авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

0

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Т. В. Мошкова, В. А. Тюрина

СБОРНИК ЗАДАЧ

по начертательной геометрии

(часть I)

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Нижний Новгород ННГАСУ 2010 2 ББК 22.151.3 М 87 Т 98 Рецензенты:

Толок А.В. – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой инженерной графики Московского государственного технологического университета «Станкин»

Вышнепольский В.И. – кандидат педагогических наук, доцент, зав.

кафедрой начертательной геометрии и инженерной графики Московской государственной академии тонкой химической технологии Мошкова Т. В. Сборник задач по начертательной геометрии [Текст]: учеб.

пособие для вузов. Ч.I / Т. В. Мошкова, В. А. Тюрина;

Нижегор. гос.

архитектур.-строит. ун-т. – Н.Новгород: ННГАСУ, 2010. - 188 с. ISBN 978-5 87941-742- Сборник задач является частью учебно-методического комплекса по начертательной геометрии. Включает контрольные вопросы, сведения из теории и задачи по семи разделам курса.

Пособие предназначено для студентов технических вузов различного профиля;

также может быть интересно преподавателям графических дисциплин высшей школы и аспирантам.

ББК 22.151. ISBN 978-5-87941-742- © Мошкова Т.В., © Тюрина В.А.., © ННГАСУ, СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................................................... Общая методика решения задач............................................................................................... ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ....................................................................... СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ....................................................................................................... ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ................................................................................................................... КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ..................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Точки, прямые, плоскости...................................................................................................... Кривые второго порядка........................................................................................................ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Эллипс..................................................................................................................................... Парабола................................................................................................................................. Гипербола............................................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Параметризация плоского контура........................................................................................ Пример «Параметризация плоского контура».................................................................. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД....................................................................................................... КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ..................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Проекции точек и прямых на эпюре Монжа......................................................................... СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Конкурирующие точки........................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Ортогональные проекции плоскостей................................................................................... СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Проекции прямого угла на эпюре Монжа............................................................................. ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Взаимно перпендикулярные прямые..................................................................................... Пример «Линия наибольшего ската»................................................................................. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Перпендикулярность прямой и плоскости............................................................................ ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Перпендикулярность прямой и плоскости............................................................................ Пример «Перпендикуляр к плоскости»............................................................................. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Взаимно перпендикулярные плоскости................................................................................. ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Взаимно перпендикулярные плоскости................................................................................. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... Позиционные задачи.............................................................................................................. ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Основные позиционные задачи.............................................................................................. Пример «Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения»... СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ...................................................................... КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ..................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Способ замены плоскостей проекций.................................................................................... Пример «Преобразование плоскости общего положения способом замены плоскостей проекций»........................................................................................................................... ЗАДАЧИ...................................................................................................................................... Способ плоскопараллельного перемещения......................................................................... Пример «Преобразование плоскости способом плоскопараллельного перемещения»... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Способ вращения.................................................................................................................. Способ вращения вокруг проецирующей прямой........................................................... Способ вращения вокруг линии уровня.......................................................................... Пример «Вращение плоскости вокруг линии уровня»................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Способ вспомогательного проецирования.......................................................................... КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОВЕРХНОСТИ................................................................ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Линии на поверхности.......................................................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Многогранники..................................................................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Сфера.................................................................................................................................... Пример «Построение проекций сферы с вырезами»....................................................... СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... Точность графических построений...................................................................................... Пример «Пересечение сферы с прямой»......................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Конусы и цилиндры.............................................................................................................. Пример «Построение чертежей конуса и цилиндра»...................................................... Пример «Пересечение прямой с поверхностью цилиндра»............................................ Пример «Пересечение прямой с поверхностью конуса»................................................ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ........................................................................................................ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... Виды метрических задач...................................................................................................... ЗАДАЧИ.................................................................................................................................... Нахождение расстояний....................................................................................................... Пример «Нахождение истинной величины отрезка способом прямоугольного треугольника»................................................................................................................... Расстояние между двумя точками................................................................................... Расстояние от точки до прямой....................................................................................... Расстояние между прямыми............................................................................................ Расстояние от точки до плоскости................................................................................... Задачи на нахождение истинных величин углов................................................................. Угол между прямыми....................................................................................................... Угол между прямой и плоскостью................................................................................... Угол между плоскостями................................................................................................. Литература.......................................................................................................................... ВВЕДЕНИЕ Сборник предназначен для студентов всех технических специальностей. По содержанию, терминологии и обозначениям данное учебное пособие соответствует учебнику В.С. Полозова, С.И. Роткова и В.И. Дергунова «Базисный курс начертательной геометрии» 1. Сборник задач является частью учебно-методического комплекса по начертательной геометрии и составлен применительно к методике преподавания, предложенной авторами.

В учебном пособии собраны материалы по семи разделам курса начертательной геометрии, включающие в себя контрольные вопросы, сведения из теории, задачи. Цель выполнения студентами этих упражнений - уяснение сути изучаемого материала. Рассмотрена общая методика решения задач. Приводятся примеры решения типовых задач по каждому разделу с подробными комментариями. Сделан акцент на выбор наиболее рационального способа решения в каждом случае. Особое внимание уделяется записи исходных данных, искомых элементов и возможных способов решения задач в символическом виде.

Большинство задач сборника служит для самостоятельной работы студентов. Некоторые задачи могут решаться на практических занятиях с помощью преподавателя.

При составлении настоящего сборника были использованы учебно методические материалы кафедры начертательной геометрии, машинной графики и теоретических основ САПР Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета, а также учебные пособия и сборники задач, ссылки на которые приводятся.

Полозов, В. С. Базисный курс начертательной геометрии [Текст] : учеб. пособие / В. С. Полозов, С. И.

Ротков, В. И. Дергунов ;

под общ. ред. С. И. Роткова ;

Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – М. :

АСВ, 2006. – 180 с.

Общая методика решения задач 1. Определить, какой является данная задача: позиционной или метрической.

2. Проанализировать исходные данные. Записать их в символическом виде.

3. Определить искомые элементы;

возможные варианты ответа.

Записать в символическом виде.

4. Определить тип, если данная задача - позиционная. Вспоминая изученный материал и работая с учебниками, определить различные варианты решения задачи. Записать в символическом виде.

5. Выбрать вариант решения.

6. Записать план решения в символическом виде.

7. Выполнить чертёж к задаче тонкими линиями. Обратить внимание на соответствие чертежа исходным данным. Показать построения точек касания, показать осевые линии, выполнить все необходимые надписи на свободном поле чертежа. Определить видимость рёбер многогранников, оснований конусов и цилиндров.

8. Решить задачу на чертеже. Проверить решение.

9. Дополнить и уточнить запись решения задачи в символическом виде.

10. Записать ответ. Выделить на чертеже красным цветом проекции тех элементов, которые являются искомыми.

11. Обвести чертёж, соблюдая типы линий. Выполнить все необходимые надписи.

12. Получить удовлетворение от качественно выполненной работы и отличную оценку.

ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Все дисциплины, которые студенты должны изучить за время обуче ния в вузе, разбиваются на группы. Это происходит при любом выборе профессиональной направленности. К одной из групп относятся дисцип лины, при изучении которых происходит формирование и развитие интел лектуальных способностей, необходимых для будущей профессиональной деятельности. К другой группе относятся дисциплины, изучаемые в связи с необходимостью научной аргументации построения объектов и процессов, составляющих основу будущей профессиональной деятельности. Третья группа включает в себя общеразвивающие дисциплины 2. Для дисциплин третьей группы дано условное название. Неразрывная связь обучения и развития существует при изучении любой дисциплины, к какой бы группе они не относились.

Для успешного освоения содержания образования студенту необходимо уяснить цель изучения каждой дисциплины. Первым этапом этого пути является отнесение каждой из изучаемых дисциплин к той или иной вышеназванной группе 3.

Начертательная геометрия исследует объекты окружающего мира (их принято называть оригиналами) с помощью изображений, содержащих геометрическую информацию об этих объектах. К геометрической относится информация о форме, размерах, положении самих оригиналов в пространстве или их частей относительно друг друга.

Информатизация образования: направления, средства, технологии [Текст]: пособие для системы повышения квалификации / под общ. ред. С. И. Маслова. – М. : Изд. МЭИ, 2004. – 868 с.

Педагогика профессионального образования [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.

заведений / Е. П. Белозерцев, А. Д. Гонеев, А. Г. Пашков и др. ;

под ред. В. А. Сластенина. – М. :

Академия, 2004. – 368 с.

Изображения оригиналов, несущие геометрическую информацию о них, принято называть их геометрическими моделями.

Предметом начертательной геометрии является разработка и исследование геометрических моделей оригиналов, а также разработка и исследование способов решения на этих моделях геометрических задач, связанных с оригиналами.

Начертательную геометрию, таким образом, можно отнести к группе дисциплин, изучающих теоретические основы профессии.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие группы дисциплин изучаются студентами в вузе?

2. К какой из этих групп можно отнести начертательную геометрию?

3. Как принято называть объекты окружающего мира в рамках начертательной геометрии?

4. Что использует начертательная геометрия для исследования объектов окружающего мира?

5. Что называют геометрической моделью оригинала?

6. Что является предметом начертательной геометрии?

7. Кого из учёных принято считать основоположником начертательной геометрии как науки? Почему?

8. В какую эпоху жил этот учёный?

9. Каковы его основные достижения?

10. Когда и где именно в России появилась первая кафедра начертательной геометрии?

11. Кто из российских ученых является автором первого учебника начертательной геометрии на русском языке?

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что понимается под термином "параметр" согласно теории параметризации?

2. В какой зависимости находятся параметры по отношению друг к другу?

3. Какие существуют параметры в зависимости от вида их задания?

4. Привести примеры формальных и действительных параметров.

5. Что называется параметризацией фигуры?

6. Чем реализуются параметры на чертежах?

7. Что надо учитывать при назначении параметров?

8. Какое требование накладывается на значения величин, задающих параметры?

9. Что такое геометрические условия?

10. Что такое параметры формы и параметры положения?

11. Какая параметризация называется внутренней, а какая внешней?

12. С чего начинается процесс измерения параметров?

13. Как называются элементы систем параметризации в геометрии и на производстве?

14. Как выбирается система параметризации по отношению к оригиналу при измерении параметров положения?

15. Как выбирается система параметризации по отношению к оригиналу при измерении параметров формы?

16. Что называется размерностью пространства?

17. Привести примеры одномерного, двумерного, трёхмерного пространств.

18. По какой формуле производится подсчёт количества параметров какого-либо оригинала?

ЗАДАЧИ Точки, прямые, плоскости Задача 1. Сколько параметров необходимо затратить на задание следующих оригиналов:

1) прямой общего положения в пространстве R2;

2) прямой, параллельной одной из координатных осей системы параметризации, в пространстве R2;

3) прямой, инцидентной одной из координатных осей системы параметризации, в пространстве R2;

4) прямой, проходящей через начало отсчета системы параметризации, в пространстве R2;

5) окружности в пространстве R2 (рассмотреть различные варианты положения центра окружности);

6) прямой общего положения в пространстве R3;

7) прямой, проходящей через заданную точку, в пространстве R3;

8) прямой, параллельной одной из координатных плоскостей системы параметризации в пространстве R3;

9) прямой, параллельной двум координатным плоскостям системы параметризации в пространстве R3;

10) прямой, инцидентной одной из координатных плоскостей системы параметризации в пространстве R3;

11) плоскости общего положения в пространстве R3;

12) плоскости, перпендикулярной к одной из координатных плоскостей системы параметризации в пространстве R3;

13) плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям системы параметризации в пространстве R3;

14) окружности в пространстве R3 (рассмотреть различные варианты положения центра окружности);

15) трёх взаимно перпендикулярных прямых, инцидентных общей точке.

Задача 2. Сколько параметров необходимо затратить на задание каждой из точек – М, N, F и А в данной системе параметризации (рис.1)?

Рис. Задача 3. Сколько параметров необходимо затратить на задание каждой из прямых – p, d, k и m в данной системе параметризации (рис.2)?

Рис. Задача 4. В пространстве R1 (прямая m) заданы отрезки AB, CD, EF и MN (рис.3). Общая система параметризации имеет базовую точку 0. Для какого из заданных оригиналов показан параметр формы?

Рис. Задача 5. Сколько параметров необходимо затратить на задание каждой из окружностей, с центрами в точках C, B и А (рис.4)?

Рис. Задача 6. Сколько параметров определяют положение каждой из точек А, В и C, заданных своими проекциями на эпюре Монжа (рис.5)?

Рис. Задача 7. Сколько параметров определяют положение каждой из прямых m, d и k, заданных своими проекциями на эпюре Монжа (рис.6)?

Рис. Задача 8. Сколько параметров определяют положение каждой из прямых m, d, k и p, заданных своими проекциями на эпюре Монжа (рис.7)?

Рис. Задача 9. Сколько параметров необходимо затратить на задание каждой из плоскостей –,, и (рис.8)?

Рис. Кривые второго порядка Задача 1. Построить эллипс, задав произвольные значения величин большой и малой оси. Найти положение фокусов эллипса.

2. Задать систему параметризации. Подсчитать количество параметров формы для эллипса.

Задача 1. Построить параболу, задав произвольное значение фокусного расстояния.

2. Задать систему параметризации. Подсчитать количество параметров формы для параболы.

Задача 1. Построить гиперболу, задав произвольные значения величин фокусного расстояния и расстояния между вершинами.

2. Задать систему параметризации. Подсчитать количество параметров формы для гиперболы.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Эллипс Эллипс – это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из её точек М до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная и равная большой оси эллипса:

М F1 + М F2 = АВ.

Оси эллипса – большая (БОЭ) АВ и малая (МОЭ) СD – взаимно перпендикулярны и одна делит другую пополам.

Если из концов малой оси СD, как из центров, описать дугу окружности радиусом, равным половине большой оси эллипса R=ОА=ОВ, то она пересечёт её в точках F1 и F2, называемых фокусами (рис.9).

Рис. На рис.10 приведён один из способов построения эллипса по его осям. На заданных осях АВ и СD, как на диаметрах, строят две концентрические окружности с центром в точке О. Большую окружность делят на произвольное число частей, и полученные точки соединяют прямыми с центром О. Из точек пересечения 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 со вспомогательными окружностями проводят отрезки вертикальных и горизонтальных прямых до их взаимного пересечения в точках E, F, K, M, принадлежащих эллипсу.

Рис. Парабола Парабола – плоская незамкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от данной прямой MN – директрисы, перпендикулярной оси параболы, и от фокуса F. Вершина параболы А расположена посередине между фокусом и директрисой.

Расстояние от вершины до фокуса (или от вершины до директрисы) называют фокусным расстоянием (р).

Для построения параболы по заданной директрисе и фокусу через точку F проводят ось x параболы перпендикулярно директрисе MN.

А Отрезок делят пополам и получают вершину параболы.

EF Перпендикулярно оси параболы на произвольном расстоянии от вершины проводят прямые. Из точки F радиусом, равным расстоянию L от директрисы до соответствующей прямой, например, СВ, делают засечки на этой прямой – точки С и В. Построив, таким образом, несколько пар симметричных точек, проводят через них с помощью лекала плавную кривую (рис.11).

Рис. Гипербола Гиперболой называется плоская кривая, у которой разность расстояний от каждой её точки до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между её вершинами А и В, например РF1 - Р F2 = АВ.

Рис. У гиперболы две оси симметрии – действительная ab и мнимая cd (рис.12). Две прямые KL и K1L1, проходящие через центр 0 гиперболы и касающиеся её ветвей в бесконечности, называются асимптотами.

Гиперболу можно построить по заданным вершинам А и В и фокусам и F2. Вершины гиперболы определяют, вписывая F прямоугольник в окружность, построенную на фокусном расстоянии (отрезке F1F2), как на диаметре. На действительной оси ab справа от фокуса F2 намечают произвольные точки 1, 2, 3, 4… Из фокусов F1 и F проводят дуги окружностей сначала радиусом, равным расстоянию от точки А до точки 1, затем радиусом, равным расстоянию от точки В до точки 1, до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы. Далее выполняют взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами равными расстоянию от точки А до точки 2 и от точки В до точки 2 – так получена точка Р - и т.д. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси cd.

ЗАДАЧИ Параметризация составных фигур Пример «Параметризация плоского контура»

Условие задачи: выполнить подсчёт параметрического числа контура, составленного из отрезков прямых линий и дуг окружностей (рис.13).

Рис. Анализ исходных данных • На черновике выполнить эскиз контура.

• Обозначить на эскизе элементы, составляющие контур.

Элементарные части фигуры, являющиеся отрезками прямых обозначить буквой П с цифрой, обозначающей порядковый номер прямой. Дуги окружностей - буквой О с цифрой, обозначающей порядковый номер окружности. Необходимо выявить не только элементы, составляющие собственно контур, но и вспомогательные прямые и окружности, показанные на чертеже-задании. Эти элементы имеют важное значение для верного определения параметрического числа контура. Например, в контуре-образце такой вспомогательной прямой является прямая П4, которой инцидентны центры трёх окружностей (рис.14).

Рис. Возможно, придётся корректировать в процессе параметризации контура набор сегментов, вводя новые элементы, не выявленные первоначально.

• Выполнить запись элементов в символическом виде. Элементы контура перечисляются последовательно, взаимосвязанными группами.

Обход контура производится из любой точки по направлению часовой стрелки. Отдельные элементы или их группы отделяются друг от друга точкой с запятой.

П1_П2_О1_О2_О3_П3;

П4;

О4;

О • Определить, есть ли у контура оси (или одна ось) симметрии. В данном случае ось симметрии у контура отсутствует.

Определение искомых элементов Параметрическое число контура является суммой параметров, необходимых для описания каждого из элементов, составляющих контур:

n Пконтура = i1П элемента i.

= В данном случае n = 9, т.е. количество элементов, для которых необходимо выполнить подсчёт параметров, равно 9.

Выполнение чертежа к задаче При решении задачи чертёж целесообразно выполнять после параметризации контура. В этом случае будет выявлено взаимное положение сегментов контура, а также очерёдность построений. Размеры изображения задаются произвольно. Размеры наносить не нужно.

Запись решения задачи Выполнение расчёта числа параметров начинается с назначения ортогональной системы координат таким образом, чтобы рассматриваемая фигура обладала максимально возможным числом геометрических условий.

Если контур имеет ось симметрии, с ней необходимо совместить одну из координатных осей (рис.15).

Рис. Запись в символическом виде в таком случае будет иметь следующий вид: ось 0y оси симметрии контура;

0 центру О1.

В рассматриваемом примере координатная ось 0х инцидентна прямой П1, координатная ось 0у совпадает с прямой П2 (рис.16).

Рис. На чертеже необходимо указать координатные оси и начало координат.

Для однозначного выделения из множества фигур единственной фигуры требуется конечное число параметров, реализуемых на чертеже размерами, число которых должно быть минимально необходимым и достаточным. Подсчёт этого числа можно выполнить по следующей формуле:

П элемента = ПФ + ПП – ГУ, где Пэлемента – необходимое и достаточное число параметров для определения элемента;

параметрическое число элемента;

ПП – признаки, определяющие положение любой фигуры в пространстве относительно выбранной системы координат (параметры положения);

ПФ – признаки, позволяющие из множества фигур выделить фигуры одной формы ГУ (параметры формы);

количество параметров, заменяемых – геометрическими условиями, возникающими между фигурами.

На листе должна присутствовать запись формулы с расшифровкой.

Решение задачи Далее производится подсчёт количества параметров для каждого элемента контура и заполнение таблицы. Наименование столбцов таблицы приводится на рис.17. Размер столбцов и строк таблицы произвольный.

Рис. В графе «Геометрические условия» следует в символическом виде записать геометрические условия, относящиеся к данному элементу. Графа «Размер на чертеже» остаётся свободной.

Образец решённой задачи «Параметризация плоского контура»

приведен на рис.18 и 19.

При заполнении таблицы были приняты следующие условные обозначения:

- знак инцидентности - знак пересечения - знак касания Рис. Рис. На чертежах параметры реализуются размерами, геометрическими условиями и условными обозначениями. Вторым этапом работы с задачей «Параметризация плоского контура» является нанесение размеров на чертеж. Общее количество размеров будет равно параметрическому числу контура. Каждый из размеров будет являться реализацией того или иного параметра. Один из вариантов нанесения размеров на рассмотренном контуре приведён на рис.20.

Рис. Еще один пример нанесения размеров показан на рис.21.

Рис. Таблица подсчета параметров для контура, показанного на рис.21, приведена на рис.22.

Рис. Задача 13. Подсчитать параметрическое число контура (рис.23).

Рис. Задача 14. Подсчитать параметрическое число контура (рис.24).

Рис. Задача 15. Подсчитать параметрическое число контура (рис.25).

Рис. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие существуют виды проецирования?

2. Расположить виды прямолинейного проецирования от общего к частному.

3. На каком основании производится классификация параллельного проецирования на косоугольное и ортогональное?

4. Что понимают под инвариантами проецирования?

5. Перечислить инварианты проецирования.

6. Перечислить инварианты центрального проецирования.

7. Перечислить инварианты параллельного проецирования.

8. Перечислить инварианты ортогонального проецирования.

9. Какое пространство называется «проективным»?

10. Какие элементы называют «несобственными»?

11. В каком пространстве операция центрального проецирования может осуществляться без исключений? Что понимают под этим условием?

12. Какие требования предъявляются к проекционному чертежу?

13. Что понимают под наглядностью проекционного чертежа?

14. Что понимают под обратимостью проекционного чертежа?

15. Какой чертёж называется «полным»?

16. Какой чертёж называется «метрически определённым»?

17. Какова схема получения эпюра Монжа?

18. Какова схема получения аксонометрии?

19. Какова схема получения технического чертежа?

20. Какие виды обратимых чертежей получают с помощью метода центрального проецирования?

21. Какие виды обратимых чертежей получают с помощью метода параллельного проецирования?

ЗАДАЧИ Проекции точек и прямых на эпюре Монжа Задача 16. Три точки заданы своими координатами:

А (10, 20, 30), В (30, 10, 20), С (20, 30, 10).

Ответить на следующие вопросы:

• какая из точек расположена ближе (дальше) других к фронтальной плоскости проекций П2?

• какая из точек расположена ближе (дальше) других к горизонтальной плоскости проекций П1?

• какая из точек расположена ближе (дальше) других к профильной плоскости проекций П3?

• из двух точек – А и С – какая ближе к П2?

• из двух точек – В и А – какая дальше от П3?

• из двух точек – В и С – какая ближе к П1?

Задача 17. Верно ли утверждение: «точка А задана на чертеже своими проекциями» (рис.26)?

Рис. Задача 18. На эпюре Монжа заданы проекции трёх точек А, В и D (рис.27). Чертёж какой точки является неполным?

Рис. Задача 19. Три точки M, P и F заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.28). Какая из точек расположена дальше (ближе) других точек от фронтальной плоскости проекций? Какая из точек расположена дальше (ближе) других от горизонтальной плоскости проекций? Какая из точек расположена дальше (ближе) других от профильной плоскости проекций?

Рис. Задача 20. Три точки F, D и В заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.29). Проанализировать чертёж и сделать вывод о положении каждой из точек. Результат представить в символическом виде.

Рис. Задача 21. Три точки А, М и D заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.30). В какой четверти пространства находится каждая из точек?

Рис. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Конкурирующие точки Конкурирующими называют точки, инцидентные одной проецирующей прямой.

Две пары точек А и В, С и D заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.31).

Рис. У точек совпадают горизонтальные (точки А и В) или фронтальные (точки С и D) проекции. Это происходит потому, что точки А и В инцидентны прямой, перпендикулярной к П1, а точки С и D – прямой, перпендикулярной к П2.

Поскольку для получения эпюра Монжа применяется ортогональное проецирование, то можно сказать, что названные пары точек инцидентны проецирующим прямым, т.е. являются конкурирующими. Конкуренция относится к видимости оригиналов на проекциях.

Видимость элементов оригиналов на чертеже определяется способом конкурирующих точек.

Рассмотрим пару точек А и В (рис.32). Требуется определить, проекция какой из точек будет видна на П1.

Рис. Стрелка показывает направление взгляда наблюдателя при получении горизонтальной проекции. Анализируя фронтальные проекции точек, можно сделать вывод, что точка А расположена ближе к наблюдателю, у неё больше значение координаты z, т.е. она находится выше точки В. Поэтому проекцию точки А на П1 мы видим, а проекция точки В – невидима. Обозначения невидимых проекций точек иногда заключают в скобки.

На рис. 33 положение наблюдателя при получении фронтальной проекции показано нижней стрелкой. Определена видимость фронтальных проекций точек: С – не видна, а D - видна. У точки D больше значение координаты y, она расположена ближе к наблюдателю, чем точка С.

Рис. Задача 22. Две пары точек А и D, М и F заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.34). Какие точки совпадают?

Рис. Задача 23. Прямая m задана своими проекциями на эпюре Монжа (рис.35). Построить проекции фронтального и горизонтального следов прямой m.

Рис. Задача 24. Три отрезка заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.36). Проанализировать чертёж и сделать вывод о положении каждого из отрезков. Результат представить в символическом виде.

Рис. Задача 25. Три отрезка заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.37). Проанализировать чертёж и сделать вывод о положении каждого из отрезков. Результат представить в символическом виде.

Рис. Задача 26. Прямые m, p, s, b, d, k и с заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.38). Определить положение каждой прямой относительно плоскостей проекций. Результат записать в символическом виде.

Рис. Ответить на вопросы:

• Какие прямые параллельны горизонтальной плоскости проекций?

• Какая прямая параллельна только П1 ?

• Какие прямые параллельны фронтальной плоскости проекций?

• Какая прямая параллельна только П2 ?

• Какие прямые параллельны профильной плоскости проекций?

• Какая прямая параллельна только П3 ?

Задача 27. Прямые b, k, d, m, s, p и n заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.39).

Рис. Ответить на вопросы:

• Отрезки каких прямых проецируются в истинную величину на горизонтальную плоскость проекций?

• Отрезки каких прямых проецируются в истинную величину на фронтальную плоскость проекций?

• Отрезки каких прямых проецируются в истинную величину на профильную плоскость проекций?

• Есть ли на чертеже такие прямые, отрезки которых ни на одну из плоскостей проекций не проецируются в истинную величину?

• Отрезки каких прямых проецируются в истинную величину сразу на две плоскости проекций? К какому классу прямых они относятся?

Задача 28. Три отрезка p, j и k заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.40). Отрезки каких прямых проецируются в истинную величину на профильную плоскость проекций?

Рис. Задача 29. На эпюре Монжа заданы своими проекциями прямая p и точка N, прямая b и точка F, прямая k и точка M (рис.41). Определить, какие прямая и точка инцидентны?

Рис. Задача 30. Прямая m и точки B, K, C, D, F, S заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.42).

Рис. Ответить на вопросы:

• Какая точка инцидентна прямой?

• Какая точка расположена перед прямой (ближе к наблюдателю)?

• Какая точка расположена выше прямой?

• Какая точка расположена за прямой (дальше от наблюдателя)?

• Какая точка расположена ниже прямой?

• Показаны ли на чертеже точки, расположенные в I четверти пространства? Если да, то какие?

• Показаны ли на чертеже точки, расположенные во II четверти пространства? Если да, то какие?

• Показаны ли на чертеже точки, расположенные в III четверти пространства? Если да, то какие?

• Показаны ли на чертеже точки, расположенные в IV четверти пространства? Если да, то какие?

Задача 31. На эпюре Монжа заданы своими проекциями прямая k и точка T, прямая s и точка R, прямая n и точка Е (рис.43). Определить, какие прямая и точка инцидентны?

Рис. Задача 32. Прямая k и точки M, N, P заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.44). Определить взаимное положение точек и прямой.

Рис. Задача 33. Отрезок АВ и точка D заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.45). Определить взаимное положение точки и прямой.

Рис. Задача 34. Три пары прямых m и n, с и d, f и p заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.46). Какие прямые параллельны?

Рис. Задача 35. Три пары прямых m и p, a и b, f и d заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.47). Какие прямые параллельны?

Рис. Задача 36. Три пары прямых f и d, p и q, n и s заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.48). Какие прямые параллельны?

Рис. Задача 37. Три пары прямых q и f, p и d, s и n заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.49). Какие прямые пересекаются?

Рис. Задача 38. Три пары прямых s и f, p и d, q и n заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.50). Какие прямые пересекаются?

Рис. Задача 39. Три пары прямых m и d, p и n, s и f заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.51). Какие прямые скрещиваются?

Рис. Задача 40. Три пары прямых a и d, f и b, p и h заданы своими проекциями на эпюре Монжа (рис.52). Какие прямые скрещиваются?

Рис. ЗАДАЧИ Ортогональные проекции плоскостей Задача 41. Проанализировать чертёж и выписать определители для каждой из плоскостей (рис.53).

Рис. Задача 42. Проанализировать чертёж и выписать определители для каждой из плоскостей (рис.54).

Рис. Задача 43. Построить фронтальный и горизонтальный следы плоскости (рис.55).

Рис. Задача 44. Построить фронтальный и горизонтальный следы плоскости (рис.56).

Рис. Задача 45. Записать в символическом виде, какое положение по отношению к плоскостям проекций занимает каждая из плоскостей и дать название каждой плоскости (рис.57).

Рис. Задача 46. Записать в символическом виде, какое положение по отношению к плоскостям проекций занимает каждая из плоскостей и дать название каждой плоскости (рис.58).

Рис. Задача 47. Записать в символическом виде, какое положение по отношению к плоскостям проекций занимает каждая из плоскостей,,, и дать название каждой плоскости (рис.59).

Рис. Задача 48. Построить чертежи плоскостей на эпюре Монжа по условиям, представленным в символическом виде:

(m || n) – общего положения (о.п.) 1.

(m || n), П 2.

(m || n), || П 3.

(m || n), П 4.

(m || n), || П 5.

Задача 49. Построить чертежи плоскостей на эпюре Монжа по условиям, представленным в символическом виде:

( АВС) – о.п.

1.

(m || n), П 2.

(a b), || П 3.

(A, m), П 4.

(A, B, C), || П 5.

Задача 50. Построить чертежи плоскостей на эпюре Монжа по условиям, представленным в символическом виде:

(1) 1.

(1), || П 2.

(2) 3.

(2), || П 4.

(3) 5.

(3), || П 6.

Задача 51. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и точки (рис.60). Выполнить полную запись исходных данных. Определить, какие точка и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 52. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и точки (рис.61). Выполнить полную запись исходных данных. Определить, какие точка и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 53. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и точки (рис.62). Выполнить полную запись исходных данных. Определить, какие точка и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 54. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и прямые (рис.63). Выполнить полную запись исходных данных.

Определить, какие прямая и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 55. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и прямые (рис.64). Выполнить полную запись исходных данных.

Определить, какие прямая и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 56. На эпюре Монжа своими проекциями заданы плоскости и прямые (рис.65). Выполнить полную запись исходных данных.

Определить, какие прямая и плоскость инцидентны?

Рис. Задача 57. Построить чертежи плоскостей и линий по исходным данным, представленным в символическом виде:

1. Плоскость (A, m) – о.п.;

прямая k || П1;

k 2. Плоскость ( 2 ) П2;

прямая р || П2;

р 3. Плоскость ( f || f ) – о.п.;

прямая c – о.п.;

с Задача 58. Построить чертежи плоскостей и линий, инцидентных этим плоскостям:

1. Плоскость общего положения, заданную треугольником, и линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций.

2. Горизонтально-проецирующую плоскость, заданную пересе кающимися прямыми, и линию, параллельную фронтальной плоскости.

3. Фронтальную плоскость уровня, заданную параллельными прямыми, и линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций.

4. Фронтально-проецирующую плоскость, заданную фронтальным следом, и линию, параллельную фронтальной плоскости проекций.

5. Горизонтальную плоскость уровня, заданную фронтальным следом, и линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Проекции прямого угла на эпюре Монжа Угол проецируется на плоскость проекций без искажения (в истинную величину) в том случае, когда две его стороны параллельны этой плоскости. Другими словами, если угол лежит в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, то он проецируется на неё в истинную величину.

Для того чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций.

Пусть сторона АВ прямого угла АВС параллельна плоскости проекций П (рис.66).

Рис. Угол АВС - ортогональная проекция данного угла (рис.67).

Проецирующие отрезки АА, ВВ и СС перпендикулярны к плоскости проекций П.

Рис. Отрезок АВ перпендикулярен к отрезкам ВС и ВВ, т. е. к двум пересекающимся прямым плоскости, следовательно, он перпендикулярен к самой плоскости (рис.68).

Рис. Отрезки АВ и АВ параллельны. Из стереометрии известно, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и АВ другая также перпендикулярна к ней. Поэтому отрезок перпендикулярен к плоскости, а значит, к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, отрезок АВ перпендикулярен к ВС. Угол АВС - прямой (рис.69).

Рис. Если одна из сторон прямого угла перпендикулярна к плоскости проекций (П), то плоскость, в которой лежит угол оказывается перпендикулярной к П. Проекцией прямого угла в этом случае является прямая линия – след плоскости угла на плоскости проекций (рис.70).

Рис. Две взаимно перпендикулярные прямые проецируются на плоскость проекций в виде перпендикулярных прямых тогда и только тогда, когда хотя бы одна из этих прямых является линией уровня, т.е. параллельна плоскости проекций.

Решение многих задач требует построения взаимно перпендикулярных прямых. Например, в задаче на построение проекций линий наибольшего уклона плоскости.

ЗАДАЧИ Взаимно перпендикулярные прямые Пример «Линия наибольшего ската»

Условие задачи: построить проекции линии наибольшего ската (л.н.с.) некоторой плоскости общего положения.

Дано: (с || d) – о.п., c – о.п., d – о.п.

Найти (построить): g (g1, g2), g – л.н.с.

Чертёж к задаче:

- рис.71.

Рис. Решение 1. h, h || П Известно, что л.н.с. плоскости – это линия наибольшего уклона к горизонтальной плоскости проекций (П1). Она перпендикулярна к горизонталям данной плоскости. Поэтому, решение задачи на чертеже начинаем с построения проекций произвольной горизонтали h плоскости (рис.72).

Рис. 2. g h Прямой угол между линией наибольшего ската g и горизонталью h в истинную величину проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1, т.к. одна из сторон угла – горизонталь h – параллельна П1 (рис.73).

Рис. Фронтальную проекцию л.н.с. строим из условия инцидентности линии g плоскости (рис.74). Задача решена.

Рис. Следует обратить внимание на то, что на фронтальную плоскость проекций П2 прямой угол между прямыми g и h проецируется с искажением, не в истинную величину, т.к. ни одна из его сторон не параллельна П2.

Задача 59. Опустить из точки M перпендикуляры MC и MD на прямые c и d соответственно (рис.75).

Рис. Задача 60. Даны: фронтальная линия уровня f, горизонтальная линия уровня h и точка М, не инцидентная этим линиям. Построить проекции перпендикуляров MF и MH, проведённых из точки М к данным прямым.

Задача 61. Дана плоскость общего положения, определителем которой является треугольник. Построить проекции л.н.с. данной плоскости. Выбрать наиболее рациональное решение с точки зрения упрощения графических построений.

Задача 62. Построить фронтальный и горизонтальный следы плоскости, для которой данная прямая g является л.н.с. (рис.76).

Рис. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Перпендикулярность прямой и плоскости прямая Из стереометрии известен следующий признак:

перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости.

При построении проекций перпендикуляра к некоторой плоскости, в качестве двух пересекающихся прямых на ней удобно выбирать линии уровня – фронталь и горизонталь. В этом случае можно воспользоваться свойствами проекций прямого угла.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости на эпюре Монжа можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

ЗАДАЧИ Перпендикулярность прямой и плоскости Пример «Перпендикуляр к плоскости»

Условие задачи: построить проекции перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость общего положения, определителем которой являются две параллельные прямые общего положения.

Дано: (с || d) – о.п., c – о.п., d – о.п., А Найти (построить): p (p1, p2) A, p Чертёж к задаче: рис.77.

Рис. Решение:

1. h, h || П hf=K f, f || П Строим проекции двух пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости – горизонтали h (рис.78) Рис. и фронтали f (рис.79).

Рис. 2. p A, p f, p h p На основании теоремы о проекциях перпендикуляра к плоскости строим фронтальную проекцию перпендикуляра p: p2 f2 (рис.80) Рис. и горизонтальную проекцию перпендикуляра p: p1 h1 (рис.81).

Задача решена.

Рис. Следует обратить внимание, что в данной задаче не требовалось найти основание перпендикуляра, т.е. проекции точки пересечения перпендикуляра с плоскостью.

Решение задачи построения проекций перпендикуляра к плоскости упрощается, если определителем плоскости являются главные линии – пересекающиеся фронталь и горизонталь (рис.82).

Рис. В этом случае требуется выполнить меньше построений (рис.83).

Рис. Задача 63. Построить проекции прямой, инцидентной точке М и перпендикулярной к плоскости (рис.84).

Рис. Задача Построить проекции определителя плоскости, 64.

инцидентной точке Р и перпендикулярной к данной прямой с (рис.85).

Рис. Задача 65. Определить: перпендикулярна прямая к плоскости или нет (рис.86).

Рис. Задача 66. Определить: перпендикулярна прямая к плоскости или нет (рис.87).

Рис. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Взаимно перпендикулярные плоскости две плоскости взаимно Из стереометрии известно, что перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой (признак перпендикулярности двух плоскостей).

Следовательно, для того, чтобы строить проекции взаимно перпендикулярных плоскостей, необходимо уметь выполнять построение перпендикуляра к плоскости.

На рис.88 показано построение плоскости, перпендикулярной заданной плоскости (f h). Сначала построен перпендикуляр p к плоскости, а затем задана плоскость (m || p), проходящая через этот перпендикуляр.

Рис. ЗАДАЧИ Взаимно перпендикулярные плоскости Задача Построить проекции определителя плоскости, 67.

инцидентной точке М и перпендикулярной к данной плоскости (рис.89).

Рис. Задача Построить проекции определителя плоскости, 68.

инцидентной прямой k и перпендикулярной к данной плоскости (рис.90).

Рис. Задача 69. Определить: перпендикулярны плоскости или нет (рис.91).

Рис. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Позиционные задачи В начертательной геометрии задачи на определение взаимного положения заданных оригиналов носят название позиционных (ПЗ).

Во всех позиционных задачах вопрос может быть сформулирован следующим образом: «Определить взаимное положение оригиналов».

Позиционные задачи, в которых участвуют точки, прямые и плоскости называют основными позиционными задачами.

На первом этапе решения задачи необходимо провести полный анализ исходных данных и выразить результаты анализа в символическом виде, т.е. необходимо определить, какие оригиналы участвуют в задаче и какое положение они занимают относительно плоскостей проекций.

Позиционные задачи можно разделять на типы в зависимости от положения заданных оригиналов относительно плоскостей проекций.

ПЗ I типа - оба оригинала занимают проецирующее положение.

Например, в задаче, чертёж к которой представлен на рис.92, участвуют горизонтально-проецирующая прямая s и фронтально-проецирующая плоскость.

Рис. В этом случае можно сразу ответить на вопрос задачи о взаимном положении оригиналов – есть пересечение или нет;

определить, какая фигура получится при пересечении и найти проекции этой фигуры на чертеже (рис.93).

Рис.93.

ПЗ II типа - один из оригиналов занимает проецирующее положение.

На рис.94 своим горизонтальным следом (1) задана горизонтально проецирующая плоскость. Плоскость, определителем которой является треугольник АВС, занимает общее положение относительно плоскостей проекций.

Рис. В ПЗ II типа также можно ответить на вопрос задачи и найти на чертеже одну из проекций фигуры, получающейся в результате пересечения оригиналов. Вторую проекцию этой фигуры требуется построить (рис.95).

Рис. ПЗ III типа - ни один из оригиналов не занимает проецирующее положение. Плоскости и на рис.96 занимают общее положение. Без дополнительных построений невозможно дать полный ответ на вопрос о взаимном положении оригиналов.

Рис. ЗАДАЧИ Основные позиционные задачи Задача 70. Определить тип каждой из позиционных задач (рис.97).

Рис. Задача 71. Определить: параллельна прямая плоскости или нет (рис.98).

Рис. Задача 72. Определить: параллельна прямая плоскости или нет (рис.99).

Рис. Задача 73. Определить: параллельна прямая плоскости или нет (рис.100).

Рис. Задача 74. Построить проекции плоскости, инцидентной точке A и параллельной данной прямой m (рис.101), так, чтобы плоскость была:

1) горизонтально-проецирующей;

2) профильно-проецирующей;

3) общего положения.

Рис. Задача 75. Определить: параллельны плоскости или нет (рис.102).

Рис. Пример «Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения»

Условие задачи: определить взаимное положение заданных оригиналов.

Дано: ( ABC) – о.п., AB – о.п., BC – о.п., AC – о.п.

m – о.п.

Найти: m = ?

Варианты ответа:

1. m, тогда m = m 2. m ||, тогда m = 3. m = F Чертёж к задаче: рис.103.

Рис. Решение: ПЗ III типа 1. m Из чертежа (рис.104) следует, что у прямой m и плоскости нет двух общих точек, следовательно, прямая не инцидентна плоскости. Для того, чтобы определить, параллельна прямая плоскости или пересекает её, а в случае пересечения показать на чертеже проекции общей точки прямой и плоскости, необходимы дополнительные построения.

Рис. 2. Универсальный метод решения позиционных задач – метод посредника.

Посредниками могут быть различные фигуры – прямые, плоскости, сферы и др. Выбор вида посредника определяется условиями задачи. В рассматриваемом примере посредником служит плоскость, в которую заключают данную прямую. Плоскость-посредник может быть общего или частного положения. Выбор положения посредника также определяется условиями задачи. Критериями служат количество и сложность дополнительных геометрических построений.

В данном случае в качестве посредника взята фронтально проецирующая плоскость, заданная на чертеже фронтальным следом 2.

След плоскости-посредника совпадает с фронтальной проекцией прямой m (рис.105).

m, (2), П Рис. 3. Теперь следует решить позиционную задачу, в которой участвуют две плоскости: фронтально-проецирующая плоскость посредник и плоскость общего положения, т.е. = p. Эта ПЗ - II типа, т.к. только один оригинал занимает проецирующее положение.

Фронтальная проекция линии пересечения двух плоскостей совпадает со следом одной из них -. Горизонтальную проекцию строят, исходя из условия инцидентности этой прямой плоскости (рис.106).

Рис. 4. Вновь следует решить позиционную задачу, в которой участвуют две прямые: данная m и построенная линия пересечения р. Эти две прямые инцидентны одной плоскости. Об их взаимном положении можно судить по горизонтальным проекциям. Эти прямые не параллельны, следовательно, m и также не параллельны.

Прямые m и р пересекаются в точке F. На чертеже определена сначала горизонтальная проекция точки, затем – по линии связи – фронтальная проекция этой точки (рис.107).

mр=F 5. Точка F является точкой пересечения прямой m с плоскостью.

Ответ: m = F Рис. 6. В заключение, следует определить видимость прямой m по отношению к плоскости. Предполагаем, что плоскость непрозрачна и безгранична. Границей видимости прямой будет являться найденная точка пересечения – F. Видимость определена способом конкурирующих точек сначала на фронтальной проекции (рис.108 и 109), Рис. Рис. а затем на горизонтальной проекции (рис.110, 111).

Рис. Рис. Задача решена (рис.112).

Рис. Задача 76. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.113).

Рис. Задача 77. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.114).

Рис. Задача 78. Даны плоскость (a || b) и прямая m (рис.115). Для определения их взаимного положения используется метод посредника.

Посредником является плоскость. Определить, на каком чертеже – 1), 2) или 3) – фронтальная и горизонтальная проекции точки К – точки пересечения прямой и плоскости – определены верно.

Рис. Задача 79. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.116).

Рис. Задача 80. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.117).

Рис. Задача 81. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.118).

Рис. Задача 82. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.119).

Рис. Задача 83. Определить взаимное положение заданных оригиналов (рис.120).

Рис. С П О С О Б Ы П Р Е О Б РАЗ О ВА Н И Я П Р О Е К Ц И Й КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие виды задач, связанных с оригиналами, рассматривает начертательная геометрия?

2. Какова область применения способов преобразования проекций?

Другими словами: при решении каких задач применяют способы преобразования проекций?

3. Каковы цели применения способов преобразования проекций в различных случаях?

ЗАДАЧИ Способ замены плоскостей проекций 1. Изучить сущность способа по учебникам.

Пример «Преобразование плоскости общего положения способом замены плоскостей проекций»

Условие задачи: способом замены плоскостей проекций (заменить горизонтальную плоскость) преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения, определителем которой являются две параллельные прямые общего положения, стала плоскостью уровня.

Дано: (c || d) – о.п., c – о.п., d – о.п.

Найти: || П Чертёж к задаче: рис.121.

Рис. Решение: 4 основная задача на преобразования Способом замены плоскостей проекций плоскость общего положения можно сделать плоскостью уровня, выполнив два преобразования. В результате первого преобразования плоскость займёт проецирующее положение, т.е. будет перпендикулярна к первой новой плоскости проекций. В результате второго преобразования – станет параллельна второй новой плоскости проекций.

Для простоты графического решения можно построить в плоскости треугольник (рис.122).

Рис. В условии задачи указано, что требуется заменить горизонтальную плоскость проекций П1. Введем вместо неё новую плоскость проекций, обозначив её П7. Нумерация дополнительных плоскостей проекций начинается с цифры 7, т.к. проекции оригиналов на плоскости П1 – П включительно являются шестью основными видами, принятыми в соответствии с государственным стандартом.

Новая плоскость проекций П7 должна удовлетворять следующим двум условиям. Во-первых, она должна быть перпендикулярна к П незаменяемой плоскости также, как в исходной системе перпендикулярны плоскости П1 и П2 (в ходе преобразований система плоскостей проекций всегда будет ортогональной). Во-вторых, новая плоскость П7 должна быть перпендикулярна к данной плоскости.

Если плоскость перпендикулярна к двум другим плоскостям, она перпендикулярна к линии их пересечения. Следовательно, чтобы задать на чертеже новую плоскость проекций П7 необходимо построить проекции линии пересечения плоскостей и П2, т.е. фронтальный след плоскости.

Фронтальный след является одной из главных линий плоскости, принадлежащих к семейству фронтальных линий уровня, инцидентных этой плоскости. Все фронтали какой-либо плоскости параллельны между собой. Поэтому нет необходимости строить именно след плоскости на П2, достаточно построить какую-нибудь из линий этого семейства – инцидентных данной плоскости и параллельных П2 (рис.123).

Рис. АК, АК || П Можно уменьшить количество выполняемых построений, если одну из сторон треугольника АВС задать параллельной П2.

Затем на чертеже могут быть показаны проекции линии пересечения плоскостей П2 и П7 - новой оси 0х. Эта линия перпендикулярна к отрезку АК – фронтали плоскости (рис.124).

Рис. Новые проекции точек строятся с помощью линий связи, перпендикулярных к проекции новой оси х2 = х7. Т.к. плоскость П осталась неизменной, сохранились расстояния от точек до этой плоскости, т.е. значение координаты y для каждой из точек. Поэтому расстояние от новой оси (х2 = х7) до новой проекции точки (С7) равно расстоянию от заменяемой оси (х1 = х2) до заменяемой проекции точки (С1) (рис.125).

Рис. Проекцией плоскости на П7 является прямая – след плоскости. На рис.126 обозначен 7.

Рис. П2 / П1 П2 / П7, П Следующее преобразование влечёт за собой введение новой ортогональной системы плоскостей проекций. Плоскость П2 заменяется на П8. Новая плоскость проекций перпендикулярна к незаменяемой плоскости П7 и параллельна плоскости.

П2 / П7 П8 / П7, || П (х7 = х8) Проекция линии пересечения плоскостей П7 и П параллельна следу плоскости на П7, т.к. все точки плоскости лежат на одинаковом расстоянии от плоскости П8. Проекция оси х7 = х8 может совпадать со следом плоскости (7).

Рис. Линии связи от проекций точек на П7 проводятся перпендикулярно к проекции оси х7 = х8 (рис.128).

Рис. Расстояние от новой оси (х7 = х8) до новой проекции точки (В8) равно расстоянию от заменяемой оси (х2 = х7) до заменяемой проекции точки (В2) (рис.129).

Рис. На рис.130 показан окончательный вид решённой задачи. Проекция треугольника АВС на плоскость проекций П8 является истинной величиной этой фигуры.

Рис. 2. Решить задачи:

Задача 84. Способом замены плоскостей проекций преобразовать чертёж так, чтобы отрезок прямой общего положения стал проецирующим (рис.131).

Рис. Задача 85. Способом замены плоскостей (заменить горизонтальную плоскость проекций) проекций преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (рис.132).

Рис. Задача 86. Дана плоскость общего положения, определителем которой являются две параллельные прямые общего положения. Способом замены плоскостей (заменить фронтальную плоскость проекций) проекций преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня.

3. Ответить на следующие вопросы:

1. Каким условиям должна удовлетворять новая плоскость проекций?

2. Чему равно расстояние от новой проекции точки до новой оси?

3. Назвать четыре основные задачи, к решению которых можно свести разнообразные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций.

ЗАДАЧИ Способ плоскопараллельного перемещения 1. Изучить сущность способа по учебникам.

Пример «Преобразование плоскости способом плоскопараллельного перемещения»

Условие задачи: способом плоскопараллельного перемещения преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения, определителем которой являются прямая общего положения и точка, не инцидентная данной прямой, стала фронтальной плоскостью уровня.

Дано: (А, m) – о.п., m – о.п.

Найти: || П Чертёж к задаче: рис.133.

Рис. Для простоты графического решения можно построить в плоскости треугольник (рис.134).

Рис. Для преобразования плоскости общего положения во фронтальную плоскость уровня способом плоскопараллельного перемещения требуется выполнить два преобразования. В результате первого перемещения плоскость должна стать проецирующей по отношению к П1. Две плоскости перпендикулярны, когда одна из них содержит перпендикуляр к другой. Поэтому в плоскости проводят фронтальную линию уровня, которая затем займёт положение перпендикуляра к П1 (рис.135).

Рис. АВ, АВ || П Можно уменьшить количество выполняемых построений, если одну из сторон треугольника АMN задать параллельной П2.

Первое плоскопараллельное перемещение плоскость совершает относительно плоскости П2. На рис.136 показаны следы фронтальных плоскостей уровня, в которых движутся точки А, N и M.

Рис. При плоскопараллельном перемещении оригинала относительно П его фронтальная проекция остаётся равной самой себе, изменяя лишь своё положение на поле чертежа. На рис.137 новая фронтальная проекция отрезка АВ построена перпендикулярно к проекции оси 0х.

Рис. На рис.138 показаны построения, необходимые для нахождения новой фронтальной проекции точки М.

Рис. Закрашенные на рис.139 треугольники равны между собой.

Рис. Новые горизонтальные проекции точек А, M и N находятся в пересечении линий связи со следами плоскостей уровня, в которых движутся точки (рис.140).

Рис. Рис. Новая проекция треугольника АMN на П1 представляет собой отрезок прямой, т.к. плоскость занимает теперь горизонтально проецирующее положение.

ППП_ П2 П Второе плоскопараллельное перемещение плоскость совершает относительно П1. На рис.142 показаны следы горизонтальных плоскостей уровня, в которых движутся точки А, M и N. Проекция треугольника на П (отрезок прямой) остаётся равной самой себе, занимая положение параллельное П2.

Рис. На рис.143 показан окончательный вид решённой задачи. Проекция треугольника АMN на плоскость проекций П2 является истинной величиной этой фигуры.

Рис. 2. Решить задачи:

Задача 87. Способом плоскопараллельного перемещения преобразовать чертёж (рис.144) так, чтобы отрезок прямой общего положения стал:

- горизонтально-проецирующим;

- фронтально-проецирующим.

Рис. Задача Способом плоскопараллельного перемещения 88.

преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала фронтальной плоскостью уровня (рис.145).

Рис. Задача 89. Дана плоскость общего положения, определителем которой являются две параллельные прямые общего положения. Способом плоскопараллельного перемещения преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала горизонтальной плоскостью уровня.

Задача Способом плоскопараллельного перемещения 90.

преобразовать чертёж так, чтобы диагональ куба АВ стала проецирующей (рис.146).

Рис. 3. Ответить на следующие вопросы:

1. Какое движение называется плоскопараллельным?

2. Относительно каких плоскостей осуществляется перемещение оригинала?

3. Какое положение относительно плоскостей проекций занимают плоскости, в которых движутся точки оригинала?

4. Расстояния между какими проекциями любой пары точек оригинала остаются постоянными при перемещении, параллельном горизонтальной плоскости проекций?

5. Расстояния между какими проекциями любой пары точек оригинала остаются постоянными при перемещении, параллельном фронтальной плоскости проекций?

6. Назвать четыре основные задачи, к решению которых можно свести разнообразные задачи, решаемые способом плоскопараллельного перемещения.

ЗАДАЧИ Способ вращения Ответить на вопрос: как расположена плоскость вращения 1.

точки относительно оси вращения?

Способ вращения вокруг проецирующей прямой 2. Изучить сущность способа по учебникам.

3. Ответить на следующие вопросы:

Точка вращается вокруг горизонтально-проецирующей прямой.

I.

1) Какое положение относительно плоскостей проекций занимает плоскость вращения точки?

2) Какая линия является траекторией движения точки?

3) Каковы проекции линии, являющейся траекторией движения точки на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций?

Точка вращается вокруг фронтально-проецирующей прямой.

II.

1) Какое положение относительно плоскостей проекций занимает плоскость вращения точки?

2) Какая линия является траекторией движения точки?

3) Каковы проекции линии, являющейся траекторией движения точки на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций?

4. Решить задачи:

Задача 91. Способом вращения вокруг проецирующей прямой преобразовать чертёж так, чтобы отрезок прямой общего положения стал фронтально-проецирующим (рис.147).

Рис. Задача 92. Способом вращения вокруг проецирующей прямой преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала горизонтальной плоскостью уровня (рис.148).

Рис. 5. Ответить на следующие вопросы:

1. Назвать четыре основные задачи, к решению которых можно свести разнообразные задачи, решаемые способом вращения вокруг проецирующей прямой.

2. Сколько требуется преобразований проекций (вращений вокруг проецирующей прямой) для того, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня?

Способ вращения вокруг линии уровня 1. Изучить сущность способа по учебникам.

2. Ответить на следующие вопросы:

1. Какое положение относительно плоскостей проекций занимает плоскость вращения точки вокруг горизонтальной линии уровня?

2. Какое положение относительно плоскостей проекций занимает плоскость вращения точки относительно фронтальной линии уровня?

3. Сколько требуется преобразований проекций (вращений вокруг линии уровня) для того, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня?

4. Как должна быть расположена ось вращения относительно плоскостей проекций, чтобы вращением вокруг линии уровня преобразовать плоскость общего положения в горизонтальную плоскость уровня?

5. Как должна быть расположена ось вращения относительно плоскостей проекций, чтобы вращением вокруг линии уровня плоскость общего положения стала фронтальной плоскостью уровня?

6. Какова особенность способа совмещения?

Пример «Вращение плоскости вокруг линии уровня»

Условие задачи: вращением вокруг линии уровня преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения, определителем которой являются две пересекающиеся прямые общего положения, стала горизонтальной плоскостью уровня.

Дано: (a b) – о.п., a – о.п., b – о.п.

Найти (построить): || П Чертёж к задаче:

- рис.149.

Рис. Решение:

1. Ось вращения Условием задачи определено, что плоскость должна стать параллельна горизонтальной плоскости проекций П1, поэтому ось вращения также должна быть параллельна П1 (рис.150).

Ось вращения - i, i || П Рис. 2. Объект вращения Две точки плоскости, принадлежащие оси, при вращении останутся на своих местах (рис.150). Необходимо выполнить поворот точки пересечения прямых.

Объект вращения – точка М = a b 3. Плоскость вращения Плоскость вращения перпендикулярна к оси вращения. Ось параллельна П1, следовательно плоскость вращения перпендикулярна к П1.

Горизонтально-проецирующая плоскость вращения задаётся на чертеже своим горизонтальным следом (рис.151).

Плоскость вращения – (1), П1, i Рис. 4. Центр вращения Центром вращения является точка пересечения плоскости и оси вращения. Фронтальная проекция центра строится из условия инцидентности этой точки оси вращения (рис.152).

Центр вращения – точка О = i Рис. 5. Радиус вращения Радиус вращения – отрезок ОМ – занимает общее положение, следовательно, проецируется с искажением (рис.153). Необходимо найти его истинную величину. Когда плоскость, совершив поворот, станет параллельна П1, точка М будет отстоять от центра вращения О на расстоянии, равном величине радиуса.

Рис. Истинная величина отрезка ОМ может быть найдена различными способами. В рассматриваемом примере использован способ прямоугольного треугольника, т.к. в данном случае он требует минимума дополнительных построений (рис.154).

Рис. В прямоугольном треугольнике О1М1Р катет О1М1 – горизонтальная проекция отрезка ОМ. Катет О1Р равен разности расстояний точек О и М до П1, т.е. разности координат z этих точек. Определяется эта величина на фронтальной проекции. Она равна длине отрезка М2F, т.е. |О1Р| = |М2F| Истинная величина радиуса равна по величине гипотенузе треугольника О1М1Р.

На рис.155 показаны новые горизонтальные проекции точки М и прямых a и b в положении, когда || П1. Расстояние О1 М 1 равно расстоянию М1Р.

Рис. Ответ: || П 3. Решить задачу Задача 93. Способом вращения вокруг линии уровня преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала фронтальной плоскостью уровня (рис.156).

Рис. ЗАДАЧИ Способ вспомогательного проецирования 1. Изучить сущность способа по учебникам.

2. Ответить на следующие вопросы:

1. Какие проекции оригиналов получают с помощью вспомогательного проецирования?

2. Какой вид проецирования может быть использован для получения вспомогательных проекций?

3. В каких случаях целесообразно применять способ вспомогательного проецирования?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Привести названия способов, при применении которых оригинал остаётся неподвижным относительно исходных плоскостей проекций.

2. Привести названия способов, при использовании которых оригинал изменяет своё положение в пространстве.

3. Назвать частный случай плоскопараллельного перемещения.

4. Назвать четыре основные задачи на преобразование проекций.

ЗАДАЧИ Задача 94. Определить, какой из способов преобразования проекций был использован для определения истинной величины каждого из отрезков AB и CD (рис.157).

Рис. Задача 95. Определить, какой из способов преобразования проекций был использован для определения истинной величины каждого из отрезков MN и CD (рис.158).

Рис. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОВЕРХНОСТИ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Фигура считается заданной на обратимом чертеже, если… 2. Из каких частей состоит определитель фигуры?

3. Дать определение контурной линии.

4. Дать определение очерка фигуры.

5. Дать определения точечного и линейного каркасов.

6. Дать определение кинематической поверхности.

7. По каким основаниям производится классификация поверхностей в начертательной геометрии?

8. Какая поверхность называется линейчатой?

9. Сколько направляющих определяют линейчатую поверхность в общем случае?

10. Перечислить классы линейчатых поверхностей.

11. Привести примеры линейчатых поверхностей различных классов.

12. Какая поверхность называется криволинейной?

13. Какие кривые могут быть образующими криволинейных поверхностей?

14. Какая поверхность называется каналовой?

15. Какая поверхность называется циклической?

16. Какая поверхность называется трубчатой?

17. Какие существуют классы поверхностей в зависимости от закона образования?

18. Какая линия может быть образующей поверхности вращения?

19. Привести примеры поверхностей вращения с указанием образующей.

20. Какое движение называется винтовым?

21. Какая линия может быть образующей винтовой поверхности?

22. Какие поверхности называются геликоидами?

23. Какие существуют виды геликоидов?

24. Что является основанием для классификации геликоидов?

25. Привести примеры поверхностей, образование которых не подчиняется математическим законам?

ЗАДАЧИ Линии на поверхности Задача 96. Определить: инцидентна или нет линия поверхности (рис.159).

Рис. Задача 97. Определить: инцидентна или нет линия поверхности (рис.160).

Рис. Задача 98. Определить: инцидентна или нет линия поверхности (рис.161).

Рис. Задача 99. Определить: какая из точек инцидентна поверхности (рис.162).

Рис. Задача 100. Определить: какая из точек инцидентна поверхности (рис.163).

Рис. Задача 101. Определить: какая из точек инцидентна поверхности (рис.164).

Рис. Задача 102. Определить: какая из точек инцидентна поверхности (рис.165).

Рис. ЗАДАЧИ Многогранники Важно: решая позиционные задачи с участием многогранников, необходимо определить видимость боковых рёбер и сторон основания.

Задача 103. Пирамида задана своими проекциями на эпюре Монжа (рис.166). Определить, на каком чертеже – 1, 2 или 3 – верно определена видимость рёбер пирамиды и на фронтальной, и на горизонтальной проекциях.

Рис. Задача 104. Определить взаимное положение оригиналов (рис.167).

Рис. Задача 105. Определить взаимное положение оригиналов (рис.168).

Рис. Задача 106. Определить взаимное положение оригиналов (рис.169).

Рис. Задача 107. Определить взаимное положение оригиналов (рис.170).

Рис. Задача 108. Определить взаимное положение оригиналов (рис.171).

Рис. Задача 109. Определить взаимное положение оригиналов (рис.172).

Рис. Задача 110. Определить взаимное положение оригиналов (рис.173).

Рис. Задача 111. Определить взаимное положение оригиналов (рис.174).

Рис. Задача 112. Пирамида SABC и плоскость ( LMN) заданы координатами соответствующих точек.

S (130;

50;

10);

A (50;

70;

110);

В (0;

35;

75);

С (40;

15;

75);

L (35;

85;

0);

M (75;

25;

5);

N (110;

65;

110).

Определить взаимное положение оригиналов:

- методом посредника;

- применяя способ преобразования чертежа – замену плоскостей проекций.

ЗАДАЧИ Сфера Пример «Построение проекций сферы с вырезами»

Условие задачи: построить горизонтальную и профильную проекции сферы с вырезами по заданной фронтальной проекции Чертёж к задаче: рис.175.

Рис. Решение 1. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность. В зависимости от положения плоскости относительно плоскостей проекций – параллельно, перпендикулярно или под произвольным углом (общее положение) – проекциями окружности будут соответственно являться:

окружность, отрезок прямой или эллипс.

В данном примере сферу рассекают три плоскости -, и (рис.176).

Плоскость является горизонтальной плоскостью уровня (|| П1, П2, П3), плоскость – профильной плоскостью уровня (|| П3, П1, П2), плоскость - фронтально-проецирующей плоскостью (не параллельна ни П1, ни П2, ни П3).



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.