авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Динамика гидродинамически взаимодействующих частиц в вязкой жидкости

На правах рукописи

БАРАНОВ Виталий Евгеньевич

ДИНАМИКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2005

Работа выполнена на кафедре математики и теоретической механики Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор C. И. Мартынов

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Мазо доктор физико-математических наук, профессор В. А. Налетова

Ведущая организация Ульяновский государственный технический университет

Защита состоится 29 декабря 2005 года в 14 час. 30 мин. на заседа нии диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском государствен ном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанско го государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент A. А. Саченков

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию гидродинамического взаимодей ствия частиц в потоке вязкой жидкости и влиянию этого взаимодействия на динамику самих частиц. Как известно, в системе “жидкость+частицы” суще ствуют два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Пер вый механизм связан с силами, непосредственно действующими на частицы.

Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или дипольных моментов у частиц. Второй механизм связан с гидродина мическим взаимодействием частиц в жидкости. В диссертации исследуется влияние гидродинамического взаимодействия на динамику частиц в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса.

Актуальность темы исследования. Актуальность рассматривае мой в диссертации проблемы связана как с практикой создания новых ма териалов на основе вязкой жидкости, в которой частицы образуют опреде ленную микроструктуру (например, коллоидные кристаллы), так и с теорией моделирования поведения таких сред. В последние годы интенсивно разви ваются методы численного моделирования взаимодействия частиц в вязкой жидкости. Широко используются такие методы, как метод отражения, метод стоксовой динамики, метод коллокаций, метод конечных элементов, метод ячеечного уравнения Больцмана. Общим недостатком этих методов является резкое возрастание вычислительных затрат с ростом числа частиц. Поэтому получение новых аналитических и конструирование эффективных численных схем в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодей ствия конечного числа твердых сферических частиц при малых числах Рей нольдса, а также изучение процессов осаждения частиц в безграничной и ограниченной плоской стенкой жидкости.

Научная новизна.

• Разработан новый метод вычисления тензорных коэффициентов раз ложения решения задачи Стокса в случае обтекания конечного числа частиц.

• Показано, что удержание нескольких (5-6) первых членов этого разло жения обеспечивает точность приближенного решения на уровне 1% в сравнении с известными частными решениями задачи.

• Решена задача об осаждении облака конечного числа частиц в безгра ничной жидкости. Показано, что скорость осаждения облака возрастает как с ростом числа частиц, так и с увеличением их концентрации.

• Разработан новый метод расчета гидродинамического взаимодействия конечного числа частиц с неподвижной плоской стенкой. Данный метод сводит указанную задачу к задаче расчета взаимодействия частиц в неограниченной жидкости.

• Решены задачи об осаждении двух частиц вблизи вертикально и го ризонтально расположенных плоских стенок. Показано, что наличие вертикальной стенки приводит к появлению поперечной составляющей скорости. При осаждении частиц на горизонтальную стенку в жидкости возникают вихревые структуры.

• Разработан программный комплекс, включающий в себя:

– программу автоматической генерации и решения системы опреде ляющих уравнений;

– программу расчета полей скоростей и давлений в жидкости, гидро динамических сил и моментов, действующих на каждую частицу;

– модуль визуализации движения частиц в потоке.

Достоверность полученных результатов. Достоверность резуль татов следует из того, что они основаны на общих законах и уравнениях ме ханики жидкости и обеспечиваются строгими математическими выкладками, выводами и оценками, сопоставлением решений задач, полученных различ ными методами, совпадением в частных случаях количественных результатов с результатами работ других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе ре зультаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимо действия частиц и имеют широкий спектр применения на практике. В частно сти, разработанная модель может быть использована при расчете процессов коагуляции, сепарирования, седиментации в суспензиях, аэрозолях, коллоид ных системах во внешних силовых полях различной природы.



Основные положения, выносимые на защиту.

• Разработан и программно реализован алгоритм расчета динамики ко нечного числа частиц в безграничном потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия.

• Получена зависимость средней скорости осаждения частиц в трехмер ном облаке от их числа и концентрации.

• Разработан и программно реализован метод расчета взаимодействия по тока, содержащего конечное число частиц, с плоской стенкой.

• Обнаружено, что при осаждении частиц вблизи стенки в жидкости воз никают вихревые структуры, а частицы приобретают поперечную со ставляющую скорости.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссер тационной работы обсуждались на Международной летней школе по гидро динамике больших скоростей (г. Чебоксары, 2002 г.;

2004 г.), международ ной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г.), на мо лодежной научной школе-конференции “Лобачевские чтения” (Казань, 2002– 2003 гг.), на конференциях Средневолжского математического общества (Са ранск, 2002–2004 гг.), на научных семинарах института математики и меха ники при Казанском университете (Казань, 2004–2005 гг.), на семинаре Ин ститута механики МГУ (Москва, 2003 г.).

Публикации. По теме работы опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссерта ционной работы составляет 152 листа машинописного текста, содержит 74 ри сунка, 15 таблиц и список литературы из 111 наименований.

Содержание работы Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой проблемы, сформулированы цель и задачи работы, проведен анализ работ, посвящен ных движению твердых частиц в потоке вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса, кратко излагается содержание работы.

В главе 1 рассматривается задача об одиночной сфере в потоке неогра ниченной вязкой жидкости, скорость которой на бесконечности представ ляется в виде полинома произвольной степени. Решение уравнений Стокса представляется в виде рядов по мультиполям. Рассмотрены частные случаи движения частицы в однородном, линейном, квадратичном и кубическом по координатам потоке вязкой жидкости. Для случая потока произвольной сте пени получены общие формулы для коэффициентов, входящих в мультиполь ные разложения для скорости и давления.





В пункте 1.1 дана постановка задачи. Пусть единичная твердая сфе рическая частица находится в неограниченной вязкой жидкости вязкости.

Радиус частицы R, в пространстве задана система координат, начало которой совпадает с центром частицы. Невозмущенный поток жидкости (т.е. поток, который был бы в отсутствии частицы) задан в виде функции Ui (x).

Скорость u (x) и давление p (x) возмущенного потока будем рассмат ривать в виде суммы скорости и давления невозмущенного потока и скорости и давления потока возмущения:

u (x) = U (x) + u(x), p (x) = P (x) + p(x).

Уравнения для возмущения скорости u(x) и давления p(x) в приближении Стокса имеют вид:

· u = 0, (1) 2 u = p. (2) Скорость невозмущенного потока задается в виде полинома :

Ui (x) = Ui + Uij xj + Uijk xj xk + Uijkl xj xk xl +....

На поверхности частицы и в бесконечности ставятся граничные усло вия:

ui (x) + Ui (x) = Vi + ij xj, когда |x| = R, (3) ui (x) 0, p(x) 0, когда |x|. (4) где ij = ikj k, V - линейная скорость частицы, - угловая скорость части цы.

Требуется определить скорость и давление возмущенного потока, а так же силу и момент, действующие на частицу со стороны жидкости.

В пункте 1.2 рассматриваются мультипольные разложения для воз мущений скорости и давления :

p(x) = Hi Li (x) + Hij Lij (x) + Hijk Lijk (x) + Hijkl Lijkl (x) +... (5) 2 1 ui (x) = Hi L0 (x) Hj Lij (x) · |x|2 Hij Lj (x) 3 6 1 4 Hjk Lijk (x) · |x|2 Hijk Ljk (x) Hjkl Lijkl (x) · |x|2 (6) 10 7 5 Hijkl Ljkl (x) Hjklm Lijklm (x) · |x|2...

9 где тензорные коэффициенты Hi, Hij, Hijk, Hijkl,... подлежат определению, а мультиполь Lijk...s (x) вычисляется по формуле:

Lijk...s (x) =..., xi xj xk xs |x| В пунктах 1.3–1.4 рассмотрены случаи обтекания одиночной частицы од нородным и линейным потоком. Из граничных условий на поверхности ча стицы найдены тензорные коэффициенты. Полученные решения задачи для возмущений скорости и давления в этих случаях совпадают с известными.

В пунктах 1.5–1.6 аналогичным образом рассмотрены случаи обтека ния одиночной частицы квадратичным потоком и потоком третьей степени.

В пунктах 1.7–1.8 дано обобщение на случай, когда невозмущенный поток задан в виде произвольного полинома по координатам.

В главе 2 дается постановка задачи о гидродинамическом взаимодей ствии конечного числа частиц в вязкой жидкости. С использованием матема тического аппарата, развитого в главе 1, была разработана процедура, поз воляющая записать решение задачи о гидродинамическом взаимодействии конечного числа частиц в форме, подобной случаю одиночной сферы. В ре зультате получена система линейных уравнений, решение которой позволяет определить все неизвестные коэффициенты, входящие в разложения для ско рости и давления, а также вычислить линейную и угловую скорость каждой частицы.

В пункте 2.1 дается постановка и решение задачи о движении двух частиц в неподвижной на бесконечности жидкости. Две твердые частицы A и B радиуса R помещены жидкость вязкости. На частицы действуют внешние силы F A и F B, и внешние моменты T A и T B. Требуется определить линейные скорости частиц.

Положение точки в жидкости относительно центров сфер A и B будем обозначать векторами xA и xB соответственно. Из геометрических соображе ний имеем соотношение xB xA = h, где h - вектор, соединяющий центры частиц. Граничные условия на поверхности частиц задаются в виде анало гичном (3).

По аналогии с выражениями (5) и (6), возмущения скорости и давления от двух частиц ищем в виде:

p(x) = H A Li (xA ) + H A Lij (xA ) + H A Lijk (xA ) + H A Lijkl (xA ) + i ij ijk ijkl (7) +H B Li (xB ) + H B Lij (xB ) + H B Lijk (xB ) + H B Lijkl (xB ) +...

i ij ijk ijkl 2 1 ui (x) = H A L0 (xA ) H A Lij (xA ) · |xA |2 H A Lj (xA ) i j 5 ij 3 1 4 1A H A Lijk (xA ) · |xA |2 H A Ljk (xA ) H jkl Lijkl (xA ) · |xA | jk ijk 10 7 5A 1A H jklm Lijklm (xA ) · |xA | H ijkl Ljkl (xA ) 9 18 (8) 2B 1B 3B B B B B H i L0 (x ) H j Lij (x ) · |x | H ij Lj (x ) 3 6 1 4 1B H B Lijk (xB ) · |xB |2 H B Ljk (xB ) H Lijkl (xB ) · |xB | jk ijk 14 jkl 10 5 1B H jklm Lijklm (xB ) · |xB |2....

H B Ljkl (xB ) ijkl 9 Вычисляя силы и моменты, действующие на частицу A со стороны A(hyd) A(hyd) = 12 ijk H A и пренебрегая инерцией = 4 H A, T i жидкости F i i jk частицы A, получим 4 HA + F A = 0, ijk H A + T A = 0. (9) i i jk i Рассматривая граничное условие на поверхности частицы A, замече но, что для всех точек этой поверхности верно неравенство |xA | |h|, при выполнении которого реализуется разложение в ряд:

1 1 = L0 (xB ) = L0 (h + xA ) = L0 (h) + Li (h) xA + Lij (h) xA xA + i ij |xB | 1! 2!

1 + Lijk (h) xA xA xA + Lijkl (h) xA xA xA xA +...

ijk ijkl 3! 4!

Выбирая первые два члена этого разложения, получим приближенное равен ство L0 (h) + Ls (h) xA. (10) s B| |x Подставляя (10) в (8) и обозначая 1 2B 1 H i L0 (h) H B Lij (h) · |h|2 H B Lj (h) DA = i j 5 ij 3 1 4 1B H B Lijk (h) · |h|2 H B Ljk (h) H jkl Lijkl (h) · |h|2 (11) jk ijk 10 7 5 1B H jklm Lijklm (h) · |h|2, H B Ljkl (h) ijkl 9 1 2B H i Ls (h) H B 2 hs Lij (h) + Lijs (h) · |h| DA = is 6j 3 1B H jk 2 hs Lijk (h) + Lijks (h) · |h| H B Ljs (h) ij 5 10 (12) 4B 1B H ijk Ljks (h) H 2 hs Lijkl (h) + Lijkls (h) · |h| 14 jkl 5 1B H jklm 2 hs Lijklm (h) + Lijklms (h) · |h|2, H B Ljkls (h) ijkl 9 получим граничное условие на поверхности частицы в виде:

2 1 H A L0 (xA ) H A Lij (xA ) · |xA |2 H A Lj (xA ) i j 5 ij 3 1 4 1A H A Lijk (xA ) · |xA |2 H A Ljk (xA ) H jkl Lijkl (xA ) · |xA | jk ijk 10 7 5A 1A H jklm Lijklm (xA ) · |xA |2 = H ijkl Ljkl (xA ) 9 = Di Dis xs + Vi + ij xA, когда |xA | = R.

A AA j Граничное условие, записанное в такой форме, очень похоже на граничное условие, которое получится, если рассматривать движение одиночной ча стицы A в потоке, скорость которого на бесконечности задана формулой Di + Dis xA. Используя решение для одиночной частицы, можно выразить s тензоры H A, H A, H A и H A через тензоры DA и DA i ij i is ijk ijkl 3R HA = (DA V A ), (13) i i i 5R HA (DA A ), = (14) ij ij ij 7R HA [DA V A ] ik + [DA V A ] ij, = (15) ijk j j k k R HA (DA il + DA ik + DA il + = ijkl jk jl kj 20 (16) +DA ij + DA ik + DA ij ).

kl lj lk Уравнения (9), (11) – (16) были получены при рассмотрении граничного усло вия на поверхности частицы A. Если добавить к ним уравнения, которые по лучаются при аналогичном рассмотрении граничного условия на поверхности частицы B, то получится замкнутая система уравнений. Эта система урав нений при известных h, F A, F B, T A, T B единственным образом определяет значения всех неизвестных: V A, V B, A, B, DA, DA, H A, H A, H A, H A, i is i ij ijk ijkl B B B B B B Di, Dis, H i, H ij, H ijk, H ijkl. Таким образом по заданным силам и момен там, действующим на частицы, можно найти скорости частиц и возмущения скорости и давления в каждой точке жидкости.

В пункте 2.2 приводится обобщение приведенной процедуры на слу чай произвольного числа частиц и произвольной точности приближения гра ничных условий на поверхности частиц.

В пункте 2.3 разработанный метод моделирования взаимодействия конечного числа частиц тестируется на задачах, решение которых получено другими методами.

Первая из таких задач - известная [1,2] задача о движении двух сфери ческих частиц вдоль линии центров. В диссертации вычисляются коэффици енты сопротивления, найденные для этой задачи при различных e (e = R/h - отношение радиуса частицы к расстоянию между центрами частиц) и раз личными методами. Отклонение результатов предложенного в диссертации метода от точных значений [1] при любых e не превышает 0.025%.

Вторая задача связана с моделированием движения двух частиц под действием силы, перпендикулярной линии центров. Сравнение результатов с расчетами по методу отражения показало, что при e 0.4 различие в значениях коэффициента сопротивления не превышает 1%.

Третья тестовая задача состояла в определении мгновенной скорости осаждения нечетного числа одинаковых частиц, расположенных вдоль гори 1. V /V0 1. 1. 1. H G F E D C B A B C D E F G H Рис. 1. Скорости нечетного числа частиц с центрами на одной прямой, движущихся под действием силы, перпендикулярной этой прямой. Точки - результат данной работы, крестики - результаты [3, 4].

зонтальной прямой с расстояниями a между центрами. На рис. 1 отображены скорости частиц для a/R = 4, число частиц от 3 до 15. Частицы обозначены буквами: A - центральная частица, B и B - ближайшие к ней (их центры находятся на расстоянии a = 4R от центра частицы A), C и C - следующие две частицы (их центры находятся на расстоянии a = 4R от центров частиц B и B, соответственно), и так далее. Таким образом, конфигурация из трех частиц состоит из частиц B, A и B;

конфигурация из семи частиц состоит из частиц D, C, B, A, B, C, D (их центры лежат на одном прямой в этом порядке). Через V0 обозначена скорость одиночной частицы, найденная по за кону Стокса, через V - скорость одной из частиц H,..., A,..., H. Ломаная линия соединяет точки, соответствующие частицам одной конфигурации.

Наконец, рассматривался случай осаждения двух частиц одинакового размера, но разной плотности [5]. Более плотная частица изначально распо лагалась над менее плотной. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментом до момента контакта частиц.

Помимо тестов в п. 2.3 изучалось также несколько случаев динамики трех и четырех частиц в зависимости от их начального положения. В частно сти, для четырех одинаковых частиц, расположенных первоначально в углах вертикально ориентированного квадрата, получено решение, согласно кото рому относительное движение частиц периодично по времени.

В пункте 2.4 рассмотрено движение трех частиц, на которые наложе ны связи, оставляющие расстояние между соседними частицами постоянным и не мешающие вращательному движению частиц (цепочка частиц). Получе но, что в случае, когда частицы расположены вдоль прямой, перпендикуляр ной направлению действия внешней силы, имеется предельная конфигура ция, при котором крайние частицы сближаются. Для частиц, расположенных вдоль прямой под углом к силе тяжести, наблюдается процесс циклического сворачивания - разворачивания цепочки.

В пункте 2.5 разработанный метод использовался для моделирования динамики большого числа взаимодействующих частиц (облако). Рассматри валось осаждение трехмерного облака, состоящего из 110 частиц под действи ем силы тяжести. Получена зависимость средней скорости v осаждения от числа частиц и их концентрации в облаке.

Графики зависимостей v от концентрации при 30 и 100 частицах по строены на рис. 2. Графики зависимости v при изменении числа частиц и постоянной концентрации 0.1, 0.05 и 0.025 построены на рис. 3.

Рис. 2 и 3 показывают, что средняя скорость осаждения облака увели чивается как с ростом числа частиц так и с ростом концентрации. В диссер 17.5 N = 12. v /V0 N = 7. 2. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0. n Рис. 2. Зависимость средней скорости осаждения облака от концентрации при постоянном числе частиц.

0. n=. n=. n= v /V0 0 20 40 N Рис. 3. Зависимость средней скорости осаждения облака от числа частиц при постоянной концентрации.

тации было найдено распределение частиц по скоростям в облаке. Выяснено общее правило: модуль линейной скорости больше у частиц, находящихся ближе к центру облака, и меньше у частиц, находящихся ближе к краю об лака.

В главе 3 рассматривается гидродинамическое взаимодействие твер дых сферических частиц при наличии плоской поверхности.

В пункте 3.1 дается постановка задачи и форма решения задачи о движении одной частицы A радиуса R в жидкости с вязкостью и ограни ченной плоскостью. Проекция центра частицы A на плоскость обознача ется точкой M. Вектор с началом в точке M и концом в центре частицы A обозначается буквой h;

таким образом, модуль вектора h равен расстоянию от центра частицы A до плоскости. Положение точки жидкости относительно центра сферы A обозначается вектором x.

Так же, как в первой и второй главах предполагается, что движение жидкости описывается уравнениями непрерывности (1) и Стокса (2). На по верхности частицы и бесконечности граничные условия имеют вид (3), (4).

На стенке имеется граничное условие:

ui = 0, когда (x + h) h. (17) Для получения решения задачи вводится дополнительная фиктивная частица B, симметричная A относительно плоскости (рис. 4), и затем исполь зуется форма записи решения, как в задаче о двух частицах. Обозначая через y положение точки жидкости относительно центра фиктивной частицы B, по лучаем, что y = x + 2 h. Кроме того, для точек на плоскости выполняются A x h M y h B Рис. 4. Фиктивная частица служит для представления взаимодействия частицы с плоской стенкой.

следующие равенства:

yi = xi + 2 hi, |x| = |y|, (x + h) h, (y h) h, (18) xi hi = |h|2, yi hi = |h|2.

Решение для возмущений давления и скорости ищется в виде:

p(x) = Hi Li (x) + Hij Lij (x) + Hijk Lijk (x) +... + (19) +Gi Li (y) + Gij Lij (y) + Gijk Lijk (y) +..., 2 1 ui = Hi L0 (x) Hj Lij (x) · |x|2 Hij Lj (x) 3 6 1 4 Hjk Lijk (x) · |x|2 Hijk Ljk (x) Hjkl Lijkl (x) · |x|2...

10 7 14 (20) 2 1 Gi L0 (y) Gj Lij (y) · |y| Gij Lj (y) 3 6 1 4 Gjk Lijk (y) · |y|2 Gijk Ljk (y) Gjkl Lijkl (y) · |y|2...

10 7 Форма записи решения такая же, как если бы вместо частицы A и стенки было две частицы A и B. Имеется принципиальное отличие от случая взаи модействия двух частиц. Хотя форма записи выражений для давления (19) и скорости (20) такая же, как если бы описывалось взаимодействие двух частиц A и B, однако граничные условия по-прежнему рассматривается на частице A и стенке, а не на частице A и частице B.

В пункте 3.2 описана процедура, позволяющая подобрать для каж дого из коэффициентов Hi, Hij, Hijk,... несколько коэффициентов Gi, Gij, Gijk,..., так, чтобы граничное условие на плоской поверхности выполнялось тождественно. Для Hi эта процедура выглядит так.

Беря всевозможные комбинации тензоров Hi, hi (линейно по Hi ), можно записать выражения для тензоров Gi, Gij, Gijk :

Gi = g1 Hi + g2 H h hi /|h|2, (21) Gij = g3 Hi hj + g4 Hj hi + g5 H h ij + g6 H h hi hj /|h|2, (22) Gijk = g7 Hi hj hk + g8 (Hj hi hk + Hk hi hj ) + g9 Hi jk |h|2 + +g10 (Hj ik + Hk ij )|h|2 + g11 H h hi jk + (23) +g12 H h (hj ik + hk ij ) + g13 H h hi hj hk /|h|2.

Здесь g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9, g10, g11, g12, g13 есть неизвестные числовые коэффициенты.

Подставляя (21) – (23) в выражение для скорости (20) и приводя по добные с учетом (18), получим значения числовых коэффициентов:

2 8 g1 = 1, g2 = 0, g3 =, g4 =, g5 =, g6 = 4, 3 3 7 g7 = 0, g8 = 0, g10 =, g12 =, g13 = 0.

8 Таким образом, можно записать выражения для тензорных коэффици ентов фиктивной частицы, которые позволяют точно удовлетворить гранич ное условие на плоскости. Тензорные коэффициенты для реальной частицы определяются из граничного условия на ее поверхности.

При изучении движения нескольких частиц вблизи плоской стенки для каждой частицы добавляется симметричная ей фиктивная таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на плоскости. В результате такого добавления получается облако взаимодействующих частиц. Метод решения таких задач развит в главе 2.

В пункте 3.3 было проведено тестирование предложенного метода мо делирования взаимодействия частиц с плоской стенкой и сравнение с другими известными методами [6]. В работе приведены результаты численного моде лирования взаимодействия со стенкой одной и двух частиц. Были построены поля скоростей и линии тока для различных случаев осаждения частиц вбли зи плоской стенки. Линии тока для одной частицы, осаждающейся на стенку, изображены на рис. 5. Линии тока при осаждении на плоскость приняли вид замкнутых кривых, что соответствует образованию замкнутой вихревой ни ти вокруг частицы, расположенной в плоскости, перпендикулярной скорости осаждения частицы.

Рис. 5. Линии тока для одной частицы, движущейся под действием внешней силы вблизи плоской стенки. Направление силы - перпендикулярно стенке, расстояние от центра частицы до стенки - пять радиусов. Стрелкой показана скорость самой частицы.

Рис. 6. Линии тока для двух частиц, осаждающихся на плоскую стенку. Расстояние между центрами частиц - пять радиусов, от центров частиц до стенки - пять радиусов.

Стрелками показаны скорости частиц.

Рис. 7. Линии тока для двух частиц, осаждающихся на плоскую стенку. Расстояние между центрами частиц - пять радиусов, от центров частиц до стенки - два радиуса.

Стрелками показаны скорости частиц.

Также было рассмотрено движение двух частиц вблизи плоской поверх ности. При осаждении на плоскую стенку двух сферических частиц, вокруг них также образуется замкнутая вихревая нить (рис. 6). Однако при прибли жении к стенке картина усложняется (рис. 7). В области между частицами образуется новое вихревое поле, имеющее грибовидную форму. Это приводит к тому, что направление вращения частиц при приближении к плоской стенке меняется на противоположное, что ранее не было известно.

Исследовалось также движение двух частиц параллельно плоской стен ке. В этом случае появляется поперечная составляющая скорости, направлен ная перпендикулярно действующей внешней силе. Эта поперечная составляю щая приводит к отдалению частиц от стенки. В диссертации такое поведение частиц объясняется гидродинамическим взаимодействием с плоскостью.

Основные результаты В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• разработан метод и его программная реализация для численного рас чета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия;

• полученные с помощью метода результаты для частных случаев дви жения одной, двух, трех, четырех и нечетного числа частиц, располо женных на прямой, хорошо согласуются с известными результатами, полученными другими методами;

• рассчитана скорость осаждения для различных конфигураций случай но расположенных частиц, образующих облако из 1-110 частиц;

• получена зависимость средней скорости осаждения частиц от их числа и концентрации в облаке;

показано, что скорость осаждения увеличивает ся с ростом числа частиц, причем во всех случаях наибольшая скорость наблюдается у частицы, находящейся внутри облака;

• разработан метод и его программная реализация для численного рас чета динамики конечного числа частиц в потоке вязкой жидкости при наличии твердой плоской поверхности;

метод сводит задачу о взаимо действии частицы со стенкой к задаче о взаимодействии двух частиц;

• показано, что наличие стенки качественно меняет динамику частиц по сравнению со случаем безграничной жидкости, в частности наличие стенки приводит к появлению вихревых течений и поперечных пере мещений, что не наблюдалось при осаждении частиц в безграничной жидкости.

Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундамен тальных исследований (проекты №01-01-00435, №04-01-00607), позволившую ускорить выполнение работы и написание диссертации.

Список цитируемой литературы 1. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous uid / M. Stimson, G. B. Jerey // Proc. Roy. Soc. – 1926. – Ser. A. – V. 111. – P. 110-116.

2. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хап пель, Г. Бреннер;

перевод с англ. В. С. Бермана и В. Г. Маркова;

под ред.

Ю. А. Буевича. – М.: Мир, 1976. – 630 с.

3. Durlofsky L. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J. F. Brady, G. Bossis // J. Fluid. Mech. – 1987. – V. 180, – P. 21-49.

4. Ganatos P. A numerical solution technique for three-dimensional Stokes ows, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / P. Ganatos, R. Pfeer, S. Weinbaum // J. Fluid Mech. – 1978. – V. 84. P. 79 111.

5. Zhao Y. Interaction of two touching spheres in a viscous uid / Y. Zhao, R. H. Davis // Chem. Eng. Sci. – 2002. – V. 57. – P. 1997-2006.

6. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous uid towards a plane surface // Chem. Eng. Sci. – 1961. – V. 16. – P. 242-251.

Список опубликованных работ по теме диссертации 1. Баранов В. Е. Общее решение уравнений Стокса для движения твердой сферической частицы в произвольном потоке вязкой жидкости / В. Е. Ба ранов, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва. – 2003. – Т. 5. – № 1. – С. 280-292.

2. Баранов В. Е. Осаждение цепочки частиц в вязкой жидкости // Мат.

межд. молод. науч. школы-конф. “Лобачевские чтения – 2002”. – Казань:

изд-во Казанского мат. об-ва, 2002. – С. 8-9.

3. Baranov V. E. Sedimentation of a large number of particles in viscous uid / V. E. Baranov, I. P. Boriskina, S. I. Martynov // Int. summer sci. school "High Speed Hydrodynamics – 2002". – Cheboksary, 2002. – P. 425-428.

4. Баранов В. E. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости / В. E. Баранов, И. П. Борискина, С. И. Мартынов // Тез. докл. Межд.

летней науч. школы “Гидродинамика больших скоростей – 2002”. – Чебок сары, 2002. – С. 34-35.

5. Баранов В. Е. Осаждение конечного числа твердых сферических частиц в вязкой жидкости. / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Труды Средне волжского мат. общ-ва, 2002. – Т. 5. – № 1. – С. 300-309.

6. Баранов В. Е. Изменение формы осаждающихся структур под влиянием гидродинамического взаимодействия // Мат. всероссийской молод. науч.

школы-конф. “Лобачевские чтения – 2003”. – Казань: изд-во Казанского мат. общ-ва, 2003. – С. 73-74.

7. Баранов В. Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Изв. РАН. МЖГ. – 2004. – № 1. – С. 152-164.

8. Баранов В. Е. Осаждение облака случайно расположенных частиц // Мат.

науч. конф. “Огаревские чтения – 2003”. – Саранск: изд-во Мордов. ун-та, 2003. – С. 182-183.

9. Баранов В. Е. Движение твердой частицы в вязкой жидкости вблизи плос кой поверхности / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Мат. XVII сессии межд. школы по моделям механики сплошной среды. – Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 2004. – С. 42-46.

10. Baranov V. E. Sedimentation of particles on the plane / V. E. Baranov, S. I. Martynov // Int. summer sci. school “High Speed Hydrodynamics – 2004”.

– Cheboksary, 2004. – P. 297-300.

11. Баранов В. Е. Осаждение на плоскость частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Тез. докл. межд. летней науч. школы “Гидродинамика больших скоростей – 2004”. – Чебоксары, 2004. – С. 35-36.

12. Баранов В. Е. Гидродинамическое взаимодействие частиц с плоскостью / В. Е. Баранов, С. И. Mартынов // Труды Средневолжского мат. общ-ва, 2004. – Т. 6. – № 1. – P. 266-271.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.