авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и Институт

энергетических проблем химической физики им. В.Л.Тальрозе

Российской академии наук

На правах рукописи

Костюкевич Юрий Иродионович

Компенсационные ионные ловушки с динамической гармонизацией для

масс-спектрометра ионного циклотронного резонанса

01.04.17 – химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., проф. Николаев Е.Н.

Москва 2014 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………....... Глава I Принципы работы ИЦР…………………………………………. 1.1 Литературный обзор…………………………………………… 1.2 Устройство масс-анализатора ИЦР………………………..... 1.3 Движение иона в гиперболическом электростатическом поле………………………………………………………………… 1.4 Ионные ловушки для масс-анализатора ИЦР………………. 1.5 Возбуждение циклотронного движения……………………... 1.6 Детектирование сигнала цилиндрическим конденсатором.

Гармоники…………………………………………………………. 1.7 Столкновения с остаточным газом…………………………... 1.8 Преобразование Фурье……………………………………….. Глава II.

Электростатические ионные ловушки для масс спектрометрии ИЦР………………………………………. 2.1 Кубическая ловушка………………………………………….. 2.2 Цилиндрическая ловушка…………………………………….. 2.3 Расфазировки ионных облаков в неоднородном магнитном и негармоническом электрическом поле………………………… 2.4 Ионные ловушки с динамической гармонизацией………….. 2.5 Вычисление электростатического поля……………………... 2.6 Интегрирование уравнений движения………………………. 2.7 Интерполяция поля…………………………………………… Глава III Компенсационная ионная ловушка с динамической гармонизацией……………………………………………………. 3.1 Теория компенсации………………………………………….. 3.2 Схема компенсационной ионной ловушки с динамической гармонизацией……………………………………………………… 3.3 Моделирование компенсации………………………………... 3.4 Изучение компенсации……………………………………….. 3.5 Идеальная компенсационная ловушка с динамической гармонизацией…………………………………………………...... 3.6 Влияние точности электростатического поля на результаты моделирования…………………………………………………….. 3.7 Форма поля в ловушках с динамической гармонизацией….. 3.8 Экспериментальное получение сверхвысокого разрешения.. Основные результаты и выводы………………………………. Литература………………………………………………………... Введение Актуальность работы. Для анализа сложных химических смесей, таких как физиологические жидкости человека, нефть, гуминовые вещества, в последнее время широко используется масс-спектрометрия [1]. Масс спектрометрия – это физический метод исследования неизвестного вещества, основанный на измерении отношения массы к заряду ионизированных молекул данного соединения. Исследование сложных смесей с помощью масс-спектрометрии предъявляет высокие требования к аналитическим характеристикам используемых масс-спектрометров: разрешению, динамическому диапазону и точности измерения масс.

Наиболее высокие разрешающая способность и точность измерения массы достигаются в масс-анализаторах ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье (ИЦР ПФ) [2]. Измерительной ячейкой масс спектрометра ИЦР ПФ является ионная ловушка Пеннинга, в которой в направлении, перпендикулярному к линиям магнитного поля, ионы удерживаются силой Лоренца, а в направлении вдоль магнитного поля ионы удерживаются электрическим полем. Для измерения отношения массы к заряду на электроды измерительной ячейки подается переменное напряжение, которое, входя в резонанс с циклотронными частотами ионов, возбуждает их циклотронное движение. Ионные ансамбли совершают синхронное циклотронное движение с большим циклотронным радиусом и наводят переменный ток между детектирующими электродами измерительной ячейки, преобразование Фурье которого дает спектр циклотронных частот. Имея циклотронные частоты, можно определить отношения масс к зарядам по известной формуле При w=qB/m.

фиксированной индукции магнитного поля B для увеличения разрешающей способности и точности измерения массы требуется увеличение времени детектирования сигнала. Для этого необходимо, чтобы ионное облако совершало синхронное движение как можно дольше. Потеря синхронности циклотронного движения, так называемая расфазировка ионного облака, приводит к экспоненциальному затуханию наведенного сигнала.

Основными факторами, лимитирующими время, в течение которого детектируемый сигнал не затухает, являются давление остаточных газов в измерительной ячейке, неоднородность магнитного поля и отклонение электростатического потенциала от гиперболической формы. Благодаря существенному прогрессу в вакуумной технике удалось снизить значение первого фактора, и основным фактором, влияющим на разрешающую способность ИЦР масс-спектрометров, становятся неидеальности электрического и магнитных полей.

Были предложены различные измерительные ячейки ИЦР, конструкция которых направлена на создание гиперболического удерживающего электрического поля [3, 4]. Ранее предложенная ионная ловушка с динамической гармонизацией позволила создать эффективный гиперболический потенциал во всем объеме измерительной ячейки [5, 6].

Однако, влияние неоднородностей магнитного поля по-прежнему не было устранено.

В диссертации предложен принципиально новый подход к решению проблемы неидеальных электрических и магнитных полей [7]. Вместо того чтобы создавать отдельно однородное магнитное поле и гиперболическое электрическое поле, можно создать такую их комбинацию, что их взаимное влияние на циклотронную частоту иона окажется скомпенсированным.

В диссертации проведено подробное исследование предлагаемой компенсационной ячейки. Показано, что развивая концепцию ячейки с динамической гармонизацией, удается создавать в измерительной ячейке дополнительную поправку к гиперболическому полю, такую, что оказывается возможным скомпенсировать линейную и квадратичную неоднородности магнитного поля.

Применение подхода, основанного на компенсации неоднородностей магнитного поля, позволило экспериментально осуществить сверхточное измерение массы изолированных молекулярных ионов пептидов, продемонстрировать длительность синхронного циклотронного движения до 280с и разрешающую способность до 12 000 000.

Цель работы. В диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1) Разработка методов сверхточных измерений структуры сложных молекул, включая биологические, с помощью масс-спектрометрии сверхвысокого разрешения.

2) Создание новых подходов для обеспечения синхронного движения ионных ансамблей в масс-анализаторах ионного циклотронного резонанса.

3) Разработка нового класса ионных ловушек с пространственно периодичным потенциалом.

Задачи работы. Для достижения цели необходимо было выполнить следующие задачи:

1) Исследовать расфазировки ионных ансамблей (потерю синхронности циклотронного движения) в ионных ловушках с пространственно периодичным потенциалом (ИЛППП).

2) Развить подходы к вычислению электростатического поля в ИЛППП.

Усовершенствовать методы расчета движения ионных ансамблей в таких ловушках.

3) Разработать конструкцию и произвести математическое моделирование компенсационной ИЛППП. Создать ловушку, которая смогла бы эффективно компенсировать неоднородности магнитного поля (линейные и квадратичные).

Научная новизна:

1) Разработаны теоретические основы компенсации влияния неоднородностей магнитного поля на время синхронного движения ионных ансамблей в ловушке Пеннинга путем создания специального добавочного электростатического поля. Предложена схема компенсационной ионной ловушки, позволяющей создавать требуемую поправку к полю.

2) Установлено, что предложенная ионная ловушка позволяет эффективно в широком массовом диапазоне компенсировать влияние квадратичных и линейных неоднородностей магнитного поля на циклотронную частоту и на порядок увеличить время синхронного движения ионных ансамблей.

3) Применение подхода, основанного на компенсации неоднородностей магнитного поля, позволило экспериментально продемонстрировать возможность получения сверхтонкой структуры пиков на масс-спектре ИЦР с применением магнита с низкой однородностью поля.

Практическая значимость. Результаты работы представляют несомненную практическую значимость, поскольку основная проблема масс спектрометрии ионного циклотронного резонанса на гибридных и постоянных магнитах – неоднородное магнитное поле. В работе впервые в мире предложен метод решения данной проблемы. Кроме того, результаты работы позволят повысить разрешающую способность существующих масс спектрометров ИЦР. Полученные результаты очень важны для развития техники ИЦР с применением высоких магнитных полей 14Т и 21Т. В связи со сложной конструкцией магнитов, создающих такие поля, классические методы шиммирования не позволяют достигать высокой однородности магнитного поля.

Методология и методы исследования. Основным методом исследования являлось компьютерное моделирование, включающее в себя вычисление электростатического поля, создаваемого ионной ловушкой, и численное решение уравнений движения ионов в электрических и магнитных полях.

Экспериментальное исследование возможности применения подхода, основанного на компенсации неоднородностей магнитного поля, производилось на масс-спектрометре ИЦР Bruker Apex Qe. Данные исследования выполнялись в соавторстве с коллективом лаборатории ионной и молекулярной физики ИНЭП ХФ РАН Нагорновым К.О., Владимировым Г.Н., под руководством Николаева Е.Н. и Попова И.А..

Положения, выносимые на защиту:

1) Разработана теоретическая модель компенсации неоднородностей магнитного поля специальными добавками к электростатическому полю.

2) Получены эмпирические зависимости времени синхронного движения ионных облаков в неоднородных магнитных полях и создаваемых компенсационной ионной ловушкой с динамической гармонизацией электростатических полях от потенциалов на компенсационных электродах.

3) Разработанная ионная ловушка показала возможность эффективной компенсации неоднородностей магнитного поля в широком массовом диапазоне (до 100Да), при этом время синхронного движения ионного облака увеличивалось на порядок.

4) Применение подхода, основанного на компенсации неоднородностей магнитного поля, позволило экспериментально продемонстрировать длительность сигнала до 280с и разрешающую способность до 12 000 000 на пептидах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

международной конференции Американского масс 1) 58-й спектрометрического общества ASMS2010 (США, Солт-Лейк Сити, шт. Юта, 2010);

2) 4-й Всероссийской конференции «Фундаментальные вопросы масс спектрометрии и её аналитические применения», (Россия, Звенигород, 2010);

международной конференции Американского масс 3) 59-й спектрометрического общества (США, Денвер, шт.

ASMS Колорадо, 2011);

конференции Международного масс-спектрометрического 4) 19-й общества (Япония, Киото, 2012);

международной конференции Американского масс 5) 61-й спектрометрического общества ASMS2013 (США, Миннеаполис, шт.

Миннесота, 2011);

6) 1-й международной конференции «Инновации в инструментальной масс-спектрометрии» (Санкт-Петербург 2013).

Личный вклад автора. Автор внес основной вклад в работу. Им было разработано программное обеспечение для высокоточного вычисления электростатического поля в ионных ловушках с динамической гармонизацией. Кроме того, автором было разработано программное обеспечение для высокоточного интегрирования уравнений движения ионов в ловушках с динамической гармонизацией. Автор диссертации является создателем самой идеи компенсационной ловушки с динамической гармонизацией. Им было проведено математическое моделирование. Автор участвовал в экспериментальных исследованиях и проводил обработку результатов.

Глава I.

Принципы работы ИЦР В настоящей главе рассматривается история масс-спектрометрии ИЦР, её место в аналитической химии и химической физике. Рассматриваются основные принципы работы масс-спектрометра ИЦР.

1.1 Литературный обзор В настоящее время одним из самых распространенных физических методов исследования, применяемых в аналитической химии для анализа молекулярного состава исследуемого вещества, является масс-спектрометрия [1]. Любой масс-спектрометрический эксперимент состоит из следующих стадий [8-13]:

1) стадия напуска анализируемого вещества в масс-спектрометр;

2) стадия ионизации исследуемого образца;

3) стадия пространственного разделения образовавшихся ионов путем действия на них электрическими и магнитными полями;

4) стадия детектирования сигнала.

Рассмотрим более подробно каждый из вышеперечисленных пунктов.

Напуск исследуемого вещества в масс-спектрометр может производиться различными методами. Обычно способ напуска определяется используемым на данном масс-спектрометре методом ионизации. Так, если метод ионизации позволяет работать с непрерывным потоком образца, напуск может производиться напрямую из колонки газового или жидкостного хроматографа. В случае, если имеется возможность работать только с небольшим количеством вещества, нанесенного на подложку, то использовать потоковую подачу не представляется возможным и образец необходимо вводить вручную.

Ионизация образца является неотъемлемой частью любого масс спектрометрического эксперимента, поскольку для пространственного разделения молекул путем действия на них электрическими и магнитными полями необходимо, чтобы молекулы несли ненулевой заряд. К настоящему времени было разработано и всесторонне исследовано множество различных методов ионизации вещества. Исторически первым подходом была ионизация электронным ударом, суть которой состоит в том, что исследуемое вещество переводится в газовую фазу, после чего на него направляется пучок быстрых электронов. Электрон при близком пролете рядом с молекулой исследуемого вещества возбуждает электронную оболочку молекулы и приводит к ионизации путем выбивания одного из электронов молекулы. Также известны методы ионизации с использованием коронного разряда, фотоионизация, химическая ионизация и другие методы.

Однако, описанные выше подходы не могут использоваться для анализа биологических макромолекул, поскольку являются «жесткими» и приводят к разрушению молекулы во время ионизации, что недопустимо для биологических применений. Именно поэтому в настоящее время при исследованиях биологических макромолекул (белков, олигонуклеотидов, пептидов) наиболее распространены следующие два “мягких” метода. Один из них – это ионизация с помощью электроспрея, предназначенная для ионизации веществ, находящихся в жидкой форме [9], и поэтому её удобно использовать совместно с жидкостной хроматографией. Другой подход – это матрично-активированная лазерная десорбция/ионизация (МАЛДИ), которая основана на возгонке и ионизации образца из сухой кристаллической матрицы лазерными импульсами [13].

Оба метода не разрушают межатомные связи биологических макромолекул, что принципиально для возможности использования их при ионизации и измерении масс белков, пептидов и олигонуклеотидов [1, 10].

Появление методов мягкой ионизации привело к существенному распространению масс-спектрометрии в биомедицинских исследованиях и было отмечено присуждением Нобелевской премии по химии за 2002 год Дж.

Фенну и К. Танака.

В масс-спектрометрии кроме определения массы исследуемого вещества также широко применяется техника измерения масс фрагментов исследуемой молекулы [1]. Для того чтобы осуществить фрагментацию биологических макромолекул, были разработаны различные подходы.

Перечислим только основные из них: диссоциация, вызнанная столкновением ионов с нейтральными частицами (collision-induced dissociation CID), фотодиссоциация инфракрасным или ультрафиолетовым лазером [1, 10, 14,15], диссоциация, вызванная захватом низкоэнергетических электронов (electron capture dissociation ECD). В основном, фрагментация молекул осуществляется в высоковакуумной части масс-спектрометра:

ионных ловушках, либо в столкновительных гексаполях.

Ионизованные молекулы перемещаются в масс-анализатор по системе транспорта, которая представляет собой последовательную цепочку интерфейсов ионной оптики, расположенных в разных зонах откачки масс спектрометра. Так как на частицу внутри масс-спектрометра действуют только электрические и магнитные силы, которые прямо пропорциональны заряду (z) частицы, то в уравнении движения частицы масса (m) и заряд будут присутствовать только в виде комбинации отношения массы к заряду (m/z). В масс-анализаторе происходит измерение отношения массы к заряду исследуемой молекулы. Масса молекулы может быть определена только при интерпретации масс-спектра целиком (например, по анализу изотопного или зарядового распределения). Термин «масса» часто употребляется синонимично с отношением m/z [1].

Разделение ионов по величине m/z может быть основано на различных принципах: по времени пролета, по отклонению в магнитном поле, по прохождению через радиочастотный квадрупольный фильтр, разделению по ионной подвижности, а также по другим принципам.

В настоящей диссертации рассматривается только масс-анализатор ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье. Масс спектрометр ИЦР ПФ существенно отличается от остальных масс анализаторов тем, что в нем не происходит пространственного или временного разделения ионов, а сигнал для ионов разного m/z записывается одновременно.

Основным элементом масс-спектрометра ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье является ионная ловушка Пеннинга.

Ионная ловушка, называемая также ИЦР ячейкой, обеспечивает удержание заряженных частиц с помощью однородного магнитного и постоянного электрического полей [2, 16-18]. Были предприняты многочисленные попытки применить для техники ИЦР и другие типы ионных ловушек – ловушку Пауля и Кингдона [19-21]. Однако данные исследования не имели широкого успеха.

Частицы инжектируются в ячейку ИЦР непосредственно из системы транспорта. Далее на специальные электроды ловушки, называемые запирающими, подается электростатический потенциал. Обычно это потенциал порядка 1-2В. После этого осуществляется возбуждение синхронного циклотронного движения ионного облака. Возбуждение осуществляется радиочастотным электрическим импульсом в течение десятков микросекунд. Амплитуда возбуждающего импульса обычно составляет сотни вольт. Применяются разнообразные техники возбуждения:

сканирование по частоте, возбуждение заранее созданным частотным пакетом, или даже разного рода последовательное возбуждение-торможение в случае работы в режиме двумерного ИЦР [2].

Размер ячейки составляет обычно около 30мм*30мм*150мм, ионы возбуждаются на циклотронный радиус, который составляет не более 70% от радиуса ячейки. Однако, существуют примеры ячеек значительно большего размера. Геометрическое ограничение размера ячейки связано исключительно с размерами отверстия в магните. Для исследования сверхсложных смесей, когда очень важно возбуждать ионные облака на различные орбиты, увеличение размера ячейки оказывает существенную помощь Вращающиеся ионные облака наводят ток на [22-24].

детектирующих электродах, и далее этот сигнал подвергается преобразованию Фурье.

В ходе вращения синхронное движение в ионном облаке может быть нарушено неоднородностями магнитного поля и негармоничностью электрического поля Существует только одна конфигурация [7].

электростатического поля ионной ловушки, при которой циклотронная частота не зависит от положения частицы внутри ловушки. Это потенциал гиперболического вида, называемый также «гармоническим»:

V V0 x 2 y 2 2 z 2, здесь - кривизна поля, V0 – константа, имеющая размерность потенциала, x,y,z – декартовы координаты.

Циклотронная частота иона в магнитном поле и электростатическом поле ионной ловушки определяется из уравнения баланса сил:

qEr m 2 qB, r где - циклотронная частота, q – заряд, B – индукция магнитного поля, r x 2 y 2 - циклотронный радиус, Er V / r - радиальная составляющая электростатической силы. Циклотронная частота равна:

mqEr qB qB r.

2m Гиперболическое поле это единственное поле, в котором величина Er / r одинакова во всех точках внутри ионной ловушки. Неидеальность магнитного и негармоничность электрического полей приводит к зависимости циклотронной частоты от положения иона в облаке. Данное явление приводит к расфазировке ионного облака и затуханию наведенного сигнала.

На стабильность движения ионного облака также сильно влияет количество частиц в нем. Было замечено, что при увеличении количества частиц неоднородности внешних полей оказывают меньшее влияние [25, 26].

Также известно, что два ионных облака, с близкими циклотронными частотами могут начать двигаться связно [27]. Это явление, называется коалесценцией ионных облаков [28, 29]. Значение исследований в области разработки методов удержания заряженных частиц в ионных ловушках Пауля и Пеннинга отмечено вручением Нобелевской премии в 1989 г В.

Паулю и работавшему параллельно с ним Х. Г. Дельмету.

В своем историческом развитии масс-спектрометрия ионного циклотронного резонанса разделяется на два периода – до и после использования преобразования Фурье. Можно считать, что история ИЦР началась в 1951 году. Именно тогда Зоммер и Хиппле создали первый масс спектрометр ионного циклотронного резонанса, называемый омегатрон [30 34]. Он состоял из двух противолежащих электродов и набора колец. Ионы формировались непрерывно путем ионизации газа пучком электронов, направленным вдоль оси магнитного поля. Также к системе было приложено высокочастотное электрическое поле. Когда частота приложенного электрического поля совпадала с циклотронной частотой, ионы возбуждались и гибли на коллекторе. Именно этот ток и детектировался. В первых омегатронах использовались постоянные магниты со слабым полем около 1Т. Такие приборы позволяли различать частицы, чьи массы отличаются на массу протона. Омегатроны не получили развитие как масс спектрометры, однако, стали широко применяться как детекторы остаточного газа. В 1954 К. Ланнеу, получил патент №435524 на изобретение "Ion Resonance Mass Spectrometer". Прибор идейно соответствовал прибору Зоммера и Хиппле. В 1956 первое описание коммерческого ИЦР масс спектрометра было предложено Робинсоном и Холлом. Через несколько лет компания Varian начала выпуск модели М66 [20, 35].

Следующей важнейшей вехой истории ИЦР был 1963 год. Именно тогда Дарольд Вобшалл предложил масс-спектрометр ионного циклотронного резонанса, в котором для детектирования был применен высокочастотный мост [32, 36]. Электроды возбуждения были частью колебательного контура, в котором можно было измерять частоту колебаний.

При изменении магнитного поля ионы, чья частота совпадала с частотой высокочастотного поля, аккумулировали энергию, а потом теряли её за счет столкновений с нейтральными молекулами остаточного газа (Рис. 1). Это изменяло импеданс ячейки. Таким образом, произведя развертку по магнитному полю, можно было определить все резонансные частоты [34, 37, 38].

Рис. 1. Масс-спектрометр ИЦР, предложенный Д. Вобшалом [32, 36].

Масс-спектрометр, предложенный Вобшаллом, имел проблему с объемным зарядом, возникающую из-за присутствия пучка электронов.

Поэтому в 1965 Питер Лювелин предложил разделить ячейку ИЦР на три части. В одной происходило возбуждение, в другой детектирование, а последней частью был ионный коллектор [20].

Работа была выполнена в компании Varian. Патент №456173. Данный прибор стал коммерчески доступным.

Далее в 1966 году Л.А. Андерс, Д.Л. Бичемп, Р.С Дунбар и Д.Д.

Балдешвиллер описали метод двойного ионного циклотронного резонанса.

Работа была выполнена на химическом факультете в Стэнфорде [39-47]. Суть метода двойного ионного циклотронного резонанса состоит в том, что можно осуществлять возбуждение ионов первым электрическим импульсом, позволять им аккумулировать достаточно много энергии и вступать в ион молекулярные реакции. Продукты ион молекулярных реакций можно детектировать, используя второй электрический импульс, гораздо более слабый по интенсивности и имеющий другую частоту. Данный метод получил широкое развитие для исследования газофазных реакций.

К 1970 году учеными было исследовано более 40 типов различных конфигураций трехсекционых ячеек ИЦР. Стандартные размеры были либо 2,54см*2,54см*12,7см либо 1,27см*2,54см*12,7см [35, 48, 49]. Различные группы производили различные модификации ячеек для исследования специфических газофазных реакций. Можно отметить эксперименты Клоу и Джина Футрела по использованию удлинённых ячеек. Некоторые исследователи предложили четырехсекционные ячейки, например, Хунтресс, Маркс, Мауклари [20, 35, 50, 51].

В 1970 Мак-Айвер предложил ячейку типа ловушки, в которой возбуждение, ион-молекулярные реакции и анализ производились в одном месте. Данное изобретение позволило удерживать частицы до сотен миллисекунд. Вдоль центральной оси пускался электронный пучок, и после того, как проводилась ионизация, он выключался. Основное достижение состояло в том, что была показана возможность разнести по времени процессы ионизации и возбуждения/детектирования [20, 52].

Несомненно, самое важное событие в истории ИЦР произошло в 1974.

Именно тогда Мелвин Комисаров и Алан Маршалл предложили метод ИЦР с преобразованием Фурье [53-64]. Суть метода очень простая – произвести широкополосное возбуждение ионов, используя различные методы модуляции частоты возбуждающего электрического поля, после чего детектировать ток, наведенный вращающимися ионными облаками на электродах ловушки. Данный ток будет представлять собой суперпозицию синусоидальных сигналов, поэтому, произведя преобразование Фурье, можно сразу определить все присутствующие m/z в смеси. Предложенный метод был прорывным – он позволил сократить время экспериментов с часов до секунд и сделал ИЦР настоящим масс-спектрометром, пригодным для аналитических исследований. В оригинальной работе Маршалла и Комисарова использовался резистивный магнит, создающий напряженность магнитного поля 0,32Т.

Можно с уверенностью утверждать, что это изобретение изменило всю масс-спектрометрию, поскольку оно положило начало масс-спектрометрии ультравысокого разрешения (Рис. 2). Современные масс-спектрометры ИЦР ПФ позволяют получать разрешающую способность порядка 3 000 0000 на таких природных объектах как нефть, гуминовые вещества, биологические жидкости [5, 7, 65-67]. Даже на таких объектах сигнал можно наблюдать в течение десятков секунд.

Рис. 2. Количество ИЦП ПФ, установленных во всем мире, начиная от первого прибора, установленного в Университете Британской Колумбии.

Другим важнейшим событием было внедрение в практику масс спектрометрии ИЦР цилиндрических ячеек. Такие ячейки позволяют наиболее полно использовать пространство внутри отверстия сверхпроводящего соленоида. Первые цилиндрические ячейки были предложены Лии и Вансчеком [68-72]. Впоследствии Габриэльс предложил установить в цилиндрической ионной ловушке специальные компенсационные кольцевые электроды Путем подстройки [73-75].

потенциала на компенсационных кольцах удалось более точно приблизиться к гиперболическому полю, в котором не происходит расфазировки ионных облаков.

Длительное время после этого в разработке ионных ловушек не было существенного прогресса, что объяснялось тем, что аналитические характеристики прибора ограничивались вакуумной системой, а не неидельностями поля ионной ловушки. Был предложен ряд ячеек с компенсационными электродами, развивающих концепцию ячейки Габриэльса [7]. Другие предложенные ячейки ИЦР приведены на Рис. 3.

Недавно Болдиным и Николаевым [5, 6, 25] предложен кардинально новый тип ячеек ИЦР – ячейки с динамической гармонизацией. Суть изобретения состояла в том, чтобы не пытаться создать гармоничное поле во всем объеме ячейки, а создать поле такое, которое становится гармоническим, будучи усреднённым по циклотронному радиусу.

Данная идея была реализована путём сегментации поверхности цилиндрической ловушки кривыми второго порядка. Торцевые электроды имели гиперболическую форму и проходили вдоль эквипотенциалей желаемого гиперболического поля. Будучи усредненным по быстрому циклотронному вращению эффективное поле в такой ячейке становится гармоническим.

Рис. 3. Различные конфигурации ячеек ИЦР [20]. E – возбуждающие электроды, D – детектирующие, Т – удерживающие, (a) кубическая (Комисаров, 1981;

Комиссаров, 1980);

(b) цилиндрическая (Комисаров и Маршалл, 1976;

Елкиндет 1988;

Кофел, 1986;

Лии 1980);

(c) ячейка с сегментированными торцевыми электродами для линеаризации возбуждающего потенциала (Караватти и Аллеман 1991);

(d) и (e) открытые ячейки без и с емкостной высокочастотной связью между электродами. (Беё и Лауде, 1992;

Бьё и Лауде, 1992;

Габриэльс, 1989);

(f) двойная (Литтелджон и Гадери, 1986);

и (g) матричная (Гуан и Маршалл 1995).

Ионная ловушка с динамической гармонизацией показала наивысшую разрешающую способность на белках и пептидах и в настоящее время аналитические характеристики масс-спектрометра, оснащённого ионной ловушкой с динамической гармонизацией определяются только неоднородностями магнитного поля и вакуумом внутри ловушки.

Неидеальности магнитного поля существенно ограничивают аналитические характеристики масс-спектрометров ионного циклотронного резонанса.

Особенно сильно это ограничение сказывается, если в эксперименте используются постоянные магниты.

Основной способ устранения неоднородностей магнитного поля – это использование большого количества шиммирующих катушек для создания специальных выравнивающих добавок к магнитному полю. Недавно был предложен более простой и элегантный метод устранения влияния неоднородностей магнитного поля. Он заключается в том, чтобы создать такое дополнительное электростатическое поле в ионной ловушке, влияние которого на циклотронную частоту иона скомпенсирует неоднородности магнитного поля Данная методика была успешно изучена, [7].

промоделирована, экспериментально подтверждена и является основным результатом диссертации.

Экспериментальное исследование возможности практического использования подхода, основанного на компенсации неоднородностей магнитного поля, для получения сверхвысокой разрешающей способности на магнитах со сравнительно низкой однородностью магнитного поля было успешно продемонстрировано на лабораторном прототипе ионной ловушки с динамической гармонизацией. Было показано, что путем тонкой настройки основных параметров масс-спектрометра удается добиться длительности сигнала до 200с.

Обозначения и термины.

Масс-спектр – это двумерное графическое представление интенсивности сигнала от различных масс [1]. В масс-спектрометре ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье вначале имеется исходный сигнал, который представляет собой зависимость величины заряда, наведенного на детектирующих пластинах, от времени. Для получения масс спектра необходимо выполнить преобразование Фурье, а затем перейти от шкалы частот к шкале масс [2]. Иногда после перехода к шкале масс требуется произвести калибровку. Необходимость калибровки связана с тем, что формула перехода от частоты к массе нелинейная.

В масс-спектрометрии принято выражать массы в атомных единицах массы (а.е.м.). За одну атомную единицу массы принимают 1/12 массы изотопа углерода 12С. Довольно часто вместо слов «атомная единица массы», используют термин «дальтон» (Да). Заряд z (или q) выражается в единицах элементарного заряда: q=e, где е=1.60217733* 10-19 Кл. Для безразмерной величины также используется внесистемная единица «Томсон»

m/z (Thomson) [1, 2].

Важной характеристикой масс-спектрометра является точность определения массы, определяемая как абсолютная погрешность измеренной массы: если теоретическая масса иона [М]+ составляет m, а в эксперименте получена величина m±m, то точность равна m. Также, под точностью подразумевается относительная погрешность, которая определяется как отношение абсолютной погрешности m к значению m. Относительная погрешность является величиной безразмерной и в масс-спектрометрии высокого разрешения выражается в миллионных долях (parts-per-million, ppm).

При работе с веществом, содержащим много различных компонент, важной характеристикой, определяемой возможность применения данного масс-спектрометра для данного вещества, является разрешающая способность. Разрешающая способность – это отношение измеренной величины к ширине ее спектрального пика: / 50% для частот и m/m 50% для масс [2].

1.2 Устройство масс-анализатора ИЦР Масс-спектрометр ИЦР состоит из ионной ловушки, магнита, создающего магнитное поле внутри ловушки, системы создания ионов и транспортировки их в ловушку, электронной системы для возбуждения движения ионов и детектирования сигнала, индуцированного на детектирующих электродах вращающимся в магнитном поле ионным облаком. Кроме того, масс-спектрометр ИЦР содержит в себе систему обработки информации для записи сигнала, его хранения и преобразования в масс-спектр.

Основным элементом масс-спектрометра ИЦР является ионная ловушка Пеннинга [20] различных модификаций. Для запирания ионов используется комбинация электрического и сильного магнитного поля. В магнитном поле ионы с низкой кинетической энергией не могут перемещаться в направлении, перпендикулярном к магнитному полю. Чтобы предотвратить их движение вдоль магнитного поля в ловушке Пеннинга (и как следствие покидание ионной ловушки) используется электрическое поле, направленное к центру ловушки. Такое поле создается путем прикладывания потенциала соответствующего знака к запирающим электродам. Захваченные ионы осциллируют вдоль линий магнитного поля и вращаются с произвольными фазами в плоскости, перпендикулярной магнитному полю с частотами, близкими к циклотронным частотам.

Для того чтобы получить сигнал от этих ионов производится возбуждение их циклотронного движения путем прикладывания радиочастотного напряжения к возбуждающим электродам ловушки, что создает электрическое поле, направленное в плоскости вращения ионного облака. Возбужденные и синхронизированные ионы индуцируют заряды на детектирующих электродах ионной ловушки и меняют потенциалы на них.

Изменения потенциалов на детектирующих электродах регистрируются и рассматриваются в качестве сигнала ИЦР ПФ.

Частотный анализ этого сигнала, как правило, выполняется с использованием преобразования Фурье, и по этой причине способ называется масс-спектрометрией ионного циклотронного резонанса с преобразования Фурье. Частота преобразуется в отношение масс ионов к их зарядам, и, после применения калибровки, получается масс-спектр. Описанная процедура, как правило, повторяется многократно, что позволяет накапливать сигнал и получать спектры с соответствующим отношением сигнал-шум. Таким образом, ИЦР ПФ представляет собой импульсную технику.

В современных масс-спектрометрах ИЦР ПФ для создания высокой напряженности магнитного поля используются сверхпроводящие магниты.

Основные параметры ИЦР ПФ, такие как разрешающая способность, точность измерения массы, массовый диапазон и динамический диапазон сильно зависят от напряженности магнитного поля, так что прогресс в технологии ИЦР ПФ на протяжении последнего десятилетия был непосредственно связан с прогрессом в технологии сверхпроводящих магнитов.

Ионные ловушки или ИЦР ячейки первого поколения инструментов были довольно простыми устройствами. Первоначально они были всего электродными коробочками с двумя запирающими электродами, двумя электродами возбуждения и двумя электродами детектирования. Позднее стали часто использоваться электроды цилиндрической формы. Запирающие электроды становились сегментированными или получили геометрию удлиненного цилиндра для упрощения процедуры возбуждения циклотронного движения.

В пространственно однородном статическом магнитном поле с индукцией B, ион с массой m и зарядом q вращается с циклотронной частотой, определяемой уравнением (1.1.1):

q B. (1.1.1) m Таким образом, отношение массы к заряду иона, может быть получено из результатов измерения циклотронной частоты, используя уравнения (1.1.1), как было сказано ранее. Для измерения частоты используется пара электродов (так называемых детектирующих электродов Рис. 4), на которые вращающееся ионное облако наводит заряды.

Рис. 4. Масс-анализатор ионного циклотронного резонанса.

После применения преобразования Фурье к сигналу, зависящему от времени, можно получить частотный спектр и после преобразования частоты в массу масс-спектр.

Напряжение, индуцированное на детектирующих пластинах ионами с определенной величиной m/z, как функция времени близка к косинусу, умноженному на экспоненциально затухающую функцию:

t S t ~ e cosc t, (1.1.2) где S(t) – сигнал, t - время, c - циклотронная частота, - время затухания сигнала, - начальная фаза. Преобразование Фурье такой функции дает частотный спектр. Известно, что большая длительность сигнала приводит к более узким пикам в частотном спектре и, как следствие, к более высокой разрешающей способности.

1.3 Движение иона в гиперболическом электростатическом поле Существует ловушка специальной геометрии (с гиперболической геометрией электродов), которая широко используется в технике радиочастотных ионных ловушек (так называемые ловушки Пауля) [20, 48, 50, 76, 77] и может быть использована также в технике ИЦР ПФ.

При некоторой разности потенциалов между концевым электродом и кольцевым электродом гиперболоидальная ионная ловушка создает такое распределение электрического потенциала, для которого возможно аналитическое решение уравнения движения иона. Во всем внутреннем объеме этой ловушки распределение потенциала является квадрупольным:

V x 2 y 2 2z 2, (1.2.1) где - кривизна поля, x,y,z – декартовы координаты. Для такого потенциала уравнения движения заряженной частицы имеют следующую форму:

m qBy 2qx, x m qBx 2qy, (1.2.2) y m 4qz.

z Уравнение (1.2.2) может быть решено аналитически. Решение для координаты z есть:

z Z m cos z t, (1.2.3) где Z m - амплитуда аксиальных колебаний, z 4q / m - частота аксиальных колебаний. Для того, чтобы получить решение в радиальной плоскости умножим второе уравнение в (1.2.2) на мнимую единицу и сложим с первым.

В итоге получим:

m( i) iqB( x iy) 2q ( x iy ).

(1.2.4) xy Решение данного уравнения:

( x iy ) A et A et, (1.2.5) где, характеристическое число уравнения qB q 2 B 2 8qm i i. (1.2.6) 2m Видно, что:

qB c. (1.2.7) m Уравнение (1.2.5) говорит о существовании двух независимых мод колебаний. Величина называется «уменьшенной циклотронной частотой»

и величина называется «магнетронной частотой». Комплексное число ( x iy ) может быт представлено как:

( x iy ) rei r cos ir sin. (1.2.8) Таким образом, получаем решение для уравнения движения иона в радиальной плоскости:

x A cos t A cos t, (1.2.9) y A sin t A sin t.

Как видно, движение ионов является комбинацией возмущенного циклотронного и «магнетронного» движения. Возмущение циклотронной частоты (частоты вращения иона в магнитном поле в отсутствии электрического поля) обусловлено запирающим электрическим полем. Его радиальная компонента (перпендикулярная к магнитному полю) направлена от оси и поэтому частично компенсирует силу Лоренца и уменьшает циклотронную частоту.

Магнетронное движение - это дрейф в скрещенных магнитном и радиальном электрическом полях. Из-за осевой симметрии конфигурации электродов ловушки этот дрейф имеет характер кругового движения. В отличие от циклотронной и аксиальной частот, магнетронная частота практически не зависит от m/z. Для обычного значения магнитного поля B=7T и запирающего потенциала 1В магнетронная частота ~ 10Hz.

Из уравнения (1.2.6) следует, что когда величина под квадратным корнем становится отрицательной, возникает нестабильность циклотронного движения и циклотронный радиус начинает увеличивается. Условие нестабильности:

q 2 B 2 8qm 0, (1.2.10) что приводит к:

m B. (1.2.11) q Видно, что только частицы с m / q меньшим, чем «критическое» значение могут быть удержаны в ИЦР ячейке. Для типичного B=7T и =5*103В/м (запирающее напряжение 2В, размер ловушки 2.5см), максимальное m/q порядка ~105Да.

Можно решить аналитически задачу определения сигнала, индуцированного вращающимся ионным облаком между двумя параллельными электродами плоской или цилиндрической геометрии.

Потенциалы на детектирующих электродах, а также наведенные заряды, индуцированные вращающимся облаком на этих электродах можно вычислить с помощью теоремы взаимности.

1.3 Детектирование сигнала плоским конденсатором Наведенный заряд Q, индуцированный ионом с зарядом q на заземленном электроде, связан с потенциалом в месте положения иона, в случае, когда к данному электроду приложено единичное напряжение следующим соотношением:

Q q. (1.3.1) Пусть частица с зарядом q находится в точке (y,0). Применение теоремы взаимности, а также того факта, что для плоского конденсатора d / 2 d / y d / 2 y, (1.3.2) d где d – расстояние между пластинами, приводит к выражению для разности наведенных зарядов на обкладках бесконечного плоского конденсатора:

2qy Q. (1.3.3) d ИЦР сигнал может быть получен как разность потенциалов между пластинами в случае емкостного предусилителя [53, 56-62] или как ток, текущий между пластинами, в случае резистивного предусилителя. В итоге получаем:

2q dy 2qRc d cos ct.

J Q (1.3.4) dt d dt d Здесь R итоговый циклотронный радиус. Как видно, ИЦР сигнал пропорционален радиусу.

1.4 Возбуждение циклотронного движения Современная электроника позволяет обнаружить сигнал, индуцированный даже одиночным ионом, если он многозарядный [78]. Для обнаружения сигнала от ионов одинакового заряда необходимо возбудить синхронное циклотронное движение всего ансамбля ионов (Рис. 5).

Рис. 5. Возбуждение и детектирование в ИЦР-ПФ масс-анализаторе.

Возбуждение циклотронного движения может быть сделано для различных целей:

1) чтобы создать когерентное движение ионов с достаточно большим циклотронным радиусом (и, таким образом, сделать сигнал, детектируемым);

2) для увеличения кинетической энергии ионов выше порога диссоциации и / или ионно-молекулярных реакции;

3) для ускорения ионов на циклотронный радиус больше, чем радиус ионной ловушкой, так что ионы удаляются («выбиваются») из ячейки.

Так как магнитное поле не меняет энергии то работа, произведенная над частицей силой qE равна:

E qE dr qE Vdt, (1.4.1) где E кинетическая энергия и E напряженность возбуждающего поля.

Рассмотрим упрощенный случай кругового движения:

Vx V cos c t, Vy V sin ct, (1.4.2) Vz 0, где V модуль скорости. Для Et 0, Et,0 имеем:

dE dV qVE t sin ct, mV (1.4.3) dt dt и T q V E t sin ctdt V0. (1.4.4) m Видно, что изменение кинетической энергии пропорционально Фурье компоненте возбуждающего поля на циклотронной частоте. Для случая монохроматического возбуждения:

E t E0 sin ct, (1.4.5) получим:

T qE V 0 sin ct sin ctdt V0. (1.4.6) m Интеграл может быть вычислен, используя выражение:

cos cos 2sin. (1.4.7) sin 2 Получим:

qE sin e c t sin e c t T V V0 0. (1.4.8) 2 e c 2 e c m o Первый член содержит маленький знаменатель и, следовательно, является основным. Второй член может быть опущен:

qE0 sin e c T sin V V0. (1.4.9) 2 e c m Уравнение (1.4.9) может быть переписано как:

e c T e c T cos sin V V0 0.

2 qE (1.4.10) e c m Условию наступления резонанса соответствует равенство циклотронной частоты и частоты возбуждающего поля: e c. Переходя к пределу в (1.4.10), получим:

qE T cos, V V0 (1.4.11) 2m или используя V rc :

E0 cos r r0 T. (1.4.12) 2B Видно, что в зависимости от начальной фазы иона возбуждение может привести как к увеличению, так и к уменьшению кинетической энергии иона.

Принцип уменьшения ионного циклотронного радиуса используется в технике 2D ИЦР [79-87]. Нерезонансное возбуждения вызывает колебание величины циклотронного радиуса. Когда радиус уменьшается до нуля, ион становится «в фазе» с полем возбуждения, поэтому радиус начинает увеличивается. Обычно в экспериментах имеют дело не с одним ионом, а с ансамблем, в котором ионы распределены со случайными начальными фазами. Как было показано в работах при возбуждении [88-92], циклотронного движения не возникает увеличения радиального распределения ионов.

Для некоторых приложений используется квадрупольный метод возбуждения [19, 76, 77]. Пространственная и временная зависимость квадрупольной возбуждающей силы задается следующими уравнениями:

Ex 2 x sin et 2 er cos ct sin et, (1.4.13) E y 2 y sin et 2 er sin ct sin et.

Скорость:

Vx rc sin ct, (1.4.14) Vy rc cos ct, где e - возбуждающая частота. Подставляя в (1.4.1) получим:

dr er sin 2ct sin et.

(1.4.15) dt mc Для простоты разность фаз положена равной нулю. Решением уравнения (1.4.15) является выражение:

er sin 2ct sin etdt.

r r0 exp (1.4.16) mc Похожий интеграл был рассмотрен ранее (см. 1.4.6). Видно, что квадрупольное возбуждение приводит к экспоненциальному увеличению циклотронного радиуса. Типичная последовательность импульсов при работе ИЦР ПФ масс-анализатора приведена на Рис. 6.

Рис. 6. Типичная последовательность импульсов при работе ИЦР-ПФ масс анализатора.

1.5 Детектирование сигнала цилиндрическим конденсатором.

Гармоники Выражение для наведённого сигнала в случае бесконечно протяженного цилиндра, составленного из многих сегментов с угловым размером 2, также может быть получено с использованием теоремы взаимности. Для этого вначале необходимо вычислить электростатическое поле, создаваемое таким сегментом, когда на него приложено единичное напряжение, а все остальные электроды заземлены. Уравнение Лапласа в полярных координатах для цилиндра записывается следующим образом:

1 u 1 2 u r 0, (1.5.1) r r r r 2 где u - распределение потенциала внутри ячейки. Подставляя u Rr, получим:

R R 0, r r r r (1.5.2) 2 0.

Как известно, решение ищется в виде:

R Rn r n, (1.5.3) An cos n Bn sin n, где коэффициенты определяются как:

f cos n, An (1.5.4) f sin n.

Bn Здесь f - граничные условия (распределение потенциала вдоль цилиндра).

Если сигнал детектируется электродом с угловым размером 2 то:

1,, f (1.5.5) 0, иначе.

Коэффициент введен для учета поворота. Тогда решение:

r n sin n cos n n cos n.

u (1.5.6) nR n Если ион имеет координаты r, и заряд q, то заряд, наведенный на электроде с угловыми координатами, равен:

r n sin n cos n Q q n cos n. (1.5.7) n nR Разность зарядов на противолежащих электродах Q 0 Q равна:

r n sin n R n 1 cos n cos n.

Q q n (1.5.8) n Разлагая выражение (1.5.8), получим:

r 2 sin r 3 2 sin 3 R cos R 3 3 cos 3...

Q q (1.5.9) Если ион совершает круговое движение: c t, r const, то детектируемый сигнал равен:

r 2 sin r 3 2 sin 3 cos c t 3 cos 3c t...

Q q (1.5.10) R R Видно, что сигнал содержит дополнительные нечетные гармоники:

c,3c,5c,7c.... (1.5.11) Можно заметить, что если, (1.5.12) то амплитуда третьей гармоники становится равной нулю [93-95]. Такой прием значительно упрощает масс-спектр.

В ячейках с ненулевой третьей гармоникой возможно производить измерение циклотронного радиуса, используя отношение первой и третьей гармоник [96-98]. Если ион совершает также и магнетронное движение, то:

A sin t A sin t arctan, A cos t A cos t A sin A sin (1.5.13) r.

A sin t A sin t cos arctan A cos t A cos t Подстановка (1.5.13) в (1.5.9) дает сложный спектр, в котором присутствуют четные и нечетные гармоники. Используя уравнение (1.5.6), можно также рассмотреть и другие конфигурации детектирующих электродов. Например, для квадрупольного детектирования имеем:

Q 0 Q Q / 2 Q 3 / 2, (1.5.14) и:

r n sin n n 3n Q q n R n cos n0 cos n cos 2 cos 2 cos n. (1.5.15) n Рассмотрим выражение в круглых скобках:

n 3n H n cos n0 cos n cos cos. (1.5.16) 2 видно, что H n H n 4. Таким образом:

H 1 0, H 2 4, (1.5.17) H 3 0, H 4 0, откуда следует, что сигнал содержит следующие гармоники:

2c,6c,10c.... (1.5.18) Для цилиндрической ячейки также можно посчитать и поле возбуждения:

r 2 sin r 3 2 sin 3 cos 3 cos 3.., u V (1.5.19) R R где первый член отвечает дипольному возбуждению, так как x r cos.

1.6 Столкновения с остаточным газом Столкновения ионов с нейтральными молекулами остаточных газов вызывают изменения в траектории ионов. Ион может быть выброшен из ИЦР ячейки в результате столкновения, если он получит импульс в направлении магнитного поля достаточно большой, чтобы преодолеть удерживающий потенциал. Этот процесс доминирует в области малых m/z, потому что при кинетической энергии их циклотронного движения около КэВ весьма вероятно, что они получают энергию порядка одного эВ в осевом направлении. Такие столкновения уменьшают количество ионов в ионном облаке экспоненциально от времени, приводя к так называемому однородному уширению пиков в спектрах ИЦР (фаза ионов не нарушается, уменьшается только число ионов).

Существуют различные модели, используемые для исследования и моделирования ион-нейтральных столкновений. Простейшие из них это:

1) взаимодействие ион-наведённый диполь;

2) столкновения упругих сфер.

При тепловой скорости ионы и нейтральные молекулы взаимодействуют через потенциал ион-диполь (Ланжевеновский) [36]:

' q U r, (1.6.1) 8 0 r где q заряд иона, ' изотопическая поляризуемость нейтральной молекулы, r расстояние между двумя частицами. Сечение столкновений:

q m M 0. Lang, (1.6.2) 2 0 mM V где V – скорость иона. Частота столкновений:

qN m M 0. k VN. (1.6.3) 2 0 mM В модели упругих шаров имеем:

Hard rn2, (1.6.4) частота столкновений:

k Hard VNrn2. (1.6.5) Наиболее простой способ рассмотрения влияния столкновений – это представить этот эффект как некую силу, пропорциональную скорости, аналогичную силе трения [2]:

dv F m qE q[v, B] fv. (1.6.6) dt Умножая (1.6.6) векторно на скорость и принимая во внимание, что [[V, B], B] 0, и, опуская электрическую силу, получим:

dV mM kV 2. (1.6.7) mV mM dt Для модели ион-наведённый диполь уравнение (1.6.7) может быть решено:

M kt V V0 e m M. (1.6.8) Уменьшение скорости приводит к уменьшению циклотронного радиуса, что в свою очередь приводит к затуханию сигнала. Экспоненциальное затухание скорости приводит к экспоненциальному спаду сигнала. Для модели столкновений упругих шаров имеем:

1 1 M rn2 t.

(1.6.9) V V0 m M Видно, что модель столкновений упругих шаров предсказывает более медленное (~1/t) затухание.

1.7 Преобразование Фурье Сигнал от ионного облака затухает со временем, поскольку уменьшается количество синхронно вращающихся частиц. Затухание сигнала происходит из-за столкновений с остаточным газом, а так же вследствие расфазировки ионного облака в негармоническом электрическом и неоднородном магнитном полях. В первом приближении, сигнал может быть представлен как затухающая косинусоида:

t cos0t.

S S0e (1.7.1) Преобразование Фурье сигнала длительностью T выглядит следующим образом:

i T i0 T T i0 T e 1 e i e e e i 0t i 0t e T t 1. (1.7.2) F e it e dt 1/ i 1/ i 0 2i 2i Первый член в (1.7.2) имеет малый знаменатель и вносит основной вклад.

Второй член пренебрежимо мал. Имеются два основных случая:

1) время затухания сигнала очень большое T ;

так что сигнал быстро спадает к нулю за время 2) T, детектирования.

Для частотного спектра в случае 1) имеем:

0 i T i 1 Tei ei0 T/2 sin 0 T/ 1e e F1. (1.7.3) 2i i 0 0 T/ 4i Для магнитудной моды:

T sin 0 T/ F1. (1.7.4) 4 0 T/ Ширина пика может быть найдена из условия 0 T/ 2. Таким образом, для разрешающей способности получим:

T R. (1.7.5) Для случая быстрого затухания 2) получаем:

ei F2, (1.7.6) 2i 1/ i 0 разделяя действительную и мнимую части, получим:

sin 1 0 cos, Re F2 2 1/ 0 cos 1 0 sin, Im F2 (1.7.7) 2 1/ 0 1 F2.

2 1/ 2 Видно, что магнитудная мода ( F2 ) не зависит от начальной фазы, в то время как дисперсионная ( Im F2 ) и абсорбционная ( Re F ) моды сильно зависят от начальной фазы. Можно видеть, что для 0 дисперсионный спектр принимает вид:

1 Im F2. (1.7.8) 2 1/ 2 0 Ширина пика может быть вычислена:

F2, (1.7.9) Im F2.

Видно, что ширина пика для магнитудной моды отличается на 3 от ширины пика для дисперсионной моды при 0. Как следствие возрастает разрешающая способность. Данный подход широко используется в алгоритмах корректирования фазы для увеличения разрешения.

Теорема Найквиста-Шеннона требует, чтобы сигнал был дискретизован с частотой вдвое больше чем максимальная частота.

Современная электроника имеет ограниченный буфер для хранения сигнала.

Например, в приборе Bruker FT ICR MS APEX размер буфера составляет 64mB. Каждая запись занимает 4 байта. Как следствие, если максимальная частота в спектре m то наибольшее время сигнала, который может быть записан:

BufferSize T. (1.7.10) Разрешающая способность пропорциональна времени сигнала и не зависит от частоты дискретизации. Имеется элегантный способ устранить ограничение буфера, если работать в узкополосном режиме. Если задано частотное окно 1 ;

2 то, умножая сигнал на cos и используя:

cos cos cos cos, (1.7.11) 2 получим, что вместо дискретизации сигнала с частотой 2 2 можно записывать сигнал с частотой 22. Для узкого частотного окна такой метод «гетеродинированием») позволяет значительно (называемый увеличить время записи сигнала.

Записанный сигнал хранится в памяти компьютера и потом подвергается преобразованию Фурье. В основном используются алгоритмы Быстрого Преобразования Фурье. Пусть комплексные числа, x0,..., xN представляющие в случае ИЦР сигнал во временные шаги 0, 1, …, N-1. Тогда дискретное преобразование Фурье определяется как::

N 1 n i 2 k X k xn e. (1.7.12) N n Применяя (1.7.12) получаем набор частот, из которых состоит исходный сигнал. Вычисление занимает O N 2 операций. Однако можно произвести вычисления быстрее. Наиболее популярный алгоритм Быстрого Преобразования Фурье это алгоритм Кули-Тюки:

2 n N 1 N /2 1 N /2 n 2n i 2 k i 2 k i 2 k X k xn e x x, (1.7.13) N N N e e 2 n 2n n 0 n 0 n преобразовывая второй член, получим что:

N /2 1 1 N /2 n n i 2 k i 2 k i 2 k x x Xk e. (1.7.14) N /2 N N / e e 2 n 2n n 0 n Видно, что задача вычисления преобразования от сигнала длины N свелась к задаче вычисления преобразования сигнала длины N/2. Эта процедура требует O N 2 / 2 операций. Если N есть степень 2 то, повторяя описанную процедуру, преобразование Фурье может быть вычислено за O N log N операций.

Кроме метода, основанного на преобразовании Фурье, для обработки ИЦР сигналов иногда применяются также и другие методы, такие как Linear Prediction и метод Прони, а также недавно разработанный метод Filter Diagonalization Method (FDM). Альтернативные методы обработки сигнала применяются в основном для извлечения информации о молекулярной смеси по очень коротким ИЦР сигналам. Также они используются для изучения дрейфа частоты отдельных ионных облаков во время их движения в масс спектрометре.

Глава II.

Электростатические ионные ловушки для масс-спектрометрии ИЦР Множество ионных ловушек было изобретено для различных приложений. На Рис. 7 приведены основные конфигурации ионных ловушек, используемых в настоящее время в технике масс-спектрометрии ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье. Первые ионные ловушки были кубическими, в дальнейшем они были заменены на цилиндрические (открытые или закрытые). Впоследствии цилиндрические ловушки получили специальные компенсационные кольца для создания поля, более близкого к гиперболоидальному.

Ионная ловушка с динамической гармонизацией принципиально отличается от своих предшественников тем, что в ней создается не «статическое», а «динамическое» гиперболоидальное поле. Ловушка представляет собой цилиндр, нарезанный на электроды кривыми второй степени. Торцевые электроды выполнены в виде сфер, и они располагаются вдоль эквипотенциалей желаемого гиперболоидального поля. Вследствие быстрого усреднения по углу (за счет быстрого вращения) эффективное электрическое поле, действующее на ион, оказывается очень близким к гиперболоидальному.

Рис. 7 Ионные ловушки ИЦР. E - возбуждение;

D - детектирование;

T запирающие электроды;

C - компенсационные электроды;

(a) кубическая ячейка;

(b) цилиндрическая ячейка;

(с) открытая цилиндрическая ячейка (FINNIGAN LTQ-FT);

(d) infinity cell (Bruker);

(e) открытая цилиндрическая ячейка с компенсационными электродами (Gabrielce, PNNL);

(f) Ионная ловушка с динамической гармонизацией.

2.1 Кубическая ловушка Кубическая ионная ловушка является одним из примеров, когда электростатическое поле ловушки может быть определено аналитически. Для получения конфигурации электрического поля необходимо решить краевую задачу для уравнения Лапласа:

u 0, u (2.1.1) i th Electrode Vi, где u - поле внутри ловушки, Vi - напряжение на i-том электроде. В декартовых координатах имеем:

d 2 u d 2 u d 2u 0. (2.1.2) dx 2 dy 2 dz Для кубической ловушки данное уравнение (2.1.2) может быть решено методом разделения переменных. Подставляя u X x Y y Z z, имеем:

d 2 X x d Y y d 2Z z dx 2 dy dz 0. (2.1.3) X x Y y Z z Необходимо рассмотреть только случай, когда все электроды заземлены, кроме одного с потенциалом V. Тогда, используя принцип суперпозиции, можно получить поле для любых напряжений на электродах. Пусть ловушка имеет размеры (a,b,c) и незаземленный электрод имеет координаты z=c.

Подставляя:

d 2Y y d 2 X x dx 2 2, dy 2, (2.1.4) X x Y y и, используя краевые условия X 0 X a 0, получим:

X x X n sin n x, n a n, (2.1.5) Y y Ym sin m y, mb m.

Для координаты z имеем:

d 2Z z n 2 m 2 Z z, (2.1.6) dz Z 0 0.

Пусть nm n 2 m2 тогда:

Z z Z nmch nm z. (2.1.7) Собирая все вместе:

u x, y, z X n sin n x Ym sin m y Z nmch nm z. (2.1.8) n,m Теперь используем u x, y, c V. Коэффициенты Z nm могут быть легко найдены:

V Z nm. (2.1.9) ch nm c Величины X n, Yn это коэффициенты Фурье единичной функции:

a 2 X n sin n x dx 1 cos n, (2.1.10) n a тогда:

Xn, n 1 2n ', n (2.1.11) X n 0, n 2n ', аналогично для Ym. Собирая все вместе, имеем поле в тетрагональной ионной ловушке:

sin n x sin m y ch nm z 2n 1 2m 1 ch u x, y, z, (2.1.12) n,m nm c 1 2n 1 2m 2 n a 1 2n, mb 1 2m, nm где Используя.

a b (2.1.12) можно вычислить поле в тетрагональной ловушке для любых напряжений на электродах.

2.2 Цилиндрическая ловушка Цилиндрическая ловушка это другой случай, где поле может быть найдено аналитически. Пусть ловушка имеет радиус R и длину L. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах:

1 u 1 2u 2u r 0. (2.2.1) r r r r 2 2 z Цилиндрические ловушки включают открытые, закрытые и ловушки с компенсационными электродами [74, 99]. Во всех этих ловушках поле не зависит от угла. В этом случае имеем:

1 u 2u r 0. (2.2.2) r r r z Подставим u R r Z z, тогда получим систему:

1 R r R r 0, r r r r (2.2.3) 2Z z 2 Z z 0.

z Ловушки симметричные, поэтому для второго уравнения получим:

Z z Z cos z. (2.2.4) После взятия производной первое уравнение имеет вид:

2 R r R r 2r 2 R r 0.

r r2 (2.2.5) r r Это уравнение Бесселя:

x 2 R '' xR ' x 2 2 R 0, (2.2.6) где r x. Решением являются функции Бесселя нулевого порядка:

R C1 J 0 i r. (2.2.7) Собирая, получим:

u C J 0 i r cos z. (2.2.8) Теперь рассмотрим следующие практически важные случаи:

1) Цилиндрическая поверхность заземлена, плоские торцевые электроды имеют потенциал f r.

2) Торцевые электроды заземлены. Цилиндрическая поверхность имеет потенциал f z. Это например ячейки Габриэльса [75, 100 105] с круговыми компенсационными кольцами.

3) Торцевых электродов нет. Цилиндрическая поверхность имеет потенциал f z.

Для случая 1) и условия J n 0 имеем:

n in, R (2.2.9) R rf r J 0 Rn r dr.

C cos L R J1 n 0 Случаи 2) и 3) отличаются только собственными значениями:

2) L / 2 n, (2.2.10) 3) L n, и:

L f z cos z dz.

LJ 0 R C (2.2.11) Эти уравнения полностью описывают электростатические поля в ионных ловушках с цилиндрической геометрией.

2.3 Расфазировки ионных облаков в неоднородном магнитном и негармоническом электрическом поле В общем случае можно, а иногда удобно представлять распределение электростатического потенциала внутри любой ионной ловушки в виде рядов цилиндрических [96, 97, 106] или сферических гармоник. Для представления рядом сферических гармоник имеем:

l u r,, Alm r l Blm r l 1 Ylm,, (2.3.1) l 0 m l где Ylm, сферическая гармоника. Такое разложение возможно как для цилиндрической, так и для кубической ячеек. Можно показать, что в окрестности центра поле определяется только первыми компонентами разложения A20r2Y20, A30r4Y30 и A40r4Y40 следующим образом:

r u (r, z ) A20 z 2 A30 2 z 3 3zr 2 A40 8 z 4 24 z 2 r 2 3r 4 C. (2.3.2) Из уравния баланса сил:

qEr m 2 qB, (2.3.3) r уменьшенная циклотронная частота определяется уравнением:

mqEr qB qB r, (2.3.4) 2m u r, z где Er радиальная компонента поля ловушки. Разлагая, получим:

r 2 m E m2 E qB 1 Er 3 r 5 2 r.... (2.3.5) m B r B q r 4B q r Можно видеть, что если электростатическое поле не является гармоническим, то циклотронная частота зависит от положения ионов внутри ячейки. Также видно, что чем больше магнитное поле, тем меньше влияние поправок, обусловленных негармоничностью электрического поля.

В гиперболической ловушке с пространственно однородным магнитным полем ионы синхронизированы при возбуждении циклотронного движения и находятся в синхронном движении бесконечно долге время при отсутствии столкновений с нейтральными молекулами. В реальных приборах ИЦР циклотронная и магнетронная частоты зависят от осевой амплитуды колебаний, в результате ионные облака расфазируются и возникают структуры, напоминающие кометы.

Расфазировка ионного облака наступает вследствие набора фазы ионами с различными амплитудами осевых колебаний. Через некоторое время разность фаз в исходном облаке приближается 2, и голова кометы достигает хвоста. Это приводит к потере сигнала от облака. В масс спектрометре ИЦР разрешающая способность пропорциональна длительности синхронного движения и, таким образом, ограничена временем расфазировки ионного облака. Пример расфазировки ионного облака в негармоническом электростатическом поле ловушки приведен на Рис. 8. В качестве примера взята цилиндрическая открытая ионная ловушка. Видно, что ионное облака расфазируется и расфазированное ионное облако в своем движении напоминает вращающуюся комету, когда хвост кометы касается её головы, сигнал пропадает.

Рис. 8. Расфазировка ионного облака в негармоническом электрическом поле Неоднородное магнитное поле также влияет на движение ионных облаков внутри ИЦР ячейки. Ионы в различных местах облака испытывают различное влияние неоднородностей магнитного поля, что в свою очередь также приводит к расфазировке ионного облака и потере синхронности циклотронного движения. При аппроксимации электростатического и магнитостатического полей в ИЦР ПФ ловушке полиномами необходимо, чтобы эти полиномы удовлетворяли уравнениям Максвелла:

B 0, (2.3.6) B 0 J.

Так как плотность тока J равна нулю (J=0), уравнение позволяет представить вектор магнитной индукции в некоторой области ловушки как градиент скалярного потенциала:

B m, (2.3.7) таким образом, скалярный потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа:

2 m. (2.3.8) Общее решение (2.3.8) может записано в виде ряда по сферическим гармоникам и по степеням радиуса r [107, 108]:

l m (r,, ) [ Alm r l Blm r (l 1) ]Ylm (, ). (2.3.9) l 0 m l Разложение по коэффициентам A10, A20, A30, A40, A50, A11, A21, A22, A31, B11, B21, B22, B31, может быть использовано для аппроксимации неоднородного магнитного поля. Магнитное поле вдоль оси Z записывается следующим образом:

m sin m m Bz cos r r z. (2.3.10) Таким образом, для компоненты Bz имеем:

Bz ( x, y, z ) B0 A20 z A30 (2 z 2 r 2 ) A40 (2 z 3 3zr 2 ) A50 (3r 4 24 z 2r 2 8 z 4 ) A21 x B21 y A31 zx B31 zy A41 (4 z 2 r 2 ) x B41 (4 z 2 r 2 ) y B32 xy A32 ( x 2 y 2 ), (2.3.11) где x, y, z декартовы координаты и r2=x2+y2. Такое представление важно для разработки шиммирующих катушек выравнивающих магнитное поле в сверхпроводящем соленоиде. Основное требование к шиммирующим катушкам является то, что они должны быть ортогональными, так что возможно их настраивать независимо друг от друга. Это может быть достигнуто, если поправки, полученные различными шиммами, выводятся из ортогональных разложений по сферическим гармоникам. Таким образом, если магнитное поле представлено в виде серии сферических гармоник, можно создать такие шиммы, которые будут компенсировать каждую компоненту поля независимо (Рис. 9).

Пример движения ионного облака в неоднородном магнитном поле приведен на Рис. 10. Видно, что ионное облако расфазируется, сигнал затухает, и облако в своем движении также напоминает комету.

Рис. 9. Шиммирующие катушки Рис. 10. Движение ионного облака в неоднородном магнитном поле 2.4 Ионные ловушки с динамической гармонизацией Ионные ловушки Пеннинга с динамической гармонизацией работают по принципу, радикально отличающемуся от работы обычных ловушек. Во всех типах ионных ловушек поле создавалось близким к гиперболоидальному, однако, все же не гиперболоидальным. Исследователи в основном шли по пути введения в ловушку типа Габриэльса дополнительных электродов, и путем подбора потенциала на электродах создавалось поле близкое к гиперболоидальному.

Подход, предложенный Болдиным и Николаевым [5,6,25], принципиально отличается от всех предыдущих. Ими предложено создавать поле, которое будучи усредненным по циклотронному движению станет гиперболоидальным. Для этой цели применяется следующая конструкция ячейки (Рис. 11).

Рис. 11. Ячейка ИЦР с динамической гармонизацией Ячейка представляет собой цилиндр, нарезанный на электроды так, что линии разрезов подчиняются уравнениям:

z n 0 1 ;

n 0,1..., ( N 1), (2.4.1) a N где a – половина длины ячейки, а – угловая координата точки на линии разреза, N – число электродов каждого типа, 0 8 60. На электроды, вытягивающиеся к границе, подается потенциал V, на остальные электроды подается нулевой потенциал. Кроме того, на торцах ячейки устанавливаются специальные электроды, имеющие гиперболоидальную форму. Эти электроды спроектированы так, чтобы с наибольшей возможной точностью проходить по эквипотенциали гармонического поля. Также в торцевых электродах имеются отверстия, предназначенные для ввода ионов. Размеры следующие: радиус 28мм и полудлину 75мм. Радиус кривизны торцевого электрода 148.7мм. Радиус центрального отверстия в торцевом электроде для ввода частиц равен 3мм.

Усредненное поле в ловушке с динамической гармонизацией может быть найдено аналитически. Ищем поле вида:

V a b r 2 2z 2. (2.4.2) Пусть R, радиус и L половина длины ячейки, V0 - потенциал на ненулевых электродах. Тогда при r = R, z = L получаем первое уравнение:

V0 a b R 2 2L2. (2.4.3) При r = R, z = 0, так как имеются перешейки полушириной pi/60, усредненный потенциал есть V0 /. Таким образом, получаем второе 60 уравнение:

8V a bR 2. (2.4.4) 60 Используя уравнения (2.4.3) и (2.4.4) легко определить коэффициенты a и b и вычислить точное усредненное поле, а также поле на центральной оси.

Эксперименты показали, что ионная ловушка с динамической гармонизацией способна создавать поле, практически идентичное гиперболоидальному. Удалось получить разрешение на пептидах более чем 4*107, что является абсолютным мировым рекордом. Дальнейшее увеличение разрешающей способности связано с вакуумом внутри ИЦР масс анализатора и неоднородностями магнитного поля.

2.5 Вычисление электростатического поля Вычисление электростатического поля в ячейках ИЦР с динамической гармонизацией является сложной проблемой, поскольку точного решения, представимого через ряды, для такой геометрии не существует. Для вычисления электростатического поля в диссертационной работе были применены различные численные методы, а именно конечно-разностные и конечно-элементные. Кроме этих методов известен метод граничных элементов, однако, в данной работе он не применялся.

Конечно-разностный метод вычисления поля сводится к заданию сеточной аппроксимации уравнения Лапласа на некотором шаблоне и применение некоторого итеративного метода для решения получившейся системы линейных уравнений.

Цилиндрическая система координат. Рассмотрим сначала вычисление электростатического поля в цилиндрической системе координат. В силу симметрии задачи относительно поворота на угол 2 / N, достаточно найти поле в угле 0, / N, смотрящем на половину заряженного электрода и на половину заземленного. Тогда решение в угле 0, 2 / N получается отражением по углу относительно плоскости, проходящей через середину заземленного электрода и центральную ось. Была введена сетка r z (rn, m, zk ) | m, rn r, zk z, где сетки определены образом: z zk khz, k 0,1,..., K, r rn nhr, n 0,1,..., N, следующим m mh, m 0,1,..., M, и hz hr. Здесь h шаг сетки. Также введены величины S и s, следующим образом:

K L / 2* S, N R * S, (2.5.1) M N * s * S, где R – радиус ячейки и L – длина. Аппроксимация граничных условий была реализована по методу простого сноса. Реализация разностной схемы в цилиндрических координатах соответствует методу, описанному в [109]. В переменных r,, z лапласиан, как известно, записывается следующим образом:

1 u 1 2u 2u u r 2. (2.5.2) r r r 2 z Если индексировать сетку индексами i, j, k, соответствующими координатам r, и z и заменить производные в (2.5.2) конечными разностями, то, при использовании 7-точечного шаблона типа «крест», выражение для итеративного метода решения будет следующим:

(i 2 u[i 1][ j ][k ] u[i 1][ j ][k ] u[i ][ j ][k ] 2 i u[i 1][ j ][k ] u[i 1][ j ][k ] (2.5.3) u[i ][ j 1][k ] u[i ][ j 1][k ] i 2 u[i ][ j ][k 1] u[i ][ j ][k 1]).

Здесь коэффициент определен как, (2.5.4) N 2 N где N равно размеру сетки по оси.

Для ускорения сходимости была реализована многосеточная схема, в которой решение с грубой сетки переносилось на мелкую сетку по принципу округления до ближайшего целого по каждой оси. Каждая промежуточная сетка i характеризуется её значением Si. Использовался следующий метод:

S1 было выбрано, как S1 l1 / R и все последующие были определены как Si * Si 1. Эмпирически было найдено, что 1.3 and l1 4 наиболее подходящие для решения данной задачи.

Граничные условия на внешних границах были взяты как равенство нулю нормальной производной, причем их аппроксимация осуществлялась со вторым порядком точности. Ось r=0 особая, на ней невозможно задать граничные условия. Поэтому поле на оси определялось с использованием выражения аналогичного выражению (2.5.3) с той лишь разницей, что использовалась односторонняя производная по радиусу второго порядка точности. Для решения разностного уравнения применялся итеративный метод Гаусса-Зейделя.

Рис. 12. Точность поля на центральной оси. Цилиндрические координаты. На всех промежуточных сетках выполнено 20 000 итераций. I – количество итераций (103) на самой мелкой сетке.

Иллюстрация скорости сходимости решения для различных сеток приведена на Рис. 12 и в Таблице 1. Стоит отметить наблюдающиеся проблемы с медленной сходимостью на мелких сетках.

S 1 S s 0.5 2.6% 3.1% 1 4.1% 2.4% 2 2.79% 5.2% Таблица1. Сравнение точности поля полученной для различных значений S и s. Количество итераций=5000.

Декартова система координат. Поле в декартовых координатах вычисляется значительно проще. Задача решается в угле 90 градусов. В качестве внешних граничных условий использовалось равенство нулю нормальной производной. Аппроксимация осуществлялась со вторым порядком точности. В качестве метода решения был выбран многосеточный метод верхней релаксации с оптимальным параметром [109].

Соответствующая разностная аппроксимация уравнения Лапласа на 7 точечном шаблоне «крест» выглядит следующим образом:

u[i][ j ][k ] (1 w)u[i][ j ][k ] w(u[i][ j ][k ] (u[i 1][ j ][k ] u[i 1][ j ][k ] (2.5.5) u[i][ j 1][k ] u[i][ j 1][k ] u[i][ j ][k 1] u[i][ j ][k 1])).

Параметр w определялся в соответствии с методом, указанным в [109]. А именно:

w, (2.5.6) 2 2 1 2 2* sin 2 sin sin 2X 2Y 2Z где – соответственно размеры сетки по соответствующим X,Y,Z координатам. Сетки определялись как x y z ( xn, ym, zk ) | xn x, ym y, zk z, z zk khz, k 0,1,..., K, где x xn nhx, n 0,1,..., N, y ym mhy, m 0,1,..., M. Шаги сеток удовлетворяли следующим условиям hz hx hy. Была введена величина S, следующим образом:

K L / 2* S, N R * S, (2.5.7) M R * S.

Рис. 13. Точность поля на центральной оси. Декартовы координаты. На всех промежуточных сетках выполнено 20 000 итераций. I – количество итераций (103) на самой мелкой сетке.

На Рис. 13 приведены результаты вычисления поля в случае использования декартовой системы координат. Видно, что скорость сходимости на мелких сетках значительно выше по сравнению с использованием цилиндрической системой координат.

Метод конечных элементов (МКЭ). Вычисление поля методом конечных элементов было выполнено в области 0, / N. Было использовано программное обеспечение Ani3D разработанное Юрием Василевским. Вычисление поля проведено Иваном Цыбулиным из МФТИ (Рис. 14).

Рис. 14. Точность поля вдоль центральной оси, полученная методом МКЭ.

Сравнение результатов В итоге были получены следующие результаты:

• Метод конечных разностей. Цилиндрическая система координат. – Ошибка = 1.3%. Сетка 2 точки на 1мм.

• Метод конечных разностей. Декартова система координат – Ошибка = 0.075%. Сетка 12 точек на 1мм.

• Метод конечных элементов – Ошибка = 0.65%. Сетка 2 точки на 1мм.

• Программа SIMION – Ошибка 0.56%. Сетка 10 точек на 1мм.

Для всех примененных методов были исследованы различные размеры сеток и количество итераций. Также было проведено сравнение результатов во всем объеме с усредненным по углу потенциалом. Все методы расчета поля показали схожие результаты. Для радиуса меньше чем 70% размера ячейки ошибка была порядка 1%. Для больших радиусов 1,5-2%.

При вычислении поля в цилиндрической системе координат была выявлена проблема медленной сходимости решения на больших сетках. При этом увеличение числа промежуточных сеток не приводило к более точному решению. Однако, для сравнительно грубых сеток вычисление поля в цилиндрических координатах дает лучшие результаты по сравнению с декартовыми координатами. На мелких же сетках очень важным становится изотропность лапласиана, при этом ошибка аппроксимации границы играет все меньшую роль, поэтому на мелких сетках лучшие результаты показывает метод конечных разностей в декартовых координатах.

Рис. 15. Зависимость отношения усредненной радиальной производной поля к радиусу от координаты z в случае гиперболоидального поля.

На Рис. 15 приведена зависимость отклонения вычисленной усредненной величины E r / r от её значения в центре ячейки. В случае E r / r идеального гиперболоидального поля величина должна быть одинакова во всех точках ловушки. Отклонение же вычисленной усредненной величины E r / r от её значения в центре ячейки служит мерой точности вычисления электростатического поля.

2.5 Интегрирование уравнений движения Моделирование движения частицы в ионных ловушках является сложной задачей. Интегрирование уравнений движения частиц в сильных магнитных полях является известной проблемой в физике плазмы. Для решения данной проблемы известно множество методов, некоторые из них приведены ниже:

1) метод Эйлера;

2) метод Бориса;

3) классический метод Рунге-Куты 4 порядка;

4) метод Штормера-Верле;

5) метод Вирца (модифицированный метод Рунге Кутты).

Большое количество работ посвящено сравнению различных методов численного интегрирования уравнений движения частиц. Известно, что метод должен выбираться в зависимости от специфики конкретной задачи.

Например, метод Вирца очень удобен для моделирования движения частицы в ячейке Пенинга в случае сильного магнитного поля. Однако он плохо работает при моделировании возбуждения, когда сила со стороны электрического поля превышает силу Лоренца. Для численного решения уравнений движения частицы в диссертационной работе были применены различные вышеописанные методы. Исходная система записывается в виде:

dv m dt qE q v B, (2.5.1) v dr, dt или, расписывая покомпонентно:

x vx, y v, y z vz, v e v B v B E, x m y z z y x (2.5.2) v e v B v B E, y m z x x z y vz e vx By v y Bx Ez.

m Наиболее простой и наименее точный метод интегрирования этой системы, это метод Эйлера:

x t f x, (2.5.3) xn 1 xn f x t..

Более точным является метод Рунге-Кутты 4 порядка:

x f ( x, t ), f xn, tn, k f xn 0.5k1, tn 0.5, k f xn 0.5k2, tn, k3 (2.5.4) k f xn k3, tn, xn x, y, z, vx, v y, vz, xn 1 xn 1/ 6 k1 2k2 2k3 k4.

Модифицированный метод Рунге-Кутты с коррекцией частоты (метод Вирца) определяется следующим образом:

x r sin v, y r cos 1, vx r cos t r, v r sin, x (2.5.5) x x cos y sin, y x sin y cos, v v cos v sin, x x y v y vx sin v y cos, где - шаг интегрирования, - циклотронная частота, v – скорость, r циклотронный радиус.

Также в диссертационной работе применялся широко распространенный в физике плазмы метод интегрирования уравнений движения, известный как метод Бориса. В методе Бориса разделяется движение в электрическом поле и поворот в магнитном поле. Координаты частицы вычисляются на целых временных шагах t 0,, 2,.., в то время как скорости вычисляются на полуцелых t / 2, 3 / 2,... Тогда система уравнений записывается как:

v n 1/2 v n 1/2 v n 1/2 v n 1/2 qE q B, m n 1 n (2.5.6) r r v n 1/2.

Электрическое поле может быть устранено подстановкой:

q v n 1/2 v E, 2m (2.5.7) q n 1/ v v E.

2m Подставляя (2.5.7) в (2.5.6), получим:

v+ + v- v+ - v q B. (2.5.8) m 2 Уравнение (2.5.8) описывает поворот вектора v + + v - / 2 с угловой скоростью qB / m, величины v -, v + это компоненты до и после поворота. Угол, на который поворачивается скорость, определяется из Рис. 16:

v v qB (2.5.9) tan v v 2 m 2.

Поворот от v - к v + может быть осуществлен следующим образом. Вначале вычисляется вектор, параллельный вектору v- v + :

v' v- v- t. (2.5.10) Из геометрических соображений понятно, что:

qB, t (2.5.11) 2m тогда вектор v может быть представлен как:

v v- v ' s, (2.5.12) где:



Pages:   || 2 |
 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.