авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Астрологический Прогноз на год: карьера, финансы, личная жизнь


1

Дифференциальные уравнения

Конспекты лекций, вопросы и задачи – 2012

Прядко И.Н., Садовский Б.Н.

Литература

Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. http://www.bsadovskiy.ru

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1984, 271с.

Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных урав-

нений. М., 1966, 332 с.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1971, 312с.

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.

М., 1980, 232 с.

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : [учебное пособие для физ.-мат. фак. ун-тов] / И.Г. Петровский.— М. : Физмат лит, 2009.— 207 с. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне ний / И.Г.Петровский. - М. : Московский университет, 1984. - 295 с.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф.Филиппов. - М.;

Ижевск : 2002, 174 с.

Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным урав нениям. – Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004.- с.

1. Элементарная теория 2. Задача Коши 3. Линейные уравнения Вопросы по главе 1. Определение устойчивости по Ляпунову.

2. Определение асимптотической устойчивости и асимптотической устойчивости в целом.

3. Определение экспоненциальной устойчивости и экспоненциальной устойчиво сти в целом.

4. Утверждение о приведенной системе.

5. Теорема об оценке нормы матричной экспоненты.

6. Критерий устойчивости ЛСПК.

7. Критерий Гурвица.

8. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

9. Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.

10. Лемма Гронуолла - Беллмана.

11. Теорема о липшицевости оператора сдвига.

Задачи 1. Исследуйте на устойчивость решение x sin t дифференциального уравнения, у которого общее решение задается формулой x Cet sin t.

2. Исследуйте на устойчивость нулевое решение дифференциального уравнения, x, t 1,.

если оператор сдвига для него задается формулой g1t x t 3. Исследуйте на устойчивость нулевое решение дифференциального уравнения, если оператор сдвига для него задается формулой g1 x0 x0t, t 1,.

t 4. Исследуйте на устойчивость решение x arctg t дифференциального уравне t, t 1,.

ния, общее решение которого задается формулой x arctg t C t 5. Докажите, что если одно из решений устойчивой линейной системы ограниче но (не ограничено), то все решения этой системы ограничены (не ограничены).

6. Покажите, что если система x Ax асимптотически устойчива, то систе ма x Ax неустойчива.

7. Докажите, что если система x Ax устойчива, то система x Ax x асимптоти чески устойчива.

8. Покажите, что если скалярное уравнение x a t x устойчиво и a1 t a t при всех t, то уравнение x a1 t x также устойчиво.

9. Докажите, что если на диагонали треугольной матрицы A стоят различные не положительные числа, то соответствующая (ЛАОС) устойчива.

Покажите, что если какое-нибудь ненулевое решение (ЛАОС) ограничено 10.

на,0, то система не является асимптотически устойчивой.

4. Устойчивость 4.1. Основные понятия теории устойчиво сти В этом параграфе формулируются и обсуждаются определения разных видов ус тойчивости.

4.1.1. Пример.

Общее решение уравнения x ax, как известно, задается формулой x Ceat.

Среди его решений выделим одно:

x и поставим вопрос о его устойчивости, т. е. о том, приводят ли малые отклонения от него при t = 0 к малым же отклонениям при всех t 0? Ответ будет различным в за висимости от знака a. При a 0 нулевое решение устойчиво асимптотически, т.

е. малым отклонениям от него в момент t = 0 соответствуют отклонения при t 0 не только малые, но и асимптотически стремящиеся к нулю (см. рис. 1). При a = 0 оно устойчиво — малым отклонениям в нулевой момент соответствуют малые отклоне ния при t 0. Наконец, при a 0 нулевое решение неустойчиво, т. е. сколь угодно малые отклонения от него при t = 0 могут приводить к большим отклонениям при t 0.

Рис. 1.

4.1.2. Определения устойчивости.

Рассматривается уравнение x f t, x, f : t0, (НС) n n и фиксированное его решение x t gtt0 x0 на t0,. Предполагается, что вы полнены условия теоремы Коши – Пикара в полосе (с переменным коэффициен том Липшица). Решение называется — устойчивым по Ляпунову, если (см. рис. 2а):

0 0 x0 : x0 x0 t t0 gtt0 x0 gtt0 x0 ;

— асимптотически устойчивым, если (см. рис. 2б) 1) оно устойчиво и 2) 0 x0 : x0 x0 gtt0 x0 gtt0 x0 0 при t.

— асимптотически устойчивым в целом, если оно асимптотически устойчиво, причем в 2) можно взять ;

другими словами, 2) заменяется на 2’) x0 gtt0 x0 gtt0 x0 0 при t.

— экспоненциально устойчивым, если 1 0, M 0, 0 x0 : x0 x0 1 t t0 gtt0 x0 gtt0 x0 Me 0 x0 x0 ;

t t — экспоненциально устойчивым в целом, если в качестве 1 можно взять +, т. е.

M 0, 0 x0 t t0 gtt0 x0 gtt0 x0 Me 0 x0 x0.

t t Рис. 2.

Очевидно, экспоненциальная устойчивость решения влечет его асимптотическую устойчивость, которая, в свою очередь, влечет устойчивость. Нетрудно проверить также, что обратные импликации не справедливы (для второй это уже показано в п. 4.1.1).

Как видно из определения, устойчивость решения t gtt0 x0 это непрерыв ность оператора сдвига в точке x0, равномерная относительно t t0,.



4.1.3. Устойчивость решений уравнения n-го порядка.

Для уравнения порядка n y F t, y, y,..., y n n (У n ) устойчивость (того или иного вида) его решения y t определяется как ус тойчивость решения x J t соответствующей нормальной системы (см.

n 2.2.3).

Например, рассмотрим уравнение маятника с трением, пропорциональным угловой скорости:

y ry 2 sin y 0.

Для него вопрос об устойчивости нижнего положения равновесия y t 0 эк вивалентен, по определению, вопросу об устойчивости решения x t, t 0,0 нормальной системы x1 x2, x2 sin x1 rx2.

4.1.4. Приведенная система.

Произведем в (НС) замену переменных y x t.

Тогда y x t f t, x f t, t f t, y t f t, t : F t, y.





Таким образом, с учетом произведенной замены (НС) эквивалентна следующей:

y F t, y. (ПС) (см. рис. 3). По отношению к (НС) и заданному ее решению x = (t) система (ПС) называется приведенной, или системой уравнений возмущенного движения. Утвер ждение об «эквивалентности с учетом замены» означает, что оператор сдвига g tt0 по траекториям (ПС) связан с оператором сдвига g tt0 по траекториям (НС) соотношени ем:

gtt0 x0 x0 gtt0 x0 gtt0 x g x x0 y, gtt0 x0 x, gtt0 x0 t, y t0 x0 x0 : y0.

t t0 Поэтому справедливо следующее утверждение о приведенной систе (НС) обладает одним из свойств устойчивости, если и только если ме: решение соответствующим свойством обладает нулевое решение приведенной системы.

Рис. 3.

Проведем доказательство для асимптотической устойчивости.

(Решение системы (НС) асимптотически устойчиво) 0 0 x0 : x0 x0 t t0 gtt0 x0 gtt0 x0 0 x0 : x0 x0 g x g x 0 при t t t t0 0 t0 0 0 y0 : y0 t t0 gtt0 y0 x0 gtt0 x0 0 y0 : y0 gtt0 y0 x0 gtt0 x0 0 при t 0 0 y0 : y0 t t0 gtt0 y0 0 0 y0 : y0 gtt0 y0 0 0 при t (нулевое решение (ПС) асимптотически устойчиво).

4.2. Устойчивость линейных систем В этом параграфе изучаются критерии устойчивости, асимптотической и экспоненциальной устойчивости для линейных систем с переменными и постоянными коэффициентами.

4.2.1. Приведенная система для (ЛС).

Для линейной системы x A t x b t, aij, bi C t0,, (ЛС) и любого ее решения x t приведенная система совпадает с соответствую щей (ЛОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y x t :

y A t x b t A t t b t A t x t A t y.

Замечание о терминологии.

Из предыдущего пункта следует, что решения (ЛС) могут обладать или не обла дать каким-то свойством устойчивости только все одновременно, и при этом со ответствующее свойство обязательно имеется или не имеется у нулевого реше ния (ЛОС) (и всех других ее решений). Поэтому употребляют термины устойчи вая линейная система, асимптотически устойчивая линейная система и т. д.

4.2.2. Признаки устойчивости (ЛС).

(а) Если t0 t ограничена на t0,, то (ЛС) устойчива.

(б) Если t0 t 0 при t, то (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

t0 t Me t t при некоторых M 0, 0 и любом t t0, то (ЛС) (в) Если экспоненциально устойчива в целом.

Доказательство. Во всех случаях достаточно проверить, что соответствую щим свойством устойчивости обладает нулевое решение приведенной системы, т.е. (ЛОС).

(а) Для произвольного 0 положим / M, где M положительная константа, ограничивающая норму t0 t на t0,. Тогда если y0, то gtt0 y0 t0 t y0 t0 t y0 M.

M Итак, нулевое решение (ЛОС) устойчиво.

(б) Для любого y0 имеем:

gtt0 y0 t0 t y0 0.

t (в) Аналогично:

gtt0 y0 t0 t y0 Me t t y0.

Замечание. Можно доказать, что в (а) – (в) справедливы и обратные утвер ждения, т.е. отмеченные признаки дают не только достаточные, но и необходимые условия.

4.2.3. Оценки нормы матричной экспоненты.

Переходя к рассмотрению линейных систем с постоянными коэффициентами x Ax b t, (ЛСПК) x Ax, (ЛАОС) заметим, во-первых, что в качестве начального момента t0, фигурирующего в оп ределениях устойчивости, для (ЛАОС) всегда можно брать 0, поскольку решения автономных систем инвариантны относительно сдвигов вдоль оси времени. Во вторых, для облегчения формулировок введем следующие обозначения: — максимальная вещественная часть собственных значений матрицы A, k — максимальная размерность жордановых клеток (максимальная степень элемен тарных делителей) A, отвечающих собственным значениям с вещественной ча стью.

Утверждается, что (а) m 0, M 0 (t 0) me t t k 1 e At Me t t 1, k (б) H : 0, 0, 0, t 0 e At H e t.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Из равенства e At Pe Jt P (см. п. 3.3.5) вытекает существование таких m1 0, M1 0, что m1 e Jt e At M1 e Jt.

В силу эквивалентности всех норм в пространстве матриц существуют такие по ложительные m2, M 2, что m2 max e Jt e Jt M 2 max e Jt.

ij ij i, j i, j Принимая во внимание описанный в 3.3.4 вид экспоненты жордановой клетки и равенство et eRe t, получим для t 0 :

e t t k 1 max e Jt.

k 1! ij i, j Отсюда вытекает первое из неравенств в (а).

Далее, если t k e Jt et, k 1!

ij то дробь e Jt t k e Re t ij k 1!

e t t 1 t k 1 k ограничена на 0,. При Re это следует из того, что она непрерывна и стремится к нулю при t, а при Re —из неравенства k k. Итак, при t max e Jt M 3e t t k ij i, j Это завершает доказательство верхней оценки в (а).

(б) Наконец, заметим, что при e t t 1k 1 M e t, e t t 1 e t k так как выражение в квадратных скобках непрерывно и стремится к нулю при t. Поэтому (б) следует из (а).

4.2.4. Критерии устойчивости (ЛСПК).

Утверждается, что (в обозначениях предыдущего пункта):

(а) если 0, то (ЛСПК) экспоненциально устойчива в целом;

(б) если 0 и k 1, то (ЛСПК) устойчива, но не асимптотически;

(в) если ( 0 и k 1 ) или 0, то (ЛСПК) неустойчива.

Доказательство.

(а) Зафиксируем какое-нибудь 0, и воспользуемся утверждением (б) предыдущей теоремы:

g t y0 e At y0 H e t y0.

Положив M H, ( 0), получаем:

g t y0 Me t y0, т.е. нулевое решение (ЛАОС) экспоненциально устойчиво в целом.

(б) Неравенства из утверждения (а) предыдущей теоремы в данном случае имеют вид:

m me t t k 1 e At Me t t k M Правое неравенство означает ограниченность e At 0 t и, следовательно, устой чивость (ЛСПК) на любом промежутке t0,, на котором непрерывна функция b t – см. признаки устойчивости (ЛС). Из левого неравенства вытекает, что хо тя бы один из столбцов матрицы e At (например, k t ) не стремится к нулю при t (одна из эквивалентных норм в пространстве матриц – максимум норм столбцов). Поскольку столбцы фундаментальной матрицы являются решениями (ЛАОС), мы можем построить решение k t со сколь угодно малым началь ным значением, не стремящееся к нулю. Следовательно, устойчивость не является асимптотической.

(в) Из левого неравенства в утверждении (а) предыдущей теоремы в данном случае следует, что e At при t. Это означает, что хотя бы для одного k норма k стремится к бесконечности. Но тогда решение k t (ЛАОС) не может быть ограниченным ни при каком положительном. Следовательно, ну левое решение (ЛАОС) неустойчиво.

4.2.5. Критерий Гурвица (Рауса - Гурвица).

Рассматривается многочлен h an n an1 n1... a1 a с вещественными коэффициентами и предполагается, что a0 0, an 0 (*) Утверждается: для того, чтобы все корни данного многочлена имели отрица тельные вещественные части (т.е. 0 ), необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры следующей матрицы Гур вица:

a2i j, если 0 2i j n, ij n, ij i, j 0 в противном случае.

Доказательство критерия Гурвица, а также формулируемого ниже критерия Ми хайлова, можно найти, например, в книге Б.П. Демидовича «Лекции по математи ческой теории устойчивости».

П р и м е р ы. Рассмотрим уравнение маятника с трением, пропорциональным угловой скорости:

y ry 2 sin y 0.

Произведем линеаризацию этого уравнения вблизи нижнего положения равнове сия, т.е. приближенно заменим функцию sin y на эквивалентную величину y (и сменим обозначение неизвестной функции на ):

r 2 0.

Для полученного линейного уравнения вопрос об устойчивости можно решить с помощью теоремы Гурвица. Матрица Гурвица для характеристического полинома h 2 r 2 (который является и характеристическим многочленом соот ветствующей нормальной системы) и ее главные диагональные миноры в этом случае имеют вид:

a1 a0 r 2 r, r, 2 r.

0 a2 0 1 При r 0 главные миноры положительны, так что по теореме Гурвица и утвер ждению (а) теоремы 4.2.4 линеаризованное уравнение экспоненциально устойчи во в целом. Оказывается, что это уже гарантирует и экспоненциальную устойчи вость нулевого решения исходного нелинейного уравнения маятника – соответ ствующая теорема Ляпунова будет доказана в следующем параграфе.

Для анализа на устойчивость верхнего положения равновесия маятника y сначала введем новую неизвестную z y (отклонение от положения равновесия) и выпишем приведенное уравнение:

z rz 2 sin z 0, т.е. z rz 2 sin z 0.

Теперь, как и в предыдущем случае, произведем линеаризацию вблизи стацио нарного решения z 0 :

r 2 0.

Для полученного уравнения матрица Гурвица и главные диагональные миноры имеют вид:

r 2 r, 1 r, 2 r.

0 1 0 При формировании матрицы Гурвица пришлось изменить знаки всех коэффици ентов, чтобы было выполнено условие положительности коэффициента a0. По скольку один из главных миноров оказался отрицательным, можно сделать вывод, что верхнее положение равновесия не является асимптотически устойчивым.

Разобранные примеры носят чисто иллюстративный характер, поскольку корни характеристических уравнений в этих случаях могут быть найдены непо средственно и необходимости в применении критерия Рауса – Гурвица нет. В ча стности, один из корней характеристического уравнения во втором случае r r 2 положителен, так что уравнение не только не является асимптотически устойчи вым, но даже не является просто устойчивым (см. 4.2.4 ).

Отметим еще полезное необходимое, но не достаточное условие гурвицево сти (т. е. отрицательности всех вещественных частей всех корней) многочлена, удовлетворяющего условиям (*): все коэффициенты ak должны быть положи тельны. Для второго из рассмотренных уравнений, умноженного на –1, это усло вие не выполнено, поэтому матрицу Гурвица можно было не составлять. Для мно гочлена второй степени, удовлетворяющего требованиям (*), сформулированное условие не только необходимо, но и достаточно (докажите).

4.2.6. Критерий Михайлова.

Для описанного выше многочлена h построим годограф Михайлова, т.е. ориентированную кривую, описываемую в комплексной плоскости точкой z h i, когда вещественное число изменяется от 0 до. Допустим, что годограф Михайлова не проходит через начало координат, т. е. многочлен h не имеет число мнимых корней. Утверждается: для гурвицевости многочлена h не обходимо и достаточно, чтобы его годограф Михайлова делал поворот вокруг на чала координат против часовой стрелки на угол n / 2, где n — степень полино ма.

П р и м е р. Построим годограф Михайлова для первого многочлена из рассмот ренных в предыдущем пункте h 2 r 2 (здесь мы немного изменили обозначение): h i 2 ri 2 2 2 ri.

Эта кривая изображена на рисунке. Угол arg h i при стремится к, так как tg r / 2 2 0. Итак, годограф делает поворот вокруг нача ла координат против часовой стрелки на угол 2 / 2, т. е. многочлен гурвицев.

Для второго многочлена из предыдущего пункта угол поворота годографа Михай лова будет равен 0 (проверьте).

4.3. Устойчивость особых точек нелиней ных систем Для нелинейной системы вопрос об устойчивости решения можно при некоторых условиях решить с помощью анализа соответствующей линеаризованной систе мы— это утверждают приводимые в настоящем параграфе теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. В более трудных слу чаях привлекаются другие методы, в частности, метод функций Ляпунова, кото рый мы иллюстрируем на примере маятника без трения.

4.3.1. Задача об устойчивости положения равновесия автономной системы.

Рассматривается автономная система x f x (НАС) непрерывная где f : функция. Положением равновесия, или особой n n точкой этой системы называется решение-константа:

t x *.

Нетрудно видеть, что x * является положением равновесия тогда и только тогда, когда f x * 0.

Итак, пусть x * положение равновесия системы (НАС) и отображение f имеет в точке x * производную f x * A, т. е.

f x f x f x * A x x * r x x *, где r x x * 0 при x x *. (*) x x* Рассмотрим приведенную систему y Ay r y (ПС) и линеаризованную систему y Ay (ЛАОС) Как видно, они отличаются друг от друга "малым" слагаемым r y в правой час ти. Поэтому есть основание ожидать, что об устойчивости нулевого решения при веденной системы можно судить по устойчивости линейной автономной системы.

4.3.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближе нию Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные веществен ные части, то положение равновесия x * (НАС) экспоненциально устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы будем доказывать экспоненциальную устойчивость нулевого решения приведенной системы, что эквивалентно утверждению теоре мы. Требуется найти такие положительные 1, M и, чтобы из неравенств y0 1, t вытекало неравенство g t y0 Me t y0.

Для функции t : g t y0 выполнено тождество:

t A t r t.

Введя временное обозначение b t : r t, получим, что удовлетворяет ли нейной системе с постоянными коэффициентами:

t A t b t.

Воспользовавшись известной формулой для оператора сдвига, получаем:

t t e y0 e At s b s ds.

At Оценим норму:

t t e b s ds A t s y0 e At (+) \используется утверждение (а) в 4.2.4\ t b s ds 1 t s y0 Me 1t Me. (++) t Me y0 Me1s b s ds 1 1t Далее, зафиксируем 0, 1 / M и, применив соотношение (*), найдем такое 0, что b s r s s при s.

Тогда из (+), (++) получаем неравенство:

t t M y0 M e s s ds если s при s 0, t.

1t e Это означает, что для функции t e1t t выполнено условие леммы Гро нуолла – Беллмана (см. ниже):

t t M y0 M s ds.

Применив эту лемму и положив : 1 M 0, получаем:

t e t t MeM t y0, т.е. t Me t y0.

Именно такое неравенство требовалось доказать, но доказано оно пока только на таком промежутке 0,t1, на котором t. Если теперь потребовать, чтобы начальное значение удовлетворяло неравенству y0 1, M то неравенство t будет выполняться для всех неотрицательных t. Дейст вительно, если бы для некоторого t1 это неравенство впервые обратилось в равен ство, то было бы:

t1 Me1t1 y0 M.

M Итак, требуемое неравенство выполнено для всех неотрицательных t ;

теорема полностью доказана.

П р и м е р. Система уравнений маятника x x sin rx r 0 имеет особые точки н 0 в yн, yв, xн 0 xв соответствующие нижнему и верхнему положениям равновесия. Для первой из них выполнены условия доказанной теоремы (как выяснено в предыдущем пара графе). Поэтому yн экспоненциально устойчивая особая точка данной системы.

4.3.3. Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближе нию.

Если среди собственных значений матрицы A есть хотя бы одно с положитель ной вещественной частью, то положение равновесия системы неустойчиво.

П р и м е р. Верхнее положение равновесия yв рассмотренной системы неустой чиво, так как один из корней характеристического уравнения положителен (см.

4.2.5).

4.3.4. Устойчивость нижнего положения равновесия маятника без трения.

Если r 0, то для yн не выполнены условия ни одной из двух предыдущих теорем, поскольку оба корня чисто мнимые: 1,2 i. В подобных случаях для исследова ния на устойчивость бывает удобна следующая теорема.

Признак устойчивости. Пусть * — точка строгого локального минимума гладкой функции U :. Тогда она является устойчивым положением равно n весия уравнения второго порядка dU, d т. е.

* x* есть устойчивая особая точка системы x1 x2, dU x (*) x2.

dx Доказательство. Во-первых, точка x * действительно является особой, так как в ней правая часть рассматриваемой системы равна нулю (правая часть второго уравнения – в силу необходимого признака точки экстремума).

Далее, рассмотрим функцию V x U x1 x Для нее x * является, очевидно, точкой строгого локального минимума, т.

е. найдется такое 0 0, что 0 x x * 0 V x V x *.

Заметим, что функция V является интегралом системы (*) в том смысле, что V x t C для любого ее решения x t. Действительно, dU x1 dU x1 dU x d V x t x1 x2 x2 x2 x2 0.

dt dx1 dx1 dx Докажем теперь устойчивость x *. Пусть 0 и 1 min 0,. Положим M : min V x : x x * 1.

(непрерывная функция V на компакте достигает минимального значения, при чем M V x * ). Выберем 0 так, чтобы из неравенства x x * вытекало неравенство V x M ;

это можно сделать ввиду непрерывности V. Очевид но, 1. Пусть теперь x0 x *. Тогда V g t x0 V x0 M.

Поэтому при любом t 0 будет g t x0 x * 1, так как иначе при некотором t было бы g t x0 x * 1 и, следовательно, V g t x0 M.

Теорема доказана.

Для п р и м е р а с маятником без трения уравнение можно записать в виде d 2 cos, d причем функция U : 2 cos в точке * 0 имеет строгий локальный мини мум. Следовательно, это положение равновесия устойчиво.

Заметим, что если бы для функции V в доказательстве признака устойчивости вместо тождества d V x t dt выполнялось неравенство d V x t 0, dt то все доказательство оставалось бы верным. Такие функции называют функция ми Ляпунова, а соответствующий метод исследования на устойчивость — методом функций Ляпунова, или вторым методом Ляпунова.

4.4. Зависимость решений от начальных значений 4.4.1. Лемма Гронуолла – Беллмана.

Пусть на некотором отрезке t0, t1 непрерывная функция y t 0 удовлетворяет неравенству t y t y0 M s y s ds, t где y0 0, а M : t0, t1 0, непрерывная функция. Тогда t M s ds t0 t t1.

y t y0e t Эта лемма часто применяется при исследовании дифференциальных уравнений, в частности, при изучении вопросов о зависимости решений от начальных значе ний. Выше мы уже ее использовали в доказательстве теоремы Ляпунова об устой чивости по первому приближению.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначение t z t : y0 M s y s ds ;

t тогда, очевидно, y t z t. Поэтому достаточно доказать, что t M s ds z t y0e t.

Очевидно, z t M t y t M t z t и z t0 y0.

Поэтому для неотрицательной непрерывной функций b t M t z t z t име ем:

z t M t z t b t.

Воспользовавшись формулой для оператора сдвига по траекториям линейного не однородного уравнения, получаем:

M s ds t t t M s ds y et M s ds z 0 e t z t e b d t.

t Лемма доказана.

4.4.2. Теорема о липшицевости оператора сдвига.

Пусть для нормальной системы x f t, x (НС) выполнены условия теоремы Коши —Пикара в полосе t0, t1 (см. 2.1.5).

n Тогда оператор сдвига по траекториям (НС) удовлетворяет условию Липшица L t t0 Lt1 t gtt0 x0 gtt0 y0 x0 y0 e x0 y0 e и, как следствие, непрерывен.

Доказательство. Функции t : gtt0 x0, t : gtt0 y0 удовлетворяют инте гральным уравнениям:

t t x0 f s, s ds, t t t y0 f s, s ds.

t Поэтому для нормы разности этих функций получаем:

t t t t x0 y0 f s, s f s, s ds x0 y0 L s s ds.

t0 t Применение леммы Гронуолла – Беллмана завершает доказательство:

t t x0 y0 e Lt t.

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.