авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Российская академия наук

Уральское отделение

Коми научный центр

Отдел математики

ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

И

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(Труды Коми научного центра УрО Российской АН, № 186)

Сыктывкар 2012

УДК 512+514+517.9 055(02)7

ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Сыктывкар,

2012. 32 с. (Труды Коми научного центра УрО Российской АН, № 186).

Представлены результаты исследований сотрудников Отдела матема тики Коми научного центра УрО РАН. Показано, что калибровочные тео рии, отвечающие контрактированным калибровочным группам, описыва ют тот же набор полей с теми же массами частиц, что и теории с исходны ми группами, если рассматривать лагранжианы как в базе, так и в слоях.

Такие теории с неполупростыми калибровочными группами приводят к более простым взаимодействиям полей.

Ответственный редактор д.ф.-м.н. Н.А. Громов Рецензенты д.ф.-м.н. С.М. Полещиков, д.ф.-м.н. А.Н. Тихомиров ISBN 978-5-89606-437- © Коми научный центр УрО Российской АН, Труды Коми научного центра УрО Российской АН № 186 Некоммутативные квантовые аналоги пространств постоянной кривизны Н.А. Громов Введение Пространства постоянной кривизны выделяются среди прочих пространств тем, что они наиболее симметричны, т.е. имеют группу движений максимальной размерности N (N + 1)/2 для пространства размерности N. Благодаря этому свойству они широко используют ся в математике и физике. Единая аксиоматика всех пространств постоянной кривизны произвольной размерности была предложена в работе Р.И. Пименова [1], где также был введен набор параметров, принимающих вещественные, чисто мнимые и нильпотентные значе ния. Практически эти пространства могут быть получены из сфери ческого пространства контракциями и аналитическими продолжени ями, известными как схема Кэли-Клейна [2], в которых для описания контракций вместо стремящегося к нулю параметра [3] используется его нильпотентное значение. Соответственно, группы движений про странств постоянной кривизны получаются из ортогональной груп пы контракциями и аналитическими продолжениями в рамках схемы Кэли-Клейна.

Теория квантования простых групп и алгебр Ли была разработа на Л.Д. Фаддеевым и его школой [4]. Как математическая струк тура квантовые группы представляют собой некоммутативную и некокоммутативную алгебру Хопфа. С квантовыми ортогональны ми группами связаны квантовые ортогональные векторные простран ства (или квантовые пространства Евклида), которые определяются как алгебра функций, порождаемая набором образующих, удовле творяющих определенным коммутационным соотношениям. Кван N товые ортогональные сферы Sq произвольной размерности так же были определены в работе [4]. Стандартная квантовая сфера Подлеса [5] связана с квантовой унитарной группой и может рас сматриваться как фактор-алгебра SUq (2)/U (1). Пример квантовой 4-сферы, мотивированный пуассоновой структурой, рассмотрен в ра боте [6]. Спиральные (twisted) деформации, которые квантуют по луклассическую структуру, определяемую общим элементом подал гебры Картана, приводят к спиральным сферам [7]. Дискретное се мейство квантовых сфер Подлеса может рассматриваться как семей ство q-деформированных пушистых (fuzzy) сфер [8]. Таким образом, имеются разнообразные подходы к трактовке некоммутативных про странств.

Представляется естественным построить квантовые аналоги групп и пространств Кэли-Клейна с помощью той же самой схемы контрак ций и аналитических продолжений, которая используется в коммута тивном случае, примененной к квантовым ортогональным группам и ассоциированным с ними квантовым векторным пространствам. Два новых обстоятельства добавляются в некоммутативном квантовом случае по сравнению с коммутативным. Во-первых, при контракции в общем случае необходимо преобразовывать не только образующие, но и параметр деформации [9]. Во-вторых, нужно объединить в од но целое две математические структуры квантовую деформацию и схему Кэли-Клейна, каждая из которых нарушает равноправность декартовых образующих квантовой группы и квантового простран ства. Эти структуры могут быть объединены разными способами [10]. Разные комбинации квантовой структуры и схемы Кэли-Клейна описываются с помощью перестановок.

В работах [11]–[15] были построены квантовые ортогональные группы в декартовых образующих и некоммутативные аналоги воз можных моделей пространства времени (или кинематик), отталкива ясь от математической теории квантовых групп и квантовых вектор ных пространств [4]. Однако преобразование параметра деформации в этих работах осуществлялось с помощью минимального множите ля J, состоящего из произведения первых степеней контракционных параметров. Такое ограничение приводило к тому, что при некото рых комбинациях квантовой структуры и схемы Кэли-Клейна, т.е.

при некоторых перестановках, не все контракции оказывались до пустимыми. Для того, чтобы все контракции из схемы Кэли-Клейна были возможными при всех перестановках, необходимо рассматри вать не минимальный множитель J, включив в него наряду с первы ми также и вторые степени контракционных параметров. В данной работе мы находим не минимальные множители J для общего слу чая квантового ортогонального пространства Кэли-Клейна (раздел 3) и описываем некоммутативные квантовые аналоги пространств постоянной кривизны размерности три (раздел 4) и четыре (раздел 5). В разделе 2 мы кратко напоминаем определение коммутативных пространств Кэли-Клейна.



1. Пространства постоянной кривизны Аксиоматическое описание наиболее симметричных пространств с постоянной кривизной было дано Р.И. Пименовым [1]. Все 3N про странств постоянной кривизны размерности N могут быть реализо ваны [2] на сферах S N (j) = {1 + j1 2 +... + (1, N + 1)2 N +1 = 1}, 2 22 в (N + 1)-мерном векторном пространстве ON +1 (j), где max(i,k) (i, k) = jl, (k, k) l=min(i,k) и каждый из параметров jk принимает три значения 1, k, i, k = 1,..., N. Здесь k есть нильпотентная единица 2 = 0, с комму k тативным законом умножения k m = m k = 0, k = m. Для ве щественного или комплексного a выражение a/k определено толь ко при a = 0, т.е. обратный элемент для нильпотентной единицы не определен. Аналогично выражение m /k определено только при m = k и тогда k /k = 1, т.е. одинаковые (с одинаковым индексом) нильпотентные единицы можно сокращать. Последнее свойство есть формальное выражение равенства k a = k b a = b, вытекающего из определения равенства элементов алгебры с единицей и образу ющими k.

j 1 i j r1 r1 r r2 r2 r Сферическая Евклид Лобачевский r1 r1 r r2 r2 r Ньютон(+) Ньютон(-) Галилей r1 r1 r r2 r2 r i анти де Ситтер де Ситтер Минковский Рис.1. Девять плоскостей с постоянной кривизной. Слои обозначены жирными линиями, световые конуса в (1 + 1) кинематиках – пунктир ными линиями.

Внутренние бельтрамиевы координаты rk = k+1 /1, k = 1, 2,..., N образуют систему координат пространства постоянной кривизны S N (j), координатные линии rk = const которой являются геодезическими. Пространство S N (j) имеет положительную кривиз ну при j1 = 1, отрицательную при j1 = i и нулевую при j1 = 1.

Для плоского пространства бельтрамиевы координаты совпадают с декартовыми. Нильпотентное значение параметра jk = k, k соответствует расслоенному пространству с (k 1)-мерной базой Sb = {r1,..., rk1 } и (N k + 1)-мерным слоем Sf = {rk,..., rN }.

Для того, чтобы избежать терминологической путаницы подчеркнем, что мы имеем в виду локально тривиальное расслоение, определя емое проекцией pr : S N (k ) Sb. Такое расслоение лежит в ос нове полуримановой геометрии Р.И. Пименова [17]–[23] и не имеет ничего общего с главным расслоением. Чисто мнимое значение па раметра jk = i приводит к псевдоримановой геометрии. Все девять плоскостей с постоянной кривизной (или плоскостей Кэли-Клейна) изображены на рис.1.

Часть из пространств с постоянной кривизной S 4 (j) при j1 = 1, 1, i, j2 = 2, i, j3 = j4 = 1 можно рассматривать как (1 + 3) модели пространства-времени или кинематики [16], если интерпре тировать r1 как ось времени, а остальные координаты как простран ственные оси [2, 15]. Эти кинематики также изображены на рис.1, где вместо r2 нужно мыслить трехмерное пространство R3.

2. Квантовые ортогональные группы и кван товые пространства Кэли-Клейна В соответствии с теорией квантования групп [4], алгебра функ ций на квантовой ортогональной группе F un(SOq (N )) (или просто квантовая ортогональная группа SOq (N )) есть алгебра некоммута тивных полиномов от n2 переменных tij, i, j = 1,..., n, удовлетво ряющих коммутационным соотношениям (1) Rq T 1 T 2 = T 2 T 1 Rq и дополнительным соотношениям q-ортогональности T CT t = C, T t C 1 T = C 1. (2) Здесь T1 = T I, T2 = I T Mn2 (C tij ), T = (tij )n i,j= Mn (C tij ), I есть единичная матрица в Mn (C), C = C0 q, = diag(1,..., N ), (C0 )ij = i j, i = N + 1 i, i, j = 1,..., N, т.е.

(C)ij = q i i j и C 1 = C, (n 1, n 3,..., 2, 0, 1,..., n + 1 ), N = 2n + 2 2 2 (1,..., N ) = (n 1, n 2,..., 1, 0, 0, 1,..., n + 1), N = 2n.

(3) Числовая матрица Rq является хорошо известным решением [4] уравнения Янга-Бакстера, а ее элементы служат структурными по стоянными образующих квантовой группы.

Напомним определение квантового векторного пространства [4].

N Определение 1. Алгебра Oq (C) с образующими x1,..., xN и коммутационными соотношениями q q 1 t (4) Rq (x x) = qx x x CxWq, 1 + q N N где Rq = P Rq, P u v = v u, u, v Cn, Wq = i i=1 q ei e i, N n xi Cij xj = x2 + xt Cx = q k xk xk + q k xk xk, (5) n+ i,j=1 k= = 1 при N = 2n + 1, = 0 при N = 2n и вектор (ei )k = ik, i, k = 1,..., N, называется алгеброй функций на N -мерном квантовом евклидовом пространстве (или просто квантовым евкли довым пространством).

Кодействие квантовой группы SOq (N ) на некоммутативном век N торном пространстве Oq (C) определяется формулой n (x) = T x, (xi ) = tik xk, i = 1,..., n, k= и квадратичная форма (5) инвариантна относительного этого кодей ствия.

Матрица C имеет ненулевые элементы только на побочной диа гонали. Они равны единице в коммутативном пределе q = 1. Поэто му квантовая группа SOq (N ) и квантовое векторное пространство N Oq (C) описываются уравнениями (1)–(5) в так называемом косо симметричном базисе, в котором при q = 1 инвариантная форма xt C0 x = inv определяется матрицей C0, имеющей ненулевые еди ничные элементы только на побочной диагонали.

Новые образующие y = D1 x квантового евклидового простран N ства Oq (C) в произвольном базисе получаются [11, 12] с помощью невырожденной матрицы D MN и удовлетворяют коммутацион ным соотношениям y t C yW, R(y y) = qy y 1 + q N где R = (D D)1 Rq (D D), W = (D D)1 Wq, C = Dt CD.

Соответствующая квантовая группа SOq (N ) порождается в произ вольном базисе образующими U = (uij )N, где U = D1 T D. Ком i,j= мутационные соотношения новых образующих RU1 U2 = U2 U1 R и соотношения q-ортогональности таковы U CU t = C, U t (C)1 U = (C)1, где R = (D D)1 Rq (D D), C = D1 C(D1 )t.





Во многих случаях наиболее естественным является декартов ба зис, в котором инвариантная форма inv = y t y задается единичной матрицей I. Переход от кососимметричного базиса x к декартову ба зису y описывается матрицей D, которая является решением урав нения Dt C0 D = I. (6) Это уравнение имеет много решений. Выберем одно из них I iC D= 0 (7) 0, N = 2n + 1, 2 C0 0 iI где C0 есть n n матрица с вещественными единицами на побочной диагонали. При N = 2n матрица D дается формулой (7) без сред них строки и столбца. Матрица (7) описывает одну из возможных комбинаций структуры квантовой группы и схемы Кэли-Клейна кон тракций групп. Все остальные подобные комбинации описываются матрицами D = DV, получаемыми из (7) умножением справа на матрицу V MN с элементами (V )ik = i,k, где S(N ) есть перестановка N -го порядка [13]. Матрицы D являются решениями уравнения (6).

Мы получим квантовые пространства Кэли-Клейна таким же пре образованием декартовых генераторов y =, = diag(1, (1, 2),..., (1, N )) MN, как и в коммутативном случае [2, 12]. В квантовом случае необходимо добавить преобразование z = Jv параметра де формации q = ez.

N Определение 2. Алгебра Ov (j;

;

C) с декартовыми образую щими 1,..., N и коммутационными образующими 2 sh Jv R (j) = eJv t C (j)W (j), (8) 1 + eJv(N 2) где R (j) = 1 R, W (j) = 1 W, C (j) = D CD = V Dt CDV, =, t t называется N -мерным квантовым векторным пространством Кэли Клейна.

В явном виде коммутационные соотношения (8) имеют вид (1, k ) sh Jv, k m k, k = m, k m = m k ch Jv im k (1, k ) (1, m ) sh Jv, m k m, k = m, k m = m k ch Jvim k (1, m ) (9) (1, n+1 ) Jv [k, k ] = 2i sh( )(ch Jv)nk n+ + 2 (1, k )(1, k ) n sh(Jv) (ch Jv)m ((1, m )2 m +(1, m )2 m ), 2 +i k+1 (1, )(1, ) (ch Jv) k k m=k+ (10) где k, m = 1, 2,..., n, N = 2n+1 or N = 2n, k = N +1k, переста новка = (1,..., N ) описывает определенную комбинацию струк туры квантовой группы и схемы Кэли-Клейна групповых контрак ций. Инвариантная форма при кодействии соответствующей кванто вой ортогональной группы на квантовом пространстве Кэли-Клейна N Ov (j;

;

C) записывается следующим образом (ch Jv)n (1, n+1 )2 n+ inv(j;

) = + ch(Jv/2) n ((1, k )2 k + (1, k )2 k )(ch Jv)k 2 (11) + ch(Jv1 ).

k= N Определение 3. Квантовое евклидово пространство Oq (C) с = C t x (или в компонентах x = q k x, k = антиинволюцией x k k 1,..., N ) называется квантовым вещественным евклидовым про N странством Oq (R) [4].

Подобное определение справедливо для квантового пространства Кэли-Клейна.

Определение 4. Квантовое векторное пространство Кэли-Клейна N (j;

;

C) с антиинволюцией Ov (1, k ) k = k ch Jvk + ik sh Jvk, n+1 = n+1, (1, k ) (1, k ) (12) k = k ch Jvk ik sh Jvk, k = 1,..., N (1, k ) называется квантовым вещественным векторным пространством Кэ N ли-Клейна Ov (j;

).

Множитель J в преобразовании z = Jv деформационного пара метра нужно подобрать таким, чтобы сокращались все неопределен ные выражения, которые возникают при нильпотентных значениях контракционных параметров.

Теорема. Квантовое N -мерное векторное пространство Кэли N Клейна Ov (j;

) определено при всех контракциях jk = k, k = 1,..., N 1, если множитель J в преобразовании деформационного параметра выбрать в виде (k) (13) J = J0 J1 = J0 J1, k (k) где J0, J1, J1 даются формулами (14),(17),(18).

Доказательство. Поскольку множители (1, k ) и (1, k ) входят в коммутаторы (9),(10) симметричным образом, мы можем без поте ри общности положить k k. Тогда неопределенные выражения в коммутаторах (9) принимают вид (1, k )(1, k )1 = (k, k ), где k = 1, 2,..., n при N = 2n + 1 и k = 1, 2,..., n 1 при N = 2n. Они устраняются множителем (14) J0 = (k, k ), k который состоит из произведения первых степеней контракционных параметров и является минимальным множителем, который гаран тирует существование структуры алгебры Хопфа для соответствую щей квантовой группы SOv (N ;

j;

). В работе [15] рассматривался как раз такой случай.

Определение 5. "Объединение"двух множителей понимается как произведение всех параметров jk, которые входят по крайней мере в один из множителей, и степень jk в "объединении"равна его максимальной степени в обоих множителях, например, (j1 j2 ) (j2 j3 ) = j1 j2 j3.

Если мы рассмотрим неопределенные выражения в коммутаторах (10), то придем к не минимальному множителю J, который состоит из произведения контракционных параметров в первой и во второй степенях. Неопределенные выражения в коммутаторах (10) имеют вид n n 2 2 (1, m ) m=k+1 [(1, m ) + (1, m ) ] = m=k+1 (15), (1, k )2 (k, k ) (1, k )(1, k ) при четном N = 2n и n 2 + (1, m )2 ] (1, n+1 ) + m=k+1 [(1, m ) = (1, k )(1, k ) (1, n+1 ) + n m=k+1 (1, m ) (16) =, (1, k )2 (k, k ) при нечетном N = 2n + 1. Введем числа ik = min{k+1,..., n }, тогда k-е выражение в (15) или (16) равно (ik, k )2 (k, k )1, ik k (1, ik ) (k, ik )(ik, k )1, k ik k = (1, k )2 (k, k ) (k, k )(k, ik )2, ik k и компенсирующий множитель для этого выражения равен (ik, k )2 (k, k ), ik k (k) (ik, k ), k ik k (17) J1 = 1, ik k.

Для всех выражений в (15) или (16) компенсирующий множитель J получается объединением (k) (18) J1 = J1.

k Следовательно, не минимальный множитель J в преобразовании z = Jv деформационного параметра дается (13) и включает первые и вторые степени контракционных параметров.

N N Определение 6. Фактор-алгебра Sq 1 алгебры Oq (R) по со отношению xt x = xt Cx = 1 называется (N 1)-мерной квантовой ортогональной сферой [4].

Мы определим квантовую ортогональную сферу Кэли-Клейна аналогично.

N N Определение 7. Фактор-алгебра Sv 1 (j;

) алгебры Ov (j;

) по соотношению inv(j;

) = 1 (11) называется (N 1)-мерной кван товой ортогональной сферой Кэли-Клейна.

Квантовый аналог внутренних бельтрамиевых координат на кван товой сфере дается набором правых и левых образующих 1 ri 1 = i 1, ri 1 = 1 i, i = 1,..., N, i = k, k = 1.

Причина определения правых и левых образующих состоит в упроще нии выражений для коммутационных соотношений. Можно исполь зовать, скажем, только правые образующие, но тогда выражения для коммутационных соотношений будут громоздкими, особенно когда все контракционные параметры не являются нильпотентными.

3. Квантовые векторные пространства Кэли Клейна Ov (j;

) и ортогональные сферы Sv (j;

) Трехмерные квантовые векторные пространства Кэли-Клейна Ov (j;

), j = (j1, j2 ) порождаются образующими 1, 2, 3 с ком мутационными соотношениями (см. (9),(10)) (1, 3 ) 1 2 = 2 1 ch(Jv) i2 3 sh(Jv), (1, 1 ) (1, 1 ) 2 3 = 3 2 ch(Jv) i1 2 sh(Jv), (1, 3 ) (1, 2 ) (19) [1, 3 ] = 2i2 sh(Jv/2) (1, 1 )(1, 3 ) и имеют инвариантную форму (11) вида v inv(j;

) = (1, 1 )2 1 + (1, 3 )2 3 ch J 2 + (1, 2 )2 2 ch Jv. (20) Антиинволюция (12) в декартовых координатах задается формулами (1, 3 ) 1 = 1 ch Jv1 + i3 sh Jv1, 2 = (1, 1 ) (1, 1 ) (21) 3 = 3 ch Jv1 i1 sh Jv1, 1 =, 2 = 0.

(1, 3 ) Анализируя множитель (13) при N = 3 и коммутационные со отношения (19) образующих квантового пространства, мы нашли три перестановки, приводящие к разным множителям J, а именно J = j1 j2, при 0 = (1, 2, 3), J = j1 при = (1, 3, 2) и J = j1 j2 при = (2, 1, 3).

2 Ортогональные квантовые 2-сферы Sv (j;

) = Ov (j;

)/ {inv(j;

) = 1} описываются правыми rk или левыми rk квантовыми аналога ми внутренних бельтрамиевых координат, коммутационные соотно шения которых могут быть получены при фиксированной переста новке. Рассмотрим эти три случая разных перестановок по от дельности.

Перестановка 0 = (1, 2, 3), множитель J = j1 j 3.1.

Согласно (19),(21) соответствующее квантовое векторное про странство Кэли-Клейна характеризуется следующими коммутацион ными соотношениями и инволюцией образующих Ov (j;

0 ) = 1 2 = 2 1 ch j1 j2 v i2 3 j1 j2 sh j1 j2 v, 1 2j v sh j1 j2 v, [1, 3 ] = 2i2 1 sh j1 j 2 3 = 3 2 ch j1 j2 v i1 j1 j2 j1 j2 v v 1 = 1 ch j1 j2 + i3 j1 j2 sh j1 j2, 2 v 1 v (22) 3 = 3 ch j1 j2 i1 sh j1 j2, 2 = 2.

2 j1 j2 В коммутативном случае (v = 0) нильпотентное значение первого контракционного параметра j1 = 1 вместе с j2 = 1 дает полуев клидово пространство с одномерной базой {1 } и двумерным слоем {2, 3 }. Некоммутативная деформация этого расслоенного полуев клидового пространства получается при j1 = 1 в (22), а именно Ov (1 ;

0 ) = [1, 2 ] = [1, 3 ] = 0, [3, 2 ] = iv1 2, v (23) 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3 i1.

При v = 0 контракция j1 = 1, j2 = 2 переводит евклидово пространство E3 в пространство с двумерной базой {1, 2 } и од номерным слоем {3 }. Его квантовый аналог получается такой же контракцией в (22) 3 (24) Ov (2 ;

0 ) = [1, 2 ] = 0, [3, 1 ] = iv2, [3, 2 ] = iv1 2.

Образующие k, k = 1, 2, 3 такие же, как в (23).

Инвариантная форма для перестановки 0 получается из (20) v 2 222 inv(j;

0 ) = (1 + j1 j2 3 ) ch j1 j2 (25) + j1 2 ch j1 j2 v.

2 Ортогональная квантовая 2-сфера Sv (j;

0 ) = Ov (j;

0 )/ {inv(j;

0 ) = 1} описывается образующими квантовыми аналогами бельтра миевых координат с коммутационными соотношениями Sv (j;

0 ) = r1 = r1 (ch j1 j2 v ir2 j1 j2 sh j1 j2 v), v r2 r2 = 2i1 r1 sh j1 j2, r (26) r1 r2 = (2 ch j1 j2 v i r sh j1 j2 v)r1.

j1 j При j1 = 1, j2 = 1 мы получаем из (26), что левые генераторы совпадают с правыми r1 = r1, r2 = r2 и ортогональная квантовая плоскость имеет следующие коммутационные соотношения (27) Sv (1 ;

0 ) = [r2, r1 ] = ivr1.

При j2 = 2, j1 = 1 мы получаем из (26) квантовый аналог ци линдра с циклической образующей r1 = r1 и некомпактной второй образующей r2 = r2 ivj1 r1. Если j1 = i, тогда цилиндр имеет гиперболическую вторую образующую. Бельтрамиевы образующие некоммутативного цилиндра удовлетворяют следующим коммутаци онным соотношениям 2 (28) Sv (2 ;

0 ) = [r2, r1 ] = ivr1 (1 + j1 r1 ).

При j1 = 1, j2 = 2 квантовая плоскость Галилея описывается соот ношениями (27).

Перестановка = (1, 3, 2), множитель J = j 3.2.

Как следует из (19),(21), для перестановки коммутационные соотношения и инволюция образующих квантового векторного про странства Кэли-Клейна Ov (j;

) имеют вид Ov (j;

) = 1 3 = 3 1 ch j1 v i3 2 j1 sh j1 v, 1 2j j v sh j1 v, [1, 2 ] = 2i3 1 2 sh j1, 3 2 = 2 3 ch j1 v i1 j1 j1 v v 1 = 1 ch(j1 + i3 j1 sh j1, 2 v 1 v (29) 2 = 2 ch j1 i1 sh j1, 3 = 3.

2 j1 При j1 = 1 квантовое полуевклидово пространство Ov (1 ;

) 3 ( ;

) (23) заменой и, на связано с пространством Ov 1 0 2 оборот, т.е. перенумерацией образующих слоя. Поэтому оно не мо жет рассматриваться как независимая неэквивалентная деформация расслоенного пространства. При j1 = 1, j2 = 2 в (29) мы полу чаем некоммутативную деформацию расслоенного пространства с 2-мерной коммутативной базой {1, 2 } и 1-мерным слоем {3 } Ov (2 ;

) = 1 3 = 3 1 ch vi3 2 sh v, 3 2 = 2 3 ch vi1 3 sh v, v v v v [1, 2 ] = 0, 3 = 3, 1 = 1 ch+ i2 sh, 2 = 2 ch i1 sh.

2 2 2 (30) Инвариантная форма для перестановки находится из (20) v 2 22 inv(j;

) = (1 + j1 2 ) ch j1 + j1 j2 3 ch j1 v. (31) 2 Ортогональная квантовая 2-сфера Sv (j;

) = Ov (j;

)/ {inv(j;

) = 1} имеет две бельтрамиевы образующие с коммутационными со отношениями Sv (j;

) = r2 = (ch j1 v + i1 j1 sh j1 v)r2, r j1 j2 v sh j1, r2 r1 = (1 ch j1 vi sh j1 v)r2,. (32) r1 1 = 2i2 r r r r j1 2 j При j1 = 1 в (32) квантовая плоскость Sv (1 ;

) связана с кван 2 ( ;

) (27) заменой r r и, наоборот. Таким товой плоскостью Sv 1 0 1 образом, она не может рассматриваться как неэквивалентная кван товая деформация ортогональной квантовой плоскости.

При j2 = 2 мы получаем из (32) квантовый аналог цилиндра с образующей r1 = r1, являющейся или циклической (j1 = 1) или гиперболической (j1 = i), и второй образующей r2 = (ch j1 v + ir1 j1 sh j1 v)r2. Квантовый цилиндр 2 Sv (2 ;

) = (33) [r1, r2 ] = i(r2 + j1 r1 r2 r1 ) th j1 v j может рассматриваться как некоммутативная деформация полури манового пространства с 1-мерной базой {r1 } и 1-мерным слоем {r2 }. Пространства (30) и (33) представляют собой пример контрак ции, при которой параметр деформации не меняется. Физически эти пространства можно интерпретировать как квантовые аналоги (1+1) нерелятивистских кинематик Ньютона с постоянной (положительной и отрицательной) кривизной.

Перестановка = (2, 1, 3)), множитель J = j1 j 3.3.

Коммутационные соотношения и инволюция образующих кван тового векторного пространства Ov (j;

) следуют из (19),(21) 3 2 Ov (j;

) = 2 1 = 1 2 ch(j1 j2 v) i1 3 j2 sh(j1 j2 v), 2 1 3 = 3 1 ch(j1 j2 v) i2 1 sh(j1 j2 v), j 2 [2, 3 ] = 2i1 sh(j1 j2 v/2), j1 j 2 2 = 2 ch(j1 j2 v/2) + i3 j2 sh(j1 j2 v/2), 2 (34) 3 = 3 ch(j1 j2 v/2) i2 sh(j1 j2 v/2), 1 = 1.

j Нильпотентное значение первого контракционного параметра j1 = 1 и j2 = 1 в (34) дают новое квантовое полуевклидово про странство 3 2 Ov (1 ;

) = [1, 2 ] = [1, 3 ] = 0, [2, 3 ] = iv1, k = k, k = 1, 2, 3, (35) которое не изоморфно пространству (23).

При j1 = 1, j2 = 2 квантовое пространство Ov (2 ;

) преобра зуется в Ov (2 ;

0 ) заменой образующих базы 1 2 и, наоборот, поэтому оно не представляет новую некоммутативную деформацию.

При j1 = 1, j2 = 2 коммутационные соотношения образующих да ются формулами (35).

Инвариантная форма для перестановки описывается уравнени ем (20) в виде 2v 22 22 2 inv(j;

) = j1 (2 + j2 3 ) ch j1 j2 + 1 ch j1 j2 v. (36) 2 Квантовая ортогональная 2-сфера Sv (j;

) = Ov (j;

)/ {inv(j;

) = 1} характеризуется коммутационными соотношениями 2 2 Sv (j;

) = r1 = r1 ch j1 j2 v ir2 j2 sh j1 j2 v, 1 1 2v 2 r2 = r2 ch j1 j2 v i r sh j1 j2 v, r1 r2 r2 r1 = 2i 2 sh j1 j.

j2 j1 j (37) При j1 = 1, j2 = 1 из (37) следует, что левые образующие равны правым r1 = r1, r2 = r2 и ортогональная квантовая плоскость (38) Sv (1 ;

) = [r1, r2 ] = iv представляет собой простейшую деформацию плоскости Евклида, поскольку коммутатор пропорционален числу iv, а не оператору, как в (27).

При j2 = 2, j1 = 1 получаем квантовый цилиндр 2 (39) Sv (2 ;

) = [r1, r2 ] = iv(1 + j1 r1 ).

При j1 = 1, j2 = 2 простейшая квантовая деформация плоскости Галилея дается (38).

4. Квантовые пространства Ov (j;

) и Sv (j;

) 4 Квантовые векторные пространства Ov (j;

), j = (j1, j2, j3 ) по рождаются образующими l, l = 1,..., 4 с коммутационными со отношениями (1, 1 ) Ov (j;

) = 1 k = k 1 ch(Jv) ik 1 sh(Jv), (1, 1 ) (1, 1 ) k 1 = 1 k ch(Jv) i1 k sh(Jv), [2, 2 ] = 0, (1, 1 ) sh(Jv) [1, 1 ] = i 2 (1, 2 )2 + 2 (1, 2 ) 2, k = 2, 3, (1, 1 )(1, 1 ) (40) где 1 = 4, 2 = 3. Антиинволюция (12) декартовых образующих записывается в виде (1, 4 ) 1 = 1 ch Jv + i4 sh Jv, 2 = 2, (1, 1 ) (1, 1 ) (41) 4 = 4 ch Jv i1 sh Jv, 3 = 3, (1, 4 ) поскольку согласно (3) 1 = 1, 2 = 0.

В результате анализа множителя (13) при N = 4 и коммутаци онных соотношений (40) образующих квантового пространства мы нашли минимальный множитель J = (1, 1 ), который принима ет три значения J0 = (1, 1 ) = (1, 4) = j1 j2 j3 для перестановки 0 = (1, 2, 3, 4), JI = (1, 2 ) = (1, 3) = j1 j2 для I = (1, 2, 4, 3), JII = (1, 3 ) = (1, 2) = j1 для II = (1, 3, 4, 2), т.е. для перестано вок с 1 = 1 и три не минимальных множителя J = (1, 1 )(1, 1 ), а именно JIII = (1, 2 )(1, 1 ) = j1 j2 j3 для III = (3, 1, 2, 4), JIV = ) = j 2 j j для (1, 2)(1, 1 IV = (2, 1, 3, 4), JV = (1, 2)(1, 2 ) = j1 j для V = (2, 1, 4, 3), т.е. для перестановок с 1 = 1.

Квантовые расслоенные пространства Ov (j;

) 4.1.

Мы не будем детально рассматривать все шесть комбинаций схемы Кэли-Клейна и квантовой структуры, однако сосредоточим внимание на расслоенных пространствах, которые отвечают нильпо тентным значениям контракционных параметров. Тщательный ана лиз коммутационных соотношений (40) для перечисленных выше перестановок при нильпотентном значении первого параметра j1 = 1, j2 = j3 = 1 дает два неизоморфных квантовых расслоенных про странства с 1-мерной базой {1 } и 3-мерным слоем {2, 3, 4 }. Эти квантовые расслоенные пространства получаются для перестановок 0, III и характеризуются следующими ненулевыми коммутацион ными соотношениями Ov (1 ;

0 ) = {[4, p ] = iv1 p, p = 2, 3}, 4 (42) Ov (1 ;

III ) = [3, 4 ] = iv1.

В обоих пространствах образующая 1 базы коммутирует со всеми образующими слоя k, k = 2, 3, 4, а последние не замкнуты отно сительно коммутационных соотношений. Такие же свойства полу чаются при j1 = 1, j2 = 2, j3 = 1;

j1 = 1, j3 = 3, j2 = 1;

j1 = 1, j2 = 2, j3 = 3, т.е. в случае последовательно вложенных проекций или многократно расслоенных пространств.

Если второй контракционный параметр равен нильпотентной еди нице j2 = 2, j1 = j3 = 1, то в коммутативном случае получаем рас слоенное пространство с 2-мерной базой {1, 2 } и 2-мерным сло ем {3, 4 }. Имеются три неизоморфных некоммутативных аналога этого пространства, которые описываются формулами (40) для пе рестановок 0, II, III. Ненулевые коммутаторы образующих этих квантовых пространств таковы Ov (2 ;

0 ) = [4, k ] = iv1 k, k = 2, 3, 4 Ov (2 ;

III ) = [3, 4 ] = iv1, Ov (2 ;

II ) = 1 k = k (1 ch v i2 sh v), (43) k 2 = (2 ch v i1 sh v)k, k = 3, 4.

Образующие базы коммутируют при всех перестановках. Образую щие слоя коммутируют только в случае перестановки II. Образую щие базы не коммутируют с образующими слоя при всех перестанов ках. Образующие слоя не замкнуты относительно коммутационных соотношений для перестановок 0 и III. Такие же свойства выпол няются при j1 = 1, j2 = 2, j3 = 3.

Расслоенное коммутативное пространство с 3-мерной базой {1, 2 3 } и 1-мерным слоем {4 } получается при нильпотентном значе нии третьего параметра j3 = 3, j1 = j2 = 1. Мы нашли два неизо морфных квантовых расслоенных пространства при таких значениях параметров, которые даются (40) для перестановок 0, II и харак теризуются следующими ненулевыми коммутационными соотноше ниями 4 2 Ov (3 ;

0 ) = [4, k ] = iv1 k, k = 2, 3, [1, 4 ] = iv(2 + 3 ), Ov (3 ;

II ) = 1 k = k (1 ch v i2 sh v), (44) k 2 = (2 ch v i1 sh v)k, k = 3, 4, [1, 2 ] = i3 sh v.

Образующие базы коммутируют в случае перестановки 0, но не ком мутируют для перестановки II. В последнем случае они замкнуты относительно коммутационных соотношений.

В целом квантовые пространства Ov (j;

) имеют коммутатив ную базу для всех перестановок, если расслоение определяется j1 = 1 или j2 = 2. Если расслоение задается третьим парамет ром j3 = 3, то трехмерная база коммутативна только для пере становки 0. Единственным исключением является квантовое про странство Ov (3 ;

II ), у которого трехмерная база не коммутатив на, но замкнута относительно коммутационных соотношений. Для всех перестановок и при всех нильпотентных значениях контракци онных параметров образующие слоя не коммутируют и не замкнуты относительно коммутационных соотношений, за исключением про странства Ov (2 ;

II ), где и двумерная база и двумерный слой оба коммутативны.

До сих пор мы смотрели на квантовые деформации с геометри ческой точки зрения. С алгебраической же точки зрения образующие слоя порождают подалгебру в алгебре функций на квантовом про странстве.

Антиинволюция образующих легко получается из общих выра 4 4 4 жений (41). Для Ov (1 ;

0 ), Ov (2 ;

0 ), Ov (3 ;

0 ) мы имеем m = = iv. Для O 4 ( ;

4 ( ;

v 1 III ), Ov 2 III ) ан m, m = 1, 2, 3, 4 m тиинволюция задается очень просто k = k, k = 1, 2, 3, 4. Наиболее сложно выглядит антиинволюция 1 = 1 ch j1 v + i2 j1 sh j1 v, 2 = 2 ch j1 v i1 sh j1 v, s = s, s = 3, j 4 в случае квантовых пространств Ov (2 ;

II ), Ov (3 ;

II ).

4.2. Квантовые деформации пространств постоянной кривизны Sv (j;

) Инвариантная форма пространства Ov (j;

) дается формулой (11) при N = inv(j;

) = (1, 1 )2 1 + (1, 4 )2 4 + 2 + (1, 2 )2 2 + (1, 3 )2 3 ch Jv ch Jv.

2 Трехмерная квантовая ортогональная сфера Sv (j;

) получается как фактор-алгебра Ov (j;

) по соотношению inv(j;

) = 1. Она опи сывается набором некоммутативных правых и левых образующих rk = k+1 1, rk = 1 k+1, k = 1, 2, 3. Для разных перестановок 0, I,..., V эти сферы таковы Sv (j;

0 ) = r1 r2 = r2 r1, (45) rm r3 = r3 ch J0 v i sh J0 v rm, J где rm = (ch J0 v + i3 J0 sh J0 v) rm, m = 1, 2, r 2 r3 r3 = ij1 r1 r1 + j2 r2 r sh J0 v, J0 = j1 j2 j3.

J Sv (j;

I ) = r1 r3 = r3 r1, (46) rm r2 = r2 ch JI v i sh JI v rm, JI где rm = (ch JI v + i2 JI sh JI v) rm, m = 1, 3, r 2 r2 r2 = ij1 r1 r1 + j2 j3 r3 r sh JI v, JI = j1 j2.

JI Sv (j;

II ) = r2 r3 = r3 r2, (47) rm r1 = r1 ch JII v i sh JII v rm, JII где rm = (ch JII v + i1 JII sh JII v) rm, m = 2, 3, r 22 r1 r1 = ij1 j2 r2 r2 + j3 r3 r sh JII v, JII = j1.

JII Коммутационные соотношения для минимального множителя явля ются более простыми Sv (j;

III ) = [r1, r2 ] = [r1, r3 ] = 0, [r2, r3 ] = i 1 + j1 r(j) th JIII v, JIII Sv (j;

IV ) = [r1, r2 ] = [r2, r3 ] = 0, [r1, r3 ] = i 1 + j1 r(j) th JIV v,, JIV Sv (j;

V ) = [r1, r3 ] = [r2, r3 ] = 0, (48) [r1, r2 ] = i 1 + j1 r(j) th JV v,, JV 2 22 222 22 2 где r(j) = r1 +j2 r2 +j2 j3 r3, JIII = j1 j2 j3, JIV = j1 j2 j3, JV = j1 j2.

3 (j;

) можно разделить Все квантовые ортогональные сферы Sv на два класса относительно их свойств при нильпотентных значениях контракционных параметров. Эти свойства зависят от преобразова ния деформационного параметра и являются различными для мини мальных множителей J0, JI, JII и для не минимальных JIII, JIV, JV.

Рассмотрим эти два класса отдельно.

Для минимальных множителей все квантовые аналоги 3-мерного пространства нулевой кривизны (j1 = 1 ) изоморфны и могут быть получены из пространства (49) Sv (1 ;

0 ) = [r1, r2 ] = 0, [r3, r1 ] = ivr1, [r3, r2 ] = ivr перестановкой образующих rk, k = 1, 2, 3.

При j2 = 2 в коммутативном случае пространство имеет 1-мерную базу {r1 } и 2-мерный слой {r2, r3 }. Соответствующее кван товое пространство 3 (50) Sv (2 ;

0 ) = [r1, r2 ] = 0, [r3, rm ] = ivrm (1+j1 r1 ), m = 1, преобразуется в пространство Sv (2 ;

I ) подстановкой 2 3 и, на оборот. Оба пространства имеют некоммутативный слой. Новая квантовая деформация с коммутативным слоем есть Sv (2 ;

II ) = [r2, r3 ] = 0, (51) [r1, rm ] = i(rm + j1 r1 rm r1 ) th j1 v, m = 2, 3.

j Когда j3 = 3 имеются три неизоморфных квантовых простран ства. Одно с коммутативной базой {r1, r2 } Sv (3 ;

0 ) = [r1, r2 ] = 0, 22 (52) [r3, rm ] = ivrm 1 + j1 (r1 + j2 r2 ), m = 1, и два с некоммутативной: Sv (3 ;

I ), которое имеет коммутационные соотношения (46), где r2 r2 = ij1 r1 r sh JI v JI и Sv (3 ;

II ), которое имеет коммутационные соотношения (47), где r1 r1 = ij1 j2 r2 r sh JII v.

JII В случае не минимальных множителей все квантовые дефор мации евклидового пространства оказываются изоморфными про странству (53) Sv (1 ;

V ) = [r1, r3 ] = [r2, r3 ] = 0, [r1, r2 ] = iv с простейшей деформацией.

При j2 = 2 два квантовых пространства с коммутативным слоем изоморфны Sv (2 ;

V ) = [r1, r3 ] = [r2, r3 ] = 0, [r1, r2 ] = iv(1 + j1 r1 ) Sv (2 ;

IV ), =3 (54) но квантовое пространство с не коммутативным слоем 3 (55) Sv (2 ;

III ) = [r1, r2 ] = [r1, r3 ] = 0, [r2, r3 ] = iv(1 + j1 r1 ) представляет собой новую квантовую деформацию. Несмотря на одинаковые коммутационные соотношения (54) и (55), квантовые 3 пространства Sv (2 ;

V ) и Sv (2 ;

III ) необходимо рассматривать как разные, поскольку они имеют разные расслоения.

При j3 = 3, наоборот, два квантовых пространства с коммута тивной базой являются изоморфными Sv (3 ;

III ) = [r1, r2 ] = [r2, r3 ] = 0, S 3 (3 ;

IV ).

22 (56) [r1, r3 ] = iv 1 + j1 (r1 + j2 r2 ) =v Новая квантовая деформация с некоммутативной базой есть про странство 3 22 22 Sv (3 ;

V ) = [r1, r2 ] = i 1 + j1 (r1 + j2 r2 ) th j1 j2 v, j1 j (57) [r1, r3 ] = [r2, r3 ] = 0.

Подчеркнем, что параметр деформации остается незатронутым при этой последней контракции (57).

Физически квантовые пространства (50),(51),(54),(55) с j2 = могут быть интерпретированы как квантовые аналоги (1 + 2) нере лятивистских кинематик: Ньютона с постоянной кривизной или ки нематики Галилея с нулевой кривизной, в последнем случае при j1 = 1.

5. Заключение N Квантовые пространства Кэли-Клейна Ov (j;

) получаются из N квантового евклидова пространства Oq в декартовых образующих стандартным преобразованием с помощью вещественных, мнимых и нильпотентных единиц, используя q-аналог бельтрамиевых коорди нат. Преобразование деформационного параметра z = Jv при кон тракциях является характерным отличием квантовых групп и неком мутативных квантовых пространств по сравнению с коммутативным случаем. В отличие от предыдущих работ на эту тему [11]–[15], в множитель J включены контракционные параметры во второй сте пени, что делает допустимыми все контракции при всех перестанов ках, которые описывают разные комбинации квантовой структуры и схемы Кэли-Клейна контракций и аналитических продолжений.

На основании общих формул подробно рассмотрены кванто вые деформации трех- и четырехмерных пространств Кэли-Клейна, а также квантовые аналоги двух- и трехмерных пространств по стоянной кривизны. В случае трехмерных векторных пространств Кэли-Клейна мы получили две неизоморфные квантовые деформа ции (23),(35) полуевклидова пространства с одномерной базой и дву мерным слоем, а также две неизоморфные деформации (24),(30) полуевклидова пространства с двумерной базой и одномерным сло ем. Четырехмерные векторные пространства Кэли-Клейна имеют две квантовые деформации (42) коммутативного расслоенного простран ства с одномерной базой и трехмерным слоем, три неизоморфные деформации (43) полуевклидова пространства с двумерной базой и и двумерным слоем, а также две деформации (44) расслоенного про странства с трехмерной базой и одномерным слоем.

Для двумерных пространств с постоянной кривизной получены две неэквивалентные деформации (27),(38) евклидовой плоскости и три деформации (28),(33),(39) цилиндра или плоскости Ньюто на. В трехмерном случае мы получили две квантовые деформа ции (49),(53) евклидового пространства, четыре разные деформа ции (50),(51),(54),(55) полуриманового пространства с одномерной базой и двумерным слоем и пять неизоморфных квантовых дефор маций (46),(47),(52),(56),(57) полуриманового пространства с дву мерной базой и одномерным слоем.

Все это демонстрирует широкое разнообразие квантовых дефор маций расслоенных полуримановых пространств. Одним из приме чательных свойств является то, что для некоторых из них (38),(53) коммутационные соотношения образующих пропорциональны чис лам, а не образующим, т.е. реализуются простейшие из возможных деформаций. Уникальная квантовая деформация жесткой алгебраи ческой структуры групп и алгебр Ли [4] преобразуется в целый спектр неизоморфных деформаций более гибких контрактированных струк тур неполупростых групп Ли и ассоциированных с ними некоммута тивых квантовых пространств.

Работа поддержана программой "Фундаментальные проблемы нелинейной динамики"Российской академии наук.

Литература 1. Пименов Р. И. Единая аксиоматика пространств с максимальной груп пой движений// Литовский матем. сб., 1965. Т.5. С.457–486.

2. Громов Н.А. Контракции и аналитические продолжения классиче ских групп. Единый подход. Сыктывкар: Коми научный центр УрО АН СССР, 1990. 220 с.

3. Inn E., Wigner E.P. On the contraction of groups and their ou representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. V.39. P.510–524.

4. Решетихин Н.Ю., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д.. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ, 1989. Т.1. Вып.1. С.178–206.

5. Podles P. Quantum spheres // Lett. Math. Phys. 1987. V.14. P.193–202.

6. Bonechi F., Ciccoli N., Tarlini M. Noncommutative instantons on the 4-sphere from quantum groups // Commun. Math. Phys. 2002. V.226.

P.419-432.

7. Aschieri P., Bonechi F. On the noncommutative geometry of twisted spheres // Lett. Math. Phys. 2002. V.59. P.133–156.

8. Grosse H., Madore J., Steinacker H. Field theory on the q-deformed fuzzy sphere I // J. Geom. Phys. 2001. V.38. P.308–342.

9. Celeghini E., Giachetti R., Sorace E., Tarlini M. Three-dimensional quantum groups from contractions of SUq (2) // J. Math. Phys. 1990.

V.31. P.2548–2551.

10. Gromov N.A. Contraction of algebraical structures and dierent couplings of Cayley-Klein and Hopf structures // Turkish J. Phys. 1997. V.3. P.377– 383;

q-alg/9602003.

11. Gromov N.A., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Quantum orthogonal Cayley Klein groups in Cartesian basis // Int. J. Mod. Phys. A. 1997. V.12.

P.33–41;

q-alg/9610011.

12. Gromov N.A., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Quantum ber spaces // Quantum Group Symposium at Group21 (Editors H.-D. Doebner and V.K.

Dobrev). Soa: Heron Press, 1997. P.202–208.

13. Gromov N.A., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Possible contractions of quantum orthogonal groups // Phys. Atom. Nucl. 2001. V.64.

P.1963–1967;

math.QA/0102071.

14. Gromov N.A., Kuratov V.V. Quantum kinematics // Preprint: hep th/0410086.

15. Gromov N.A., Kuratov V.V. Possible quantum kinematics // J. Math.

Phys. 2006. V.47. No.1. P.013502-1- 16. Bacry H., Levy–Leblond J.-M. Possible kinematics // J. Math. Phys. 1968.

V.9. P.1605–1614.

17. Пименов Р.И. Применение полуримановой геометрии к единой теории поля // Доклады АН СССР, 1964. Т.157. № 4. С.795–797.

18. Пименов Р.И. Полуриманова геометрия и единые теории // Проблемы гравитации. Тбилиси, 1965. С.111–114.

19. Пименов Р.И. Основы теории темпорального универсума. Сыктывкар:

Коми научный центр УрО АН СССР, 1991. 196 с.

20. Пименов Р.И. Алгебра флагтензоров // Вестник ЛГУ, 1964. № 13.

С.150–155.

21. Пименов Р.И. К определению полуримановых пространств // Вестник ЛГУ, 1965. № 1. С.137–140.

22. Пименов Р.И. Полуриманова геометрия // Труды семинара по век торному и тензорному анализу. М.: МГУ, 1968. Вып. 14. С.154–173.

23. Gromov N.A. The R.I.Pimenov unied gravitation and electromagnetism eld theory as semi-Riemannian geometry // Phys. Atom. Nucl. 2009.

V.72. P.794–800;

arXiv:0810.0349 [gr-qc].

Содержание Н.А. Громов. Некоммутативные квантовые аналоги про странств постоянной кривизны................. УДК 515. Н.А. Громов. Некоммутативные квантовые аналоги пространств постоян ной кривизны // Проблемы математики и теоретической физики. Сыктывкар, 2012. С.3 – 30 (Труды Коми научного центра УрО Российской АН, № 186).

Библиогр. 23.

Описаны квантовые N -мерные ортогональные векторные пространства Кэли Клейна с разными комбинациями квантовой структуры и схемы Кэли-Клейна контракций и аналитических продолжений. Преобразование параметра кванто вой деформации включает произведение как первых, так и вторых степеней кон тракционных параметров. Определены некоммутативные аналоги пространств постоянной кривизны. Подробно рассмотрены пространства малой размерности N = 3, 4, в том числе все квантовые аналоги расслоенных пространств, отве чающих нильпотентным значениям контракционных параметров. В результате получено большое разнообразие квантовых деформаций пространств постоян ной кривизны.

Для заметок Для заметок Научное издание ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано к изданию ученым советом Отдела математики Коми НЦ УрО РАН Редактор Т.В. Цветкова Оригинал–макет Л.В. Михайлова Художник О.П. Велегжанинов Лицензия № 0047 от 10.01.99.

Компьютерный набор. Подписано в печать 2.03. 2011.

Формат 60x90 1/16.

Бум.офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,25.

Уч.-изд. л. 13,25. Тираж 200. Заказ № 1.

Редакционно-издательский отдел Коми научного центра УрО РАН.

167982, ГСП, г.Сыктывкар, ул.Первомайская, 48.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.