авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Гостевая Монография Книга Новая ФМК Статьи Форум Предисловие В поисках оснований Введение Логика и формальная ...»

-- [ Страница 2 ] --

Самыми распространенными считают углы 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, … Числители и знаменатели дробей, каждая в отдельности, выстраиваются во всё тот же ряд Фибоначчи, сама же последовательность дробей стремится к значению – 2. Более того, на поверхности утолщающихся веток или стеблей листья растений располагаются по спирали, близкой к логарифмической. Трехмерная спираль и ряд Фибоначчи – таков обычно наблю даемый вариант филлотаксиса (листорасположения в переводе с греческого). Литература по филлотаксису и смежным вопросам, по математике филлотаксиса довольно обширна, причем Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) некоторые относительно старые труды [Cook;

d’Arcy Thompson] переизданы. Наряду с публикациями недавнего прошлого [Richards;

Leppik;

Coxeter 1953;

1969 ch. 11;

1972;

Stevens;

Vogel;

Steinhaus], см. также список в предыдущем абзаце, немало работ и последних лет [Dixon;

Jean 1992;

1994;

Stewart 1995;

1995а;

Conway and Guy 1995;

Prusinkiewicz and Lindenmayer;

Adler, Barabe, Jean]. Относительно трехмерной спирали, являющейся обобще нием двухмерной плоской спирали (с сохранением большинства ее свойств), всё вроде бы ясно: сохранение формы и других ранее рассмотренных для плоской спирали параметров.

Что касается чисел Фибоначчи, то достаточно разумное понимание получено и здесь. Еще в прошлом столетии догадывались о том, что наиболее оптимальное и не зависящее от размеров растения расположение листьев достигается лишь при строго определенных углах расхожде ния. В частности, именно при таких углах каждый лист в наименьшей степени затемняет нижние листья и затемняется верхними;

эти углы наиболее благоприятны и для того чтобы дождевые капли стекали назад вдоль листа, а затем вниз по стеблю к корням растения.

Аналогичная закономерность наблюдается в расположении семян некоторых растений.

Сравнительно недавно было получено строгое математическое доказательство утверждения о существовании определенных углов, обеспечивающих оптимальный, не зависящий от начальных размеров и дальнейшего роста вариант “упаковки” [Douady and Couder]. Возникает вопрос: почему в филлотаксисе природа предпочла числа Фибоначчи, то есть подходящие дроби константы, а не допустим подходящие дроби констант или е? Если коротко, то ответ сводится к тому, что выражение 1+ 1+ 1+ O определяет, мы знаем, наиболее медленно сходящуюся цепную дробь и в этом смысле число является “наилучшим” среди всех иррациональных чисел. Нельзя, конечно, забывать, что во многих случаях в растениях реализуются и другие числовые последовательности. Среди них связанный с рядом Фибоначчи ряд Люка и другие неординарные последовательности чисел вроде 3, 1, 4, 5, 9, …, или 5, 2, 7, 9, 16, … [Coxeter 1961, 172], отличающиеся от рядов Fn и Ln начальными членами, но тоже соответствующие правилу третьего члена. Живая при рода многообразна и наряду с золотой пропорцией в ней немало числовых отношений менее благородного происхождения. Очевидно, принцип золотой пропорции может считаться весьма распространенным, но отнюдь не универсальным законом организации растительного мира. Кроме указанных выше работ по золотой пропорции и числам Фибоначчи в ботанике и биологии вообще см. также [Basin;

Hunter and Madachy;

Land;

Brousseau;

Jean 1976;

1984;

1986;

Braun;

Sutton].

Нельзя не заметить, что пламенный энтузиазм “золотоискателей” с одной стороны спо собствует выявлению всё новых областей и случаев действия принципа золотой пропорции, но с другой нередко дает весьма произвольные толкования, подгоняя факты под заранее известную схему. Берется, к примеру, поверхность Земли, более 70 % которой покрыто мировым океаном, так что на долю суши приходится менее 30%. Нехорошее отношение 0, можно, однако, исправить, приблизив к идеальному 0,618, если… вычесть из площади океана площадь всех морей. А вопрос о том, насколько правомерно вычитание площади морей, являющихся частью мирового океана, должен считаться неуместным и не ставиться, поскольку он портит полученное столь дорогим способом золотое отношение. Или чего стоит утверждение о глубокой будто бы связи между числами Фибоначчи и сакральным числом буддизма 108, выявляемой соотношением 11 2 2 3 3 = 108. Приходится с сожалением признать, что профанация идеи, попытка любыми средствами подогнать всё и вся под золотое Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) число или его многочисленные гомологи, под числа Фибоначчи весьма характерна для неко торых пылких обожателей золотой пропорции. Если учесть, что ровно половина – пять чисел первого десятка включая 1, 2, 3, 5, 8 являются членами последовательности Фибоначчи, возможностей для этого более чем достаточно. Одна голова, одна шея, одно сердце, два уха, два глаза, две руки, пять пальцев и т.д. и т.п. – вот, оказывается, свидетельство того, что человек это носитель гармонии “по Фибоначчи”. Не лучше обстоит порой дело с числом, его степенями и корнями. Количество всевозможных числовых отношений в мире несметно и в этом практически необозримом множестве более или менее значимых отношений можно отыскать, по крайней мере с определенной степенью точности, всё, что придет в голову.

Близость какого-либо отношения к числу или его производным, на практике как правило не очень высокая, сама по себе мало о чем говорит. Не всё ведь золото, что блестит, не всякое близкое к 1,62 число – золотое;

в нашем случае для признания подлинности требуется нечто большее чем близость числовых значений. Игнорировать числовое совпадение с порога, конечно, не следует, но по большому счету природное число только тогда вправе считаться истинно значимой, непосредственно связанной с математической константой или известной числовой последовательностью величиной, когда ее появление обусловлено действием универсальных принципов, в данном случае принципа золотого сечения. Приводящий к появлению константы механизм не всегда, понятно, выявляется так просто и однозначно как в случае филлотаксиса, являющегося следствием принципа золотого сечения в форме закона оптимальной упаковки, или в случае роста раковины по золотой логарифмической спирали с сохранением важнейших параметров. Но нет в сущности другого способа утвердить в правах заслуживающую внимания научную гипотезу, кроме как выявить глубокую математическую основу появления данных чисел или обнаружить соответствующий полуэмпирический закон, на худой конец эмпирическую закономерность. Не первичен впрочем и сам принцип золотого сечения: он лишь частное проявление некоих особенностей фундаментальной математической первоосновы, изложенной в части I. В установлении связи между математической пер воосновой и золотыми числами, в построении с этих позиций обобщенной теории золотой пропорции (ОТЗП) и состоит, напомним, главная цель настоящей части II, и мы намного медленнее чем хотелось бы, но неуклонно к ней приближаемся.

Для большей полноты изложения список ранее указанных исследований мы дополним другими трудами, расположенными хронологически в каждом из шести тематических разде лов, хотя в некоторых случаях отнесение данной работы к тому или иному разделу весьма условно. Работы общего характера – [Colman;

Coxeter and Greitzer;

Runion;

Hoggatt;

Le Lion nais;

Jean 1992;

Wells 1986;

1991;

Ogilvy and Anderson;

Ogilvy;

Hilton and Pedersen 1991;

Markowsky;

Walser;

Conway and Guy 1996;

Dunlap;

Reid;

Herz-Fischler;

Hilton, Holton, and Pedersen];

с историческим уклоном – [Horadam;

Boulger;

Livio];

сугубо математические исследования – [Brook;

Graham;

Halton;

Jean and Johnson;

Schroeder;

Varnadore;

Reiter;

Young;

Bondarenko;

Guy 1994;

Hilton and Pedersen 1994;

Devaney;

Johnson R.C.;

Ram];

программиро вание – [Wrench;

Graham et al.;

Sroul;

Trott];

проявления в природе, искусстве и т.д. – [Zylinski;

Hoffer;

Williams;

Wahl;

Canright;

Boles and Newman;

Garland and Kahn;

van Zanten];

игры и развлечения – [Gardner 1961;

1969;

1979;

1994;

Pappas;

Pegg]. “Золотая лихорадка” получила особенно широкое распространение именно в последние десятилетия. Помимо указанных выше примеров поиск (и обнаружение – с той или иной степенью достоверности) различных проявлений принципа золотой пропорции коснулся стольких областей, что и далеко не полное перечисление соответствующих источников только на русском достаточно красноречиво: филлотаксис [Боднар];

критические уровни в развитии биологических систем [Жирмунский и Кузьмин];

физиологические ритмы и эргономические параметры в деятель ности человеческого организма [Коробко В.И., Коробко Г.Н.];

астрономия и архитектура [Лебедев и др.];

фундаментальная психология [Лефевр];

музыкальная гамма [Очинский];

биосимметрия высших порядков [Петухов];

термодинамика, цикл Карно [Попков, Шипи Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) цын];

денатурация гемогената высших растений [Радюк];

диагностика и лечение некоторых форм острых заболеваний [Симонян];

структура, состав и продуктивность почвенного покрова [Степанов И.Н.];

поэзия Руставели [Церетели];

политика [Степанов А.И., гл.3];

изучение скелетов человека и животных, в том числе ископаемых [Шапоренко и Лужецкий];

физика твердого тела [Шипицын, Попков];

психология восприятия и формообразования живой природы [Шмелев]. В последней работе [там же, 260] содержится перечень тех “отраслей знания, где в том или ином виде золотое сечение обнаруживает свое присутствие.

Растительные и животные организмы.

1.

Пропорции тела и органов человека.

2.

Биоритмы головного мозга.

3.

Компоненты генного аппарата человека и животных.

4.

Строения почвенного и плодородного слоя.

5.

Планетарные системы.

6.

Энергетические взаимодействия на уровне элементарных частиц.

7.

Аналоговые ЭВМ.

8.

Темперированный звукоряд.

9.

10. Произведения всех видов искусства, включая архитектуру.” Несмотря на широкий охват “отраслей знания”, где по мысли автора выявлена золотая пропорция, данный список, да и любая другая попытка подобного рода, исчерпывающе полным считаться не может. Не указана в частности (возможно, в силу очевидности) чистая и прикладная математика, являющаяся поставщиком наиболее точных и надежных сведений о принципе золотой пропорции, который проявляется здесь, мы знаем, при решении задач на экстремум, см. также [Johnson S.M.], на оптимум, в соотношениях с ФМК и МК и т.д. Не представлена, во всяком случае виде явно, обширная область психологических исследований включая работы по эстетике золотой пропорции, упомянутые в разделе 4.10. Сюда надо добавить и различные области физической реальности [Arneodo et al.;

Wlodarski] включая мегамир, квазикристаллы, наконец ядра атомов, заслуживающие отдельного обсуждения, к которому мы сейчас приступаем;

будут изложены имеющиеся результаты и собственные изыскания.

5.6. Принцип золотой пропорции и ядра атомов Астрономия и физика твердого тела не единственные области теоретической физики, где число претендует на роль константы. Перспективной сферой приложения принципа золотого сечения может стать и ядерная физика. Известно, что в расположении химических элементов, разбитых в периодической системе Менделеева на группы и подгруппы, наблюдаются зако номерности в чередовании и повторяемости свойств элементов. Анализ “чередования под групповых свойств” методами “качественной симметрии” дает основание М.А.Марутаеву говорить о глубокой аналогии с общепринятым в музыке звукорядом (чистым строем), который по его теории “выражает золотое сечение”. Утверждается также, что “предлагаемая теория связывает в одну все три, поставленные современной наукой и считающимися различными проблемы: нарушенная симметрия, число 137 и золотое сечение” [Марутаев 1978;

1990]. Согласовать числовые выкладки автора с новейшими измерениями постоянной –1 невозможно, но знаменательна сама попытка применения принципа золотого сечения к периодической системе элементов, как и стремление связать число с константой –1.

Перейдем теперь к нуждающемуся в предварительном пояснении вопросу стабильности ядер и соотношения между числом протонов и нейтронов. Ядра атомов за исключением Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) водорода и в какой-то мере водородоподобных атомов представляют собой довольно сложные системы, поэтому применение фундаментальных физических принципов и законов нередко наталкивается здесь на огромные трудности и оказывается малоэффективным. Кроме того природа и механизмы сил, удерживающих нуклоны в ядре, еще недостаточно изучены.

Существует целый ряд конкурирующих полуэмпирических моделей ядра, см. например гл.

III в [Широков, Юдин], каждая со своими достоинствами и недостатками, но в рамках ни одной из них не удалось достичь достаточно точных и относящихся ко всему ряду химических элементов предсказаний насчет оптимального, обеспечивающего наибольшую устойчивость числа нейтронов N или массового числа A = N + Z при заданном числе протонов Z. Есть, правда, независимая от конкретных модельных допущений и считающаяся почти универсаль ной полуэмпирическая формула Вейцзеккера, которая устанавливает зависимость энергии связи Есв ядра от Z и А. Она обычно записывается в виде ( A / 2 Z ) Есв (A, Z) = А – А 2/3 – Z 2 А – 1/3 – + (A, Z) (5.6.1) A где (A, Z) поправочный член, а,,, эмпирически подобранные постоянные. Слагаемое (A, Z) зависит от четности А и Z:

четные А и Z 33,57 А – 3/4 МэВ (A, Z) = 0 нечетное А четное А, нечетное Z –33,57 А – 3/4 МэВ Для постоянных параметров применяются разные наборы значений, например по [Шапиро, 922] наилучшее согласие с экспериментом достигается при = 14,03 МэВ, = 13,03 МэВ, = 0,5835 МэВ, = 77,25 МэВ есть немало других вариантов. Формула (5.6.1) дает неплохое приближение для энергий связи устойчивых ядер, но в случаях, когда Z и/или N равно одному из магических чисел ядерной физики: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, расхождение с опытом оказывается довольно значи тельным, до одного процента, см. [Широков, Юдин, 4243]. Пользуясь формулой Вейцзеккера, можно найти интересующую нас связь между Z и А (или N) для стабильных ядер. Определяя максимум функции Е(Z), то есть приравнивая к нулю производную E(Z)/Z, придем к формуле A Z= (5.6.2) 1,98 + 0,015 A2 / которой обычно и пользуются при расчетах. Для испытания на точность формулы (5.6.2) возьмем ядра элементов, расположенные в разных частях периодической таблицы;

удобства ради лучше брать элементы, имеющие единственный нестабильный изотоп, поскольку при водимые в периодической таблице атомные массы этих элементов очень близки к целочис ленным значениям их массовых чисел А, что значительно упрощает сравнение. При А = (бериллий) получим Z = 4,4 вместо 4;

при А = 27 (алюминий) Z = 12,77, что довольно близко к истинному значению 13;

при А = 133 (цезий) Z = 56,098 – на единицу больше порядкового номера цезия, наконец при А = 232 (торий) Z = 91,11 вместо 90. Следовательно, формула (5.6.2), не учитывающая некоторые тонкие эффекты квантовомеханического характера, хорошо аппроксимирует одни ядра и значительно хуже другие, особенно с большими поряд ковыми номерами Z.

Таким образом, решая вопрос оптимального – обеспечивающего наибольшую стабиль ность по отношению к распаду – числа нейтронов при заданном значении Z, нельзя опереться ни на “высокую теорию” ни на ядерные модели ни на полуэмпирическую формулу. Первая Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) обычно успешно применяется к системам с крайне ограниченным либо с очень большим числом элементов, а поскольку ядра тяжелых элементов не относятся ни к тем ни к другим, теория здесь мало эффективна. Что касается формулы Вейцзеккера, то мы имели возможность убедиться, что в области больших Z она работает неважно и содержит слишком много подгоночных, к тому же далеко не однозначно определяемых параметров. Но есть другая, бесхитростная и вполне надежная основа. Это опытные данные для отношений N/Z и A/Z = 1 + N/Z, которые могут сослужить нам добрую службу. К настоящему времени обна ружены в природе или получены опытным путем первые 116 элементов периодической системы, причем последние несколько элементов синтезированы недавно в Дубне [Oganessian et al. 2000–2003;

Heavy Elements – Element 114] с участием Ливерморской лаборатории при получении 114-го и 116-го элементов (LLNL Report 2003). Судя по всему не за горами синтез 118-го элемента;

поступившие в 1999 г. из Беркли известия о его получе нии вместе со 116-ым элементом оказались ложными, после чего разразился небывалый скандал с обвинениями в фальсификации данных и проч., см. [Лесков]. На имеющиеся сто шестнадцать элементов приходится несколько тысяч стабильных и нестабильных изотопов, поэтому для каждого Z естественно брать среднее взвешенное значение N, или атомную массу (атомный вес) А = Z + N, усредненные по всем изотопам, другими словами табличные значения А тех элементов, для которых они известны, см. [Pure Appl. Chem.;

Winter]. Однако и здесь есть свои трудности, связанные с отсутствием стабильных изотопов, или хотя бы изотопов с большим, исчисляемым годами временем жизни у многих элементов, особенно с большими номерами Z. Стабильных изотопов нет уже у полученных искусственным путем технеция (Z = 43) и прометия (Z = 61), а все элементы с Z 82 радиоактивны. Только у трех тяжелых радиоактивных элементов – тория (Z = 90), протактиния (Z = 91) и урана (Z = 92) определены их атомные массы;

во всех остальных случаях в таблицах приводятся массовые числа наиболее долгоживущих (среди обнаруженных, а не принципиально возможных) изо топов данного химического элемента. Учитывая это обстоятельство, следует опираться лишь на относительно надежные данные. Откладывая по оси абсцисс значения Z, а по оси ординат соответствующие значения N и соединяя точки прямыми, получим график с характерными /Z для ядерной физики всплесками.

Рис. 5.6. Зависимость N /Z от Z Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) С изменением Z от 2 до 92 кривая, неравномерно возрастая, меняется в пределах от 1 до 1, и приближается к прямой N /Z =. Точно такую же форму имеет график функции А /Z = 1 + N /Z, достигающий значения 2,59 при Z = 92. Данные в эмпирически относительно малоизу ченной области от Z = 93 до Z = 116, особенно для последних шести элементов, слишком неполны и неточны, чтобы можно было на них опереться. Может быть поэтому ход кривой в этом интервале, ее неожиданное “падение” не согласуется с наблюдаемой для остального интервала тенденцией приближаться к прямой у =. В любом случае возникают серьезные сомнения в обоснованности предположения, что кривая N (Z) с ростом Z стремится к числу, а кривая А (Z) к. Единственное, о чем можно с уверенностью утверждать на основе имеющихся данных, это опережающий рост числа нейтронов по сравнению с протонами, а значит увеличение в целом, хоть и весьма неравномерное, отношения N /Z по мере увеличения Z. Качественная природа данного явления находит разумное объяснение в ядерной физике, но точный количественный анализ на глубоком теоретическом уровне провести не удается.

Ряд из сотни членов сам по себе не настолько велик, а число 1,59 и 1,62 не настолько близки друг к другу, чтобы делать однозначное заключение с далеко идущими выводами.

Если однако прибегнуть к экстраполяции, опирающейся на предсказания теории, принцип золотого сечения, похоже, подтверждается и приобретает конкретное содержание. В последние десятилетия интенсивно обсуждалась возможность существования “острова стабильности” в районе Z ст = 114. Теоретические расчеты, проведенные несколькими исследовательскими группами, неизменно давали число 114 как одно из магических чисел физики ядра, при наличии которых нейтронные оболочки ядер целиком заполнены, вследствие чего барьер деления таких ядер выше чем у соседних и они обладают повышенной устойчивостью [Mnzenberg et al.;

Перелыгин, Стеценко;

Ghiorso et al.]. В свете того, что радиоактивный распад ядра и связанная с золотым сечением логарифмическая спираль описываются диффе ренциальными уравнениями первой степени типа z' = аz, точнее dу/dх = – у, dr/d = kr данное совпадение хоть и не находит исчерпывающего объяснения, но не выглядит случайным.

Время жизни 114-го элемента относительно спонтанного деления согласно некоторым оценкам, см. [Поликанов, 62], равно 10 19 лет, что на три порядка выше чем у изотопа урана 92U и на два – возраста Вселенной. Есть и другие, более умеренные оценки, но во всех вариантах речь идет о временах жизни, близких по порядку к возрасту Вселенной. Что каса ется количества нейтронов N ст элемента с Z ст = 114, то и оно выражается магическим числом 184, следовательно это ядро дважды магическое;

кстати говоря, это химический аналог свинца, отсюда необычная для столь тяжелого элемента устойчивость. Но если умножить 114 на, ближайшим к полученному результату целым числом окажется как раз число 184!

Таким образом, отношения N ст /Z ст = 184/114 и A ст /Z ст = 298/114 равны и 2 с точностью, которая вообще достижима для данного Z ст :

N ст = R( Z ст ) = 184 (5.6.3) A ст = R( N ст ) = R( Z ст ) = (5.6.4) Если сумму А = N + Z геометрически представить отрезком меняющейся в зависимости от Z длины и с переменной точкой х = N/Z, производящей сечение этого отрезка, то с увеличением Z сечение всё ближе к золотому, а при Z ст = 114 с относительным отклонением 0, становится золотым.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Рис. 5.6. График зависимости функции А'/ Z от Z Вместо взвешенного среднего А возьмем теперь величину А' – массовое число самого тяжелого среди всех стабильных изотопов данного элемента;

в случае отсутствия таковых условимся понимать под А' массовое число изотопа, имеющего наибольший период полу распада, – см. например таблицу изотопов в [Широков, Юдин, 695709]. Из рисунка 5.6. A видно, что экстраполяция по средней линии пиков и впадин кривой 2 (Z ) (если только исключить последний, крайне пока ненадежный участок кривой) приводит к значению Z ст = 114, для которого значение ординаты очень близко к единице.

Степень отклоненности А' от золотой пропорции удобно оценить для данного Z и в целых числах. Округляя 2 Z до ближайшего целого числа функцией R(х) и соединяя прямыми соответствующие целочисленные значения R( 2 Z ) – А', получим в общем сходную с параболой кривую, пересекающую с теми же, что выше, оговорками ось абсцисс во всё той же магической точке Z ст = 114.

Рис. 5.6. График зависимости функции R( Z ) – А' от Z Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Пики и впадины, не говоря уж о малоизученной области больших значений Z, конечно, “путают карты” и лишь реальное обнаружение сверхстабильного элемента с Z = 114 и А = наряду с намного более полным знанием изотопов тех элементов, для которых Z 100, поможет расставить точки над i в данном вопросе. На основе предположений о существовании пика “острова стабильности” и роли константы в периодической системе химических элементов, а также приведенных выше кривых можно допустить, что рано или поздно будут обнаружены тяжелые изотопы сверхтяжелых элементов и ход кривой на последнем участке станет куда более плавным. Если с учетом этого провести аналитическую аппроксимацию последней экспериментальной кривой по средним точкам, то придем к уравнению x x x x = 2Z, 1 § х § Z у= (5.6.5) 2 2Z 0 2 где Z 0 обозначает точку х = 114, в которой функция у = 2 Z A обращается в нуль. Это уравнение параболы, ограниченной точкой х = 1 и “золотой” точкой х = 114, в которой по предположению R(N /Z – ) = 0.

Рис. 5.6. Аппроксимация функции R( Z ) – А' посредством параболы Парабола – кривая весьма распространенного вида движения в природе, по параболической траектории движется например снаряд, выпущенный из орудия, по параболе падает тело, имеющее отличную от нуля горизонтальную составляющую начальной скорости. Параболи ческая траектория вообще характерна для движения тел под действием гравитационной и электрической сил, меняющихся, как известно, по закону обратных квадратов. Если уравнение (5.6.5) найдет когда-нибудь более серьезное эмпирическое подтверждение, можно будет говорить о “параболическом законе стабильности” ядер химических элементов, означающем, что в первом приближении отклонение отношения N/Z для наиболее стабильных изотопов от золотой пропорции описывается уравнением параболы типа x x у= a a Z с фундаментальной константой 2 в качестве множителя а.

Гипотетическое уравнение (5.6.5), как и все четыре приведенных выше графика, особенно последние два, подводят к заключению, что при экспериментальном подтверждении сущест Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) вования “острова стабильности” с вершиной в точке Z = 114 и А = 298, принцип золотой пропорции распространится на силы, удерживающие нуклоны в ядре, в качестве условия, отвечающего наиболее устойчивым состояниям. Остается неясным, есть ли число некое предельное соотношение для всего ряда химических элементов или же особая “точка ста бильности”, отграничивающая более стабильные элементы от менее стабильных. Между тем не имеющий пока утвержденного названия и обозначаемый как Uuq 114-ый элемент экспе риментально получен наряду с 116-ым в Дубне в конце 1998 года [Оганесян]. До сих пор получены лишь три изотопа элемента Uuq: А = 285 с периодом полураспада Т1/2 = 5,810 –4 с;

А = 288, Т1/2 = 2 с и А = 289, Т1/2 = 30 с. Для сравнения: периоды полураспада четных соседей 114-го элемента 112 Uub 281 и 116 Uuh 289 равны 610 –4 с и 910 –4 с соответственно [Winter]. Вооб ще с изменением Z от 92 до 112 период полураспада (или время жизни) уменьшается при близительно по логарифмическому закону на 20 порядков, с 4,6 млрд. лет до 0, миллисекунды! На этом фоне тридцать секунд – огромное, конечно, время для тяжелых ядер, поэтому открытие теоретически предсказанного еще три десятилетия назад “острова ста бильности” следует считать состоявшимся фактом. Тем более что по ядерным масштабам времена жизни соседних с 114-ым недавно синтезированных 113-го и 115-го элементов оказались поистине огромными. Весь вопрос теперь в том, есть ли на этом чудном острове замечательная “золотая” вершина 114 Uub 298 (впрочем, не исключен по некоторым расчетам вариант элемента 108 Hs 283 – аналога осмия) с фантастически большим, притом не в ядерном, а в космическом масштабе, периодом полураспада? Ответ на этот вопрос, возможно, будет получен уже в недалеком будущем.

Исходя из сказанного, можно сделать общий вывод, что во многих случаях оптимальная согласованность частей целого, максимальная уравновешенность, устойчивость, стабильность системы реализуется в принципе золотой пропорции и выражается числом и его гомологами.

За новыми подтверждениями перейдем в область чистой математики и ее приложений.

5.7. Принцип золотой пропорции в математике Число часто встречается при решении задач, связанных с применением экстремальных методов нахождения оптимальных решений. Изложение этих вопросов технически довольно сложно, поэтому ограничимся краткими комментариями и сравнительно простыми приме рами. С помощью чисел Фибоначчи доказывается [Матиясевич 1971;

1993] неразрешимость десятой проблемы Гильберта [Гильберт, 39], поставленной как задача нахождения общего метода, позволяющего по любой системе диофантовых уравнений с целочисленными коэф фициентами распознать, имеет ли она целочисленное решение. “Метод Фибоначчи” и “метод золотого сечения” применяются при решении определенного типа экстремальных задач [Уайльд], имеющих многочисленные приложения в разных областях науки и техники. Числа Фибоначчи появляются в математической теории поиска, например при проведении специ альных математических тестов [Альсведе, Вегенер, 144150], или при нахождении наиболее экономичной скорости автомобиля, соответствующей минимальному расходу горючего [Воробьев, 115116], в теории программирования [Кнут], теории вероятностей и так далее.

Уникальные свойства числа, удивительный мир чисел Фибоначчи отражены в задачах на сообразительность и смекалку, в математических курьезах, играх и т.п. [Auluck;

Gardner 1956;

O’Beirne;

Deininger;

Ball and Coxeter;

Guy 1990;

Knott 2008a;

2008b]. Вот типичная задача этого рода, решением которой является число Фибоначчи Fn. Надо перейти через ручей по уложенным один за другим в два параллельных ряда n камням, делая каждый шаг на один камень прямо вперед либо вперед в сторону. Сколькими, спрашивается, способами можно пересечь ручей? Это очень простая задача, но в пестрой куче математических голово ломок можно отыскать и неординарные вещи, требующие достаточно серьезной исследо вательской работы. В качестве примера остановимся на хорошо изученной в теории игр Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) китайской игре цзяньшинцзы [Кордемский, 212214, 522523]. Двое играющих поочередно берут камни из двух кучек. Если не трогать одну кучку, то из другой можно брать любое количество камней и даже всю кучку целиком, если же камни берутся сразу из двух кучек, то только по равному количеству из каждой. Таковы правила игры, а выигрывает тот, кому удается взять последний камень. Выигрыш в этой игре, где камни можно заменить целыми числами, требует знания чисел золотого сечения и теории ряда Фибоначчи. Математический анализ игры показал, что существуют такие комбинации для количества камней в кучках, когда проигрыш для начинающего неизбежен, если только его противник придерживается правильной стратегии. В принципе достаточно подсчитать количество камней в кучках, чтобы не приступая к самой игре выявить потенциального победителя. Эти комбинации определяются с помощью чисел и 2. Из формул a n = n, b n = n придавая n значения 1, 2, 3, … и отбрасывая в числах a n и b n их дробные части, получим множество {a n, b n } камней в кучках:

(1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15), (11, 18), … с которым начинающий игру теоретически проиграет. Во всех остальных случаях выигрыш на его стороне.

Среди бесконечного множества решений трансцендентного уравнения сos х = tg х (5.7.1) возьмем наименьший положительный корень х 1 = 0,66623 94334…, которому геометрически соответствует точка пересечения кривой косинуса с кривой главной ветви (–/2 х /2) тангенса. Ни в самом уравнении ни в его решении ничто, казалось бы, на золотое число не указывает, но в действительности иначе, как видно уже из простого соотношения [Raphael] (tg х 1) 2 = – Более того, приведя это уравнение к виду sin 2 х + sin х – 1 = 0 (5.7.2) легко заметить, что перед нами уравнение типа (4.2.3), имеющее положительный корень sin х 1 = –1, а отсюда сразу получается и значение корня х 1 = arcsin –1 = 0,66623… и значение для тангенса.

Особый интерес для нас представляет выделенный с самого начала в качестве одного из основных вопрос связи между золотой пропорцией и ФМК. Эта связь обычно осуществляется посредством материнских функций экспоненты и логарифма или их комбинаций, в частности с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Известна выра жаемая через арктангенс интересная формула связи между величинами обратными числам Fn [Lehmer 1936;

1938;

Trigg;

The Fibonacci Quarterly]. Подставляя в формулу x+ y arctg х + arctg у = arctg (5.7.3) 1 xy которую нетрудно получить из известной формулы для суммы двух тангенсов, значения х = 1/2, y = 1/3 и учитывая, что tg 1 = /4, придем к открытому еще Эйлером в 1738 г. соотношению /4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 (5.7.4) Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Используя теперь правило Fn + Fn + 1 = Fn + 2 и формулу (4.9.34), получим, что для четных значений n = 2k 1+ Fn +1 Fn + 2 Fn +1 + Fn + 2 Fn + 3 = = = 1 1 1 Fn +1 Fn + 2 1 Fn Fn + 3 Fn Fn +1 Fn + Следовательно, с учетом (5.7.3) имеем такую формулу для арктангенсов обратных значений чисел Фибоначчи:

arctg (1/F2k ) = arctg (1/F2k + 1 ) + arctg (1/F2k + 2 ) (5.7.5) Это дает возможность заменить arctg 1/3 на сумму arctg 1/5 + arctg 1/8, затем arctg 1/8 на сумму arctg 1/13 + arctg 1/21 и т.д. В итоге /4 = arctg 1 = arctg 1 = arctg 1 (5.7.6) F F2 k + 2 k = или в общем случае arctg 1 = arctg 1 (5.7.7) F2 k F 2 n + n=k Для нечетных значений n = 2k + 1 вместо формулы (5.7.5) имеем формулу arctg (1/F2k + 1 ) = arctg (1/L2k ) + arctg (1/L2k + 2 ) (5.7.8) с числами Люка вместо чисел Фибоначчи в правой части. Добавим без доказательства еще несколько формул от себя, интересных тем, что в двух случаях бесконечное суммирование арктангенсов обратных числам Fn приводит к константе, а в двух аналогичных случаях – к константе :

= arctg 1 arctg arctg – = F2 k 1 F2 k 1 + F2 k + k =1 k = (5.7.9) 3 = arctg 1 arctg arctg = F2 k 1 F2 k 1 + F2 k + k =0 k = Кроме того любое положительное число Fk, k 1 может быть получено по формуле [Ram] k i 2k m m (1 2 i ) k m Fk = m 1 (5.7.10) m = дважды содержащей ФМК i в выражении под знаком суммирования от единицы до k.

Заслуживает внимания связь между золотым числом и константой W(1), одной из восьми ФМК по теории ЛМФ. Эта связь может быть установлена из сравнения внешне несходных квадратного уравнения (4.2.1) для и трансцендентного уравнения (2.13.10) для функции Ламберта W(z). Уравнение (4.2.1) с корнями x 1 = и x 2 = – – 1 = f ( ) может быть записано в форме x 1 x 2 = f ( ) = –1 (5.7.11) Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) то есть в виде произведения константы на функцию от константы, равного –1. А уравнение Ламберта W(z)е W(z ) = z для значения z = 1 имеет такую же форму, только вместо функции f здесь экспонента, вместо константы константа W(1) и вместо знака минус при единице плюс:

W(1) е W(1) = 1 (5.7.12) Не случайно поэтому константу W(1) относят к разряду чисел “типа золотого сечения” [Weisstein].

Одной из наиболее известных аналитических связей чисел Фибоначчи является их соотнесенность с биномиальными коэффициентами, с треугольником Паскаля.

Таблица 5. Связь между биномиальными коэффициентами и числами Фибоначчи 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1............

. 1 1..........

.. 1 2 1........

... 1 3 3 1......

.... 1 4 6 4 1....

..... 1 5 10 10 5 1..

...... 1 6 15 20 15 6....... 1 7 21 35 35........ 1 8 28 56......... 1 9 36.......... 1 10........... 1............ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Сумма коэффициентов в разложении в сумму выражения (а + b) n, а 0, b равна 2 n для любого n = 1, 2, …, что вполне тривиально: поскольку формула бинома Ньютона справедлива для любых а и b, она верна и для а = b = 1, откуда сразу следует данное утвер ждение. Но какое это имеет отношение к числам Фибоначчи? Всё дело в том, как располагать биномиальные коэффициенты. Расположив их построчно-диагональным способом, имеем картину, показанную на таблице, в последней строке которой даны суммы по отдельным столбцам, образующие ряд Фибоначчи. Доказательство этого свойства треугольника Паскаля можно найти например в работе [Успенский], а более сложный случай аналитической связи между числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами будет рассмотрен в контексте обобщенной теории золотой пропорции.

Один из важнейших способов представления числовой или функциональной последова тельности f0, f1, …, fn, … это производящая функция (генератриса), то есть сходящаяся по крайней мере для одного значения х 0 функция Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) f x =f + f х+ f х + …+ f х +… n f (х) = n n n 0 1 n= Производящая функция последовательности {Fn} достаточно проста:

F x = х + х + 2х + 3х + 5х + 8х + … x n f (х) = = 2 3 4 5 n 1 x x n= (ср. формулу 4.6.11 для чисел Трибоначчи). Функция x f (х) = 1 x x имеет разрывы в точках х1 = – и х2 = – 1, получаемых как корни уравнения 1 – х – х 2 = 0;

это хорошо знакомое нам уравнение (4.2.3). Таким образом, производящая функция для последовательности чисел {Fn} действительно связана и с константой, а сходится она в интервале | х | – 1.

Следующий пример относится к нахождению особых точек функции y = e sin x, заданной в интервале (–, ). К числу немногих величин, играющих особую роль при характеристике поведения функции в заданной области, относятся точки перегиба, где вторая производная y'' меняет знак на противоположный. Точек перегиба у данной функции две:

y1 = arcsin – 1, y2 = e – Появление выглядит здесь довольно неожиданным, если иметь в виду традиционное опре деление золотого сечения и рассмотренные способы (квадратное уравнение, бесконечная непрерывная дробь, ряд Фибоначчи) получения числа, в которых связь между ним и экспонентой непосредственно не усматривается. Приведенный пример, как и в логарифмиче ская спираль, содержит прямое указание на такую связь. О том же говорят три диковинные формулы из коллекции Рамануджана [Hardy, 8;

Watson;

Ramanathan], см. также [Левин, 15], в следующем виде:

= ( 2 + ) e2 / 5 (5.7.13) e 1+ e 1+ e 1+ e 1+ 1+ O = 5 e 5 (5.7.14) 1 + ( 1) 5 / 2 53 / 4 1 e 2 5 1+ e 4 1+ e 6 1+ e 8 1+ 1+O x e x d x = 1 [ (2, / 2) (2, / 2 + 1 / 2 )] 4 (5.7.15) ch x Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) где (a, z) дзета-функция Гурвица. Такое мог придумать кроме разве Эйлера и Гаусса только Рамануджан с его необыкновенной математической интуицией и константным видением числового множества. Познакомившись с этими формулами, Харди писал: “Они поставили меня полностью в тупик;

я никогда не видел ничего подобного… Они должны быть верными, так как если бы они были неверны, то ни у кого не хватило бы воображения их изобрести” [Левин, 16]. Формулы эти действительно верны и в них обращает на себя внимание наличие пятерки и особенно числа 5 2 – 1. Оно фигурирует и в соотношении для бесконечного ряда [Andrews et al., 58] 2 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + +… 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 с любопытным чередованием знаков и опущенными членами типа 1/5k, k = 1, 2, 3, … Обсуж дение роли числа 5, а также 10 в золотом сечении – это всё, что нам осталось сделать перед тем как перейти к последовательному изложению новой теории как приложения теории ЛМФ.

5.8. Числа 5 и 10 в золотом сечении Обсуждение начнем с формулы для чисел Фибоначчи, в которой фигурируют числа 5 и 10. Известно, что для любых n и k = 0, ±1, ±2, … имеет место формула Fn = Fk Fn – k – 1 + Fk + 1 Fn – k (5.8.1) устанавливающая связь между произвольно взятыми Fn и Fk. В частном случае k = Fn = 34Fn – 10 + 55Fn – 9 (5.8.1 ) Отсюда после несложных преобразований, см. [Knott 2008], получаем любопытную формулу Fn – Fn – 5 = 10Fn – 5 + Fn – 10 (5.8.2) характерную наличием в ней чисел 5 и 10.

С участием числа 5 легко провести очень простой тест на принадлежность к множеству {Fn} заданного положительного или отрицательного целого числа k [Gessel]. Оказывается, числами Фибоначчи являются те и только те числа, для которых одно из выражений 5k 2 ± является полным квадратом. Придавая k значения 0, ±1, ±2, … непосредственно убеждаемся, что полный квадрат получается лишь для чисел Fk, причем для четных k следует брать знак плюс, а для нечетных – знак минус. В геометрической интерпретации при четных номерах n = 2m (m = 0, ±1, ±2, …) имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2, 5 F2 m и цело численной гипотенузой L 2m, а при нечетных номерах n = 2m + 1 прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами 2, L 2m + 1 и гипотенузой 5 F 2 m + 1. Для нахождения значений L 2m и L 2m + 1, заставим переменную m в формулах L 2m = 5k 2 + 4 и L 2m + 1 = 5k 2 пробегать указанным образом значения F0, ±F1, … Получаемая при этом последовательность L 0 (F0 ) = 2 L 1(±F1) = 1 L 2 (±F2 ) = 3 L 3 (±F3 ) = 4 L 4 (±F4 ) = L 5 (±F5 ) = 11 L 6 (±F6 ) = 18 L 7 (±F7 ) = 29 L 8 (±F8 ) = 47 L 9 (±F9 ) = 76… – не что иное как ряд Люка. Следовательно, имеем не только тест по выявлению чисел Fn, но и формулы связи между числами Фибоначчи и Люка:

L 2 = 5F 2 + 4, L 2 + 1 = 5F 2 + 1 – 4, m = 0, ±1, ±2, … (5.8.3) 2m 2m 2m 2m Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Велика роль золотой пропорции в решении вопроса о плотном заполнении пространства различными геометрическими фигурами и телами. Конечно, нетрудно заполнять плоскость прямоугольниками, квадратами или заполнять трехмерное пространство прямоугольными призмами, в частности кубами, но далеко не всегда задача плотной упаковки разрешима.

Выяснено (Р. Пенроуз), что любую часть плоскости можно целиком заполнить ромбами двух типов: с углами 2/5 = 72±, 3/5 = 108± и /5 = 36±, 4/5 = 144± [Penrose;

Grnbaum and Shephard].

Рис. 5.8. Ромбы с углами 36±, 144± и 72±, 108± Рис. 5.8. Заполнение плоскости двумя ромбами Каждый из двух ромбов может быть составлен из показанных на рисунке 4.12.1 золотых треугольников, а все числа типа n/5, (n = 1, 2, 3, …) посредством тригонометрических функций связаны, скоро увидим, с константой, следовательно предложенный Пенроузом способ прямо соотносится с золотым числом. А плотная упаковка трехмерного пространства осуществляется соответствующими ромбоэдрами [Shechtman et al.]. Такая структура относится к твердым телам, которые называются квазикристаллами;

в отличие от обычных кристаллов они не образуют кристаллической решетки с периодической повторяемостью структуры трехмерного расположения атомов. Вместе с тем структура Пенроуза квазипериодична, другими словами на достаточно больших расстояниях повторяются сколь угодно большие ее участки. Но главное здесь то, что ромбы или ромбоэдры образуют узор, в котором “можно найти сколь угодно большие фрагменты с симметрией 5-го порядка”, этот “узор обладает Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) симметрией подобия – структура, получаемая удалением определенного набора атомов, отличается от исходной изменением масштаба в = ( 5 + 1) / 2 ”;

кроме того “атомы распо ложены в определенных плоскостях (в двумерном случае – на линиях), причем расстояние между плоскостями (линиями) может принимать 2 значения, которые чередуются в опреде ленном порядке (связанном с числовым рядом Фибоначчи), отношение этих значений равно ” [Левитов]. Однако существующие квазикристаллы, например Al 6 Mn, имеют хоть и ром бовидную и тоже “золотую” с симметрией 5-го порядка структуру, но, похоже, несколько иную, см. [Knott 2008c]. Грани двух шестигранных ромбоэдров, образующих структуру реально встречающихся в природе квазикристаллов, представляют собой упомянутые в 4. “золотые” ромбы, для которых отношение большой диагонали к малой равно (ср. рис.

4.2.2). В таком ромбе 2arctg –1 = 1,10714 87177… 63,43495 ± острый угол равен 2arctg = 2,03444 39357… 116,56506 ± тупой угол равен В зависимости от того, вершина острого или тупого угла образует вершину шестиугольника, возможны два “золотых” ромбоэдра, вытянутый (вдоль оси) и сплющенный (ср. рис. 4.2.3).

Чередованием именно двух таких ромбоэдров заполняется любая достаточно большая в масштабах атомного мира часть пространства встречающихся в природе квазикристаллов.

Таким образом, и идеализированный вариант структуры Пенроуза и реализуемый в физиче ском мире вариант отводят константе центральное место. Это безусловно не случайно и снова свидетельствует о том, что посредством золотого числа и его гомологов решаются многие вопросы, требующие оптимальных решений, в частности проблема наиболее выгодной упаковки элементов высокостабильной и симметричной системы атомов.

Продолжая рассмотрение, напомним еще раз, что каждая из шести тригонометрических функций представляет собой сочетание экспоненты е ± х с числом 2 и мнимой единицей i 2i (например cosec x = ) ;

гиперболические функции выражаются через е ± х и 2. Если же ix i x e e говорить об интегральном синусе, косинусе и т.д., то к обычным операциям равенства, сло жения и вычитания, умножения и деления добавляется выражаемая через кванторы операция предельного перехода lim. Во всех этих случаях, по сути простейших сочетаниях различных форм экспоненты, имеет место преобразование типа е-i-2 либо типа е-2. Здесь нет пока спутника проточисел е, i, 2 – константы, но если, допустим, преобразование “синус” производится над половиной или третью, это приводит к знакомым тождествам. Зная и применяя шаг за шагом формулы двойного и половинного аргумента функций, их суммы и разности, можно найти синусы, косинусы, тангенсы, … для аргументов 1 1 1, n, ±, 2n, 2n n 22 23 2 3 2 и так далее для любого n. Всё это хорошо известно уже из школьного курса, однако усложним вопрос: что получится, если произвести е-i-2-преобразование числа, разделенного не на две или три, а на пять (или десять) частей? Ответ таков: в этом случае мы приходим к числу. В дальнейшем удобнее брать не sin x и cos x, а ei x e i x 2sin x и 2cos x e ix + e – ix i то есть преобразования типа е-i, а не е-i-2. Заставим переменную пробегать значения n/ (n = 1, 2, …) кратные /10. Вследствие периодичности синуса и косинуса, точнее экспоненты, достаточно ограничиться десятью значениями аргумента: /10, 2/10, …, 10/10. Продолжение Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) этой последовательности уже не даст новых значений для синуса и косинуса – с точностью до знака всё будет повторяться снова и снова.

Таблица 5.8. Функции 2sin(n/10), 2cos(n/10) и число ni ni 10 10 ni ni e e n n 10 e e 10 i – 2 + 1 2 + = = 2 10 1 2 + = 3 2 – = 2+ 4 10 = 5 2 10 3 – – = 2+ 6 10 1 2 + = 7 4 – 1 2 + = = 8 10 – 9 – 2 + 10 0 – Необходимость доказательства этих соотношений отпадает, если учесть, что в геометрии формула a = 2R sin выражает зависимость между длиной а стороны правильного n-угольника n и радиусом R описанной окружности. Если принять R равным 1, то в геометрическом истол ковании первая и вторая строки третьего столбца это длины сторон правильных десяти- и пятиугольников, вписанных в единичную окружность (ср. треугольники золотого сечения в 4.12). Остальные значения находим по правилам для синуса и косинуса с привлечением простейших арифметических свойств числа. Таким образом, преобразование чисел n/10, где n пробегает значения ±1, ±2, …, приводит к расположенным в интервале от –2 до 0 и от 0 до 2 числам ± – 1, ± – 1 2 +,, ± 2 + Соответствующие соотношения для 1 sec n и 1 c s c n имеют особенно простой вид 2 5 2 для секанса, который при значениях переменной n = 1, 2, …, 10 принимает лишь значения ±, ± – 1, ±1/2.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Таблица 5.8. Функции 1/2sес(n/5), 1/2csс(n/10) и число 1 n in in in in 5 e +e e e – + – 3 – + – – – 5 –1/2 1/ + –1 – 6 – –1 – 7 – + – 10 1/ Не менее значимы соотношения типа f (i ln ) и f (i ln /i) для любой из тригонометрических функций и логарифма, содержащие константу i в явном виде.

Таблица 5.8. Значения тригонометрических функции f (i ln ) и f (i ln /i) Функция f (х) х = i ln х = i ln /i – 1/ sin х i/ – 1/ cos х –i/ tg х 1/(2 – 1)i = 1 / 5 i 5i ctg х – 5i –i/(2 – 1) = – i / sec х 2i 2/(2 – 1) = 2 / csc х –2i 2/(2 – 1) = 2 / С помощью функций cos n и sin n целиком в тригонометрической форме, не содержащей 5 к тому же константы, может быть представлена и формула Бине [Stern]:

n+ Fn = 2 cos n sin sin 3 + cos n 3 sin 3 sin 9 (5.8.4) 5 5 5 5 5 Иррациональное число оказывается связанным с числами различных алгебраических типов:

трансцендентными е и, мнимой единицей i, целыми 2, 5, 10, а также с натуральным рядом.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Заслуживает внимания появление в одной формуле, и 10 или 5. Древняя и средневековая математика знала все эти числа, но глубокую зависимость между ними – без появившихся значительно позже, в XVIII веке констант е, i – она не в состоянии была установить, хотя на уровне геометрических образов указанная зависимость была найдена в правильных десяти- и пятиугольниках. Принадлежность 10 и 5 к немногочисленному семейству чисел, выделенных относительно золотого сечения, тот факт, что они оказались в одной связке с фундамен тальными математическими константами перекликается с особой ролью десятки в истории математики.

Так, пифагорейцы считали, что десятка “есть нечто совершенное и охватывает всю природу чисел”, говорили о десяти попарно расположенных началах существующего, давали клятву священной декадой, рассматриваемой как сумма 1 + 2 + 3 + 4, связывали десятку с числом планет Солнечной системы и тому подобное. Кое-какие подробности находим у Аристотеля: “И всё, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состоя ниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом;

и если у них где-то получался тот или иной пробел, то они стремились восполнить его, чтобы всё учение было связным. Я имею в виду, например, что так как десятка, как им представлялось, есть нечто совершенное и охватывает всю природу чисел, то и движущихся небесных тел, по их утверждению, десять, а так как видно только девять, то десятым они объявляют «противоземлю»” [Аристотель, 986а]. Последнее утверждение Ста гирит решительно критикует и высмеивает: “Сверх того они постулируют еще одну Землю, противоположную нашей, – «Антиземлю», как они ее называют, не ища теорий и объясне ний, сообразных с наблюдаемыми фактами, а притягивая за уши наблюдаемые факты и пытаясь их подогнать под какие-то свои теории и воззрения” [Аристотель, 293а]. Далее, относительно десяти пифагорейских начал Аристотель говорит следующее: “Другие пифаго рейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспре дельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое” [Аристотель, 986а]. Пифагорейская магия десятки явно проступает, напри мер, в рассказе Платона о легендарной Атлантиде, описываемой как идеальное во всех отношениях государство. Используются и другие числовые характеристики, но десятка и ее степени встречаются значительно чаще, особенно если речь заходит о больших количествах:

десять царей, правящих десятью частями, на которые поделил остров Посейдон;

участки величиной десять на десять стадиев, предоставленные “мужам, пригодным к войне”, десять тысяч колесниц царского войска;

сто нереид на дельфинах, украшающих храм Посейдона;

большой канал длиной в десять тысяч стадиев, прорытый по периметру острова и тем самым определяющий его размеры;

малые каналы в сто фунтов глубиной и сто футов шириной – последние “отстояли друг от друга на сто стадиев” [Платон, 114а, 119а, 116е, 118d, 115d].

Разумеется, не только у греков, но и у египтян, у применявших пятеричную систему китайцев, у индусов и других народов древнего мира именно число 10 было положено в основу системы счисления, которая наряду с двоичной системой повсеместно используется и в наши дни. Надо сказать, что возникновение десятеричной системы, в общем-то не имею щей формальных преимуществ перед другими системами счисления, обычно объясняют удобством счета на пальцах. Впрочем, применялись системы и с отличными от 10 основа ниями: 3, 5, 12, 20, 40, 60 [Башмакова, Юшкевич;

Выгодский]. Графика представления числа естественно меняется при переходе от одной системы счисления к другой;

в пятеричной (позиционной), например, системе счисления выражается с помощью пяти знаков 0, 1, 2, 3, 4 в виде бесконечной пятеричной дроби 1,3021113423041…, а допустим в двенадцатеричной системе, где последним знаком является заменяемое символом b 11, золотое число равно 1,74bb6772802…. Как бы то ни было, выделенность по отношению к чисел 2, 5, 10, возможно, ставит их на привилегированное по сравнению с другими место при выборе системы счисления для представления числа.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Литература Альсведе Р., Вегенер И. Задачи поиска. М.: Мир, Аристотель. Метафизика. В кн.: Аристотель. Соч. в четырех томах, т. 1. М.: Мысль, 1976, с. 63– Аристотель. О небе. Там же, т. 3. М.: Мысль, 1981, с. 263– Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления. В кн.: Энциклопедия элементарной математики. Книга I. Арифметика. М.;

Л.: ГИТТЛ, 1951, с. 11– Боднар О. Я. Геометрия филлотаксиса. Доклады АН Украины, 1992, №9, с. 9– Бутусов К. П. “Золотое сечение” в солнечной системе. В кн.: Проблемы исследования Вселенной. Труды ВАГО, вып. 7. М.;

Л., 1973, с. 475– Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, Волков С.А. Принципы и методы, обеспечивающие гармонию при создании и реконструкции архитектурных сооружений и ансамблей http://www.interlibrary.narod.ru Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. М.: Изд. Акад. архитектуры, Гильберт Д. Математические проблемы. В кн.: Проблемы Гильберта. М.: Мир, 1969, с. 11– Жирмунский А. В., Кузьмин В. И. Критические уровни в процессах развития биологических cистем. М: Наука, Жуковский П. В. Ботаника. М.: Высшая школа, 1964 http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М.: Наука, Клейн Ф. Лекции о развитии математики в ХIХ столетии, т. I. М.: Наука, Кнут Д. Сортировка и поиск. В кн.: Искусство программирования для ЭВМ. В семи томах, т. 3. М.: Мир, Конюс Г. Э. Метротектоническое исследование музыкальной формы. М., Кордемский Б. А. Математическая смекалка. М.: Наука, Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров), 4-ое изд. М.: Наука, Коробко В.И., Коробко Г.Н. Основы структурной гармонии природных и искусственных систем. Ставрополь, Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М.: Наука, Лебедев Ю. С., Рабинович В. И., Положай Е. Д. и др. Архитектурная бионика. М.: Стройиздат, Левин В. И. Рамануджан – математический гений Индии. М.: Знание, Левитов Л. С. Квазикристаллы. В кн.: Физическая энциклопедия, т. 2. М.: Сов. энцикл., 1988, с. 255– Ле Корбюзье. Архитектура ХХ века. М.: Прогресс, – Модулор. М.: Стройиздат, Лесков С. Рулетка Менделеева. В США раскрыта крупнейшая сознательная научная фальсификация. Известия, Наука. Фальсификации, 2002 http://www.inauka.ru/false/article22103.html Лефевр В. А. Формула человека (Контуры фундаментальной психологии). М.: Прогресс, Лоcев А.Ф. Музыка как предмет логики. В кн.: А.Ф.Лоcев. Из ранних произведений. М.: Правда, 1990, с. 356– Лука Пачоли. Традиция. Русская энциклопедия http://www.traditio.ru/index.php/Пачоли,_Лука Марутаев М.А. О гармонии как закономерности. В кн.: Принцип симметрии. М.: Наука, 1978, с. Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) – Гармония как закономерность природы. В кн.: И. Ш. Шевелев, М. А. Марутаев, И. П. Шмелев. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. М: Стройиздат, 1990, с. 131– Матиясевич Ю. В. Известия АН СССР. Серия Математика, 1971, т. 35, № 1, с. 3.

– Десятая проблема Гильберта. М.: Наука, Оганесян Ю. Ц. Новая область ядерной стабильности. Вестник Российской акад. наук, 2001, т. 71, №7, с. 590– Очинский В.В. Система музыкальных звуков как функция отношений золотой пропорции. В кн.: Циклические процессы в природе и обществе, вып. 3, 1994, с. 161– Перелыгин В. П., Стеценко С. Г. Письма ЖЭТФ, 1980, т. 32, с. Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. М.: Наука, Пилецкий А. Всемер наших предков. Архитектура, 1977, №26 (405), с. Платон. Тимей. В кн.: Платон. Соч. в трех томах, т. 3, ч. 1. М.: Мысль, 1971, с. 455– – Критий. Там же, с. 543– Поликанов С. М. Необычные ядра и атомы. М.: Наука, Попков В. В., Шипицын Е. В. Золотое сечение в цикле Карно. УФН, 2000, т. 170, № 11, с. 1253– Радюк М.С. Золотая пропорция в структуре хлоропластов высших растений. Известия АН СССР: Биол., 1987, №5, с. 774– Розенов Э. К. Динамика музыки и речи. М.: Искусство, Сабанеев Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Искусство, 1925, № 2, с. 133– Симонян К.С. Перитонит. М.: Медицина, Стахов А. П. Перспективы применения систем счисления с иррациональными основаниями в технике аналого цифрового и цифро-аналогового преобразования. Измерения, контроль, автоматизация, 1981, №6 (40), с. – Коды золотой пропорции. М.: Радио и связь, – Музей Гармонии и Золотого Сечения, 2006 http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html – Как устроены живые организмы. Там же, 2006а http://www.goldenmuseum.com/0603Organisms_rus.html Степанов А.И. Число и культура: Рациональное бессознательное в языке, литературе, науке, современной политике, философии, истории. М.: Языки славянской культуры, Степанов И.Н. Формы в мире почв. М.: Наука, Тимердинг Г. Е. Золотое сечение. Петроград.: Научн. изд., Уайльд Д.-Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, Успенский В. А. Треугольник Паскаля (Популярные лекции по математике, вып. 43). М.: Наука, Церетели Г.В. Метр и ритм в поэзии Руставели и вопросы сравнительной версификации. В кн.: Контекст 1973: Литературно-теоретические исследования. М.: Наука, 1974, с. 114– Шапиро И. С. Ядро атомное. В кн.: Физический энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983, с. 922– Шапоренко П. Ф., Лужецкий В. А. Гармоническая соразмерность частей тела человека и принцип обобщенного золотого сечения. Морфология, 1992, т. 103, №1112, с. 122– Шипицын Е.В., Попков В. В. Двойственность и золотое сечение в теории фракталов и хаоса. Вестник Меж дунар. инст. А. Богданова, 2001, №2 (6) с. 5– Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, Шмелев И.П. Третья сигнальная система. В кн.: И.Ш.Шевелев, М.А.Марутаев, И.П. Шмелев. Золотое сечениие.

Три взгляда на природу гармонии. М: Стройиздат, 1990, с. 235– Ю. Ф. В. Золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве (открытие профессора Цейзинга). М.Б Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Adler I., Barabe D., and Jean R. V. A History of the Study of Phyllotaxis. Annals of Botany, 80(3), 231–244 (1997) Andrews G.E., Askey R., and Roy R. Special Functions. In: Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71 Cambridge: Camb. Univ. Press, Arneodo A., Argoul F., Bacry E., Muzy J. F., and Tabard M. Golden Mean Arithmetic in the Fractal Branching of Diffusion-Limited Aggregates. Phys. Rev. Lett. 68 (23), 3456 (1992) Auluck F.C. On Some New Types of Partitions Associated with Generalized Ferrers Graphs. Proc. of the Cambridge Philos. Soc. 47 (examples 45 and 46), 679–686 (1951) Ball W.W.R. and Coxeter H. S. M. Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover, Barlow J. L. and Bareiss E. H. On Roundoff Error Distributions in Floating Point and Logarithmic Arithmetic.

Computing 34, 325– 347 (1985) Basin S. L. The Fibonacci Sequence Appears in Nature. The Fib. Quart. 1(1), 53–56 (1963) Benford F. The Law of Anomalous Numbers. Proc. Amer. Phil. Soc. 78, 551–572 (1938) Bergman G.A. A Number System with an Irrational Base. Math. Magazine 31, 98 Boles M. The Golden Relationship: Art, Math, Nature. Bradford, Massachusetts: Pythagorean Press, Boles M. and Newman R. Universal Patterns: The Golden Relationship: Art, Mathematics and Nature. Bradford, Massachusetts: Pythagorean Press, Bondarenko B. A. Generalized Pascal Triangles and Pyramids: Their Fractals, Graphs, and Applications. Santa Clara:

Fibonacci Association, Boulger W. Pythagoras Meets Fibonacci. Mathematics Teacher 82(4), 277– 282 (1989) Boyle J. An Application of the Fourier Series to the Most Significant Digit Problem. Amer. Math. Monthly 101, (1994) Braun S.R. Botany with a Twist. Science, l986 May, p. 63– Brook M. Fibonacci Formulas. The Fib. Quart. 1, 60 (1963) http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm Brooks R. GoDNA: The Geometry of DNA, 2001 http://www.brooksdesign-cg.com/Code/Html/godna2.htm Brousseau A. On the Trail of the California Pine. The Fib. Quart. 6(1), 69–76 (1968) Canright D. Fibonacci Gamelan Rhythms. Just International Network, 6 (4), 4 (1990) Church A. H. The Relation of Phyllotaxis to Mechanical Laws. London: Williams and Norgate, – On the Interpretation of Phenomena of Phyllotaxis. Riverside, New York: Hafner, Colman S. Nature’s Harmonic Unity: A Treatise on Its Relation to Proportional Form. Putnam’s, 1912 (reprinted in 1971 in New York: Benjamin Blom, Inc.) Conway J. H. and Guy R. K. Phyllotaxis. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 1995, р. 113 – – Fibonacci Numbers. Ibid. 1996, p. 111– Cook T. А. The Curves of Life. London, 1914 (reprinted in 1979 in New York: Dover) Coxeter H. S.M. The Golden Section, Phyllotaxis, and Wythoff’s Game. Scripta Mathematica 19, 135–143 (1953) – Introduction to Geometry. New York: Wiley, – Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 41 (1967) – The Golden Section and Phyllotaxis, Ch. 11. In: Introduction to Geometry. New York: Wiley, – The Role of Intermediate Convergents in Tait’s Explanation for Phyllotaxis. Journ. Algebra 10, 167–175 (1972) Coxeter H. S.M. and Greitzer S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 41 (1967) Davis T.A. Fibonacci Numbers for Palm Foliar Spirals. Acta Botanica Neerlandica 19, 236–243 (1970) – Why Fibonacci Sequence for Palm Leaf Spirals? The Fib. Quart. 9, 237–244 (1971) Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Deininger R.A. Fibonacci Numbers and Water Pollution Control. The Fib. Quart. 10(3), 299– 300, 302 (1972) Devaney R. The Mandelbrot Set and the Farey Tree, and the Fibonacci Sequence. Amer. Math. Monthly 106, 289– (1999) Dixon R. Mathographics. New York: Dover, Douady S. and Couder Y. Phyllotaxis as a Self-Organised Growth Process. In: Growth Patterns in Physical Sciences and Biology. New York: Plenum Press, р. 341–352 (1993) Duckworth G. E. Structural Patterns and Proportions in Virgil’s Aeneid: A Study in Mathematical Composition. Univ.

of Michigan Press, Dum Belle. Is the Universe a Dodecahedron? 2003 http://physicsweb.org/articles/1/7/10/5/ Dunlap R. A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, New Jersey, Flehinger B. J. On the Probability that a Random Integer Has Initial Digit A. Amer. Math. Monthly, 73, 1056– (1966) Gardner M. Mathematics, Magic and Mystery. New York: Dover, – Phi: The Golden Ratio. Ch. 8. In: The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, A New Selection. New York: Simon and Schuster, p. 89–103 (1961) – Mathematical Games: The Multiple Fascinations of the Fibonacci Sequence. Sci. Amer., Mar, p. 116–120 (1969) – Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments. Sci. Amer., New York: Knopf, p. 242245 (1979) – Notes on a Fringe-Watcher: The Cult of the Golden Ratio. Skeptical Inquirer 18, 243–247 (1994) Garland T. H. Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers. Palo Alto (Calif.): Dale Seymours Рublications, Garland T. H. and Kahn C.V. Math and Music. Dale Seymour, 2 Gessel I. Problem H-187: n Is A Fibonacci Number if and Only if 5n + 4 or 5n – 4 Is A Square. The Fib. Quart. 10, 417 (1972) Ghiorso A. et al. Phys. Rev. Lett. 22, 1317 (1969) Graham R.A. Property of Fibonacci Numbers. The Fib. Quart. 2, 1–10 (1964) Graham R.L., Knuth D.E., and Patashnik O. Fibonacci Numbers. §6.6 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2 nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 290– 301 (1994) Grnbaum B. and Shephard G. C. Tilings and Patterns. New York: W.H.Freeman & Co., Grzedzielski J. Energetyczno-geometryczny kod przygody. Warszava, Guy R. K. The Second Strong Law of Small Numbers. The Math. Magazine 63 (examples 3, 45, 46), p. 3–21 (1990) – Fibonacci Numbers of Various Shapes. §D26 in Unsolved Problems in Number Theory, 2 nd ed. New York:

Springer-Verlag, p. 194–195 (1994) Halton J. H. On a General Fibonacci Identity. The Fib. Quart. 3, 31–43 (1965) Hardy G.H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3 rd ed. New York: Chelsea, Hardy G. H. and Wright E.M. Introduction to the Theory of Numbers. Oxford: Oxford Univ. Press, Harris J. N. Spira Solaris. Arcbytas Mirabilis. Art IVd2b. The Three-fold Number http://www.spirasolaris.ca/sbb4d2b.html Haylock D. The Golden Section in Beethoven’s Fifth. Mathem. Teaching, 4, 56–57 (1978) Heavy Elements – Element 114. Discovery of Element 114 and the Island of Stability. Nuclear science, http://www-cms.llnl.gov/e114/e114.html Herz-Fischler R. A Mathematical History of the Golden Number. New York: Dover, Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Hill T. P. Base-Invariance Implies Benford ’s Law. Proc. Amer. Math. Soc. 123, 887– 895 (1995) – A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Stat. Sci. 10, 354–363 (1996) – The First Digit Phenomenon. Amer. Sci. 86, 358– 363 (1998) http://www.math.gatech.edu/~hill/publications/cv.dir/1st-dig.pdf Hilton P., Holton D., and Pedersen J. Mathematical Reflections: in a Room with Many Mirrors, Ch. 3. New York:

Springer-Verlag, р. 61–85, Hilton P. and Pedersen J. Fibonacci and Lucas Numbers in Teaching and Research. Journ. Math. Informatique 3, 36– 57 (1991–1992) – A Note on a Geometrical Property of Fibonacci Numbers. The Fib. Quart. 32, 386– 388 (1994) Hoang V. D. A Class of Arithmetic Burst-Error- Correcting Codes for the Fibonacci Computer. PhD Dissertation, University Maryland, Dec Hoffer W. A Magic Ratio Occurs Throughout Art and Nature. Smithsonian, p. 110 –120, Dec (1975) Hoggatt V. E.Jr. Number Theory: The Fibonacci Sequence. In: 1977 Yearbook of Science and the Future, Encyclopaedia Britannica, p. 178–191 (1977) Hoggatt V. E.Jr., Cox N., and Bicknell M. A Primer for the Fibonacci Numbers: Part XII. The Fib. Quart. 11, 317–331 (1973) Horadam A. F. Eight Hundred Years Young. Australian Math. Teacher 31(4), 123–134 (1975) Howat R. Debussy in Proportion. Cambridge: Camb. Univ. Press, – Architecture as Drama in Late Schubert. In: Schubert Studies, ed. B.Newboult. London: Scolar Press, р. 168– (1998) Hunter J.A. H. and Madachy J.S. Mathematical Diversions, Ch. 2. Princeton: Van Nostrand, Jean R.V. Growth Matrices in Phyllotaxis. Mathematical Biosciences 32, 165–176 (1976) – Mathematical Approach to Pattern and Form in Plant Growth. New York: John Wiley, – The Fibonacci Sequence. The UMAP Journ. 1, 23–47 (1984a) – The Use of Continued Fractions in Botany. UMAP Module 571, Modules and Monographs in Undergraduate Mathematics and Its Applications Project (1986) – On the Origins of Spiral Symmetry in Plants. In: Spiral Symmetry. New York: World Scientific, р. 323– (1992) – Phyllotaxis: A Systematic Study in Plant Morphogenesis. New York: Camb. Univ. Press, Jean R.V. and Johnson M. An Adventure into Applied Mathematics with Fibonacci Numbers. School Science and Mathematics 89(6), 487– 98 (1989) Johnson R. C. Matrix Methods for Fibonacci and Related Sequences, 2004 http:// maths.dur.ac.uk/ dma0rcj/PED/fib.pdf Johnson S.M. Best Exploration for Maximum Is Fibonaccian. Report P-856. RAND Corporation, Santa Monica, Jolly P. Ann. Phys. Chem. Leipzig, 5, 112 (1878) Jordan D.J. 3168 and the Feigenbaum Constant http://www.geocities.com/davidjayjordan/3168andtheFiegerbaumConstant.html Jordan P. Schwerkraft und Weltall. Braunschweig: Vieweg und Sohn, Jovanovic R.Golden Section. Zeising and Le Corbusier, http://milan.milanovic.org/math/english/golden/golden6.html Kanada Y. Sample Digits for Decimal Digits of Pi, Jan 18 (2003) http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html Kautz W.H. Fibonacci Codes for Syncronization Control. IEE Trans. Inform. Theory 11(8), 284 (1965) Knott R. The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers. Fibonacci Numbers and the Golden Section, http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) – Easier Fibonacci Puzzles. Ibid. 2008a http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html – Harder Fibonacci Puzzles. Ibid. 2008b http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html – Some Solid (Three-Dimensional) Geometrical Facts about the Golden Section. Ibid. 2008c http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi3DGeom.html Land F. The Language of Mathematics. New York: Doubleday, Larson P. The Golden Section in the Earliest Notated Western Music. The Fib. Quart. 16(6), 513– 515 (1978) Lawrence Livermore National Laboratory Report, UCRL-ID-151619 ( Lehmer D. H. Problem 3801. Amer. Math. Month., 43(9), 580 (1936) – On Arcotangent Relations for Pi. Am. Math. Month. 45, 657–664 (1938) Le Lionnais F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983, p. Lendvai E. Bla Bartk: an Analysis of his Music. London: Kahn & Averill, Leppik E. E. Phyllotaxis, Anthotaxis and Semataxis. Acta Biotheoretica 14, 1–28 (1961) Ley E. On the Peculiar Distribution of the U. S. Stock Indices Digits. Amer. Stat. 50, 311–313 (1996) Ligomenides P. and Newcomb R. Complement Representations in the Fibonacci Computer. In: Proc. of the 5 th Symposium on Computer Arithmetic, Ann Arbor, Michigan, May Linn C. F. The Golden Mean: Mathematics and the Fine Arts. Garden City, New York: Doubleday, Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, – The Golden Ratio and Aesthetics http://plus.maths.org/issue22/features/golden/ Lowman E. L. An Example of Fibonacci Numbers to Generate Rhythmic Values in Modern Music. The Fib. Quart.

9(4), 423– 426, 436 (1971) – Some Striking Proportions in the Music of Bla Bartk. The Fib. Quart. 9(5), 527– 528, 536–537 (1971а) Luminet J.-P. et al. Nature 425, 593 (2003) Luminet J.-P., Weeks J., Riazuelo A., Lehoucq R., and Uzan J.-P. Dodecahedral Space Topology as an Explanation for Weak Wide-Angle Temperature Correlations in the Cosmic Microwave Background.

arXiv:astro-ph/0310253, v.1, 9 Oct (2003a) Markowsky G. Misconceptions About the Golden Ratio. The College Math. Journ., January 23, 2–19 (1992) May M. Did Mozart Use the Golden Mean? Amer. Scientist, Mar/Apr (1996) Miller R. DaVinci Code III: The Creator Within, 2004 http://www.heartoftheinitiate.com/articles_davincicreator01.htm Monteiro P. and Newcomb R. Minimal and Maximal Fibonacci Representations: Boolean Generation. The Fib. Quart.

14 (1), 9 (1976) Muir H. Tantalising Evidence Hints Universe Is Finite. Special Report from New Scientist Print Edition. The World’s No 1 Science and Technology News Service, Mnzenberg G. et al. Z. Phys. A: Atoms and Nuclei 317, 235 (1984) Newcomb R. Fibonacci Numbers as a Computer Base. In: Conf. Proc. of the 2 nd Interamerican Conference on Systems and Informatics, Mexico City, Nov Newcomb S. Note on the Frequency of the Use of Digits in Natural Numbers. Amer. Journ. Math. 4, 39–40 (1881) Nigrini M. A Taxpayer Compliance Application of Benford’s Law. Journ. Amer. Tax. Assoc., 18, 72–91 (1996) Norden H. Proportions in Music. The Fib. Quart. 2(3), 219–222 (1964) O’Beirne T. H. Puzzles and Paradoxes. New York: Dover Press, 1965, ch. Oganessian Yu. Ts. et al. Phys. Rev. C 62, 041604(R) (2000) – Phys. Rev. C63, 011301(R) (2001) – Eur. Phys. Journ. A15, 201 (2002) – JINR Communication E7-2003-178 (2003) Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Ogilvy C.S. Excursions in Geometry. New York: Dover, 1990, p. 122– Ogilvy C. S. and Anderson J. T. Fibonacci Numbers, Ch. 11. In: Excursions in Number Theory. New York: Dover, p.

133–144 (1988) Pappas T. Fibonacci Sequence, Pascal’s Triangle, the Fibonacci Sequence & Binomial Formula, The Fibonacci Trick, The Fibonacci Sequence & Nature. In: The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 28–29, 40– 41, 51, 106, 222– 225 (1989) Pegg E.Jr. Math Games: Sequence Pictures, 2003 http://maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_08_03.html Penrose R. U.S. Patent 4133152 “Set of tiles for covering a surface,” patent issued Jan 9 (1979) Perez J.C. The DNA SUPRA-Code. Discovery, Proves and Evidence of the Hidden Language of DNA, http://www.genum.com/dna_supracode/dna_supracode.htm Phi and the Solar System. GoldenNumber.net, 2005 http://goldennumber.net/solarsys.htm Pitjeva E.V. Estimations of Masses of the Largest Asteroids and the Main Asteroid Belt From Ranging to Planets, Mars Orbiters and Landers. Solar System Resarch, 39, 176 (2005) Prusinkiewicz P. and Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants. New York: Springer-Verlag, Pure Appl. Chem. 73, 667– 683 (2001) Putz J. F. The Golden Section and the Piano Sonatas of Mozart. Mathematics Magazine 68(4), 275– 282 (1995) Raimi R.A. The Peculiar Distribution of First Digits. Sci. Amer. 221, 109–119 (1969) – The First Digit Phenomenon. Amer. Math. Monthly 83, 521–538 (1976) Ram R. Fibonacci Numbers Formulae, 2005 http://users.tellurian.net/hsejar/maths/fibonacci/ Ramanathan K. G. On Ramanujan’s Continued Fraction. Acta. Arith. 43, 209– 226, Raphael L. Some Results in Trigonometry. The Fib. Quart. 8, 371, 392 (1970) Read H. Education through Art, 3 rd ed. New York: Pantheon Books, Reid C. Julia: A Life in Mathematics. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., Reiter C. Fast Fibonacci Numbers. Mathematica Journ. 2, 58–60 (1992) Richards F. J. Phyllotaxis: Its Quantitative Expression and Relation to Growth in the Apex. Phil. Trans. B235, 509–564 (1951) Runion G. E. The Golden Section and Related Curiosa. Glennville, I L: Scott, Foresman, and Co., Schatte P. On Mantissa Distributions in Computing and Benford’s Law. Journ. Inform. Process. Cybernet. 24, 443–455 (1988) Shechtman D., Blech I., Gratias D., and Cahn J.W. Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and no Translational Symmetry. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984) Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise. New York: W.H. Freeman, Sroul R. The Fibonacci Numbers. §2.13. In: Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, p. 21–22 (2000) Siegele U. Bachs Theologischer Formbegriff und das Duett F-Dur. Neuhausen-Stuttgart, Stakhov A. P. Computer Arithmetic Based on Fibonacci Numbers and Golden Section: New Information and Arithmetic Computer Foundations. Toronto: SKILLSET Training, 1997 http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/ Stankovic R.S., Stankovic M., Astola J.T., and Egizarian K. Fibonacci Decision Diagram. Tampere International Center for Signal Processing, Steinhaus H. Mathematical Snapshots. New York: Oxford Univ. Press, Stern F. Fibonacci in Trigonometric Form, Problem B-374. The Fib. Quart. 17, 93 (1979) Stevens P. S. Patterns in Nature. London: Peregrine, Stewart I. Daisy, Daisy, Give Me Your Answer, Do. Sci. Amer., Jan – Mathematical Recreations: Fibonacci Forgeries. Sci. Amer., May 1995а.

Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Sutton C. Sunflower Spirals Obey Laws of Mathematics. New Scientist, p. 16, 18 Apr (1992) The Fibonacci Quarterly, Problem B-218. 10, 335– 336 (1972) Thompson d’Arcy W. On the Growth and Form. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1952 (reprinted in 1992 in New York: Dover) Trigg C. W. Geometric Proof of a Result of Lehmer’s. The Fib. Quart. 11, 539–540 (1973) Trott M. The Mathematica Guide Book for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 175 (2004) van Zanten A.J. The Golden Ratio in the Arts of Painting, Building, and Mathematics. Nieuw Arch. Wisk. 17, 229–245 (1999) Varnadore J. Pascal’s Triangle and Fibonacci Numbers. Mathematics Teacher 84(4) (1991) Vogel H. A Better Way to Construct the Sunflower Head. Math. Biosci. 44, 179–189 (1979) Wahl M. A Mathematical Mystery Tour: Higher-Thinking Math Tasks. Tucson, AZ: Zephyr Press, Walser R. Der Goldene Schnitt. Stuttgart: Teubner, Washington L. C. Benford’s Law for Fibonacci and Lucas Numbers. The Fib. Quart. 19(2), 175 –177 (1981) Watson G. N. Theorems Stated by Ramanujan (IX ): Two Continued Fractions. Journ. London Math. Soc. 4, 231– (1929) Weisstein E.W. Lambert W-Function. From MathWorld – A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex (Eng.): Penguin Books, p. 36–49, 61–67 (1986) – The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 87–88 (1991) Williams R. The Golden Proportion. §2–7 in The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, p. 52–53 (1979) Winter M. WebElements TM Professional edition, 2006 http://www.webelements.com/ Wlodarski J. The Golden Ratio and the Fibonacci Numbers in the World of Atoms. The Fib. Quart. 1 (4), 61–63 (1963) Wrench J. W. Review of B.H.Hannon and W.L.Morris. Tables of Arithmetical Functions Related to the Fibonacci Numbers. Math. Comput. 23, 459– 460 (1969) Young R. M. Excursions in Calculus: An Interplay of the Continuous and the Discrete. Dolciani Math. Expositions N 13, Math. Association of America, Ch. 3 (1992) Zeckendorf E. Reprsentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas.

Bulletin Soc. Roy. Sci. Lige 41, 179–182 (1972) – A Generalized Fibonacci Numeration. The Fib. Quart. 10, 365–372 (1972а) Zylinski E. Numbers of Fibonacci in Biological Statistics. In: Atti dei Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 1928. Roma: Accademia dei lincei. 4, 153 –156 (1928) Монография "Фундаментальная теория ЛМФ" Глава 5. Принцип золотого сечения (продолжение) Символ теории ЛМФ:

шри янтра со вписанными в нее основными элементами теории Монография Глава 4 Глава Принцип золотого Обобщенная теория сечения золотой пропорции Гостевая Спасибо за посещение.

Автор с признательностью ознакомится с любыми замечаниями по содержанию сайта или отдельных его частей, высказанными на форуме или полученными по адресу: hrantara@gmail.com

Pages:     | 1 ||
 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.