня, когда я заглядывал к ним, но Маршалл был славный малый, мы всегда с ним ладили».

b) «Так он приобрел здесь землю?» — «Да. Он купил Восточный Берег, который раньше принадлежал Айре Кренли. Мальру практически все там перестроил. Место удивительное: свой причал, свой пляж, свой бассейн — все свое».

c) Я полагал, что благодаря магнитофонным пленкам я в безопасности, но О'Рейли вынудил меня отдать их. Теперь у меня нет никаких доказательств, подтверждающих мои слова».

d) «— Мы все оставляем пальто в прихожей. Пока Эллис зубрит учебник у себя в номере, вы забираете ее шляпу и пальто и прячете их. Вы заявляете старикам, что Элис куда-то ушла. Доказательство — ее шляпа и пальто исчезли. Позже вы вешаете их на прежнее место. Мисс Пирсон и майор Харди решат, что она вернулась. Все крайне просто».

e) «Я практически знаю, кто убил Элис, хотя у меня нет доказательств.

Истон и Шериф далеки от истины, в моих руках козырь. Если я быстро соберу доказательства, премия — моя».

f) «— Ты знаешь, кто он?

— Догадываюсь;

надо только собрать доказательства, и я сделаю это».

на дом a) «Прямыми доказательствами я не располагаю, но у меня есть косвенные улики, которых нет у Истона и Шерифа».

b) «Я не должен раскрывать свои карты, пока доказательства не собраны».

c) «Послушай, милая, — смущенно сказал Треверс, — то, что ты не нашла деньги, а копия отпечатана на другом «ремингтоне», ничего не доказывает. Я по-прежнему убежден, что преступник — Кэлвин. Он очень хитер, но меня ему не обмануть».

d) «— Шериф... вы ошиблись в Кэлвине. Он — тот человек, которого мы ищем... Джонни Эйкр. У меня есть доказательства».

8. Какая логическая ошибка содержится в приведенных ниже примерах?

a) Из-за того, что «Некоторые врачи ошибаются», говорят, что «Все врачи ошибаются».

b) Иногда можно услышать такие фразы: «В магазине ничего нет»;

«Сейчас все болеют гриппом» и другие подобные суждения.

c) «А почему вы знаете, что вы ненормальный?» – спросила она (Алиса). – «Начнем с собаки, – сказал Кот. – Возьмем нормальную собаку, не бешеную. Согласна?» – «Конечно!» – сказала Алиса. – «Итак, – продолжал Кот, – собака рычит, когда сердится, и виляет хвостом, когда радуется. Она, как мы условились, нормальная. А я? Я ворчу, когда мне приятно, и виляю хвостом, когда злюсь. Вывод: я – ненормальный».

на дом В комедии А.С. Грибоедова « Горе от ума » Фамусов говорит служанке Лизе: «Все ты лжешь». Он также считает: «По должности, по службе хлопотня, тот пристает, другой, всем дело до меня!» или «Все умудрился не по летам», «Вот то-то, все вы гордецы!» или «Не я один, все также осуждают».

Тема 2. Отношения между понятиями, суждениями. Умозаключение из суждений с отношениями Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать логические законы, используя таблицы истинности, и дать примеры их содержательной интерпретации а) X Y X Y ;

б) (X Y) X Y;

в) X (Y Z) (X Y) (X Z);

на дом а) X Y X Y ;

б) X Y X Y ;

в) X (Y Z) (X Y) (X Z).

3. Пусть Р означает: «число a делится на число b», Q означает: «число a делится на число c» и R означает: «число a делится на произведение чисел b и с». Сформулировать предложения, записанные в виде формул а) PQ;

б) PQR;

на дом а) P Q ;

б) P Q R 4. Пусть R и D означают соответственно высказывания: «данный четырехугольник есть ромб» и «диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания и определить, если возможно, их значение:

а) Если данный четырехугольник есть ромб, то диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны;

б) Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб.

на дом а) Четырехугольник не ромб, или диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. На плоскости Oxy задан предикат P( x, y), множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (0, 2), (2,2), (2,1), (1,1), (1,0), (0,0).

Множества истинности предикатов P ( x, y), P2 ( x, y) определяются A(a1, a2 ) {a1 x a2 } B(b1, b2 ) {b1 y b2 } множествами точек и соответственно на плоскости Oxy, где ak, bk, k 1,2 – действительные числа.

Используя логические операции, записать формулу предиката P( x, y).

на дом На плоскости Oxy задан предикат P( x, y), множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (3, 0), (3,2), (2,2), (2,1), (0,1), (0,0).

Множества истинности предикатов P ( x, y), P2 ( x, y) определяются A(a1, a2 ) {a1 x a2 } B(b1, b2 ) {b1 y b2 } множествами точек и соответственно на плоскости Oxy, где ak, bk, k 1,2 – действительные числа.

Используя логические операции, записать формулу предиката P( x, y).

3. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где x и y M, задан следующей таблицей X y P(x, y) A a A b B a B b Определить значение истинности следующих высказываний и дать пример их содержательной интерпретации.

а) x P(x, a) б) y P(a, y) в) x y P(x, y).

на дом а) y P(a, y) б) x P(x, a) в) x y P(x, y).

4. Записать в форме высказываний, введя необходимые обозначения предикатов, следующие предложения:

а) Все пассажиры автобуса – туристы.

б) В данной группе нет слушателей старше 30 лет.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор общности).

на дом а) Все слушатели в данной группе являются гражданами России.

б) Некоторые москвичи – слушатели данной группы.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор существования).

5. Пусть R(x) и D(x) – предикаты, определенные на множестве четырехугольников, означающие соответственно: «данный четырехугольник х есть ромб» и «диагонали четырехугольника х взаимно перпендикулярны».

Записать в символической форме следующие высказывания а) Если четырехугольник есть ромб, то диагонали этого четырехугольника взаимно перпендикулярны;

б) Любой четырехугольник – не ромб, или его диагонали взаимно перпендикулярны.

на дом Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник есть ромб.

6. Пусть S(x, y, z) - предикат сложения (z является суммой x и y), рассматриваемый на множестве Z всех целых чисел и на множестве N0 = N {0} целых неотрицательных чисел. Какова содержательная интерпретация следующих формул и на каком множестве (Z или N0) они истинны?

а) y x S(x, y, 0) б) z x y S(x, y, z).

на дом а) yx S(x, y, x) б) xy S(x, y, -12) Тема 3. Классы и множества. Логические отношения между классами (множествами). Связь между бинарными отношениями и двуместными предикатами Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Подберите понятия, отношения между которыми можно изобразите кругами Эйлера следующим образом:

a) В А С b) В А С А В c) С на дом a) А,В С В D С b) А B C C C В DВ 3. Правильно ли определены отношения между понятиями?

А-четырехугольник;

A В-трапеция;

C B С-равнобедренная трапеция;

С D-квадрат.

на дом А-река;

A B В-судоходная река;

D C С-исток реки.

С 4. Определите вид суждения, его субъект и предикат. Выразите отношения с помощью кругов Эйлера.

a) Все трапеции-четырехугольники.

b) Многие люди застенчивы.

c) Некоторые спортсмены не являются олимпийскими чемпионами.

d) Все сказуемые являются главными членами предложения.

e) Константин Симонов – автор романа «Живые и мертвые».

f) Иногда люди проявляют нетерпимость.

g) Некоторые учащиеся не изучают логику.

h) Некоторые растения являются лекарственными.

на дом a) Ни один георгин не имеет шипов.

b) Понедельник – первый день недели.

c) Юрий Гагарин – первый космонавт.

d) Некоторые летчики не являются летчиками-космонавтами.

Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. На плоскости Oxy задан предикат P( x, y), множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (3, 0), (3, 2), (2, 2), (2, 1), (0, 1), (0, 0).

Множества истинности предикатов P ( x, y), P2 ( x, y) определяются A(a1, a2 ) {a1 x a2 } B(b1, b2 ) {b1 y b2 } множествами точек и соответственно на плоскости Oxy, где ak, bk, k 1,2 – действительные числа.

Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката P( x, y).

на дом На плоскости Oxy задан предикат P( x, y), множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 0), (0, 0).

Множества истинности предикатов P ( x, y), P2 ( x, y) определяются A(a1, a2 ) {a1 x a2 } B(b1, b2 ) {b1 y b2 } множествами точек и соответственно на плоскости Oxy, где ak, bk, k 1,2 – действительные числа.

Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката P( x, y).

3. Даны множества: I= {1, 2, 3, 4, 5}, X={1, 5}, Y={1, 2, 4}, Z={2, 5}.

Найти следующие множества и начертить круги Эйлера, иллюстрирующие их построение, а) X Y б) ( X Z ) Y на дом а) X Y б) ( X \ Z ) (Y \ Z ) 4. Доказать с помощью кругов Эйлера следующие тождества X Y X Y на дом ( X Z ) Y ( X Y ) (Z Y ).

5. Даны множества: X={1, 5}, Y={1, 2, 4}, Z={2, 5}.

Найти следующие множества и начертить координатные диаграммы, иллюстрирующие их построение, X Y Z, X Y, а) б) Проверить выполнение свойств коммутативности (пример а) и дистрибутивности (пример б) операции прямого произведения.

на дом Y / Z X / ZZ.

Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Выписать все элементы отношений =X, R и -1 и представить их в виде координатных диаграмм, если X= {1, 3, 5}, R = {x, y: x y}, а) б) X={2, 4, 16, 22}, R ={x, y: x является делителем y}, на дом X {1, 3, 5,10}, R { x, y : x 2 y делится на5}.

а) 3. Нарисовать графы отношений.

X= {1, 3, 5}, R = {x, y: x y}, а) б) X= {2, 4, 16, 22}, R ={x, y: x является делителем y}, на дом X {1, 3, 5,10}, R { x, y : x 2 y делится на5}.

а) 4. Исследовать свойства отношений, приведенных в п. 2, (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, иррефлексивность, асимметричность, сравнимость). Определить, являются ли эти отношения а) отношением эквивалентности;

б) отношением строгого порядка;

в) отношением нестрогого порядка;

г) отношением линейного порядка.

5. Пусть X = Y = R,где R-множество действительных чисел, а отображение : X Y задается указанным ниже законом. Нарисовать график отображения и охарактеризовать отображение (всюду определенность, функциональность, отображение “на”, взаимная однозначность).

а) б) | y | = | x | y=|x|, на дом а) x = y2 ;

б) y = tg x.

Тема 4. Комбинаторные методы решения логических задач 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи.

а) В городе проходит футбольное первенство, в котором участвуют команд. Разыгрываются золотые, серебряные и бронзовые медали (медали получает одна команда). Сколько различных вариантов распределения медалей существует?

б) Сколькими способами можно распределить 5 должностей между лицами, избранными в президиум научного общества?

в) В полуфинале первенства России по шахматам участвуют человек. В финал выходят 3 человека. Определить число различных исходов полуфинала шахматного турнира.

г) Автомобильные номера состоят из трех букв (всего 30 букв) и четырех цифр (используется 10 цифр). Сколько автомобилей можно пронумеровать таким способом, чтобы никакие два автомобили не имели одинаковые номера?

д) Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

на дом а) Группа состоит из 25 человек. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член группы может занимать лишь один пост?

б) В магазине имеется 10 ящиков для размещения сумок покупателей.

В магазин пришло 10 покупателей. Сколькими способами они могут разместить свои сумки?

в) Сколько существует способов распределения 4 билетов на дискотеку между 20 студентами группы, если каждому студент может получить не больше 1 билета? А сколько существует способов распределения, если билета выделяются девушкам, а 2 – юношам (в группе 8 юношей и девушек)?

г) Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4.

д) Сколько различных букетов из 9 цветов можно составить, если в продаже имеется 5 видов цветов?

3. Решить задачи, используя бином Ньютона.

а) Найдите наибольший коэффициент разложения (a+b)n, если сумма всех коэффициентов равна 4096.

б) Найдите член разложения ( x ), не содержащий х.

x на дом 1 а) Найдите член разложения (3 x ), не содержащий х.

x n б) Коэффициент х во втором члене разложения ( x 2 1 ) равен 31.

Найдите степень n.

4. Возвести в шестую степень двучлен, используя треугольник Паскаля для нахождения биномиальных коэффициентов:

(x2–y).

на дом (1+x) Лучше уменьшить число задач на бином, введя логическую комбинаторную задачу Тема 5. Формализация бинарных отношений и двуместных предикатов в виде графов Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Для графа, представленного следующей матрицей инциденций, определить матрицу смежности и нарисовать диаграмму графа.

1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 а) 1 0 0 0 0 на дом б) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 3. Для орграфа, представленного следующей матрицей смежности, определить матрицу инциденций и нарисовать диаграмму орграфа:

0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 б) 0 0 0 1 1 0 0 1 а) 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4. Нарисовать диаграмму орграфа G=V, X и определить, будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

V= {v1, v2, v3,, v4, v5}, X={v1, v2,v2, v1,v2, v2,v2, v3,v2, v4,v4, v3,v4, v2,v4,v1} на дом V= {v1, v2, v3,, v4, v5}, X= {v1, v2,v2, v1,v2, v3,v3, v1,v3, v3,v4, v1,v5, v5}.

3. На приведенных ниже рисунках изображены графы G1 и G2. Найти G1 U G2 и G1 G2.

x1 x2 x1 x1 x2 x G1 G2 G1 G x4 x3 x3 x2 x4 x3 x3 x а) б) на дом x1 x2 x G1 G x4 x3 x3 x Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

2. По заданной матрице расстояний графа G найти величину минимального пути и сам путь от вершины х1 до вершины х6, а затем величину максимального пути и сам путь между теми же вершинами.

5 10 13 11 14 8 9 13 13 5 3 6 на дом 8 10 7 11 9 11 10 3. По заданной матрице пропускной способностей дуг графа G найти максимальный поток от s=x1 вершины до вершины t=x7 и указать минимальный разрез, отделяющий s от t.

18 16 9 18 16 на дом 8 11 13 8 11 7 19 13 10 15 10 17 28 17 14 Занятие 1. Повторение определений основных понятий темы.

В результате опроса сотрудников отдела была получена 2.

социометрическая матрица, представленная ниже. Найти для каждого сотрудника индексы: социометрического статуса, эмоциональной экспансивности, объема взаимодействий, а также индексы эмоциональной экспансивности группы и психологической взаимности. Построить концентрическую социограмму.

№ Фамилия 1 2 3 4 5 6 7 8 Анисимов 1 - + 0 0 + 0 0 - Бобров 2 + - 0 + + 0 0 0 Денисов 3 - + - + + 0 0 0 Ефремов 4 0 + 0 - + 0 0 0 Жилкин 5 + 0 0 + - + - 0 Иванов 6 + 0 0 0 + - 0 0 Левитин 7 0 - 0 - 0 0 - 0 + Москалев 8 - 0 + + 0 0 0 - Якин 9 0 + 0 0 0 0 + 0 на дом № Фамилия 1 2 3 4 5 6 7 8 Анисимов 1 - + - 0 + + 0 - Бобров 2 + - + + 0 0 - 0 + Денисов 3 0 0 - 0 0 0 0 + Ефремов 4 0 + + - + 0 - + Жилкин 5 + + + + - + 0 0 Иванов 6 0 0 0 0 + - 0 0 Левитин 7 0 0 0 0 - 0 - 0 + Москалев 8 - 0 0 0 0 0 0 - Якин 9 0 0 0 - 0 0 + 0 ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО КУРСУ «ЛОГИКА» («ЛОГИКА И ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА») 1. Учебник логики. Со сборником задач: учебник/ А. Д. Гетманова. М.:

КНОРУС, 2011.

2. Логика: учебник/ С.С. Гусев, Э.Ф. Караваев, Г.В. Карпов [и др.];

под. ред. А. И. Мигунова, И.Б. Микиртумова, Б. И. Федорова. М.:

Проспект, 2010.

3. Логика: учебно-методическое пособие/ В. Н. Ксенофонтов. М.: Изд во РАГС, 2010.

4. Дискретная математика.Курс лекций / И.А. Палий. М.: Эксмо, 2008.

5. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий/ С.Д.

Шапорев. СПб.:БХВ-Петербург, 2007.

6. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Высшая школа, 1975.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Выполняется одно контрольное задание, в котором содержится 6 задач.

По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной на следующей странице, определяются номера варианты входящих в задание задач. Образец оформления титульного листа задания приведен в Приложении.

Срок сдачи задания: 16 неделя (до 20 декабря).

Сроки зачета задания (с учетом исправления ошибок): 17 неделя (до декабря).

Таблица вариантов Задача 1 2 3 4 5 № варианта Номера вариантов задач задания 1 1 1 1 1 1.

2 2 2 2 2 2.

3 3 3 3 3 3.

4 4 4 4 4 4.

5 5 5 5 5 5.

6 6 6 6 6 6.

7 7 7 7 7 7.

8 8 8 8 8 8.

9 9 9 9 9 9.

10 10 10 10 10 10.

1 2 3 4 5 11.

2 3 4 5 6 12.

3 4 5 6 7 13.

4 5 6 7 8 14.

5 6 7 8 9 15.

6 7 8 9 10 16.

7 8 9 10 1 17.

8 9 10 1 2 18.

9 10 1 2 3 19.

10 1 2 3 4 20.

1 3 5 7 9 21.

2 5 7 9 2 22.

3 7 9 2 4 23.

4 9 2 4 6 24.

5 2 4 6 8 25.

6 4 6 8 10 26.

7 6 8 10 1 27.

8 8 10 1 3 28.

9 10 1 3 5 29.

10 1 3 5 7 30.

1 6 7 8 9 31.

2 7 8 9 10 32.

Контрольное задание Задача 1. На заданном множестве точек плоскости Q определены предикаты P1(x), P2(x), P(x). Областью истинности предиката P1(x) является множество Р1, областью истинности предиката P2(x) – множество Р2, областью истинности предиката Р(х) – множество Р, заштрихованная часть области Q.

a) Используя операции над множествами, записать формулу получения множества Р.

б) Используя логические операции, записать формулу предиката P(x).

Вариант 1 Вариант Вариант 3 Вариант Вариант 5 Вариант Вариант 7 Вариант Вариант 9 Вариант Задача 2. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x,y), где x M, y M, задан следующей таблицей.

x y P(x,y) a a a b b a b b Определить значение истинности высказывания (с объяснением) Вариант 1 x P(x, a) y x P(x, y) Вариант Вариант 2 x P(x, a) x y P(x, y) Вариант Вариант 3 y P(a, y) y x P(x, y) Вариант Вариант 4 y P(a, y) x y P(x, y) Вариант Вариант 5 x y P(x, y) Вариант 10 x y P(x, y) Выписать все элементы отношений x, y и 1.

Задача 3.

Исследовать свойства отношения и представить его в виде ориентированного графа и координатной диаграммы.

Вариант 1 X = {2, 4, 6, 8}, R = {x, y: x y} Вариант 2 X = {1, 3, 5, 7}, R = {x, y: x y} X = {2, 5, 7, 9}, R = {х, y: (x*y) делится на 2} Вариант X = {1, 4, 9, 22}, R = {x, y: (x+y) больше 12} Вариант X = {2, 4, 8, 10}, R = {x, y: x y} Вариант X = {3, 6, 9, 15}, R ={x, y: y/x нечетно} Вариант X = {2, 4, 16, 22}, R = {x, y: (x+y) делится на 6} Вариант X = {2, 4, 16, 22}, R = {x, y: x / y четно} Вариант X = {2, 4, 8, 10}, R = {x, y: (x – y) делится на 3} Вариант X = {3, 6, 9, 11}, R = {х, y: (x*y) меньше 55 } Вариант Задача 4. Решить задачу В классе изучают 10 предметов. В понедельник уроков, причем все уроки различные. Сколькими Вариант способами можно составить расписание на понедельник?

Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся Вариант на 5?

В роте имеется 3 офицера и 40 солдат. Сколькими способами может быть выделен наряд, состоящий из Вариант офицера и 3 солдат?

Сколько способов можно использовать при разложении Вариант в 2 кармана 9 монет различного достоинства?

Сколько возможно вариантов при посадке за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица Вариант одного пола не сидели рядом?

Сколько способов можно использовать при выборе карт из колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди Вариант них были карты каждой масти?

В некотором царстве каждые 2 человека отличаются набором зубов. Какова может быть численность Вариант населения царства (максимальное количество зубов у человека – 32)?

На рояле 88 клавиш. Сколько существует последовательностей из 6 попарно различных звуков? (В Вариант последовательности звуки идут один за другим.) Сколько существует аккордов 6 попарно различных звуков? (Аккорд получается, если 6 клавиш нажаты одновременно.) Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, Вариант что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?

У англичан принято давать детям несколько имен.

Сколькими способами можно назвать ребенка, если ему Вариант дадут не более 3 имен, а общее число имен равно 300?

Задача Для орграфа, представленного следующей матрицей 5.

инциденций, найти матрицу смежности, нарисовать диаграмму графа и определить будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

-1 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 Вариант 1 Вариант 1 0 0000 1 0 1 0 0000 0 -1 1 0001 0 1 -1 1 0000 0 0 -1 1000 0 0 0 -1 1000 1 - 0 0 -1 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 Вариант 3 Вариант -1 0 0 0 0 0 0 - 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 -1 0 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 Вариант Для орграфа, представленного следующей матрицей смежности, найти матрицу инциденций, нарисовать диаграмму графа и определить будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Вариант 6 Вариант 0 110 0 0 111 1 000 0 1 001 1 001 1 1 000 0 010 0 1 100 0 010 0 1 111 Вариант 8 Вариант 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Вариант Задача 5. По заданной матрице расстояний графа G найти величину минимального пути и сам путь от вершины s=х1 до вершины t=х6, а затем величину максимального пути и сам путь между теми же вершинами.

5 8 7 18 8 11 11 9 7 17 7 4 10 12 6 6 7 8 11 Вариант 1 Вариант 7 15 5 6 14 7 16 4 16 19 3 4 8 13 14 15 Вариант 3 Вариант 11 10 12 7 6 13 11 9 5 6 7 13 11 6 8 Вариант 5 Вариант 13 10 11 7 6 13 8 11 1 3 11 5 6 5 3 5 Вариант 7 Вариант 9 12 6 4 9 6 6 6 14 4 8 2 4 10 2 7 Вариант 9 Вариант ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО КУРСУ «ЛОГИКА» («ЛОГИКА И ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА») 1. Логика как наука, ее предмет, структура, значение.

2. Виды логик.

3. Понятие как форма мышления.

4. Понятие и представление. Понятие и термин. Определение и структура понятия.

5. Содержание и объем понятия.

6. Виды понятий.

7. Классификация понятий.

8. Суждение. Виды суждений.

9. Объединенная классификация суждений по качеству и количеству.

10.Виды суждений, не рассматриваемых в классической логике.

11.Комплексный анализ простого категорического суждения.

12.Умозаключения.

13.Дедуктивные умозаключения.

14.Силлогистика. Основные понятия.

15.Индуктивные умозаключения и их виды.

16.Логические основы теории аргументации.

17.Виды и правила доказательства и опровержения.

18.Основные законы логики (тождества, противоречия, исключенного третьего, достаточного основания).

19.Суждения и высказывания как формы мышления.

20.Основные операции над высказываниями. Таблицы истинности.

21.Эквивалентные высказывания и логические законы.

22.Одноместные предикаты: основные понятия.

23.Одноместные предикаты: использование кванторов общности и существования.

24.Двухместные предикаты: основные понятия.

25.Двухместные предикаты: использование кванторов общности и существования.

26.Логические законы, формулирующиеся с использованием кванторов.

27.Множества и классы понятий, основные операции над ними. Круги Эйлера.

28.Прямое (декартово) произведение множеств. Комбинаторные структуры.

29.Понятие отношения. Обратное отношение. Графическое представление бинарных отношений.

30.Отношения эквивалентности. Свойства отношений. Разбиения множеств на классы.

31.Отношения порядка. Свойства отношений.

32.Отображения и их основные свойства. Виды отображений.

33.Комбинаторные структуры (размещения, перестановки, сочетания).

34.Перестановки с учетом повторений.

35.Сочетания с учетом повторений.

36.Бином Ньютона.

37.Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов.

38.Треугольник Паскаля.

39.Ориентированные графы. Диаграмма графа. Матрицы смежности, инциденций и достижимости.

40.Изоморфизм графов.

41.Маршруты, цепи, циклы.

42.Операции над графами.

43.Деревья (ориентированные, сбалансированные, бинарные, остовные).

44.Разрезы.

45.Потоковые модели.

46.Социометрические модели.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ Задание по логике слушателя группы О- Иванова Петра Фомича Вариант N задачи 1 2 3 5 6 N варианта 5 6 7 8 9 задачи Отметка о решении Преподаватель: доц. Свертилова Н.В 2011 г.



 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.