авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

АННОТАЦИЯ

Дипломная работа содержит 85 страниц, 19 рисунков, 62 источника

НАПРЯЖЕНИЕ, ДЕФОРМАЦИЯ, ВЯЗКОУПРУГОСТЬ,

СТЕКЛОПЛАСТИК, ПОЛИМЕР, ВОЛЬТЕРРА, МЕМБРАНА,

ПОЛИОКСИМЕТИЛЕН.

В работе рассматривается изгиб круглой мембраны из вязкоупругого

материала, подверженной действию равномерно распределенной нагрузки.

При решении задачи используется принцип Вольтерра. Получены

зависимости изменения деформации во времени при различных значениях радиуса. Расчетные значения сравниваются с экспериментальными, осуществленными на гибкой пластине с заданными параметрами из материала ПОМ (полиоксиметилен).

Разработанная программа написана на языке C.

3 Cодержание:

1. Введение..................................................................................................................................... 2. Развитие теории гибких пластинок..................................................................................... 2.1 Сочинение Эйлера по колебаниям мембран. Общая теория пластинок в трудах Кирхгофа и Сен-Венана............................................... 2.2 Труды И. Г. Бубнова по теории гибких пластинок. Приложения в кораблестроительных расчетах.................................................................... 2.3 Нелинейные уравнения А. Феппля и Т. Кармана........................... 2.4 Развитие теории гибкнх пластинок с 1920 по 1940 г.

Запросы самолетостроения........................................................................... 2.5. Уточненные решения 1941—1955 гг. Новые практические приложения...................................................................................................... 3.Определяющие уравнения вязкоупругих материалов................................................. 3.1. Наследственная упругость...................................................................... 3.2. Обобщенный принцип наследственности........................................... 3.3. Ядра интегральных уравнений.............................................................. 4. Основная часть...................................................................................................................... 4.1 Основные определения и допущения.................................................... 4.2 Напряжения в срединной поверхности. Изгибающие моменты и поперечная сила. Условия равновесия.............................................. 4.3 Связь между усилиями и деформациями. Основные дифференциальные уравнения. Граничные условия............................ 5. Построение математической модели................................................................................. 6 Описание программы............................................................................................................ 6.1 Интерфейс программы............................................................................. 6.2 Результаты работы программы.............................................................. 7. Организационно-экономическое обоснование разработки ПП для моделирования НДС круглой мембраны сделанной из вязкоупругого материала.................................. 7.1 Организационная часть............................................................................ 7.1.1 Сетевой график......................................................................................................... 7.1.2. Математическая модель........................................................................................ 7.1.3. Расчёт сетевого графика для рассматриваемого программного продукта. 7.2. Определение затрат на разработку и внедрение программного продукта............................................................................................................. 7.2.1. Определение затрат на материалы и покупные изделия................................ 7.2.2. Основная заработная плата.................................................................................. 7.2.3. Дополнительная заработная плата...................................................................... 7.2.4. Единый социальный налог................................................................................... 7.2.5. Стоимость машинного времени.......................................................................... 7.2.6. Накладные расходы................................................................................................ 7.3. Цена программного продукта................................................................ 7.4. Оценка экономической эффективности............................................... 7.4.1. Выбор метода расчета............................................................................................ 7.4.2. Сведения о базовом и внедряемом вариантах................................................... 7.4.3. Расчет капитальных затрат.................................................................................. 7.4.4. Расчет текущих затрат........................................................................................... 7.4.5. Расчет затрат во время эксплуатации................................................................ 7.4.6. Расчет экономического эффекта.......................................................................... 7.4.7. Определение срока окупаемости.......................................................................... 7.5. Заключение................................................................................................ 8. Заключение и выводы...................................................................................................... ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................. 1. Введение Решение задач изгиба очень тонких пластин (мембран) представляет значительные трудности для аналитического анализа, для организации эксперимента, а также для моделирования процесса расчета напряженно деформированного состояния даже в упругом случае, и уж тем более для вязкоупругого материала. Первые научные исследования по теории абсолютно гибких пластин принадлежат Л.Эйлеру [1]. Далее многие ученые занимались вопросами изгиба и колебания мембран. Обзор некоторых наиболее интересных работ можно найти в [2,3]. Большое внимание уделяется сложности постановки и необходимости вносить определенные допущения и предположения, сказывающиеся на результате расчетов.

2. Развитие теории гибких пластинок 2.1 Сочинение Эйлера по колебаниям мембран. Общая теория пластинок в трудах Кирхгофа и Сен-Венана В трудах Петербургской Академии наук за 1766 г. было опубликовано первое научное исследование по теории абсолютно гибких пластинок (мембpaн);

оно принадлежало Л. Эйлеру [1], В этой статье изучались собственные колебания мембран прямоугольного и круглого очертания.

Прямоугольная мембрана рассматривалась Эйлером как система взаимно перпендикулярных гибких нитей;

им было получено дифференциальное уравнение колебаний ddz ddz ddz = ee 2 + ff dt dx dy В транскрипции: частные производные обозначаются прямыми d;

ee и ff – постоянные, соответствующие натяжению мембраны вдоль осей x и y;

z - прогиб 21 октября 1738 г. перед конференцией Петербургской Академии наук выступил ученик Эйле р а — молодой академик Я. Бернулли. Он и изложил теорию колебаний прямоугольной жесткой пластинки при малых прогибах, представляя пластинку в виде системы взаимно перпендикулярных балок.

Выписанное им дифференциальное уравнение для прогиба имело форму 4z 4z z + 4= x y c здесь с — постоянная, зависящая от жесткости пластинки и частоты колеба 4z ний. В уравнении Бернулли отсутствовал член 2 отвечающий, x 2 y кручению пластинок. Представление о пластинке как системе балок содержалось и в позднейшей работе французского математика Софи Жермен;

полученное ею в 1811 г. дифференциальное уравнение также было неполным, С. Жермен использовала вариационный метод, примененный до того Лагранжем в его «Аналитической механике» к исследованию деформации гибких нитей, и балок;

однако составленный Жермен функционал не соответствовал потенциальной энергии пластинки. Одним из рецензентов сочинения С. Жермен был Лагранж. Им была исправлена ошибка автора и составлено без подробного вывода полное уравнение изгиба жестких пластинок;

запись уравнения была найдена в 1813 г. в бумагах Лагранжа. Впоследствии в трудах ряда ученых и прежде всего Навье и Кирхгофа были формулированы исходные положения теории жестких пластинок, уточнены граничные условия и решены многие частные задачи, в особенности по круглым пластинкам.

В «Лекциях но математической физике» Кирхгоф [10] поставил перед собой новую задачу: построить теорию пластинок для того случая, когда перемещения нельзя считать малыми по сравнению с толщиной. пластинки.

Составив выражение для элементарной работы усилий, в срединной поверхности и усилий изгиба, Кирхгоф сопоставил порядок различных членов и установил, что в этом случае нельзя отбрасывать нелинейные члены в формулах для деформаций срединной поверхности. Кирхгофом были приняты для деформаций выражения типа u 1 x = + x 2 x Далее Кирхгоф воспользовался принципом возможных перемещений.

Преобразуя вариацию энергии системы, он должен был прийти к дифференциальным уравнениям равновесия и статическим граничным условиям. Им не было выписано уравнение равновесия к окончательном виде, хотя все предварительные выкладки были сделаны.

В l881 г. был издан французский перевод книги Клебша «Теория упругости» с многочисленными примечаниями Ceн-Венана [11]. В оригинальном тексте книги содержалось уравнение изгиба пластинки, D 2 2 T 2 = f ( x, y ) В примечаниях Сен-Венан дал подробный обзор предыдущих иссле дований по теории пластинок и привел полное дифференциальное уравнение изгиба пластинки с учетом усилий в срединной поверхности:

2 2 D 2 2 = f ( x, y ) + Tx + 2Txy + Ty x 2 xy y Усилия Tx, Ty, Txy считались Сен-Венаном заданными, не зависящими от прогиба. Уравнения этого типа в 1890—1895 гг. были использованы Брайеном при рассмотрении устойчивости пластинки, сжатой в одном или двух направлениях.

2.2 Труды И. Г. Бубнова по теории гибких пластинок. Приложения в кораблестроительных расчетах Как мы видели, во второй половине XIX века были сделаны первые шаги в исследовании гибких пластинок;

однако применения для практических расчетов они не находили. Настоятельная необходимость в разработке тех нической теории гибких пластинок возникла на рубеже XIX и XX веков в связи с развитием металлического кораблестроения. Переход от деревянного парусного флота к металлическим судам с гребными винтами осуществлялся в первый период без коренных изменений в архитектуре корпуса корабля. Толщина обшивки назначалась без обоснованных расчетов. Между тем быстрое увеличение водоизмещения и глубины посадки кораблей приводило к значительному возрастанию нагрузки, испытываемой обшивкой днища;

прогибы обшивки были сравнимы с ее толщиной. Разработка метода расчета панели обшивки, получающей под давлением воды большие прогибы оказалась одной из самых важных задач.

Заслуга постановки этой задачи и ее решения принадлежит выдающемуся ученому и кораблестроителю И. Г. Бубнову. В 1902 г. он опубликовал работу «Напряжения в обшивке судов от давления воды» [12], в которой показал, что напряжения в листах наружной, обшивки от статической нагрузки во многих случаях сильно превосходят допускаемую величину.

«Практические выводы из этого положения, идущего вразрез с практикой современного судостроения, весьма важны,— писал И. Г.

Бубнов, — и всесторонний, разбор его и составит предмет настоящей статьи. Вопрос этот усложняется еще и тем обстоятельством, что непосредственное аналитическое решение его еще не найдено, так что приходится подходить к. нему окольными путями, в некоторых заключениях довольствоваться нестрого точными доказательствами, а аналогиями. Ожидать же строгого и точного решения вопроса, которое появится, может быть, через десятки лет, — значит оставить корабельную архитектуру в том застое, в каком она находится полвека, со времени постройки первых железных судов»...

И. Г. Бубнов установил классификацию пластинок по характеру напря женного состояния. Под жесткими он предложил понимать пластинки, при деформации которых преобладающими являются напряжения изгиба;

если напряжения в срединном слое принимаются равными нулю, то лист называется бесконечно жестким, В случае, если преобладающими являются напряжения срединного слоя, пластинка характеризуется И.

Г. Бубновым как гибкая, а в пределе, когда напряжениями собственно изгиба можно пренебречь, как бесконечно гибкая.

Наибольшее внимание И. Г. Бубнова привлекла задача об определении напряжений и прогибов для гибкой прямоугольной пластинки, имеющей удлиненную форму и изгибающейся по цилиндрической поверхности.

При этом напряжения в срединном слое можно считать постоянными по всей площади пластинки. И. Г. Бубнов определил зависимость между усилиями в срединной поверхности и относительным смещением длинных кромок пластинки при условии полного или частичного закрепления кромок. Им были тогда же составлены таблицы функций, с помощью которых можно провести расчет гибкой пластинки по формулам, относящимся к жесткой пластинке тех же размеров. Наряду с этим он рассмотрел случай, гибкой круглой пластинки в предположении, что напряжения в срединном слое неизменны для всех точек пластинки.

Такое допущение сделало возможным решение задачи в бесселевых функциях. Служащие для практических расчетов вспомогательные функции И. Г. Бубновым были также табулированы.

При проектировании корпуса линейных кораблей типа «Севастополь» в 1906—1907 гг. И. Г. Бубнов ввел метод последовательных приближений в расчете тонкостенных конструкций. В первом приближении корпус корабля рассчитывается на изгиб как балка, в сечение которой входят полностью сечения всех элементов. При этом определяются напряжения волокон, находящихся на том или ином расстоянии от нейтральной оси. Во втором приближении площади сечения гибких элементов вводятся уже с учетом редукционных коэффициентов. Это прежде всего относилось к пластинкам: обшивке днища и настилу палубы, напряжения в которых часто превосходили эйлерову величину. И. Г.

Бубнов считал тогда, что пластинка не может воспринять нагрузку, превышающую критическую, и принимал редукционный коэффициент равным отношению критического напряжения к напряжению в жесткой связи: = кр / р Наиболее полное изложение теории гибких прямоугольных пластинок удлиненной формы было дано И. Г. Бубновым в курсе «Строительная меха ника корабля» (1912—1914 гг.). Здесь он дает определение гибкой пластинки как такой, в которой «при изгибе от нагрузки px развиваются настолько значительные напряжения py и pz направленные параллельно средней плоскости ее, что обстоятельства изгиба пластины заметно изменяются...»[12]. Автор курса вводит понятия коэффициента распора, зависящего от продольной жесткости подкрепляющих ребер и коэффициента опорной пары, учитывающего крутильную жесткость контура. И. Г. Бубнов приводит окончательные формулы для расчета гибкой пластинки и подробно анализирует их, останавливаясь на предельных случаях вполне жесткой и вполне гибкой пластинок..

Рассматривается и более сложный случай, когда пластинка подвергается действию не только поперечной нагрузки, но и значительных начальных, усилий в своей плоскости.

Большой интерес представляет исследование в «Курсе строительной механики корабля» влияние начальной кривизны пластинки. И. Г. Бубнов показывает, что при поперечной нагрузке, действующей со стороны выпуклости, пластинка может находиться в неустойчивом равновесии и устанавливает границы области неустойчивости. Всякое дальнейшее увеличение нагрузки p z0,—говорится в Курсе,— заставит пластину изменить свою кривизну на обратную, так что стрелка с0 станет положительной и равновесие пластины—устойчивым. И. Г. Бубновым была изучена, таким образом, модель «хлопающей мембраны»

2.3 Нелинейные уравнения А. Феппля и Т. Кармана В «Лекциии по технической механике» А. Феппля (1907 г.) были составлены уравнения изгиба абсолютно гибких пластинок, при больших перемещениях. Оставляя нелинейные выражения Кирхгофа для удлинений срединной поверхностн, А. Феппль положил цилиндрическую жесткость пластинки равной нулю. Уравнение равновесия, полученное ранее Сен Венан ом приняло форму 2 2 2 q x + y 2 + 2 + = xy h x 2 y Сопоставив выражения для деформаций и выразив деформации через напряжения, Феппль получил уравнение совместности деформаций 2 2 2 2 y 2 x = E 2 +2 + xy x 2 xy y 2 x y Далее он выписал уравнения равновесия усилий в срединной поверхности в проекциях на оси х и у и ввел функцию напряжений.

Таким образом им были получены уравнения типа 2 2 2 2 2 h h 2 + 2h =q xy xy y 2 x 2 x y 2 2 2 = E 2 2 xy x y Перейдя к цилиндрической системе координат, А. Феппль составил соответствующие уравнения для круглой пластинки.

Через несколько лет, в 1910 г., Т. Карман дал обзор теоретических работ по прочности в машиностроении [13]. Он изложил результаты иссле дований И. Г. Бубнова, относящихся к гибким пластинкам, и указал на важное значение их для расчета обшивки корпуса корабля: благодаря усилиям в срединной поверхности реальная пластинка получает значительно большую несущую способность, чем это вытекает из теории жестких плит. Т. Карман дополнил первое из уравнений Феппля членом, содержащим цилиндрическую жесткость, и таким образом придал системе нелинейных дифференциальных уравнений окончательную форму.

2 2 2 2 2 2 D = +2 2 +q xy xy h y 2 x 2 x y h 2 2 2 = E 2 2 xy x y В этом виде уравнения были использованы впоследствии для решения различных частных задач.

В работе С. П. Тимошенко, относящейся к 1915 г. [14], определялась деформация круглой пластинки под действием приложенной по контуру Моментной нагрузки. Выражения для перемещений представлены в виде степенных рядов;

был использован метод Ритца, причем потенциальная энергия варьировалась по трем параметрам. Таким путем было получено уточненное значение стрелы прогиба пластинки.

2.4 Развитие теории гибкнх пластинок с 1920 по 1940 г. Запросы самолетостроения Исследование закритической деформации сжатых прямоугольных плаcтинок с привлечением аппарата теории упругости было впервые дано П. Ф. Папковичем, В 1920 г. была опубликована в «Морском сборнике» его статья «К вопросу о выпучивании плоских пластин.

сжимаемых усилиями, превосходящими их эйлерову нагрузку».

В последующий период теории гибких пластинок были посвящены:

многочисленные труды. Значительное внимание как общетеоретическим вопросам, так и решению конкретных задач было уделено советскими ученым;

это объяснялось прежде всего запросами быстро развивающихся в нашей стране областей техники и, в особенности, кораблестроения, самолетостроения я приборостроения. Особенно сильный толчок к разработке теории гибких пластинок был дан в 30-е годы в связи с развитием металлического самолетостроения.. Оказалось, что тонкая дуралюминовая обшивка крыла, фюзеляжа и оперения самолета получает подобно обшивке корабля прогибы, сравнимые с ее толщиной. Однако большие перемещения возникали здесь не столько из-за действия поперечной нагрузки, сколько благодаря усилиям сжатия и сдвига в срединной поверхности. Под влиянием этих усилий обшивка теряла устойчивость, часто в пределах нормальной эксплуатационной нагрузки.

Панели обшивки, расположенные между подкрепляющими ребрами — стрингерами и нервюрами, получали при этом заметные выпучины;

происходило перераспределение внутренних усилий по ширине панели.

Однако панель обшивки в целом продолжала нести нагрузку, в некоторых случаях заметно превышающую критическую. Определение несущей способности обшивки явилось одной из наиболее актуальных задач и вызвало ряд теоретических и экспериментальных исследований.

С нуждами приборостроения оказался связанным расчет круглых гиб ких пластинок — не только плоских, но и имеющих начальную кривизну, а также гофрированных мембран с различным очертанием гофров.

Наиболее важными для практических приложений оказались следующие вопросы: а) определение прогибов и напряжений в прямоугольных и круг лых пластинках, испытывающих большие прогибы под действием поперечной нагрузки;

б) изучение закритической деформации прямоугольных пластинок после потери устойчивости при сжатии и сдвиге и установление редукционных коэффициентов. Надо было также разработать эффективные методы приближенного интегрирования нелинейных уравнении задачи.

Одна из ранних попыток решения первой из этих задач была сделана Л. Фепплем. Его решение [15] соединяло результаты, полученные для жесткой пластинки и абсолютно гибкой мембраны. В книге Прескотта относящейся к 1924 г., рассматривались пластинки прямоугольного и круглого очертания, шарнирно опертые по контуру.

Ряд работ, посвященных большим прогибам прямоугольных пластинок при поперечной нагрузке, был выполнен в СССР в 1935—1939 гг.;

они при надлежали П. М. Варваку[16], В.М. Даревскому[17], Б. И. Слепову[18].

При этом, как правило, применялся метод Ритца;

были рассмотрены случаи шарнирно опертых и защемленных пластинок со свободно перемещающимся или закрепленным в плоскости пластинки контуром.

В дальнейшем по инициативе Д. Ю. Панова[19] в теории пластинок большого прогиба начал широко применяться метод Бубнова — Галеркина.

В 30-х годах под руководством П. Ф. Папковича были поставлены исследования работы сжатых пластинок в закритической области. Один из наиболее важных трудов в этой области, относящийся к шарнирно опертой прямоугольной пластинке, был опубликован в 1932 г. П. А.

Соколовым[20]. Принятое им выражение для в случае квадратной пластинки имело вид x y 3x y x 3y = A sin + B sin sin + C sin sin sin a a a a a a т. е.- содержало три независимых параметра. Задача была peшена до конца, с построением графика редукционных коэффициентов- П. А.

Соколов получил также практически ценные результаты для пластинок, ширина которых в 2 или 3 раза превышала длину.

В 1929—1932 гг. Г. Вагнер[21] и Т. Карман[22] рассмотрели закритическую деформацию пластинок при сдвиге и сжатии без привлечения аппарата теории гибки* пластинок. Ими были выдвинуты допущения, оправдывающиеся для случая значительного превышения нагрузкой критической величины.

В нескольких работая Маргерра, Кромма и Треффца (1937 г.) те же задачи исследовались с помощью энергетического метода. В первой из этих работ[23] форма волнообразования сжатой пластинки принималась такой же, как и в момент потери утойчивочти. Была получена величина «касательного модуля» в диаграмме р(е), равная половине начального модуля E. Во второй статье[24] форма волнообразования задавалась с помощью нескольких параметров;

была получена приближенная формула для редукционного коэффициента = ( КР / Р ) 3. В третьей работе[25] рассматривалась удлиненная пластинка, подвергающаяся одновременному действие сжатия и сдвига.

П. Я. Полубаринова-Кочина дала в 1936 г- решение задачи[26] о закритической деформации сжатой прямоугольной пластинки в предположении, что распределение сжимающих усилии вдоль двух кромок остается равномерным, а кромки пластинки свободно искривляются. Ею был впервые применен в теории гибких пластинок метод возмущения;

прогиб, функция напряжений и нагрузка раскладывались в ряд по степеням некоторого параметра и подставлялись в исходные дифференциальные уравнения;

затем приравнивались коэффициенты при одинаковых степенях параметра в левых и правых частях уравнений.

Н. Б. Зволинский[27] поставил перед собой целью определить верхнюю и нижнюю граничные кривые, между которыми должна лежать истинная диаграмма сжатия пластинки после потери устойчивости.

Кромка пластинки принимались прямолинейными. Верхняя граница находилась с помощью метода Ритца: задавались выражения для перемещений и, v,, причем каждое из них содержало неизвестный параметр. Для разыскания нижней границы варьировались усилия в срединной поверхности.

Особенностью расчета обшивки самолета на устойчивость является необходимость учета касательных усилий, передаваемых обшивкой. В связи с этим в работах А. Ю. Ромашевского[28], И. А. Свердлова[29] и В. Л. Стригунова[30] была изучена закритическая деформация пластинок при сдвиге и при совместном действии сжатия и сдвига.

Подробное экспериментальное исследование несущей способности пластинок при сжатии было проведено в 1938 г. Г. А.

Олейниковым[31]: им было испытано около 100 плоских панелей с определением формы волнообразования, редукционных коэффициентов и разрушающих нагрузок. Редукционные коэффициенты для обшивки, подвергающейся одновременно сжатию и сдвигу, были экспериментально найдены А. А. Подорожным в 1940 г.[32].

Отметим также эксперименты над фанерной обшивкой И. И.

Фаерберга[33].

Одновременно с решением частных задач развивался и общий аппарат теории гибких пластинок. В 1936 г. Г. Г. Ростовцевым была получена система дифференциальных уравнений для анизотропной пластинки[34];

с помощью этих уравнений можно рассматривать также изгиб тонкого листа, подкрепленного часто расположенными ребрами.

Итоги теоретических исследований по гибким пластинкам, выполненным до 1940 г., были подведены П. Ф. Папковичем во второй части его курса «Строительная механика корабля»[45]. Изложение теории пластинок открывается в этом курсе подробным выводом исходных дифференциальных уравнений. П. ф. Папковнч указывает, как лучшим образом выбрать приближенное выражение для прогиба;

при уточненных решениях задач, относящихся к пластинкам различного очертания и с разными условиями закрепления, нм приводится таблица коэффициентов в окончательном выражении для функции напряжений, П. ф. Папковнчем была предложена простая формула для вычисления редукционных коэффициентов, вытекающая из работы Ш А.. Соколова.

В курсе намечаются пути решения отдельных задач в более высоких приближениях.

2.5. Уточненные решения 1941—1955 гг. Новые практические приложения Во время Великой Отечественной войны и в послевоенный период теория гибких пластинок получила дальнейшее развитие. Был выдвинут ряд новых вопросов;

задачи, уже разбиравшиеся ранее, получили уточненное решение. Широкое послевоенное строительство в СССР сопровождалось внедрением научно обоснованных методов расчета в самые различные области техники. Теория гибких пластинок нашла новые приложения в строительстве гидротехнических сооружений (проектирование затворов плотин), е вагоностроении (растет набора крыши цельнометаллического нагона), в инженерных сооружениях (подбор высокая стенок балок и расчет различных тонкостенных конструкций).

Г. Г. Ростовцев исследовал более подробно процесс закритической деформации сжатых прямоугольных пластинок — изотропных и ортотропных. Он установил, что при возрастании нагрузки число выпучин по направлению сжатия должно увеличиваться, причем переход от одного числа полуволн к другому должен иметь скачкообразный характер. Г. -Г. Ростовцевым было также рассмотрено[34] влияние на распределение напряжений условий сопряжения пластинки с подкрепляющими ребрами: до этого обычно принималось, что кромки пластинки свободно скользят вдоль ребер.

Далее, им была подробно изучена деформация пластинки с начальной погибью при действии поперечной нагрузки.

В книге В. И. Петрашеня[35] разработаны методы расчета затвора плотин с учетом больших прогибов обшивки. В связи с этим им было проведено подробное исследование закритической деформации обшивки при одновременном действии усилий в срединной плоскости и поперечной нагрузки. В. И. Петрашень провел анализ изменения потенциальной энергии при переходе от одной формы равновесия к другой. В работе Б. И. Петрашеня отмечены также особенности работы обшивки после потери устойчивости при продольной и поперечной системах набора. Он выяснил, что продольная система набора обладает по сравнению с поперечной меньшей чувствительностью к начальной погиби.

С. И. Никифоров разобрал задачу о выпучивании сжатой прямоугольной пластинки после потери устойчивости при своеобразных граничных условиях, имеющих место в элементах строительных конструкций[36].

В работах С. Леви[54], относящихся к 1942—1944 гг., было дано уточ ненное исследование деформации шарнирно опертых защемленных по краям пластинок при одновременном действии сжатая и равномерно распределенной поперечной нагрузки. Для шарнирно опертой пластинки прогиб представлялся в виде отрезка тригонометрического ряда, причем в случае квадратной пластинки число параметров бралось равным девяти (в случае чистого сжатия) или семи (при поперечной нагрузке и комбинированном действии сил). Функция напряжений находилась обычным методом из уравнения совместности деформаций. Далее раскладывалась в ряд Фурье поперечная нагрузка:

rx jy q = q rj sin sin a b Величины, Ф и q подставлялись в дифференциальное уравнение равно весия;

сопоставление членов, отвечающих одним и тем же индексам r и j, приводило к уравнениям, выражающим зависимость между параметрами нагрузки и прогиба. Таким образом были получены значения редукционных коэффициентов для случая чистого сжатия. В работе[55] приведены результаты экспериментов над квадратными пластинками с шарнирно опертыми и защемленными краями при действии поперечной нагрузки.

В. А. Постновым в 1953 г. изучался характер взаимодействия между двумя смежными участками плоской обшивки и подкрепляющим ребром, имеющим тонкую стенку, при условии, что произошла местная потеря устойчивости обшивки и конструкция подвергается сжатию. В частности, опреде лялось влияние крутильной жесткости продольных ребер на величину редукционного коэффициента обшивки[37].

В книге В. М. Броуде[38] оценивается влияние начальной погиби сжа той пластинки на её несущую способность применительно к расчету высо ких стенок стальных балок.

Книга С. Бергмана[39], вышедшая в 1948 г., посвящена закритической деформации прямоугольных пластинок при сдвиге. В ней рассмотрены случаи квадратной пластинки с шарнирно опертыми краями, причем подкре пляющие ребра считаются жесткими или податливыми на изгиб в плоскости пластинки. Задача решается методом Ритца;

упругая поверхность пластинки задается с помощью двух или трех независимых параметров.

Далее исследовано влияние начальной погиби на деформацию пластинки.

Особенность решения Бергмана состоит в том, что им учитывается взаимодействие между пластинкой и подкрепляющими ребрами. В книге разобран также случай удлиненной пластинки;

теоретические результаты сравниваются с данными некоторых опытов.

Подобные же задачи изучены были в работе[40] И. И. Ааре (1953 г.). Им исследована деформация прямоугольной пластинки, подвергающейся сдвигу, при различных граничных условиях: а) кромки пластинки свободно скользят вдоль ребер;

6) точки кромок неподвижны;

в) пластинка и ребра деформируются совместно. Первая из этих задач рассматривается с помощью метода Бубнова—Галеркина;

прогиб задается с помощью двух параметров. Вторая задача решена в перемещениях, причем проведены параллельно вычисления по методам Ритца и Бубнова — Галеркина.

Решая третью задачу, автор принял в выражении для прогиба пять независимых параметров. И. И. Ааре сравнил полученные им данные с решением Вагнера и показал, что теория гибких пластинок приводит к картине распределения напряжений, значительно отличающихся от «диагонально растянутого поля».

Пластинкам круглого очертания был посвящен ряд работ Д. Ю, Панова[46], В. И. Феодосьева[51], Федергофера[48], Рейснера[49], Уэя[50]. В. И. Феодосьевым в [51] рассмотрен случай защемленной пластинки при поперечной нагрузке с заданием угла поворота нормали в виде = C ( z ) ;

показатель степени z считается неопределенным. Параметр С определяется по методу Бубнова—Галеркнна, а величина z находится из условия минимума работы нагрузки. Задача решалась как осесимметричная;

однако при значительных прогибах пластинки, когда стрела прогиба превышает толщину более чем в 10 раз, оказалось необходимым дать более общее решение. Если радиальные перемещения точек контура не ограничены, пластинка теряет устойчивость в области, прилегающей к контуру;

в связи с образованием складок упругая поверхность пластинки становится несимметричной. Большое внимание в книге[51] уделено расчету хлопающих мембран, а также гофрированных мембран;

изучены мембраны с синусоидальным гофром, имеющие плоский центр и без него, со свободной заделкой иди полным защемлением по контуру. Для случая мембраны, не имеющей плоского центра, дано решение задачи во втором приближении с учетом местной потери устойчивости отдельных гофров. Расчету гофрированных мембран были посвящены также работы Л. Е. Андреевой[42], рассмотревшей гофр трапецевидного и пилообразного очертаний. Ею предложено вести расчет гофрированной мембраны как анизотропной пластинки.

Китайский ученый Цянь Вэй-чан в 1947 г. [52] применил к расчету пластинок круглого очертания метод возмущения;

в качестве основного параметра была избрана стрела прогиба пластинки. Пользуясь этим методом. Цянь Вэй-чан, Ху Хай-чан и Е Кай-юань рассмотрели в 1953— 1954 гг. большие прогибы сплошных и кольцеобразных мембран при разных условиях закрепления для случаев равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок. В предельном случае абсолютно гибкой кольцеобразной пластинки результаты оказались близкими к данным, полученным в 1951 г. С. А. Алексеевым[41].

Круглые гибкие пластинка, находящиеся под действием неравномерно распределенной нагрузки и пар, приложенные но контуру, изучаются в курсе теории упругости польского ученого Губера[56].

Большие прогибы круглых пластинок после потери устойчивости при радиальном сжатии изучались различными методами Фридрихсом и Стокером[53], Э. И. Григолюком[44] и И. И. Воровичем[43] 3.Определяющие уравнения вязкоупругих материалов В настоящее время все большее и большее применение в промышленности находят материалы с ярко выраженными вязкими характеристиками - это композиты на основе полимерной матрицы и чистые полимеры, число которых и их разнообразие все возрастают.

3.1. Наследственная упругость В 1876 г. была опубликована работа немецкого ученого Больцмана [57].С неё в области механики вязкоупругости началась настоящая революция. В этой работе описание вязкого поведения материалов связывается с наследственным характером его поведения. Больцман рассуждал следующим образом. Предположим, что некоторый физический или механический процесс определяется воздействием, т.е. заданием некоторой функции v( ), t. Реакция рассматриваемого тела или системы тел определяется функцией u(t). В общем случае величина функции u(t) в настоящий момент времени t определяется не только значением воздействия в данный момент t, но и всей историей изменения функции v в указанном промежутке времени. В этом случае говорят, что u есть функционал от v и записывают его следующим образом t u = F (v).

В зависимости от вида этого функционала получаются различные определяющие уравнения. Применительно к задачам о напряженно деформированном состоянии материала можно представить себе следующее.

Пусть в некоторый момент времени приложено напряжение ( ), которое действует в течение времени d, тогда материал сохраняет память об этом действии в виде некоторой деформации d, которая пропорциональна напряжению ( ), времени d, в течение которого оно действует и зависит от времени, прошедшего с момента до настоящего момента t, т.е. от t.

Тогда его реакция d ( t ) = f ( t ) ( )d, что приводит с добавлением упругой составляющей к следующему интегральному уравнению t K ( t ) ( )d.

E ( t ) = ( t ) + (3.1) Здесь Е - модуль упругости, K(t-) - ядро интегрального уравнения, определяющее наследственные свойства, или свойства памяти.

3.2. Обобщенный принцип наследственности Влияние прошлого на будущее проявляется не только в биологии, физике и механике. Оно совершенно очевидно для различных областей человеческой деятельности, например, для экономики, политики, психологии и вообще для развития человеческого сообщества. Таким образом, явление последействия является одним из основных законов природы и развития человечества.

Чтобы учесть непрерывную последовательность предшествующих состояний, уже недостаточно обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Появляется необходимость в использовании интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, где под знаками интеграла фигурируют функции, которые зависят от времени в течение некоторого периода, предшествующего рассматриваемому моменту.

Для случая механических систем принимается, что прошлое влияет как сила, которую можно выразить как t (t )q( )d.

Эта дополнительная сила является равнодействующей элементарных действий (t-)q()d, относящихся к предыдущим интервалам (, +d). Так как допускается, что последействие тем слабее, чем оно более отдалено, то функция (t-) должна быть убывающей.

Если в механике известно перемещение за период времени, равный продолжительности последействия, и если известны внешние силы в следующий промежуток времени, то можно вычислить перемещения, которые будут иметь место в течение этого следующего промежутка времени.

Вопросы последействия, их математическая формулировка, анализ диссипативных процессов и флуктуаций подробно рассмотрены в трудах Вольтерра.

Видно, что фактически он пришел к такому же уравнению, что и Больцман, но пошел дальше него в смысле подробного математического анализа.

Таким образом, как органическая, так и неорганическая природа подчиняются одним и тем же законам, описываемым одинаковыми уравнениями. Математический анализ этих уравнений позволяет выявить закономерности развития природы как в общем виде, так и в частных ее проявлениях.

3.3. Ядра интегральных уравнений Функция от разности аргументов, стоящая под интегралом, называется ядром интегрального уравнения. Вопросу определения этой функции посвящена обширная литература. Никаких конкретных рецептов здесь не существует, кроме, конечно, некоторых вполне определенных математических требований, связанных с анализом полученного уравнения.

Поэтому в механике первым условием выбора ядра интегрального уравнения является анализ рассматриваемых процессов и удовлетворение особенностям поведения материалов при испытаниях. Наиболее показательными для вязкоупругих материалов являются эксперименты на ползучесть [58]. Еще k Больцман предложил использовать сингулярное ядро вида, которое при t интегрировании в случае ползучести дает бесконечно большую скорость деформации в начальный момент времени, наблюдаемую в экспериментах.

Однако бесконечной оказывается не только скорость деформации, но и сама деформация. Позднее Дуффинг [59] предложил использовать ядро вида k, где 0 1. Впоследствии это ядро вошло в литературу под ( t ) названием ядра Абеля. Недостаток его состоит в том, что в тех же условиях, ползучести при t и деформация что противоречит экспериментальным данным. Однако позднее было показано [60, 61 и др.], что это ядро имеет право на существование, особенно для нелинейных уравнений, для которых его преимущества наиболее ярко выражены. Оно позволяет достаточно точно описывать поведение материалов в интервале, по крайней мере, семи - восьми порядков времен. Это означает, что если определить параметры ядра в кратковременных лабораторных экспериментах, можно прогнозировать поведение материала в конструкции при гораздо более длительной эксплуатации.

Многие авторы используют в качестве ядра экспоненциальную функцию e (t ), которая весьма удобна в расчетах. Недостаток ее состоит в том, что при малых временах нагружения наблюдается явное несоответствие с экспериментами. Однако экстраполяция на большие времена часто оказывается удовлетворительной.

Стремление объединить свойства экспоненты и условий слабой сингулярности привело к построению многочисленных ядер: Бронского, Слонимского, Ржаницына, Колтунова и др. Анализ некоторых из них можно найти, например, в [62]. Недостатком их является трудность в нахождении резольвенты и, как следствие этого, трудность математических решений.

Простота получения математических решений является вторым основным фактором выбора ядра интегрального уравнения. Такие простые процессы, как ползучесть, когда = const и интегральное уравнение превращается в простое алгебраическое соотношение, далеко не всегда встречаются на практике. Для более сложных процессов, т.е. для произвольного режима нагружения, могущего также включать участки процесса, при котором заданы не напряжения, а деформации, приходится обращать интегральное уравнение посредством построения резольвентного решения. В этом состоит трудность математического решения, которая, как далее будет показано, во многих случаях может быть устранена. Тем не менее модель наследственного типа выгодно отличается от многих других, обычно предлагаемых для описания только какого-то конкретного типа нагружения, например, для ползучести, релаксации, циклического нагружения и пр. Все эти модели ограничиваются узкими рамками приложений. Надо отметить, что для каждого из выше перечисленных типов нагружения интегральное уравнение приводится к простым алгебраическим выражениям, сходным с обычно используемыми эмпирическими соотношениями. В отличие от них оно может быть применено и для случаев, когда тип нагружения меняется в течение процесса нагружения.

4. Основная часть 4.1 Основные определения и допущения Пластиной называется тело призматической или цилиндрической формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 4.1). В технике широко используются круглые и прямоугольные пластины;

иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Рис. 4. Примером круглой пластины может служить днище Д цилиндрического сосуда бака, котла, трубы (рис. 4.2,а) или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 4.2,б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок с сечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 4.2,в), а примером пластины, упруго защемленной тремя кромками, стенка прямоугольного резервуара (рис. 4.2,г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 4.1), называется срединной плоскостью. После изгиба срединная плоскость превращается в срединную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендикулярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы.

Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в срединной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность составляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а совокупность составляющих, перпендикулярных к срединной плоскости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

а б в г Рис. 4. При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 4.3), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А1D1). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соответствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения Z или z, вызываемые поворотом нормали y x вследствие искривления срединной плоскости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями z, действующими по площадкам, параллельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять z=0. (4.1) Это допущение называется допущением об отсутствии поперечного давления.

Рис. 4. Для относительных деформаций можно использовать формулы x = ( x µ y ) E (4.2) y = ( y µ x ) E При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогнутой пластины отсутствующими. Перечисленные допущения применимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 4.1).

Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распределения напряжений и способом расчета:

1. Плиты толстые пластины, имеющие отношение h a У этих пластин (рис. 4.4) высота настолько велика по сравнению с пролетом Рис. 4. и они настолько жестки, что касательные напряжения, возникающие по сечениям С-С от перерезывания под действием нагрузки, имеют тот же порядок, что и нормальные напряжения, вызванные изгибом.

Плоскость, свободная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отношению к срединной плоскости, а нормальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Допущения, перечисленные выше, при расчете плит неприменимы.

2. Пластины средней толщины, имеющие отношение 1h 40 a Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пластина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 4.5) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных напряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна.

Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

Рис. 4. 3. Мембраны пластины, имеющие отношение Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто закрепляют на контуре (рис. 4.6).

Рис. 4. При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений.

Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h.

Мембраны широко применяются в различных акустических аппаратах и гидравлических устройствах. В зависимости от характера конструкции любая кромка пластины (рис. 4.7) Рис. 4. может быть защемлена (кромка 1), свободно оперта (кромка 2) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пластины, промежуточное между свободной кромкой и защемлением, которое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке.

Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 4.8) представляет собой упругое ее закрепление;

возможный угол поворота на кромке обратно пропорционален жесткости элемента 2, к которому она прикреплена.

Рис. 4. Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими классами заключается в соотношении между величиной цепных и из гибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения продольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распределенные по толщине напряжения, могут появиться при поперечном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пластины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах изгиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем больше, чем меньше h отношение. Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие a увеличивают элементы изгиба от заданной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на контуре пластины меньше, чем для опертой.

4.2 Напряжения в срединной поверхности. Изгибающие моменты и поперечная сила. Условия равновесия На рис. 4.9 и 4.10 показаны сечения пластинки, одно из которых— цилиндрическое (дуговое) — соответствует дуге радиуса r, а второе — плоское — проведено вдоль радиуса. Напряжения в срединной поверхности, действующие в этих сечениях, обозначены Рис. 4.9. Нормальные усилия в срединной поверхности круглой пластинки.

Рис. 4.10. Изгибающие моменты и поперечная сила в сечениях пластинки при осесимметричном прогибе.

через r и, касательные напряжения здесь равны нулю. Для изгибающих моментов введены обозначения Мr и М: двойными стрелками показаны вектор-моменты. Поперечная сила в дуговом сечении обозначается через Q. Крутящие моменты, а также поперечная сила в радиальном сечении отсутствуют.

Выделим элемент пластинки (рис. 4.11) двумя радиальными сечениями, угол между которыми равен d, и двумя дуговыми сечениями, одно из которых расположено на окружности радиуса r, а второе — на окружности радиуса (r + dr). На рис. 4.11 изображены усилия в срединной поверхности, поперечные силы и векторы пар изгибающих моментов. Действующая на элемент поперечная нагрузка считается равной qrddr, где q — интенсивность нагрузки.

Через точку, делящую внешнюю дугу пополам, проведем взаимно перпендикулярные оси по направлению радиуса (ось x) и вдоль касательной(ось y) Рис. 4.11. К выводу условий равновесия элемента круглой пластинки.

Составим уравнение равновесия элемента в проекциях на ось х:

( r + d r )(r + dr )hd r hrd 2 hdr d = Пренебрегая малыми высшего порядка, получим:

rd r + r dr dr = (4.3) или d ( r r ) = dr Выпишем теперь уравнение моментов сил, действующих на элемент пластинки, относительно оси у:

d dr ( M r + dM r )( r + dr ) d M r rd + Qrd dr 2 M dr + qrd dr = (4.4) 2 Отбрасывая малые высшего порядка, получим:

dM r M r M + = Q (4.5) dr r r Для составления уравнения равновесия в проекциях на ось z надо, представим пластинку в деформированном состоянии. Сделаем круговое сечение пластинки по дуге радиуса r и рассмотрим центральную часть (рис. 4.12) в изогнутом положении.

Рис. 4.12. Поперечная нагрузка уравновешивается за счет поперечных сил и усилий в срединной поверхности.

Равнодействующая внешней нагрузки при q, зависящей от радиуса, равна r (4.6) R = q 2rdr Уравнение равновесия будет иметь вид (4.7) Q 2r + r h 2r = R Для поперечной силы получим выражение r 1 R r h = qrdr r h (4.8) Q= 2r r Введем понятие функции нагрузки, равной (4.9) r 1R r 2 r = = qrdr Тогда поперечная сила будет Q = h r (4.10) а интенсивность нагрузки выразится формулой 1d (4.11) q= ( r ) r dr 4.3 Связь между усилиями и деформациями. Основные дифференциальные уравнения. Граничные условия Напряжения в срединной поверхности связаны с деформациями следующими зависимостями:

E r = ( r + µ ), (4.12) 1 µ E ( + µ r ) = 1 µ 2 Выразим изгибающие моменты через кривизны срединной поверх ности[28] d 2 µ d M r = D( r + µ ) = D 2 +, dr r dr (4.13) 1 d d M r = D( + µ r ) = D r dr + µ dr где D - цилиндрическая жесткость пластинки Eh D= 12(1 µ 2 ) а µ - коэффициент Пуассона Уравнение равновесия (4.3), содержащее напряжения в срединной поверхности, будет удовлетворено, если ввести функцию напряжений по формулам:

1 d d r = =, (4.14) dr r dr Сопоставляя уравнения (4.5) и (4.10), находим (4.15) dM r M r M = + h r + dr r r Воспользуемся выражениями для изгибающих моментов (4.13) и для кривизн d = cos = r = dr r r тогда получим:

d 2 1 d = + h r D 2 + (4.16) dr r dr r Как легко видеть, уравнение (4.16) может быть записано в виде (4.17) d 1 d (r ) = + h r D dr r dr или после введения функции напряжений h d d 1 d (4.18) r dr (r ) = + r dr D dr Считая угол малым, мы можем записать d = ;

dr тогда будет (4.19) d 1 d d h d d r dr r dr = + r dr dr D dr Выражение, заключенное здесь в квадратных скобках, соответствует оператору 2, записанному в полярной системе координат (при w, не зависящем от полярного угла ):

1 d d (4.20) = r r dr dr Поэтому уравнение равновесия (4.19) может быть представлено в виде:

(4.21) h d d d ( 2 ) = + D dr r dr dr Выразим далее деформации (4.12) через функцию напряжений:

d 1 1 d r = µ 2, (4.22) E r dr dr 1 d 1 d = 2 µ E dr r dr Вводя эти выражения в уравнение совместности деформаций[28], 1 d d ( r ) r = dr 2 dr придадим ему вид (4.23) E d d 3 1 d 2 1 d + 2 = 3 r dr r dr 2 dr dr Пользуясь и здесь оператором 2, найдем:

E d d (4.24) ( 2 ) = dr 2r dr или d E (4.25) ( 2 ) = dr 2r Таким образом, основная система дифференциальных уравнений для круглой гибкой пластинки имеет вид h d d d ( 2 ) = + D (4.26) dr r dr dr E d d (4.27) ( 2 ) = dr 2r dr Для пластинки малого прогиба уравнение (4.27) отпадает, а жесткой уравнение (4.26) принимает вид d (4.28) ( 2 ) = D dr Напротив, для абсолютно гибкой пластинки можно пренебречь членом в уравнении (4.26), содержащем D;

тогда получим следующую систему уравнений:

h d d (4.29) = r dr dr E dw d (4.30) ( 2 ) = dr 2r dr Граничные условия для прогиба w будут:

• при шарнирном опирании по контуру (4.31) r =c = d 2 µ d (4.32) = D 2 + = Mr dr r dr r =c r =c • при защемлении по контуру (4.33) r =c = d = = (4.34) r =c dr r =c В случае пластинки, не имеющей центрального отверстия, к этим условиям может быть добавлено условие отсутствия поворота «нормали для центра пластинки:

(4.35) d = = r =c dr r =c Выясним, каковы будут граничные условия для. Допустим, что смещение точек контура в радиальном направлении оказывается невозможным. В этом случае должно быть u r =c = 0 (4.36) Сопоставляя формулы u =, где u – радиальное перемещение точек срединной поверхности r и (4.26), получим:

(4.37) d 2 µ d u = E 2 dr r dr r Следовательно, при полном закреплении точек опорного контура по отношению к радиальным смещениям должно быть d 2 µ d 2 =0 (4.38) dr r dr r =c В другом предельном случае, когда радиальное смещение контура ничем не стеснено, должны быть равны нулю на контуре радиальные напряжения r:

1 d (4.39) r = = r =c r dr r =c условиям (4.38) или (4.39) должно быть добавлено условие К ограниченности производной — для всей площади пластинки, в частности, и при r = 0. Величина напряжения r также является ограниченной;

но тогда, как это видно из (4.14), должно быть d = dr r = 5. Построение математической модели В настоящей работе приводятся экспериментальные данные, а также результаты расчетов круглой вязкоупругой мембраны, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, меняющейся скачками.

Внешний диаметр пластины – 620 мм, края жестко защемлены. Нагрузка, естественно, не может быть приложена по всей площади, а охватывает площадь круга диаметром 600 мм. Толщина пластины – 1 мм. График приложения нагрузки представлен на рис.5.1.

q, бар t, мин Рис.5.1 График приложения нагрузки во времени Материал пластины – полиоксиметилен (ПОМ), свойства которого достаточно хорошо изучены. В [4,5] показано, что этот материал обладает вязкоупругими характеристиками и вычислены параметры интегрального определяющего уравнения наследственного типа. Если ядро интегрального k, то = 0,913, уравнения выбрать в виде ядра Абеля K (t ) = (t ) k = 0.045 мин (1 ). В первом приближении в настоящей работе рассматривется случай линейного вязкоупругого материала. В соответствии с E = 3200 МПа.

[4] мгновенный модуль упругости Связь между интенсивностями напряжений и деформаций записывается в виде [6,7]:

E i = (1 + K * ) i или может быть представлена выражением:

t E i = i + K (t ) i ( )d (5.1) Экспериментальная программа позволяла осуществить постоянную запись изменения нагрузок и прогибов с интервалом в 1 сек в течение одного часа испытаний. Определялось:

1. изменение нагрузки во времени, 2. изменение прогибов при r = 0 и r = 170 мм, r при r = 25 и r = 170 мм, 3. изменение деформаций при r = 25 и r = 170 мм 4. изменение деформаций К сожалению, экспериментальная техника не позволяла определить r и деформации при r = 0. Однако данные, полученные при r = 25 мм для, отличались незначительно, максимальное отклонение при максимальной нагрузке и максимальной длительности опыта составило около 3%. Поэтому значения, полученные при r = 25 мм были приняты за значения, полученные в центре, где r =.

Следующим важным вопросом является вопрос о граничных условиях.

Пластина была защемлена по диаметру d=620мм. Однако решение задачи осуществлялось для области, подвергнутой нагрузке и составляющей c = 600 мм. Поэтому считалось, что точки контура мембраны, имеющей такой диаметр, могут смещаться свободно. Это, естественно, является довольно сильным допущением и дает некоторую погрешность в расчетах, особенно при значениях радиуса, близких к максимальному. На рис.5. изображена схема изогнутой пластины.

c R Рис.5.2 Схема изогнутой мембраны При решении задачи изгиба мембраны воспользуемся принципом Вольтерра, в соответствии с которым можно решать задачу как обычную задачу теории упругости, а в полученном решении вместо упругих модулей подставить операторы и расшифровать полученное выражение. Упругое решение рассматривается в ряде публикаций.

Как было рассмотрено выше, система уравнений для абсолютно гибкой пластины запишется следующим образом:

h d dw = r dr dr E dw d ( ) = (5.2) 2r dr dr где - функция нагрузки:

1r = qrdr, q - равномерно распределенная нагрузка, r w - прогиб пластины, а - функция напряжений 1 d d = r =, dr r dr qr В нашем случае, когда q не зависит от радиуса, то =.

Можно выбрать приближенное значение для прогибов w в виде r w = 1 c - стрела прогиба. Получим где 4 r r dw = dr c c c Уравнение (5.2) после подстановки этого выражения примет вид:

8 E 2 r r d ( ) = 2 dr c r c c Интегрируя, найдем 8E 2 r 1 d d r r = 2 2 4 + 6 + C r r dr dr c 2c 2c 6c Умножая на r и интегрируя повторно, получим 2 E 2 r d r r5 r = 3 5+ + C1 + C c 2c 3c 12c dr 2 r d В силу того, что значение производной должно быть ограничено при dr любом значении r, в том числе и в нуле, следует положить C2 = 0. Для определения C1 необходимо учитывать условия на контуре. Выше уже говорилось, что здесь принимается условие свободного смещения на E r = 0. Это условие дает значение C1 = 2. Тогда контуре, т.е. r =c c d E 2 r r5 r r = 2 3 6 3 + 4 5 dr c c c c c r = ;

тогда получим выражения для Введём безразмерную величину c напряжений в срединной поверхности E r = 2 (3 6 2 + 4 4 6 ) 6c E = 2 (3 18 2 + 20 4 7 6 ) 6c = 0 значения r = = i, то или, считая, что при i (3 6 + 4 4 6 ) r = (5.3) i (3 18 + 20 4 7 6 ) = (5.4) E где i = - значение интенсивности напряжений в центре мембраны 2c определялось по формуле i = r2 r + 2 (5.5) Следующий шаг – это вычисление напряжений в центре, что может быть сделано исходя из геометрических соображений и элементарных расчетов [8,9]. Прежде всего необходимо определить радиус R. Из схемы рис.5. видно, что c2 + (2 R ) = c R= Следуя [9], получим qR r = = 2h где h - толщина пластины, в нашем случае равная 1, поэтому qR r = = (5.6) В таблице 4.1 представлены некоторые экспериментальные и расчетные данные для данной мембраны Таблица 4. q,, мм r,% i МПа r =, % % R, № t, мм мин стрела МПа r =170мм расчет (7) при r = 0 r=170мм прогиба 1 13 27 0.025 1690 0.3 0.3 0.24 21. 2 24 31 0.035 1470 0.4 0.4 0.3 25. 3 30 41 0.055 1120 0.68 0.6 0.5 30. 4 36 47 0.07 990 0.83 0.7 0.6 34. 5 42 48 0.075 962 1.0 0.75 0.65 36. 6 51 52 0.082 900 1.13 0.9 0.7 37. Для расчета деформаций и сопоставления экспериментов с расчетами, использовалась модель сложно-напряженного состояния наследственной среды, разработанная в [6]. В этом случае получаем следующие выражения для деформаций:

(1 + K * )( r ) r = E (1 + K * )( ) = E Интенсивность напряжений определяется формулой (5.5), а интенсивность деформаций z ) + ( z ) + ( r ) ( i = 2 2 (5.7) r Перейдем теперь к расчетам напряженно-деформированного состояния, используя уравнение (5.1). Учитывая закон изменения нагрузки, рис.5.1, при котором на каждом этапе она остается постоянной, можно записать, если учесть все 6 этапов нагружения:

t1 t E i = i + K (t ) i1 ( )d + K (t ) i 2 ( )d +...

0 t t + K (t ) i 6 ( )d t i1, i2,... i6 являются константами. Вычисление интегралов причем приводит к зависимости k i1t 61 ) + ( i 2 i1 )(t 6 t1 ) + ( i 3 i 2 )(t 6 t 5 ) (1 ) (1 ) +...

( E i = i 6 + ] + ( i 6 i 5 )(t 6 t 5 ) (1 ) (5.8) Расчет этого выражения для центра пластины, т.е. при r = 0 и значениях in (n = 1,...6), соответствующих таблице 1, дает E i = 62.4 МПа. Разделив i =1.95%.

E = 3200 МПа, на модуль находим Для определения интенсивности деформаций по экспериментальным данным следует i по формуле (5.7).

вычислить Для центра пластины, при r = 0 после всех этапов нагружения r = =1.13% (см. таблицу 1). Вычисляя величину i по формуле (5.7) и z = ( r + ), получим принимая во внимание условие несжимаемости i =2.2%. Это значит, что расхождение экспериментов с расчетами значение составляет примерно 11 %.

Для расчета интенсивности деформаций и напряжений при r =170мм r = =0.58. Расчет следует воспользоваться формулами (5.3) и (5.4), где c показывает, что r170 = r 0 0.465, 170 = 0 0. Это значит, что окружные напряжения ближе к краю пластины из растягивающих превращаются в сжимающие. Далее, сначала по формуле i170, а затем, с помощью (5.6) проводится расчет интенсивности напряжений выражения (5.8) осуществляется вычисление изменения величины E i с течением времени. Расчеты дают предельное значение E i =35.2МПа, i =1.1%. Принимая во внимание формулу (5.7), а которому соответствует также данные табл.1, получим для экспериментальной величины i =1.5%. Разница составляет 26%.

интенсивности деформации значение Здесь она выше, чем в центре, что не удивительно, т.к. исследуемый радиус находится ближе к краю мембраны, на котором граничные условия не могут быть определены точно.

Таким образом, приложение модели наследственного типа к расчету сложно-напряженного состояния такого достаточно сложного элемента конструкции, как абсолютно гибкая пластина (мембрана) из вязкоупругого материала вполне допустимо и дает удовлетворительные результаты.

Расчетные значения могли бы быть более близки к экспериментальным, если учесть нелинейность материала, которая проявляется уже при деформациях порядка 2% [4]. В этом случае следует воспользоваться уравнением кривой мгновенного деформирования материала ПОМ [4], а также моделью нелинейно-наследственной среды при сложном напряженном состоянии [7].

6 Описание программы Взяв за основу полученные выше законы изменения деформации круглой мембраны во времени в зависимости от различных значений радиуса, была разработана программа, позволяющая выполнить необходимые вычисления и вывести результаты в виде графиков. Основная цель данной программы – предоставить удобный способ сравнения экспериментальных и расчётных результатов.

6.1 Интерфейс программы Рис.6.1 Интерфейс программы Интерфейс программы очень прост и служит для удобного ввода начальных данных. В качестве начальных данных пользователю позволяется задать • В ходе эксперимента мембрана находилась под действием равномерно распределённой нагрузки, которая изменялась на различных периодах нагружения. У пользователя есть возможность задать все временные рамки периодов нагружения, а так же значения нагрузки для каждого из них R • Безразмерный параметр =, где R – радиус, для которого C производятся вычисления, С – радиус мембраны Для того, чтоб программы начала выполнять расчёты, необходимо нажать кнопку «Расчёт»

6.2 Результаты работы программы В этом разделе представлены результаты полученные с помощью программы. Напомню, что эксперимент проводился для двух радиусов R1=25мм и R2=170мм. Именно для этих двух радиусов и был произведён расчёт.

• Выше я упоминал о том, что экспериментальная техника не позволяла определить деформации при R = 0 и поэтому в качестве значений для центра мембраны использовались значении при R1=25мм, = Рис.6.2 Результат работы программы для = • R2=170мм, =0. Рис.6.2 Результат работы программы для =0. 7. Организационно-экономическое обоснование разработки ПП для моделирования НДС круглой мембраны сделанной из вязкоупругого материала Основой организации разработки ПП является планирование сроков выполнения работ и определения их сметной стоимости. В процессе разработки плана устанавливаются стадии разработки и перечень выполняемых на каждой стадии работ, определяется их продолжительность и трудоемкость.

Исходными данными для планирования являются объемные и трудовые нормативы. На основании объемных нормативов устанавливается состав выполняемых работ. Трудовые нормативы определяют затраты времени в нормо-часах на выполнение каждой работы.

Решение о целесообразности разработки и внедрении ПП принимается на основании расчета ожидаемого экономического эффекта, определяемого путем сравнения текущих и капитальных затрат в базовом и внедряемом вариантах.

7.1 Организационная часть 7.1.1 Сетевой график При создании сложных изделий, когда различными исполнителями производится большое количество работ, планирование и управление разработкой должно выполняться при помощи метода сетевого планирования и управления (СПУ).

Основу метода СПУ составляет сетевой график, который позволяет увязать большое количество работ в единый координационный план и оценить значимость каждой работы в общем перечне работ. Он предусматривает окончание работ в заданные сроки при минимальных (лимитированных) затратах и обладает хорошей наглядностью для контроля сроков выполнения отдельных работ.

Процедура расчета параметров сетевого графика является многократно повторяемой. Она выполняется каждый раз, когда возникает необходимость составления плана, включающего большое количество работ, выполняемых различными исполнителями, а также при корректировке плана в случае нарушения сроков выполнения отдельных работ.

Решение задачи связано с выполнением большого количества сравнительно несложных повторяющихся вычислений и с формированием таблиц. Такая работа трудоемка и требует от исполнителей большого внимания, поэтому для ее выполнения целесообразно использовать ЭВМ.

Задача расчета параметров сетевого графика решается на основе исходных данных, полученных при составлении сетевого графика и оформленных с учетом требований обработки информации на ЭВМ.

Результаты решения задачи используются службами планирования и диспетчирования и руководством подразделений и предприятия при формировании текущих и календарных планов технической подготовки производства, при контроле хода выполнения работ, указанных в этих планах, и при принятии управленческих решений, связанных с изменением процесса разработки и создания изделия.

Сетевой график (сеть) — это модель процесса разработки и создания некоторого объекта, изображающая весь комплекс взаимосвязанных работ и их результатов в виде ориентированного графа.

Сетевой график состоит из множества событий, обозначенных кружочками, и множества работ, изображенных стрелками. Он наглядно показывает логическую последовательность и взаимосвязь всех действий и процессов, которые должны быть осуществлены для достижения поставленной цели.

Число событий и работ на сетевом графике зависит от сложности объекта и от требуемой степени детализации разрабатываемого плана.

Работой называется процесс или действие, приводящее к достижению определенного результата. Она характеризуется продолжительностью во времени и связана с расходованием ресурсов. Каждая работа имеет номер и название, которое раскрывает ее содержание. Например, "разработка чертежей", "сборка изделий" и т. п.

Событие — это факт начала или окончания работы. Оно не имеет продолжительности во времени. Каждое событие имеет номер и название, которое формулируется в прошедшем времени. Например, "чертежи разработаны", "сборка изделия начата" и т. п.

На сетевом графике любой работе присущи два события: предшествующее событие, с которого начинается работа, и последующее событие, которым заканчивается работа.

Событие начала планируемого процесса, у которого нет предшествующих событий, называется исходным событием: ему присваивается номер 1.

Событие, которое не имеет последующих событий и заканчивает процесс, называется завершающим событием;

ему присваивается последний номер в сети.

На сетевом графике каждое событие является начальным или конечным результатом выполнения одной или нескольких работ. Из этого вытекают основные свойства сетевого графика:

а) ни одно событие не может совершиться до тех пор, пока не будут выполнены все входящие в него работы;

б) ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока данное событие не совершится.

При построении сетевого графика необходимо придерживаться следующих правил:

1) Сеть строится таким образом, что каждое последующее событие изображается несколько правее предыдущего;

2) у каждой работы номер предшествующего события должен быть меньше номера последующего события;

3) в сети не должно быть событий, не имеющих предшествующих событий, кроме исходного события;

4) в сети не должно быть "тупиков", то есть событий, не имеющих событий, кроме завершающего события;

5) в сети не должно быть "замкнутых контуров";

6) в сети не должно быть "параллельных работ", имеющих одинаковые предшествующие и последующие события;

Такие работы невозможно различить на графике. В этом случае при построении сетевого графика вводится дополнительное событие и "фиктивная" работа, которая не требует затрат времени на ее выполнение и обозначается пунктирной стрелкой.

7.1.2. Математическая модель При расчете параметров сетевого графика сначала определяется продолжительность пути, а затем для каждого события находятся ранний и поздний сроки свершения события.

Любая непрерывная последовательность событий и работ на сетевом графике называется путем. Он обозначается Ln(k -т- т), где п — номер пути с последовательностью от k до m события.

В зависимости от включения в пути исходного и завершающего событий различают следующие виды путей сетевого графика:

а) полный путь от исходного до завершающего событий;

обозначается Ln(IC) где I и C — исходное и завершающее события соответственно;

б) путь, предшествующий событию k, — Ln(Ik);

в) путь, последующий за событием k, — Ln(kC);

г) промежуточный путь от события k до события т — Ln(km).

Продолжительность (длина) пути равна арифметической сумме продолжительности работ, составляющих путь:

(1.1).

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем. Продолжительность критического пути равна:

(1.2) tKp = max t [Ln(IC)].

Длина критического пути определяет сроки выполнения всего планируемого комплекса работ по данному проекту. Изменение продолжительности любой работы, лежащей на критическом пути, соответствующим образом меняет (сокращает или удлиняет) срок наступления завершающего события, т.е. дату достижения конечной цели всей разработки.

В сети может быть несколько критических путей.

Резерв времени пути определяется разницей между продолжительностью критического пути и продолжительностью данного полного пути:

(1.3) R[Ln]=tKp-t[Ln(IC)].

Он показывает на какую величину можно увеличить продолжительность работ на данном пути, не вызывая изменения продолжительности критического пути.

Ранний срок свершения события — это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию. Он характеризуется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного события до данного события (предшествующего пути) и может быть определен по формуле:

(1.4),.

где r — номер работы сетевого графика, ;

rj — подмножество номеров работ, которые оканчиваются событием j;

tr — продолжительность работы r;

— ранний срок свершения события j, последующего за работой r;

— ранний срок свершения события i, предшествующего работе r;

С — общее число событий сети;

N — общее число работ сети.

Поздний срок свершения события — это дата наиболее позднего из допустимых сроков свершения события. Поэтому увеличение позднего срока свершения события вызывает аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок свершения события определяется по формуле:

(1.5),.

где — поздний срок свершения события i, предшествующего работе r;

— поздний срок свершения события j, последующего за работой r;

ri — подмножество номеров работ, которые начинаются с события i.

Следует отметить, что:

а) для исходного события ранний и поздний сроки свершения равны:

= = 0;

б) расчет ранних сроков свершения событий ведется от исходного события к завершающему;

в) расчет поздних сроков свершения событий ведется от завершающего события к исходному;

г) ранний и поздний сроки свершения завершающего события равны продолжительности критического пути: = = tкр.

Резерв времени события показывает предельный промежуток времени, на который может быть задержано свершение данного события без увеличения срока завершения разработки проекта в целом. Он определяется как разность между поздним и ранним сроками свершения данного события:

(1.6).

События критического пути не имеют резервов времени события. Если резерв времени события будет полностью использован (равен нулю), то данное событие попадает на критический путь. Несоблюдение же сроков выполнения любой работы, лежащей на критическом пути, ведет к срыву общего срока выполнения всего комплекса работ.

Зная ранние и поздние сроки свершения событий, можно для любой работы определить ранние и поздние сроки начала и окончания работы:

- ранний срок начала работы равен ;

- ранний срок окончания работы равен ;

- поздний срок начала работы равен ;

- поздний срок окончания работы равен.

Полный резерв времени работы — это срок, на который можно передвинуть данную работу, не изменяя времени критического пути. Он определяется по формуле:

(1.7).

Свободный (частный) резерв времени работы — это срок, на который можно передвинуть окончание данной работы не влияя на изменение характеристик, проходящего через эту работу пути. Он определяется по формуле:

(1.8).

7.1.3. Расчёт сетевого графика для рассматриваемого программного продукта.

11[6] 14[6] 8 10 11 21[10] 8[15] 15[0] 15 22[2] 3[2] 5[7] 9[30] 3 16[4] 19[2] 2[3] 4[2] 6[4] 7[12] 12[0] 17[1] 23[1] 24[4] 2 18[20] 14 17 18 1[1] 13[1] 7 10[15] Параметры совершаемых событий Ранний Поздний Резерв Формулировка Номер срок срок времени (код) события свершения свершения события 1 0 0 0 Разработка начата 2 5 5 0 Задача поставлена Подобрана специальная литература 3 7 7 4 9 9 0 Аналоги изучены Разработана структура решения задачи 5 13 15 Определены программные и аппаратные требования.

6 10 10 Определены необходимые объекты 7 12 12 0 и функции Язык программирования 8 15 15 0 выбран Модуль обработки и ввода данных 9 21 21 0 разработан Функции и методы 10 29 29 0 программы разработаны Графический модуль протестирован 11 28 29 Общий алгоритм 12 34 34 0 программы составлен 13 38 38 0 Интерфейс создан.

Программный продукт 14 40 40 0 готов.

Результаты расчета для различных параметров 15 44 47 3 получены Сравнение полученных результатов с экспериментальными 16 47 47 0 закончено Техническая документация 17 51 51 0 подготовлена 18 54 54 0 Внедрение 19 56 56 0 Сдача заказчику Перечень работ:

(1) Постановка задачи (2) Подбор и анализ научной литературы.

(3) Поиск и изучение существующих аналогов.

(4) Разработка структуры решения задачи.

(5) Определение требований к программным и аппаратным средствам. Выбор средств реализации.

(6) Составление, согласование и утверждение технического задания.

(7) Определение необходимых объектов и функций.

(8) Выбор языка программирования.

(9) Составление алгоритма.

(10) Разработка модуля обработки и ввода данных.

(11) Реализация функций и методов программы.

(12) Фиктивная работа.

(13) Реализация графического модуля.

(14) Тестирование графического модуля.

(15) Фиктивная работа.

(16) Подключение модуля обработки данных к графическому модулю.

(17) Создание интерфейса.

(18) Отладка ПП.

(19) Получение результатов расчета для различных параметров.

(20) Получение графиков.

(21) Сравнение результатов с экспертными и опытными данными, вывод о правильности модели.

(22) Подготовка технической документации.

(23) Внедрение ПП.

(24) Сдача заказчику.

Параметры работ:

Продол Ране Поздн Поздне Резер Ранее Резерв Номе жи- е ее е в оконча свободн Код р тельнос нача начал оконча полн ние ый ть ло о ние ый 1 1,2 1 0 1 0 1 0 2 2,3 3 1 4 1 4 0 3 3,4 2 4 6 4 6 0 4 4,5 2 6 8 7 9 0 5 4,6 7 6 13 6 13 0 6 5,6 4 8 12 9 13 1 7 6,7 12 13 25 16 28 3 8 6,8 15 13 28 16 31 3 9 6,12 30 13 43 13 43 0 10 7,9 15 25 40 18 43 3 11 8,10 6 28 34 31 37 3 12 9,12 0 40 40 43 43 3 13 9,14 1 40 41 47 48 7 14 10,11 6 34 40 37 43 3 15 11,12 0 40 40 43 43 3 16 11,14 1 40 41 47 48 7 17 12,13 4 43 47 43 47 0 18 13,14 1 47 48 47 48 0 19 14,15 2 48 50 54 56 6 20 14,17 20 48 68 48 68 0 21 15,16 10 50 60 56 66 6 22 16,17 2 60 62 66 68 6 23 17,18 1 68 69 68 69 0 24 18,19 4 69 73 69 73 0 В сети имеется 24 работы, 2 из которых – фиктивные. Срок выполнения проекта – 73 рабочих дня. Критический путь – 1-2-3-4-6-12-13-14 17-18- 7.2. Определение затрат на разработку и внедрение программного продукта.

Полные затраты на выполнение разработки складываются из следующих компонентов:

Зм - стоимость материалов, покупных изделий, Ззо - основная заработная плата, Ззд - дополнительная заработная плата, Зс - отчисления на социальные нужды, Змв - затраты на машинное время (на амортизацию и электроэнергию), Зн – накладные расходы.

З = З м + З зо + З зд + Зс + З мв + Зн 7.2.1. Определение затрат на материалы и покупные изделия.

Затраты на материалы определяются исходя из норм расхода и из стоимости требуемых материалов.

Наименование Единица Расход Цена Стоимость руб.

измерения руб./шт.

1. Литература Шт 1 270 Рабочее место 2. Шт 1 23 400 25 (ПК) 3. Интернет мб 230 1 Итак, затраты на материалы и покупные изделия равны: 25 900 руб.

7.2.2. Основная заработная плата.

Труд исполнителей разработки оплачивается согласно штатно-окладной системе. Для определения стоимости человеко-дня, месячный должностной оклад делится на среднемесячное количество рабочих дней -- 24 дня.

Наименование Зарплата за Трудоемкость, Сумма, Исполнитель этапа день, руб. чел/дни руб.



Pages:   || 2 |
 




 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.