авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Гостевая Монография Книга Новая ФМК Статьи Форум

Предисловие

В поисках оснований

Введение

Логика и формальная

математика

Глава 1

Физическая математика

Глава 2

Основания физической теории

Глава 3

Принцип золотого сечения

Глава 4

Принцип золотого сечения (продолжение)

Глава 5

Обобщенная теория золотой пропорции

Глава 6

Великая константа физики Глава 7 Великая константа физики (окончание) Глава 8 Экстремальные величины. Обобщенные физические законы Глава 9 Теория ЛМФ и ее приложения (в тезисной форме) Заключение Дополнение 1 Почему 2? Об изяществе и простоте физических уравнений и формул Дополнение 2 Четыре беседы с читателем Словарь-указатель терминов, условных обозначений и сокращений Приложение Abstract Глава Принцип золотого сечения (продолжение) Статистика чисел Fn, закон Бенфорда и логарифм 5.1.

5.2. Феномен первого знака и числа Фибоначчи 5.3. Принцип золотого сечения в космологии. Додекаэдр Система счисления с основанием. Модулор 5.4.

5.5. “Золотая” пестрая смесь 5.6. Принцип золотой пропорции и ядра атомов 5.7. Принцип золотой пропорции в математике 5.8. Числа 5 и 10 в золотом сечении 5.1. Статистика чисел Fn, закон Бенфорда и логарифм В продолжение темы связи числа с материнскими функ циями е х и ln х, рассмотрим интригующую математическую проблему, интерес к которой в последнее время заметно возрос.

Она носит название закона Бенфорда, или феномена первого знака, или проблемы начальной цифры, и непосредственно затрагивает проблему равноправия знаков, посредством которых осуществляется представление чисел.

Вспомним вначале сказанное в 4.3 о коренном различии в представлении чисел с помощью цепных и десятичных дробей.

В n-ичных, в частности десятичных дробях в отличие от цепных обычно реализуется принцип числового равенства, то есть соблюдается закон случайного распределения чисел, обеспечи вающий равное в пределах допустимой статистической погреш ности представительство всех знаков. Тогда в качестве примера мы ссылались на статистику первых шестисот миллиардов и триллиона двухсот миллиардов десятичных знаков числа.

Сейчас для полной ясности дадим ее в явном виде с указанием отклонений (в процентах) от среднего значения равного 60 000 000 000 в первом и 120 000 000 000 во втором случае [Kanada].

Таблица 5.1. Статистика десятичных знаков числа Количество вхождений и отклонения (в процентах) Цифра для 600 000 000 000 знаков для 1 200 000 000 000 знаков 59 999 788 154 – 0,000 353 119 999 636 735 – 0,000 60 000 115 765 + 0,000 193 120 000 035 569 + 0,000 60 000 334 158 + 0,000 557 120 000 620 567 + 0,000 59 999 987 729 – 0,000 020 119 999 716 885 – 0,000 Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) 60 000 131 060 + 0,000 218 120 000 114 112 + 0,000 59 999 819 211 – 0,000 301 119 999 710 206 – 0,000 59 999 887 855 – 0,000 187 119 999 941 333 – 0,000 59 999 770 829 – 0,000 382 119 999 740 505 – 0,000 60 000 439 514 + 0,000 733 120 000 830 484 + 0,000 59 999 725 725 – 0,000 457 119 999 653 604 – 0,000 В не показанном здесь случае шести миллиардов знаков среднее отклонение в процентах составляет 0,0031% по абсолютной величине;

с увеличением количества знаков в сто раз этот показатель уменьшается примерно в десять раз до 0,000 34%, а с увеличением еще в два раза он падает до 0,000 27%. Такая статистика говорит сама за себя: закон случайного рас пределения чисел соблюдается здесь с образцовой точностью, кстати вопреки некоторым утверждениям и прогнозам, которые делались когда были известны не миллиарды, а лишь тысячи десятичных знаков числа. Увеличение точности поставило всё на свои места и сейчас десятичная дробь числа может использоваться в качестве генератора случайных чисел.

Займемся теперь интересующим нас числовым множеством {Fn }. Для получения стати стически надежных данных нужны, конечно, большие числа и желательно, чтобы они были удобными для обозрения. В формуле Бине n n Fn = 5 с увеличением показателя степени n второе слагаемое стремится к нулю, числитель первого слагаемого всё меньше отличается от целого числа, а десятичный логарифм lg 5 0, меньше 1/2. Отсюда следует формула N(F n ) = R(n lg ), n 1 (5.1.1) для общего количества десятичных знаков N(F n ) числа Fn, где R(х) функция округления. Для каждого из десяти знаков j = 0, 1, …, 9 имеем n lg, n N j (F n ) = R (5.1.2) Это дает нам возможность подобрать “удобное” число F4 784 972, количество десятичных знаков N(F n ) для которого в точности равно одному миллиону. Кроме того, для большей полноты и определения динамики изменения возьмем три других числа поменьше: дважды выделенное F10 946 (10 946 = F21 ), F100 000 и F1 000 000. Технические детали несущественны, поэтому приведем лишь конечные результаты по десяти знакам десятичного представления, взяв за критерий оценки среднее и максимальное отклонения (в процентах) от статистически среднего значения.

Таблица 5.1. Отклонения вхождений десятичных знаков чисел Fn от статистически средних значений Среднее Максимальное Число отклонение в % отклонение в % F10 946 2,8 5, F100 000 1,9 3, F1 000 000 0,27 0, Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Тенденция приближения к теоретическому идеалу (5.1.2) с увеличением номера n вполне очевидна. Остается подтвердить ее на примере последнего, самого большого и “удобного” числа F4 784 972, представив его наподобие числа.

Таблица 5.1. Отклонения вхождений десятичных знаков F4 784 972 от статистически среднего значения Количество Отклонение Цифра вхождений в процентах 0 100 652 + 0, 1 99 772 – 0, 2 99 714 – 0, 3 100 165 + 0, 4 99 911 – 0, 5 99 810 – 0, 6 99 757 – 0, 7 99 922 – 0, 8 100 141 + 0, 9 100 156 + 0, Максимальное отклонение равно 0,652, среднее равно 0,2228 и можно уже делать общий F вывод, относящийся к числам Fn и, естественно, к их множеству с увеличением n n:

n частота вхождения знаков 0, 1, …, 9 стремится ко всё более точному соответствию с законом их равнораспределения. Этот интуитивно ожидаемый с самого начала вывод легко обобщить на случай системы счисления с любым основанием а = 2, 3, 4, … В формуле (5.1.2) надо только заменить основание позиционной системы счисления 10 на а и тогда частота вхождения для каждого из а знаков определится по формуле n log a N j (Fn ) = R n, (5.1.2') a которую можно записать через натуральный логарифм:

n ln N j (Fn ) = R n, (5.1.2'') a ln a Изменив задачу, рассмотрим теперь статистику не всех, а лишь начальных знаков членов ряда Фибоначчи. Ограничимся вначале первыми ста числами Fn.

Таблица 5.1. Частота вхождений для начальных знаков первых ста Fn Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 30 18 13 9 8 6 5 7 Частота Картина здесь резко отличается от ранее рассмотренной. В тридцати (!) случаях из ста число Фибоначчи начинается с 1 и лишь в четырех (?) – с 9. Очень большие отклонения от предпи Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) сываемого законом случайного распределения чисел среднего значения 100/9 11 бросаются в глаза. Обращает на себя внимание и почти неуклонное убывание частоты с увеличением цифр от 1 до 9. Поразительно, но подобная закономерность, впервые замеченная в конце XIX в [Newcomb S.], забытая, а потом заново открытая в конце тридцатых годов XX в. [Benford], имеет достаточно общий характер. Современная история этого закона началась… с подме ченной потертости таблиц логарифмов. Перелистывая книгу, Бенфорд заметил, что страницы, на которых стоят логарифмы чисел, начинающихся с единицы, замусолены больше остальных.

Тогда он подверг статистическому анализу более 20 000 чисел, относящихся к самым разным наборам величин, – квадратные корни n (5000 чисел), константы (104), атомные веса (91), молекулярные веса (1800), площади бассейнов рек (335), результаты бейсбольных матчей (1458), номера домов из справочника (342 числа) и т.д. и т.п., всего 20 наборов в среднем по 1011 величин в каждом. Усредненная по всем наборам таблица частот встречаемости (в процентах) девяти цифр имеет следующий вид:

Таблица 5.1. Распределение частот в среднем по 20 наборам (по Бенфорду) Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 30,6 18,5 12,4 9,4 8,0 6,4 5,1 4,9 4, Частота Было высказано предположение, что вероятность (относительная частота) появления на первом месте десятичного знака q (q = 1, 2, …, 9) определяется по формуле Р(q) = log 10 (1 + 1/q) (5.1.3) Следовательно, идеальное распределение вероятностей (в процентах) должно подчиняться логарифмическому закону.

Таблица 5.1. Распределение частот по формуле (5.1.3) Частота, % Цифра 1 30,10299… 2 17,60912… 3 12,49387… 4 9,69100… 5 7,91812… 6 6,69467… 7 5,79919… 8 5,11525… 9 4,57574… Сравнение этих частот с данными Бенфорда показывает, что минимальное относительное отклонение min 0,75% (для q = 3), максимальное max 12% (для q = 7), а в среднем для девяти цифр 3,9 %. Такое соответствие нельзя признать случайным, но на этом этапе обсуждения неизбежно возникают вопросы.

а) Для получения статистически корректных выводов необходимы наборы, состоящие если не из бесконечного, то во всяком случае достаточно большого числа данных. Между тем ни один из рассмотренных Бенфордом наборов величин, как и усредняемая определенным Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) образом их совокупность, не говоря уж о множестве первых ста чисел Fn, не совсем или совсем не удовлетворяет этому требованию. Вывод о соответствии логарифмическому закону больше похож на гипотезу, полученную на основе неполной индукции, чем на солидный статистический закон. А неполная индукция (не путать с индукцией математической, по сути дедуктивным принципом) при всей своей привлекательности и продуктивности – неисся каемый источник всевозможных заблуждений и ошибок. Например, тезис “бльшая часть нечетных чисел – простые” подтверждается для первых десяти, двадцати, даже девяноста чисел натурального ряда, но ошибочен в целом. Так можно ли ставить рядом со статистиче ским законом, подтверждаемым на примере более чем триллиона знаков великой константы и миллиона знаков числа F4 784 972, полуэмпирический закон, апеллирующий к разнородной и крайне ограниченной базе данных? Насколько универсален феномен первого знака, каковы пределы его применимости?

б) Многие наборы составлены из размерных величин, численные значения которых зависят от выбора единиц измерения, самого по себе произвольного и исторически случайного.

Меняя единицы измерения, можно получить совсем другое число, начинающееся с другой цифры. Даже если допустить, что закон Бенфорда верен для какого-то множества размерных величин, не перестанет ли он быть таковым при изменении единиц измерения?

в) Все без исключения наборы величин записаны в десятичной системе счисления, кото рая теоретически не имеет преимуществ перед какой-либо другой системой счисления с основанием а, притом не обязательно целым. А запись любого числа за исключением 0 зави сит, вообще говоря, от выбора системы счисления. Если принять, что закон первого знака действительно выполняется в определенных случаях, имеет ли, спрашивается, при этом место и “закон сохранения закона Бенфорда”? Точнее, является ли данный закон инвариантом относительно перехода от одной системы счисления к другой?

Исследования недавнего прошлого [Flehinger;

Raimi 1969;

1976;

Barlow and Bareiss;

Schatte], относящиеся к числам и Фибоначчи и Люка [Washington], исследования последнего времени [Boyle;

Ley;

Nigrini], но особенно работы [Hill 1995;

1996;

1998] во многом прояс няют ситуацию и позволяют ответить на некоторые вопросы. Но давать однозначные оценки по-прежнему не всегда возможно, и не случайно, что закон Бенфорда всё еще нередко харак теризуется эпитетом “таинственный”. В любом случае феномен первого знака отмечен лишь для естественных числовых наборов. Это необходимое условие справедливости закона Бенфорда. Что касается размерности величины, то насколько можно судить заметной роли она не играет. Неважно, будем ли мы измерять площадь страны в квадратных километрах или в квадратных милях: с изменением размерности меняются, конечно, все числа, но стати стика распределения первого знака существенно не меняется. Одним из основополагающих принципов статистики и теории вероятностей является закон больших чисел, предполагающий большое число испытаний, приводящее к нивелировке случайных факторов. В свете этого можно ожидать, что с увеличением элементов испытуемого набора распределение всё точнее будет соответствовать формуле (5.1.3). Однако в большинстве случаев, если речь идет, скажем, о населении или площади стран, возможностей для этого практически нет.

Не совсем ясно, что такое естественный набор величин и какими критериями здесь надо руководствоваться. Так, для казалось бы бесспорно естественной числовой последовательно сти {1/n} [Benford] хорошего соответствия логарифмическому распределению нет. Набор испытуемых величин (5000) здесь выше чем в остальных случаях, однако среднее отклонение равно 35,9 %, а максимальное 94,5 %. Это намного хуже чем в целом по набору всех рас смотренных Бенфордом величин (3,9 % и 12 % соответственно) и хуже чем даже для малой части бесконечного множества чисел Фибоначчи.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) 5.2. Феномен первого знака и числа Фибоначчи Об этом говорят данные для первой сотни чисел Фибоначчи, приведенные выше в таблице 5.1.4: max 36,9 % и 9,8 %. Не ограничиваясь столь мизерным для статистики количеством и последовательно увеличивая набор на сто новых членов, проследим за дина микой изменения этих показателей хотя бы для первых 500 чисел Fn.

Таблица 5.2. Отклонение от закона логарифмического распределения для первых пятисот чисел Фибоначчи n max, %, % 36,9 9, 17,3 5, 10,8 4, 4,6 1, 5,6 1, Уже для четырехсот чисел Fn отклонение от среднего значительно меньше чем для двадцати тысяч взятых Бенфордом величин. Можно сказать, что для столь малого, статисти чески почти ничтожного – всего несколько сотен – набора величин закон Бенфорда подтвер ждается с очень хорошей точностью. Более того, соответствие последовательности чисел Фибоначчи логарифмическому закону (5.1.3) первого знака близко к идеальному, но в процентах, вычисляемых для относительно небольших целых чисел, это должным образом не отражается. Согласно указанному закону идеальной для набора из n величин должна считаться частота вхождений k j (n) знака j ( j = 1, 2, …, 9), определяемая по формуле k j (n) = R[nlg(1 + 1/j)] (5.2.1) в которой десятичная дробь в квадратных скобках округляется функцией R до ближайшего целого значения. Например для j = 1 и n = k 1 (500) = R[500lg(1 + 1/1)] = R[150,5149…] = 151 (5.2.1') а это как раз в точности совпадает с истинным значением;

между тем этому соответствует 0,3 %, отнюдь не равное нулю. Поэтому близость истинных значений частоты k к идеаль ному k j (n) естественно оценивать их разностью r = k j (n) – k которая дается в таблице на следующей странице для значений k.

Очень хорошее соответствие налицо уже для первой сотни чисел Fn, а для пяти сотен оно просто поразительно: всего четыре минимальных (r = ±1) отклонения от “идеального” логарифмического значения k j (n). Это намного лучше чем для любого из известных наборов величин и явно свидетельствует о том, что первые знаки последовательности чисел {Fn } распределяются по логарифмическому закону (5.1.3). Через материнскую функцию ln x он запишется в виде ln ( 1 + 1 / q ) Р(q) = (q = 1, 2, …, 9) (5.2.2) l n В общем случае системы счисления с целочисленным основанием а имеем:

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) ln ( 1 + 1 / q ) (q = 1, 2, …, a – 1) Р(q) = (5.2.3) ln a Таблица 5.2. Точность соответствия закону Бенфорда для первых 500 чисел Fn Значения k для j = 1, …, 9 и их отклонение от k j (n) n, r |r| 1 2 3 4 5 6 7 8 30 18 13 9 8 6 5 7 r100 0 0 1 –1 0 –1 –1 2 –1 200 60 36 25 18 17 12 11 12 r200 0 1 0 –1 1 –1 –1 2 0 300 91 53 38 27 25 19 17 17 r300 1 0 1 –2 1 –1 0 2 –1 400 70 51 37 32 27 23 21 r400 1 0 1 –2 0 0 0 1 0 500 151 88 63 47 40 33 29 27 r500 0 0 1 –1 0 0 0 1 –1 Обсуждение закона Бенфорда, устанавливающего удивительную зависимость между материнской функцией логарифма и частотой появления на первом месте одного из знаков произвольной n-ичной записи членов “естественных” числовых последовательностей, в частности ряда Фибоначчи, завершим рассмотрением более общего случая на одном репре зентативном примере. Мы проведем небольшое исследование на полуэмпирическом уровне, поскольку следует еще раз признать, что глубокого понимания этого закона всё еще нет, хотя его справедливость по крайней мере для {Fn } очевидна и сомнений не вызывает. Можно только констатировать некое логарифмическое неравноправие знаков, используемых для записи членов указанных последовательностей в любой целочисленной системе счисления за исключением, разумеется, двоичной. Введем понятие обобщенной фибоначчиевой последо вательности Fnаmk, определив ее так:

F n a mk = a1 Fn m1 + a 2 Fn m 2 +... + a k Fn m k (5.2.4) Тогда n-ый член обобщенной последовательности есть по определению сумма k слагаемых типа a j Fn m j, где a j и m j произвольные положительные или отрицательные целые числа и хотя бы одно из a j отлично от нуля. Частными случаями обобщенной последовательности являются ряды Фибоначчи, Люка, квазифибоначчиевы (k = 2) последовательности (4.9.37) и т.д;

для тестирования нужно иметь какое-либо F n a mk со случайным набором чисел a j, m j и k.

Возьмем для определенности четырехчленную последовательность F n a mk = 4Fn – 4 – 7Fn + 5 – 2Fn – 11 + 2Fn + 9 (5.2.5) и посмотрим на статистику первых знаков ровно тысячи членов ряда 172, 15, 187, 202, 389, 591, 980, 1571, 2551, 4122, 6673, 10795, 17468, 28263, 45731, 73994, 119725, 193719, 313444, 507163, 820607, 1327770, 2148377, 3476147, 5624524, 9100671, 14725195, 23825866, … Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Отметим вначале, что для этой последовательности во-первых выполняется правило третьего члена, во-вторых частота вхождений знаков 0, 1, …, 9 подчиняется (в пределах допустимой статистической погрешности) закону равнораспределения, в-третьих имеет место закон периодичности с магическим периодом 24 приведенного к однозначному виду ряда с суммой членов по-прежнему равной 117. Но главное здесь – данные по закону Бенфорда, показанные на таблице в процентах от общего количества n = 1000.

Таблица 5.2. Распределение частот для первой тысячи членов ряда (5.2.5) Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 30,2 17,6 12,6 9,6 7,8 6,8 5,8 5,1 4, Частота, % Сравнение с теоретической формулой (см. таблицу 5.1.6) не оставляет никаких сомнений в том, что закон Бенфорда выполняется здесь с прекрасной, почти идеальной точностью. Хотя этот результат получен для относительно небольшой выборки частного случая обобщенной фибоначчиевой последовательности, можно предположить без особого риска ошибиться, что он справедлив и для любой другой последовательности данного типа. Есть поэтому доста точно серьезные основания считать, что для ряда F n и получаемых с его помощью бесконечных последовательностей закон Бенфорда работает очень хорошо, с удивительно точной и быстрой для статистической закономерности “подстройкой”, а вот для упомянутых выше конечных наборов чисел нематематической природы степень соответствия намного хуже. В целом же на основе имеющихся данных, касающихся в частности бесконечных числовых последовательностей, трудно судить, насколько универсален феномен первого знака. Не совсем ясно, в каких случаях можно говорить лишь о существенном отклонении от закона равного распределения, а в каких – о более или менее точной подчиненности закону лога рифмического распределения. Мы не знаем также, является ли прекрасное соответствие этому закону последовательностей {Fn } и {F n a mk } одной из их особых характеристик или же этим свойством в равной или неравной мере обладают и какие-то другие числовые последо вательности фибоначчиева и нефибоначчиева типа. Вопросов (как нередко бывает, когда имеешь дело с числовыми множествами) больше чем ответов, которые могут быть получены из рассмотрения отдельных случаев и особенно в результате глубоких теоретических иссле дований, способных снять покровы таинственности с этого неординарного закона. В любом случае закон Бенфорда в весьма нетривиальной форме подтверждает фундаментальную роль материнской функции логарифма для ряда Фибоначчи как наиболее значительного, быть может, представителя класса естественных числовых последовательностей. А к вопросу соответствия закону логарифмического распределения других последовательностей мы обратимся позже с более общей точки зрения, с позиций обобщенной теории золотой про порции (ОТЗП), которой посвящена глава 6.

5.3. Принцип золотого сечения в космологии. Додекаэдр Как ни заманчиво продолжить находящуюся в русле основных идей этой книги тему логарифмической спирали и феномена первого знака в их соотнесенности с ФМК, перед нами стоит и другая задача. Нужно довести до конца ранее обещанное и начатое в предыду щей главе ознакомление (пусть не очень подробное, но с многочисленными рисунками и указанием основных источников) с наиболее известными и значительными проявлениями принципа золотого сечения. Одно из таких проявлений относится к геометрии и космологии.

Непоколебимая вера в причастность геометрических идей и построений к космологии, космографии, космогонии долгое время была краеугольным камнем в изучении структуры Вселенной, механизмов ее возникновения и развития. Стремление отыскать в геометрических Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) формах элементы универсальной мировой гармонии одинаково присуще древним пифаго рейцам и многим современным исследователям, хотя, конечно, побудительные мотивы и особенно терминология, возможности и методы за это время сильно изменились. “Космос, – по словам Платона, вложенным в уста пифагорейца Крития, – прекраснейшая из возникших вещей, а его демиург – наилучшая из причин” [Платон, 29а]. Признание этого тезиса налагает на любого исследователя серьезные ограничения при выборе адекватных средств описания Вселенной. Платоновский творец-устроитель-демиург, “наилучшая из причин”, преисполнен благих намерений и как истый пифагореец стремится воплотить свой проект в совершенных геометрических формах. Выбрав в качестве первичных элементов огонь и землю, необходимо преодолеть их разъединенность и объединить в нечто единое с помощью “третьего”: “два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь”. Тут и выходит на передний план принцип золотого пропорции, или “пропорция”, по Платону: “Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним;

а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство” [Платон, 31с–32а]. Это рассуждение можно легко и без натяжки перевести на язык геометрических отрезков, образующих золотое сечение и неизбежно приводящих к квадратному уравнению (4.2.1). Но плоскому миру надо придать глубину, перейти от двумерной геометрии Вселенной к трехмерной. Для этого нужны еще два элемента, вода и воздух, и принцип золотого сечения работает снова, чтобы окончательно установить необходимые пропорции между первоэлементами: “…Если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самог с крайними. Однако оно должно было стать трехмерным, а трехмерные предметы никогда не сопрягаются через один средний член, но всегда через два.

Поэтому бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху, и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое” [там же, 32а–32b, курсив всюду наш].

Дальше для получения формы первоэлементов и всего беспредельного многообразия вещей природы в качестве “первоначала” берутся два прямоугольных треугольника – равно бедренный и составляющий половину равностороннего треугольник с углами в тридцать и шестьдесят градусов [там же, 53с–54d]. Почитателей золотого сечения может огорчить то, что предпочтение отдано не золотым треугольникам;

может показаться, что в этом месте Платон отступает от принципа золотого сечения. В какой-то мере это действительно так, но противоречия здесь нет. Нельзя всё сводить к золотому сечению, даже если это основной руководящий принцип построения, и есть тонкости, которые в любом случае должны быть учтены. Задача, говоря языком современной геометрии, состоит в том, чтобы из каких-то простейших плоских элементов составить правильные выпуклые многогранники. С помо щью своих треугольников Платон довольно просто получает четыре таких многогранника, показанных на рисунке, связывая их с формой первоэлементов: куб форма земли, икосаэдр воды, октаэдр воздуха, тетраэдр огня [там же, 55d–56b].

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Рис. 5.3. Правильные выпуклые многогранники – платоновы тела Для правильных выпуклых многогранников, платоновых тел справедлива теорема Эйлера, по которой число вершин плюс число граней минус число ребер равно двум [Лакатос]. Таких многогранников, характеристики которых даны в таблице, всего пять, притом поверхность последнего из них, додекаэдра, в отличие от остальных образована фигурами золотого сечения – правильными пятиугольниками.

Таблица 5.3. Правильные многогранники – платоновы тела Название Число граней и их форма Число ребер вершин 4 треугольника 6 Тетраэдр 6 квадратов 12 Куб 8 треугольников 12 Октаэдр 12 пятиугольников 30 Додекаэдр 20 треугольников 30 Икосаэдр Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Платон не строит додекаэдр, но отводит ему совершенно особое место, связывая с небом:

“В запасе оставалось еще пятое многогранное построение: его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал” [Платон, 55c]. Что бы мы ни думали о подобных конструкциях, надо прежде всего иметь в виду, что в их основе лежит научно религиозная по сути идея красоты космоса, математического совершенства Вселенной, идея универсальной мировой гармонии. А это фактически краеугольный камень всего естествен нонаучного мышления, порой открыто провозглашаемый, порой не осознаваемый, но всегда наличествующий в выдающихся достижениях физической теории. Какими бы ни были мате матическая выучка и пристрастия бога, демиурга, он использует только самое-самое и потому не играет в кости, не играет в числа и константы, не играет в геометрические тела. Мировая гармония (по разному понимаемая) – вот истинный творец космоса по Платону, который перенял эту доктрину от пифагорейцев и передал по наследству Кеплеру, Галилею, Ньютону, Пуанкаре, Эйнштейну, Эддингтону, Вейлю, Дираку, Гейзенбергу и другим архитекторам и каменщикам здания физической Вселенной. В недрах пифагорейской школы зародилась изложенная Платоном концепция естествознания, которая даже в своем наивно-геометриче ском варианте содержит серьезные аргументы против таких современных псевдонаучных спекуляций как концепция множественности Вселенных – “бесчисленных космосов”, выра жаясь языком Платона. “Если бы теперь кто-нибудь, тщательно обдумывая всё сказанное, задался вопросом, следует ли допустить бесчисленные космосы или ограниченное их число, ему пришлось бы заключить, что вывод относительно неограниченности этого числа позво лительно делать разве что тому, кто сам очень ограничен, и притом в вопросах, которые следовало бы знать. Если, однако, поставить другой вопрос – существует ли один космос или их на самом деле пять, то здесь, естественно, причин для затруднения было бы куда больше.

Что касается нас, то мы, повинуясь правдоподобному слову и указанию бога, утверждаем, что существует один космос;

но другой, взглянув на вещи иначе, составит себе, пожалуй, иное мнение” [там же, 55с–55d]. Вторую часть этого отрывка можно понимать в том смысле, что хотя при построении космоса всё второстепенное, не соответствующее идеалу математи ческой красоты должно быть отброшено, но окончательное решение не вполне однозначно поскольку помимо основного допустимы и другие решения. Узкая лазейка, оставленная для “мнения других”, интересна и в том отношении, что уже самые ранние попытки построения модели прекрасной Вселенной натолкнулись, можно полагать, на трудности, связанные с невозможностью сведения всего к одному-единственному математическому принципу, в данном случае к принципу золотой пропорции, к одной константе, к одному многограннику.

Видимо, в самом конце долгого пути к созданию геометрии космоса появились какие-то сомнения насчет тезиса об избранности додекаэдра, тем более что в другом месте утвержда ется: “небо в своей целостности имеет вид сферы”. Преимущество сферы – в равноудаленно сти всех точек ее поверхности от центра, что созвучно идее однородной Вселенной, не имеющей выделенных направлений. “Но если космос действительно имеет такую природу, какую же из этих точек можно назвать верхом или низом, не навлекая на себя справедливой укоризны за неуместное употребление слов? Ибо центр космоса, строго говоря, по природе лежит не внизу и не вверху, но именно в центре, в то время как поверхность сферы и центром быть не может, и не имеет в себе части, как-либо отличной от других – скажем, более близкой к центру, нежели противоположная ему часть” [там же, 62d]. Противоречие между альтерна тивами можно, вероятно, устранить, просто вписав додекаэдр в сферу, однако мы не находим у Платона каких-либо указаний на возможность такого примирения. В дальнейшем додекаэдр со своими пятиугольниками и золотой пропорцией многим показался привлекательнее однородной сфера и именно он стал ассоциироваться с пифагорейско-платоновой картиной космоса.

Так, по мнению Тимердинга, “Только это тело символически изображает строение небес ного мира, а так как, в связи с правильным пятиугольником, должно появиться… отношение золотого сечения, то последнее и играет главную роль в небесном мире” [Тимердинг, 53]. В Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) отличие от додекаэдра, образованного из правильных пятиугольников, икосаэдр образован из равносторонних треугольников, не имеющих прямого отношения к золотому сечению.

Рис. 5.3. Икосаэдр с его равносторонними треугольниками Но если вписать в каждый многогранник три взаимно перпендикулярных треугольника золо того сечения, в обоих случаях получается значимый результат: вершины этих треугольников окажутся в центрах граней додекаэдра и в вершинах икосаэдра. А центры граней додекаэдра соответствуют двенадцати вершинам икосаэдра и наоборот – 20 точек, расположенных в центрах граней икосаэдра, соответствуют вершинам додекаэдра;

словом, каждый центр грани одного многогранника есть вершина другого. Приведем для справки основные характеристики этих тел, где R радиус описанной и r радиус вписанной сферы, S площадь поверхности и V объем, см. [Корн, Корн, 49], записав эти величины через число. Обозначив длину ребра через а, имеем для додекаэдра:

a 7 + S = 6a 2 5( + 3 / 4) R = a sin r= V = a 3 (2 + 7 /2) 2 2 для икосаэдра:

a a 2 + a R= r= S = 10a 2 sin V= 2 4 sin Нетрудно убедиться с помощью простых преобразований или прямого вычисления, что 3( 2 + ) отношение R/r в обоих случаях равно, поэтому в случае равенства вписанных (или описанных) сфер равны и описанные (вписанные) сферы. Отсюда видно, что проявление “пропорции” в додекаэдре не сводится лишь к пятиугольной форме его граней, а намного богаче, кроме того “пропорция” имеет прямое отношению к икосаэдру. Поэтому в связи с платоновыми треугольниками вероятно правильнее говорить не об отказе от принципа золо того сечения, а наоборот, о приписываемом ему космологическом статусе, на основе которого возникает своеобразный трехмерный символ Вселенной, достигается целостность геометри ческого представления о ней.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Кстати, этот символ не так редко встречается на картинах старинных мастеров, например на картине венецианского художника Якопо де Барбари, по мотивам которой в конце про шлого столетия выпущена итальянская марка. Она была приурочена к пятисотлетию выхода в свет энциклопедического труда “Сумма арифметики, геометрии, дробей, учение о пропор циях и отношениях” францисканского монаха Луки Пачоли (14451517), автора “О божест венной пропорции”, иллюстрированной рисунками Леонардо [Лука Пачоли]. Универсальная значимость, придаваемая золотой пропорции видна уже из полного названия этого трактата:

“Бoжественная пропорция. Книга весьма полезная всякому проницательному и жаждущему знания уму, из которой каждый занимающийся философией, перспективой, живописью, скульптурой, архитектурой, музыкой или другими математическими предметами, может приобрести приятные, остроумные и удивительно достойные сведения и найти развлечение по разным вопросам и самым секретным знаниям”. Что касается помещенного на видном месте в картине додекаэдра, его символическая роль, важность в качестве значимого элемента всей композиции достаточно очевидна.

Рис. 5.3. Лука Пачоли и додекаэдр на картине Якопо де Барбари Под сводом охватываемого разведенными в стороны руками Бога гигантского додекаэдра, состоящего, напомним (см. табл. 5.3.1), из 12 пятиугольников, проходит “Тайная вечеря” Сальвадора Дали. Здесь можно видеть и связь с числом учеников Христа и прямое указание на сакральный смысл собрания, тем более что художник рассадил его участников по золотому правилу, а форма всей картины соответствует пропорциям (1,6:1) золотого сечения, см.

[Jovanovic]. Немного не дотягивает до золотого прямоугольника отношение ширины картины к ее высоте (1,57 вместо 1,62), но это не так уж важно, картина хороша и независимо от заложенной в нее символики.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Рис. 5.3. “Тайная вечеря” Сальвадора Дали В духе пифагорейской гармонии (музыки) сфер, используя платоновы тела, строил в своем раннем произведении “Космографическая тайна” картину Солнечной системы И.Кеплер. О его постоянном интересе к додекаэдру и икосаэдру свидетельствует отрывок из более позднего трактата, посвященного совсем другой теме. Он примечателен тем, что в одном контексте с двумя платоновыми телами здесь золотое сечение (“божественная пропорция”) и пятиуголь ник как его геометрический символ и легко распознаваемый ряд Фибоначчи, сходящийся к золотому числу. Приводим поэтому это место почти полностью. “Существуют два правильных тела, додекаэдр и икосаэдр, из которых первое ограничено правильными пятиугольниками, а второе – равносторонними треугольниками, но прилегающих друг к другу так, что образуются некие пятигранные пространственные углы. Построение этих тел и в особенности самого пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют божественной. Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности. … Пусть оба младших члена будут числами 1 и 1 (ты можешь считать их неравными). Сложив их, мы получим 2. Прибавив к 2 больший из младших членов, получим 3, а прибавив к 3 число 2, получим 5. Прибавив затем к 5 число 3, получим 8, прибавив к 8 число 5, получим 13, прибавив к 13 число 8, получим 21. Отношение числа 5 к 8 приближенно равно отношению числа 8 к 13, а отношение числа 8 к 13 приближенно равно отношению числа 13 к 21.

По образу и подобию этой продолжающей саму себя пропорции сотворена, как я полагаю, производительная сила, и этой производительной силой запечатлен в цветке подлинный символ пятиугольной фигуры” [Кеплер, 17]. Правда, чтение этого отрывка из трактата “О шестиугольных снежинках” наводит на вопрос: если пятиугольник так замечателен, почему тогда снежинки имеют шести-, а не пятиугольную форму? Всё-таки здесь важнее другое. Во времена Кеплера было известно шесть планет включая Землю, а платоновых тел, с которыми полагалось соотносить планеты, только пять. Но в правильные многогранники можно вписы вать, а вокруг них описывать сферы на которых по мысли Кеплера, и располагаются орбиты Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) планет. “Земля, – заявляет Кеплер в “Космографической тайне”, – есть мера всех орбит.

Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера.

Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия”. Фактически он получил следующий по возрастанию расстояния от Солнца ряд чередующихся орбит и многогранников:

Меркурий – октаэдр – Венера – икосаэдр – Земля – додекаэдр – Марс – тетраэдр – Юпитер – куб – Сатурн. Такая конструкция возможна при наличии лишь шести планет Солнечной системы, соотносящихся с пятью платоновыми телами, и сейчас можно лишь гадать, какой была бы его тайна мироздания, знай Кеплер об открытых значительно позже Уране, Нептуне и Плутоне. Как бы то ни было, космография Кеплера, унаследовав общую идею и тенденцию учения, изложенного в “Тимее”, отличается от него своими частностями. Пифагорейской символ Вселенной додекаэдр спущен на Землю, точнее на земную орбиту. Можно думать, что молодой Кеплер, будучи убежденным коперниканцем, что считалось тогда недопустимым вольнодумством, почувствовал обиду за принижение роли нашей родной планеты и решил выделить Землю хотя бы среди планет солнечной системы, поместив ее между двумя телами золотого сечения. Усилия Кеплера успехом не увенчались, но знаменательно, что заученные им тогда числовые соотношения между расстояниями и периодами обращения планет по собственному признанию (“я твердо заучил расстояния и времена обращения планет”) и мнению историков науки очень помогли ему впоследствии. Много лет спустя опираясь на это в сочинении под характерным названием “Гармония мира”, Кеплер пришел к своему третьему закону, предшественнику закона Всемирного тяготения Ньютона. Отклоняясь немного в сторону, заметим, что было бы в высшей степени символично, если бы еще до Ньютона Кеплеру, этому великому последователю пифагорейских традиций в естествознании, удалось найти гравитационную постоянную. Этим он открыл бы счет истинно великим числам природы и был бы по праву признан одним из создателей – отцом, а не предтечей, дедушкой (что впрочем тоже очень почетно) современной физики. Но… пора еще не настала: Кеплер в основном имел дело с безразмерными соотношениями между длинами и промежутками времени, а теоретический фон, необходимый для введения G в форме размерной величины, еще не был создан. И Кеплер “упустил” эту уникальную возможность, ему оставался до нее один шаг, ведь константы G ему главным образом не хватило, чтобы получить закон всемирного тяготения.

Уже в наши дни, в начале третьего тысячелетия платоновская идея об исключительной роли додекаэдра в строении Вселенной получила совершенно неожиданное, поистине сенса ционное, хотя и далекое еще от достоверности подкрепление. Дело в том, что обработка данных, полученных запущенным в 2001 г. зондом NASA WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), привела некоторых исследователей к удивительному выводу: Вселенная имеет форму додекаэдра [Luminet et al. 2003;

Dum;

Muir]. Полагают, что именно такая форма конечного замкнутого двенадцатигранника наилучшим образом объясняет характер распределения микроволнового реликтового излучения, своеобразного “эхо” Большого взрыва.

Одновременно это “фотография” космоса в возрасте 380 тысяч лет, фиксирующая флуктуации плотности того периода, отражаемые в температурной анизотропии фонового излучения.

В ранней Вселенной фотоны МРИ, образовавшиеся в результате Большого взрыва, интен сивно рассеивались свободными электронами, но позже в связи с остыванием и образованием атомов водорода Вселенная становится более “прозрачной”. Другими словами, “фотография”, полученная с помощью высокоточной аппаратуры зонда WMAP, дает достаточно четкое, неискаженное изображение молодой Вселенной. Первоначальные данные подтвердили пред сказания стандартной модели Большого взрыва и инфляционной космологической модели для областей пространства, разделенных малыми углами, однако позже для углов больше 60± Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) наметилось, как и в случае АММ мюона, серьезное расхождения между предсказаниями СМ и результатами наблюдений. На рисунке из [Luminet et al. 2003a] температурная анизотропия МРИ, выраженная особым образом через энергетическую величину, представлена в виде угловой функции.

Рис. 5.3. Температурная анизотропия МРИ как угловая функция В области малых значений кривая, определяющая температурную анизотропию как угловую функцию, характеризуется серией пиков, которые почему-то исчезают в области больших углов. Неспособность СМ объяснить это явление и стала причиной выдвижения модели конечной, имеющей додекаэдрическую форму Вселенной как наиболее разумного объяснения имеющегося массива данных.

Рис. 5.3. Схематическое изображение додекаэдрической структуры Вселенной Это повергло в изумление многих и кое-кто уже в полный голос заговорил о том, что гениаль ное предвидение Платона нашло реальное подтверждение сегодня в опытным данных и их всестороннем математическом анализе, учитывающем все мыслимые альтернативы включая Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) модель бесконечной Вселенной;

см. например [Miller]. Для наглядного представления о геометрической структуре Вселенной предлагаем рисунок додекаэдра, сделанный Леонардо да Винчи как раз под влиянием платоновских идей, и рядом современный рисунок из [Luminet et al. 2003a]. Говорить о высокой степени надежности, тем более единственности указанного заключения (уже получившего не только одобрительные, но и критические отзывы и комментарии) пока не приходится. Это лишь возможная интерпретация эмпирического материала, нуждающаяся в дополнительном исследовании гипотеза, которая будет или подтверждена или с неменьшим успехом опровергнута.

Рис. 5.3. Додекаэдр по Леонардо и современная модель Вселенной Если всё же допустить ее правильность, вывод напрашивается сам собой: современная наука, вооруженная сложной экспериментальной техникой и утонченными методами теоретического исследования, пришла фактически к той же конкретной геометрической структуре, которая была предложена два с половиной тысячелетия назад. Предложена a priori, без использования каких-либо технических средств, посредством чистого мышления и на основе пифагорейского понимания математической гармонии и геометрического совершенства Вселенной. Подтвер ждение этой гипотезы означало бы блестящий, не имеющий, возможно, равноценных аналогов в истории естествознания триумф античной религиозно-философско-математической кон цепции математической красоты и единственности космоса;

а как всё обстоит на самом деле, выяснится видимо уже в недалеком будущем.

Возникшая в недрах пифагорейской школы идея божественной геометрии имеет немало сторонников и в наши дни. Основа всё та же – правильные выпуклые многогранники, плато новы тела, особенно связанные с золотым сечением икосаэдр и додекаэдр, но область приме нимости “священной”, “сакральной” (sacred) геометрии сейчас намного шире. Это не только структура Вселенной, Cолнечной системы, Земли, но и живой материи. Так, в проекции на плоскость полный виток двойной спирали молекулы ДНК вписывается в золотой прямо угольник. В ходе зародышевого развития многоклеточных животных организмов, называе мого гаструляцией, сперва образуется тетраэдр из четырех клеток, потом октаэдр, куб, а потом, нетрудно догадаться, икосаэдр и додекаэдр, словом все пять платоновых тел, притом в строгой последовательности. Не менее, если не более интересны утверждения, касающиеся структуры молекулы ДНК, см. например [Brooks;

Winter;

Perez]. Поворачивая куб опреде ленным образом на “золотой” угол в 72± (вспомним треугольники золотого сечения), можно Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) получить икосаэдр, составляющий, нам уже известно, пару с додекаэдром. Получается, что в построенной по принципу двустороннего соответствия двойной нити спирали ДНК за икосаэдром следует додекаэдр, затем снова икосаэдр, и так далее.

Рис. 5.3. Структура ДНК, золотое число и додекаэдр Икосаэдр, заметим, весьма привлекателен и чисто математически, хотя бы благодаря тому (но не только), что, “используя уравнение икосаэдра, можно решить и любое уравнение пятой степени” [Клейн, 394]. О значении платоновых тел для современной математики можно судить по небольшому разделу с заголовком “Похвала правильным многогранникам” ука занной работы Ф.Клейна: “Эти фигуры проходят через всю историю математики. Пифаго рейцам они представлялись символами некоего мистического совершенства. Греческие натурфилософы сравнивали их с пятью стихиями. Греческим геометрам удалось показать, что кроме пяти известных никаких других правильных многогранников не существует и что по радиусу описанного шара их можно строить с помощью циркуля и линейки. Тринадцать книг евклидовых “Начал” являются лишь введением к построению правильных многогранников.

На протяжении всех средних веков правильные многогранники оставались предметом мистического почитания и символом твердости характера. … Кеплеровской фантазии пра вильные многогранники потребовались для установления связи между размерами планетных орбит. И теперь, в наши дни, они снова вступают в поле зрения математической науки, где удивительнейшим образом связуют воедино геометрию, теорию групп, алгебру и теорию функций, указуя путь к дальнейшим исследованиям” [там же, 396397]. Любопытно, что Платон, чьим именем названы правильные многогранники, в отрывке не упомянут;

главное всё же то, что целый ряд замечательных свойств платоновых тел может быть использован для серьезного поиска случаев применения этих свойств в живой и неживой природе, но и для всевозможных спекуляций самого разного толка. Заметим, что если молекула ДНК геометри Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) чески представляет собой получаемое вращением куба чередование икосаэдров и додекаэдров, то инвариантом такой модели следует считать задаваемое обычно как пересечение поверхности z 12 + z 23 + z 35 = с единичной сферой пространство икосаэдра, тождественное пространству додекаэдра.

Накопленный за многие столетия опыт научного исследования, не в последнюю очередь связанный с изучением золотой пропорции, показывает, что наиболее устойчивыми, жизне стойкими являются как раз те системы живой и неживой природы, которые несут в себе начала универсальной гармонии, такие как принципы минимальности, оптимальности, инва риантности, сохранения важнейших параметров системы при любых изменениях включая рост организмов. Есть достаточно серьезные основания полагать, что правильные выпуклые многогранники, прежде всего икосаэдр и додекаэдр, относятся к числу форм пространственно временного упорядочения материальных тел разного уровня сложности и масштаба, в наи большей степени отвечающих указанным требованиям. Добавим, что крайне заманчивая идея единства мира на разных уровнях ее организации, от структуры Метагалактики до входящей в состав живой клетки структуры молекулы ДНК, в свою очередь породила мистику золотой пропорции в додекаэдро-икосаэдрическом варианте с привлечением “священного” числа 72;

останавливаться на этом, однако, не будем.

Следуя пифагорейской традиции, доведенной Кеплером до уровня естественнонаучного, использующего огромный фактический материал метода исследования, некоторые совре менные авторы пытаются при решении более локальных задач найти числовые закономерно сти в расположении планет и в других пропорциях, характеризующих Солнечную систему.

Решающая роль здесь нередко отводится числу. Средние расстоянияR планет от Солнца составляют дискретную последовательность чисел, начинающуюся 57,1 млн. км для Меркурия и кончающуюся 5,87 млрд. км для Плутона. Существует ли, спрашивается, закономерность в расположении планетных орбит относительно друг друга и если да, то какая? Располагая планеты по возрастанию их расстояний R i до Солнца и принявR 1 – среднее расстояние от Солнца ближайшей к нему планеты Меркурия – равным 1, имеем для отношений типа R i +1 / R i (i = 1, 2, …, 9) ряд безразмерных величин, показанных в правом столбце таблицы, см.

[Phi and the Solar System].

Таблица 5.3. Средние расстояния планет от Солнца и их отношения для соседних планет Планета Расстояние до Отношения для Солнца, млн. км соседних планет 57,91 1, Меркурий 108,21 1, Венера 149,60 1, Земля 227,92 1, Марс 413,79 1, Церера 778,57 1, Юпитер 1 433,53 1, Сатурн 2 872,46 2, Уран 4 495,06 1, Нептун 5 869,66 1, Плутон Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Сумма чисел правого столбца равна 16,18736, а значит среднее 1,618736 по десяти членам ряда R / Ri i + i = отклоняется от лишь на 0,00044. Впечатляющая близость, если только причислять астероид Цереру к планетам Солнечной системы. Если же изъять его из списка, то полученное по девяти планетам значение 1,76736 уже очень далеко от золотого числа. Астероиды, назы ваемые также карликовыми планетами, как и девять планет Солнечной системы обращаются вокруг Солнца, и в сущности разница между теми и другими лишь в размерах. Предполагают, что общая масса почти ста тысяч уже открытых и получивших имена и ориентировочно почти миллиона еще не открытых и не исследованных астероидов меньше 0,1% от массы Земли [Pitjeva]. Расположенная между Марсом и Юпитером в поясе астероидов Церера – самая большая (диаметр около 950 км, масса 9,5·1023 г) среди карликовых планет, настоящий гигант в мире астеоридов. На долю Цереры приходится приблизительно треть их общей массы, но достаточно ли этого для включения “планетоида” с такой всё же относительно ничтожной массой в список обычных планет, при наличие сравнимых с Церерой по размерам астероидов (Паллада, Веста, Юнона, Икар и др.)? Правда, может подтвердиться высказанная еще Кеплером в 1596 г. довольно популярная сегодня и в какой-то степени подкрепляемая математическими расчетами гипотеза о некогда существовавшей между Марсом и Юпитером планете Фаэтон. Полагают, что именно ее распад (по одной из версий под воздействием гравитации Юпитера, по другой из-за столкновения с большим космическим телом) привел к образованию пояса астероидов. Если выяснится, что Фаэтон действительно существовал, многие расценят это как триумф кеплеровской догадки и пифагорейской идеи о десяти планетах Солнечной системы, зато обсуждаемая здесь “золотая модель” особенно не выиграет.

Гипотетический Фаэтон всё равно был бы очень мал по сравнению с остальными девятью планетами, ненамного больше Цереры. Добавим от себя: математический анализ задачи показывает, что между Марсом и Юпитером нет имеющей физический смысл точки, приво дящей к точному значению для указанного выше среднего значения. Точнее, уравнение x c a+ + = b x где a сумма всех членов правого столбца таблицы кроме пятого и шестого, b и c средние расстояния от Солнца для Марса и Юпитера соответственно, не имеет решения в действи тельных числах;

при таком подходе золотой стандарт для Солнечной системы математически недостижим. В качестве ничего не значащего, но любопытного обстоятельства заметим, что если b и c в последнем равенстве заменить отсутствующими в нем значениями из пятой и шестой строк таблицы, то один из двух корней уравнения будет равен 0,567103, а это число совпадает с омега-константой в четырех знаках после запятой, то есть в пределах точности измерения расстояний планет до Солнца оно практически неотличимо от W(1).

Имеются конечно и другие исследования подобного рода. Важным параметром больших и малых тел Солнечной системы является сидерический период обращения, обозначаемый обычно символом T и определяемый как промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот вокруг Солнца. Располагая планеты Солнечной системы, а также пояс астероидов в порядке убывания их T [Harris], имеем дискретный ряд чисел в диапазоне от 60129 суток для Нептуна до 88 суток для Меркурия (в данном списке почему-то отсутствует Плутон самая удаленная от Солнца планета). Если теперь, начиная с Нептуна и Урана, брать отношения типа Ti /Ti + 1, то в каком-то приближении и с некоторой натяжкой получим последовательность 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, то есть ряд Fn /Fn + 2 (n = 1, …, 7) для стоящих через один чисел Фибоначчи, стремящийся как известно к 2.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Аналогично, опираясь на большое количество эмпирических данных, относящихся к планетам Солнечной системы, Солнцу и спутникам Юпитера, Сатурна, Урана, можно прийти к выводу, что “соотношения периодов обращения соседних планет равно числу или 2 ” [Бутусов, 475], что “числовой ряд k и его гомологи являются числами адекватными косми ческим объектам, т.е. естественными числами для их описания”. Предлагается даже следующее: “…Ввиду адекватности «золотого числа» таким крупным областям человеческого знания, как астрономия, архитектура, теория музыки, ботаника и др. возникла необходимость и возможность создания специальной системы счисления («золотой математики»), основанной не на числе 10, а на «золотом числе». Эта математика позволила бы более четко и логично, чем обычная, решать поставленные перед нею задачи в указанных областях знания” [там же, 499]. Справедливости ради надо сказать, что с “астрономией” золотого сечения не всё ясно, но если эти идеи верны, тогда число возводится в ранг безразмерной космологической константы. Что касается системы счисления, основанной на, это уже тема следующего раздела.

5.4. Система счисления с основанием. Модулор Нечто подобное системе счисления с основанием вместо 10 вероятно применялось уже давно, в частности в архитектуре. Точнее, при строительстве различных сооружений использовались, также русскими мастерами, см. [Пилецкий;

Волков], системы мер длины, основанные на практическом знании золотого сечения, с эталонами длины, образующими сходные с рядом Фибоначчи последовательности. Пользовались также соответствующими рабочими и чертежными инструментами, вспомним хотя бы циркуль золотого сечения из Помпей (рис. 4.1.6). Арифметические свойства числа таковы, что с возрастанием сложности композиции, с увеличением количества деталей и элементов сооружения точность их окон чательной пригонки, каким бы невероятным это ни казалось на первый взгляд, может увели чиваться, а не уменьшаться. Напомним, что чем выше показатель степени в выражениях k или k/ 5, тем меньше не только относительное, но и абсолютное отклонение от соответст вующего целого числа. В указанном случае в принципе золотого сечения гармония и эстетика пропорций органически сочетаются с практической целесообразностью.

Но перспективы “золотой математики” значительно шире. Строгое построение систем счисления с основанием, впрочем и любым другим положительным – целым, дробным или иррациональным – основанием r, не сталкивается с какими-либо трудностями формального характера. Общая форма представления произвольного действительного числа М через r выглядит так:

l r n М=± (5.4.1) n n где n пробегает конечный или бесконечный ряд значений 0, ±1, ±2, …, а ln для каждого из слагаемых принимает одно из значений 0, 1, 2, …, k, причем k не должно превышать r. По скольку 1 2, в системе с основанием r =, как и в двоичной системе, ln может принимать лишь значение 0 или 1. Эти два символа необходимы и достаточны для представления действительных чисел в позиционной системе счисления, основанной на. Например, само число запишется в ней как 10, двойка – 10,01, число с учетом того, что = 2 + – 2 + – 5 + – 7 + – 9 + – 12 + – 16 + … выражается бесконечной дробью = 100,0100101010010001… Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Важной особенностью золотого числа является возможность представить любое целое число посредством конечной суммы его положительных и отрицательных степеней, что следует из формул (4.9.3) и (4.9.4), выражающих ± n в виде линейной комбинации и соответствующих чисел Фибоначчи. Можно при этом потребовать, чтобы не было двух рядом стоящих единиц либо нулей;

целое число n запишется соответственно двумя различными способами. Например, для числа 24 имеем следующие формы записи:

24 = 6 + 3 + 1 + – 4 + – 6 24 = 1001000, 24 = 5 + 4 + 2 + 1 + 0 + – 2 + – 3 + – 5 + – 6 + – 7 + – 8 24 = 110111, В дальнейшем при изложении общей теории золотой пропорции мы убедимся, что воз можность записи любого целого числа в виде суммы степеней константы – характерная особенность не только золотого числа, но и других членов определенного семейства чисел.

Объединение большого класса систем с двоичным кодом достигается естественным обобщением задачи нахождения золотого сечения или равнозначного ей уравнения (4.2.1).

Обобщение приводит [Стахов 1984, 13] к уравнению х р+1 = х р + 1 (5.4.2) в котором показатель целой степени р меняется от нуля до бесконечности. При р = 0 неиз вестная х = 2;

если р, неизвестная х стремится к 1 (унитарный код). Во всех остальных случаях, в том числе классическом р = 1, положительные корни р этого уравнения распола гаются в интервале между 2 и 1. Каждый член бесконечного множества чисел типа р задает свой способ записи (5.4.1) произвольного числа М в двоичном коде 0, 1. Система счисления с основанием впервые была предложена не так давно [Bergman]. Попытка доказать, что системы счисления с иррациональным основанием р – “коды золотой р-пропорции” имеют большую ценность для различных областей вычислительной и измерительной техники, предприняты в работах [Стахов 1984;

2006;

Stakhov;

Newcomb R.;

Monteiro, Newcomb;

Ligomenides, Newcomb;

Hoang;

Stankovic, Stankovic, Astola, Egizarian;

Sroul]. Сходны по своим свойствам с кодами золотой р-пропорции “р-коды Фибоначчи”, использование которых в технике считают весьма перспективным [Kautz;

Стахов 1981;

2006]. Основанием системы счисления может служить не только определенное число, скажем 10, 5 или, но и бесконечная последовательность чисел, в частности {Fn }. Любое число может быть записано в виде суммы чисел Фибоначчи [Zeckendorf 1972;

1972а], причем такая запись единственна и не может содержать двух рядом стоящих чисел Fn и Fn+1 по той простой причине, что Fn + Fn+1 = Fn+2. В системе счисления с основанием {Fn }, как и в случае системы с основанием и фактически по той же причине (Fn+1 /Fn 2), множители ln из общей формулы (5.4.1) могут принимать лишь два значения, 0 или 1. Например, с учетом того, что F1 = F2 = 1, 137 = 89 + 34 + 13 + 1 = 1F11 + 0F10 + 1F9 + 0F8 + 1F7 + 0F6 + 0F5 + 0F4 + 0F3 + 1F следовательно 137Fib = 1010100001, а допустим, константа выражается бесконечной дробью Fib = 100,00000100001010010000001010010000100001… Система записи (единственным образом) целого числа посредством чисел Фибоначчи, в которой каждое Fi встречается не больше одного раза и используются лишь два символа, является минимально-битовым фибоначчиевым представлением Цекендорфа. Сказанное относится с небольшими вариациями и к последовательности Люка [Zeckendorf 1972]. Если же снять запрет многократного применения каждого Fi, то число возможных вариантов представления данного числа n и количество используемых при этом различных символов стремительно растут с увеличением n [Hoggatt, Cox, Bicknell]. Так, существует 22 разных способа подобного представления числа 10 и уже 1489 способов представления числа 40.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Перейдем к продолжающей вызывать интерес и споры теории модулора Ле Корбюзье, изложенной например в работах [Ле Корбюзье 1970;

1976]. Не касаясь существующих оценок, от едких замечаний до восторженных эпитетов (всё же положительные оценки, особенно в наши дни, явно преобладают), попытаемся вкратце, в несколько вольном изложении и в определенном ракурсе представить центральную, можно думать, идею модулора. В логически строгой реконструкции в его основу фактически положено не число и не ряд Fn, как нередко утверждается, а принцип золотого сечения в форме правила третьего члена. Применение этого правила, мы знаем из раздела 4.6, при любом выборе двух начальных чисел, не обяза тельно даже действительных, приводит к последовательности непосредственно связанной с рядом Фибоначчи и дающей в пределе константу (см. формулу 4.6.6). Это в сущности всё, что надо знать для понимания математики модулора, основанной таким образом на простей шем и в то же время фундаментальном принципе. Хотя мыслимая область применимости модулора значительно шире, заложенную в нем идею удобнее всего иллюстрировать на важнейшем примере пропорций и положений человеческого тела. В левой части рисунка указаны три основных, если можно так выразиться, макропараметра человеческой фигуры, среди которых важнейшим является нижний. Откуда, спрашивается, взялись эти 113 см?

Ответ достаточно прост: это пупок, которым рост в 6 футов = 182,88 см 183 см делится в золотой пропорции (как не вспомнить статую Дорифора или рисунок Леонардо!). Вдвое большая величина 226 см определяет высоту кончиков пальцев поднятой определенным образом руки.

Рис 5.4. Модулор и пропорции человеческого тела Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) В правой части рисунка даны в виде неодинаково окрашенных квадратов единицы измерения, равные восемнадцати, двенадцати, девяти и трем дюймам, которые в длину равную 90 дюймам 228,75 см, чуть большую 226 см, укладываются соответственно 5, 7, 10 и 30 раз. Идея модулора как образующей некое гармоническое единство системы связанных с пропорциями человеческого тела числовых величин здесь пока только смутно просматривается. Но уже ясно, что основные пропорции и положения человеческого тела, не говоря уж о его “тонкой структуре”, никак не укладываются на одной-единственной шкале, строящейся по правилу третьего члена. Поэтому в полном варианте модулор, называемый иногда модулором II, содержит две шкалы: красную и синюю, делений на которой вдвое больше чем на красной.

Рис 5.4. Модулор II и пропорции человеческого тела Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Даны 24 числа, представляющих в общей сложности четыре десятка величин. Крайняя левая, голубая шкала состоит из размерных (в миллиметрах) чисел 432, 698, 1130, дающих в сумме 2260, то есть длину тела с поднятой рукой. Остальные четыре шкалы, для удобства пронуме рованные слева направо цифрами II–V, приведены в таблице.

Таблица 5. Четыре шкалы модулора Числовой ряд, мм N 63 102 165 267 432 II 6 9 15 24 39 63 102 165 267 432 698 1130 III 11 18 30 48 78 126 204 330 534 863 IV 126 204 330 534 V Здесь нет в явном виде ни чисел Фибоначчи ни тем более константы, но все целочисленные последовательности построены по закону третьего члена (несколько отклонений на 1 мм, связанных с возникающими при округлении нецелых чисел погрешностями, не в счет), а это и есть решающее условие. Соотношение между двумя величинами a k и a m (k m) любой из пяти указанных шкал или любой другой непосредственно на рисунке не обозначенной шкалы модулора можно с помощью функции R(х) округления действительного числа х до ближайшего целого числа и с учетом сделанной оговорки о погрешностях округления записать в таком виде:

a k = R(a m k – m ) (5.4.3) Если в третьей например шкале взять a 3 = 15 и a 11 = 698, то в справедливости равенства 15 = R(698 – 8 ) нетрудно убедиться хотя бы прямой проверкой. Имея два начальных члена a и a 2 числового ряда шкалы модулора, можно на основе общей формулы (4.6.3) и с той же оговоркой о возможных погрешностях округления найти общую формулу для любой вели чины a n:

a n = a 1F n – 2 + a 2 F n – 1 (5.4.4) Например для той же третьей шкалы, в которой a 1 = 6 и a 2 = 9, соотношение a 11 = a 1F 9 + a 2 F 10 = a 1 F n – 2 + a 2 F n – выполняется с точностью до единицы: 6·34 + 9·55 = 699 = a 11 + 1. Следовательно, в основу модулора как универсальной по идее системы чисел, связанных в частности с пропорциями человеческого тела, действительно положен принцип золотой пропорции в форме правила третьего члена, неизменными спутниками которого являются числа Фибоначчи и константа, использованная также по устоявшейся традиции для определения основной точки деления (пупом) тела на две неравные части.

В упрощенном, содержащем лишь две шкалы варианте модулора в качестве основных величин взяты 113 см для красной шкалы и вдвое больше, 226 см для синей. Нетрудно заметить, что по правилу третьего члена построен и левый числовой ряд (27 + 43 = 70, 43 + 70 = 113, 70 + 113 = 183) и правый (86 + 140 = 226). Хотя метр как десятимиллионная часть четверти парижского меридиана – чисто французское изобретение, повсеместно применяемое в научной практике, здесь единицей измерения (роста человека) служат не франко-геоцентрические метры, а английские антропоморфные футы, переведенные всё же в привычные сантиметры.

Понятно, что ни метр с миллиметрами и десятичной системой счисления ни фут с английской системой мер длины для математически точного моделирования по модулору не приспособлены;

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) для этой цели больше подошла бы основанная на последовательности Фибоначчи золотая математика с такой единицей измерения длины – назовем ее для краткости ле, – при которой рост в шесть футов, равный 1828,8 мм, был бы равен, скажем, 2584 ( = F 18 ) ле. Но в концепту альном плане важна, конечно, не единица измерения, не конкретные шесть футов и даже не система счисления, а принцип образования последовательности чисел, характеризующих пропорции человека по двушкальной системе.

Рис 5.4. Двушкальная схема модулора Обозначив рост человека отвлеченным числовым символом l и используя функцию округления R, можно представить красную шкалу на рисунке в виде убывающей последовательности l, R(l –1), R(l – 2 ), R(l –3 ), R(l –4 ) а синюю как последовательность R(2l –1), R(2l –2 ), R(2l –3 ) Всё это перекликается со многими построениями, известными из истории золотой про порции. В сущности Ле Корбюзье возродил, продолжил и развил на новом уровне идеи сво их многочисленных исторических предшественников, стремясь полнее использовать такие особенности золотой пропорции как ее обусловленность правилом третьего члена, связь с числами Фибоначчи, аддитивное свойство. Что касается точности соответствия оригинала идее, то обычный человек, видимо, скроен по модулору Ле Корбюзье не больше чем по Дорифору Поликлета.

5.5. “Золотая” пестрая смесь Число и ряд Фибоначчи нашли применение и в теории музыки [Сабанеев;

Ю.Ф.В.;

Лосев;

Norden] при числовом анализе тех произведений, например Баха [Siegele] или “Кармен” Бизе [Конюс, 35], где сочетание звуков обеспечивает наибольшее благозвучие, оказывается самым приятным для слуха. Исследовав 1770 музыкальных произведений, Л.Сабанеев обна ружил золотое сечение примерно в трех произведениях из четырех, а всего наблюдалось 3275 случаев применения золотого сечения, присутствующего почти во всех произведениях Бетховена – 97%, Гайдна – 97%, Шопена – 92%, Моцарта – 91%, Шуберта – 91%, Скрябина – 90%. По работе [Haylock] числа – 1 и – 2 обнаруживаются при анализе структуры пятой симфонии Бетховена. А анализ многих сонат Моцарта согласно [May] показал, что почти все они делятся на две части золотым сечением, см. также [Putz]. Предполагается даже, что Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) сделано это вполне сознательно, поскольку Моцарт по словам его сестры был очарован красо той математики и любил играть с числами. Имеются также исследования золотой пропорции в произведениях Бартока [Lendvai;

Lowman 1971a], Дебюсси [Howat 1983], Шуберта [Howat 1998] и других композиторов, а также в народной, старинной [Larson] и современной музыке [Lowman 1971], см. также [Garland]. Если же говорить о музыкальных инструментах, например о скрипке, то, судя по рисунку, она вполне может считаться “золотой”.

Рис 5.5. Скрипка как инструмент золотого сечения Добавим сюда и утверждения о сознательном использовании чисел Фибоначчи в “Энеиде” Вергилия и стихах римских поэтов того периода [Duckworth], о золотом сечении в произве дениях Шиллера, Толстого, Лермонтова [Розенов]. Есть, конечно, труды более общего характера, посвященные применению золотой пропорции и чисел Фибоначчи в искусстве в целом, – помимо упомянутых в разделах 4.1 и 4.10 работ см. [Read;

Linn]. Если судить по этим работам, можно прийти к заключению, что наиболее пылкие почитатели золотой пропорции готовы применять положенный в ее основу принцип ко многим ограниченным определенным промежутком времени видам деятельности, в особенности творческой. Выходит, сочиняя симфонию, делая научный доклад, читая лекцию, произнося речь, составляя программу концерта, рассказывая о себе и т.д. и т.п., надо непременно использовать этот принцип, чтобы достичь максимального эффекта, предельно сильного воздействия на аудиторию.

Читая, например, рассчитанную ровно на час лекцию с разоблачением шарлатанских приемов мнимого выявления золотой пропорции в сомнительных случаях, в частности при чтении лекций, следует пустить свои самые острые стрелы на кульминационной, “золотой” для часового выступления тридцать седьмой минуте. Берите высокие ноты и на пятой, девятой, четырнадцатой, двадцать третьей минутах, поскольку в данном случае именно последова тельность 5, 9, 14, 23, 37 является золотой.

Зададимся теперь несколько неожиданным вопросом: что общего между большой пира мидой Хеопса и термодинамическим равновесием? Такая не совсем корректная постановка вопроса скорее рассчитана на то, чтобы привлечь внимание, поэтому сразу поясним, что речь фактически идет об особенностях прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 51° 50. Это тот угол наклона граней к основанию, который придает особо привлека тельный вид большой пирамиде и, по-видимому, обеспечивает ее повышенную устойчивость (рис. 4.10.4). В подобном треугольнике, мы знаем, отношение меньшего катета к большему равно 1: (если только не 1:4/), а отношение гипотенузы к меньшему катету выражается числом (рис. 4.10.5). Четыре таких треугольника образуют ромб с отношением диагоналей равным, который можно условно назвать пирамидально-золотым в отличие от просто Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) золотого ромба с отношением диагоналей равным. Наконец, посредством двух таких ромбов – малого и большого, у которого меньший катет например треугольника IOC равен большему катету треугольника AOC, – можно образовать пирамидально-золотой эллипс, с равным отношением полуосей и с фокусами, расположенными в вершинах малого ромба.

Рис 5.5. Пирамидально-золотой эллипс Если фокусное расстояние АВ эллипса принять равным 2, то длина AC + CB = AG + GB и длина большой оси IJ равны 2. В силу построения данного эллипса, в частности из подобия образующих малый и большой ромбы треугольников следуют соотношения CB:CJ = OB:OC = OC:OJ = 1:

которым в работе [Grzedzielski] придается особое значение. Утверждается, без должного впрочем математического обоснования, что это соотношение “выражает пропорцию термо динамического равновесия в оптических кристаллах и создает оптимальные условия для достижения фотонами фокусов с минимальными энергетическими потерями”. В любом случае эллипс, в основу построения которого фактически положен угол в 51°50, не лишен интереса, а свойства пирамиды с таким углом наклона граней до конца еще не изучены.

Явные проявления принципа золотой пропорции, нередко в форме соотнесенности с рядом Фибоначчи, встречаются у разных животных, см. [Стахов 2006а]. Живым воплощением классического определения золотого сечения в отрезках может служить обыкновенная стрекоза, у которой отношение общей длины к длине хвоста равно отношению длины хвоста к длине корпуса. Точками, указанными на рисунке, тела ящерицы делится в пропорции близкой к 1 : : 2 : 3.

Рис 5.5. Золотые пропорции тела ящерицы Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Несколько золотых прямоугольников выявляется при анализе по глазкм рисунка на крыльях одной из разновидностей бабочки. Если кстати оставить только прямоугольники и раскра сить их соответствующим образом, можно получить нечто отдаленно напоминающее карти ны Мондриана из раздела 4.2.

Рис. 5.5. Золотые пропорции, выявляемые у бабочки Золотые пропорции, точнее пропорции близкие к золотым, можно при желании во множестве обнаруживать у самых разных представителей животного мира.

Рис 5.5. Золотые пропорции в животном мире Считается, что скорлупа птичьего яйца особенно прочна, если яйцо вписывается в прямо угольник золотого сечения либо в прямоугольник с отношением длин сторон :1, и такие яйца в природе не редкость.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Рис 5.5. Золотое яйцо птицы У многих членистоногих число 5 (которое, надо признать, слишком мало, чтобы жестко связывать его с последовательностью Фибоначчи) характеризует количество сегментов на груди, перьев на хвосте, частей ног. У мечехвоста 5 пар конечностей, столько же шипов на брюшке и сегментов на груди;

у лангуста 5 пар ног и 5 перьев на хвосте, каждая нога состоит из 5 частей, а брюшко из 5 сегментов. Впрочем, встречаются и более убедительные 8 и 13, например скорпион наряду с пятью парами конечностей и пятью сегментами на хвосте имеет 8 сегментов на брюшке, а панцирь краба состоит из 13 пластин. Более, очевидно, весомы, в смысле соотнесенности с рядом Фибоначчи, данные, относящиеся к представителям живот ного мира более высокого уровня организации. В панцире черепахи 13 роговых пластин, из них 5 в центре и 8 по краям, 34 позвонка содержится в позвоночнике;

столько же позвонков у гигантского оленя и, кто бы мог подумать, у человека. Числом 55 определяется количество роговых пластин у гавиалового крокодила с Малайского архипелага, темных пятен на теле кавказской носатой гадюки, позвонков у кита и у многих домашних животных, 144 позвонка насчитали в скелете габонской гадюки. Количество пар зубов у домашних животных близко или равно 21, у гиены их 34, а у одного из видов дельфинов равно 233 (= F13). Есть также данные о том, что эволюция живых организмов может происходить путем, так сказать, последовательного продвижения вверх по ряду Фибоначчи, а значит и приближения к золо тому числу. Например, вначале у ихтиозавра, рыбоящера мезозойской эры количество расположенных в 3 ряда костей в конечностях было равно 34 (F4, F9 ), затем в процессе эволюции и в связи с переходом от наземной жизни к водной ихтиозавр улучшил оба своих фибоначчиевых показателя на единицу: 55 костей в 5 рядов (F5, F1 0 ), хотя от вымирания это его не спасло. Может показаться, что подобный подбор данных служит определенной цели, носит предвзятый характер. В какой-то мере так оно и есть, но вместе с тем трудно отрицать определенное тяготение в животном мире к золотой пропорции и числам Фибоначчи.

Более убедительны случаи проявления принципа золотой пропорции, доставляемые ботаникой [Church 1904;

1968;

Гика;

d’Arcy Thompson;

Жуковский;

Вейль;

Davis 1970;

1971].

Так, количество ветвей при переходе с одного уровня дерева на другой может меняться “по Фибоначчи”, образуя, как это показано на рисунке, последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Рис 5.5. Количество ветвей на разных уровнях от поверхности земли По 3 лепестка имеют ирис, триллиум и лилия (у лилии часто 6 лепестков, образующих группы по 3 лепестка в каждой), 5 – лютики, дикая роза, живокость, водосбор, 8 – дельфиниум.

Еще более впечатляет соответствие двузначным числам Фибоначчи: 13 лепестков имеют календула, крестовник луговый, цинерария, 21 цикорий, астра, 34 подорожник, 55 или даже 89 лепестков маргаритки и некоторые виды астры (наряду с 21 и 34). Чаще встречаются, конечно, числа отличные от Fn, и в этом смысле действие принципа золотого сечения в мире растений не универсально. Однако сам факт его ограниченного присутствия не вызывает здесь сомнений, тем более что есть и другие значительные факты.

Семена и цветки многих растений расположены по двум противоположно направленным дугам, очень близким по форме к логарифмической спирали. Количества семян в спиралях различных растений образуют пары 5 и 3, 13 и 8, 21 и 13, 34 и 21, 89 и 55, 144 и 89 и даже 233 и 144. Всё это числа из ряда Фибоначчи, причем отношение 233/144 для последней пары отличается от значения лишь на две стотысячные. Установлено, что при отношении 144/ = F12 /F11 количества семян в спиралях подсолнуха достигается наиболее высокая урожай ность этой культуры. Принцип золотой пропорции, реализуемый в этом примере дважды: в форме расположения элементов (логарифмическая спираль) и в самом количестве элементов (числа Фибоначчи), приводит, как видим, к максимальному результату. Более того, количество спиралей (как в одном, так и в другом направлении), естественно неодинаково в цветочных головках различных растений, часто, хоть и не всегда соотносится с числами Фибоначчи.

Далее известно, что соседние листья на ветке дерева образуют некий постоянный для данного вида угол, называемый углом расхождения. Этот угол сохраняется и в расположении веток, почек, цветов и так далее, так что он как бы константа данного вида растений. Угол расхождения выражается дробью, которая показывает, какую часть окружности он составляет.



Pages:   || 2 |
 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.