авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Министерство образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Н. ЯКОВЛЕВ ...»

-- [ Страница 2 ] --

2) Детализация. Выбирается определенный порог для детализирующих ко эффициентов. Например, используем функцию [thr,nkeep] = wdcbm(c,l,alpha,m), возвращающую порог thr относительно установленного уровня и число сохра ненных коэффициентов nkeep. Параметр alpha обычно устанавливается рав ным 1.5 для сжатия и 3.0 для удаления шума.

3) Вейвлет-восстановление. Выполняется функцией wdencmp(.).

Ниже дан листинг загрузки сигнала, его очистка от шума с компрессией и построение исходного и очищенного сигналов (рис. 2.20 ):

function noismima load noismima;

x = noismima;

wname = 'db4';

lev = 5;

[c,l] = wavedec(x,lev,wname), alpha = 2;

m = 2*l(1);

[thr,nkeep] = wdcbm(c,l,alpha,m);

[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('lvd',c,l,wname,lev,thr,'h');

subplot(211), plot(x), title('Original signal');

axis([0,500,-10,10]) subplot(212), plot(xd), title('Compressed signal');

axis([0,500,-10,10]) xlab1 = ['2-norm rec.: ',num2str(perfl2)];

xlab2 = ['% -– zero cfs: ',num2str(perf0),'%'];

xlabel([xlab1 xlab2]) end Рис. 2. С примером желательно поэкспериментировать, меняя вид тестового сиг нала, уровень декомпозиции lev, параметры alpha и m, типы порогов и вейв летов.

Пример 2.7. Очистка от шума бигармонического сигнала Вид сигнала и его параметры те же, что и в примере 2.2.

1) Наилучшее дерево. Как уже отмечалось, пакетные вейвлет-алгоритмы могут быть использованы для очистки от шума и сжатия сигнала. Пример применения функции besttree (наилучшее дерево по критерию энтропии) представлен ниже:

function binar_tree t = 0:0.000001:0.001024;

A1 = 1;

A2 = 1;

F1 = 10000;

F2 = 2*F1;

a = 90;

b = 90;

s1(1:200) = 0;

a1 = a*0.0174533;

a2 = b*0.0174533;

t2 = 0.0002:0.000001:0.0008;

s2 = A1*sin(2*pi*F1*t2-a1) + A2*sin(2*pi*F2*t2-a2);

s3(1:224) = 0;

s = [s1 s2 s3];

randn('state',0);

g = 0.5;

n = g*randn(size(t));

x = s + n;

wpt = wpdec(x,3,'db4');

wpt = wpsplt(wpt, [3 0]);

plot(wpt) bst = besttree(wpt);

plot(bst);

end Наилучшее дерево показало на рис. 2.21, а слева;

оно действительно коро че полного дерева. Справа представлен исходный сигнал – временная зависи мость в узле (0,0). Для получения временной зависимости в нужном узле надо установить на него мышь и щелкнуть её левой клавишей. Рекомендуется про смотреть диаграммы сначала в первых узлах (1,0) и (1,1) дерева, чтобы «по чувствовать» разделение сигнала на низкочастотную и высокочастотную со ставляющие. Затем, перемещаясь по дереву вниз, можно наблюдать форму отфильтрованного НЧ-сигнала (левые ветви) и подавляемой ВЧ составляю щей. На рис. 2.21, б, в даны временные диаграммы в узлах (2,0) и (4,0), т.е. в левых ветвях дерева. Это декомпозиция (аппроксимация) сигнала второго и четвертого уровней. Очевидна очистка аппроксимированного сигнала и его сжатие (соответственно в 4 и 16 раз).

(0,0) (1,1) (1,0) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (4,0) (4,1) a в б Рис. 2. Для восстановления (реконструкции) очищенного сигнала (в первоначаль ном масштабе времени) необходимо выполнить обратное ДВП, отсекая при этом высокочастотные компоненты, т.е. осуществляя пороговую обработку.

2) Глобальный порог. Для удаления шума при реконструкции сигнала используем функцию wpdencmp (см. прил. П.2.6) с применением глобального порога THR, который описывается функцией wpbmpen и получается по «штрафному» методу Бирге-Массарта [13]:

function binar_de_noise t = 0:0.000001:0.001;

A1 = 1;

A2 = 1;

F1 = 10000;

F2 = 2*F1;

a1 = 0;

a2 = 0;

s1(1:200) = 0;

t2 = 0.0002:0.000001:0.0008;

s2 = A1*sin(2*pi*F1*t2-a1) + A2*sin(2*pi*F2*t2-a2);

s3(1:200) = 0;

s = [s1 s2 s3];

randn('state',0);

g = 0.5;

n = g*randn(size(t));

x = s + n;

wname = 'db4';

lev = 4;

tree = wpdec(x,lev,wname);

det1 = wpcoef(tree,2);

sigma = median(abs(det1))/0.6745;

alpha = 2;

thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha);

keepapp = 1;

xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);

subplot(311), plot(s), title('Исходный сигнал');

axis([0,1000,-3,3]) subplot(312), plot(x), title('Зашумленный сигнал');

axis([0,1000,-3,3]) subplot(313), plot(xd), title('Очищенный сигнал');

axis([0,1000,-3,3]) end Графики исходного и очищенного сигналов приведены на рис. 2.22.

Рис. 2. С этим примером можно также поэкспериментировать, меняя среднеквад ратическое значение шума, уровень декомпозиции lev, параметры alpha и sigma, тип и/или порядок вейвлета.

В табл. 2.2 в качестве примера приведены результаты исследований влия ния уровня декомпозиции lev на среднеквадратическое значение шума y после ВП, на погрешности и измерения фазового сдвига (см. при % мер 2.2).

Т а б л и ц а 2. 1 2 3 4 lev y, В 0.307 0.208 0.128 0.108 0., град –5.346 –5.050 –4.901 –4.657 –9., град 14.81 14.79 14.09 13.78 18. Очевидно, что существует оптимальное значение lev ( levopt = 4 ), при ко тором отклонение и среднеквадратическая ошибка в измерении фазо вого сдвига эхосигнала минимальны. При lev levopt наряду с дальнейшим подавлением шума происходит искажение формы бигармонического импульс ного сигнала, что приводит к росту и.

Пример 2.8. Очистка от шума звукового сигнала Рассмотрим случай использования функции wden(.). Эта функция осуще ствляет автоматическое одномерное подавление шума (см. прил. П.2.7). Пра вило выбора порога определяется аргументами ' SORH ' (гибкий ' s ' или жест кий ' h ' порог) и TPTR : ' rigrsure ' – использует алгоритм Штейна несмещенной оценки риска, ' heursure ' – эвристический вариант предыдущего алгоритма, ' sqtwo log' – инверсный порог, 'min i max i ' – минимаксный порог.

function mtlb1_noise load mtlb;

s = mtlb(501:1000);

subplot(411), plot(s);

title('Исходный звуковой сигнал');

axis([0,500,-3,3]);

t=(0:0.000001:0.000499);

randn('state',0);

g = 0.6;

n = g*randn(size(t))';

x = s + n;

subplot(412), plot(x);

title('Зашумленный звуковой сигнал');

axis([0,500,-3,3]);

lev = 3;

xdm = wden(x, 'minimaxi', 's', 'sln', lev, 'db4');

subplot (413), plot(xdm), title('Minimax');

axis([0,500,-3,3]) xdr = wden(x, 'rigrsure', 'h', 'sln', lev, 'db4');

subplot (414), plot(xdr), title('Rigrsure');

axis([0,500,-3,3]);

end Рис. 2.23 дает наглядное представление о результатах очистки с помо щью порогов minimax и rigrsure. Рекомендуется поэкспериментировать с раз Рис. 2. личными: среднеквадратичскими значениями шума, уровнями декомпози ции lev, типами порога (‘s’ или ‘h’) и правилами выбора порога ( ' rigrsure ', ' heursure ', ' sqtwo log', 'min i max i ' ).

Глава Двумерное вейвлет-преобразование.

Обработка изображений 3.1. Двумерные вейвлеты До сих пор рассматривался одномерный сигнал. При об работке изображений приходится иметь дело с двумерными массивами S ( x, y ). Пусть они, как и прежде, задаются в про странстве V = {x, y} R 2, но теперь как функции двух перемен ных x и y. В этом случае вместо выражения для одномерной вейвлет-функции вида (1.11) можно воспользоваться двумерным аналогом x b1 x b,, (3.1) a1a2 a1 a где a1 и a2, b1 и b2 – значения a и b по каждому измерению.

Для двумерного диадного ВП непрерывных сигналов:

a = 2m, b = k 2m = ka, m,k = 2 m / 2 (2 m V k ), m,k = 2 m / 2 (2 m V k ). (3.2) Для ВП дискретных изображений и построения быстрых ал горитмов обработки следует исходить из двумерного КМА.

Общий подход к определению КМА для многомерного случая рассмотрен в [ 3].

Однако на практике поступают проще. Многомерный и, в частности, двумерный КМА строят как тензорное произведение одномерных КМА. При таком подходе отцовский и материн ский вейвлеты будут сформированы следующим образом:

( x, y ) = ( x)( y ), (3.3) LH ( x, y ) = ( x)( y ), HL ( x, y ) = ( x)( y ), HH ( x, y ) = ( x) ( y ), (3.4) где индексы H и L означают реализацию фильтров ВЧ и НЧ составляющих.

Тогда двумерные вейвлеты запишутся в виде:

2 m (2 m x k )(2m y l ), 2 m (2 m x k ) (2m y l ), (3.5) 2 m (2 m x k )(2m y l ), 2 m (2 m x k ) (2m y l ).

Таким образом, на двумерной плоскости происходит анализ по горизонтали, вертикали и диагонали с одинаковым разрешением в соответствии с тремя приведенными выше вейвлетами.

Рассмотрение многомерных вейвлетов (мультивейвлетов) возможно и с позиций блоков мультифильтров. Такой подход дан в [1].

3.2. Двумерное ДВП Формулы ДВП двумерных сигналов и изображений, скон струированные с учетом приведенных выше соотношений (3.5), использованы в инструмен-тальных пакетах существующих СКМ, включая Wavelet Toolbox.

На основе частотного подхода к ВП, рассмотренного в п. 2.6, прямое ВП изображения происходит следующим образом.

Предположим, что имеем изображение размером N N (рис. 3.1, а). Первоначально каждая из N строк изображения делится (фильтруется) на низкочастотную (НЧ) и высокочас тотную (ВЧ) половины. В результате получается два изображе ния размером N N / 2 (рис. 3.1, б). Далее каждый столбец де лится точно также, в итоге получается четыре изображения размером N / 2 N / 2 (рис. 3.1, в): НЧ по горизонтали и верти кали (НЧНЧ1), ВЧ по горизонтали и вертикали (ВЧВЧ1), НЧ по горизонтали и ВЧ по вертикали (НЧВЧ1) и ВЧ по горизонтали и НЧ по вертикали (ВЧНЧ1). Первое из указанных выше изобра жений делится аналогичным образом на следующем шаге (уровне) преобразования (рис. 3.1, г) и т.д.

Исходное изображение N N /2 N N / размером N N а б НЧНЧ ВЧНЧ ВЧНЧ1 ВЧНЧ НЧНЧ НЧВЧ НЧВЧ НЧВЧ1 НЧВЧ1 ВЧВЧ ВЧВЧ г в Рис. 3. На рис. 3.2 даны реальное изображение (слева) и результат первого уровня его вейвлет-анализа, т.е. четыре изображения (слева направо, сверху вниз): НЧНЧ1, ВЧНЧ1, НЧВЧ1 и ВЧВЧ1.

Рис. 3. Ряд примеров по анализу и реконструкции изображений, их компрессии и очистке от шума дан в разделе GUI Wavelet Tool box, который активизируется кнопкой Wavelet-2D.

Рис. 3. На рис. 3.3 приведен один из этих примеров: в верхнем ле вом углу приведено реальное изображение (гамадрил);

в ниж нем правом углу дано его вейвлет-разложение (dwt2) на прямо угольные сегменты на уровне 2;

в левом нижнем углу – реконструкция изображения (idwt2);

в правом верхнем углу ил люстрируется участок декомпозиции изображения (для этого достаточно выделить мышью фрагмент декомпозиции изобра жения и щелкнуть ей на кнопке Visualize;

кнопки Full Sitze и Re construct позволяют вывести в максимальном размере соответ ственно декомпозицию и реконструкцию изображения).

Для двумерного ВП могут также успешно использоваться пакетные вейвлеты. Рис. 3.4 демонстрирует пример такого рода.

В левой части окна приведены четыре изображения: вейвлет дерева первого уровня (верх слева), анализируемого изображе ния (верх справа), изображения в узле (1,0) (низ слева) и пакет ного разложения (низ справа). Меню в правой части окна позво ляет выбирать различные типы дерева, проводить анализ (де композицию), очистку от шума и компрессию изображения.

(0,0) (1,0) (1,1) (2,1) (2,2) Рис. 3. Еще некоторые примеры двумерного ВП (рис. П.8 и П.9) да ны в прил. П.1. Функции двумерных ДВП и пакетных вейвлет алгоритмов, предназначенные для практического применения обработки сигналов и изображений, приведены в прил. (П.2.4 – П.2.6).

3.3. Удаление шумов и компрессия изображений Решения этих задач осуществляется аналогично случаю одномерных сигналов (см. п.2.8). Осуществляется пороговое ограничение уровня детализирующих коэффициентов. Задав определенный порог и «отсекая» коэффициенты ниже этого по рога, можно значительно снизить уровень шума и сжать изо бражение.

На рис.3.5. приведен пример очистки от шума изображения, взятый из графического интерфейса пользователя GUI (Wavelet 2-D). В левом верхнем углу дано зашумленное изображение, а в правом верхнем – очищенное. Ниже даны гистограммы детали зирующих коэффициентов по горизонтали, диагонали и верти кали, там же штриховыми линиями указаны выставленные по роги. Использован самый простой вейвлет – db2. Результат очистки очевиден.

Рис. 3. Рассмотрим примеры очистки и сжатия изображений при работе MATLAB в командном режиме.

Пример 3.1. Очистка изображения от шума Ниже приведен фрагмент программы очистки изображения, которое за гружено из файла neissi2d. При этом использованы функции wpbmpen (уста новка глобального порога) и wpdencmp (удаление шумов и сжатие изображе ний) (см. прил. П.2.7):

load noissi2d;

nbc = size(map,1);

wname = 'db8';

lev = 2;

tree = wpdec2(X,lev,wname);

det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];

sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745;

alpha = 1.1;

thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha);

keepapp = 1;

xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);

colormap(pink(nbc));

subplot(221), image(wcodemat(X,nbc));

title('Исходное изображение') subplot(222), image(wcodemat(xd,nbc));

title('Очищенное изображение') end На рис. 3.6 приведены исходное (слева) и очищенное от шума (справа) изображения, полученные при исполнении программы.

Рис. 3. С этим примером рекомендуется поэкспериментировать. В частности, можно задать выходные параметры в полной форме и найти нормы восста новления и сжатия изображения.

Пример 3.2. Компрессия изображения - отпечатка пальца Этот пример применения сжатия стал классическим. В свое время ФБР использовало ВП для сжатия информации, в результате этого удалось хранить большой объем отпечатков пальцев в простых компьютерах с небольшим объ емом памяти, что сэкономило значительные средства.

Ниже приведена упрощенная программная реализация, в которой исполь зованы функции порога двумерного вейвлета ( wdcbm 2 ) и удаления шума и сжатия ( wdencmp ):

function detfingr load detfingr;

nbc = size(map,1);

wname = 'sym4';

lev = 3;

[c,s] = wavedec2(X,lev,wname);

alpha =1.5;

m = 2.7*prod(s(1,:));

[thr,nkeep] = wdcbm2(c,s,alpha,m);

[xd,cxd,sxd,perf0,perfl2] = wdencmp('lvd',c,s,wname,lev,thr,'h');

colormap(pink(nbc));

subplot(221), image(wcodemat(X,nbc)), title('Исходное изображение');

subplot (222),image(wcodemat(xd,nbc)), title('Сжатое изображение');

xlabl = ['2-norm rec. :', num2str(perfl2)];

xlab2 = [' % - zero cfs: ',num2str(perf0), '%'];

xlabel([xlabl xlabl2]) end На рис. 3.7 приведены исходный и сжатый отпечатки пальца;

при этом бо лее 94 % коэффициентов обнулено, а в оставшихся сосредоточено 98 % от энергии всех коэффициентов разложения. Несмотря на то, что сжатие осуще ствлено в десятки раз, качество изображения остается вполне хорошим. По этому объем архива отпечатков пальцев для криминалистических отделов мо жет быть существенно уменьшен.

Рис. 3. Аналогично можно сжимать снимки в картографии, медицине, геологии и других областях.

К сжатию изображений проявляется значительный интерес во всем мире. Это обусловлено стремительным развитием циф ровой техники обработки изображений, цветных принтеров, графических мониторов, цифровых фото- и видеокамер и т.п.

Изображение, представленное в цифровом виде, имеет довольно большой объем в битах. Например, цветное изображение разме ром 512х512 требует для своего хранения 768 кбайт, а если пе редавать видеопоследовательность таких изображений со скоро стью 25 кадров в секунду, то требуемая скорость составит 188 Мбит/с.

Кроме ситуации, рассмотренной в примере 3.2, когда требу ется хранить большой объем информации в компьютере с огра ниченной памятью, возможны еще другие ситуации.

Например, требуется сохранить качество изображения (фо тографии или фильма) таким, чтобы даже экспертиза не отли чила сжатую копию от оригинала. В этом случае компрессия окажется небольшой (коэффициент сжатия от 3 до 5). Это ре жим сжатия почти без потерь.

В другой ситуации может потребоваться, наоборот, большая компрессия, когда сигнал или изображение передаются по ка налу с ограниченной пропускной способностью, либо когда вся процедура анализа и синтеза информации должна быть осуще ствлена за кратчайшее время и результат должен быть передан немедленно и по возможности дешевле. Это режим сжатия с допустимыми потерями, при котором коэффициент сжатия мо жет достигать сотен и даже тысяч.

Поэтому в разных ситуациях надлежит выбирать соответст вующие вейвлеты для оптимизации всей процедуры ВП (анали за и синтеза) [24]. Тем не менее, для любой из этих ситуаций ВП имеет преимущество по сравнению с методами кодирования, использующими оконное преобразование Фурье, при этом ко личественные показатели такого выигрыша зависят от постав ленной задачи [19].

И еще следует отметить, что принципиальное отличие проце дуры компрессии с помощью ДВП от широко распространенного сжатия по стандарту JPEG состоит в том, что она работает со всем изображением, в то время как в JPEG изображение разбива ется на блоки, которые сжимаются независимо. В случае ВП можно подобрать такую базисную вейвлет-функцию, которая адаптирована к наиболее информативным особенностям изобра жения. Здесь адаптивность понимается в том смысле, что элемен ты или участки изображения с довольно плавным изменением яр кости представляются небольшим числом вейвлет-коэффициентов.

3.4. Видеокодеки семейства ADV6XX Эти видеокодеки разработаны фирмой Analog Devices и предназначены для сжатия и реконструкции видеоинформации в реальном масштабе времени с применением ВП. Семейство со стоит из четырех микросхем (см. табл. 3.1 [1]).

Принцип функционирования микросхем примерно одинаков и состоит из вейвлет-преобразования, квантования и энтропий ного кодирования (рис. 3.8).

Вейвлет-преобразование изображения выполняется его фильтрацией в горизонтальном и вертикальном направлениях при помощи биортогональных вейвлет-фильтров. Каждый из трех компонентов цветного видеосигнала (Y, Gr, Gb) подвергает ся ВП – двумерной фильтрации и децимации в два раза ( 2 ) на каждом уровне (шаге) разложения, давая 14 новых изображений.

Итого получается 42 изображения (блока), несущих информа цию об исходном изображении. Микросхемы функционируют в одном из двух режимов:

сжатие почти без потерь информации, сжатие с допустимыми потерями.

Т а б л и ц а 3. Микросхема ADV601 ADV601LC ADV611 ADV Разрядность, бит 10 8 8 Возможность подкл. ЦПОС через RS-порт Есть Нет Нет Нет Число выводов корпуса 160 120 120 Диапазон рабо чих температур 0 – +70° С 0 – +70° С 0 – +70° С –25 – +85° С Регулирование частоты кадров Программно Программно Аппаратно Аппаратно Режим стоп-кадра Нет Нет Есть Есть Возможность выделения части кадра Нет Нет Есть Есть Оценочная плата (evaluation board) VideoLab VideoPipe CCTVPIPE CCTVPIPE Возможная об- Профессио- Бытовая Кабельное Кабельное ласть применения нальная техника телевидение телевидение В первом режиме 42 блока кодируются без квантования обо ими типами энтропийных кодеров. Коэффициент сжатия, зави сящий от сложности и высокочастотности исходного изображе ния, находится в диапазоне от 2:1 до 5:1.

Энтропийное Набор Адаптивный Видео Сжатые кодирование:

фильтров квантователь данные данные - длин серий;

ВП - Хаффмана Рис. 3. В режиме сжатия с допустимыми потерями используется процедура квантования. При этом квантователь построен со гласно модели зрения человека и использует информацию, из влекаемую из 42 блоков – ряд таких статистик, как сумма квад ратов, минимальное и максимальное значение пикселя и другие для каждого блока. На основе этих данных и с учетом требуе мой скорости цифрового потока квантователь выдает 42 вели чины для каждого блока, на основании которых осуществляется правильное распределение бюджета бит для различных блоков.

Этим и достигается высокая степень сжатия – вплоть до 350:1, а в видеокодеках ADV611 и ADV612 – до 7500:1.

С микросхемой поставляется программное обеспечение, что позволяет перепрограммировать микросхему, например, для достижения еще больших коэффициентов сжатия с применени ем межкадрового кодирования.

На базе микросхемы ADV601 разработаны платы кодирова ния и обработки видеоинформации для персональных компью теров.

Микросхемы ADV611 и ADV612 имеют режим стоп-кадра, а также позволяют выделить в кадре прямоугольный фрагмент произвольного размера. Изображение внутри фрагмента может декодироваться с максимально возможным качеством (разреше нием), а оставшаяся часть кадра – с допустимыми потерями ка чества.

Более подробную информацию об этих микросхемах можно получить в [1] или на сайте фирмы Analog Devies:

http//www.analog.com.

В заключение следует отметить, что во всем мире продол жаются интенсивные работы по разработке вейвлет-алгоритмов кодирования изображений и видеокодеков на основе ВП.

Заключение В книге сделана попытка сжато изложить основы теории не прерывного, дискретного и быстрого вейвлет-преобразования (ВП), а также ознакомить читателя с некоторыми практически ми приложениями и компьютерным «инструментарием» ВП.

За короткий срок теория и практика ВП получили револю ционное развитие. Об истории исследований вейвлетов (вспле сков) в мире и России можно узнать из статьи В. Спиридонова «Всплеск революций» и краткой заметки Ю. Фаркова «Мелко волновый анализ», опубликованных в журнале «Компьютерра», 1998, № 8.

Уникальные свойства вейвлетов, ВП и быстрые алгоритмы ВП сделали их мощным и эффективным инструментом анализа и синтеза сигналов и изображений различной природы.

Число публикаций неуклонно растет и не поддается учету из-за огромного количества практических приложений. Круг вопросов по применению ВП так обширен, что для его описания потребовалось бы многотомное издание. За счет применения ВП уже получены хорошие результаты во многих областях науки, техники, медицины и экономики.

Прежде всего, ВП используется в задачах анализа нестацио нарных сигналов, где оно оказывается более эффективным, чем традиционное преобразование Фурье, и используется в: радио технике и радиосвязи [1–4, 7, 8, 13, 14, 19–21, 24–32, 36–38];

физике [15, 16, 19, 20, 31];

лазерной технике [17];

сейсмо- и гид роакустике [33, 38];

медицине и биологии [4, 19];

гидродинами ке [12, 22], метеорологии [15], авиации [19] и др.

Известны многообещающие результаты применения ВП в цифровой связи [1, 21, 24, 28] и, в частности, в трансмультип лексорах, в системах с широкополосными сигналами. Перспек тивно применение вейвлет-пакетов для скрытой связи и в сис темах с многостанционным доступом.

ВП широко используется для очистки от шума и сжатия сиг налов, изображений и мультимедиа-информации [1, 3, 7–10, 19, 24, 28, 35, 38]. Во введении уже отмечалось, что ВП легло в ос нову международных стандартов по сжатию изображений MPEG-4, JPEG-2000, графических программных средств Corel, видеокодеров фирмы Analog Devices, стандарта ФБР по сжатию отпечатков пальцев. Применению вейвлетов в компьютерной графике посвящена книга [9].

Вейвлеты применяются для обнаружения сигнала на фоне помех и его распознавания [19, 23, 36]. Например, ВМС США использовали ВП для обнаружения и распознавания подводных лодок. Многие исследователи за рубежом и в России применяют ВП для обнаружения и распознавания локальных особенностей электрокардиосигнала [4, глава 3]. Поскольку ВП сравнительно легко обобщается на множества любых размерностей, оно мо жет использоваться для анализа и распознавания многомерных образов.

ВП находит все более широкое применение в исследовании и прогнозе временных рядов. Фактически временным рядом яв ляется любая функция (или сигнал), представленная в отдель ные моменты времени. Кроме уже рассмотренных дискретных сигналов временным рядом может быть последовательность от счетов температуры или давления среды, стоимость акций или курс доллара в определенные моменты времени, Интернет трафик и т.п. В отечественной литературе перспективы приме нения ВП для анализа временных рядов рассмотрены в работе [15]. Известны успешные попытки применения ВП для прогно зирования таких событий, как прогноз погоды, возникновение землетрясений, цунами и других природных катаклизмов, раз рушения различных двигателей, событий типа «черного вторни ка» (как случившегося в США, так и у нас) и др. Лишь два инте ресных примера: предсказание разноса авиационного двигателя с помощью ВП подробно описано в обзорной статье [19], выяв ление финансового кризиса путем построения вейвлет-спектра курса закрытия акций компании Лукойл – в книге [8].

Высказываются предположения, что человеческие органы зрения и слуха функционируют по принципу ВП [26].

Возможности ВП ещё не полностью реализованы, а потому можно ожидать новых интересных приложений. Однако хоте лось бы предостеречь от моды на вейвлеты и эйфории об уни версальности ВП. Как уже отмечалось, ВП не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его досто инств. Оно разработано для тех задач, которые оказались «не по зубам» ПФ, и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с другой позиции.

Более углубленно ознакомиться с теорией и применением ВП читатель может по приводимому ниже списку литературы.

Следует особо выделить книгу В.И. Воробьева и В.Г. Грибунина [1], в которой не только изложены вопросы теории ВП, но и разработаны принципы построения вейвлет-фильтров, описаны практические аспекты осуществления преобразования, приведе ны технические данные о микросхемах ADV6xx, выполняющих сжатие изображений и видео на основе ВП. Также следует обра тить внимание читателя на книгу В.П. Дьяконова [8], в которой впервые, наряду с теорией по вейвлетам, описаны наиболее из вестные компьютерные пакеты по вейвлетам – Wavelet Toolbox, Wavelet Extension Pack, Wavelet Explorer, используемые систе мами компьютерной математики соответственно MATLAB 6.0/6.1, Mathcad-2001 и Mathematica 4.

Разумеется, прилагаемый список отечественной литературы далек от полноты. Для получения информации о текущем со стоянии исследований по вейвлетам и применению ВП можно пользоваться Интернет-сайтами, ссылки на которые приведены в конце списка литературы.

Список литературы Книги 1. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет преобразования. – СПб.: Изд-во ВУС, 1999. – 208 с.

2. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во 000 «МОДУС», 1999. – 152 с.

3. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. – 132 с.

4. Истомина Т.В.,Чувыкин Б.В., Щеголев В.Е. Применение теории wave lets в задачах обработки информации: Монография. – Пенза: Изд-во Пенз. Гос.

ун-та, 2000. – 188 с.

5. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Москва-Ижевск: НИЦ «Ре гулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

6. Чуи Т.К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.

7. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер. 2002. – 608 с.

8. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 446 с.

9. Cтолниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике.

Теория и приложения. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 272 с.

Разделы по вейвлетам из книг 10. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций. Сжатие чис ленной информации. Приложения. – Екатеринбург, 1999. Гл. 1, разд. «Всплески». – С. 127–150.

11. Кашин Б.С., Саакян А.Д. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ. Гл. 7 «Вве дение в теорию всплесков». – С. 244–296.

12. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. – Пермь, 1999. Ч. II, гл. 6 «Иерархические модели турбулентности и вейвлеты». – С. 71– 108.

13. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая шко ла, 2000. Глава 2, разд. 2.6. «Вейвлет-анализ». – С. 65–68.

14. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания: Учеб. пособие / В.Я.Баскей, В.Н. Васюков, Л.Г. Зотов, В.М. Меренков, В.П. Разинкин, А.Н. Яковлев/ Под ред. проф. А.Н. Яковлева. – Новосибирск: НГТУ, 2002.

Гл. 16 «Основы вейвлет-преобразования сигналов». – С. 287–307. Приложе ние 13 «Примеры вейвлет-преобразований с использованием компьютера». – С. 331–340.

Статьи, диссертации, доклады 15. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры примене ния // Успехи физических наук. – 1998.– Т. 166. – № 11. – С. 1145–1170.

16. Будников Е.Ю., Кукоев И.Ф., Максимов А.В. Вейвлет- и Фурье-анализ электрических флуктуаций в полупроводниковых и электрохимических систе мах // Измерительная техника. – 1999. – № 11. – С. 40–44.

17. Гречихин В.А., Евтихиева О.А., Есин М.В., Ринкевичус Б.С. Примене ние вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемомет рии // Автометрия, 2000. – № 4. – С. 51–58.

18. Дольников В.А., Стрелков Н.А. Оптимальные вейвлеты // Изв. Туль ского гос. ун-та, серия математика, механика, информатика, 1997. – т. 4. – № 5. – С. 62–66.

19. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использова ние // Успехи физических наук, 2001. – т. 171. – № 5. – С. 465–501.

20. Дремин И.М.,Иванов О.В., Нечитайло В.А. Практическое применение вейвлет-анализа // Наука производству, 2000. – № 6. – С. 13–15.

21. Желудев В.А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн вейвлетов и вейвлет-пакетов // ДАН, 1997. – т. 355. – № 5. – С. 592–596.

22. Захаров В.Г. Разработка и применение методов вейвлет-анализа к не линейным гидродинамическим системам: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Пермь, 1997. – 84 с.

23. Иванова Т.И., Шишенков В.А. Вейвлет-спектр – новый инструмент для диагностики / Сб. матер. Межд. научн.-техн. конф. «Новые материалы и тех нологии на рубеже веков». – Пенза, 2000. – Ч. 2. – С. 187–189.

24. Кобелев В.Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сигналов / Сб. тез. докл. Науч.-техн. конф. «Современные проблемы естество знания. Физика». – Ярославль, 1999. – С. 38–39.

25. Кноте Карстен. Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах «wavelet» функций. Автореф. дисс. … канд. техн. наук. – Спб., 2000. –16 с.

26. Кравченко.В.Ф., Рвачев В.А. «Wavelet»-системы и их применение в об работке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника, 1996. – № 4. – С. 3–20.

27. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Сравнительное изучение двух вейв летных базисов // Проблемы передачи информации, 2000. – Т. 36. – Вып. 2. – С. 27–37.

28. Малоземов В.Н., Певный А.Б., Третьяков А.А. Быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Про блемы передачи информации, 1998. – Т. 34. – Вып. 2. – С. 77–85.

29. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // На учное приборостроение, 2000. – Т. 10. – № 3. – С. 70–76.

30. Новиков Л.В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное прибо ро-строение, 1999. – Т. 9. – № 2. – С. 30–37.

31. Осоков Г.А., Шитов А.Б. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы / Сообщ. Объед. Ин-та ядерных иссл. – Дубна, 1997. – 22 с., Р-11-97-347.

32. Перепелица Н.И., Козьмин В.А. Системы анализа-синтеза на основе вейвлет-преобразования / 6-я Межд. науч.-техн. конф. «Радиолокация, навига ция, связь». – Воронеж, 2000. – Т. 1. – С. 157–163.

33. Стаховский И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов // ДАН. – 1996. – Т. 350. – № 3. – С. 393–396.

34. Стрелков Н.А. Универсально оптимальные всплески // Математиче ский сборник, 1997. – Т. 188. – № 1. – С. 147–160.

35. Умняшкин С.В. Компрессия цифровых изображений на основе коди рования древовидных структрур вейвлет-коэффициентов с прогнозированием статистических моделей // Изв. вузов. Электроника, 2001. – № 5. – С. 86–94.

36. Чуб А.А. О различении сигналов с использованием вейвлет преобразования наблюдений // Радиотехнические системы и устройства / Моск. техн. ун-т связи и информ. – М., 1999. – С. 21-37. Деп. В ЦНТИ «Ин формсвязь», 27.04.1999, № 2145 – Св. 99.

37. Шишенков В.А., Любимов В.В., Иванова Т.И. Повышение эффективно сти обработки сигналов на основе вейвлет-преобразования.– Тула, Тульск. гос.

ун-т, 2001, 15 с. Рук деп. в ВИНИТИ 07.06.2001, № 1419–В2001.

38. Яковлев А.Н. Применение вейвлет-преобразования для обработки гид роакустических сигналов // Труды шестой межд. науч.-техн. конф. «Актуаль ные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2002». – Новосибирск, 2002. – Т. 4. – С. 47–52.

Интернет-сайты В настоящее время самым мощным источником информации является Ин тернет. Поэтому полезно знакомство с Интернет-сайтами, посвященными вейвлетам. Ниже приведены некоторые сайты по рассматриваемым вопросам:

http://www.wavelet.org. – на этом сайте можно познакомиться с самыми последними книгами, статьями и диссертациями, узнать о предстоящих кон ференциях, задать вопрос по интересующей проблеме.

http://www.mathsoft.com/wavelet.html – сайт содержит огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов.

http://playfair.stanford.edu/~wavelab – на этом сайте имеется обширная биб лиотека программ для MATHLAB, которые распространяются бесплатно.

http://www.math.spbu.ru/~dmp – сайт Санкт-Петербургского семинара «Всплески и их применения», на котором можно получить сведения о русскоя зычных публикациях и о российских конференциях по данной тематике.

http://www.wavelet.narod.ru – «Русский Вейвлет_Дайджест» – на этом сай те много сведений по ВП;

в разделе «Люди» перечислены ученые и специали сты, работающие в области теории и применения ВП.

Подробный список Интернет-адресов имеется в [1]. Многие поисковые системы, например, такие как www.rambler.ru, www.aport.ru, и другие выдают сотни ссылок на Интернет-сайты, посвященные вейвлетам, ВП и их примене нию;

при этом для поиска русскоязычных материалов следует задавать слово «вейвлеты» (или «вэйвлеты») на русском языке.

Приложение Графический интерфейс пользователя GUI Wavelet Toolbox MATLAB Сведения о большинстве вейвлетов и различных вейвлет-преобразованиях можно получить, работая с графическим интерфейсом пользователя GUI (Graphic User Interfice). Здесь же приведено много демонстрационных приме ров по вейвлет-анализу (декомпозиции), вейвлет-синтезу (реконструкции сиг налов, их очистке от шумов и сжатию (компрессии).

П1.1. Основные разделы GUI и работа с ним Для доступа к GUI необходимо исполнить команду wavemenu.

При этом появляется окно со списком разделов ВП. Активируя мышью соответствующий раздел, можно детально ознакомиться с его содержанием и приобрести навыки работы со средствами пакета Wavelet Toolbox.

Рассмотрим основные разделы в порядке следования материала глав 1 и 2.

Wavelet Display – просмотр вейвлетов. Нажатие этой кнопки выводит ок но, в котором слева расположено основное поле для графиков, а справа – под меню управления, в котором имеются кнопки для выбора типа вейвлета и по лучения необходимых сведений о нем.

На рис П.1 дано окно с данными о вейвлете Добеши db4. В основном поле выведены графики функций (t ) и (t ) (т.е. отцовский и материнский вейв леты) и коэффициенты НЧ и ВЧ фильтров декомпозиции и реконструкции ( Lo _ D, Hi _ D и Lo _ R, Hi _ R ). Цвет основного поля обращен для умень шения красителя принтера. Справа в окне можно установить: тип вейвлета (Wavelet), степень итерационного уточнения (Refiniment), запуск просмотра данных о выбранном вейвлете (Display), просмотр информации о вейвлете с именем Name (Name wavelets), просмотр общей информации (Wavelets).

В нижнем правом углу имеется кнопка View Axes. Её активизация выво дит окно с кнопками, расположение которых соответствует положению графи ков. Активизация какой-либо из них вызовет соответствующий график в уве личенном масштабе. Левой кнопкой мыши можно выделить его часть и с помощью кнопок панели инструментов (под окном графика) произвести соот ветствующее преобразование по осям.

Wavelet Packet Display – просмотр пакетных вейвлетов (haar, db, sym, coif, dmey), осуществляемый аналогично просмотру обычных вейвлетов. Здесь выводятся графики phi –функций W0, W2, W4,... и psi –функций W1, W3, W5,...

и т.д.

Continuous Wavelet 1-D – непрерывное одномерное ВП. Активизируя по зиции File, Demo Analysis, открываем подменю с 15 примерами этого раздела.

Выбираем первый из них: рис. П.2 дает результат анализа. На основном поле выведены графики: анализируемого сигнала (Analyzed Signal), спектральных коэффициентов (Coefficients Ca,b), линии значений коэффициетов на уровне Рис. П. Рис. П. a (Coefficients Line Ca,b for scale a = ) и линии выделения экстремумов (Local Maxima Lines). Кнопки правой части позволяют выбрать тип и порядок вейв лета и соответствующие параметры вейвлет-технологии. Пользуясь опциями Selected Axes, можно вывести лишь часть графиков, например один, но в ук рупненном масштабе.

Complex Continuous Wavelet 1-D – непрерывное одномерное ВП с ис пользованием комплексных вейвлетов ( Сomplex Gaussian – cdau, Shannon – shau, Frequecy Bspline – fbsp, Complex Morlet – cmor). Правая часть поля окна та же, что и в предыдущем случае, а в основном поле выводятся графики: анализируе мого сигнала (Analyzed Signal), модуля (Moduls) и фазы (угла – Angle) коэффи циентов, модуля и фазы коэффициентов на определенном уровне, линий локаль ных максимумов модуля и фазы. Раздел содержит 7 примеров.

Wavelet 1-D – дискретное одномерное ВП. Активизируя опции File, Demo Analysis, получаем подменю с 32 файлами – примерами. Рис. П.3 демонстри рует вейвлет-обработку сложного сигнала (Electrical consumption).

Верхняя часть панели управления, как и в прежних разделах, позволяет сменить тип вейвлета (haar, db, coif, bior, rbio, dmey), а также уровень (level от 1 до 11) анализа. С помощью кнопки Analyze осуществляется анализ и на ос новное поле выводятся графики сигнала (s), аппрксимирующих (an) и детали зирующих (dn,…,d1) коэффициентов.

Под кнопкой Analyze расположены четыре очень важные кнопки, выво дящие следующие окна: Statistics – статистика, Histograms – гистограммы, Compress – компрессия сигнала, De-noise – очистка сигнала от шума.

Рис.П. Statistics. Эта кнопка открывает окно с данными статистики – обычной и комулятивной гистограммами. Соответствующими кнопками устанавливается объект анализа: исходный сигнал (Original signal), синтезированный сигнал (Synthesized signal), коэффициенты аппроксимации (Approximation), детализи рующие коэффициенты (Deteil). Для коэффициентов устанавливается также уровень level. На рис. П.4 приведен сигнал (соответствующий рис. П.3) и его гистограмма и комулятивная гистограмма. Под гистограммами приведены значения основных параметров статистического анализа.

Рис. П. Histograms. Щелчок мыши на этой кнопке дает детальные гистограммы сигнала и вейвлет-коэффициентов.

Сompress. Это окно компрессии (сжатия) выбранного сигнала В правой части окна можно указать способ компрессии: с глобальным порогом (Global thresholding ) или c локальными порогами (By level thresholding – рис. П.6) и выставить пороги. Для глобального порога (рис.П.5) можно задать его тип (Select thresholing): Scarce high-Scarce medion – Scarce Low – Belance sparsity nrm – Remore near 0. Для локальных порогов (рис. П.6) можно установить свой порог (ползунковым регулятором) по каждому из коэффициентов. На диа граммах коэффициентов d 4,..., d1 (в левой части поля рис. П.6) эти пороги показаны пунктирными линиями. Ползунковый регулятор Sparsity пропорцио нально изменяет уровни всех порогов.

Рис. П. Рис. П. De-noise. Окно очистки сигнала от шума аналогично окну компрессии (для случая компрессии с локальными порогами). И это понятно, так как обе процедуры обработки сигнала реализуются одними и теми же методами и по рой общими функциями. Жесткий порог устанавливается обцией hard, а мяг кий – soft. В окне имеется также выпадающий список типового шумового «обрамления» сигнала (типа подмешиваемого к сигналу шума).

Wavelet Packets 1-D – одномерное ДВП с использованием пакетных вейвлетов. В разделе содержится 17 примеров. На рис. П.7 рассмотрен пример для сигнала mishmash. В левом поле окна выведено 4 графика: дерево деком позиции (Decomposition Tree);

под ним – коэффициет a3 в узле (3.0) (Packet:

(3,0)), получаемый активизацией этого узла дерева;

анализируемый сигнал (Analyzed Signal);

а под ним коэффициенты (Colored Coefficient …).

Элементы правой части окна позволяют выбрать различные типы энтро пии (shannon, threshold, norm, log energy, sure, user), типы дерева (полное – Initial, вейвлетное – Wavelet, наилучшее – Best, с наилучшим порогом – Best Level), осуществить анализ (Analized), компрессию (Compress) и очистку от шума (De-noise).

Рис. П. Wavelet 2-D – двумерное ДВП. Раздел содержит 17 примеров. На рис. П. приведен первый из них. В левом верхнем углу дано исходное изображение плита с рисунком магического квадрата, а в нижнем правом углу – вейвлет разложение (dwt) третьего уровня. Слева в нижнем углу показана реконструк ция сигнала, осуществленная операцией обратного ДВП (idwt). Верхнее правое Рис. П. Рис. П. окно дает возможность просмотра любого фрагмента декомпозиции, выделен ного мышью с последующим щелчком на кнопке Visualize. Кнопки Full Size иReconstruct позволяют вывести в максимальном размере соответственно ис ходное и реконструированное изображение. Остальные элементы управления в правой части окна аналогичны таковым для окна Wavelet 1-D.

Wavelet Packet 2-D – двумерное ДВП с использованием пакетных вейвле тов. Демонстрационное окно отличается от предыдущего (рис. П.9) и имеет много общего с окном Wa-velet Packet 1-D. В левом верхнем углу дается дерево декомпозиции изображения. Элементы в правой части окна дают возможность выбора различных типов дерева, энтропии, осуществить анализ, компрессию и очистку от шума. При активизации любого узла дерева под ним можно наблю дать соответствующий фрагмент изображения. Справа вверху дано исходное изображение, а под ним – коэффициенты (Colored Coefficient …).

П.1.2. Доступ к демонстрационным примерам Он осуществляется командой wavedemo. Открывается окно (рис. П.10, а), в котором представлено следующее меню:

• Command line mode –примеры работы в командном режиме, • GUI mode – доступ к GUI средствам, описанным выше, • Short 1D scenario – слайдовая демонстрация возможностей одномерного ВП, • Close – закрытие окна.

а б Рис. П. Command line mode – активизируя эту кнопку, можно вывести еще одно окно (рис. П.10, б). Многие примеры из этого окна те же самые, что и в окне пакета GUI. Активизируем кнопку Wavelet 1-D. Появляется окно, позволяю щее просмотреть отдельные слайды, познакомиться с вейвлет-технологией одномерного ДВП сигнала Electrical consumption.

Рис. П.11 демонстрирует один из этих слайдов. На нем приведен исход ный сигнал и его декомпозиция – коэффициенты первого уровня ca1 и cd1, т.е. грубое и детальное приближения сигнала. Последующие слайды демонст рируют декомпозицию и реконструкцию сигнала на различных уровнях. Осо бенностью такого слайд-шоу является наличие окна под рисунками каждого слайда, в котором приведен листинг программного фрагмента, облегчающий понимание вейвлет-технологии.

Short 1D scenario – это весьма полная и наглядная демонстрация возмож ностей одномерного ВП (на примере сигнала Electrical consumption с шумами).

Демонстрационный пример дан в красочном оформлении и использует окно с пояснительным текстом, а также панель управления слайд-шоу. Анализируют ся детали декомпозиции и реконструкции сигнала, а также компрессии и очи стки его от шума.

Рис. П. Приложение Команды и функции пакета Wavelet Toolbox П.2.1. Некоторые команды Esc – очистка строки ввода;

clc – очистка экрана и размещение курсора в левом верхнем углу экрана;

Ins – включение/выключение режима вставки;

load fname... – загрузка ранее сохраненных в файле fname.m определений со спецификациями, помещаемыми на месте многоточия;

load (' fname ') – загрузка файла fname.m в форме функции;

diare file _ name – запись на диск всех команд в строках полученных резуль татов;

% – для текстовых комментариев. Это правило хорошего тона;

Delug Run – вывод графика на экран отредактированной программы;

Edit Copy Figure – копирование графика без серого поля (например, в тек стовый редактор Word);

wavemngr (' read ') – вейвлет-менеджер, выводит названия всех вейвлетов;

wavemngr (' read ',1) – вывод листа с перечнем всех вейвлетов;

wave inf o(' tipe ') – получение сведений по интересующему типу вейвлета;

полный список содержит 15 базовых вейвлетов, для некоторых из них порядок вейвлета можно задать в широких пределах;

wavemenu – вызов окна специального графического интерфейса пользователя GUI (Graphic User Interfice);

wavedemo – вызов окна доступа к демонстрационным примерам.

П.2.2. Одномерное непрерывное вейвлет преобразование (НВП) cwt () – функция одномерного непрерывного вейвлет-преобразования (НВП 1-D);

COEFS = cwt ( S, SCALES,' wname ') – возврат коэффициентов прямого ВП ве щественного или комплексного сигнала S в вещественном положи тельном SCALES для вейвлета, указанного в строке ' wname ' ;

COEFS = cwt ( S, SCALES," wname ',' plot ') – то же и построение графика вейв лет-коэффициентов;

COEFS = cwt ( S, SCALES," wname ',' PLOTMODE ') – то же, что и предыдущая функция, но с использованием настроек цвета PLOTMODE : ' lvl ' – окраска шаг за шагом, 'glb' – окраска с учетом всех коэффициентов, ' abslvl ' или ' lvlabs ' – окраска шаг за шагом с использованием абсо лютных значений коэффициентов, ' abs glb' или 'glb abs ' – окраска с масштабированием и использованием абсолютных значений коэффи циентов.

П.2.3. Одномерное дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) wavedec() – функция одномерного многоуровневого вейвлет-разложения (ВР);

[C, L] = wavedec( X, N,' wname ') – возврат векторов ВР C и L сигнала X на уровне N (целое число);

[C, L] = wavedec( X, N, Lo _ D, Hi _ D ) – возврат ВР для двух НЧ и ВЧ фильтров декомпозиции;

[ Lo _ D, Hi _ D, Lo _ R, Hi _ R ] = wname( DF, RF ) – возврат четырех фильт ров (НЧ и ВЧ декомпозиции и реконструкции), связанных с указанным вейвлетом;

waverec() – функция одномерного многоуровневого вейвлет-восстановления;

X = waverec(C, L ' wname ') – возврат (реконструкция) сигнала Х в соответствии с многоуровневой структурой разложения [C, L] ;

X = waverec(C, L, Lo _ R, Hi _ R) – то же, но вместо типа вейвлета ' wname ' используются НЧ и ВЧ фильтры реконструкции Lo _ R, Hi _ R ;

appcoef () – функция нахождения коэффициентов аппроксимации;

A = appcoef (C, L,' wname ', N ) – возврат коэффициентов аппроксимации на уровне N с использованием структуры ВР [C, L] ;

уровень N должен быть целым числом. 0 N NMAX = length( L) 2 ;

L = w max lev( S,' wname ') – возврат максимального уровня разложения сигнала (или изображения) S для вейвлета с именем ' wname ' ;

A = appcoef (C, L,' wname ') – возврат коэффициентов аппроксимации на по следнем уровне ( NMAX = length( L) 2 ) из структуры ВР [C, L] ;

A = appcoef (C, L, Lo R, Hi _ R ) то же, но вместо имени вейвлета заданы НЧ и ВЧ фильтры реконструкции (восстановления);

det coef () – функция определения детализирующих коэффициентов;

D = det coef (C, L, N ) – возврат детализирующих коэффициентов на уровне N из структуры ВР [C, L] ;

D = det coef (C, L) – возврат детализирующих коэффициентов на последнем уровне;

[ D1,..., D p ] = det coef (C, L,[(1),..., N ( p)]) – возврат коэффициентов детализации на уровне [ N (1),..., N ( p )] ;

dwt () – функция одноуровневого прямого ДВП;

[cA, cD] = dwt ( X,' wname ') – одноуровневое дискретное ВП, возвращающее вектор аппроксимирующих коэффициентов cA и детализирующих ко эффициентов cD ;

[cA, cD] = dwt ( X, Lo _ D, Hi _ D ) – то же, но вместо ' wname ' использованы низкочастотный Lo _ D и высокочастотный Hi _ D фильтры декомпо зиции;

idwt () – функция одноуровневого обратного ДВП;

X = idwt (cA, cD,' wname ') – одноуровневое обратное ДВП, возвращающее век тор коэффициентов аппроксимации Х для входных векторов cA и cD ;

X = idwt (cA, cD, Lo _ R, Hi _ R) – то же, но при использовании фильтров рекон струкции Lo _ R и Hi _ R ;

upcoef () – прямое восстановление из одномерных вейвлет-коэффициентов;

Y = upcoef (0, X,' wname ', N ) – возврат вектора коэффициентов восстановления за N шагов для входного вектора X;

если 0 = ' a ', то возвращаются ко эффициенты аппроксимации;

если 0 = ' d ', то возвращаются детализи рующие коэффициенты;

Y = upcoef (0, X, Lo _ R, Hi _ R, N ) – функция, эквивалентная предыдущей.

П.2.4. Двумерное ДВП Используются те же функции, что и при одномерном ДВП, но оканчива ются имена этих функций цифрой 2, указывающей на двумерное ВП. Ниже даны примеры записи некоторых из них.

appcoef 2() – функция нахождения коэффициентов аппроксимации двумерно го ДВП;

A = appcoef 2(C, S,' wname ',[, N ]) – возврат аппроксимирующих коэффициен тов уровня N с использованием структуры вейвлет-декомпозиции [C, S ] для вейвлета ' wname '.

Уровень N: 0 N size( S, l ) 2 ;

A = appcoef 2(C, S, Lo _ R, Hi _ R, N ) – то же, но при использовании НЧ и ВЧ фильтров реконструкции;

det coef 2() – нахождение детализирующих коэффициентов;

D = det coef 2(O, C, S, N ) – возврат детализирующих коэффициентов D уровня N для структуры вейвлет-декомпозиции [C, S ] по горизонтали, верти кали и диагонали для 0 = ' h ', ' v ', ' d ' ;

[ H,V, D] = det coef 2(' all ', C, S, N ) – возврат всех (горизонтальных, вертикаль ных и диагональных) детализирующих коэффициентов;

dwt 2() – одноуровневое двумерное ДВП;

[cA, cH, cV, cD] = dwt 2( X,' wname ') – вычисление матрицы аппроксимирую щих коэффициентов cA, а также матриц детализирующих коэффици ентов по горизонтали cH, вертикали cV и диагонали cD ;

[cA, cH, cV, cD] = dwt 2( X, Lo _ D, Hi _ D ) – то же, но на основе НЧ и ВЧ фильт ров декомпозиции.

Аналогично можно записать и другие функции, одноименные с функциями одномерного ДВП.

П.2.5. Пакетные вейвлет-алгоритмы bestlev() – наилучшее дерево уровня, эта функция выполняет одно- или дву мерный анализ, возвращая оптимальное дерево по критерию типа эн тропии из исходного полного дерева;

T = bestlevt (T ) – возврат модифицированного пакетного дерева, соответст вующего наилучшему уровню разложения исходного полного дерева;

[T, E ] = bestlevt (T ) – возврат наилучшего дерева T и наилучшего значения энтропии;

при этом оптимальная энтропия узла с индексом j 1 – это E ( j ) ;

besttree() – возврат оптимального поддерева T исходного дерева по крите рию энтропии;

результирующее дерево может быть намного меньше исходного;

T = besttree(T ) – возврат наилучшего дерева T, соответствующего лучшему значению энтропии;

[T, E ] = besttree(T ) – возврат как наилучшего дерева, так и наилучшего значе ния энтропии;

[T, E, N ] = besttree(T ) – то же и вектор N, содержащий индексы соединения узлов;

wentropy () – функция вычисления энтропии;

E = wentropy ( X, T, P ) – возврат энтропии E для входного вектора или матри цы X. T – строка, в которой задается тип энтропии: ' shannon ', ' threshold ', ' norm ', ' sure ' 'log energy ', ' user '. P – параметр, завися щий от типа T : в первых двух случаях P не используется, для ' norm ' P есть мощность (при этом P 1 ), если T = ' user ', то P – строка с именем m -файла пользователя с его собственной функцией энтропии с одним входом X ;

wp 2 wtree() – извлечение вейвлет-дерева из пакетного дерева разложения;

T = wp 2 wtree(T ) – возврат модифицированного дерева T ;

wpcoef () – функция пакетных вейвлет-коэффициентов;

X = wpcoef (T, N ) – возврат коэффициентов, присоединенных к узлу N дере ва T ;

X = wpcoef (T ) – эквивалентна функции X = wpcoef (T,0) ;

wpcutree() – функция сечения пакетного дерева;

T = wpcutree(T, L) – возврат фрагмента дерева T на уровне L ;

[T, RN ] = wpcutree(T, L) – то же и вектор RN, содержащий индексы восста новленных узлов;

wpdec() – функция пакетного одномерного вейвлет-разложения;

T = wpdec ( X, N,' wname ', E, P ) – возврат дерева T, соответствующего векто ру X на уровне N для вейвлета ' wname '. E – содержит тип энтро пии, P – параметр. E и T устанавливаются как T и P в функции E = wentropy ( X, T, P ) ;

T = wpdec( X, N,' wname ') – эквивалентна T = wpdec( X, N,' wname ',' shannon ') ;

wpdec 2() – двумерное пакетное вейвлет-разложение;

T = wpdec 2( X, N,' wname ', E, P) – возврат пакетного вейвлет-дерева для мат рицы разложения X и уровня N, строка E – тип энтропии, P – опи санный ранее параметр;

wpfun() – пакетная вейвлет-функция;

[WPWS, X ] = wpfun(' wname ', NUM, PREC ) – возвращает пакет для заданного вейвлета на двойном интервале 2 PREC ;

выходная матрица WPWS со держит W функций с индексами от 0 до NUM, сохраненными по строчно [W0,W1,...,WNUM ], X – выходной вектор, соответствующий вектору сетки;

wpcoef () – функция восстановления коэффициентов пакетного вейвлета;

X = wpcoef (T, N ) – возврат восстановленных коэффициентов узла N вейв лет-дерева T ;

X = wpcoef (T ) – эквивалентна X = wpcoef (T,0) ;

X = wpcoef 2(T ) – то же для матрицы двумерного X, соответствующей дере ву T двумерного пакетного вейвлета.

П.2.6. Стационарное ДВП Используется для стационарных сигналов в основном для очистки от шума.

swt () – функция прямого стационарного одномерного ДВП;

SWC = swt ( X, N,' wname ') – возврат стационарного вейвлет-разложения сиг нала X на уровне N ( X = 2 N ) с использованием вейвлета ' wname ' ;

SWC = swt ( X, N, Lo _ D, Hi _ D) – то же для НЧ и ВЧ фильтров декомпозиции;

для 1 i N, выходная матрица SWC (i,:) содержит детализирующие коэффициенты на уровне i, SWC ( N + 1,:) – аппроксимирующие коэф фициенты на уровне N ;

[ SWA, SWD] = swt ( ) – возврат матрицы аппроксимирующих коэффициентов SWA и детализируюших коэффициентов SWD ;

при этом коэффициен ты располагаются построчно;

iswt () – функция обратного стационарного ДВП;

X = iswt ( SWC,' wname '), X = iswt ( SWA, SWD,' wname ') или X = iswt ( SWA,(end,:), SWD,' wname ') – восстановление сигнала X в соответствии с многоуровневой структурой ВР SWC или [ SWA, SWD] ;

X = iswt ( SWC, Lo _ R, Hi _ R ), X = iswt ( SWA, SWD, Lo _ R, Hi _ R ) или X = iswt ( SWA,(end,:), SWD, Lo _ R, Hi _ R ) – то же, но используются соответствующие фильтры;

swt 2() – функция двумерного прямого стационарного ДВП, используемая в тех же формах, что и swt () ;

iswt 2() – функция двумерного обратного стационарного ДВП;

X = iswt 2( SWC,' wname '), X = iswt 2( A, H,V, D,' wname ') или X = iswt 2( A(:,:, end ), H,V, D,' wname ') – восстановление сигнала на ос нове многоуровневой структуры разложения SWC или [ A, H,V, D] ;

Если вместо ' wname ' использовать НЧ и ВЧ фильтры Lo _ R и Hi _ R, то получим еще три функции для сигнала X.

П.2.7. Удаление шумов и сжатие сигналов и изображений ddencmp () – функция установки параметров по умолчанию;

[THR, SORN, KEEPAPP, CRIT ] = ddencmp ( IN1, IN 2, X ) – возврат параметров (используемых по умолчанию) для компрессии и удаления шума. Мат рица X – одномерный или двумерный сигнал. Выходные параметры:

THR – пороговое значение, SORH – установка жесткого порога, KEEPAPP – параметр, позволяющий сохранить коэффициенты ап проксимации, CRIT – имя энтропии и используется только для пакет ного вейвлета. Аргумент IN1 принимает одно из двух значений:

' den ' – для удаления шума и ' cmp ' – для сжатия. Аргумент IN 2 при нимает форму ' wv ' для простого вейвлета или ' wp ' – для – пакетного;

thselect () – функция выбора порога для удаления шума;

THR = thselect ( X, TPTR ) – возврат порогового значения для вектора X с ис пользованием следующего правила установки порога TPTR :

' rigrsure ' – адаптивного по методу Штейна, ' heursure ' – эвристиче ского по тому же методу, 'min i max' – минимаксному правилу, ' sqtwo log' – по формуле sqrt (2 * log(length( X ))). Выбор порога бази руется на модели y = f (t ) + e, где e – белый шум N (0,1) ;

wbmpen() – штрафной порог;

THR = wbmpen(C, L, SIGMA, ALPHA) – возвращает глобальный порог с ис пользованием «штрафного» метода Birge-Massart для удаления шума, [C, L] – структура разложения сигнала или изображения, SIGMA – стандартное отклонение белого нормального шума, ALPHA – параметр настройки для «штрафного» метода;

wdcbm() – порог одномерного вейвлета;

[THR, NKEEP] = wdcbm(C, L, ALPHA, M ) – возврат порога THR относительно некоторого уровня и число сохраняемых коэффициентов NKEEP для сжатия или удаления шума, [C, L] – структура вейвлет-разложения на уровне j = length( L) 2, ALPHA и M могут быть вещественными числами больше 1, THR(i ) содержит порог для уровня i. Парамет ры j, M и ALPHA определяют сам метод: а) на уровне j + 1 все со храняется, б) для уровня i = 1 до j, ni самых больших коэффициен тов сохранено с ni = M ( j + 2 i ) ALPHA. Обычно ALPHA = 1,5 для сжатия сигнала и ALPHA = 3 для удаления шума. По умолчанию M = L(1), рекомендуемое значение M от L (1) до 2 * L(1) ;

wdcbm 2() – порог двумерного вейвлета;

[THR, NKEEP] = wdcbm2(C, S, ALPHA, M ) – то же, но для двумерного вейвле та, THR – матрица размера 3 j, THR(:, i ) – содержит порог для уровня i в трех направлениях: горизонтальном, вертикальном и диаго нальном. По умолчанию M = prod ( S (1,:)), рекомендуемое значение – от prod ( S (1,:)) до 6 prod ( S (1,:)) ;

wden() – автоматическое одномерное подавление шума;

[ XD, CXD, LXD] = wden( X, TPTR, SORN, SCAL, N,' wname ') – возврат очищен ного от шума сигнала XD, полученного ограничением коэффициентов преобразования входного сигнала X, [CXD, LXD] – структура вейв лет-разложения очищенного от шума сигнала XD, TPTR – правило выбора порога: ' rigrsure ' – использует алгоритм Штейна несмещенной оценки риска, ' heursure ' – эвристический вариант предыдущего алго ритма, ' sqtwo log' – инверсный порог, 'min i max i ' – минимаксный по рог, ' SORH ' – гибкий ( ' s ' ) или жесткий ( ' h ' ) порог. При параметре SCAL = ' one ' предполагается, что s (n) = f (n) + e(n), где e( n) – белый шум [0,1]. SCAL – определяет мультипликативное пороговое пере масштабирование: ' one ' – отсутствие перемасштабирования, ' s ln' – перемасштабирование (если шум вне пределов [0,1] или не белый) с единственной оценкой шума по коэффициентам первого уровня, ' m ln' – перемасштабирование с оценкой шума в зависимости от ' wname ' ;

[ XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORN, SCAL, N,' wname ') – то же, но с по лучением указанных параметров из структуры [C, L] на уровне N.

wdencmp () – удаление шума и сжатие сигнала;

[ XC, CXC, LXC, PERFO, PERFL 2] = wdencmp(' gbl ', X,' wname ', lev, THR, SORH, KEEPAPP) –возврат очищенного и сжатого вектора XC, полу ченного из исходного сигнала X (как одномерного, так и двумерного) с использованием глобального порога THR. Выходные аргументы [CXD, LXD] – структура вейвлет-разложения вектора XC. PERFO и PERFL 2 – L2 – нормы восстановления и сжатия в процентах.

PERFL 2 = 100 * ( norm(C C ) / norm(C ))2, где norm – норма вектора;

2 для одномерного сигнала PERFL 2 = 100 XC / X. N – уровень вейвлет-разложения. SORH ( ' s ' или ' h ' ) – установка гибкого или же сткого порога. STDC = wnoisest (C, L, S ) – оценка шума одномерных вейвлет-коэффициентов, возврат оценки стандартного отклонения де тализирующих коэффициентов для заданного на входном векторе S уровня;

[C, L] – входная структура вейвлет-разложения;

THR = wpbmpen(T, SIGMA, ALPHA) – возврат глобального (штрафного) порога для удаления шума, T – дерево пакетного вейвлета, SIGMA – стан дартное отклонение в модели удаления шума по Гауссу, ALPHA – па раметр настройки для штрафного компонента;

wpdencmp () – функция удаления шума и сжатия с использованием пакетного вейвлета, она аналогична функциям wden() и wdencmp () ;

[ XD, TREED, PERFO, PERFL2] = wpdencmp(TREE, SORH, CRIT, PAR, KEEPAPP) – эта функция аналогична wdencmp (), но для преобразования исполь зует напрямую разложение дерева пакетного вейвлета – TREE.

wpthcoef () – порог коэффициентов пакетного вейвлета;

NT = wpthcoef (T, KEEPAPP, SORH, THR ) – возврат нового дерева NT пакет ного вейвлета с пороговыми коэффициентами, полученными из дерева T, THR – значение задаваемого порога;

wthcoef () – функция одномерного порога вейвлет-разложения;

NC = wthcoef (' d ', C, L, N, P ) – возврат коэффициентов структуры [C, L] с по мощью N -уровневой компрессии, определенной на векторах N и P, N – детализирующие уровни компрессии, 1 N length( L) 2, P – нижние коэффициенты в процентном соотношении, которые должны быть установлены как нулевые;

NC = wthcoef (' d ', C, L, N ) – то же, но устанавливает детализирующие коэффи циенты вектора N как нулевые;

NC = wthcoef (' t ', C, L, N, T, SORH ) – возврат коэффициентов установкой гиб кого ( SORH = ' s ' ) или жесткого ( SORH = ' h ' ) порога, определенного векторами N и T ;

wthcoef 2() – двумерный порог вейвлет-коэффициентов;

NC = wthcoef 2(' type ', C, S, N, T, SORH ) – возврат горизонтальных, вертикаль ных и диагональных коэффициентов из структуры разложения [C, S ] с использованием гибкого ( SORH = ' s ' ) или жесткого ( SORH = ' h ' ) по рога, определенного векторами N и T, N (i ) size( S,1) 2 ;

wthresh() – установка гибкого или жесткого порога;

Y = wthresh( X, SORH, T ) – задание вида порога или подавления шума путем ограничения вейвлет-коэффициентов. Эта функция возвращает гибкий ytsoft ( SORH = ' h ' ) или жесткий ythard ( SORH = ' h ' ) порог T для входного вектора или матрицы X ;

wthrmngr () – функция управления параметрами порога;

THR = wthrmngr (OPTION, METHOD,VARARGIN ) – возврат глобального поро га или зависимого от уровня OPTION порога. VARARGIN – зависит от параметров OPTION и METHOD.

П.2.8. Тестовые сигналы X = wnoise( FUN, N ) – возврат тестового сигнала, заданного как функция входного аргумента FUN, на 2 N сетке [0,1];

возможны шесть тесто вых сигналов: 1) FUN = 1 или ' blocks ', 2) FUN = 2 или ' bumps ', 3) FUN = 3 или ' heavy sin e ', 4) FUN = 4 или ' doppler ', 5) FUN = или ' quadchirp ', 6) FUN = 6 или ' mishmash '.

[ X, XN ] = wnoise( FUN, N, SORT _ SNR ) – возврат вектора X, перемасштаби рованного следующим образом;

std ( X ) = SORT _ SNR, и вектора XN, содержащего тот же тестовый вектор, но вместе с белым гауссовым шумом N (0,1).

Следующий пример демонстрирует все эти тестовые сигналы (рис. П.12):

ind = linspace(0,1,2^8);

for i = 1: x = wnoise(i, 8);

subplot(6,1,i), plot(ind,x) end Рис. П. Приложение Кратномасштабный анализ Представление сигнала в виде (2.7) и создание соответствующих ортого нальных вейвлетов могут быть пояснены на основе теории функциональных пространств.

Пусть исходная функция f (t ) принадлежит пространству L2 ( R ) интег рируемых в квадрате функций. Обозначим подпространство функций, аппрок симирующих L2 ( R ) на масштабе a = 2m как Vm, а сами функции как f (t ) = Am (t ) (см. ф-лу (2.7)).

Кратномасштабный анализ (КМА), называемый также многомасштаб ным, базируется на следующих предпосылках теории функциональных про странств.

1. Пространство сигналов V описывается через иерархически вложенные подпространства Vm, объединение которых дает в пределе L2 ( R ), т.е.

... V2 V1 V0 V1 V2...

I Vm = {0}, U Vm = L2 ( R). (П.1) mZ m=Z Для функции Am (t ) Vm ее сжатая версия Am 1 (t ) принадлежит 2.

подпространству Vm 1.

Существует такая функция (t ) V0, что ее сдвиги 3.

ok (t ) = (t k ), k Z. (П.2) образуют ортонормированный базис пространства V0. Функция (t ) удовле творяет условию (t )dt = 1 (П.3) и называется масштабирующей (масштабной) или отцовским вейвлетом.

Рис. П.13 схематично поясняет вложенные пространства.

Так как функции ok (t ) обра зуют ортонормированный базис подпространства V0, то функции {0} Vm Vm–1 L2(R) mk (t ) = 2 m / 2 (2 m t k ) (П.4) образуют ортонормированный базис подпространства Vm. Эти функции Рис. П.13 создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. Аппроксимация Am (t ) является ортогональ ной проекцией f (t ) на Vm :

Am (t ) = (mk (t ), f (t ))mk (t ) (П.5) k Если масштабный коэффициент m велик, то компонент Am (t ) есть гру бая аппроксимация сигнала f (t ) и детали отсутствуют. Чем меньше значение m, тем аппроксимация будет точнее.

Итак, сигнал S (t ) = f (t ) в пространстве L2 ( R) может быть представлен множеством последовательных его приближений Am (t ) в Vm :

S (t ) = lim Am (t ). (П.6) m Из вложенности пространств Vo V1 и того, что 1k (t ) – ортонормиро ванный базис подпространства V1, вытекает следующее масштабирующее выражение:

(t ) = oo (t ) = 2 h(l )1,l (t ) = 2 h(l )(2t l ), (П.7) l l где hl = h(l ) = ((t ), (2t l )) (П.8) – коэффициенты масштабирующей функции (масштабный вектор или мас штабный фильтр). Коэффициенты hl полностью характеризуют саму функ цию (t ), т.е. она может быть получена с любой точностью.

Из рассмотрения рис. П.13 очевидно, что пространство L2 ( R) построено из множества «кольцевых» полос, представляющих разность двух соседних подпространств. Эти «кольцевые» подпространства обозначаются через Wm и определяются как ортогональные дополнения подпространств Vm и Vm 1 :

I Wm = {0}, U Wm = L2 ( R).

Vm 1 = Vm Wm, (П.9) m=Z mZ Рис. П.14 поясняет графическое представление КМА с разложением про странства Vm 1 на его подпространство Vm и ортогональное дополнение Wm, и то же самое повторяется на более низких уровнях.

Пусть (t ) = oo (t ) есть базисная функция (материнский вейвлет) про странства W0.

Тогда учитывая, что W0 V1, Vm + Vm 1 Vm для функции oo (t ) = (t ) получим соотношение, аналогичное (П.7):

Wm + Wm oo (t ) = (t ) = 2 g (l )1,l (t ) = Рис. П. l = 2 g (l )(2t l ), (П.10) l gl = g (l ) = ( (t ), (2t l )) где (П.11) – некоторая последовательность, т.е. коэффициенты материнского вейвлета.

Базисные функции для подпространств Wm образуются смещением и масштабированием функции (t ) :

mk (t ) = 2 m (2 m t k ). (П.12) Функции mk (t ) идентичны полученным в разделе 2.1 [формула (2.1)].

Получим выражения, связывающие последовательности hl и gl. Так как Wm есть ортогональное дополнение Vm, то функции (t ) и (t ) должны быть ортогональными, и из (П.7) и (П.10) следует, что 0 = ((t ), (t )) = 2 hl g p (1l (t ), 1 p (t )) = 2 hl gl (П.13) l p l и gl = (1)l h2 n 1l. (П.14) где l = 0,1,..., lo = 2n 1, n – порядок вейвлета.

Из (П.10) следует, что вейвлеты (t ) полностью определяются масшта бирующей функцией (t ), а последняя согласно (П.7) – своими коэффициен тами hl.

Любой сигнал S (t ) L2 ( R) можно записать в виде суммы проекций на Wj, j R :

(S (t ), jk (t )) jk (t ) = d jk jk (t ).

S (t ) = (П.15) j = k j = k Построение пространства начинается практически с масштаба m = 0 (т.е.

a = 2m = 1 ). Поскольку (t ) хорошо сосредоточена во временной области (быстро убывающая функция), это позволяет интерпретировать коэффициен ты разложения aok aok = ak = ( f o (t ), ok (t k )) как дискретную выборку функции f o (t ).

Если осуществить анализ сигнала S (t ) вплоть до некоторого масштаба m, т.е. в соответствии с выражением (П.15), то на основании изложенного можем записать:

m m D j (t ) amk mk (t ) + d jk jk (t ), S (t ) = Am (t ) + = (П.16) j =1 j =1 k k amk = ( S (t ), mk (t )) и d jk = ( S (t ), jk (t )) где (П.17) – аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты.

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение......................................................................................................... 1. НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ................................ 1.1. Обобщенный ряд Фурье...................................................................... 1.2. Вейвлеты. Общие замечания.............................................................. 1.3. Главные признаки вейвлета................................................................ 1.4. Примеры материнских вейвлетов...................................................... 1.5. Непрерывное вейвлет-преобразование.............................................. 1.6. Свойства вейвлет-анализа................................................................... 1.7. Примеры непрерывных вейвлет-преобразований............................. 1.8. Сопоставление с преобразованием Фурье......................................... 2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯД ПО ВЕЙВЛЕТАМ....................... 2.1. Диадное вейвлет-преобразование...................................................... 2.2. Дискретное преобразование............................................................... 2.3. Примеры дискретного вейвлет-преобразования (ДВП)................... 2.4. Быстое вейвлет-преобразование......................................................... 2.5. О вейвлетах для БВП.......................................................................... 2.6. Частотный подход к ВП...................................................................... 2.7. Пакетные вейвлеты и вейвлет-алгоритмы....................................... 2.8. Удаление шумов и компрессия сигналов и изображений................ 3. ДВУМЕРНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ОБРАБОТКА ИЗО БРАЖЕНИЙ............................................................................................... 3.1. Двумерные вейвлеты........................................................................... 3.2. Двумерное ДВП................................................................................... 3.3. Удаление шумов и компрессия изображений................................... 3.4. Видеокодеки семейства ADV6XX..................................................... Заключение.................................................................................................... Список литературы......................................................................................... Приложение 1. Графический интерфейс пользователя GUI Wavelet Toolbox MATLAB............................................................... Приложение 2. Команды и функции пакета Wavelet Toolbox................... Приложение 3. Кратномасштабный анализ................................................. Профессор Альберт Николаевич Яковлев ВВЕДЕНИЕ В ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебное пособие Редактор И. Л. Кескевич Компьютерная верстка В. Ф. Ноздрева Подписано в печать 06.02.2003. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная.

Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 6,25. Печ. л. 6,5. Изд. № 5. Заказ № 64. Цена договорная.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса,

Pages:     | 1 ||
 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.