авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Прежде всего, я верю в будущее теории чисел, и я надеюсь,

что недалеко то время, когда неопровержимая арифметика

одержит блестящие победы в области физики и

химии.

Герман Минковский

Абачиев С. К., Стахов А. П.

ЧИСЛОВЫЕ ФРАКТАЛЫ

И ПЕРСПЕКТИВА КАЧЕСТВЕННОГО УГЛУБЛЕНИЯ

МАТЕМАТИКИ ГАРМОНИИ

СОДЕРЖАНИЕ § 1. Фрактальная революция началась в геометрии, но стремительно пере растает в общематематическую и общенаучную.

§ 2. Треугольник Паскаля – один из стратегических объектов математики § 3. Диагональные суммы треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи § 4. «Фибоначчиевы» алгоритмы измерения и р-коды Фибоначчи § 5. Золотые р-сечения § 6. Система счисления Бергмана и коды золотой пропорции § 7. Биномиальные системы счисления § 8. Числовые фрактальные субструктуры треугольника Паскаля.

§ 9. Аналитический расчёт многоцветной гармонии треугольника Паскаля.

Стимулирующий парадокс его числовых фракталов § 10. Треугольник Паскаля как многоуровнево-иерархичная числовая система.

10.1. Об эмпирико-аналитическом и теоретико-синтетическом уровнях научных знаний 10.2. Треугольник Паскаля как несколько существенно разных теоретиче ских описаний 10.3. Общесистемная подчинённость низшего высшему § 11. О научно-методологическом принципе соответствия.

§ 12. Заключение § 1. Фрактальная революция началась в геометрии, но стремительно перерастает в общематематическую и общенаучную В последние десятилетия стали довольно популярными сетования философст вующих учёных на затяжную неспособность теоретической физики породить нечто подобное релятивистской и квантовой революции первой трети ХХ в. В частности, завершить формирование Единой теории элементарных частиц и полей. Но, во первых, сама эта проблема проблем неклассической физики неизмеримо сложнее тех проблем, которые стояли перед физикой в героическую эпоху создания кванто вой механики, частной и общей теорий относительности. Во-вторых, вся история теоретической физики XVII–XX вв. свидетельствует о том, что великим переворотам в теоретической физике предшествуют великие перевороты в математике. Сначала были аналитическая геометрия Декарта и его понятие функциональной зависимости в координированном пространстве, а уж на этой основе – исчисление бесконечно малых в версии Ньютона и Лейбница как язык классической динамики. Сначала бы ла теория комплексной плоскости как органичный синтез планарной тригонометрии и элементарной алгебры, а уж на этой основе – многообразие физических теорий сложных колебательных и волновых процессов. Сначала были неевклидовы геомет рии XIХ в. и тензорный анализ как их аналитический аппарат, а уж на этой основе – геометродинамика Эйнштейна и современная эволюционная космология. Следует особо подчеркнуть, что это были перевороты в геометрических первоосновах математики.

Наконец, в третьих, хотя наука второй половины ХХ в. и не принесла эпохальных открытий масштаба релятивистской и квантовой революций, она принесла новый и радикальнейший переворот именно в геометрической первооснове математики – фрактальную революцию Б. Мандельброта (1924–2010). Ей неполные 40 лет от ро ду, но уже сейчас понятно, что эта неевклидова геометрия является несравненно более радикальной, нежели неевклидовы геометрии XIХ в. Наука коренным обра зом математически перевооружается, начиная с геометрических первоос нов математики. И это – верный предвестник исторически беспрецедент ных переворотов в теоретическом естествознании, в прикладных науках, в технологической практике человечества.

Можно уверенно предположить, что величайшая фрактальная революция в гео метрии рано или поздно будет востребована в области синтетического слияния Еди ной теории элементарных частиц с квантовой космологией. В отличие от 50–60-х гг.

ХХ в., теперь понятно, что будущая Единая теория элементарных частиц должна быть, прежде всего, квантово-релятивистской теорией гравитации, а релятивистская теория гравитации даже в своей макроскопической версии – это геометродинамика.

Её эффективное микроскопическое обоснование не может остаться в стороне от но вейшей неевклидовой революции в геометрии. Но это – дело неопределённого бу дущего, непредсказуемое в своём конкретном облике. Это так хотя бы уже потому, что на пути к превращению в микроскопическую геометродинамику фрактальная геометрия должна будет органично «офизичиться» по подобию былых «физикализа ций» геометрии Евклида в специальной теории относительности и неевклидовой геометрии Римана – в эйнштейновской геометродинамике. А это потребует, скорее всего, уже целой плеяды гениев эйнштейновского ранга. Но и первых успехов фрак тальной революции, резюмированных на рубеже 80–90-х гг. ХХ в. всемирно знаме нитой книгой [5], достаточно для того, чтобы оценить всю историческую беспреце дентность фрактальной версии неевклидовой геометрии. Отметим лишь небольшую часть её признаков.

1. Способность фрактальной геометрии строго математически просто и эф фективно описывать «негладкие» объекты, которые традиционно считались нематематическими в самой математике и не поддающимися математическо му описанию в теоретическом естествознании. Например, горные массивы, облака, сеть кровеносных сосудов и нервных волокон, деревья с их окружени ем в лесу и т. п. Иначе говоря, фрактальная геометрия – это «полнокровная»

геометрия, адекватная всему многообразию геометрических форм в неживой и в живой природе. (Что касается искусственной предметной среды, то она по ка в большом и в малом базируется на канонах Евклидовой геометрии.) 2. Начало качественного преобразования теории вероятностей – её органичная фрактальная геометризация.

3. Превращение Б. Мандельбротом «элементарной» математики в эксперимен тальную науку с компьютером в классической роли научного прибора. Имеет ся в виду методология его исследований квадратичных итерационных преоб разований на комплексной плоскости (фрактальных множеств Жюлиа), увен чавшихся открытием потрясающего фрактального множества Мандельброта.

Широко понимаемую арифметику до этих открытий можно уподобить биологии до изобретения микроскопа. Сами эти открытия внесли в арифметику синер гетические концепции обратной связи и нелинейности, устойчивости и пере хода к динамическому хаосу, который может описываться только вероятност но.

4. Выявление полной идентичности хаотизации нелинейных процессов по сце нарию Ферхюльста–Фейгенбаума как в итерационных процессах вычисли тельной математики, так и в многообразии физических, химических, биологи ческих и даже экономических процессов. Иначе говоря, вычислительная ма тематика, роль которой веками считалась сугубо вспомогательной, стала пер вооткрывательницей законов нелинейной динамики поистине вселенской общности.

И это – только самые первые плоды радикальнейшего обновления геометриче ской первоосновы математики, которые уже пожинаются далеко за пределами гео метрии! Ничего даже отдалённо подобного не принесли неевклидовы геометрии XIХ в. Решённые ими основные проблемы были сугубо геометрическими и несравненно более ограниченными – естественные обобщения Евклидовой геометрии на случаи искривлённых пространств.

Как это часто бывает в науке, исторически новейшая геометрическая фрактальная парадигма «раскрыла глаза» исследователям на фракталоподобную и сугубо фрак тальную структуру объектов в таких областях математики, которые не являются гео метрией. Это – теория чисел как широко понимаемая арифметика и перечислитель ная комбинаторика, известная с XVII в. Всё это уникально сведено воедино в арифметическом треугольнике Паскаля.

У фрактальных субструктур треугольника Паскаля существенные отличия от гео метрических фракталов. Во-первых, эти фракталы в первую очередь числовые, а уж потом – планарные геометрические. Во-вторых, если существенной отличитель ной особенностью геометрических фракталов считается их задаваемость только ал горитмом геометрического построения, то числовые фракталы треугольника Паскаля задаются моим рекуррентным формализмом их аналитического расчёта. В-третьих, если геометрические фракталы типа ковра Серпинского теоретически самоподобно дробятся до бесконечно малых элементов и дают «законченный» фрактал в асим птотическом пределе, то числовые фракталы треугольника Паскаля имеют чёткие пределы самоподобной делимости на элементы.

Математика гармонии (МГ) с её приложениями к особо эффективному и надёжно му кодированию информации порождена «золотыми» числовыми последовательно стями, которые генерируются диагональными суммами треугольника Паскаля. По следнее в полной мере было выявлено Д. Пойя [15], В. Хоггатом [16], А. П. Стаховым [17] и другими математиками. Но это – только один уровень МГ – МГ-1 [9], [13,[14].

У треугольника Паскаля как планарной системы натуральных чисел есть наиболее глубокий структурный уровень – уровень организации простых субэлементов делителей его элементов-чисел. На этом уровне явным образом безраздельно гос подствует их фрактальная организация по типу треугольного аналога ковра Серпин ского, но существенно более сложная, интересная и эстетичная. Это в 80-х гг. было выявлено мной. Своей цветографической символикой я привёл разрозненные зна ния о «недрах» треугольника Паскаля к канонической форме, реализовал систем ный, целостный подход к его фрактальным субструктурам. Числовая природа этих субструктур и мной же открытая их аналитическая рассчитываемость позволяют с полной методологической уверенностью предположить, что на этом глубочайшем структурном уровне треугольника Паскаля МГ-1, генерируемая его диагональными суммами, имеет наиболее глубокие основания. Последние пока не изучены даже в духе стартовых исследований. В статье [4] я предложил назвать их МГ-2 и показал, что МГ-1 в ключе научно-методологического принципа соответствия позволяет сделать эти эвристически-поисковые исследования достаточно концептуально ос мысленными и целенаправленными.

В свою очередь, данная статья эту программу формирования МГ-2 в тесной пре емственной связи с МГ-1 и на её основе представляет развёрнуто. Она концентри рованно даёт ключевую конкретную информацию для осуществления стартовых ис следований в этом направлении и для их дальнейшего развития.

Уже первые успехи фрактальной компьютерной графики показали, что фракталь ное кодирование информации на много порядков более экономное и эффективное [6]. Есть все основания полагать, что будущая МГ-2 в полной мере сможет вопло титься в существенно фрактальной арифметической первооснове информационных супертехнологий, под которые современная квантовая теория вещества и нанофизи ка готовят посттранзисторную элементную базу и аппаратную основу.

Но на данном этапе важны стартовые исследования фундаментальных аспектов МГ-2, таящейся в недрах треугольника Паскаля, безотносительно к потенциально возможным приложениям к информационным технологиям обозримого будущего.

Впрочем, может получиться и так, что соответствующий прикладной аспект МГ-2 бу дет выявлен уже в ходе первых таких исследований. Всё это могут показать только реальные исследования в данном направлении, которые следует начинать и разво рачивать в любом случае.

§ 2. Треугольник Паскаля – один из стратегических объектов математики В математике широко известна следующая формула:

( a + b) = Cn a n + Cn a n 1b +... + Cn a n k bk +... + Cn bn, n 0 1 k n (1) где коэффициенты Cn,Cn,...,Cn,...,Cn называются биномиальными коэффициентами.

0 1 k n Это – одна из самых известных формул в математике. Наиболее часто она назы вается биномом Ньютона, хотя в этом названии заложена историческая несправед ливость. Установлено, что формула (1) была известна ещё индийским и древне арабским математикам;

Ньютон же вывел формулу бинома для более общего слу чая, когда показатель степени n является произвольным рациональным числом (в том числе отрицательным).

Биномиальные коэффициенты могут быть выражены через факториалы следую щим образом:

n!

( n = 0,1,2,3,...;

k = 0,1,2,3,...) Cn = k (2) k! ( n k ) !

Из (2) вытекают следующие «симметрические» свойства биномиальных коэффи циентов:

Cn = Cn k k n (3) Cn+1 = Cn + Cn k k k (4) Если в формуле (1) принять a = b = 1, то получим следующее тождество:

2n = Cn + Cn +... + Cn +... + Cn.

0 1 k n (5) Это тождество лежит в основе теории двоичного кодирования.

Если положить в формуле (1) a = 1 и b = –1, то получим:

0 = Cn Cn + Cn Cn +... + ( 1) Cn +... + ( 1) Cn k n 0 1 2 3 k n (6) Из формулы (6) вытекает, что в биноме Ньютона (1) сумма биномиальных коэф фициентов Cn с четными k равна сумме значений Cn с нечетными k.

k k В 17 в. знаменитый французский математик, физик и философ Блез Паскаль (1623–1662), используя свойство (4), предложил оригинальный способ вычисления биномиальных коэффициентов, расположив их в виде арифметический треуголь ника, называемого треугольником Паскаля (илл.1).

1 1 2 1 3 3 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 8...

Илл 1. Треугольник Паскаля Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сум ме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относи тельно вертикальной оси.

§ 3. Диагональные суммы треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики, информатики и других науках. По существу, это – один из фундаментальных математических объектов, лежащих в основе точных на ук. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал:

«Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. … мы показали, что она состав ляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геомет рией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области ма тематики».

И теперь настало время рассказать еще об одной «тайне» треугольника Паскаля – о его связи с числами Фибоначчи. Эта тайна была раскрыта во второй половине 20 в. независимо друг от друга несколькими математиками. Считается, что первым это сделал известный венгерский, швейцарский и американский математик и попу ляризатор науки Дьердь Пойа (1887 –1985). В 1940 г. он переехал в США. Живя в США, Пойа много работал со школьными учителями математики и внёс большой вклад в популяризацию науки. Он написал несколько книг о том, как люди решают задачи и как надо учить решать задачи.

В книге «Математическое открытие» [15] он, возможно, впервые начал изучать так называемые «диагональные суммы» треугольника Паскаля, которые привели его к обнаружению связи треугольника Паскаля с числами Фибоначчи (илл. 2).

Илл. 2. Диагональные суммы треугольника Паскаля Таким образом, изучая треугольник Паскаля, Дьердь Пойа сделал математи ческое открытие: он раскрыл математическую «тайну» треугольника Паскаля – его связь с числами Фибоначчи! Можно по-разному оценивать этот математи ческий результат, но бесспорным является следующий факт: этот результат в течение нескольких столетий оставался «тайной» как для Блеза Паскаля, так и для других математиков, которые соприкасались с треугольником Паскаля.

В своей книге [15] Дьердь Пойа в виде упражнения предложил несколько задач, связанных с треугольником Паскаля. Первая из них состоит в том, чтобы выразить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты, то есть, найти общую фор мулу для «диагональных сумм» треугольника Паскаля, задаваемые илл. 2.

Вторая задача оказалась более интересной и более сложной. Пойа увеличил на клон диагонали на илл. 2 и установил, что при этом «диагональная сумма» порожда ет новую числовую последовательность: 1,1,1,2,3,4,9,13,.... обладающая строгой ма тематической закономерностью. Он предложил доказать, что эта числовая последо вательность задается рекуррентной формулой: Gn = Gn1 + Gn3, а также выразить Gn через биномиальные коэффициенты. Затем в виде упражнения он предложил увеличить наклон диагонали и обобщить полученный результат, то есть, найти дру гие числовые последовательности, которые являются «диагональными суммами», и выразить эти «диагональные суммы» через биномиальные коэффициенты.

Таким образом, Пойа в книге [15] поставил (именно поставил, а не решил!) ряд ин тересных задач, связанных с исследованием «диагональных сумм» треугольника Паскаля. И в этом состоит его заслуга.

Необходимо подчеркнуть, что на русский язык книга [15] была переведена в г., хотя на английском языке эта книга была опубликована в 2-х частях в 1962 и гг. Существенно подчеркнуть, что исследования «диагональных сумм» продолжили американские математики-фибоначчисты. В частности, Вернер Хоггатт (создатель Фибоначчи ассоциации) опубликовал в 1968 г. статью на эту тему [16].

Наиболее наглядно и полно суть «задачи Пойа» и её решение в общем виде из ложено в книге Алексея Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения»

[17]. Для этого биномиальные коэффициенты были расположены в виде таблицы, напоминающей прямоугольный треугольник (табл.1), названой прямоугольным тре угольником Паскаля.

Таблица 1. Прямоугольный треугольник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 1 6 21 56 1 7 28 1 8 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 Такая таблица начинается с «нулевого столбца», который содержит единственный биномиальный коэффициент C0 = 1 и из «нулевой строки», который содержит бино миальные коэффициенты: C0 = C1 = C2 =... = Cn = 1. Заметим, что «гипотенуза» пря 0 0 0 моугольного треугольника Паскаля (Табл. 1) состоит из биномиальных коэффициен тов типа C0 = C1 = C2 =... = Cn = 1.

0 1 2 n Заметим также, что в n-м столбце сверху вниз расположены следующие биноми альные коэффициенты: Cn,Cn,Cn,...,Cn ;

при этом все клетки под «гипотенузой» явля 0 1 2 n k ются «пустыми». Это означает, что все биномиальные коэффициенты типа Cn (kn) тождественно равны нулю, то есть, Cn = 0 при k n.

k (7) Теперь, если просуммировать биномиальные коэффициенты n-го столбца рас сматриваемого треугольника Паскаля, то согласно (5) мы получим «двоичное число»

2n. Если это сделать для всех столбцов, начиная с нулевого, то мы получим широко известный нам «двоичный ряд чисел»:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …., 2n, …. (8) Таким образом, треугольник Паскаля как бы «генерирует» двоичный ряд чисел!

А теперь сдвинем каждую строку исходного треугольника Паскаля (табл. 1) на один столбец вправо относительно предыдущей строки. В результате такого преоб разования мы получим некоторый «деформированный» треугольник Паскаля (табл.

2), который мы будем называть 1-треугольником Паскаля.

Если теперь просуммировать биномиальные коэффициенты 1-треугольника Пас каля по столбцам, то, к нашему изумлению, мы обнаружим, что такое суммирование приведет нас к числам Фибоначчи (выделены жирным шрифтом):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, F1(n+1), …, (9) где через F1(n+1) обозначено (n+1)-е число Фибоначчи, которое задается с помощью следующей рекуррентной формулы:

F1(n+1) = F1(n) + F1(n–1) при n 2 (10) при следующих начальных условиях:

F1(1) = F1(2) = 1. (11) Таблица 2. 1-треугольник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 1 5 15 1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 Анализируя табл. 2, легко найти математическую формулу, которая позволяет вы разить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

0 1 2 3 F1 ( n + 1) = Cn + Cn 1 + Cn 2 + Cn 3 + Cn 4 +... (12) Это означает, что в книге [17] была решена одна из задач, поставленных Пойа в книге [15].

В результате проведенных рассуждений мы нашли, что существует два спосо ба представления чисел Фибоначчи: в виде рекуррентной формулы (10), (11) и в виде формулы (12), выражающей числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты.

Используя формулу (12), 7-е число Фибоначчи F1(7)=13 из табл. 2 можно предста вить в виде следующей суммы биномиальных коэффициентов:

0 1 2 3 F1 (7) = C6 + C5 + C4 + C3 + C2 +... (13) Заметим, что биномиальный коэффициент C2 в сумме (13) и все последующие за ним биномиальные коэффициенты тождественно равны нулю согласно свойству (7).

Это означает, что выражение (13) на самом деле представляет собой конечную сумму биномиальных коэффициентов, то есть, 0 1 2 F1 (7) = C6 + C5 + C4 + C3 = 1 + 5 + 6 + 1 = 13 (14) А теперь закрепим наш успех и перейдем к решению второй задачи Пойа, то есть, покажем, что прямоугольный треугольник Паскаля является источником новых чи словых последовательностей, представляющих интерес как для теории чисел, так и для комбинаторики [17].

Рассмотрим ситуацию, когда в исходном треугольнике Паскаля (табл. 1) мы сдви гаем биномиальные коэффициенты каждой строки на р столбцов вправо относи тельно предыдущей строки, где р = 0, 1, 2, 3,.... Полученный таким путем «дефор мированный» треугольник Паскаля мы будем называть р-треугольником Паскаля.

Ясно, что 0-треугольник Паскаля, то есть, p-треугольник Паскаля, соответствую щий р = 0, есть ни что иное, как исходный треугольник Паскаля (табл. 1). 1 треугольник Паскаля, соответствующий случаю р = 1, представлен в табл. 2. Р треугольники Паскаля, соответствующие случаям p = 2 и p = 3, имеют следующий вид соответственно:

Таблица 3. 2-треугольник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 1 4 10 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 Таблица 4. 3-треугольник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 1 1 1 1 2 3 4 5 7 10 14 19 А теперь просуммируем по столбцам биномиальные коэффициенты 2- и 3 треугольников Паскаля. В результате мы получим две новые числовые последова тельности (выделены жирным шрифтом):

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60,... (15) 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26,... (16) Обозначим n-е члены последовательностей (15) и (16), соответственно, через F2(n) и F3(n). Легко увидеть следующую закономерность в числовых последователь ностях (15), (16), которую мы выразим с помощью следующих рекуррентных формул:

F2(n) = F2(n–1) + F2(n–3) для n 4;

(17) F2(1) = F2(2) = F2(3) = 1;

(18) F3(n) = F3(n–1) + F3(n–4) для n 5;

(19) F3(1) = F3(2) = F3(3) = F3(4) = 1. (20) Таким образом, в результате проведенных рассуждений мы обнаружили две но вые числовые последовательности. Первую их них, задаваемую рекуррентной фор мулой (17) при начальных условиях (18), назовем 2-числами Фибоначчи, а вторую, задаваемую рекуррентной формулой (19) при начальных условиях (20), – 3-числами Фибоначчи [17].

В общем случае (произвольное р), суммируя по столбцам биномиальные коэффи циенты р-треугольника Паскаля, мы получим числовую последовательность, кото рая для заданного p = 0, 1, 2, 3,... будет задаваться следующим рекуррентным соот ношением:

Fp(n) = Fp(n–1)+Fp(n–p–1) для n p + 1 (21) Fp(1) = Fp(2) =... = Fp(p+1) = 1. (22) Числовые последовательности, задаваемые формулами (21), (22), были названы p-числами Фибоначчи [17].

Ясно, что для случая р=0 рекуррентная формула (21) и начальные условия (22) принимают следующий вид:

F0(n) = F0(n–1)+F0(n–1) = 2F0(n–1) для n 1 (23) F0(1) = 1. (24) Ясно, что рекуррентная формула (23) при начальных условиях (24) «генерирует»

двоичные числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,..., которые и являются крайним частным случаем р-чисел Фибоначчи, соответствующим случаю р = 0.

Теперь рассмотрим случай р = 1. В этом случае мы получаем классические числа Фибоначчи.

Наконец, выясним, во что вырождаются р-числа Фибоначчи для случая р =. Яс но, что для этого случая р-числа Фибоначчи задаются только формулой (22), то есть, ряд -чисел Фибоначчи представляет собой бесконечную последовательность, со стоящую из одних единиц.

Таким образом, в результате изучения «диагональных сумм» треугольника Паскаля мы получили бесконечное количество числовых последовательностей, на званных р-числами Фибоначчи [17] и выражаемые общей рекуррентной формулой (21) при начальных условиях (22). Поскольку эти числовые последовательности яв ляются обобщением числовой последовательности Фибоначчи, то это означает, что р-числа Фибоначчи, вытекающие из треугольника Паскаля, значительно расширяют существующую «теорию чисел Фибоначчи» [10]–]12]. Обобщенные числа Фибоначчи являются новым математическим результатом, полученным в рамках «математики гармонии» [9], [13].

§ 4. «Фибоначчиевы» алгоритмы измерения и р-коды Фибоначчи Следует отметить, что в книге [15] Пойа никаких исследований числовых последо вательностей, вытекающих из «диагональных сумм» треугольника Паскаля, не про водил. Он просто обратил внимание на такие последовательности и поставил зада чу выразить такие последовательности через биномиальные коэффициенты. Как упоминалось, решение задачи Пойа было сделано в книге Алексея Стахова [17].

Там, в частности, выведена формула, позволяющая для любого заданного р = 0, 1, 2, 3,... выразить p-числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

0 1 2 3 Fp ( n + 1) = Cn + Cn p + Cn 2 p + Cn3 p + Cn4 p +.... (25) При р=0 эта формула превращается в широко известную в комбинаторике форму лу (5), позволяющую представить двоичные числа 2n через биномиальные коэф фициенты.

Важно отметить, что в работах Игоря Витенько и Алексея Стахова [18], [19], кото рые предшествовалb книге [17], р-числа Фибоначчи были введены не в связи с ис следованием «диагональных сумм» треугольника Паскаля, а в связи с созданием так называемой алгоритмической теории измерения [17]. Одним из наиболее неожи данных результатов этой теории стал новый класс оптимальных («фибоначчиевых») алгоритмов измерения, основанных на р-числах Фибоначчи. Оказывается [17], что если ввести ограничение на измерение, вытекающее из так называемого принципа асимметрии измерения, то оптимальным решением является система «весовых гирь», основанная на р-числах Фибоначчи, которые задаются с помощью рекуррент ного соотношения (21) при начальных условиях (22), то есть, система «весовых гирь» для оптимального алгоритма измерения имеет вид:

{ F ( n), F ( n 1), F ( n 2),..., F ( i ),..., F ( 2), F (1)}. (26) p p p p p p Доказано ([17-19]), что с помощью системы гирь (26) можно взвесить все грузы Q в диапазоне 0 Fp ( n + p + 1). При этом взвешивание начинается со старшей гири Fp ( n), которая разбивает диапазон измерения 0 Fp ( n + p + 1) на два поддиапазона 0 Fp ( n) и Fp ( n) Fp ( n + p + 1). Заметим, что длина второго поддиапазона равна разности Fp ( n + p + 1) Fp ( n), которая в соответствии с основным рекуррентным соот ношением (21) равна Fp ( n + p + 1) Fp ( n) = Fp ( n + p).

При этом суть «фибоначчиевых» алгоритмов измерения состоит в последова тельном разбиении на каждом шаге исходного диапазона измеряемых величин и всех последующих диапазонов в «фибоначчиевом» отношении, основанном на ре куррентном соотношении (21).

Подобно тому, как «двоичный» алгоритм измерения порождает «двоичную» сис тему счисления, «фибоначчиевые» алгоритмы измерения [17], порождают новые способы позиционного представления натуральных чисел, названные в [17] р кодами Фибоначчи:

N = anFp(n) + an-1Fp(n–1) +... + aiFp(i) +... + a1Fp(1), (27) где ai{0, 1} – двоичная цифра i-го разряда кода (27);

n – разрядность кода (27);

Fp(i) – вес i-го разряда, вычисляемый в соответствии с рекуррентным соотношением (21) при начальных условиях (22). Позиционное представление натурального числа N в виде (27) названо р-кодом Фибоначчи числа N [17].

Таким образом, изучение истории возникновения новых числовых последователь ностей, названных р-числами Фибоначчи [17], приводит к следующему выводу:

1. В 60-е годы 20 в. известный американский математик Дьердь Пойа обнаружил связь треугольника Паскаля с числами Фибоначчи [15]. Исследуя так назы ваемые «диагональные суммы» треугольника Паскаля, он обнаружил новые рекуррентные числовые последовательности и поставил задачу выразить их через биномиальные коэффициенты. В 1968 г. известный американский мате матик Вернер Хоггатт опубликовал статью [16], посвященную этой теме. На глядное и полное решение «задачи Пойа» (выразить р-числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты) дано в книге Алексея Стахова [17]. Следует отметить, что эти исследования являются еще одним убедительным свиде тельством процесса «Гармонизации математики», который, согласно [14], на чался в 60-е годы 20 в.

2. В середине 60-х годов 20 в. независимо от Пойа к этим же числовым последо вательностям пришли украинские математики Игорь Витенько и Алексей Ста хов при решении задачи синтеза оптимальных алгоритмов измерения [17], [18]. При этом были обнаружены так называемые «фибоначчиевые» алгорит мы измерения, основанные на р-числах Фибоначчи. Этот результат представ ляет фундаментальный интерес не только для «теории чисел Фибоначчи»

[10]–[12], но и для теории систем счисления и теории чисел, поскольку «фи боначчиевые» алгоритмы измерения «порождают» новые способы позицион ного представления чисел – р-коды Фибоначчи. Эти исследования привели к разработке новой компьютерной арифметики – арифметике Фибоначчи и обоснованию новой концепции компьютеров – компьютеров Фибоначчи [20], что представляет фундаментальный интерес для теории компьютеров.

§ 5. Золотые р-сечения Однако, дальнейшее развитие теории р-чисел Фибоначчи, вытекающих из тре угольника Паскаля (Пойа [15] и Хоггатт [16]), теории «фибоначчиевых» алгоритмов измерения (Витенько и Стахов [18], [19]), а также теории р-кодов Фибоначчи (Стахов [17], [20]) привело ещё к одному математическому открытию, затрагивающему осно вания теории систем счисления и теории чисел. Речь идет об обобщении задачи о «золотом сечении» [21], [22].

Как известно, отношение соседних чисел Фибоначчи в пределе стремится к «золо той пропорции», то есть, 1+ Fn ==.

lim n Fn1 Считается, что эта формула доказана великим астрономом и математиком Иоганном Кеплером и поэтому в его честь она называется формулой Кеплера.

Fp ( n ) при n. Ес Найдем предел отношения соседних p-чисел Фибоначчи Fp (n 1) ли ввести определение:

Fp ( n ) = x, (28) lim { n Fp ( n 1) то легко доказать, что это отношение является положительным корнем следующего алгебраического уравнения:

x p+1 x p 1 = 0. (29) Заметим, что уравнение (29) по существу задает бесконечное число алгебраиче ских уравнений, так как каждому р=0,1,2,3,... соответствует свое алгебраическое уравнение типа (29). Обозначим через p положительный корень уравнения (29).

В частности, для случая p = 0 уравнение (29) вырождается в тривиальное уравне ние x = 2, корень которого 0 = 2.

Для случая p = 1 уравнение (29) сводится к уравнению «золотой пропорции»:

x2 x 1 = 0, (30) 1+ корнем которого является «золотая пропорция» =.

Таким образом, уравнение (29) является обобщением уравнения золотой пропор ции (30). Заметим, что уравнение (29) может быть также получено в результате ре шения следующей геометрической задачи. Разделим отрезок AВ точкой C в сле дующей пропорции:

p CB AB =, (31) AC CB где p = 0, 1, 2, 3,....

AB Действительно, обозначим значение искомой пропорции через x, то есть, CB AB =x. (32) CB Учитывая, что AB = AC + CB, мы можем записать:

AB AC + CB = = 1+ (33) CB CB CB AC Тогда, учитывая (31) и (32), выражение (31) может быть представлено в виде:

x = 1+, xp откуда вытекает алгебраическое уравнение (29), полученное нами при исследовании предела отношения соседних р–чисел Фибоначчи.

Заметим, что деление отрезка в пропорции (31) сводится к дихотомии для случая p = 0 и к классическому золотому сечению для случая p = 1. Учитывая это обстоя тельство, деление отрезка AB точкой C в отношении (31) было названо золотым p сечением, а положительный корень уравнения (29) золотой p-пропорцией [17], [21], [22].

Подставляя золотую р-пропорцию p вместо x в уравнение (29), получим сле дующее тождество для золотой р-пропорции:

pp+1 = pp + 1 (34) Будем теперь многократно умножать и делить все члены тождества (34) на золо тую р-пропорцию p ;

в результате получим еще одно замечательное тождество, связывающее степени золотой р-пропорции:

p = p 1 + p p1 = p p 1, n = 0, ±1,±2,±3,...

n n n n (35) Заметим, что для случая p=0 (0=2) тождество (35) сводится к следующему три виальному тождеству для двоичных чисел:

2n = 2n1 + 2n1 = 2 2n1, n = 0, ±1, ±2, ±3,....

1+ Для p=1 1 = = и тождество (35) сводится к следующему известному тожде ству для золотой пропорции:

n = n1 + n2 = n1, n = 0, ±1, ±2, ±3,... (36) В заключение отметим, что «золотые р-пропорции», задаваемые уравнением (29), представляют собой новый класс математических констант, которые выражают не которые новые «гармонии». И тот факт, что «золотые р-пропорции» непосредствен но вытекают из треугольника Паскаля и представляют собой еще одну «тайну» тре угольника Паскаля, придает им особое очарование.

Возникает вопрос: имеют ли эти «обобщенные золотые пропорции» какое-то зна чение для развития современной науки? Ответ на этот вопрос дает известный бело русский философ Эдуард Сороко в книге «Структурная гармония систем» [23]. В этой книге он формулирует так называемый «закон структурной гармонии систем», суть которого сводится к следующему:

"Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством ко торых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармонич ное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональ ную... устойчивость".

§ 6. Система счисления Бергмана и коды золотой пропорции Но еще больший интерес (в частности, для современной математики и информа тики) представляют собой так называемые «коды золотой пропорции», основанные на «золотых р-пропорциях» [21], [22].

Этому математическому результату предшествовало математическое открытие, сделанное юным (12-летним!) американским математиком Джорджем Бергманом. В статье [24] Бергман предложил необычный позиционный способ представления чи сел:

a, A= i (37) i i где А – действительное число, ai – двоичная цифра {0,1} i-го разряда, i = 0, ±1, ±2, ) ( ±3,…, i – вес i-го разряда, = 1 + 5 2 (золотая пропорция) – основание системы счисления (37).

Заметим, что веса разрядов i ( i = 0, ±1, ±2, ±3,...) связаны друг с другом изящным соотношением (36).

В системе счисления Бергмана (37) основанием системы, то есть, началом исчис ) ( ления является иррациональное число = 1 + 5 2, с помощью которого можно ) ( представить все действительные числа, то есть, иррациональное число = 1 + 5 является исходным, первичным числом, с помощью которого можно представить все действительные числа, включая натуральные и рациональные. Именно поэтому у нас есть основание утверждать, что система Бергмана (37) является од ним из наиболее важных математических открытий в области систем счисления после открытия позиционного принципа представления чисел (Вавилон, 2000 г. до н.э.) и десятичной системы (Индия, 5–8 столетие нашей эры).

Используя понятие золотой р-пропорции, Алексей Стахов обобщил систему Бергмана (37) и предложил следующий способ позиционного представления чисел [21], [22]:

A = ai p, i (38) i где ai{0, 1} – двоичная цифра i-го разряда системы счисления (38), i = 0, ±1, ±2, ±3, …, p – основание системы счисления (38), причем веса разрядов p связаны друг i с другом изящным соотношением (35).

Выражение (38) «генерирует» бесконечное количество новых двоичных (0,1) пози ционных систем счисления, так как каждому р (р = 0, 1, 2, 3, …) соответствует своя система счисления типа (38). Заметим, что при р = 0 основание p = 0 = 2 и поэтому система счисления (38) сводится к классической двоичной системе, лежащей в ос нове современных компьютерных технологий.

Для случая р=1 основанием системы счисления (38) является классическая золо ) ( тая пропорция = 1 + 5 2 и поэтому она сводится к системе Бергмана (37).

Заметим, что при p 0 все основания p системы счисления (38) являются ирра циональными числами. Это означает, что выражение (38) задает новый, более ши рокий класс систем счисления с иррациональными основаниями.

Таким образом, исследования Джорджа Бергмана [24] и Алексея Стахова [21], [22] привели к открытию нового класса позиционных систем счисления. Они могут стать основой новой информационной технологии – «золотой» информационной технологии, основы которой изложены в работах [25]–[27].

Но системы счисления (37), (38) имеют фундаментальное значение и для развития математики, так как могут привести к созданию новой «элемен тарной теории чисел» – «золотой» теории чисел. Эта идея впервые изло жена Алексеем Стаховым в статье «Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа» [28], опубликованной в Укра инском Математическом Журнале по рекомендации академика Ю. А. Митро польского. Развитие этой идеи изложено в ряде статей А. П. Стахова [29]– [31], опубликованных на сайте Академии Тринитаризма.

Таким образом, новые системы счисления – системы счисления с иррациональ ными основаниями, впервые изложенные в работах [21], [22], [24], представляют фундаментальный интерес как для математики, так и для информатики. И все они, так или иначе, связаны с треугольником Паскаля – с одним из фундаментальных ма тематических объектов.

Вместе с тем, треугольник Паскаля в 80-х гг. ХХ в. преподнёс математикам, пожа луй, самые впечатляющие сюрпризы за всю многовековую историю его изучения.

Несомненно, что они будут иметь многочисленные последствия для дальнейшей, качественно более глубокой разработки МГ. Этим новым обликам старого-доброго арифметического треугольника Паскаля посвящены последующие параграфы.

§ 7. Биномиальные системы счисления В связи с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами уместно упомянуть еще об одном научном результате – биномиальных системах счисления.

Впервые они введены в книге [17] в процессе решения одной из задач синтеза оп тимальных алгоритмов измерения. Биномиальная система счисления основана на биномиальном алгоритме измерения, который описывается с помощью «арифмети ческого квадрата» (еще одна форма представления треугольника Паскаля). Суть би номиальной системы счисления состоит в представлении натуральных чисел в виде суммы биномиальных коэффициентов. Эта идея была развита в книге доктора тех нических наук, профессора Алексея Борисенко [32]. Примером биномиального пред ставления являются формулы (12) и (25). Первая (12) из них есть является биноми альным представлением чисел Фибоначчи, а вторая (25) – биномиальным представ лением р-чисел Фибоначчи. Если в сумах (12) и (25) биномиальные коэффициенты взять с двоичными коэффициентами {0,1}, то возникают биномиальные представле ния, с помощью которых можно представить все натуральные числа.

§ 8. Числовые фрактальные субструктуры треугольника Паскаля.

На феноменологическом уровне эти свойства треугольника Паскаля впервые бы ли выявлены мной в начале 1980 г. В общем, они, что называется, лежали на по верхности. Их математики могли открыть, начиная с самого Б. Паскаля, который впервые подверг арифметический треугольник данного типа разностороннему ис следованию. Тем не менее, математикам для выявления этого чрезвычайно впечат ляющего комплекса свойств веками не хватало чёткого исходного понимания своих объектов как многоуровнево-иерархичных систем с относительно автоном ными комплексами свойств на разных структурных уровнях. Такой исходный взгляд на объекты познания стал утверждаться только во второй половине ХХ в. под влиянием понятий и принципов кибернетики. Идею перехода на цветографическую символику я в данной статье воспроизвожу именно так, как она и пришла мне в голо ву в начале 1980 г. на основе исходного понимания треугольника Паскаля как мно гоуровнево-иерархичной системы натуральных чисел, которое будет особо рассмотрено в § 9.

Красочные феноменологические схемы, представленные на илл. 6–15, чрезвы чайно интересны и автономны сами по себе. Их развитие от илл. 7 к илл. 8, от илл. к илл. 11 и от илл. 12 к илл. 15 направляется логикой усложнения идеально симмет ричных фракталов на плоскости. Эти фракталы детерминистские, т. е. имеющие однозначные алгоритмы построения из элементарных форм-модулей до сколь угод но развитых форм (теоретически). Но в конце 1987 г. мне удалось найти системати ческое объяснение этой радужной фрактальной феноменологии. На началах рекур рентной формулы из комбинаторики она может быть легко и единообразно рассчи тана вручную, без помощи компьютера. Но в этой связи мной была выявлена фун даментальная парадоксальность такого метода расчёта. О ней речь пойдёт в конце следующего параграфа.

Всё это превращает треугольник Паскаля в уникальный объект познания. Его эле ментарность на высшем уровне структурной организации натуральных чисел со вмещается с нетривиальностью на низшем, наиболее глубоком уровне простых су бэлементов-делителей. Исследование его свойств на высшем уровне доступно и школьнику. То же можно сказать и про исследование его глубинных свойств на фе номенологическом уровне цветографических схем. Но при этом исследователь уже «предметно» приобщается к современным открытым проблемам теории чисел, ком бинаторики, теории групп, фрактальной геометрии и даже синергетики, которые уни кально сведены воедино на наиболее глубоком структурном уровне треугольника Паскаля. «Школьная» элементарность исследования при этом переходит в полно ценное академическое исследование. Тщательно анализируя поуровневое познание этого уникального математического объекта, можно воочию увидеть и прочувство вать гносеологические законы становления и качественного реформирования теорий в физико-математических науках. Этими возможностями я сполна воспользовался в своей монографии по эволюционной теории познания [32, с. 268–292, 300–350], к не которым результатам которой я обращусь в § 9.

Треугольник Паскаля используется для вычисления коэффициентов в полной формуле сокращённого умножения, которая известна как бином Ньютона. Алгоритм его построения элементарен. Вопреки традиции, я наращиваю треугольник Паскаля не сверху вниз, а снизу вверх, и представляю его заново. Это – сугубо конвенцио нальный вопрос удобства. Дальнейшее покажет, что так лучше оттеняется момент его поступательного усложнения, особенно – на наиболее глубоком структурном уровне простых субэлементов-делителей. Мой рекуррентный формализм аналити ческого расчёта числовых фракталов треугольника Паскаля также работает только при такой форме его представления.

k=0 5.............

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 8 28 56 70 56 28 8 1 7 21 35 35 21 7 1 6 15 20 15 6 5 1 5 10 10 5 1 4 6 4 1 3 3 1 2 1 n=0 Илл. 3. Треугольник Паскаля, развиваемый снизу вверх Прежде всего, перед нами нагляднейший образец системного объекта как цело стного комплекса взаимосвязанных элементов. В данном случае – натуральных чисел. От аморфного сборища чисел этот объект отличает наглядная организован ность чисел на основе определённого закона. Словесно этот закон формулируется так: каждое число треугольника Паскаля есть сумма двух ближайших чисел с нижележащей строки. Зная этот закон, числовую систему можно наращивать не ограниченно.

Придадим основному закону треугольника Паскаля вид алгебраической формулы.

Поскольку числа только натуральные, обозначим это их свойство символом N. На поле чисел введём косоугольную координатную сетку из строк n и столбцов k. Тогда символом Nn,k обозначится то обстоятельство, что многообразие натуральных чисел принадлежит треугольнику Паскаля. При этом словесной формулировке придаётся вид такой формулы:

Nn,k + Nn,k+1 = Nn+1,k+1, (39) где n = 0,1,2,3 …, k = 0,1,2,3, … n.

На числовом поле треугольника Паскаля ярко и наглядно выражена инвариант ность этого отношения между числами, подобающая гносеологическому статусу на учного закона. Какую бы тройку соседних чисел ближайших строк мы ни взяли, от ношение между ними будет одно и то же. На каждом участке числового поля нату ральные числа имеют свои конкретные значения, представляют собой числа самой разной значности, являются чётными или нечётными и т. д., но отношение (39) меж ду ними везде неизменно. Это всеобщее инвариантное отношение и есть структу ра системы чисел, её организующее начало. Здесь наглядно видно и то, что для чёткой формулировки этого инвариантного отношения между конкретными числами требуется подняться на высокий уровень абстракции, отвлечься от этой числовой конкретики. Так обстоит дело и в реальной науке, но в данном случае всё наглядно и легко обозримо.

Подобно тому, как молекулы в качестве химических индивидов делятся на атомы, глубже которых уже кончается химия и начинается микрофизика, натуральные числа имеют свои «далее неделимые атомы». Такие числа называются простыми, по скольку они делятся только на самих себя, давая единицу, и на единицу, давая са мих себя. В системе натурального ряда простые числа ведут себя нерегулярно и за гадочно, и я выделю их подчёркиванием:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 … Остальные натуральные числа называются составными, поскольку каждое из них содержит своё уникальное произведение простых субэлементов-делителей в опре делённых степенях. Общеизвестный натуральный ряд, таким образом, является ти пичной многоуровневой системой. На её наиболее глубоком структурном уровне находятся действительно далее неделимые натуральные числа. Но эти числа неде лимы только в качестве натуральных, в то время как их можно представлять в виде всевозможных произведений дробных субэлементов-делителей. В общем виде этот принцип устройства натуральных чисел можно представить в виде такого выраже ния:

N = 2a.3b.5c.7d.11e.13f …, (40) где a,b,c,d,e,f … = 0,1,2,3 … Соответственно, и треугольник Паскаля имеет аналогичную субструктуру. Началь ный этап развития треугольника Паскаля со структурированными числами Nn,k пред ставлен на илл. 4. В целях экономии места изображается только левая половина треугольника Паскаля, так как она исчерпывающе информативна ввиду его симмет ричности относительно вертикальной оси.

Уже здесь можно подметить важные закономерности поведения простых чисел в структурном фундаменте треугольника Паскаля. Во-первых, простые субэлементы делители группируются в треугольные зоны за исключением делителя 2, который может быть представлен и точечно. Во-вторых, по мере развития треугольника Пас каля новые простые делители вступают в игру только со строки n с соответствующим номером. Это же относится и к степеням, в которых представлены простые субэле менты.

.........

24 23.3.5 24.5.7 22.5.7.13 24.3.7.13 23.7.11.13 24.5.11.13 2.32.5.11. 3.5.7 5.7.13 3.5.7.13 3.7.11.13 5.7.11.13 32.5.11. 1 3. 22.7.13 23.3.11. 1 2.7 7.13 7.11.13 2.7.11.13 3.7.11. 2 1 13 2.3.13 2.11.13 5.11.13 3.11.13 2.3.11. 22.3 22.5.11 32.5.11 23.3 2.11 22.3.7. 1 2.3. 1 11 5.11 3.5.11 2.3.5.11 2.3.7. 32.5 23. 3.5 22.32. 1 2.5 2.3.5. 2 2 2 2 1 3 2.3 2.3.7 2.3. 23 22.71 23. 1 2.5. 1 7 3.7 5. 22. 1 2.3 3. 1 5 2. 1 2. 1 1 Илл. 4. Треугольник Паскаля со структурированными элементами-числами Однако чем дальше вверх по строкам n, тем числовая система становится более громоздкой, тем труднее отслеживать организацию простых субэлементов.

Результаты таких расчётов требуется представить в более компактной форме. Во первых, следует отражать организацию каждого из простых субэлементов-делителей (2, 3, 5, 7 и т. д.) на отдельной схеме. Во-вторых, отсутствие в структуре конкретного числа Nn,k простого субэлемента-делителя следует обозначать точкой, а его присут ствие – только показателем степени, в которой он представлен. На илл. 5 таким об разом отражена организация простого субэлемента-делителя 2 в пределах строк треугольника Паскаля n = 0–31.

Подобные схемы становятся особенно наглядными и эстетичными, если перейти к цветографической символике. Во-первых, числовая треугольная схема типа илл. заменяется треугольной схемой геометрических ячеек той или иной формы. Каждая ячейка обозначает то или иное число Nn,k. Во-вторых, на схеме числа Nn,k следует представить в виде геометрической схемы ячеек, располагаемых в шахматном порядке, как и сами числа. В-третьих, условными цветами закраски ячеек следует обозначить показатели степеней, в которых тот или иной субэлемент представлен во внутренней структуре чисел Nn,k. В частности, незакрашенные ячейки на карти нках обозначают такие числа Nn,k, которые не содержат в своей структуре простого субэлемента. Красным ячейкам соответствует его присутствие в 1-й степени, оранжевым – во 2-й, жёлтым – в 3-й, зелёным – в 4-й, голубым – в 5-й, синим – в 6-й, фиолетовым – в 7-й, коричневым – в 8-й.

...............................

.1. 2.1. 3.1.2.1.4.1.2.1. 3.1.2. 1.

.. 11..22..11.. 33..11.. 22.. 11..

.212.323. 212.434.212. 323. 212.

.... 1111....2222.... 1111....

. 1. 3 1 2 1 3. 1. 4 2 3 2 4. 1. 3 1 2 1 3.1.

.. 2 21 1 2 2.. 3 3 2 2 3 3.. 2 2 1 1 2 2..

.3231323. 4342434. 3231323.

........ 11111111........

.1.2.1. 412131214.1. 2.1.

..11.. 3311221133.. 11..

.212. 43413231434.212.

....222211112222....

.1.4232412142324.1.

..33223311332233..

.434243414342434.

................

.1. 2.1. 3.1. 2.1.

..11.. 22..11..

.2 12. 323.212.

....1111....

.1. 31213.1.

.. 221122..

. 3231323.

........

. 1.2. 1.

..11..

.212.

....

.1.

..

.

Илл. 5. Компактная числовая схема организации простого субэлемента-делителя в треугольнике Паскаля Серия цветографических схем на илл. 6–15 представляет организацию в треу гольнике Паскаля простых субэлементов-делителей 7, 5, 3 и 2.

Субструктуры треугольника Паскаля очевидным образом демонстрируют принци пы фрактального самоподобия. На них отчётливо видно, что зоны сплошь закра шенных ячеек самоподобны: то, что находится под очередной сплошь закрашенной центральной фигурой, находится также слева и справа от неё. И так повторяется в большом и в малом вплоть до элементарных цветовых фигур, соответствующих представительству простого субэлемента-делителя в 1-й степени (зоны сплошной закраски красным цветом, включая точечные для простого субэлемента-делителя 2.) Выбор геометрических ячеек типа «пчелиные соты» лучше всего показывает, что во фрактальной организации простых субэлементов треугольника Паскаля безраз дельно господствует то, что в теории групп называют вращательной симметрией 3 го порядка. Это значит, что цветовые структуры становятся тождественными через каждые 1200, если вращать лист.

Интересно отметить, что треугольник Паскаля демонстрирует даже то, как часть фрактальной организации его простых субэлементов фундаментального структурно го уровня непосредственно «просвечивает» на высшем структурном уровне. Имея перед глазами развёрнутый треугольник Паскаля с «погашенной» субструктурой чи сел Nn,k, невозможно увидеть, как организуются в треугольные зоны простые субэ лементы 3, 7, 11 и др. Зато при этом на виду чётные числа и их самоподобные фрак тальные группировки. Аналогично на высшем структурном уровне треугольника Пас каля явно проявляет себя геометрия расположения простого субэлемента 5, ибо со держащие его числа легко распознаются по пятёрке или нулю на конце. В общесис темном смысле это несколько напоминает «прямую трансляцию» сокровенных зако нов физического микромира в сверхпроводниках на макроскопический уровень на блюдаемых явлений.

Двумерная цветографическая форма представления сложнейшей информации о «недрах» треугольника Паскаля является оптимальной. Она воочию представляет их потаённые законы, которые для одномерного, линейного дискурса математиче ских доказательств в словах, понятиях и формулах оставались неуловимыми. Фрак тальность его субструктур сама по себе давно не является новостью: достаточно об ратиться к соответствующим картинкам в Интернете к ключевым словам «треуголь ник Паскаля». Но всё это только на уровне констатаций. Компактно и исчерпываю щим образом субструктуры треугольника Паскаля могут быть отражены только с учётом фактора степеней его субэлементов-делителей, кодируемых условными цве тами. В сочетании с рекуррентным алгоритмом расчёта его числовых фракталов, ко торый представляется в следующем параграфе, цветографические схемы приводят соответствующие знания к канонической форме.

Илл. 6. Организация простого субэлемента-делителя 7. Этот простой субэлемент «вступает в игру», на чиная со строки n = 7. Субэлемент 49 = 72 появляется со строки n = 49 = 72. Для простых субэлементов та кое поведение в системе треугольника Паскаля является правилом без исключений.

Илл. 7. Организация в треугольнике Паскаля простого субэлемента 5. Она однотипна с той, кото рая представлена на предыдущем рисунке. Однако поступательное усложнение цветовых структур для этого простого субэлемента происходит интенсивнее.

Илл. 8. Организация простого субэлемента 5 выше строки n = 105. Со строки n = 125 = появляются субэлементы 125 = 53 (ячейки жёлтого цвета).

Илл. 9. Организация простого субэлемента 3 в начале треугольника Паскаля. Цветовые структуры при этом однотипны с теми, которые характерны для субэлементов 5 и 7. Однако новые степени этого простого субэлемента появляются значительно чаще и он уже демонстрирует наиболее впеча тляющие формы фрактального усложнения своей организации по мере продвижения вверх по строкам n.

Илл. 10. Организация простого субэлемента 3 выше строки n = 63. Со строки n = 81 = 34 появляются числа 81 = 34 (зелёные ячейки).

Илл. 11. Организация простого субэлемента 3 выше строки n = 225. Со строки n = 243 = 35 появляются числа 243 = 35 (голубые ячейки).

Комментарий к илл. 12.

По мере подъёма по строкам n степенные (и, соответственно, цветографические) структуры у про стого субэлемента-делителя 2 усложняются наиболее интенсивно. Поэтому цветографические схемы для него наиболее показательны в плане понимания общего фрактального алгоритма поступате льного усложнения. Этот геометрический алгоритм у всех простых субэлементов-делителей явля ется однотипным. У субэлемента 2 уже в пределах n = 0–14 образуются элементарные модули, из ко торых складываются сколь угодно развитые идеально симметричные цветографические структуры.

В каждой центральной сплошь закрашенной зоне имеется сердцевина из ячеек красного цвета.

Структура под этой центральной фигурой воспроизводится слева и справа от неё. Это так уже в случае элементарной центральной фигуры на строках n = 4–6. После закономерной бесцветной перемычки по всей строке n образуется новая центральная сплошь закрашенная структура с участием нового цвета (соответственно, присутствия на поле чисел треугольника Паскаля простого субэлемента в новой степени). В ней красная сердцевина образуется из красной сердцевины предыдущей центральной сплошь закрашенной фигуры. При этом некрасная «шляпка» над последней окружается слева и справа двумя такими же сплошь закрашенными фигурами с участием красного цвета, которая находится под этой «шляпкой». (Это так уже на строках n = 0–6.) Более сложный фрагмент слева и справа от новой сплошь закрашенной центральной фигуры повторяет тот фрагмент, который находится под ней. (Это тоже так уже на строках n = 0–6.) И так – во всех случаях, когда после очередной закономерной горизонтальной бесцветной перемычки по всей строке n вступает в игру новый цвет.

Построение очередного большого фрагмента цветографической схемы с участием нескольких цве тов следует начинать с красной сердцевины новой сплошь закрашенной центральной фигуры. Затем в неё вписываются внутренние оранжевые зоны, а сверху и по бокам пристраиваются три внешних оранжевых зоны. (Это – для субэлемента 2, а для субэлементов 3, 5, 7 и т. д. количество вписываемых и описываемых зон большее.) Затем в неё вписываются внутренние жёлтые зоны, а по бокам и сверху приписываются внешние жёлтые зоны. И т. д. После такой прорисовки сплошь закрашенной центра льной фигуры слева и справа от неё от простого к сложному прорисовываются те цветографические структуры с бесцветными перемычками, которые находятся под ней.

Илл. 12. Организация простого субэлемента-делителя 2 в начале треугольника Паскаля. По мере подъёма по строкам n этот чётный простой субэлемент особенно интенсивно порождает новые степенные структуры. Его организация на поле чисел треугольника Паскаля, отражаемая в цветографической форме, особенно впечатляющая. Вместе с тем, эти цветовые структуры однотипны с вышеприведенными и нара щиваются они однотипно, по одному и тому же закону. Разница только в том, что элементарные треу гольные модули в данном случае вырождаются в точечные.

Илл. 13. Организация простого субэлемента-делителя 2 выше строки n = 51. Со строки n = 64 = появляются числа 64 = 26 (синие ячейки);

со строки n = 128 = 27 появляются числа 128 = 27 (фиолетовые ячейки).

Илл. 14. Левая сторона сплошь закрашенной центральной фигуры для простого субэлемента-де лителя 2 со строки n = 256 = 28. Коричневые ячейки соответствуют числам треугольника Паскаля, содержащим в своей структуре число 256 = 28.

Илл. 15. Сердцевина центральной сплошь закрашенной фигуры для простого субэлемента-дели теля 2, начиная со строки n = 256 = 28. Вертикальная ось симметрии треугольника Паскаля проходит через середину рисунка.

§ 9. Аналитический расчёт многоцветной гармонии треугольника Паскаля. Стимулирующий парадокс его числовых фракталов Имея перед глазами треугольник Паскаля, достаточно развитый по закону (39), можно феноменологически констатировать ряд других законов. В частности, можно констатировать такую закономерную взаимосвязь между ближайшими соседями в строке:

nk N n, k +1 = N n, k (41) k + Подобные соотношения в математике называются рекуррентными (возврат ными). Если имеется какая-то математическая последовательность (в частности, числовая), то рекуррентные формулы позволяют вычислять её очередной элемент через ближайшие ранее вычисленные. Именно это и имеет место в случае закона формулы (41). Но этот закон уже нельзя вывести из закона (39). Для объяснения закона (41) требуется обратиться к одному из основных понятий перечислительной комбинаторики, определяемому формулой (2). С его помощью феноменологически постулируемый закон (41) легко объясняется:

nk nk n! n!

C n +1 = C nk = C nk + = = k k + 1 k ! (n k )! k + 1 (k + 1)![n (k + 1)]!

(42) Оставим теперь на время рекуррентную формулу (41) и обратимся к после довательности натурального ряда чисел, структурируя каждый его член в соот ветствии с принципом (2):

1, 21, 31, 22, 51, 21.31, 71, 23, 32, 21.51, 111, 22.31, 131, 2.1 71, 31 51, 24, 171, 21.32, 191, 22.51, 31.71, 21.111, 231, 23.31, 52, 21.131, 33, 22.71, 291, 2.131.51, 311, 25, 31.111, 21.171, 51.71, 22.3, 371, 21.191, 23.51, 411 и т.

д.

Воспользуемся тем же семиотическим приёмом, который позволяет получить компактную картину организации простого субэлемента 2 в треугольнике Паскаля на схеме 3. Во-первых, для каждого простого субэлемента чисел натурального ряда дадим свою индивидуальную схему. Во-вторых, отсутствие этого субэлемента обозначим точкой, а присутствие – показателем степени, в которой он представлен.

В результате получим достаточно развитые компактные схемы, позволяющие ус мотреть специфические фракталоподобные закономерности:

Для субэлемента 2:.1.2.1.3.1.2.1.4.1.2.1.3.1.2.1.5.1.2.1.3.1.2.1.4.1.2.1.3.1.2.1.6.2....

Для субэлемента 3:..1..1..2..1..1..2..1..1..3..1..1..2..1..1..2..1..1..3..1..1..2..1..1..2…1...

Для субэлемента 5:....1....1....1....1....2....1....1....1....1....2….1….1….1….1….2….1....

Для субэлемента 7: ……1……1……1……1……1……1……2……1……1……1……1 … Наличие этих закономерностей легко доказывается методом полной матема тической индукции, поскольку здесь мы имеем дело со свойствами натурального ряда чисел как простейшей арифметической прогрессии с разностью 1.

Проделаем теперь для конкретного примера расчёт элементов строки n = 8 в треугольнике Паскаля по формуле (42), структурируя при этом все используемые и получающиеся числа в соответствии с принципом (40):

23 С8 = 1 = 2 3 С 82 = 2 3 = 2 2. 1 2.3 = 2 3. 7 C 84 = 2 3. 7 2 = 2 1. 5. 2 2. 3 22 = 2 3. 7 С 86 = 2 3. 7 = 2 2. 2 1.5. 5 2. 2 = 2 3 С 88 = 2 3 3 = 1.

2 2. 7 Присмотревшись к этой цепочке рекуррентных вычислений, легко заметить, что если нас интересует поведение простого субэлемента 2, то можно проследить то лько за ним, ибо оно независимо от поведения простых субэлементов 3, 5 и 7. В си лу этой же независимости можно проследить отдельно за поведением каждого про стого субэлемента. Поскольку же вычисления по правилу (39)+(40) в любом случае начинаются с единицы, важно лишь то, как простые субэлементы ведут себя в чи слителе и в знаменателе дроби n – k / k + 1. Остановим своё внимание на простом субэлементе 2, воспользовавшись символикой точек (соответствующих его отсутст вию) и цифр (соответствующих показателям степеней, в которых он присутствует):

n– k. 3. 1. 2. 1.

k+. 1. 2. 1.. 3 2 3 1 3 2 3.

Как видим, в числителе и в знаменателе простой субэлемент 2 ведёт себя точно так же, как в системе натурального ряда. (Аналогично и независимое поведение дру гих простых субэлементов.) Разница лишь в том, что в знаменателе представи тельство простого субэлемента 2 соответствует натуральному ряду, развиваемому слева направо, а в числителе – развиваемому справа налево.

Теперь легко проделать рекуррентное вычисление представительства простого субэлемента 2 в 8-й строке треугольника Паскаля. Поскольку эта строка, как и любая другая, начинается с левой единицы, сперва ставим точку. В нижнем ряду, который соответствует знаменателю k+1, при этом надо предусмотреть дополнительную, пустую клетку, под которой всегда ставится точка, соответствующая тому, что в крайних столбцах из единиц субэлемента 2 нет и не бывает. Отправляясь от этой точки в духе рекуррентного вычисления следующего элемента числовой системы через предыдущий, следом за этой исходной точкой ставим цифру 3 из числителя.

Отправляясь от этой тройки, следом за ней ставим цифру 3 – 1 = 2. Отправляясь от полученной двойки, следом за ней ставим цифру 3 – 2 = 1 и т. д. Последним актом вычисления будет 3 – 3 =., то есть, число 1 крайнего правого столбца. Таким об разом, элементарно просчитано представительство простого субэлемента на строке n = 8.

Точно так же можно просчитать все остальные строки для субэлемента 2 и вообще для любого другого простого субэлемента. Делается это элементарно и вовсе не требует обращения за помощью к компьютеру, по крайней мере, до уровней n = 100– 150. Надо лишь сделать эту схему подвижной, вариабельной.

Для этого следует взять две полосы плотной бумаги или картона. Можно взять две полосы из более жёсткого материала (фанера, оргстекло), наклеив на них бумажные полосы. Далее бумажные полосы следует разметить на одинаковые клетки. На одну полосу слева направо наносим представительство простого субэлемента в сим волике точек и цифр, соответствующих показателям степеней. Это будет нижний движок специфической счётной линейки. На нём крайняя левая клетка пустая, и под ней всегда ставится точка, соответствующая левым единицам строк треуголь ника Паскаля. При рекуррентном вычислении цифры с нижнего движка всегда берутся со знаком минус, поскольку он соответствует знаменателю дроби n – k / k + 1, а в знаменателях показатели степеней отрицательные. В клетки другой полосы, которая будет верхним движком счётной линейки, справа налево и без допо лнительной пустой клетки наносится та же информация. При вычислениях цифры с верхнего движка берутся со знаком плюс, так как он соответствует числителю вышеупомянутой дроби.

Зоны перекрытия двух движков теперь можно менять, и каждая зона перекрытия движков будет соответствовать той или иной строке треугольника Паскаля. Так как в треугольнике Паскаля количество чисел в строке n всегда на единицу больше но мера строки, то по зонам перекрытия движков всегда легко определить, с какой стро кой n мы имеем дело. В каждом случае под зоной перекрытия движков по цепочке непрерывного алгебраического суммирования цифр можно рассчитать представи тельство того или иного простого субэлемента на той или иной строке. Последняя цифра с нижнего движка в зоне перекрытия при этом в любом случае будет ан нулировать результаты рекуррентного алгебраического суммирования цифр, давая крайнюю правую единицу строки треугольника Паскаля. В принятой символике – крайнюю правую точку.

k Таким образом, понятие C n вместе с принципами (40) и (41) даёт эффективный формализм расчёта представительства простых субэлементов-делителей в структурном фундаменте треугольника Паскаля. Этот формализм позволяет рассчитать (стало быть, объяснить) всю многоцветную фрактальную гармонию треугольника Паскаля, которая в рамках феноменологического подхода может лишь констатироваться или полуинтуитивно угадываться на основе соображений симметрии.

На илл. 16 представлены четыре последовательных шага расчёта представитель ства простого субэлемента 2 на строках n = 13, 14, 15 и 16. Этот формализм можно назвать методом счётной линейки.

Этот метод осуществляет специфическую развёртку на плоскости симме тричных фракталоподобных субструктур одномерной числовой системы натурального ряда. Но этот метод справедлив только для простых субэле ментов-делителей. В случае составных субэлементов-делителей он даёт ложные результаты. Иначе говоря, метод счётной линейки внутренне противоречив, парадоксален. В науке парадоксы такого рода являются особенно сильными сти мулами для эвристического поиска и выработки новых понятий, для открытия новых законов. В данном случае треугольник Паскаля поднимает фундаментальные про блемы взаимоотношений упорядоченности и беспорядка, которые находятся в цент 1.4.1.2.1. 3.1. 2.

1.

.1.2. 1.3.1. 2..4.

. 43424 341 4 34 2 4 4.

................

. 1.2. 1. 3. 1. 2. 1.

.. 11.. 22.. 11..

. 4.

1.2.1.3. 1.2.1.

.

1.2.1.3. 1.2.1. 4.

..

..............

. 1.2. 1. 3. 1.2.1.

.. 11.. 22.. 11..

.4.

1.2.1.3.1.2.1.

.1.2.1.3.1.2.1. 4.. 1.2. 1.3.1. 2.1.

.. 1 1.. 2 2.. 11..

. 4. 1. 2. 1.3.1.2.1.

. 1. 2.1.3.1.2. 1. 4.

.. 11..22..11..

Илл.16. Демонстрация работы рекуррентного расчётного формализма. Обращаю особое внимание читателей на то, как элементарно объясняется эффект бесцветной перемычки, который на уровне n = 15 цветографический формализм может лишь феноменологически постулировать как нечто закономе рное, но необъяснимое.

ре внимания синергетики с её теорией динамического (детерминистского) хаоса.

Стимулирующая парадоксальность метода счётной линейки заключается в сле дующем. В системе натурального ряда совершенно аналогичная фракталоподобная симметричность присуща и расположению составных субэлементов-делителей. На пример:

Для субэлемента 4 = 2.2: …1…1…1…2…1…1…1…2…1…1…1…2…1…1…1…3… … Для субэлемента 6 = 2.3: …..1…..1…..1…..1…..1…..2…..1…..1…..1…..1…..1…..2.. … Если переложить фракталоподобную симметрию организации субэлемента 4 на метод счётной линейки, то получится цветографическая схема, промежуточная ме жду схемами для простых субэлементов 3 и 5. (См. илл. 17.) Вместе с тем, картину организации составного делителя 4 в треугольнике Паскаля легко получить из илл. и 12. (См. илл. 18.) Эта истинная картина разительно отличается от той, которая получена методом счётной линейки, хотя по-прежнему сохраняет свою детерми нистскую фрактальность, а также вращательную симметрию 3-го порядка.

Если на метод счётной линейки переложить фракталоподобную симметричность организации субэлемента 6, то получится цветографическая схема, промежуточная между схемами для простых субэлементов 5 и 7. Вместе с тем, картину организации субэлемента 6 легко получить как пересечение картин организации простых субэлементов 2 (жёлтый цвет) и 3 (голубой цвет). Смешение этих двух цветов даёт зелёный цвет, который на илл. 19 затемнён для большей контрастности.

И без внутреннего цветового структурирования результирующих сплошь закра шенных зон очевидно, что реальная организация составного субэлемента 6, обра зованного перемножением разных простых чисел 2 и 3, принципиально отличается от той, которую даёт метод счётной линейки. Во-первых, разрушается вращательная симметрия 3-го порядка и остаётся только «неистребимая» симметричность треугольника Паскаля относительно вертикальной оси. Во-вторых, фрактальность организации этого составного субэлемента на поле чисел Nn,k становится суще ственно неупорядоченной. Благодаря идеальному дальнему порядку и детерми нистской фрактальности организации простых субэлементов чисел Nn,k по малому фрагменту цветографической схемы можно восстановить её большие фрагменты.

(Теоретически – сколь угодно большие.) В случае составных субэлементов из раз ных простых делителей фрактальность их организации на поле чисел Nn,k перестаёт быть детерминистской и такое восстановление становится невозможным.

Этот феномен непосредственно связан с темой случайности в арифметике, по пулярно освещённой в статье Г. Чейтина [34], которая была опубликовна в журнале «В мире науки» ровно за год до моей статьи [1]. Там было показано, что эта про блематика выходит непосредственно на теорию Диофантовых уравнений и, следо вательно, на Великую теорему Ферма. Вместе с тем, эта проблематика была прямо связана и с организацией простых субэлементов в треугольнике Паскаля, но при этом не учитывались показатели степеней их представительства в числах Nn,k.

Илл. 17. В случае составного субэлемента делителя 4 = 22 метод счётной линейки исправно работает, но даёт ложные результаты.

Илл. 18. Истинную цветографическую картину организации составного субэлемента 4 = 22 легко получить из цветографической схемы на рис. 7. На этой цветографической схеме сохраняется иде альная вращательная симметрия 3-го порядка. Как и в случае простых субэлементов, более сло жные степенные структуры появляются со строк с соответствующими номерами: 16 = 42 – со строки n = 16 = 42, 64 = 43 – со строки n = 64 = 43. Цветовые фрактальные структуры имеют однозначный алгоритм поступательного усложнения. Иначе говоря, эти фракталы остаются детерминистскими.

Комментарий к рис. 19 – Цветографический анализ организации в треугольнике Паскаля составных субэлементов, получаемых от перемножения разных простых делителей, легко осуществить с помощью двух цветов, которые при смешении дают новый цвет. На илл. 19 жёлтым цветом обозначены числа, содержащие простой субэлемент 2, а голубым – числа, содержащие простой суб элемент 3. Зоны смешанного зелёного цвета, который затемнён для большей контрастности, сразу же показывают организацию составного субэлемента 6.

Для цветографического анализа организации субэлемента 6 по степеням надо изготовить несколько одинаковых ксерокопий системы геометрических ячеек. На одной из них с илл. 9 и 12 жёлтым и голубым цветом прорисовывается, например, организация субэлементов 33 и 23.

Затем зелёные зоны смешения двух цветов закрашиваются чёрным фломастером. Затем на этот лист накладывается другой, основной лист с геометрическими ячейками и на нём на просвет жёлтым фломастером закрашиваются эти чёрные ячейки. Затем то же повторяется для субэлементов 32 и 22, 3 и 2. В итоге на верхнем, основном листе образуется цвето графическая схема организации субэлемента 6 с учётом его степеней. (См. рис. 20 и 21.) В наше время эту работу можно возложить на компьютер. Однако работа над форми рованием подобных цветографических схем вручную позволяет воочию увидеть хаотизацию поведения на поле чисел треугольника Паскаля составных субэлементов, образуемых пере множением разных простых делителей.

Илл. 19. Организация в треугольнике Паскаля чисел, содержащих составной субэлемент 6 = 2.3.

Илл. 20. Истинная цветографическая картина организации сложного субэлемента 6 = 2.3, составленного из разных простых делителей. Её легко получить как результат пересечения цветографических структур с илл. 9 и 12. Метод счётной линейки продолжает «исправно работать», но он даёт принципиально ложные результаты.

Реально дело обстоит так, что разрушается вращательная симметрия 3-го порядка как сплошь закрашенных цветовых структур, так и их цветовой «начинки». Составной субэлемент 6 впервые появляется на строке n = 4, т. е. ниже, чем в областях присутствия простых субэлементов. То же относится и к степеням составного субэлемента 6. Нижняя граница его появления в степенях определяется нижней границей появления простого делителя 3 и его степеней. А главное – то, что у цветографических структур нет чёткого геометрического алгоритма по-строения. Ни малые, ни большие фрагменты цветографической схемы не дают никаких надёжных оснований для того, чтобы её наращивать далее. На поле чисел треугольника Паскаля вместо идеального дальнего порядка воцаряется непредсказуемая перемежаемость больших и малых цветовых блоков для простых субэлементов 2 и 3.

Илл. 21. Истинная цветографическая картина организации составного субэлемента 6 = 2.3 выше строки n = 65.

Фрактальные числовые субструктуры треугольника Паскаля, образуемые его про k стыми делителями, позволяют точно вычислять числа C n при больших значениях n.

Во множестве задач физической и химической кинетики, теории информации и др.

k возникает необходимость систематически оперировать такими величинами C n. В таких случаях традиционно обращаются к приближённой формуле Стирлинга для вычисления факториалов, фигурирующих в формуле для числа сочетаний:

2..n.nn. e –n, n! ~ = 3,1459…, e = 2,7183….

где Субструктуры треугольника Паскаля, образуемые его простыми делителями, по k зволяют оперировать точными значениями C n, представленными в форме кано нического произведения простых делителей в своих степенях. В такой форме бо k льшие C n можно ставить в дробно-рациональные выражения и после «опусто шительных» сокращений простых делителей получать точные результаты там, где традиционно довольствуются приближёнными результатами. Фрактальные субстру ктуры треугольника Паскаля могут быть затабулированы, воплощены в новых ком пьютерных программах и т. п. В общем, треугольник Паскаля теперь позво k ляет не просто вычислять значения C n, но и вычислять их с любой точ ностью.

В этом параграфе мне остаётся только ещё раз подчеркнуть, что фрактальные субструктуры треугольника Паскаля веками «лежали на поверхности» вплоть до 1980 г. Для их открытия всего-то и надо было лишь мало-мальски развернуть треу гольник Паскаля со структурированными числами Nn,k и перейти на компактную зна ковую форму их отражения. Поразительным историко-научным фактом является то, что за многие века никто из математиков не додумался до столь элементарного, при митивного эвристического хода мышления. Великолепный и в высшей степени ме тодологически поучительный пример того, как классическая парадигма «одномер ного» математически доказательного дискурса в словах, понятиях, формулах и логических умозаключениях веками не позволяла видеть математическое сокро вище, лежавшее на у всех на виду.

§ 10. Треугольник Паскаля как многоуровнево-иерархичная числовая система.

Тема существенно разных теоретических описаний одного объекта весьма по пулярна в современной логике и методологии науки. Возможность таких описаний непосредственно определяется многоуровнево-иерархичной стру ктурой самих объектов научно-теоретического познания. И то, и другое треу гольник Паскаля демонстрирует с эмпирически данной наглядностью.

В лице многоуровнево-иерархичного треугольника Паскаля (вернее, цикла его по знания) эволюционная теория познания обретает свой элементарный объект – по прямому подобию простейшего, водородного атома в истории становления нереля тивистской квантовой теории или мушки-дрозофилы в истории становления клас сической генетики. Наиболее близкий к нам по времени аналог – это простейшие квадратичные итерационные преобразования Б. Мандельброта на комплексной пло скости Z Z2 + C. Заодно этот историко-научный пример едва ли не ярче всего показывает, сколь непростыми могут быть такие элементарные объекты научных теорий. Они элементарны только в сравнении с более сложными формами прояв ления основных законов научных теорий. Так, в итерационных преобразованиях Мандельброта переход к хаосу по сценарию каскада бифуркаций удвоения периода наиболее элементарен по сравнению с его прямыми аналогами в физике плазмы и фазовых переходов, в динамике популяций, в экономических кризисах и т. п. Но бесконечная сложность вскрытой им фрактальной фантасмагории сочетается с его элементарностью поистине на грани абсурда!

При определённом подходе эвристическое постижение многоуровневой приро ды треугольника Паскаля превращается в элементарный, но полноценный цикл нау чного познания. В отличие от познавательных циклов реальной науки, он ско ротечен, легко обозрим в целом, а его логико-гносеологический анализ не требует предварительной и тщательной работы с конкретно-научным и историко-научным материалом. Всё конкретно-научное – на уровне математики, доступной восьмиклас снику.

В этой связи я считаю уместным здесь пространное цитирование своей моногра фии [33]. Там всё представлено как мысленный эксперимент с группой испытуемых, но этот эксперимент более чем реалистичен. Из года в год я провожу его над своими студентами и аспирантами. В начальной фазе всё развивается стандартно, в полном соответствии с законом эвристического освоения нового объекта через эм пирико-аналитическую фазу к теоретико-синтетической. Познавательная си туация отнюдь не надуманная, поскольку всегда можно набрать такую группу ис пытуемых (даже с высшим техническим образованием), которая о треугольнике Па скаля ничего не знает.

10.1. Об эмпирико-аналитическом и теоретико-синтетическом уровнях научных знаний Испытуемым этот объект представляется как россыпь из чисел его первых 14-ти строк. Каждое из них выписано на своей полоске плотной бумаги, а вся эта партия эмпирически данной информации заключена в коробочку № 1. Испытуемым предла гается самим творчески сгенерировать концепцию арифметического треугольника, и тогда они смогут поштучно теоретически предсказать содержимое коробочки № 2 с числами последующих 10-ти строк. То есть, им предлагается развернуть фрон тальное эмпирико-аналитическое изучение этой системы чисел и на основе его результатов построить её научную теорию. При этом логико-гносеоло гическая специфика эмпирико-аналитического и теоретико-синтетического познания воспроизводятся не то что полноценно, но с такими тонкостями, каких по сей день не понимают и многие профессионалы в области философии науки. Этот объект эвристического познания у меня в монографии фигурирует под названием «Объект 1», поскольку далее появляется и Объект-2 (расширенный, десятичный арифметиче ский треугольник), который в данной статье фигурировать не будет.



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.