авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. Келдыша РАН На правах рукописи Нуралиева Анна ...»

-- [ Страница 2 ] --

Обычно в задачах динамики троса используется модель растяжимого троса, которая позволяет вычислять натяжение через механические уравнения состояния типа закона Гука [53]. Здесь выведем уравнение для натяжения, используя условие нерастяжимости (5.4).

Последовательное дифференцирование этого соотношения по дает 0, (5.8) Теперь продифференцируем условие нерастяжимости два раза по времени. (Точкой над буквой будем обозначать производную по времени, штрихом – производную по s) 52    (5.9) 0 Найдем,,, продифференцировав по уравнения движения (5.3) 2 2 Подставим их в уравнение (5.9) 1 С учетом условия нерастяжимости (5.4) и того, что 3 Разберем отдельно выражение с натяжением.

1 1 1 1 Аналогично получается по y и z. Учитывая соотношения (5.8) получаем:

53    1 1 1 Уравнение для натяжения принимает вид:

1 1 2 1 (5.10) 1 Соотношение (5.10) представляет собой линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для T. В каждый момент времени коэффициенты этого уравнения зависят от переменных,,,,, и их производных по, то есть являются известными функциями от. Поэтому (5.10) является обыкновенным дифференциальным уравнением, и функция T – решением краевой задачи для этого уравнения. Краевые условия для этой задачи получаются следующим образом.

для начальной точки приравнивается нулю продольная компонента скорости и ускорения точек троса, близких к точке закрепления, откуда 0 (5.11) на верхнем (свободном) конце краевое условие выводится из требования совпадения продольной компоненты ускорений концевой массы и верхней точки троса (5.12) К К К Полученная система решалась так: для определения в текущий момент времени решается краевая задача (5.10) – (5.12), которая, если ее решать численно, сводится к решению линейной системы с трехдиагональной матрицей. Найденное значение используется для выполнения шага интегрирования системы эволюционных уравнений (5.3).

Таким образом оказывается возможным вычислять движение КЛ на большом интервале времени.

54    5.2. Математическая модель в плоскости экватора Тем не менее, 3-х мерное движение троса не очень наглядно. Сам объект более сложный и разобраться в деталях его поведения труднее.

Поэтому есть смысл отдельно рассмотреть плоское движение.

0, 0) более Двумерное движение в плоскости экватора ( наглядно и исследовалось более подробно. Большинство его результатов можно представить на плоских рисунках и графиках.

В двумерном случае динамические уравнения (5.4) принимают вид (5.13) Уравнения для концевой массы:

2 К К К К К К К К К К (5.14) 2 К К К К К К К К К К Условие нерастяжимости (5.15) В данном случае удобно ввести угол – угол между касательной к тросу в точке и вертикалью.

, (5.16) Условие нерастяжимости при этом выполняется тождественно.

Через угол легко выражаются кривизна троса в точке и угловая скорость элемента троса:

(5.17), и по Продифференцировав (5.15) по, можно вывести следующие выражения для величин и :

(5.18) (5.19) 55    Уравнение для натяжения выводится таким же образом, что в трехмерном случае.

2 2 2 1 1 Члены с преобразуются так же, как и трехмерном случае.

0, а Учитывая условие нерастяжимости (5.15), соотношение также то, что в двухмерном случае 1 1 1 Уравнение на натяжение принимает вид 1 1 Учтем соотношение (легко выводится из (5.15)). Получим, что. С учетом (5.18) принимает вид.

В результате уравнение для силы натяжения в двумерном случае имеет гораздо более красивый и лаконичный вид, чем в трехмерном 56    1 (5.20) 1 Напоминаем, что,,, зависят от и, а от.

Краевые условия для двумерного случая выглядят так же, как и для трехмерного.

Эта модель и некоторые результаты расчетов по ней описаны также в статье [54].

5.3. Разностная аппроксимация и некоторые алгоритмы вычислений Эволюционные уравнения решаются численно методом прямых 0, (method of lines [55]): областью интегрирования является полуполоса 0. Отрезок 0 разбивается на интервалы, и значения,,,,, вычисляются интегрированием по времени вдоль прямых (в данном случае использовался метод Рунге-Кутты). Для вычисления производных по применялись разностные аппроксимации 2-го порядка. При этом решение краевой задачи для сводится к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.

В качестве сетки по чаще всего использовалась сетка с постоянным шагом, но применялась и сетка с уменьшением шага у краев. Для вычисления производных по 1-го и 2-го порядков использовалась аппроксимация центральными разностями.

Можно несколько улучшить вычисления, заменив натяжение на переменную. Последняя величина более гладко меняется по (например, в вертикальном равновесном положении она постоянна), поэтому можно ожидать лучшей аппроксимации ее производных на сетках. Кроме того, упрощаются и некоторые формулы. Вот как это получается:

Так как, уравнения движения (5.13) принимают вид (5.21) А уравнение для натяжения (5.20) выглядит так:

(5.22) 1 Краевые условия:

57    для точки 0 (5.23) для точки 0 (5.24) К К К К К А и, как видно из формулы (3.13), имеют простые выражения:

Эта замена разностной аппроксимации некоторых производных аналитическими формулами заметно увеличивает точность и устойчивость вычислений.

5.4. Программная среда для исследования динамики Основные возможности Для численного исследования динамики троса в рамках разработанной математической модели были созданы программные комплексы (для 2 мерного и 3-мерного случаев). С помощью этих программ можно моделировать движения троса для разных параметров конструкции (начального натяжения, плотности материала, разрывной длины материала, длины троса, запаса прочности, дополнительной нагрузки), разных начальных условий (задавая разные начальные профили возмущения по координатам и скоростям, чаще по координатам), разных параметров численного интегрирования (количество точек разбиения троса, равномерное или неравномерное разбиение троса на отрезки). Кроме того, в процессе интегрирования можно следить, как изменяются по времени и/или вдоль троса следующие величины:

1) напряжение в каждой точке троса для проверки, не вышел ли лифт за пределы ограничений на напряжение и для контроля вычислений в случае использования переменной Q. При большинстве ограниченных по углу движений лифт не выходил за пределы ограничений на напряжение.

58    2) полная энергия всей конструкции. Ее полезно вычислять для проверки сохранения энергии (так как система без диссипации). Если движение не приводит к падению троса, изменение энергии составляет небольшую долю процента 3) (в двухмерном случае) коэффициенты разложения в ряд Фурье отклонения точек от вертикали или энергии троса. Разложение проводится с помощью быстрого преобразования Фурье в случае, если число точек – степень 2, или обычным преобразованием Фурье в противном случае. Можно включить и оба метода. Спектр разложения в ряд Фурье по пространственной переменной отображается на том же экране, где и картинки профиля троса в каждый момент времени.

В отдельных окнах можно посмотреть графики изменения полной энергии от времени, координат конечной точки от времени (это бывает полезно), графики амплитуд Фурье от времени для всех или части мод, распределения амплитуд Фурье по модам в текущий момент времени, распределения напряжения вдоль троса в текущий момент, максимальное ускорение за время данного движения и по всем точкам троса.

Если перечисленные выше дополнительные вычисления не нужны, их можно выборочно отключать.

И, конечно, можно задавать разные начальные положения троса.

Программа позволяет задавать несколько форм: прямая, часть окружности, синусоида, степенные кривые, смешанная – трос, часть которого занимает окружность, а остальную часть – прямая, и другие формы. Конечно, для каждого вида кривой можно менять параметры: угол отклонения (для прямой), кривизну (для части окружности), период (для синусоиды), место размещения окружности и ее кривизну (для смешанной) и т.п. Каждая функция домножается на задаваемую константу, так регулируется отклонение троса. Все перечисленные кривые – плоские. Для трехмерного варианта в основном, использовались те же плоские кривые, повернутые на задаваемый пользователем угол вокруг вертикальной оси.

Созданные программы дают возможность не только наблюдать движения троса для разных его параметров, но и отслеживать связь динамических параметров движения, зависимость динамических параметров от свойств конструкции, и, следовательно, более подробно исследовать наблюдаемые явления.

59    Коррекция и верификация результатов Интеграл энергии Так же, как и в дискретных моделях, непрерывная модель описывает консервативную систему, в ней сохраняется полная энергия (интеграл Якоби во вращающейся системе координат), которая имеет вид К К 1,,,, 2, 1 К К К К К 2 К где индекс «Т» относится к точкам троса, «К» – к массе на конце. Здесь – проекция вектора координат на плоскость, т.к. для центробежной силы важна только компонента в плоскости экватора.

Проверим, что это выражение действительно сохраняет свою величину при движениях системы. Продифференцируем его по.

К КК КК К К К КК К Рассмотрим сначала производную от энергии точек троса,, и К, К, К из уравнений (5.3). Учтем при Подставим сюда этом, что, 60    Члены, не содержащие, взаимно уничтожаются. Остается:

Подынтегральное выражение 0 как производная по от условия нерастяжимости ().

Остается Теперь рассмотрим производную от энергии конечной массы К.

К КК КК К К К КК К К,, Аналогично предыдущей производной, подставим сюда из К К К (5.6). Учтем при этом, что К К К К К К, К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К К КК КК К К К К К К КК КК Члены, не содержащие натяжение, снова уничтожились. Осталось К КК КК КК К К К Производная от полной энергии 61    К КК КК КК К К К в силу краевого условия в начальной точке.

Полная энергия считалась для контроля на каждом шагу интегрирования. Хотя колебания наблюдались, но они были ограничены малыми долями процента от начальной энергии. Начальной точкой отсчета энергии считается энергия вертикального покоящегося троса. Видимо, колебания энергии связаны с погрешностями сеточной аппроксимации.

Пример такой кривой приведен на рисунке 20.

Рис 20. Изменение энергии со временем.

Коррекция скорости и длины Для повышения устойчивости счета проводилась коррекция длины троса. Хотя в самой процедуре условие нерастяжимости использовалось для 62    того, чтобы получить уравнение для натяжения, но из-за ошибок дискретизации и округления длины отдельных участков слегка «едут». И накопление этих изменений чрезвычайно вредно для точности расчетов, т.к.

сохранение длины отдельных участков необходимо для согласованности самих уравнений. Коррекция проводилась таким образом.

Сохранение длины получается в результате двукратного интегрирования выражений для ускорения по времени. Соответственно, корректировать нужно 2 величины – координату и скорость. Поэтому кроме коррекции длины проводилась еще и коррекция по скорости для близких точек троса.

Условие нерастяжимости троса Нулевую производную по времени от него учитываем, когда корректируем отрезок по длине, вторую – когда выводим уравнение для натяжения, а сейчас учтем и первую, корректируя скорость. Возьмем первую производную по времени от условия нерастяжимости.

Это конус в пространстве производных по от переменных.

Если рассчитанные величины не удовлетворяют этому условию, значит, точка не лежит на этом конусе. Нужно ее вернуть на конус. Для этого выбираем на этом конусе ближайшую к рассчитанной точку (т.е. опускаем из рассчитанной точки перпендикуляр на конус).

Индекс «т» – требуемое значение скорости, индекс «в» – вычисленное.

Штрих–производная по s.

т т т в в в Вычисленные и требуемые скорости лежат на одной нормали к конусу, если т в т в (5.25) т в т т т в в в в в в в в в 63    Или, если длина отрезка сохраняется или коррекция длины проведена, то в в в Имея, по формулам (5.25) вычисляем скорректированные значения производных скоростей, а из них последовательно сами скорости.

5.5. Трехмерные движения троса Трехмерные движения рассматривались довольно бегло из-за названных выше причин (трудная обозримость возникающих при этом возможностей, сложности наглядного изображения результатов). Внимание уделялось, в основном, проверке работоспособности алгоритмов. Из динамических характеристик исследовались только основные: амплитуда колебаний конечной точки, период главной моды таких колебаний, возможная взаимосвязь с колебаниями в плоскости экватора.

Колебания в меридиональной плоскости более высокочастотные, чем в экваториальной плоскости. (В меридиональной плоскости около 23 часов, в экваториальной плоскости – около 3 суток, как и обещали более простые модели.) В качестве примера покажем траекторию конечной точки для движения троса, близкого к маятниковому. На рис. 21 траектория конечной точки в плоскости, – отклонение в плоскости орбиты, – отклонение из плоскости орбиты. (График похож на фигуры Лиссажу). Видна разница между частотами. Амплитуда колебаний в меридиональной плоскости почти не меняется. Вообще, траектория конечной точки в осях вписывается в прямоугольник.

64    Рис. 21. Траектория конечной точки Как видно из уравнений (5.3) колебания в плоскости экватора не инициируют колебаний вне плоскости экватора. А вот колебания в меридиональной плоскости «перетекают» частично в плоскость из-за кориолисова ускорения.

Приведем еще пример движения. На рисунке 22 положения троса в разные моменты времени, слева – начальное, чем правее, тем больше.

Сверху положение троса в плоскости, прямо под ним – в плоскости для тех же моментов времени 65    Рис. 22. Положения троса в разные моменты времени. Верхний ряд – колебания в плоскости, нижний – в плоскости.

66    5.6. Движения троса в плоскости экватора Ограниченные движения Существенно подробнее исследовались движения в плоскости экватора. Рассматривалось большое разнообразие начальных форм троса.

Искались, в том числе, такие начальные формы, при которых поперечные колебания ограничены по амплитуде.

Конечно, движения троса зависят не только от формы начального отклонения троса, но и от длины троса, дополнительной нагрузки, прочности материала и многих других параметров.

Одномодовые колебания, близкие к периодическим При некоторых начальных условиях получаются колебания, очень близкие к одномодовым. Примеры приведены на рис. 23. На каждой фигуре рисунка изображены положения троса в разные моменты времени для наглядности. Фигуры на рисунке соответствуют низшим модам колебаний, а) – нулевой, б) – первой и т.д.

Рис. 23. Примеры колебаний, близких к одномодовым.

67    Нулевая мода колебаний, т.е. колебания, при которых форма троса близка к прямолинейной, изучалась неоднократно на более простых моделях жесткого прямого троса. Полученные разными авторами периоды таких колебаний близки. Они составляют от 3.5 суток до недели в зависимости, главным образом, от длины троса. Представления о первой моде колебаний тоже получались раньше, в частности, в дипломных работах студентов, использовавших дискретную двухмассовую модель, но такие результаты имели частный характер и не публиковались. Периоды колебаний первой моды порядка 8 часов. Для второй моды периоды колебаний около 5 часов.

Колебания более высоких мод (рис. 23б, в, г) изучены гораздо меньше [41, 49].

При относительно малых амплитудах (до 20 градусов) и на относительно небольших интервалах времени формы колебаний оказались близки к колебаниям линейной струны, с почти равномерным чередованием по длине троса узлов и пучностей, и с определенной частотой. Учитывая неоднородность троса и переменность по координате силового поля, это неочевидный результат.

Медленное изменение амплитуды В общем случае движения троса сложные, трудно выделить отдельные периоды и определенные формы. На рис. 24 показаны колебания конечной точки троса (зависимость от времени отклонения от вертикали), где четко видны маятниковые колебания, и на их фоне практически неизменные по амплитуде более высокочастотные колебания по первой моде.

Рис. 24. Положение конечной точки в зависимости от времени.

68    При некоторых начальных данных на больших интервалах времени возникают интересные эффекты. Рассмотрим близкое к маятниковому движение, начинающееся из искривленного у точки привязки положения лифта, на большом интервале времени. Так, на рис. 25 показаны положения троса в разные моменты времени (фигура кажется сплошной, потому что положения лифта так плотно заполнили область). На рис. 26 показано отклонение конечной точки от вертикали в зависимости от времени.

Рис. 25.

Положения троса. Рис. 26. Положение конечной точки от времени.

Наиболее выражены маятниковые колебания с периодом около часов, амплитуда которых изменяется с периодом порядка 2-х месяцев. Такой характер движений пока трудно объяснить. Картина похожа на картину биений (т.е. наложения колебаний с близкими частотами) или на картину модуляции колебаний внешней частотой. Но в данной задаче нет внешних сил, действующих с таким периодом. И не видно механизмов возникновения колебаний с частотой, близкой к маятниковой, наложение которых на маятниковые могло бы вызвать биения.

Можно посмотреть за изменением амплитуд разложения в ряд Фурье отклонений точек от вертикали. Это позволит судить, есть ли перекачка энергии в более высокочастотные по колебания. Ведь полная энергия 69    практически сохраняется. Ниже приведен график изменения амплитуд от времени для таких колебаний (рис. 27) и график амплитуд от времени только для младших гармоник (высокочастотных) (рис. 28). Справа на графике приведена шкала, где указаны номер гармоники и цвет, которым она отмечена на графике. Видна периодичность, когда все гармоники синхронно достигают своих минимумов, это соответствует прямолинейному вертикальному положению. Графики красивые, но положение дел не прояснили, т.к. перекачки энергии не видно, амплитуды более высоких гармоник возрастают и убывают синхронно с амплитудами более низких.

Хотя энергия может «уходить» в промежуточные гармоники.

Рис. 27. Зависимость амплитуд разложения Фурье от времени.

70    Рис. 28. Зависимость младших амплитуд разложения Фурье от времени.

Периодическое изменение напряжения Рис. 29. Изменение напряжения при колебании, близком к маятниковому.

На рис. 29 изображены колебания близкие к маятниковым, из прямолинейного отклоненного начального положения. Рисунок «сплошной», т.к. положения троса отрисовывались довольно часто. Цвет точки троса отражает напряжение в этой точке. Номинальное – зеленый, чем меньше, тем синее, чем больше, тем желтее. На верхнем крае рисунка цвет изменяется волнами, то есть напряжение изменяется периодически. Это происходит 71    потому, что на фоне колебаний нулевой моды происходят колебания более высокой моды, которые и обуславливают изменения напряжения, более заметные. Видно, что на конце троса вариация напряжения больше.

Распространение локального возмущения Отдельная узкая волна может возникнуть, например, из-за удара метеорита, резкого отсоединения балансировочной массы, рывка подъемника.

Зададим на прямом тросе параболическое возмущение. Эволюция такого возмущения показана на рисунке 10, для возмущения амплитуды километра и ширины 8 000 км, центр его находится на середине троса.

Масштаб по оси абсцисс увеличен в 600 раз. Волна не распадается на две, как можно было бы ожидать, а расширяется и становится плоской (рис. 30б, в, г), затем отражается от краев (рис. 30д), идет обратно, сужаясь (30е, ж), и перегибается в другую сторону (30и). (Если начальное возмущение располагалось не в середине троса, а, например, на высоте 80% от длины троса, то возмущение, обращенное в другую сторону, возникает на высоте, симметричной высоте начального возмущения относительно середины троса, то есть приблизительно на высоте 20% от длины троса.) На другой стороне повторяется примерно то же самое. Фронт волны доходит от середины до края примерно за 2 часа. Примерно за 4.5 часов образуется волна, похожая на начальную, но выгнутая в другую сторону. То есть полный период составляет около 9 часов. Скорость движения фронта волны составляет около 5.5 км/с.

72    Рис. 30. Перемещение локального возмущения Смена режима Движения троса очень разнообразны и зависят от начального состояния.

Классифицировать их трудно, но некоторые отличаются своими 73    специфическими особенностями. Например, движение, при котором концевая масса ведет себя так (рис. 31). Есть заметная смена характеристик 55 часов. Колебания большой амплитуды и сравнительно движения при небольшой частоты после непродолжительного периода довольно хаотичных колебаний переходят в более высокочастотные колебания с меньшей амплитудой. Такой характер движений напоминает переход к другому резонансному режиму в системах невысокого порядка (2-го, 3-го).

(изменение режима движения вблизи резонансов, когда происходит вход или выход из резонансной зоны. Неясным остается, какие резонансы здесь взаимодействуют, если это взаимодействие резонансов.) Такие явления показывают, что динамика троса сложна и ее необходимо изучать дальше.

Рис. 31. Поведение концевой точки. Смена режима Смена режима встречается и в других системах. Например, на рис. показано аналогичное поведение в системе 3-го порядка, близкой к используемой в [56] системе для спутника с магнитным демпфером.

74    Рис. 32. Смена режима у спутника с магнитным демпфером Линейные колебания Движения предельно малой амплитуды можно описывать как линейные колебания, в линеаризованной задаче. В этом случае можно написать аналитическое решение. Это полезно и для проверки численных алгоритмов, и для проверки аналитического решения линеаризованной задачи.

Аналитическое решение помогает понять смысл полученных численно закономерностей.

Для построения линейных колебаний рассмотрим линеаризованную задачу.

Линеаризация задачи Нелинейную непрерывную задачу можно линеаризовать. У линеаризованной задачи найдутся собственные частоты и формы колебаний.

Напоминаем, что уравнения движения имеют вид (5.13), (5.13) а краевые условия к ним (5.14) 75    К (5.14) К Линеаризуем их около вертикального положения равновесия. Введем,,,, так что вариации переменных,, т.д.

0. Из условия нерастяжимости (5.15) где, 0, 0.

следует 1, Действительно, для любого момента времени оставляя только линейные по вариациям члены, получим 1 2 1 0 0, то, 0.

, а т.к.

зависит от конструкции лифта, а не от движения, поэтому не варьируется. Для введем вариацию.

. Членами второго порядка малости 0, остается пренебрегаем,. По :

.

Получаем из (5.13):

0 2 (5.26) Из (5.14) краевые условия при 0 2 К (5.27) К Уравнения для отделяются. Рассмотрим их отдельно. Для краткости опустим символ. До конца раздела будет обозначать вариацию, а – начальное натяжение. Конечную массу временно (до конца раздела) назовем, т.к. индекс “ ” понадобится для номера моды.

(5.28) 0,,, 76    Здесь Третье уравнение в (5.28), т.е. новое условие на конце, получилось, когда приравняли из динамического уравнения (5.26) и из краевого условия (5.27).

Разделение переменных Применим метод разделения переменных. Представим в виде ряда,, где – частные решения, представимые произведением функции от и функции от. Для каждого задача «распадается» на временную и пространственную части (5.29) 0 (а дальше будет показано, что это так), то временная часть Если cos sin имеет решение, а для пространственной части ( ) получается задача Штурма-Лиувилля, причем неклассическая, с параметром в краевых условиях. Решением линеаризованной задачи занимались аспирант МФТИ Чернов А. В. и студент МехМата МГУ Калачев Г. В. [57]. Чернов нашел начальный член асимптотики по для, а также формальное выражение в виде ряда для собственных функций.

Вычисление собственных значений и собственных функций провел другим способом Калачев. Далее кратко изложено решение Калачева. Подробнее и с доказательствами лемм это решение можно найти в [57].

Вычисление спектра Индекс опустим. Из последней части (5.29) получаем 0. (5.30) Разделим краевые условия (5.28) на и соответственно.

0 (5.31) Выразим из (5.30) и подставим в (5.31), таким образом избавляясь от второй производной в краевом условии. Получим систему 0, 0 0, (5.32) 77    Будем интерпретировать задачу как поиск спектра дифференциального оператора :

, так что 0,, удовлетворяющие Этот оператор действует на функции из краевым условиям (5.31), множество этих функций – линейное пространство.

Введем на нем скалярное произведение, (5.33) – симметричный и отрицательно определенный относительно этого скалярного произведения (доказательство в [57]).

Из симметричности следует вещественность собственных значений и ортогональность собственных функций с разными собственными значениями.

Из отрицательной определенности следует отрицательность всех собственных значений, т.е. положительность, как и было упомянуто выше.

Алгоритм вычисления собственных значений и собственных функций Сделаем замену – преобразование Прюфера, по аналогии с тем, как было сделано в похожей задаче С.Ю. Садовым в [58] cos (5.34) sin 0и Конец лифта выше геостационарной орбиты, то есть 0. Также нужно, чтобы 0, и и одновременно не обращались в 0.

Задача приводится к виду sin cos (5.35) 0 tg В [57] доказано, что если – решение задачи (5.35) без второго краевого условия, то возрастает по и существует бесконечное число 0, 1, 2, …, для которых краевая задача (32) имеет значений решение.

Для нахождения нужно численно проинтегрировать (5.35). И, по, находить пользуясь монотонностью, при которых 0, 1, 2, …, где удовлетворяется последнее принимает значения краевое условие (5.35).

78    Соответствующая собственному значению собственная функция находится совместным интегрированием уравнений в переменных и:

sin cos, ctg sin cos Затем от этих переменных нужно вернуться к исходным (5.34).

Пользуясь этим методом, была написана программа, вычисляющая собственные функции, и она была оформлена в виде динамически подгружаемой библиотеки dll. Пользуясь этим методом, Калачев написал программы для вычисления собственных форм и частот. Полученные результаты использовались здесь для исследования малых колебаний в нелинейной модели.

Численное исследование малых колебаний Полученные собственные функции и собственные значения – определяют моды периодических колебаний.

Эти результаты использовались в программах, численно моделирующих движение лифта в нелинейной модели. Это обоюдная проверка численных методов и аналитических результатов. Численные расчеты показывают также границы применимости линеаризованной модели.  Собственные формы линеаризованной задачи задаем как начальные формы троса в программе, численно интегрирующей нелинейную модель.

Результаты расчетов показаны на рис. 33 на примере первых 8 мод колебаний. При достаточно малом отклонении колебания получаются периодическими. Узлы остаются на месте на протяжении десятков периодов.

Масштаб по оси абсцисс сильно увеличен, иначе поперечные движения не были бы видны.

79    Рис. 33. Первые собственные моды колебаний Как можно заметить на рисунке, собственные функции напоминают синусоиды. На самом деле они, конечно, не синусоиды (особенно это видно на более высоких модах, пучности не одинаковой амплитуды).

1 узел и близка к -я собственная форма имеет пучностей и синусоиде, у которой на длине троса располагаются периодов.

В нашей программе предусмотрено разложение в ряд Фурье отклонений от вертикали на каждом шагу по времени. Можно посмотреть на график коэффициентов Фурье от времени. Для каждого собственного движения моды 2 ведущей на графике будет -я мода Фурье. На рис. 34 для начальной формы колебаний (рис. 34а) изображена зависимость коэффициентов Фурье от времени (рис. 34б), на протяжении семи периодов движения. Для 2-й собственной моды главная мода на графике Фурье – 1-ая, которая показана зеленым цветом на рис. 34б. То, что периодов 7 видно из того, что коэффициент первой моды Фурье 14 раз обращается в 0, а это происходит при выпрямлении троса, т.е. 2 раза за период.

80    Рис. 34. Коэффициенты Фурье от времени (б) для собственной формы (а) Для нечетной собственной моды 2 1 главными на графике коэффициентов Фурье от времени будут две моды Фурье – с номерами и 1.

Поведение напряжения в линейных колебаниях Натяжение и особенно напряжение троса – важные характеристики движения.

Рассмотрим подробнее напряжение в линеаризованной модели. Найдем сначала натяжение в линеаризованной модели.

Используем первые формулы из (5.26) и (5.27) (5.36) 2 0,, 2, для вычисления вариации,, то есть для определения поправки первого порядка к силе натяжения троса в невозмущенном положении.

, находится квадратурой,, 2, (5.37) 2,, Линейная плотность и конечная масса постоянны во времени и, определяются формулами (3.13), (3.14). Вариация скорости 81    определяется дифференцированием по времени решения линеаризованной задачи.

(5.38) Выражение (5.37) приобретает следующий вид:

, Для одномодовых колебаний формула выглядит проще, 2 (5.39) 0 трос неподвижен, и форма его соответствует Если при -й моде колебаний, то (5.40), cos,, sin, где – амплитуда колебаний -й моды.

Формула (5.37) принимает вид:

, 2 sin (5.41),,. Из (5.41) видно, что сила Напомним, что натяжения изменяется периодически и достигает экстремумов со сдвигом по фазе на четверть периода по сравнению с поперечным отклонением.

,, т.е. когда отклонения троса совпадает с, когда фаза принимают амплитудные значения. Заметим, что вариация силы натяжения в, точке синфазна или противофазна скорости в (5.40), в зависимости от знака выражения в скобках (5.41). Вообще, знак этого выражения может меняться вдоль троса. Оно может обращаться в 0, и тогда натяжение в этой точке остается постоянным во время движения. Видно еще, что вариация натяжения пропорциональна амплитуде, которая определяется из начального отклонения.

, Для вычисления напряжения поделим натяжение в точке на площадь сечения в точке.

,,, где – напряжение в вертикальном неподвижном тросе. Для равнонапряженного троса – константа.

82   , Подставив из (5.39) имеем (5.42),, Или, в другой форме,, (5.43),, Напряжение ведет себя в таких движениях достаточно интересно. Хотя меняется мало – на 0.1% – 0.01% от начальной величины.

Например, на рис. 35 представлены парами профиль троса и напряжение в один и тот же момент. Начинается движение с гладкой кривой напряжения, в которой напряжение монотонно убывает (35а), потом быстро образует волнообразную кривую, у которой столько экстремумов, сколько у собственной формы троса узлов (35б). Такая примерно форма кривой напряжения держится до половины периода. Амплитуда колебаний напряжения увеличивается по мере движения от крайнего положения до среднего, т.е. при фазе от 2 до 2 1 (35в – четверть периода) и уменьшается при движении от среднего положения к крайнему, т.е. при фазе от 2 1 до 2 2 ),. (35г – незадолго до половины периода, амплитуда колебаний напряжения заметно уменьшилась). Потом на половине периода она образует монотонную кривую (35д), и перегибается в обратную сторону, т.е. образует волнообразную кривую с тем же количеством экстремумов, но направленную «зеркально», т.е. минимумы и максимумы поменялись местами. И держится в таком виде еще полпериода (35е – немного после половины периода, 35ж – три четверти периода).

83    Рис. 35. Пары – профиль троса и напряжение в один момент времени.

Чтобы нагляднее показать изменение напряжения во время движения, на следующих рисунках участки троса с разным напряжением будем 84    рисовать разным цветом. (Напоминаем, что рисунок растянут по оси абсцисс, т.к. отклонение составляет порядка 0.001 от длины) Рис. 36. Напряжение для первой и второй половин периода.

На рис. 36 участки троса с напряжением больше номинального закрашивались зеленым цветом, меньше – синим. 36а – первая половина периода, когда sin 0, и 36б – вторая половина периода того же движения. Видно, что рисунки а и б «инвертированы» по напряжению.

Рис. 37. Напряжение для высокой моды.

85    На рис. 37 принцип окраски тот же: зеленые – участки троса с большим напряжением, синие – с меньшим. Видно, что напряжение при более прямом тросе больше, чем на участках больших амплитуд. Этот эффект наблюдается на высоких модах. Движение здесь, конечно, нелинейное, но, т.к. отклонения малы и близки к линейным, на них распространяются закономерности линеаризованного движения. Скорее всего, большее напряжение при прямом тросе объясняется большей скоростью (5.43). То, что максимальная для движения скорость больше для более высоких гармоник, с одной стороны, интуитивно понятно: амплитуда примерно та же, что для низких гармоник, а частота колебаний выше, а с другой – видно из формулы (5.40), где – собственное число и растет с номером гармоники.

Рис. 38. Напряжение для 3-й моды. Есть участки, где напряжение сохраняется.

Иногда на протяжении всего движения напряжение на одном участке троса почти не меняется. На рисунке 38а изображена первая половина периода, на рисунке 38б – вторая, дальше все продолжается периодически.

Рисунок выглядит сплошным, потому что положения троса отрисовывались часто. Окраска градиентная: номинальное напряжение обозначено зеленым, чем напряжение больше, тем цвет желтее, чем меньше, тем синее. Видны две зеленые полосы, на которых напряжение практически сохраняется.

Остальные участки троса кажутся синими или желтыми потому, что вариация напряжения на них, хотя в абсолютном значении мала, значительно больше вариации напряжения на зеленых участках, которая почти равна нулю. Существование же участков, на которых напряжение почти не 86    меняется, связано с тем, что для этой формы троса находятся координаты, 0 (5.42).

при которых, т.е.

На рисунке 39 изображено размытие узлов за 14.5 периодов при начальном отклонении около 0.0024 от длины троса. (Окраска троса здесь градиентная, в зависимости от напряжения, как и для рис. 38, но цвета с изменением напряжения меняются медленнее).

Рис. 39. Нарушение периодичности.

Нелинейные движения с большой амплитудой, явления неустойчивости, катастрофические режимы Кроме колебаний в ограниченной области, есть движения, приводящие к падению лифта. (Падением лифта назовем катастрофически большое отклонение от вертикали, после которого лифт уже не возвращается в начальное положение). Наблюдалось несколько сценариев такого развития событий.

Например, постепенное увеличение амплитуды, вплоть до падения. На рис. 40 показаны три этапа эволюции такого движения.

87    Рис. 40. Постепенное увеличение амплитуды.

Кроме того, есть движения, в которых процессы, приводящие к падению лифта, начинаются в некоторой области троса. Например, наблюдается известный «эффект кнута», когда большие отклонения от вертикали начинаются с незакрепленного конца. В этом случае принято считать, что часть энергии, сосредоточенная в окрестности свободного конца, вызывает его значительную скорость при относительно малой массе на этом конце.

Плотность троса космического лифта также существенно убывает к концу, но наличие концевой массы делает эту гипотезу довольно сомнительной. Есть также специфическая «спиральная» неустойчивость, начинающаяся в нижнем, закрепленном конце троса.

Мы назвали ее спиральной, т.к. как в некоторый момент времени трос закручивается в дугу спирали. Сначала участок троса провисает (опускается ниже горизонтального положения), потом образует часть спирали, затем перегибается в петлю, дальше движется хаотически. Это довольно неожиданный способ возникновения неустойчивости. Он мог бы быть связан с недостатками математической модели или численного алгоритма. Поэтому желательно рассмотреть его более подробно. Уравнения колебаний лифта не имеют аналитического решения. Но оказывается возможным построить некоторую модельную задачу, для которой удается найти семейство точных частных решений.

Пример точного решения нелинейной модельной задачи Для построения приближенной задачи рассмотрим нижнюю часть троса.

Будем считать, что на этом участке линейная плотность троса постоянна, 88    гравитационно-центробежное поле постоянно. На верхнюю точку рассматриваемой части троса действует следящая (то есть направленная по касательной к тросу) сила, она представляет натяжение со стороны верхней, не рассматриваемой части троса.

Динамические уравнения имеют следующий вид:

(5.44) Введем снова – угол между касательной к тросу в точке и вертикалью;

, и запишем уравнение для натяжения. Оно выводится тем же образом, что и уравнение (5.20) в исходной задаче, т.е.

двойным дифференцированием условия нерастяжимости по времени и подстановкой и, найденных из уравнений движения.

Получаем (5.45) Для рассматриваемой задачи можно найти еще эволюционное уравнение для величины угловой скорости и получить автономную систему уравнений, не содержащую координат. Для этого продифференцируем по времени выражение для угловой скорости из (5.18).

0, а Учтем, что и найдем из динамических уравнений (5.44). Тогда (5.46) Из определения и (5.17) следует (5.47) Уравнения (5.45), (5.46), (5.47) образуют систему для трех переменных,,. Число переменных можно уменьшить, выразив и через. Тогда остаются 2 уравнения для переменных и 0 (5.48) 2 (5.49) Теперь введем переменную и будем искать решение системы (5.48), (5.49) вида,.

89    Для произвольной функции верно:

, Здесь и до конца главы штрих означает дифференцирование по.

Используя эти соотношения, получим, 1,, 2 В результате уравнения (5.48, 5.49) приводятся к виду 0 (5.50) 2 2 (5.51) (5.50), (5.51) образуют уже систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Введем функцию : и заменим на приведенную переменную Уравнения (5.50, 5.51) примут вид (5.52) 4 (5.53) Отсюда 3 Это уравнение имеет частное решение:, или.

Подставляем в уравнение (5.53) 2 3 Интегрируя, получаем, 2 где и C – постоянные интегрирования.

Учитывая, что 90   , 0 или | | | | Отсюда можно найти как функцию от, а затем с помощью соотношений (5.16) получить выражения для и.

С Введем параметры и. Вид интеграла для и дальнейших формул для и зависит от отношения.

При удобно ввести параметр. Тогда, 1 (5.54), Где, и – константы интегрирования При вводим параметр, 1 (5.55), Для того чтобы удовлетворить условию сопряжения кривых в точке, нужно выбрать такие значения:,,.

Формулы (5.54), (5.55) определяют частное автомодельное семейство решений модельной задачи, которое показывает возможность существования довольно искривленных форм троса вблизи точки закрепления. На рис. показан пример одной из полученных по этим формулам кривых – форма троса для некоторого момента времени.

91    Рис. 41. Форма начального участка троса, модельная задача.

Это качественно похоже на численно полученные формы начального участка троса после возникновения спирали и перед падением. Это сходство является доводом в пользу того, что спиральная неустойчивость обусловлена механикой задачи, а не есть артефакт метода.

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ Механические характеристики материалов на основе УНТ точно не известны. В большинстве работ предполагается, что модуль Юнга 1–2 ТПа, а предел прочности (разрывное напряжение) – 130–150 ГПа. Материал при этом достаточно растяжимый, однородная нить из него может растянуться на 6–13 % до разрыва. Это немало, т.е. продольные колебания тоже нужно рассматривать.

6.1. Математическая модель Здесь продольные колебания рассматриваются изолированно, без учета поперечных, в предположении, что трос вертикален. Хотя при таких движениях возникает кориолисова сила, которая стремится отклонить трос от вертикального положения. Но этими силами пренебрегаем, так как они малы из-за малости скоростей отдельных элементов при продольной деформации.

92    Итак, рассматриваются продольные деформационные движения вертикально расположенного сверхдлинного растяжимого троса космического лифта с линейной упругостью. Введем координаты. – расстояние рассматриваемой точки вдоль троса от начальной точки в недеформированном (нерастянутом) тросе. Тогда все физические свойства точки троса будут определяться только координатой, поскольку они не зависят от перемещения этой точки в пространстве. В процессе движения, реальное положение точки будет меняться. Введем – величину смещения точки вдоль троса относительно исходного ее положения в нерастянутом тросе. Т.е. расстояние точки от начальной точки равно,. Расстояние ее от центра Земли, соответственно,. (6.1) Рассматриваем простую механическую модель материала троса:

упругий материал с линейной зависимостью деформации от напряжения (закон Гука), а изменение длины где длина участка. Индекс «2»

относится к конечной точке участка, «1» – к начальной.

Выпишем уравнение для колебания точки троса. Возьмем элемент троса с координатой и длиной по этой координате. Масса этого элемента. Физическая координата, выражается приведенной выше формулой (6.1). Внешняя сила на этот элемент.

Относительное удлинение элемента в сечении :, следовательно, упругая сила в этом сечении. Полная упругая сила на элемент длины :. В результате получаем уравнение движения элемента троса :

(6.2) Для концевой массы уравнение движения будет выглядеть так:

К (6.3) К К К К (где, в соответствии с (3.12),.

93    В отличии от уравнения колебания простого стержня, здесь переменное сечение и переменное по координате внешнее поле сил.

6.2. Алгоритм вычислений Уравнение интегрировалось численно. Использовались как метод прямых, так и интегрирование уравнения на двумерной сетке. В последнем случае брались шаблоны в виде креста (рис. 42а) и шаблон Кранка Николсона (рис. 42б). Интегрирование по времени в методе прямых проводилось методами Эйлера и Рунге-Кутты 4 порядка. Метод Эйлера и крестовидный шаблон оказались непригодны из-за заметной неустойчивости.

Для успешного интегрирования требовался малый шаг по времени, т.е. малое значение числа Куранта. Методы Кранка-Николсона и Рунге-Кутты показали хорошие результаты. Метод Кранка-Николсона неявный и абсолютно устойчивый [59].

Рис. 42. Шаблоны «крест» и Кранка-Николсона При расчете методом Кранка-Николсона производная по пространству считается как среднеарифметическая производных по пространству на предыдущем и следующем слоях по времени (рис. 42б). Вторая производная по времени считалась по 3-м точкам: на предыдущем временном слое, текущем и следующем.

94   ,,, 1,,,, 2 1,,,, 2,, 1 – предыдущий, 1 – следующий, – ( – текущий узел по времени, узел по координате ). Таким образом, получается система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей (неизвестные – параметры на следующем временном слое).

6.3. Примеры расчетов Колебания троса, конечно, не периодические, как видно из уравнения колебаний. Будучи возмущенным, трос не возвращается точно в начальное положение. Но в какой-то мере возврат к начальной картине есть, какая-то периодичность прослеживается. На рис. 43 по оси абсцисс отложена координата точки вдоль троса, по оси ординат – продольное смещение от невозмущенного положения, бирюзовым изображен начальный профиль возмущения, синим – профиль в момент времени, когда он максимально вернулся к начальному положению.

Рис. 43. Профили возмущения: начальный и максимально близкий к начальному 95    Продольные колебания более высокочастотные, чем поперечные. Если период поперечных колебаний порядка суток, то продольных – порядка часов.

Если трос подвесить и предоставить самому себе, он тем не менее будет растянут из-за действия гравитационно-центробежных сил. Профиль растяжения легко посчитать. Нужно взять ускорение точки в уравнении (6.2) за 0, 0 (6.4) и решить численно (6.4) (оно дает 3-х-диагональную матрицу), то получаем профиль растяжения Рис. 44. Профиль стационарного растяжения.

Видно, что он близок к линейному. Такой результат можно приближенно получить и аналитически.

Линеаризуем уравнение колебаний (6.2). Учтем, по модулю значительно меньше длины элемента, так как мы рассматриваем мало растяжимые материалы. С другой стороны, величина, конечно, не является пренебрежимо малой, поэтому, вводя асимптотически малый и, коэффициент, можно перейти к нормированным величинам которые остаются конечными при 0, заменой,.

96    Сделав аналогичную замену в краевом условии, перейдем от (6.2), (6.3) к задаче (6.5) К К К (6.6) К К К К К К, К Здесь.

Задача (6.5), (6.6) линейная, но неоднородная. Следовательно, ее решение можно представить в виде частного решения такой задачи и линейной комбинации решений однородной задачи.

В данном случае частное решение задачи (6.5) можно искать в виде, то есть, как не зависящее от времени. Обозначим такое решение. Для имеем уравнение в ряд по Разложим : и получим в 0-м приближении Это уравнение можно один раз проинтегрировать 0 0 0. Отсюда Проинтегрировать в явном виде это уравнение уже сложнее. Заметим только, 0 0, то есть для свободно висящего троса удлинение меняется что при с линейно.

97    Видно, что и в линеаризованной задаче равновесная конфигурация близка к прямой, как и в численном расчете для нелинейной задачи.

Приведем для оценки скоростей распространение узкого возмущения.

Например, на равновесной конфигурации троса параболическое возмущение шириной 500 км и амплитудой 200 км (рис. 45а) проходит от одного конца троса длиной 80 000 км до другого примерно за 47 минут. При этом оно не остается одной волной, и не распадается на две, а образует волновой пакет (рис. 45б), который со временем размывается еще больше.

Рис. 45. Распространение узкого возмущения 98    ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ • Разработана концепция нагруженного КЛ, обладающего по сравнению с распространенной концепцией Эдвардса большими возможностями и повышенной надежностью • Проведен обзор упрощенных моделей, известные ранее дополнены.

Упрощенные модели использованы для получения базовых характеристик движения.

• Создана оригинальная математическая модель для изучения поперечных колебаний нерастяжимого троса переменной линейной плотности в неоднородном силовом поле. Модель включает эволюционную часть и уравнение для вычисления натяжения без использования механического уравнения состояния напряженной нити.

Непрерывная модель и более простые динамические модели дают похожие результаты там, где их можно сравнить. Создан программный комплекс, позволяющий исследовать динамику троса КЛ на большом интервале времени.

• Из многочисленных расчетов выделено несколько характерных движений троса. Ограниченные по углу: близкие к одномодовым, близкие к собственным формам линеризованной задачи, колебания со сверхмедленным изменением амплитуды, распространение поперечной волны. Движения, приводящие к падению троса: постепенная раскачка, раскачка незакрепленного конца, необычная «спиральная»

неустойчивость в окрестности закрепленного конца (для нее найдено автомодельное решение приближенной задачи) • Построена математическая модель продольных колебаний длинного переменного в сечении растяжимого троса в переменном по координате внешнем поле. Проведены численные расчеты, найдена скорость распространения продольных волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Работа демонстрирует, что динамика космического лифта даже без учета многих факторов, вроде движения кабины, сложна и разнообразна.

Так как создание протяженных космических систем важно, а полная экспериментальная их отработка на Земле невозможна, нужны дальнейшие исследования, численные и теоретические.

99    ЛИТЕРАТУРА 1. Белецкий В.В., Иванов М.Б., Отставнов Е.И. Модельная задача о космическом лифте. // Космические исследования. 2005. Т.43, №3. С.157 160.

2. Первушин А.И. Мифология космического лифта (Эссе из цикла “Космическая экспансия: от фантастики к реальности”) // Полдень. XXI век. 2009, № 53 (май). С. 161-170.

3. Арцутанов Ю.Н. В космос на электровозе // Комсомольская правда, июля 1960.

4. Арцутанов Ю.Н. В космос без ракет // Знание – сила. 1969, № 7. С. 25.

5. Арцутанов Ю.Н. Железная дорога Луна – Земля // Техника – молодежи.

1976, № 4. С.21.

6. Isaacs J.D., Vine A.C., Bradner H., Bachus G.E. Satellite Elongation into a True “Sky-Hook” // Science. 1966, 151:682.

7. Lvov V. Sky-Hook: Old Idea. // Science. 1967. V.158, Nov. 17. P.946-947.

8. Clarke A.C. The fountains of paradise. NY: Ballantine Books, 1978.

(Русский перевод: Кларк А. Фонтаны рая // Техника – молодежи, 1980.

№ 1-12).

9. Clarke A.C. The Space Elevator: ‘Thought Experiment’, or Key to the Universe? // Advances in Earth Oriented Applied Space Technologies, 1981.

10. Поляков Г.Г. Обобщенные задачи о космическом лифте // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1972, №6. C. 54-59.

11. Поляков Г.Г. Собрание трудов. Т.1. Привязные спутники, космические лифты и кольца (1967-1974). Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета. 1999.

12. Pearson J. The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth’s potential energy // Acta Astronautica. 1975, V. 2, No. 10. P. 785-799.

13. Шошунов Н.Л. Космический лифт: надежды и проблемы // Полет. 2006, №3. С. 53-60.

14. Space Elevator History. URL: http://www.star-tech-inc.com/id4.html 15. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354, №6348. P. 56-58.

16. Demczyk B.G., Wang Y.M., Cumings J. a o. // Mater. Sci. Eng. A334. 2002, 100    17. Wang X., Li Q., Xie J. a o. Fabrication of Ultralong and Electrically Uniform Single-Walled Carbon Nanotubes on Clean Substrates // Nano Letters. 2009.

V. 9(9). P. 3137-3141.

18. Chang C.-C., Hsu I-K., Aykol M. a o. A New Lower Limit for the Ultimate Breaking Strain of Carbon Nanotubes // ACS Nano. 2010. V. 4(9). P. 5095 5100.

19. Бакаткин А. Искусственные мышцы на основе нанотрубок. URL:

http://www.3dnews.ru/news/iskusstvenie_mishtsi_na_osnove_nanotrubok 20. Шеппард Г. Искусственные мышцы // Вокруг света. 2007, №6 (2801).

21. Smitherman D.V. Jr., Space Elevator: An Advanced Earth-Space Infrastructure for the New Millenium. // NASA/CP-2000-210429. 2000.

22. Audacious & Outrageous: Space Elevators // NASA Science.

23. Edwards B.C. The Space Elevator // NIAC Phase II Final Report. 2003. 43 p.

24. Edwards B.C. Design and Development of a Space Elevator // Acta Astronautica. 2000. V. 47. №10, Nov., P. 735-744.

25. Edwards B.C. The Space Elevator Development Program. // 55th IAC 2004, Vancouver, Canada. IAC-04-IAA.3.8.2.01.

26. Avnot M.S. The space elevator in the context of current space exploration policy // Space policy. 2006. V. 22. № 2, May. P. 133-139.

27. Shelef B. The Space Elevator Feasibility Condition. // The Spaceward Foundation, 2006.

28. Fujii H. A., Ohta M., Watanabe T. a o. Study of Feasibility and Characteristic of Space Elevator // 25th International Symposium on Space Technology and Science (Selected Paper). 2006. 2006-g-07.

29. Perek L. Space elevator: Stability // Acta Astronautica. 2008. V.62. № 8-9, Apr.-May. P. 514-520.

30. Quine B.M., Seth R.K., Zhu Z.H. A free-standing space elevator structure: A practical alternative to the space tether // Acta Astronautica. 2009. V.65, № 3 4, Aug.-Sep. P. 365-375.

31. Steindl A., Troger H. Is the Sky-Hook Configuration Stable? // Nonlinear Dynamics. 2005. V.40, N 4. S. 419-431.

32. Schwarzbart M., Steindl A., Troger H. On Stability problems of the space elevator // Sixth International Congress on Industrial Applied Mathematics 101    (ICIAM07) and GAMM Annual Meeting, Zrich 2007. R.Jeltsch (Hrg.).

Zrich: AMM/Wiley – VCH. 2007, 2 S.

33. Pugno N., Schwarzbart M., Steindl A. a o. On the Stability of the Track of the Space Elevator // Acta Astronautica. 2009. V.64. P.524-537.

34. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта. Препринт ИПМ им. М.В.

Келдыша РАН №39. М., 2011. 24 с.

35. Artukovi R. The Space Elevator – physical principles // Patent No. 02-1712 29122000 HAA.

36. Поляков Г.Г. Неэкваториальный космический лифт. (1969) // Собрание трудов. Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета.

1999. С. 117.

37. Cohen S.S., Misra A.K. The Effect of Climber Transit on the Space Elevator Dynamics // Acta Astronautica. 2009. V.64. P. 538- 38. Lang D. D. Space Elevator Dynamic Response to In-Transit Climbers // 1st International Conference on Science, Engineering, and Habitation in Space.

Albuquerque, NM: Space Engineering and Science Inst. 2006. Paper 39. McInnes C.R. Dynamics of a Particle Moving Along an Orbital Tower // Journal of Guidance, Control and Dynamics. V.28. N 2. 2005.

40. McInnes C. R., C. Davis. Novel Payload Dynamics on Space Elevators System // 56th International Astronautical Congress. Fukuoka. 2005. IAC-05 D4.2. 41. Williams P., Wubbo O. Climber Motion Optimization for the tether Space Elevator // AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit. 18 21 August, 2008. AIAA 2008-7383.

42. Woo P., Misra A. K. Dynamics of a Partial Elevator with Multiple Climbers // Acta Astronautica. 2010. V.67. P. 753-763.

43. Lorenzini E. C., Cosmo M. Wave progration in the tether elevator/Crawler system // ActaAstronautica, 1990. V.21, N 8. P. 545-552.

44. Cohen S.S., Misra A.K. Elastic Oscillations of the Space Elevator Ribbon // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2007. V.30, N 6. P.1711-1717.

45. Blaise G. Linear Dynamics of the Space Elevator in the Absense of Climber.

102    46. Williams P. Dynamic Multibody Modeling for Tethered Space Elevators // Acta Astronautica. 2009. V.65. P. 399-422.

47. Kristiansen K.U., Palmer P., Roberts M. A Unification of Models of Tethered Satellites // SIAM Journal. Appl. Dyn. Syst. 2011. 10, 1042. 28 p. ;

doi.

1137/ 48. Lang D.D. Space Elevator Dynamics Reference Manual : in behalf of Institute for Scientific Research, Inc. 12 Apr. 2006.

49. Ohkawa R., Uchiyama K., Fujii H.A. The effect of disturbances on space elevator dynamics with flexibility. // 61st International Astronautical Congress.

2010. Prague, CZ. IAC-10-D4.4.5.

50. Satoh K., Fujii H.A., Iijima K. a o. Study on Fundamental Dynamics of Very Long Tether System // 5th Asian Conference on Multibody Dynamics, 2010.

51. Андрианов И.В. Об особенностях предельного перехода от дискретной упругой среды к непрерывной // Прикладная математика и механика.

2002. Т. 66, вып. 2 С. 271-275.

52. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.

Пер. с фр. URSS. 2010. 586 с. ISBN 978-5-354-01331- 53. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.:

Наука. 1990. 329 с.

54. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. Нелинейные поперечные колебания троса космического лифта // Математическое моделирование. 2011. Т.23, № 12.

С. 3-19.

55. Ames W.F. Numerical Methods for Partial Differential Equations. Academic Press Inc. 1977. 378 p.

56. Садов Ю.А. Периодические движения спутника с магнитным демпфером в плоскости круговой орбиты // Космические исследования. 1969. Т. 7.

Вып. 1. С. 51-60.

57. Калачев Г.В., Нуралиева А.Б., Чернов А.В. Малые колебания троса космического лифта. // Сборник трудов МФТИ 2011, в печати 58. Петров А.Л., Садов С.Ю. Исследование близких к маятниковым движений тяжелой нити на круговой орбите // Препринт ИПМ им.

М.В.Келдыша АН СССР. 1989. № 11. 27 с.

59. Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ. 1994.

528 с.

103   

Pages:     | 1 ||
 














 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.