авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Астрологический Прогноз на год: карьера, финансы, личная жизнь


ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

А. А. АФАНАСЬЕВ, А. А. ПОГОНИН, А. Г. СХИРТЛАДЗЕ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИЗМЕРЕНИЙ

УЧЕБНИК

Допущено

Учебно методическим объединением вузов по образованию в области

автоматизированного машиностроения в качестве учебника для студентов

высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки

«Автоматизированные технологии и производства»

1 УДК 531.7(075.8) ББК 30.10я73 А941 Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой «Технология машиностроения и ремонт горных машин»

Московского государственного горного университета, д р техн. наук, проф. Я. М. Радкевич;

генеральный директор ОАО «Завод «Электромашина» (г. Белгород), д р техн. наук, проф. Н. А. Пелипенко Афанасьев А. А.

А941 Физические основы измерений : учебник для студ. высш.

учеб. заведений / А. А. Афанасьев, А. А. Погонин, А. Г. Схирт ладзе. — М. : Издательский центр «Академия», 2010. – 240 с.

ISBN 978 5 7695 5999 Приведены элементы теорий подобия и размерностей. Отражены представления о классических измерительных системах, элементах со временной физической картины мира, стабильности фундаментальных физических постоянных. Рассмотрены соотношение неопределенностей Гейзенберга, принцип дополнительности, принципы создания современ ной эталонной базы на основе стабильности объектов микромира, сущ ность физических явлений и эффектов и физические основы измери тельных преобразователей в машиностроении.

Для студентов высших учебных заведений.

УДК 531.7(075.8) ББК 30.10я Оригинал макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается © Афанасьев А. А., Погонин А. А., Схиртладзе А. Г., © Образовательно-издательский центр «Академия», © Оформление. Издательский центр «Академия», ISBN 978-5-7695-5999- ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...................................................................................................... Глава 1. Элементы методов теорий подобия и размерностей................. 1.1. О методах теории подобия и системах единиц физических величин....... 1.2. Определение размерностей........................................................................ 1.3. Размерности производных физических величин...................................... 1.4. Размерные и безразмерные величины...................................................... 1.5. Характеристика формулы размерности................................................... 1.6. Перевод размерностей при разном выборе основных величин.............. 1.7. Определение размерностей физических величин при разных определяющих уравнениях...................................................................... 1.8. Основы анализа размерностей................................................................. 1.8.1. Проверка физических уравнений по размерностям отдельных членов................................................................................................ 1.8.2. Определение функциональных связей физических величин в уравнениях на основе размерностей............................................ 1.8.3. П теорема......................................................................................... 1.8.4. Подобие и элементы моделирования............................................. 1.8.5. Подобие объектов и процессов........................................................ 1.8.6. Пересчет и перенесение результатов экспериментов с модели на реальный объект.......................................................... 1.8.7. Примеры применения теории размерностей.................................. Глава 2. Измерительные системы.............................................................. 2.1. Структура измерительных систем............................................................ 2.2. Датчики...................................................................................................... 2.3. Преобразование сигналов........................................................................ 2.4. Устройства отображения.......................................................................... 2.4.1. Устройства индикации..................................................................... 2.4.2. Регистрация данных......................................................................... 2.4.3. Управление и обратная связь.......................................................... Глава 3. Элементы современной физической картины мира................ 3.1. Концептуальные мировоззрения............................................................. 3.2. Предпосылки создания физической картины мира................................ 3.2.1. Механическая картина мира........................................................... 3.2.2. Электромагнитная картина мира................................................... 3.3. Кризис физики и совершенствование представлений о современной физической картине мира............................................... 3.4. Элементы современной физической картины мира.............................. 3.4.1. Релятивистская физическая картина мира.................................... 3.4.2. Неевклидовы геометрии.................................................................. 3.5. Уровень современных достижений науки. Основные идеи и принципы квантовой механики............................................................ 3.5.1. Принцип дискретности (квантование).......................................... 3.5.2. Представление о корпускулярно волновом дуализме свойств вещества............................................................................................ 3.5.3. Формы материи. Самодвижение материи и его конкретные проявления: необратимость, инерция, флуктуации, шумы......... 3.6. Постоянные необратимые изменения Вселенной................................. Глава 4. Квантово механическое описание отдельных частей физической картины мира........................................................................... 4.1. Соотношение неопределенностей и принцип дополнительности......... 4.2. Необратимость изменений Вселенной и стабильность фундаментальных физических постоянных........................................... 4.2.1. Принципиальная невозможность полного устранения неопределенности результатов измерений..................................... 4.2.2. Адиабатические инварианты.......................................................... 4.2.3. Квантовая лестница....................................................................... 4.3. Новые представления о физическом вакууме........................................ 4.4. Гипотеза о кварковой природе материи. Единство сил природы......... 4.5. Фундаментальные физические постоянные в метрологических измерениях микро, макро и мегамира............... 4.5.1. Общая характеристика.................................................................. 4.5.2. Свойства фундаментальных постоянных и их роль в физической картине мира.......................................................... 4.5.3. Элементы квантовой метрологии................................................. 4.5.4. Характеристика фундаментальных физических постоянных..... Глава 5. Физические принципы создания эталонной базы в проведении измерений на основе использования физических явлений и эффектов..................................................................................... 5.1. Краткая характеристика физических эффектов для измерений........... 5.1.1. Физические эффекты, преобразующие механическую энергию в упругую деформацию и другие механические движения.......... 5.1.2. Характеристика физических эффектов немеханического взаимодействия, возникающих при механическом воздействии на объект......................................................................................... 5.1.3. Характеристика физических эффектов механического взаимодействия, возникающих при немеханическом воздействии на объект......................................................................................... 5.2. Физические основы спектрального анализа веществ........................... 5.3. Физические основы интерферометрии и реализации современной единицы длины — метра................................................... 5.3.1. Краткий исторический обзор создания единицы длины — метра................................................................................ 5.3.2. Физические основы интерферометрии и реализация единицы длины — метра......................................................................................... 5.4. Физические основы измерений времени. Единица времени............... 5.5. Физические основы измерений температуры....................................... 5.5.1. Определение температуры............................................................. 5.5.2. Термоэлектрические эффекты и измерения на их основе.......... 5.6. Физические основы измерения силы электрического тока.



Эталон ампера......................................................................................... 5.7. Физические основы единицы напряжения. Эффект Джозефсона....... 5.7.1. Сверхпроводимость как макроскопическое квантовое явление............................................................................................ 5.7.2. Туннельный эффект....................................................................... 5.7.3. Стационарный эффект Джозефсона............................................. 5.7.4. Нестационарный эффект Джозефсона......................................... 5.8. Эффект Холла.......................................................................................... 5.8.1. Двумерный электронный газ и его свойства................................. 5.8.2. Эффекты Холла — обычный и квантовый................................... 5.8.3. Сопротивление Холла и фундаментальные постоянные в квантовой метрологии.......................................................................... 5.9. Метрологические возможности эффекта Мёссбауэра.......................... 5.10. Эффект Ааронова — Бома...................................................................... 5.11. Физические основы единицы массы..................................................... 5.12. Физическое содержание основных характеристик света..................... 5.12.1. Энергетические величины света.................................................. 5.12.2. Световые (фотометрические) величины света........................... 5.13. Физические основы хроматографии.................................................... 5.13.1. Общие понятия............................................................................. 5.13.2. Основные виды хроматографии.................................................. 5.14. Физические основы виброакустических измерений........................... 5.14.1. Краткая характеристика вибраций в конструкциях.................... 5.14.2. Характеристика акустических колебаний (шума)...................... 5.14.3. Характеристика колебаний в конструкции при ударном импульсе........................................................................................ 5.14.4. Физические основы измерительных виброакустических преобразователей........................................................................... Приложение.................................................................................................... Список литературы........................................................................................ ПРЕДИСЛОВИЕ Дисциплина «Физические основы измерений» относится к циклу общепрофессиональных дисциплин, вводящих в круг об разовательных дисциплин по стандартизации и сертификации, и является базовой для подготовки студентов специальности «Стандартизация и сертификация» к изучению специальных курсов.

Вместе с тем углубленное изучение физических основ как те оретической, так и прикладной метрологии может оказать неоце нимую помощь при приобретении машиностроительных специ альностей, особенно в настоящее время, когда существует пробле ма оценки производственных рисков, замены морально устарев шей материальной базы метрологического обеспечения производ ства и повышения точности измерений.

Цель изучения дисциплины «Физические основы измерений» — подготовка студентов к выполнению обязанностей инженера по стандартизации и сертификации в области организационно уп равленческой, производственно технологической, научно иссле довательской и проектной деятельности.

Задачи дисциплины «Физические основы измерений» подра зумевают изучение закономерностей измерений, методов теорий подобия и размерностей, различных измерительных систем, эле ментов современной физической картины мира, проблем физи ко технического обеспечения инженерных решений процедур из мерений, физических принципов создания современной эталон ной базы на основе различных физических явлений.

Наряду с использованием традиционных линейных и вибро акустических измерений, являющихся основой метрологической практики и методологии в машиностроении, современная при кладная метрология применяет методы хронометрических и фазо хронометрических измерений, которые обладают практически неисчерпаемыми ресурсами точности. Наивысшая точность со временных методов и средств измерений физических величин основывается на достижениях квантовой физики, в частности квантовой метрологии. Повышение точности измерений проис ходило постепенно, по мере перехода от категорий макромира к характеристикам микромира, основными из которых являются частота и фаза колебаний его элементов (электронов, элементар ных частиц и других образований).

Изучение отдельных разделов дисциплины «Физические осно вы измерений» основано на материале, излагаемом в курсах фи зики, высшей математики, химии.

Навыки и знания, приобретенные студентами при изучении дисциплины «Физические основы измерений», способствуют ус воению материала при изучении дисциплин «Общая теория из мерений», «Методы и средства измерений, испытаний и контро ля», «Автоматизация измерений, контроля и испытаний».

Гл а в а ЭЛЕМЕНТЫ МЕТОДОВ ТЕОРИЙ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТЕЙ 1.1. О методах теории подобия и системах единиц физических величин В истории развития естествознания известны различные виды подобия: геометрическое, физическое, математическое, химиче ское, биологическое, психофизиологическое, кинематическое, динамическое и др. В теории и практике измерений физических величин непреходящее значение имеет подобие явлений, процес сов, состава и свойств. Достаточно отметить значение анализа физического подобия для возникновения метода планирования эксперимента и проведения сложных научных исследований в авиастроении, гидро, термо и электродинамике, ядерной энер гетике, космонавтике.

Современные представления о физическом подобии базируют ся на принципе независимости закономерностей явлений и про цессов от конкретной системы измерительных мер. На достаточ но коротком отрезке времени развития истории науки и техники использовались единицы (меры) физических величин, входящих в такие системы мер, как СГС (основные единицы: сантиметр, грамм, секунда), МКГСС (основные единицы: метр, килограмм сила, секунда), МТС (основные единицы: метр, тонна, секунда), МКСА (основные единицы: метр, килограмм, секунда, ампер).

С 1960 г. действует единая Международная система единиц физи ческих величин — СИ, в которой основными единицами физи ческих величин являются метр, килограмм, секунда, ампер, гра дус Кельвина, моль и кандела.

Модель явления, процесса, свойств представляет собой в той или иной степени схематизацию реальной картины. В первую очередь принимаются во внимание существенные черты, призна ки моделируемого объекта. Второстепенные признаки, подробно сти, оттенки объекта, как правило, опускаются (учесть все мно гообразие качественных и количественных сторон объекта даже при использовании современных быстродействующих электрон но вычислительных машин (ЭВМ) практически не представляет ся возможным). Вследствие этого объект количественного ана лиза (в том числе измерения) — не реальное явление, процесс, свойство, а результат более или менее высокого уровня схемати зации.

Физико математическая модель физического процесса пред ставляет собой математическое описание его динамических пара метров и свойств среды во взаимной связи. Математическое опи сание может быть представлено в виде таблицы количественных показателей свойств среды, зависящих от ее динамических пара метров, или в виде системы уравнений, связывающих зависимые и независимые переменные. Единицы физических величин явля ются масштабами этих величин и воспроизводятся природными или искусственными эталонами.

Между физическими величинами существуют зависимости (связи), которые выражаются математическими соотношениями, формулами или уравнениями. Эти зависимости не являются слу чайными, частными, но отражают широкий круг явлений и про цессов. В данном случае говорят, что зависимости или закономер ности имеют общий характер.

Совокупность физических величин, связанных между собой зависимостями, называют системой величин. Физические вели чины, входящие в систему и условно принятые в качестве неза висимых от других величин системы, называют основными вели чинами системы. В построении системы физических величин ос новные величины являются первичными в отличие от производ ных величин, которые следует назвать вторичными. Выбор основ ных величин является произвольным. При построении различных систем были выбраны следующие величины: длина, масса, вре мя, сила, сила электрического тока, термодинамическая темпера тура, количество вещества, сила света. Каждой основной величи не присваивается символ в виде буквы латинского или греческо го алфавита. Этот символ называется обобщенной размерностью основной физической величины. Для основных физических вели чин установлены следующие размерности: длина L, масса M, вре мя T, сила тока I, термодинамическая температура Q, количество вещества N, сила света J.

Системы физических величин строятся на совокупности не скольких основных величин и обозначаются совокупностью их символов, которые показывают размерность выбранной системы.

Система величин механики, основанная на таких физических ве личинах, как длина, масса, время, имеет обозначение (размер ность) LMT, основанная на таких физических величинах, как длина, сила, время, обозначается LFT. Объединенная система ве личин механики и электричества LMTI включает в себя такие основные физические величины, как длина, масса, время и сила тока. В качестве физической величины электричества могут быть использованы кроме силы тока электрический заряд, электричес кое сопротивление, количество электричества и др. В данном случае наиболее удобной для использования оказалась сила тока.

Система величин механики и теплотехники основывается на че тырех основных физических величинах — длине, массе, времени, термодинамической температуре — и обозначается LMTQ.

Таким образом, систему физических величин составляет про извольно выбранная совокупность основных величин, с исполь зованием которых образуют другие необходимые для описания физических процессов величины, называемые производными.

Для основных физических величин принимают меру (масштаб ный фактор) для оценки числового значения этой величины, ко торую называют единицей измерения физической величины. Еди ницы измерения производных величин получают на основе их за висимостей от основных величин в виде уравнений связи.

Различают уравнения связи между физическими величинами вообще без учета единицы измерения и уравнения связи между их числовыми значениями. Уравнения связи между числовыми зна чениями величин могут иметь различный вид из за выбора той или иной единицы измерения. В таких уравнениях нередко по являются коэффициенты пропорциональности, значения кото рых могут быть связаны с единицами измерений.

Сказанное можно пояснить следующим примером. Уравне ние связи между длиной и площадью устанавливается из подо бия фигур. Площади подобных фигур пропорциональны квад ратам значений их сходственных линий. Площадь кругов, в ча стности, пропорциональна квадрату радиусов или диаметров.

При соотнесении площадей подобных фигур имеют в виду урав 2 нение связи величин: S1 /S2 = L1 /L 2. Из этого выражения следу 2 ет, что S1/L1 = S2 /L 2, т. е. отношение значения площади фигуры S к квадрату ее линейного размера L является постоянной вели чиной. Обозначив ее буквой k, получим общее выражение для определения площади геометрической фигуры: S = kL2, где k — коэффициент, зависящий от формы измеряемой фигуры и при нятой единицы измерения. Линейный размер и площадь являют ся физическими величинами: линейный размер (длина, радиус, диаметр и др.) — основная физическая величина в системе LMT, площадь — производная. Единицу измерения площади можно оп ределить на основе единицы измерения линейного размера. В СИ единицей измерения линейной величины (размера) принят метр.

Поэтому производная единица измерения площади будет квад ратный метр, умноженный на коэффициент пропорционально сти k. Для квадрата, прямоугольника при использовании в каче стве единицы измерения площади квадратного метра k = 1, для круга k = p/4. Но в качестве единицы измерения площади прин ципиально мог бы быть принят круглый метр. В этом случае фор мулы для определения площадей геометрических фигур измени ли бы свой вид, так как 1 м2 равен 4/p круглого метра. Например, площади некоторых геометрических фигур определялись бы по формулам:

для равностороннего треугольника S кр = L;

p 63 для правильного шестиугольника Sкр = L.

p 1.2. Определение размерностей Возникновение и использование различных систем физиче ских величин ставят задачу перевода одних единиц этих величин в другие. Система физических величин включает в себя также другие физические величины, определяемые через основные (первичные) с помощью формул или математических соотноше ний, — производные. Число основных величин может быть лю бым. Однако опыт проведения научно исследовательских и вы числительных работ показал, что такое число целесообразно при нимать вполне определенным для выбранной системы. Напри мер, в число основных величин механической системы лучше всего включать три величины, в систему тепловых основных ве личин — четыре, в систему основных величин молекулярной фи зики — пять, в систему основных величин для всех разделов фи зики — семь величин.

Изменение каждой из основных физических величин или ее единицы влечет за собой изменение производной физической ве личины или соответственно ее единицы. Исследованием соотно шений таких изменений занимался французский физик и мате матик Ж. Фурье (1768 — 1830). В своей монографии «Аналитичес кая теория тепла», вышедшей в 1822 г., он ввел термин «размер ность». По определению Ж. Фурье, если основная величина изме няется в n раз, а производная в np раз, то эта производная вели чина обладает размерностью p по отношению к соответствующей основной величине. Именно Ж. Фурье впервые установил, что су ществуют определенные основные единицы измерения, относи тельно которых каждая физическая величина имеет определенные размерности, которые нужно записывать как показатели степеней основных единиц измерения.

В системах единиц физических величин СИ (основные семь единиц) и СГС (основные три единицы) единицы длины, массы и времени являются основными. Поэтому если производная ве личина Х изменяется пропорционально Lр (длине в степени р), пропорционально M q (массе в степени q), пропорционально T r (времени в степени r), то величина Х обладает размерностью р от носительно длины (единицы длины), размерностью q относитель но массы (единицы массы), размерностью r относительно време ни (единицы времени). С использованием символов это запишет ся в виде [X] = dim X = LрMqT r, где квадратные скобки, в которые заключен символ величины Х, обозначают размерность единицы производной величины Х от носительно единиц длины, массы, времени.

Символы L, M и T представляют собой обобщенные величи ны (или обобщенные единицы величин). Наряду с применением квадратных скобок для обозначения размерности применяют обозначение dim X (англ. dimension — размер, размерность).

Анализ размерностей широко использовался и используется в разных областях науки. Идеи, лежащие в основе анализа размер ностей, достаточно просты и базируются на физических законах (связях между физическими величинами), не зависят от выбран ной системы основных единиц измерения. Из этой идеи на осно ве логических рассуждений и применения простого математичес кого аппарата следует важное следствие: функции, выражающие физические закономерности, должны обладать некоторым фун даментальным свойством, которое в математике называется обоб щенной однородностью или симметрией. Это свойство позволя ет записать искомые закономерности в безразмерном виде, инва риантном относительно выбора систем единиц измерения, с меньшим числом аргументов (уже безразмерных) и тем самым уп ростить нахождение закономерностей.

1.3. Размерности производных физических величин Производные величины, как было указано ранее, можно вы разить через основные. Для этого следует ввести два понятия: раз мерность производной величины и определяющее уравнение.

Размерностью производной физической величины называют выражение ее через основные величины, в котором коэффициент пропорциональности принят равным единице.

Определяющим уравнением производной величины называют формулу (математическую зависимость), с помощью которой физическая величина может быть выражена в явном виде через другие величины системы.

Например, для скорости движения материального объекта определяющим уравнением является зависимость v = s/t, где s — длина пути, пройденного объектом при равномерном движении за время t. Чтобы найти размерность скорости, следует подставить в формулу вместо длины пути s и времени t их размерности (сим волы):

dim v = L/T = LT -1.

Определяющими уравнениями площади и объема являются соответственно следующие формулы:

S = a2;

V = b3, где a — длина стороны квадрата;

b — длина ребра куба.

Если подставить вместо a и b размерность L, то определятся размерности площади и объема:

Т а б л и ц а 1. Определяющие уравнения для некоторых физических величин Физическая величина Определяющее уравнение Размерность величины S=a L Площадь V = b3 L Объем LT - v = s/t Скорость J = mr 2 L2M Момент инерции L-3M r = m/V Плотность L3M - v = V/m Удельный объем LT - a = Dv/Dt Ускорение LMT - P = mv Импульс тела L2MT - L = mvr Момент импульса LMT - F = ma Сила L2MT - M = Fr Момент силы L-1MT - p = F/S Давление L2MT - A = Fs Работа, энергия L2MT - N = A/t Мощность dim S = L2;

dim V = L3.

Определяющие уравнения для ряда физических величин и раз мерность величин представлены в табл. 1.1.

Из табл. 1.1 следует, что размерность любой физической вели чины Х в различных системах будет определятся по формулам:

в системе величин механики и электричества LMTI dim Х = LaM bT gI d;

в электростатической системе LMT dim Х = LaM bT g;

в электромагнитной системе LMT dim Х = LaM bT g;

в системе механики и теплотехники LMTQ dim Х = LaM bT g Qe;

в любой системе с числом основных величин больше трех dim Х = LaM bT g…, где a, b, g, e — целые числа.

Из приведенных формул следует, что размерность величины представляет собой произведение размерностей основных вели чин, возведенных в соответствующие степени.

Показатель степени (a, b, g, d, e…), в которую возведена раз мерность основной величины, называется показателем размер ности физической величины (как правило, является целым чис лом). Исключение составляют показатели степени в электроста тической и электромагнитной системах, в которых они могут быть дробными.

1.4. Размерные и безразмерные величины Величины, числовое значение которых зависит от принятых масштабов, т. е. от системы единиц измерения, называются раз мерными или именованными величинами. Величины, числовое значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными вели чинами. Размерные величины — это, например, длина, время, сила, энергия, момент силы, давление и др. Отношение двух длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к мо менту силы, значения тригонометрических функций и другие пред ставляют собой примеры безразмерных величин. В формуле раз мерности некоторые показатели могут оказаться равными нулю.

Например, размерность скорости dim v = LT -1 = LM 0T -1. Здесь показатель размерности b для массы равен нулю. Может оказать ся, что все показатели размерности некоторой величины равны нулю. Именно такая величина называется безразмерной. Пере численные ранее безразмерные величины можно дополнить таки ми величинами, как относительная деформация, относительная диэлектрическая проницаемость. Безразмерная величина в одной системе может оказаться размерной в другой. Например, абсолют ная диэлектрическая проницаемость в электростатической систе ме LMT является безразмерной величиной, в электромагнитной системе LMT ее размерность равна L-2T 2, а в системе величин механики и электричества LMTI — L-3M-1T 4I 2. Из приведенно го следует, что понятие размерности не является абсолютным. Его следует рассматривать как понятие относительное. Вследствие этого размерность представляет собой определенность только в рамках одной системы величин. Тем не менее размерность ис пользуют в качестве эффективного средства при анализе соотно шений физических величин и в исследованиях.

Размерность позволяет определить, как изменяется размер производной величины при изменении размеров основных вели чин. Если размерность величины Х равна LaM bT g и длина изме няется от L до L, масса от M до M и время от T до T, то новый размер величины будет больше прежнего в (L/L)a(M /M )b(T /T )g раз, т. е. Х /Х = (L/L)a(M/M )b(T /T )g.

Пример 1.1. Определить изменение момента инерции систе мы при увеличении линейных размеров в 3 раза и массы в 2 раза.

Размерность момента инерции dim J = L2M. Пользуясь приве денной ранее формулой, получим J/J = (L/L)2(M /M ) = 32 2 = 18.

Следовательно, момент инерции увеличится в 18 раз.

Пользуясь размерностями физических величин, можно опре делить изменение производной величины при изменении основ ных единиц величин, а также установить соотношение единиц величин в разных системах.

Пример 1.2. Выразить единицу работы — эрг СГС в джоулях СИ.

Можно записать 1 эрг = 1 г см2/с2 = 10-3 кг (10-2м)2/с2 = 10-3 кг 10-4 м2/с2 = = 10-7 кг м2/с2.

Размерность работы dim А = L2MT -2.

Согласно приведенной ранее формуле для Х /Х Х /Х = 1 Дж/1 эрг = (1 м/1 см)2 (1 кг/1 г) (1 с/1 с)-2 = = (100)2 (1 000) (1)-2 = 107.

Отсюда следует, что 1 эрг = 10-7 Дж.

Размерности физических величин позволяют обнаружить ошибки при решении задачи по определению физических вели чин. При получении расчетной формулы проверяют совпадение размерностей ее левой и правой частей. Несовпадение размерно стей свидетельствует о том, что в ходе решения задачи была до пущена ошибка. Следует вместе с тем отметить, что совпадение размерностей еще не означает правильности решения задачи.

1.5. Характеристика формулы размерности Зависимость производных величин от основных физических величин (точно так же в отношении их единиц измерения) может быть представлена, как показано ранее, в виде формулы. Эта формула называется формулой размерности, и ее можно рас сматривать как емкое определение и характеристику физической природы производной величины. Размерность нужно соотно сить с определенной системой физических величин или систе мой единиц измерения физических величин. Такой вывод сле дует из того, что для одной и той же величины в разных систе мах единиц измерения формула размерности может содержать различное число сомножителей (аргументов) и иметь различный вид. В системе единиц величин, например, СГС (единицы изме рения: сантиметр, грамм, секунда) формулы размерности всех физических величин имеют вид произведения степенных сомно жителей: dim Х = LaM bT g. Такой вид формулы размерности сле дует из физического условия: отношение двух численных значе ний любой производной величины не должно зависеть от выб ранных масштабов для основных величин (или для единиц основ ных величин). Например, значение отношения двух площадей, измеренных в квадратных метрах, будет равно значению отноше ния этих же площадей, измеренных в квадратных дециметрах (сантиметрах, гектарах, километрах и т. д.). Данное утверждение можно легко доказать в общем виде.

Допустим, имеется производная размерная величина y, явля ющаяся функцией аргументов, в качестве которых могут высту пать различные величины: механические, теплотехнические, све товые и др. Для упрощения их можно рассматривать как геомет рические. Тогда существующие связи между этой размерной ве личиной и длинами (расстояниями) в общем виде можно пред ставить в виде уравнения y = f (x1, x2, …, xn ), где x1, x2, …, xn — некоторые линейные величины.

Обозначим через y значение величины y, которое соответству ет значениям аргументов x, x, …, x. Числовое значение y, а так 1 2 n же y зависит от единицы измерения длины, принятой для линей ных величин (длин) x1, x2, …, xn. Изменим эту единицу измере ния или масштаб длин в a раз. Числовые значения y, соответству ющие этим линейным величинам, изменятся также в a раз. Со гласно сформулированному ранее условию должно иметь место равенство соотношений y f ( x1, x2,, xn ) f ( x1a, x2a,, xn ) = = (1.1).

f ( x1, x2,, xn ) f ( x1a, x2a,, xn ) y Это означает, что значение y /y должно быть одинаковым при любом значении единицы измерения или масштаба длин a. Из равенства (1.1) получаем f ( x1a, x2 a,, xn a ) f ( x1a, x2 a,, xna ) =. (1.2) f ( x1, x2,, xn ) f ( x1, x2,, xn ) Тогда значение y = f (x1, x2, …, xn), зависящее от первоначаль но принятой единицы измерения (единичной меры), можно за писать как y(1), значение размерной величины y = f (x1a, x2a, …, xna) — как y(1), а выражение (1.2) как y(a) y (a) = = j(a). (1.3) y(1) y (1) Здесь a — произвольно выбранное числовое значение масш таба измеряемой величины (кратная или дольная единица изме рения). Величина, обозначаемая буквой j, представляет собой числовое значение отношения значений измеряемой величины для заданного значения a. В зависимости от a получается мно жество j, в котором эти величины функционально связаны. Та ким образом, в уравнении (1.3) величины y(a), y(1), y (a) и y (1) не являются константами в принятом понимании, а представля ют собой обобщенный индивидуальный параметр. Такое понятие является одним из центральных в теории размерностей и теории подобия.

Отсюда следует, что отношение числовых значений геометри ческой величины, измеренной в разных масштабах величин, за висит только от отношения масштабов величин (в данном случае длин). Из последнего соотношения нетрудно найти вид функции j(a).

y(a 2 ) y(a1 ) = = j(a1 ), Так как на основании соотношения (1.3) y(1) y(1) = j(a2), отсюда следует y(a1 ) j(a1 ) =, (1.4) y(a 2 ) j(a 2 ) где a1, a2 — произвольно выбранные масштабы измерения вели чин или соотношения применяемых единиц измерения.

Так как x = x1a2, x = x2a2, …, x = xna2, получаем при исполь 1 2 n зовании уравнения (1.3) a y1 a2 a y(a1 ) = = j 1. (1.5) y(a 2 ) a y1 (1) Отсюда с учетом уравнений (1.4) и (1.5) следует a y(a1 ) j(a1 ) = = j 1 (1.6) y(a 2 ) j(a 2 ) a с последующим преобразованием уравнения (1.6) a j(a1 ) = j(a 2 )j 1. (1.7) a Продифференцируем уравнение (1.7) по 1:

a j a2 j(a1 ) = j(a 2 ). (1.8) a1 a1 a Так как выбор масштаба a произволен, уравнение (1.8) будет справедливо при a1 = a2 = a = 1. В этом случае это уравнение мож но переписать в виде

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.