авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Посвящено 100-летию со дня рождения выдающегося

учёного, профессора

Басина, Абрама Моисеевича.

Басина Г. И.

Басин М. А.

НИЦ «Синергетика»

Санкт-Петербургского союза учёных.

Синергетика.

От Чисел Басина до Synergonet.

Этюды

Санкт-Петербург

2011 УДК 167.0 ББК 32.8 Б 27 Работа посвящена 100 летию со дня рождения выдающегося ученого профессора Абрама Моисеевича Басина Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. От Чисел Басина до Synergonet. Этюды.

СПб.: НИЦ «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных. 2009-2011. 55с.

В предлагаемом читателям и посетителям Internet сборнике Этюдов представлены небольшие Эссе, каждое из которых посвящено отдельной проблеме теории динамических систем. Авторы стремились представить читателю в основном, новые идеи и результаты полученные в последние годы. однако эти новые результаты вплетены в ткань уже известных материалов, полученных ранее исследователями, заложившими основы Синергетической парадигмы.

Порядок следования Этюдов соответствует последовательности их написания.

В названии сборника отражены наиболее существенные объекты исследования, на которые авторы хотели бы обратить особое внимание читателей.

© Басина Г. И., Басин М.А.

Содержание Введение. Что такое Синергетика.

Этюд 1. Бифуркации экспоненты окружности. Числа Басина.

Этюд 2. Экспоненты окружности как фазовые кривые нелинейных динамических систем.

Этюд 3. Экспонента окружности как фазовая траектория нелинейного итерационного соотношения.

Этюд 4. Многомерные степенные комплексные системы итерационных соотношений. Экспонента окружности как одна из форм фундаментального решения системы.

Этюд 5. Алгебраические и спиральные комплексные числа.

Этюд 6. О новом типе крыла с максимальным аэро - гидродинамическим качеством.

Этюд 7. Целостный компьютер. Путь в Synergonet.

Этюд 8. Ещё раз о природе времени.

Этюд 9. Классификация волн, вихрей, грибовидных и древовидных структур и транспортно-информационных систем.

Этюд 10. Вихре - волновой резонанс. Нана - технологии. Жизнь. Экономика.

Заключение. Человечество. Synergonet.

Введение.

Что такое Синергетика.

В отличие от большинства наук, возникавших, как правило, на стыке двух ранее существовавших и характеризуемых проникновением метода одной науки в предмет другой, она (Синергетика) возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук, с которыми она имеет ненулевые пересечения: в изучаемых (ею) системах, режимах и состояниях физик, биолог, химик и математик видят свой материал, и каждый из них, применяя методы своей науки, обогащает общий запас (её) идей и методов.

Ю.А. Данилов, Б.Б. Кадомцев [1] Если построить системную триаду научного знания [2]:

Философия / \ Математика------- Конкретные науки, то Синергетика проектируется в центр и приподнята над плоскостью этой триады, становясь её ядром и одновременно осуществляя связи между её элементами.

Появление Синергетики связано с тем, что в каждом из элементов триады появились возможности для изучения самых сложных проблем – проблем самоорганизации материи. Синергетика обобщает эти возможности, и, синтезируя их, порождает новые. Границы Синергетики лежат в областях её сращивания с элементами триады, и их установление происходит в творческой конкуренции идей, амбиций и мнений.

Задача Синергетики будет выполнена, и границы её будут определены, если триада превратится в полноценную системную тетраду, каждый элемент которой будет иметь своё ядро и связи с другими элементами. Ни попытки уничтожить Синергетику как не имеющую своей сферы исследований, ни противоположные попытки заменить Синергетикой всю базовую триаду научного знания не будут продуктивными.

Значительный вклад в развитие синергетических исследований внесли Санкт Петербургские учёные. С мая 1993 года по инициативе выдающегося учёного и общественного деятеля В. Д. Поремского в Санкт-Петербурге работал Семинар «Синергетика и методы науки», а с октября 1995 года – функционирует научно исследовательский центр «Синергетика». Работы центра были поддержаны четырьмя грантами РФФИ (руководитель: проф. М. А. Басин) и тремя грантами РГНФ (руководитель: проф. Р. Г. Баранцев). Сотрудниками центра опубликовано более двухсот статей и двадцати сборников и монографий [3].

При мысленном выделении объекта из природы мы составляем в мозгу его образ, даём ему имя и вводим в рассмотрение два числа: единица и нуль, характеризующие соответственно существование и отсутствие объекта. Тем самым, мы вводим в рассмотрение три языка Синергетики и науки вообще:

а) язык математики, б) язык образов, в) язык слов.

Эта триада соответствует семантической триаде Р.Г. Баранцева[2]:

интуицио – / \ рацио –эмоцио.

Синергетика внесла в использование этих языков специфические особенности и новые связи. Достижения качественной теории динамических систем и нелинейных волн, структур и систем, изучение информационных процессов, внедрение тринитарной методологии и мягких математических методов асимптотической математики привели к появлению новых мысленных и графических образов, новых слов и определений, новых математических понятий, которые благодаря синергетическим исследованиям внедряются во все элементы основной триады научных дисциплин.

Целостная система, которая может быть названа одним словом, при математическом описании приближённо представляется действительной скалярной мерой – параметром целого. Удачный выбор параметра целого является следствием адекватности того мысленного образа изучаемого объекта, который сложился на первых этапах эмпирического исследования, реальному объекту. Параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы он легко определялся эмпирически или вычислялся и характер его зависимости от времени был устойчив для ряда аналогичных систем (квантов обобщённой волны). Если мы оставляем при исследовании сложного объекта лишь одну обобщённую координату (меру, параметр целого), то в качестве неё можно использовать величину, характеризующую объём многообразия координат, более детально описывающих систему. Это может быть геометрический размер или объём, положение в пространстве, действие, энергия, масса системы, энтропия или информация, количество денег в экономике, прибыль, количество слов в языке и даже переменная возможность существования самой системы. В ряде случаев можно принять за параметр целого изучаемого объекта число элементов - квантов, которые включены в объект как в обобщённую волну;

если каждый из них имеет свою меру или параметр целого и эти меры аддитивны, то - суммарную меру всех квантов.

Введение параметра целого подразумевает значительное информационное сжатие, и поэтому динамика его изменения не полностью определяет динамику системы.

Динамика параметра целого может быть приближённо описана либо в виде итерационного процесса, либо в форме дифференциального уравнения.

Качественный анализ такого рода систем с дискретным и континуальным числом состояний позволил проанализировать возможные особенности изменения этого параметра для различных классов структур и систем.

Принципиально новые теоретические результаты были получены на пути комплексификации параметра целого и качественного исследования дифференциальных уравнений и итерационных процессов в области комплексного переменного. Введены представления о комплексных гамильтониане и лагранжиане динамической системы. Обнаружены новые иррациональные числа, играющие существенную роль в исследовании нелинейных комплексных систем, названные в честь выдающегося учёного Абрама Моисеевича Басина числами Басина (смотри Этюды 1-4).

Однако анализа нелинейной динамики одного, хотя и удачно выбранного, параметра целого обычно бывает недостаточно. При более детальных исследованиях вводится несколько обобщённых координат, изменение которых более подробно характеризует динамику системы. В соответствии с идеями Г.

Хакена [4] и Р. Г. Баранцева [2] можно предположить, что оптимальным с точки зрения асимптотического анализа является тринитарное описание динамической системы. Теория нелинейных динамических систем с конечным числом координат в настоящее время интенсивно развивается. Предложены различные формы классификации систем и их математических моделей.

В предлагаемом читателю собрании Этюдов отражены некоторые новые аспекты исследований авторов, вошедшие в арсенал синергетической парадигмы. Этюды размещены в порядке их написания. Связь между ними не лежит на поверхности.

Для её отыскания читателю потребуется некоторое умственное напряжение, которое, как мы надеемся, принесёт ему дополнительную пользу и эстетическое наслаждение..

Литература 1.Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое Синергетика?//Нелинейные волны.

Самоорганизация. М.: Наука. 1983. С. 5- 2. Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании. М.: Едиториал УРСС.2003.144 с.

3. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Основы методологии. СПб.: Норма. 2006.

56 с.

4.Хакен Г. Синергетика. М.: Мир. 1980. 414 с.

Этюд Бифуркации экспоненты окружности. Числа Басина.

21 октября Фазовыми траекториями линейных динамических систем часто бывают замкнутые циклы, близкие к окружностям. В комплексной области z окружность радиуса может быть описана формулой z = ei, где = const, 0 2.. Наиболее характерной нелинейной проблемой, поддающейся аналитическому решению, является, проблема определения динамики системы, логарифмы параметров динамики которой подчинены линейным закономерностям. Назовём экспонентой окружности замкнутую кривую в комплексной плоскости, получающуюся как отображение w = exp z. Отделим в последнем выражении действительную часть от wr = exp( cos ) cos( sin ) мнимой.

wi = exp( cos ) sin( sin ) Найдём точки пересечения экспоненты окружности с осью абсцисс. Условие для их отыскания записывается в виде: wi = exp( cos ) sin( sin ) = 0. Отсюда следует, что при 0 sin( sin ) = 0. Последнее уравнение имеет счётное множество решений k k = 1,2,...,. Отсюда получаем sin = k = 1,2,...,. Решения последнего sin = k ;

;

k уравнения подчиняются ограничению sin 1. или 1;

k = 0,1,2,...,.

Если n (n + 1), тогда | k |max = n. Реальная координата экспоненты окружности в точках пересечения с осью абсцисс определяется по следующим формулам.

Если k = 2m;

0 ;

2, то wr = exp 2 2 k 2.

2 Если k = 2m;

то wr = exp( 2 2 k 2 ).

, 2 Если k = 2m + 1;

0 ;

2, то wr = exp 2 2 k 2.

2 Если k = 2m + 1;

то wr = exp( 2 2 k 2 ).

, 2 Если рассматривать параметрическое семейство экспонент окружности, зависящее от параметра, то значения = n являются бифуркационными. Если n = 2 p 1, то при достижении = n появляются «из ничего» два отрицательных значения точек пересечения экспоненты окружности с осью абсцисс (корней) в области спиральных чисел, которые могут быть отождествлены в области алгебраических комплексных чисел с минус единицей (-1). Затем при увеличении эти корни расщепляются и уходят от минус единицы – один вправо, а другой - влево. Таким образом, появляются и плавно изменяются четыре (два сдвоенных) корня. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не достигнет величины = 2p. Затем возникает новая бифуркация: в области спиральных комплексных чисел появляется два новых корня, имеющих в области алгебраических комплексных чисел одно и то же значение wr = 1. Затем происходит расщепление каждого из этих корней на два, которые расходятся от единицы в разные стороны. Объяснение этих «фокусов»

можно найти, если проследить характер изменения экспоненты окружности в зависимости от параметра в комплексной плоскости. Рассмотрим динамику точки, соответствующей =. Имеем w = exp( i) = cos + i sin.

То есть эта точка перемещается с изменением по окружности с радиусом, равным единице, вращаясь тем быстрее, чем больше величина. Эта окружность пересекает ось абсцисс в точках -1 и +1. Поэтому новые корни формируются именно в этих точках.

Таким образом, значения реальной координаты экспоненты окружности в точках пересечения с осью абсцисс при бифуркациях определяются по следующим формулам.

Если k = 2m;

0 ;

2, то wr = exp n 2 k 2.

2 Если k = 2m;

то wr = exp( n 2 k 2 ).

, 2 Если k = 2m + 1;

0 ;

2, то wr = exp n 2 k 2.

2 Если k = 2m + 1;

то wr = exp( n 2 k 2 ).

, 2 Числа wr, являющиеся комбинацией трансцендентных и алгебраических иррациональных чисел - универсальные безразмерные величины, которые характеризуют бифуркационную динамику системы экспонент окружности.

В честь 100 – летия со дня рождения выдающегося учёного, профессора Абрама Моисеевича Басина, мы назвали их числами Басина.

Ввиду универсальности выполненного анализа эти числа в том или ином виде должны быть обнаружены при исследовании нелинейных динамических систем.

(Смотри Этюды 2-4).

Этюд Экспоненты окружности как фазовые кривые нелинейных динамических систем 20 ноября При исследовании динамических систем для определения динамики их интегральных параметров нами рекомендуется введение комплексного параметра целого, а также отыскание и решение комплексного обыкновенного дифференциального уравнения, которому он удовлетворяет, dz = f (z ), (1) dt где z может быть комплексной алгебраической переменной z = x + iy или комплексной спиральной переменной z = ei (смотри Этюд 5). Фазовая траектория, являющаяся решением уравнения (1), может быть записана в виде z ( z0, t ) = x( z0, t ) + iy ( z0, t ) = ( z0, t ) = Re ( z0, t ) + Im ( z0, t ), (2) где ( z0, t ) - значение алгебраической комплексной координаты фазовой траектории, проходящей через точку z0 = x0 + iy0 в момент времени t = 0. Это же решение может быть записано и в спиральных переменных.

z ( z0, t ) = ( z0, t )ei ( z,t ) = ( z0, t ) = ( z0, t ) ei arg( ( z,t ) (3) 0 Введём новую функцию w = ( z );

z = 1 ( w).

d 1 ( w) Тогда уравнение (1) преобразуется к виду = f ( 1 ( w) или dt dw d dw f ( ( w)) = (4) dt Соответствующая фазовая траектория для переменной w имеет вид:

w( w0, t ) = Re w( w0, t ) + i Im w( w0, t ) = ( ( 1 ( w0 ), t )) = Re ( ( 1 ( w0 ), t )) + i Im ( ( 1 ( w0 ), t )) Таким образом, имея решение одного уравнения (1), мы можем построить класс производных нелинейных дифференциальных уравнений, связанных с данным, решения которых строятся на основе решения первого.

Нас в дальнейшем будет интересовать один важный частный случай выполненных преобразований.

В качестве основного уравнения примем линейное комплексное уравнение.

dz = Kz. (5) dt dz Его решение может быть получено следующим образом: = Kdt. Интегрируя обе z части последнего равенства, получаем: ln z + c = Kt. Экспонируя получившееся уравнение, получим z = e Kt c.Если t = 0,то z0 = e c, и фазовые траектории решения этого уравнения имеют вид z = z0e Kt. (6).

Представим K = K1 + iK 2. Тогда решение уравнения (5) примет форму:

z = z0e K1t eiK 2 t (7) Фазовые кривые представляют собой развёртывающиеся или скручивающиеся спирали либо сходящиеся к нулю, либо уходящие на бесконечность. В дальнейшем нас будет интересовать частный случай когда K1 = 0. В этом случае z = z0eiK t. Если считать, не теряя общности, что начальное значение неизвестной является действительным числом z0 = 0, то уравнение фазовой кривой имеет вид z ( 0, t ) = 0eiK t. (8) Точка фазовой кривой уравнения (5) в рассматриваемом частном случае движется по окружности радиуса 0.- то есть по циклической траектории. Далее примем, что связь между комплексными переменными z и w имеет вид:

w = ez. (9).

Тогда уравнение, описывающее динамику переменной w примет форму d ln w = K ln w dt или dw = Kw ln w (10) dt Циклические фазовые траектории динамической системы, описываемой этим уравнением, имеют вид w( 0, t ) = exp( 0eiK t ) = exp( 0 (cos K 2t + i sin K 2t )) = e cos K t ei sin K t 0 2 0 Последнее выражение описывает траекторию в виде экспоненты окружности.(смотри Этюд №1). Таким образом, экспонента окружности является циклической фазовой траекторией некоторой динамической системы, описываемой комплексным обыкновенным дифференциальным уравнением (10). Бифуркации экспоненты окружности и связанные с ними бифуркационные числа Басина определяют динамику систем, описываемых этим уравнением. Однако, этим не исчерпывается класс уравнений, имеющих фазовые траектории типа экспоненты окружности. Известно, что в ряде динамических систем происходит бифуркации рождения цикла. Если переменные, входящие в эти системы рассматривать как логарифмы некоторых новых переменных, то для этих новых переменных получаются уравнения, для которых бифуркация рождения цикла превратится в бифуркацию рождения новой фазовой траектории, являющейся экспонентой окружности. Переход от циклической фазовой траектории к фазовой траектории в виде экспоненты окружности, по-видимому, является стандартным для самоорганизующихся информационно-транспортных систем, имеющих подсистемы с сильно отличающимися друг от друга, но связанными между собой масштабами описывающих их переменных.

Этюд 3.

Экспонента окружности как фазовая траектория нелинейного итерационного соотношения.

2 декабря 2009.

В настоящем этюде установлены критерии эквивалентности комплексного дифференциального уравнения первого порядка и нелинейного итерационного соотношения. Установлены условия, при которых точки, соответствующие решению итерационного соотношения, лежат на экспоненте окружности.

При исследовании динамических систем может быть введён комплексный параметр целого, найдено и решено комплексное обыкновенное дифференциальное уравнение, которому он удовлетворяет:

dz = f (z ). (1) dt Здесь z может быть комплексной алгебраической переменной z = x + iy или комплексной спиральной переменной z = ei. Семейство фазовых траекторий, являющихся совокупностью решений уравнения (1), может быть представлено в виде:

z ( z0, t ) = x( z0, t ) + iy ( z0, t ) = ( z0, t ) = Re ( z0, t ) + Im ( z0, t ),- (2) где ( z0, t ) - значение комплексной координаты фазовой траектории, проходящей через точку z0 = x0 + iy0 в момент времени 0. Это решение может быть записано и в спиральных переменных:

z ( z0, t ) = ( z0, t )ei ( z,t ) = ( z0, t ) = ( z0, t ) ei arg( ( z,t ). (3) 0 Построим итерационное соотношение, эквивалентное описанной динамической системе.

Разрешим равенства (2, 3) относительно t :

t = 1 ( z, z 0 ). (4) Предположим, что мы знаем состояние одномерной комплексной динамической системы в момент Tn, соответствующий точке z n, и хотим определить состояние той же системы z n +1 в момент Tn +1. Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим:

z n +1 = ( z 0, Tn +1 ) = ( z 0, Tn + ( T ) n ) = ( z 0, [ 1 ( z n, z 0 ) + ( T ) n ]). (5) Введём понятие оператора F ( z n ) :

F ( z n ) = ( z 0, [ 1 ( z n, z 0 ) + ( T ) n ]). (6) Оператор F ( z n ) порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы z n в момент времени Tn в её состояние z n +1 в момент времени Tn + z n +1 = F ( z n ). (7) Последнее уравнение описывает дискретную по отношению к времени систему, полностью эквивалентную непрерывной динамической системе.

Существует ещё один способ перехода от непрерывной модели к дискретной.

Вместо системы (1) запишем приближённую систему z n +1 z n = f ( zn ), (8) (T ) n которая, после ряда преобразований, приводится к виду:

zn +1 = zn + (T ) n * f ( zn ) = F1 ( zn ).

(9) Операторы F ( z n ) и F1 ( z n ) не эквивалентны и один сходится к другому при стремлении (T ) n к нулю.

Рассмотрим один практически важный частный случай. В качестве основного примем линейное комплексное уравнение dz = Kz. (10) dt Решение этого уравнения имеет вид:

z = z0e Kt ;

zn = z0e KTn ;

zn +1 = z0e KTn e K ( T ) n. (11) Окончательно получаем итерационное соотношение:

zn +1 = zn e K ( T ). (12).

n Тем самым, в случае постоянного временного интервала итерационный процесс первого типа, удовлетворяющий равенствам (5-7), представляет собой геометрическую прогрессию в области комплексных чисел. Если величина K является мнимой, то все члены ряда (12) лежат на окружности радиуса | z0 |.

Итерационный процесс (9) в нашем частном случае примет вид:

zn +1 = (1 + K (T ) n ) zn. (13) Формулы (12) и (13) совпадают лишь в пределе при K (T ) n 0. В случае конечных значений K (T ) n итерационные процессы отличаются друг от друга тем более, чем больше модуль величины K (T ) n.

Далее введём в рассмотрение новую комплексную переменную:

w = ( z );

z = 1 ( w). (14) Тогда уравнение (1) преобразуется к виду:

dw d f ( 1 ( w)), = (15) dt dw а соответствующие итерационные процессы будут иметь следующий вид:

wn +1 = ( F ( 1 ( w0 ), 1 ( wn ))). (16) Последнее уравнение описывает итерационный процесс, эквивалентный уравнению (15).

Другой, приближённый вариант итерационного процесса, соответствующий уравнению (15) имеет вид:

wn +1 = ( F1 ( 1 ( wn ))). (17) В рассмотренном ранее частном случае линейного дифференциального уравнения примем, что зависимость новой переменной от старой имеет вид w = e z.

Тогда итерационное соотношение (12) после ряда преобразований примет форму K ( T ) n wn +1 = ( wn )e. (18) Итерационный процесс (18) в правой своей части содержит степенную функцию с комплексным показателем степени. Для адекватного описания таких функций необходимо ввести представление о спиральных комплексных числах, которое даётся в Этюде 5. В случае, если величина K представляет собой мнимое число, все точки итерационного процесса (18) лежат на одной из экспонент окружности, параметры которой определяются значением wn. Бифуркации экспоненты окружности и связанные с ними Числа Басина в этом случае также определяют качественные изменения динамики исследуемой системы.

И, наконец, второй тип итерационного процесса даёт нам следующее равенство:

1+ K ( T ) wn +1 = wn. (19) n В данном случае мы также имеем в правой части уравнения (19) степенную функцию с комплексным показателем степени, однако члены итерационного процесса ложатся на экспоненту окружности только в случае мнимых значений K и стремления модуля этой величины к нулю.

Этюд 4.

Многомерные степенные комплексные системы итерационных соотношений.

Экспонента окружности как одна из форм фундаментального решения системы.

8 декабря 2009.

При решении нелинейных многомерных проблем динамики сложных систем особую роль играют комплексные операторы, которые могут быть названы степенными.

Рассмотрим символьное многомерное итерационное соотношение:

Wn = Wn 1.

A (1) Здесь W = {wi } = {i e };

i = 1,2,...m - совокупность спиральных комплексных i i координат;

A = { ij }, i = 1,2,...m;

j = 1,2,...m - (2) линейный комплексный оператор, элементами которого являются алгебраические комплексные числа (смотри Этюд 5). Соотношение (1) соответствует системе уравнений:

m ( wi ) n = ( w j ) n 1 ij.

(3) j = Прологарифмируем левую и правую части равенства (3):

m ln(wi ) n = ij ln((w j ) n1 ) (4) j = или в векторно - операторном виде:

ln Wn = A ln Wn 1. (5) Введём следующее обозначение:

Z = {zi } = ln W = {ln wi }. (6) Тогда уравнение (5) запишется в виде:

Z n = AZ n 1, (7) а равенство (4) –в форме:

m ( zi ) n = ij ( z j ) n 1. (8) j = Введём в рассмотрение комплексное конечномерное аффинное векторное пространство. Вектором будем считать совокупность алгебраических комплексных чисел:

Z n 1 = {zi } = ( z1, n 1, z2, n 1,..., zm, n 1 ). (9) Считаем, что пространство отнесено к определённым ортам:

e (1), e ( 2 ),..., e ( m ). (10) Так что Z n 1 = z1, n 1e (1) + z2, n 1e ( 2 ) +,...,+ zm, n 1e ( m ). (11) Равенства (7), (8) назовём линейным преобразованием вектора Z n 1 к вектору Z n.

Если определитель матрицы A отличен от нуля, то, решая уравнения (7), (8) относительно Z n 1, получаем Z n 1 = A1Z n, (12) где матрица A1 имеет элементы {A } A ji =. (13) ij D( A) Здесь D( A) -определитель матрицы A, а A ji алгебраические дополнения его относительно элементов ji. Введём в рассмотрение новые орты:

(1) ( 2) (m). (14) e0, e0,..., e Связь между старыми и новыми ортами выражается с помощью соотношений:

m = tij e ( j ).

(i ) (15) e i = При этом определитель матрицы T = {tij } (16) считаем не равным нулю. Если некоторый вектор Z n 1 в системе координат с ортами (10) имел составляющие Z n 1 = {zi } = ( z1, n 1, z2, n 1,..., zm, n 1 ), то в новой системе координат он будет иметь другие составляющие Z n 1 = {zi, n 1} = ( z1, n 1, z, n 1,..., zm, n 1 ), (17) которые выражаются через предыдущие при помощи соотношения:

Z n 1 = T (*) 1Z n 1. (18) Здесь матрица T (*) = {t ji } транспонирована по отношению к матрице T = {tij }. Если мы имеем некоторый линейный итерационный процесс, который в первоначальной системе координат выражался формулой (7), то в новой системе координат это же преобразование будет выражаться формулой Z n = AZ n 1 = U 1 AUZ n 1, (18) где U = T (*). (19) Матрица A = U 1 AU (20) называется подобной матрице A. Подобные матрицы равносильны в том отношении, что они представляют одно и то же преобразование пространства, но выраженное в различных координатных системах. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то среди матриц A имеются диагональные матрицы [1], у которых отличны от нуля только диагональные члены. В случае выбора преобразования T таким образом, что матрица A станет диагональной, соотношение (18) разобьётся на комплексные одномерные итерационные соотношения типа zi, n = i zi, n 1, (21) где i -диагональные члены матрицы A.

1 0... A =............ (22) 0 0...m Для отыскания соответствующей матрицы U = T (*) и диагональных членов матрицы A выпишем следующее равенство:

AU = UA (23) или в координатной форме m u = uij j. (24) ik kj k = Если рассматривать элементы u1 j, u2 j,..., umj как составляющие некоторого вектора u ( j ), то можно записать равенство (24) в виде векторного равенства Au ( j ) = j u ( j ). (25) «Мы видим таким образом, что разыскание матрицы U = T (*), которая приводит матрицу A к диагональной форме сводится к разысканию таких векторов u ( j ), которые воспроизводятся с точностью до численного множителя в результате линейного преобразования, определяемого матрицей A. Этот факт является алгебраическим аналогом того факта современной квантовой механики, согласно которому матричная механика Гейзенберга по существу равносильна волновой механике Шредингера.

Согласно первой точке зрения, существенным вопросом является задача приведения некоторой матрицы (бесконечной) к диагональной форме. Что же касается волновой механики, то здесь существенным вопросом является задача отыскания таких векторов (в пространстве с бесчисленным множеством измерений), которые бы воспроизводились с точностью до численного множителя в результате некоторого линейного преобразования. Предыдущие соображения мы назвали алгебраическим аналогом потому, что, ограничиваясь пространством с конечным числом измерений, мы приводим наши задачи к чисто алгебраическим задачам. В более же сложных случаях с бесчисленным множеством измерений мы существенно выходим из рамок обычной алгебры и нуждаемся в аппарате анализа» [1].

Система (24) или (25) может быть записана в виде:

( A j E )u ( j ) = 0. (26) Здесь E - единичная матрица. Для получения отличного от нуля результата определитель матрицы A j E должен быть равен нулю, то есть:

| A j E |= 0. (27) Таким образом, мы получили характеристическое комплексное алгебраическое уравнение m -ого порядка относительно j, которое имеет ровно m комплексных решений. Предположим, что эти решения различны. Найдя все значения j, мы можем построить матрицу 1 0..., A =.......... (28) 0 0...m и вместо системы итераций (12) решать одномерные итерационные соотношения (21), которые уже рассматривались нами в Этюде №3.

Нам осталось теперь определить с точностью до произвольного не равного нулю комплексного постоянного множителя элементы матрицы U. Для этого в системе уравнений (26) зададим произвольно какую-либо координату вектора u ( j ) и перенесём соответствующие ей члены левой части уравнения (26) в правую часть, отбросив одно из уравнений. Если в этом случае получившаяся неоднородная система уравнений на единицу меньшего порядка имеет определитель, не равный нулю, то решение определяется по формулам Крамера [1]. Эта процедура повторяется для всех значений j. Вернёмся к системе итерационных соотношений (21). Подставляя последовательно в правую часть значения zi,l вплоть до l = 0, получим zi, n = i zi, 0.

n (29) Равенство (29) определяет фундаментальное решение системы итерационных соотношений (7). Введём новые комплексные переменные:

w = exp z. (30) Тогда система (29) запишется в виде:

ln wi,n = i ln wi, 0.

n (31) Потенцируя (31), получим:

( ) n wi, n = wi, 0. (32) i Если i комплексная величина с модулем равным единице, то значения wi, n при любых целых значениях n лежат на экспоненте окружности (смотри Этюд №3).

Таким образом, экспонента окружности, бифуркации которой были рассмотрены нами в Этюде №1, является одной из фундаментальных форм фазовой траектории для достаточно общей системы степенных итерационных соотношений. В ортогональной системе координат можно ввести понятие экспоненциального вектора:

W = {wi}. (33) Тогда соотношение (32) может быть записано в символьном виде:

A n Wn = W0. (34) Соотношение (31) может быть записано в форме:

ln Wn = An ln W0. (35) Последнее равенство записано уже в терминах аффинных векторов и классических матриц. Вернёмся в соотношении (35) к первоначальной системе координат, воспользовавшись соотношениями (18)-(20) U 1 ln Wn = U 1 AnUU 1 ln W0 (36) или ln Wn = An ln W0. (37) Потенцируя (37), получим решение системы (1) в символьной форме n Wn = W0.

(A ) (38) Между координатами экспоненциального вектора W осуществляется связь согласно соотношению W = W (U ). (39) Или в координатной форме m wi = w j ij.

u (40) j = Литература 1.Смирнов В. И. Курс высшей математики для техников и физиков. Том 3 ГИТТИ М.-Л. 1933 736 с.

Этюд Алгебраические и спиральные комплексные числа.

24 апреля 2010.

Введём одну из возможных модификаций комплексных чисел, использование которой позволяет, если это необходимо, рассматривать степенные функции комплексного переменного с комплексными показателями степени как однозначные функции, следовательно, применить к их исследованию весь аппарат современного анализа.

Любое комплексное число имеет, как минимум, два возможных представления: алгебраическое - z = x + iy и экспоненциальное - z = rei. При этом каждому алгебраическому представлению комплексного числа соответствует счётное множество экспоненциальных представлений, в которых величина отличается на 2k ;

k = 1,2,..., n,...

Предположим, следуя Б. Риману[1] и Г. Вейлю [2], что имеется некоторая винтовая спиральная структура, пересекающая комплексную плоскость по положительной оси x со стремящимся к нулю шагом h [3-5]. Каждой точке такой спиральной винтовой поверхности приведём в соответствие некоторое спиральное комплексное число, которое может быть описано формулой Z = ei. Величина характеризует расстояние от точки спиральной поверхности до оси, перпендикулярной плоскости z = x + iy и проходящей через точку z = 0. При такой геометрической интерпретации все точки, соответствующие спиральным комплексным числам, имеющим значения, отличающиеся на 2k ;

k = 1,2,..., n,..., лежат на одной прямой, проекцией которой на плоскость z является одно алгебраическое комплексное число z = x + iy, где x = cos, y = sin. Каждому спиральному комплексному числу соответствует одно алгебраическое комплексное число. Но каждому алгебраическому комплексному числу соответствует счётное множество спиральных комплексных чисел. Введём в рассмотрение ещё одну комплексную плоскость, которая соответствует полю алгебраических комплексных чисел, которые получатся, если формально взять операцию логарифма от каждого спирального числа Z = ei ;

lZ = ln Z = ln + i.

Функция lZ = ln Z и обратная ей Z = exp lZ являются взаимно однозначными функциями, отображающими друг на друга область определения спиральных чисел Z = ei и алгебраическую комплексную плоскость lZ = ln Z. Каждая горизонтальная полоса области lZ = ln Z высотой 2 соответствует одному листу спирали Z.

Далее рассмотрим в области lZ = ln Z совокупность взаимно-однозначных комплексных линейных отображений lW = lZ +. В качестве коэффициентов такого отображения примем поля алгебраических комплексных чисел = 1 + i 2 ;

= 1 + i 2.

Эти отображения являются взаимно однозначными во всех точках,lZ,, кроме точки = 0.

Введём ещё одно взаимно однозначное отображение комплексной плоскости lW на область спиральных комплексных чисел W : W = exp(lW ). Тогда получим взаимно однозначное отображение W = exp( ln Z + ) = e Z = BZ Константа B = e также лежит в области определения спиральных чисел. Таким образом, многозначная степенная функция с комплексными показателями степени при рассмотрении её в области определения спиральных чисел становится взаимно однозначной. И с ней можно осуществлять все операции так же, как со степенными функциями, лежащими в области действительного переменного. Введение спиральных комплексных чисел обеспечивает условия для развития степенной геометрии с алгебраическими комплексными показателями степени.

При этом, в некоторых случаях, когда является целым числом, можно работать с проекциями спиральных чисел на комплексные плоскости z, w.

Оставаясь в рамках алгебраических комплексных чисел, мы рискуем потерять возможные элементы множества точек, на которые отображает степенная функция данное алгебраическое комплексное число. Возникают многозначные и даже бесконечнозначные функции, а с ними понятие вероятности выбора той или иной ветви многозначного отображения.

Существует проблема взаимоотношений построенной математической конструкции с реальными объектами, которые описываются при помощи той или иной математической конструкции. Мы вовсе не всегда «видим» спиральное число, чаще «наблюдается» его проекция на комплексную плоскость z и описываемая обычными степенными функциями комплексных чисел динамика системы «кажется» нам бифуркационной.

Так как совокупность построенных однозначных степенных функций является экспонентой алгебры линейных отображений над комплексными числами, то в области определения спиральных чисел естественным образом вводится умножение спиральных чисел как спиральный аналог сложения степеней экспонент соответствующих алгебраических комплексных чисел. Аналогичное утверждение может быть сделано относительно умножения степенных функций некоторой спиральной переменной Z.

Пусть W1,W2 -две степенные функции спиральной переменной Z : W1 = B1Z ;

W2 = B2 Z.

1 Тогда функция W = W1W2 также будет однозначной степенной функцией от Z.

W = BZ, где = 1 + 2 ;

B = e = B1B2 = e +.

1 Аналогичным образом доказывается, что возведение степенной функции в комплексную степень порождает новую степенную функцию со степенью, равной =, и коэффициентом, представляющим собой спиральное число, являющимся коэффициентом первоначальной функции, возведённым в степень.

Значительно сложнее ввести понятие сложения спиральных комплексных чисел, а следовательно, сложения степенных мономов. Эту проблему можно назвать проблемой Лагранжа [6]. Наметим лишь пути решения указанной задачи.

Пусть даны два спиральных числа или две степенные функции спиральной переменной Z W1 = B1Z ;

W2 = B2 Z. Определить сумму этих спиральных чисел. В 1 области спиральных чисел такое определение дать довольно сложно. Однако, мы можем спроектировать оба числа на плоскость алгебраических комплексных чисел и в этой плоскости вычислить уже сумму двух соответствующих им алгебраических комплексных чисел. Если считать, что сумма алгебраических комплексных чисел является проекцией спирального комплексного числа, являющегося суммой спиральных комплексных чисел, то наше определение позволяет с точностью до бесконечного множества значений, отличающихся друг от друга на 2k, такую сумму определить. Возникает проблема выбора одного из бесконечного множества имеющихся значений. Более подробно эта важная проблема, на наш взгляд, имеющая решение, будет рассмотрена позднее.

Литература 1. Riemann B. Theorie der Abelschen Funktionen. Borhardt’s Journ. fr reine und angewandte Math. 54.). 1857. Werke. Leipzig 1876.S.81-135.

2. Weyl H. Die Idee der Riemanischen Flche. Leipzig-Berlin. 1913 (1-ste Aufl.). 1923 (2 te Aufl.). Stuttgart.1953 (3-te Aufl.) 3.Шабат Б. В.Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного.

М. 4.Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. В 2 томах. Основные понятия и принципы. М.:1962.

5. Басин М. А. Спиральные числа. Степенные особенности. Волны. Вихри.

Грибовидные структуры. Транспортно-информационные системы. Международная междисциплинарная научно-практическая конференция: «Современные проблемы науки и образования». Керчь 27.06-4.07.2001. Ч.1 Харьков. 2001. С.12-13.

6.Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск Этюд 6.

О новом типе крыла с максимальным аэро - гидродинамическим качеством ( 1 января 2011.

Авторы благодарят Р. Г. Баранцева предложенное им название для описанной конструкции Аэроколесо Несущие или управляющие крылья широко используются как в живой природе, так и в различных механизмах и транспортных средствах, создаваемых человеком. При этом их применение оказывается эффективным, если они при заданных размерах создают максимальную подъёмную силу, либо имеют максимальное аэро - гидродинамическое качество, то есть отношение подъёмной силы к сопротивлению.

С целью решения последней задачи крылья стараются проектировать плавно обтекаемыми, чтобы избежать отрыва пограничного слоя и возникновения вихревого сопротивления, связанного с отрывом. При этом максимальным аэро гидродинамическим качеством обладают крылья, создающие вовсе не максимальную подъёмную силу.

А между тем законы аэро - гидродинамики вовсе не запрещают проектировать крыльевые устройства, обладающие одновременно максимальной подъёмной силой и максимальным гидродинамическим качеством.

В настоящей работе сделана попытка найти принципиально новые пути технического решения поставленной проблемы. Если высказанные качественные теоретические соображения найдут экспериментальное подтверждение, то возникнет возможность создания принципиально новых конструкций в различных областях техники.

Классической задачей гидро - аэродинамики является задача об обтекании идеальной жидкостью круглого цилиндра бесконечного размаха. До сих пор нас удивляет парадокс Эйлера, основным утверждением которого является равенство нулю сопротивления такого цилиндра (да и не только цилиндра, но любого тела).

Однако, в случае цилиндра имеется ещё один парадокс. Сопротивление при двумерном обтекании остаётся нулевым, если на поток вокруг цилиндра наложить произвольную циркуляцию. А циркуляция, в соответствии со знаменитой формулой Н. Е. Жуковского, однозначно определяет подъёмную силу произвольного двумерно обтекаемого контура. Таким образом, для одного и того же цилиндра в идеальной жидкости можно теоретически получить бесконечное гидродинамическое качество при любом значении подъёмной силы крыла. В действительности дело обстоит не так просто. В реальной жидкости вблизи поверхности цилиндра формируется вязкий пограничный слой, и на поверхность тела со стороны жидкости действуют касательные напряжения, интеграл проекций которых по поверхности тела даёт вязкостное сопротивление трения. Поэтому бесконечного значения аэро гидродинамического качества добиться практически невозможно. В случае обтекания кругового цилиндра вследствие большого градиента скоростей на наружной границе пограничного слоя возникает явление, называемое отрывом пограничного слоя, приводящее к возникновению широкого, зачастую нестационарного следа, на формирование которого тратится дополнительная энергия, что приводит к перераспределению давлений по поверхности цилиндра и возникновению значительного дополнительного сопротивления. Поэтому выводы, полученные на основе теории идеальной жидкости, становятся абсолютно не соответствующими действительности.

Но идеал всё же существует и к нему нужно стремиться.

Прежде всего, остановимся на проблеме формирования циркуляции. При решении задач аэро – гидромеханики методами идеальной жидкости циркуляция вводится в поток принудительно, по желанию исследователя. Правда, для относительно тонких крыльев с острой задней кромкой существует гипотеза Жуковского – Чаплыгина – Кутта, позволяющая однозначно определить циркуляцию потока, исходя из предположения о конечности скорости в районе этой кромки. Справедливость этой гипотезы, приблизительно подтверждённая экспериментальными данными, является одной из не решённых до сих пор загадок природы. Правда, в последнее время нам удалось сделать важный шаг в решении этой загадки. Дело в том, что реальные течения районе задней кромки не могут в принципе иметь бесконечных скоростей.

Если где – либо в потоке возникает тенденция к неограниченному росту скорости, а это чаще всего бывает вблизи поверхности крыла, то там же возникает тенденция к росту градиента скорости, отрыву пограничного слоя и формированию присоединённых к поверхности крыла, а затем отрывающихся в поток концентрированных вихревых образований. Этот процесс продолжается до тех пор, пока течение не станет таким, что вблизи острой кромки скорость не станет конечной. В этом режиме движение около крыла станет устойчивым. Любое возмущение приводит к появлению вблизи задней кромки концентрированного вихря, сход которого вновь стабилизирует течение таким образом, чтобы выполнялась гипотеза Жуковского-Чаплыгина - Кутта. У кругового цилиндра нет острой задней кромки. Наивный способ придания цилиндру вращения также не годится, так как вращение цилиндра возмущает лишь близлежащие слои жидкости, а для того, чтобы создать реальный циркуляционный поток, необходимы существенные энергетические затраты. Да и механизм формирования циркуляции в жидкости или газе, как мы видели, совсем иной. Поэтому, попытки создания подъёмной силы на обтекаемых жидкостью или газом вращающихся цилиндрах кажутся бесперспективными.

Но сияющие вершины бесконечного аэро – гидродинамического качества при любом значении циркуляции, а следовательно, и подъёмной силы, манят, вероятно, не нас одних. Наметим вкратце пути, ведущие к этим вершинам.

Обратим внимание на одну особенность циркуляционного течения около цилиндра в идеальной жидкости. Для простоты рассмотрим плоскую задачу. На границе обтекаемого жидкостью круга возникают две критические точки, в которых скорость жидкости относительно цилиндра равна нулю. При отсутствии циркуляции эти точки симметрично расположены в носовой и кормовой точках цилиндра. При принудительном введении в поток идеальной жидкости циркуляции носовая и кормовая критические точки перемещаются вниз, если наложение циркуляции вызывает появление подъёмной силы, направленной вверх. При этом скорости на верхней стороне цилиндра увеличиваются, а градиенты скоростей уменьшаются.

Как же можно в действительности получить такое течение?

Для этого необходимо конструктивно выполнить два условия.

1. Обеспечить возникновение критической точки в том месте, на границе кругового контура, которое соответствует заданному значению циркуляции.

2. Обеспечить безотрывное обтекание засасывающей стороны цилиндра.

Эти две задачи могут быть одновременно решены.

Первая - путём установки в районе критической точки интерцептора.

Вторая – вращением цилиндра. При этом цилиндр может вращаться не принудительно, а свободно, под воздействием набегающего потока. В идеале должно быть обеспечено безотрывное циркуляционное обтекание цилиндра с большими значениями коэффициента подъёмной силы и высоким значением аэро - гидродинамического качества.

Если высказанные теоретические соображения найдут экспериментальное подтверждение, то откроется широкое поле деятельности по созданию принципиально новых устройств в различных технологических приложениях.

Этот результат может оказаться по своему значению эквивалентным изобретению колеса.

P.S. Предлагаемая конструкция использует открытое нами явление вихре волнового и (или) структурного резонанса (смотри Этюд 10).

Этюд 7.

Целостный компьютер. Путь в Synergonet.

11 февраля 2011.

Окружающая нас действительность представляет собой причудливое сочетание порядка и хаоса, детерминизма и неопределённости, закономерности и случайности. Стремление к познанию природы заставляет нас обращать внимание то на одну, то на другую сторону происходящих в ней процессов. Открытие Ньютоном основных законов классической механики, казалось бы, привело Человека к мнению, что Вселенной управляют законы, использование которых позволяет, в принципе, зная настоящее её состояние, однозначно определить как прошлое, так и будущее. Этот вывод, однако, во многом противоречил принципу свободы воли каждого отдельного человека, отрицая способность человека управлять своим будущим. Это принципиальное противоречие, не разрешённое полностью и в настоящее время, являлось и является до сих пор главным стимулом научных исследований. Попытки его разрешения уже привели и приведут в будущем к блестящим открытиям. Открытие законов Ньютона позволило описать основные закономерности движения природных объектов в виде решения дифференциальных уравнений, которое при заданных начальных условиях является однозначным. Это позволяет, в принципе, в рамках такого подхода как предсказывать будущее, так и угадывать прошлое. Философия, основанная на таком детерминистском подходе, объясняла «кажущуюся» неопределённость будущего неточностью наших знаний о настоящем. Казалось, что, чем более точно определить начальные данные в уравнениях Ньютона, тем точнее удастся предсказывать будущее. Эти надежды должны были реализоваться с появлением мощных компьютеров. Ведь программа компьютера представляет собой математическую модель детерминированной дискретной динамической системы, в частности, ею может быть реализована дискретная математическая модификация уравнений Ньютона. Алгоритм классической компьютерной программы устроен таким образом, что при введении одних и тех же начальных данных результаты расчётов должны оказаться идентичными. В этом смысле компьютерные расчёты являются столь же детерминированными, как и уравнения Ньютона. Тем самым, существовала надежда, что с возрастанием мощности компьютера удастся разрешить все научные проблемы. Однако, одновременно с развитием компьютерной техники росло понимание того, что здесь всё не так просто. Всё больше внимания учёные стали уделять исследованию неустойчивых динамических систем. Оказалось, что в таких системах любые сколь угодно малые отклонения в начальных данных приводят к конечным, а иногда стремящимся к бесконечности расхождениям в параметрах системы через конечный промежуток времени. Стало ясно, что ни один компьютер, сколь бы мощным он ни был, не может, в принципе, обеспечить однозначность даже в решении задач классической механики, которая являлась лишь первым приближением к более общим недетерминистическим законам квантового мира. Одновременно интенсивно развивалась качественная теория дифференциальных уравнений. Введение понятия фазового пространства позволяло построить общую картину траекторий динамической системы. Были обнаружены зоны, притягивающие к себе траектории, – аттракторы различных типов, - и зоны, выталкивающие из себя фазовые траектории - репеллеры. Кроме того, были найдены седловые зоны, которые первоначально притягивали, а затем выталкивали из себя фазовые траектории. При этом траектория, вышедшая из одной седловой зоны могла попасть в несколько альтернативных седловых зон или аттракторов. Глобальное качественное исследование динамических систем показало, что существуют такие зоны фазового пространства, где детерминизм уступает место неопределённости. И даже в рамках классической механики обеспечить полный детерминизм оказалось невозможным. Простейшим случаем такого поведения является бифуркационное поведение динамической системы, когда с изменением одной из переменных в зависимости от времени аттрактор системы превращается в репеллер, а невдалеке от него формируются два новых аттрактора, При этом невозможно заранее предсказать, в каком из них окажется траектория системы. В этом случае можно ввести понятие вероятности того, к какому из новых аттракторов будет притягиваться траектория системы. У систем, близких к классическим Ньютоновым системам, таких зон нет или их количество невелико, и поэтому для их описания обычно бывает достаточно детерминированного подхода, с введением понятий вероятности лишь в отдельных бифуркационных точках фазового пространства, или проведения серии идентичных расчётов на классическом компьютере с очень слабо отличающимися исходными данными. Исключением являются странные аттракторы, демонстрирующие при детерминированном алгоритме поведение фазовой траектории, подчиняющееся вероятностным законам.

По-другому ведут себя системы, описываемые большим числом независимых переменных. В этом случае число аттракторов, репеллеров и седловых зон становится настолько большим, что даже кажущаяся нам детерминированной система, например, система твёрдых тел, может обладать траекториями, имеющими случайный характер. К описанию динамики таких систем, даже если они, в принципе, описываются детерминистическими дифференциальными уравнениями, рационально применять статистические методы.

Однако в природе существуют самоорганизующиеся системы. Сюда относятся все живые системы, которые могут существовать только в определённых зонах фазового пространства, а вне этих зон они разрушаются. Для обеспечения устойчивости такой системы внутри неё выделяется подсистема, названная нами контроллером, способная таким образом изменять своё фазовое пространство, чтобы максимально увеличить вероятность того, чтобы основная часть системы оставалась в благоприятной для неё зоне фазового пространства. Обычно такие системы являются открытыми, то есть их существование сопряжено с взаимодействием с другими системами, входящими в поле данной системы, то есть находящимися вне неё. Принцип действия таких систем может быть описан следующей целостной триадой Р. Г. Баранцева [1, 2]:

Поле / \ Основная структура-----Контроллер Фазовое пространство основной структуры определяет границы существования системы. Чем дальше состояние основной структуры от границы, тем устойчивее система к неблагоприятным внешним воздействиям со стороны других систем, входящих в её поле. Контроллер играет в такой самоорганизующейся системе роль информационной и управляющей подсистемы, опережающей неблагоприятное воздействие поля и таким образом меняющей фазовое состояние основной структуры, чтобы точка её фазового пространства находилась как можно дальше от границы устойчивости. «Цель» контроллера - сохранение стабильности основной структуры и продление срока существования системы в целом. В реальных самоорганизующихся системах полное отделение основной структуры от контроллера и поля невозможно. Здесь действует принцип дополнительности, обобщающий аналогичный принцип неопределённости квантовой механики.

Однако, в первом приближении можно выделить фазовые пространства, описывающие отдельно основную структуру, контроллер и поле. Общее фазовое пространство большой системы может быть приближённо описано как произведение соответствующих фазовых пространств. Если спроектировать это пространство на фазовое пространство основной структуры, то можно установить корреляцию между вероятностью нахождения основной структуры в той или иной точке своего фазового пространства и состояниями поля и контроллера. При таком подходе поле является внешней подсистемой, которая, взаимодействуя с самоорганизующейся системой, может вывести её за границы устойчивости и тем самым разрушить её.

Контроллер осуществляет мониторинг фазового пространства поля и основной структуры, выявляет наиболее опасные для самоорганизующейся системы тенденции в изменении фазового пространства поля и основной структуры. Он изменяет своё состояние таким образом, чтобы состояние основной структуры находилось на максимально возможном в данных условиях расстоянии от границы устойчивости системы.

Рассмотрим, как может выглядеть в общем виде математическая модель такой целостной самоорганизующейся системы. Пусть в начальный момент времени основная структура находится в некотором начальном состоянии. В следующий момент времени она переходит в новое состояние. Каково будет это новое состояние, зависит не только от предыдущих состояний основной структуры, но также от состояний поля и контроллера. Это условие может быть представлено в вероятностной форме. Переход из начального состояния в любое другое состояние основной структуры определяется некоторым числом, большим или равным нулю и меньшим или равным единице, которое называется вероятностью перехода. Сумма таких чисел, взятых по всему фазовому пространству основной структуры, равна единице. Изменение состояния поля и изменение состояния контроллера приводят к изменению распределения вероятностей перехода от одного состояния основной структуры к другому. Взаимодействие целостной системы с полем, состояние которого не может быть полностью контролируемо системой, может приводить как благоприятным, так и неблагоприятным последствиям, к благоприятному или неблагоприятному изменению распределения вероятностей перехода в фазовом пространстве основной структуры. При наличии контроллера целостная система имеет возможность управлять состояниями его фазового пространства таким образом, чтобы повысить устойчивость основной структуры.

Изложенные выше принципы могут лечь в основу идеи целостного компьютера [2, 3]. По аналогии с классическим и квантовым компьютером [6] основным элементом такого компьютера может стать целостный элемент с двумя возможными состояниями, каждое из которых может реализоваться с определённой вероятностью. Такой элемент назван нами C - битом. Этот элемент имеет двойственную природу. Даже в случае, когда вероятность реализации того или иного состояния постоянна во времени, каждая новая реализация может отличаться от предыдущей. Целостный компьютер должен иметь квазифрактальную структуру:

целостный характер должен иметь каждый уровень иерархии его подсистем. Из совокупности элементарных С-битов могут быть построены целостные слова, целостные предложения и т. д., имитирующие системы различных масштабных уровней, участвующих в событиях с конечным числом возможных исходов.

Полем для такого компьютера могут служить внешние устройства, позволяющие в любой момент принудительным образом менять как текущее состояние основной структуры компьютера, так и вероятности перехода из одного состояния в другое, или выполняющая ту же функцию внешняя часть целостного компьютера.

Контроллером такого компьютера должна быть та его часть, изменение состояния которой является, в основном, функцией от внешних воздействий. Это изменение производится таким образом, чтобы достигнуть такого распределения вероятностей реализации состояний основной структуры, при которых более вероятными стали наиболее жизнеспособные состояния, то есть состояния, находящиеся на максимально возможном удалении от границ области их существования.

В отличие от моделируемой самоорганизующейся системы, которая может иметь бесконечное число состояний, целостный компьютер в классическом варианте исполнения (не исключён вариант исполнения в виде квантового компьютера [6]) будет иметь, хотя и очень большое, но конечное число возможных состояний. В этом смысле, так же как и в случае классического компьютера, для него возникает принципиальная проблема соответствия математической модели реальной целостной динамической системе. Однако, опыт использования классических компьютеров показывает, что аппроксимация конечным числом элементов кажущихся нам непрерывными процессов и систем даёт в большинстве случаев блестящие результаты. Поэтому проблему соотношения бесконечного и очень большого, но конечного числа элементов вынесем за рамки нашего рассмотрения.

Предположим, что общий массив состояний целостной системы и окружающего её поля может быть при моделировании с помощью целостного компьютера представлен в виде произведения массивов состояний основной системы, контроллера и поля. В каждый момент времени компьютерная модель системы и поля находится в одном из возможных состояний. Как и любая динамическая система, компьютерная модель в виде целостного компьютера, на следующем шаге рассмотрения изменяет своё состояние на другое, включённое в массив возможных состояний. В целостном компьютере, в отличие от классического должно существовать принципиальное отличие прошлого от будущего. Прошлое принципиально определено, детерминировано, и информация обо всех прошлых состояниях системы должна храниться в памяти компьютера. В этом случае нет никакого отличия от классического компьютера. Будущее же, в принципе, не определено и знание о будущем может быть получено с определенной степенью вероятности. Поэтому в целостном компьютере должны присутствовать массивы вероятности перехода из одного состояния модели в другое. Наряду с этим должен быть предусмотрен вычислительный механизм, позволяющий для каждого конкретного расчёта на каждом шаге по времени осуществлять выбор нового состояния.

Разбиение общего массива состояний на три части позволяет в самом общем виде определить особенности действия целостного компьютера и моделируемой им целостной системы, наблюдая, насколько это возможно, отдельно за динамикой основной структуры, контроллера и поля.

Пусть в некоторый момент времени в памяти целостного компьютера зафиксированы состояния основной структуры, контроллера и поля. Требуется определить, каковы будут эти состояния на следующем шаге по времени. Разобьём этот шаг на две части: основной и упреждающий. В упреждающий момент времени определим распределение вероятности перехода контроллера в новое состояние, зависящее в соответствии с заданным алгоритмом от состояния системы и поля в данный момент и все предшествующие моменты существования моделируемой системы и поля. Затем воспользуемся существующим в памяти целостного компьютера механизмом реализации случайного события, позволяющего спроектировать многомерный вектор распределения вероятности на одно из возможных состояний контроллера, то есть сделать неопределённое будущее состояние контроллера настоящим. В результате получим новое состояние контроллера в упреждающий момент времени. Далее, в основном шаге по времени, вычислим по заданному алгоритму векторы распределения вероятности достижения определённых состояний основной структуры и поля в функции от состояний системы и поля во все предшествующие моменты времени, в том числе для контроллера на упреждающем шаге. Затем вновь воспользуемся механизмом реализации случайного события и определим новое состояние основной структуры и поля. Этот алгоритм, в основном, повторяется на следующем шаге по времени.

Единичный расчёт на целостном компьютере даёт один из возможных вариантов динамики самоорганизующейся системы и её поля. Повторяющиеся расчёты дают возможность получить статистические данные о поведении популяции целостных систем данного класса, формирующих обобщённую волну [3, 9]. Изменяя алгоритмы вычисления векторов распределения вероятности, можно обеспечить максимальную выживаемость модели, а, следовательно, и самой самоорганизующейся системы.

Возникает вопрос, как целостный компьютер связан с классическим, и можно ли, находясь в рамках парадигмы классического компьютера, построить целостный.

На наш взгляд, такая возможность не только существует, но стихийным образом всё в большей степени реализуется с развитием компьютерной техники. Если первые компьютеры с детерминированными программами были в максимальной степени классическими, то с развитием компьютерной техники, переходом к персональным компьютерам, а затем к сетям, случайные элементы всё в большей степени вводились в динамику компьютера. Роль поля и контроллера во всё большей степени стал играть человек, способный произвольно включать в работу различные алгоритмы, вводить в компьютер в процессе работы различные исходные данные, анализировать результаты, изменять алгоритмы программ. Особенно ярко эти новые свойства проявились при возникновении и развитии Internet, которую по праву можно считать одной из самых сложных из известных нам самоорганизующихся систем.

Контроллером и частично полем Internet является Человечество, которое в свою очередь представляет собой целостную самоорганизующуюся систему.

Поэтому совокупность Человечество- Internet можно считать гигантским целостным суперкомпьютером, который нами и И. И. Шиловичем был назван Synergonet [4, 5].

Однако, Synergonet пока развивается по законам, определяемым его контроллером – Человечеством, хотя её обратное воздействие на эти законы уже становится очевидным. Если каждый персональный компьютер станет целостным и его контроллер будет действовать независимо от человека, то Synergonet начнёт развиваться по своим законам, которые могут прийти в противоречие с интересами Человечества. Человек в этом случае может стать ненужным придатком сформировавшейся новой целостной системы. Этот процесс уже происходит на наших глазах. Его обнаружение и мониторинг должны стать одним из важнейших элементов обеспечения безопасности Человеческой популяции [7, 8, 9].

И это поняли руководители Восьмёрки, включившие проблему будущего Internet (Мы бы добавили сюда Synergonet) в программу своей встречи 26 мая 2011 года.

Литература.

1.Баранцев Р. Г. Становление тринитарного мышления. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика» 2005. 124 с.

2. Басин М. А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем Ч. 1. СПб: Норма. 2000.168 с.

3.Басин М. А. Компьютеры. Вихри. Резонансы. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 2. СПб.: Норма. 2002. 144 с.

4. Басин М. А., Шилович И. И. Синергетика и Internet. (Путь к Synergonet). СПб.:

Наука. 1999. 71 с.

5. Басин М. А., Шилович И. И. Путь в Synergonet. СПб.: Норма. 2004. 128 с.

6. Стин Э.Квантовые вычисления. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика». 2000. 112 с.

7. Басина Г. И., Басин М. А. СПб.: Синергетика. Эволюция и ритмы Человечества.

Норма. 2003. 260 с.

8. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Основы методологии. СПб: Норма. 2006.

56 с.

9. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Вселенная резонансов. СПб: Норма. 2008.

144с Этюд 8.

Ещё раз о природе времени.

23 февраля 2011.

Одной из вечных загадок природы является время – параметр, который определяет всё наше существование, течение которого происходит, казалось бы, независимо от нас. При этом нам кажется, что мы можем измерять поток времени и даже управлять его течением. Характерным свойством времени является его необратимость. В реальной жизни мы не можем вернуться в прошлое. Это можно сделать лишь мысленно, в нашей памяти. Существует реально лишь один момент времени – настоящее, в который мы осуществляем некоторые действия. Всё, что было до этого, уже прошло и оставило свои следы в нашей памяти, в нашем нынешнем состоянии, в окружающей нас природе. Всё, что будет, является для нас не вполне определённым, то есть таким, что не может быть нами однозначно предсказано и обязательно достигнуто. Будущее не является фатальным, а хотя бы частично зависит от наших желаний и нашей воли. Это свойство может быть названо необратимостью времени. В отличие от пространства, в каждое место которого мы, в принципе, можем вернуться, вернуться в прошлое, насколько нам известно, не удавалось никому. При математическом описании процессов окружающего мира время является основным параметром, характеризующим динамику изменения состояний различных структур и систем. При этом выделяются два типа процессов.

Процессы, практически обратимые во времени, будущее поведение структур и систем в которых, в принципе, может быть предсказано однозначно. Такие идеальные процессы описываются при их моделировании, например, законами Ньютона для консервативных систем или обобщающими их уравнениями Шредингера для квантовой физики. Фактически для таких процессов время в нашем обыденном понимании вообще не течёт. Оно как бы исчезает, становится мнимым.

Модели таких процессов описывают большое количество явлений окружающего мира. Утверждалось, что они всеобщи, во всяком случае, для неживой природы.

Это утверждение противоречит необратимому характеру процессов, происходящих с живыми организмами, в частности, с каждым из нас. Однако и сама необратимость процессов также двояка. Процессы с течением времени могут деградировать, а могут развиваться, охватывая все большее количество структур и систем. При этом законы деградации и законы развития существенно отличаются друг от друга.

Особое внимание следует обратить также на характер нашего восприятия настоящего, прошедшего и будущего времени. Мы можем ощущать только настоящий момент времени, тот, в который мы существуем. Этот момент как бы скользит с определенной скоростью по шкале времени, совпадая с моментами, которые были для нас будущими, и затем оставляя их в прошлом, к которому мы можем вернуться только в своей памяти. Это ещё одно проявление необратимости времени.

Закономерности протекания тех или иных процессов во времени и в пространстве мы можем выразить математически с помощью изучения уравнений движения и их решений. Так, например, обратимые процессы выражаются математически в виде решений обыкновенных дифференциальных уравнений для положения структуры в пространстве или волновых уравнений для некоторых функций и потенциалов.

Однако существуют дифференциальные уравнения в частных производных, некоторые решения которых принципиально несимметрично зависят от времени.

Это параболические уравнения, простейшим частным случаем которых является одномерное уравнение теплопроводности.

2 = (x,t ) (1) t x Мы считаем, что подробный анализ его фундаментального решения может пролить новый свет на природу зависимости процессов окружающего мира от времени. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности даётся формулой Пуассона [1] ( x ) e 4 (t ), t, ( x, t ) = 2 (t ), (2), t где функция, ( x, t ), описывающая процесс, несимметрична относительно момента измерения (настоящего момента). До этого момента она считается равной нулю. В завершение настоящего момента она представляет собой дельта функцию Дирака, которая затем диффундирует, сохраняя неизменным и равным единице интеграл, взятый вдоль оси x.

Это свойство решения уравнения теплопроводности позволяет интерпретировать его как распределение вероятности реализации того или иного события и считать его описывающим математически деградационные процессы, происходящие в природе. Оно же является символом второго закона термодинамики – закона роста энтропии. В пределе при очень больших положительных значениях времени фундаментальное решение (2) при всех значениях координаты стремится к нулю, сохраняя интеграл по пространственной координате равным единице. Время в этом случае выполняет роль меры деградации родившейся в момент структуры.

Следует обратить внимание на то, что на отрицательной шкале относительного времени t функция ( x, t ), описывающая состояние системы, равна нулю.

Система как бы рождается из ничего в момент и далее начинает деградировать, сохраняя некоторый инвариант. Но рождение из ничего противоречит нашим представлениям о природе. Всё новое рождается из чего-то старого. Как можно в данном случае найти это старое?

Будем считать, что функция, описывающая процесс, должна аналитически продолжаться в область отрицательных значений моментов времени. Для этого можно формально подставить в формулу Пуассона (2) отрицательные значения относительного времени t.

( x ), t, 4 ( t ) e 2 (t ) (x,t ) = (3) ( x ) i e 4 ( t ), t ± 2 ( t ) Формула (3) обладает следующими свойствами.

Первое свойство состоит в том, что динамическая функция ( x, t ) при отрицательных значениях относительного времени перестаёт быть действительной величиной. Реальная часть этой функции обращается в нуль, как и в выражении (2).

Во-вторых, появляется мнимая часть, которая может иметь два значения, отличающиеся знаком.

В третьих, необычным оказывается поведение получившейся функции в зависимости от координаты. Минимальное значение она имеет при x =0, то есть в точке, в которой при положительных значениях относительного времени рождается новая реальная структура. С увеличением модуля координаты эта мнимая функция растёт как экспонента квадрата координаты.

В четвёртых, рост этой функции от времени при приближении к моменту также происходит чрезвычайно быстро, здесь возникает неинтегрируемая особенность.

В пятых, при всех значениях x, приближаясь к моменту «рождения» структуры, мнимая часть функции стремится к бесконечности.

При этом переход через точку t = 0 во всех местах, кроме x =0, обращает действительную и мнимую части комплексной характеристической функции ( x, t ) в нуль. Создаётся впечатление, что момент t = 0 является мощным барьером, около которого концентрируется некий мнимый потенциал, интенсивность которого растёт по мере удаления от точки рождения реальной структуры.

В самом слабом месте, вблизи точки x =0 этот потенциал как бы рождает и выталкивает реальную структуру в область реального положительного относительного времени, где она существует, деградируя во времени и диффундируя в пространстве. Если предположить, что ось времени замыкается на бесконечности, то функция, переходя на бесконечности через нуль, возвращается обратно уже в виде пары интенсивно растущих мнимых функций. Круг замыкается.

Попытки найти в природе некоторые аналоги подобного поведения реальных структур и систем приводят нас к выводу, что нечто подобное происходит в живой природе. Из огромного количества семян, число которых резко возрастает к моменту созревания, рождается одно реально существующее растение, которое затем, погибая, вновь рождает огромное количество семян. Конечно, жизнь намного сложнее простейшей математической модели, описанной нами выше, однако качественное описание процесса рождения рассмотренная нами модель даёт.

Нечто подобное наблюдается при теоретическом исследовании зарождения и диффузии вихрей в вязкой жидкости. Вихревые потоки рождаются сингулярно в зонах неоднородностей и на границах жидкости, а затем диффундируют в соответствии с уравнением теплопроводности внутрь жидкости.

Мнимость характеристической функции при отрицательных значениях относительного времени, возможно, свидетельствует о том, что эта функция характеризует некоторые информационные процессы. Например, в классической триаде Р. Г. Баранцева [2] она может отвечать за «интуицио». Так, в результате «озарения» после усиленного мысленного напряжения рождается новая идея.

Стремящийся к бесконечности скачок характеристической функции при нулевом значении относительного времени может быть назван комплексной суперударной волной и включён во второй класс нелинейных волн в соответствии с предложенной нами классификацией (смотри Этюд 9).

В пользу целесообразности выполненного нами анализа и возможности нахождения его реальных аналогов говорит следующее очень важное обстоятельство.

Мы можем наряду с действительным рассматривать и мнимое время. В этом случае уравнение теплопроводности превращается в уравнение Шредингера для свободной частицы, а его решение характеризует волновую функцию сохраняющейся во времени перемещающейся в пространстве свободной элементарной частицы [3]. По утверждению основоположников квантовой механики, это уравнение и его частный случай: уравнение Ньютона описывают все инерционные процессы в неживой природе, происходящие со скоростями, намного меньшими, чем скорость света.

Если в него добавить ещё один член, отвечающий за потенциальные силы и учесть достижения теории относительности, в которой априори рассматривается мнимое время, то, по их мнению, можно описать все явления неживой природы.

Но введение мнимого времени является лишь естественным следующим шагом в нашем рассмотрении. То, что рассмотрение мнимого времени дало результат, который вместе со своими обобщениями практически описывает большую часть современных физических представлений, говорит о том, что и первый сделанный нами шаг имеет право на включение его в фундамент современной науки.

Следующим шагом должно быть рассмотрение фундаментальных решений уравнений с комплексным временем и комплексными координатами. Некоторые примеры эффективности подобного рассмотрения приведены в [4-10] и в Этюдах 1 5.

Возражения против выполненного анализа могут быть высказаны в связи с тем, что при стремлении относительного момента времени к нулю со стороны прошлого модуль мнимой части характеристической функции имеет неинтегрируемую особенность. Однако, это может свидетельствовать также о существовании некоторого малого (и одновременно очень большого обратного ему) параметра, характеризующего неопределённость настоящего момента времени и связанное с этим ограничение величины характеристического потенциала сверху.

Этот параметр может быть связанным с постоянной Планка, а может быть и не зависимой от неё константой Природы.

Литература.

1.Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа».1977. 431 с.

2.Баранцев Р. Г. Становление тринитарного мышления. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика» 2005. 124 с.

3. Каку М. Введение в теорию суперструн. М.: Мир.1999. 634с.

4. Басин М. А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем Ч. 1. СПб: Норма. 2000.168с.

5. Басин М. А. Компьютеры. Вихри. Резонансы. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 2.СПб: Норма 2002. 144с.

6. Басин М. А., Шилович И. И. Синергетика и Internet (Путь к Synergonet). СПб:

Наука 1999. 71с.

7. Басин М. А., Шилович И. И. Путь в Synergonet. СПб: Норма 2004. 128 с.

8. Басина Г. И.,Басин М. А.: Синергетика. Эволюция и ритмы Человечества. СПб.:

Норма 2003. 260 с 9. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Основы методологии. СПб: Норма.2006.

56 с.

10. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Вселенная резонансов. СПб: Норма.

2008. 144с Этюд 9.

Классификация волн, вихрей, грибовидных и древовидных структур и транспортно-информационных систем.

21 марта 2011.

Всякая самоорганизующаяся система обменивается с окружающей средой (полем) материей, энергией и информацией. Введение при анализе системы и поля времени в качестве основного параметра, определяющего динамику системы, наряду с непрерывным фазовым пространством, позволяет обратить внимание на одну очень важную особенность взаимодействия системы и её поля – на волновой характер выделяемых нами из окружающей природы структур [2].

Детальное качественное и количественное исследование взаимодействия полей и структур должно проводиться в рамках континуальных моделей, то есть для его математического описания должен использоваться аппарат линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и связанных с ними бесконечномерных математических групп преобразований. Однако, получение и анализ решений этих уравнений на первых этапах исследований часто оказывается нецелесообразным, а иногда, и невозможным. Более адекватным в этом случае является использование качественных методов, которые, в частности, включают классификацию волновых структур, порождаемых континуальными полями.

Нами предложена классификация волновых движений, структур и систем, опирающаяся на их общие волновые свойства, в рамках которой удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход от классических линейных волновых движений к динамическим структурам и сложным самоорганизующимся транспортно информационным системам.

Классификация проводится по трём параметрам:

- по типу;

- по характеру взаимодействия с другими системами;

- по степени нелинейности.

I. Классификация по типу:

1. Обобщённые волны, представляющие собой классы идентичных или почти идентичных объектов (квантов).

2. Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности (или эквивалентной ей волновой функции) отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний из континуума допустимых состояний системы.

3. Классические волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве плотности какого-либо параметра или связанной между собой системы параметров сплошной среды.

II. Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная классификации конечномерных динамических систем:

1. Свободные (собственные) волны.

2. Вынужденные волны.

3. Автоволны.

III. Классификация по степени нелинейности.

1. В качестве первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых может быть дано в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.

2. Ко второму классу, названному нами умеренно - нелинейными волнами, отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса сюда могут быть отнесены диссипативные континуальные структуры и структуры, формируемые в результате возникновения режимов с обострением [3]. Предельным случаем такого типа волн является гипотетическая суперударная комплексная волна, описанная в Этюде 8.

3. К третьему классу, названному нами вихревыми ударными волнами (вихревыми структурами), отнесены вихревые (спиновые) структуры и структуры с угловыми точками, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости и гладкой формы умеренно - нелинейных волн.

4. К четвёртому классу, названному нами грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной природы, формируемые из совокупности вихревых структур и умеренно нелинейных волн. Различные модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически всех объектов живой и неживой природы.

5. К пятому классу отнесены структуры, названные нами древовидными (или сетевыми), бифуркационная динамика которых может быть описана методами математической теории сетей и графов, в частности при помощи теории математических деревьев [8].



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.