авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории с.п. тимошенко

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТУЛКИНА Анна Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НАНООБЪЕКТ,

НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ С.П. ТИМОШЕНКО

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доцент ПАВИЛАЙНЕН Вольдемар Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ФИЛИППОВ Сергей Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет) кандидат физико-математических наук, доцент ПОМЫТКИН Сергей Павлович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров)

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится “_”_2011 г. в часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан “” _ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время является актуальной задача определения механических характеристик нанообъектов, представляющих собой микроразмерные стержни. При экспериментальных исследованиях наблюдается несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях (работы Кривцова А.М., Морозова Н.Ф., Быкова Д.Л., Коновалова Д.Н. и др.) В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер.

Имеет место принципиальное отличие условий экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование.

Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными устройствами (в частности, с кантилевером АСМ). Ее решению посвящен ряд работ, основанных на применении классической теории колебаний стержней Бернулли – Эйлера.

Цель работы состоит в разработке теоретических методов определения упругих характеристик нанообъектов на основе теории С.П. Тимошенко, сравнение результатов с результатами, полученными по теории Бернулли – Эйлера.

Научная новизна. Задача о колебаниях системы кантилевер – исследуемый нанообъект, решение которой построено на основе классической теории Бернулли – Эйлера, опубликована в статье профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко.

Научная новизна содержащихся в диссертации результатов состоит в учете угла поворота поперечного сечения и деформаций сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В работе построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

Результаты, выносимые на защиту

.

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические решения.

2) Построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Дан анализ спектров собственных частот системы.

3) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Дан анализ спектров частот системы при вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.



Теоретическая ценность работы заключается в построении уравнений свободных и вынужденных колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получении точных решений для уравнений частот, форм свободных и вынужденных колебаний, а также для величины прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил.

Получены числовые результаты и дан их анализ. При этом варьируются геометрические параметры исследуемого нанообъекта, что по результатам расчета показывает влияние изменения указанных выше параметров исследуемого нанообъекта на количественную и качественную характеристику картины колебаний. В этом состоит практическая ценность работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедрах теории упругости и теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Computer Methods in Continuum Mechanics) в Санкт-Петербургском государственном университете путей сообщения (СПбГУПС), на международной конференции по механики «V Поляховские чтения» (СПбГУ, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Список приведен в конце автореферата. Работа [1] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работы [2] – [4] опубликованы в соавторстве. В работах [2] – [4] научному руководителю принадлежат общая постановка задачи и указания на идеи исследования, а их детальная реализация принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет – 110 страниц, включая 35 рисунков, 18 таблиц и список цитированной литературы из 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулирована цель работы.

Отмечено, что основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли – Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли – Эйлера, несколько завышены.

Другая теория, уточняющая теорию Бернулли – Эйлера, за счет учета влияния в уравнениях равновесия и соотношениях упругости инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения и деформации сдвига получила название теории Тимошенко.

Задача, рассматриваемая в диссертации, представляет практический интерес.

Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью сканирующий зонд (кантилевер) – исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис.1.

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро – и макроуровнях отмечали многие исследователи (Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Иванова Е.А., Дунаевский М.С.). В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.





Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд – кантилевер.

Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 – 400 кГц;

радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10 – 50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала – нитрида кремния (Si3N4).

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер – исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Это указывает на принципиальное отличие условий для экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. эта проблема обсуждается применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и дана реализация известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонансных» частот.

Была предложена механическая модель системы кантилевер – исследуемый объект (Рис. 1.), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда – Джонса в области статического равновесного состояния. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение – это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина – ненапряженной.

В работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть C C1, где C – жесткость кантилевера, C1 – жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно – разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи C ~ C1 или C C1 проводить измерения сложно, так как эта область находится на неустойчивом участке зависимости сила – перемещение.

На основании приведенного обзора в настоящее время актуальными и требующими дальнейшего исследования является разработка теоретической базы для решения задач о свободных и вынужденных колебаниях системы стержней. Решение первой задачи будет ответом на вопрос определения упругих модулей исследуемого нанобъекта по частотам системы, а решение второй задачи позволит разработать условия эксперимента, при которых из спектра системы можно выделить собственные частоты нанообъекта. Эти задачи были решены на основе теории Бернулли – Эйлера в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации на основе теории С.П. Тимошенко построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Полученные решения сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли – Эйлера.

В первой главе дан расчет частот и форм свободных и вынужденных колебаний консольного стержня на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях балки.

Рассмотрим балку длины l с защемленным левым и свободным правым концом, ось которой лежит в вертикальной плоскости симметрии xOy (Рис. 2) и направлена по оси Ox.

Положительные направления изгибающего момента M и поперечной силы Q в сечениях x и x+dx, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки q(x,t) и распределенного инерционного момента m(x,t) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

Рис. 2. Система координат, действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента балки имеют вид M Q Q mx, t 0, q x, t, x x отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления оси Oy (Рис. 2). Если y = y(x,t) – уравнение изогнутой оси балки, то q (x,t) и m (x,t) определяется формулами 2 y 3 y qx, t F 2, mx, t J 2, t t x в которых, F, J – соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Приводится решение в теории Бернулли – Эйлера в кратком изложении, что необходимо для его обобщения на дальнейшие задачи и сравнения получаемых результатов.

Уравнение равновесия в перемещениях 4 X F 2 l X 0, 4 EJ решение которого должно удовлетворять граничным условиям X 0 X ' 0 Q1 M 1 0.

Решая эту задачу, находим частотное уравнение, известное в литературе (С.П.Тимошенко;

Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др.) 1 cosh k cos k 0. (1) Значения k из частотного уравнения можно найти численным методом, после чего определяется спектр собственных круговых частот по формуле:

k EJ i i2, i 1, 2, 3...

F l где i – номера корней частотного уравнения (1) и соответствующей собственной частоты.

Частотное уравнение на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента балки, сохраняют свой вид, а угол поворота поперечного сечения в теории С.П. Тимошенко записывается в виде суммы:

y, x где – угол сдвига, а – угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу, момента не вызывают).

Получена система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями y(x,t) и (x,t) GF 2 y 2 GF y 2 y 3 y (2) F 2 0, J 2 0, EJ 2 x x t x n x t x n решение которой должно удовлетворять граничным условиям:

X 0 0 Q1 M 1 0.

Кинематические граничные условия формулируются для перемещений X и углов повора, это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии и теоремы взаимности работ, обоснование этого приводится в работе В.И. Сливкера. Решая систему (2), получаем частотное уравнение A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0. (3) Здесь для краткости введены обозначения, A 1 1 a11 k 4 2 2 a11 k 4 (4) 2 2 2 2 2 2 a 12 2 2 a 2 B 1 2 a11 2 1 a11 k 2 1 2 2 2 2 2, (5) 1 a11 2 2 a, (6) C 1 2 1 2 2a11 2k 2 l 2 k E Нетрудно показать, что частотное уравнение, полученное в теории Тимошенко, в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения переходит в соответствующее частотное Бернулли – Эйлера (1).

Во втором параграфе рассматриваются численные примеры. Исследуется влияние варьирования геометрических параметров стержня на спектры собственных частот.

Полученные результаты согласуются с результатами в публикациях по теории колебаний, где отмечено, что в модели балки Тимошенко вклад от учета деформаций сдвига и инерции поворота поперечного сечения площади возрастает с ростом высоты h и уменьшением длины l (Босаков С.В., Щедько Н.С.;

Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н.).

Во второй главе исследуются свободные колебания сопряженной системы двух стержней. Сначала рассматривается система стержней, соединенных шарнирно, а потом в нее вводится упругое сопряжение. Получены частотные уравнения системы, уравнения для прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил для каждого элемента системы на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе исследуется система двух шарнирно сопряженных стержней.

Правый конец первого стержня x1 = l1 шарнирно соединен с правым концом второго стержня x2 = l2, противоположные концы обоих стержней жестко заделаны (Рис. 3).

Положительные направления изгибающего момента Mi и поперечной силы Qi в сечениях xi и xi+dxi, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки qi (xi,t) и распределенного инерционного момента mi (xi,t) при повороте элемента показаны на Рис. 3, где i – номер стержня (i =1,2), – собственная круговая частота колебаний системы.

Рис. 3. Система координат и действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента i – го стержня (неизменные для всех рассматриваемых в дальнейшем задач) имеют вид M i Qi (7) Qi mi xi, t 0, qi xi,t, xi xi отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления осей Oy (Рис. 3).

Нагрузки qi (x i,t) и mi (x i,t) определяются формулами 2 y 3 y qi xi, t i Fi 2 i, mi xi, t i J i 2 i, (8) t t xi в которых yi = yi(x i,t) – уравнение изогнутой оси i – го стержня, i, Fi, Ji – соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Решение задачи на основе теории Бернулли – Эйлера. Из уравнений равновесия (7) с учетом распределенной нагрузки qi (x i,t), после применения метода Фурье и перехода к безразмерной координате = xi/li (0 1), получаем уравнение колебаний F 4 X i ki X i 0, где введено обозначение ki i i 2li.

4 4 Ei J i Общие решения уравнений имеют вид X i Ai cosh ki Bi sinh ki Ci cos ki Di sin ki.

и должны удовлетворять граничным условиям X i 0 X i ' 0 M i 1 и условиям кинематического и статического сопряжения на концах стержней = соответственно X1 1 X 2 1, Q1 1 Q2 1. (9) После определения из граничных условий всех коэффициентов через А1, А2 из условий сопряжения (9) получаем систему для составления частотного уравнения, которое после преобразования примет вид k1 1 cosh k1 cos k1 cosh k2 sin k2 sinh k2 cos k E1 J1 l (10) 3 k2 1 cosh k2 cos k2 cosh k1 sin k1 sinh k1 cos k1 0.

E2 J 2 l В частном случае одинаковых стержней (k1 = k2 = k) частотное уравнение (10) распадается на два частотных уравнения 1 cosh k cos k 0, cosh k sin k sinh k cos k 0, первое из которых соответствует частотному уравнению (1) в задаче о свободных колебаниях одного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй свободен, а второе – частотному уравнению в задаче о свободных колебаниях одного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй шарнирно оперт (Пономарев С.Д., Бидерман В.Л.

и др.).

После определения коэффициента А2 через произвольный коэффициент А1 из любого условия сопряжения стержней, получены расчетные формулы для амплитудных значений прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил.

Решение задачи на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента стержня сохраняют свой вид (7), а угол поворота поперечного сечения в теории Тимошенко записывается в виде суммы:

yi i i, xi где i – угол сдвига i-го стержня, а i – угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу i, момента не вызывают). Тогда связь момента Mi и угла поворота i представима формулой i M i Ei J i, xi а соотношение между поперечной силой Qi и углом сдвига i, полученное по формуле Журавского, будет иметь вид G F y Qi i i i i.

n xi Здесь Gi – модуль сдвига i – го стержня, n – коэффициент формы поперечного сечения, имеющий значение n = 3/2 в случае прямоугольника (Гастев В.А.). Знак «минус»

в формуле необходим для соблюдения равенства знаков в левой и правой частях формулы, так как при положительных значениях поперечной силы Qi (Рис. 3) угол сдвига в плоскости x iO iy i будет отрицательным. Такой же вид имеет аналогичная формула в работе (Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др.).

Система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями yi(xi,t) и i(xi,t) 2 i Gi Fi yi 3 y i i J i 2 i 0, Ei J i n xi (11) t xi xi 2 yi i 2 y Gi Fi 2 i Fi 2 i x xi (12) t n i Исключая из этой системы функцию i(xi,t), получаем разрешающее уравнение относительно функции yi(xi,t), а исключая yi(xi,t) – разрешающее уравнение относительно i(xi,t).

4 yi i ni 4 yi F 2 y 2 2 i i 2i 0, E (13) Ei J i t xi i Gi t xi 4 i i ni 4 i F 2 i (14) 2 2 i i 0.

t x Ei J i t xi 4 Ei Gi i Операторы для функций yi(xi,t) и i(xi,t) в левых частях одинаковые, что позволяет выбрать одинаковую общую фундаментальную систему решений cosh 1, sinh 1, cos 2, sin 2, cosh 1, sinh 1, cos 2, sin 2.

Общие решения X 1 A1 cosh 1 B1 sinh 1 C1 cos 2 D1 sin 2, 1 A1 cosh 1 B1 sinh 1 C1 cos 2 D1 sin 2, X 2 A2 cosh 1 B2 sinh 1 C2 cos 2 D2 sin 2, 2 A2 cosh 1 B2 sinh 1 C2 cos 2 D2 sin 2.

должны удовлетворять граничным условиям X i 0 i ' 0 M i 1 и условиям кинематического и статического сопряжения (6).

Связь между коэффициентами Ai, Bi, Ci, Di, Ai, Bi, Ci, Di для стержней определяется из второго уравнения равновесия (12) и граничных условий, после этого из условий сопряжения получаем систему для составления частотного уравнения, которое окончательно имеет вид 12 2 E2 J A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin l2 1 a11 2 a 3 2 a11 cosh 1 sin 2 1 2 a11 sinh 1 cos 2 (15) 2 1 2 2 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin E1 J l1 1 b11 2 b 3 2 b11 cosh 1 sin 2 1 2 b11 sinh 1 cos 2 0.

2 2 где для краткости введены обозначения, A 1 1 a11 k1 1 2 2 a11 k1 1, (16) 2 2 4 2 2 2 12 2 2 a11 2 2 12 a B 1 2 a11 2 1 a11 k1 1 (17) 2 2 2 2, 12 a11 2 2 a C 1 2 1 2 2a11 2k1 1, (18) 2 2 (19) A 1 1 b11 k2 2 2 2 b11 k2 2, 2 2 4 2 2 2 12 2 2 b11 2 2 12 b B 1 2 b11 2 1 b11 k2 2 2 2 2, (20) 12 b11 2 2 b C 1 2 1 2 2b11 2k2 2, 2 2 (21) i li 2 2 1 hi i ki i, 12 li 2 Ei (22) В частном случае одинаковых стержней (E1 = E2 = E, 1 = 1, 2 = 2) частотное уравнение (15) распадается на два частотных уравнения, A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0, 2 12 a11 cosh 1 sin 2 1 2 2 a11 sinh 1 cos 2 0, первое из которых соответствует частотному уравнению (3) в задаче о свободных колебаниях одного стержня, у которого один конец защемлен, а второй свободен, а второе – частотному уравнению в задаче о свободных колебаниях одного стержня, у которого один конец защемлен, а второй шарнирно оперт.

Нетрудно показать, что уравнение, полученное на основе теории Тимошенко в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения, переходит в уравнение, полученное на основе теории Бернулли – Эйлера.

Из кинематического условия сопряжения определена связь между коэффициентами А1 и А2 и получены расчетные формулы для амплитудных значений прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил.

В параграфе 2 получены спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней.

Введем в ранее рассмотренную систему упругий элемент с коэффициентом податливости с, как показано на Рис.4.

Рис. 4. Система координат и действующие нагрузки.

Исходные соотношения, уравнения равновесия, граничные условия остаются такими же, как в предыдущей задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе, и, следовательно, решения тоже. Условия сопряжения в данной задаче имеют вид X1 1 X 2 1, Q1 1 Q2 1 Q, (23) где cQ – удлинение (сжатие) упругого элемента, Q – растягивающая (сжимающая) сила в упругом элементе, с - коэффициент податливости упругого элемента.

Решение строится аналогично Главе 2, §1. В теории Бернулли – Эйлера частотное уравнение после некоторых преобразований окончательно примет вид k1 1 cosh k1 cos k1 cosh k2 sin k2 sinh k2 cos k E1 J1 l 2 3 2 k2 1 cosh k2 cos k2 cosh k1 sin k1 sinh k1 cos k EJ (24) l c 1 3 1 k1 2 3 2 k2 1 cosh k1 cos k1 1 cosh k2 cos k2 0.

EJ 3E J l1 l В теории С.П. Тимошенко получаем частотное уравнение 12 2 E2 J A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin l2 1 a11 2 a 3 2 2 1 a11 cosh 1 sin 2 1 2 a11 sinh 1 cos 2 A B cosh cos 2 C sinh 1 sin E1 J b b 1 (25) 1 3 2 l1 1 11 2 b cosh sin 1 2 b11 sinh 1 cos 2 2 1 11 1 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin E1 J1 E2 J c 3 l1 l A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0.

В частном случае только шарнирного соединения, без упругого элемента (с = 0) частотные уравнения, полученные в этой задаче, переходят в уравнения, полученные в предыдущем параграфе.

В частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения частотное уравнение (25), полученные на основе теории Тимошенко, переходит в уравнение (24), полученное по теории Бернулли – Эйлера.

В §3 рассмотрены примеры расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний системы стержней, дан анализ влияния коэффициента податливости на спектры собственных частот. Показано в таблицах и на графиках, что чем жестче связь между кантилевером и исследуемым объектом, тем ниже собственная частота колебаний системы.

Глава 3 посвящена исследованию вынужденных колебаний сопряженной системы двух стержней. На основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко получены уравнения для прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил для каждого элемента системы.

Найдены условия динамического гашения колебаний. Решения иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В §1 рассматривается задача о вынужденных колебаниях системы двух шарнирно сопряженных стержней. Правый конец первого стержня x1 = l1 шарнирно соединен с правым концом второго стержня x2 = l2, левые концы обоих стержней жестко заделаны.

Левый, жестко защемленный, конец первого стержня совершает вертикальные колебания в плоскости x1O1y1 по закону y1(0,t) = A0sint, где y1 = y1(x,t) – уравнение колебаний изогнутой оси первого стержня, A0 и – заданные амплитуда и частота вынужденных колебаний.

Положительные направления изгибающего момента Mi и поперечной силы Qi в сечениях xi и xi+dxi, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки qi (xi,t) и распределенного инерционного момента mi (xi,t) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

В теории Бернулли – Эйлера поставленная задача должна удовлетворять граничным условиям X1 0 A0 X1 ' 0 M1 1 0, X 2 0 X 2 ' 0 M 2 1 0, а в теории Тимошенко X1 0 A0, 1 0 M1 1 0, X 2 0 2 0 M 2 1 0.

Условия кинематического и статического сопряжения на правых концах стержней сохраняют вид (9) и дают систему для определения оставшихся неизвестных коэффициентов А1 и А2.

Получены расчетные формулы для прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил в теориях Бернулли – Эйлера и Тимошенко.

В §2 рассмотрены вынужденные колебания системы двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней. Введем в ранее рассмотренную систему упругий элемент с коэффициентом податливости с, как показано на Рис. 4.

Уравнения равновесия (7), граничные условия и условия сопряжения (23) остаются такими же, как и в предыдущей задаче.

Нетрудно показать, что полученные расчетные формулы в §1-§2 в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения переходят в расчетные формулы в теории Бернулли – Эйлера.

В §3 исследуется эффект динамического демпфирования колебаний. Если вынуждающую частоту колебаний системы сделать равной частоте собственных колебаний исследуемого объекта при закрепленном правом конце кантилевера, тогда колебания правого конца первого стержня будут полностью устранены, а второй стержень будет колебаться (Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., и др.).

Чтобы найти соответствующие частоты необходимо решить уравнение x1 (1) 0. (26) Решение задачи на основе теории Бернулли – Эйлера дает 1 cosh k1 cos k1 sinh k1 sin k1 cosh k1 sin k1 sinh k1 cos k1 1 cosh k1 cos k1 sinh k1 cos k 2 cosh k2 sin k2 sinh k2 cos k2 c 2 3 2 k2 1 cosh k2 cos k2 0.

EJ l Решение этого уравнения дает частоты, при которых амплитуда колебаний правого конца первого стержня обращается в нуль. Структура уравнения такова, что оно распадается на два, первое из которых после преобразований имеет вид cosh k1 sinh k1 cosh k1 sin k1 sinh k1 cos k1 cos k1 sin k1 0, (27) и зависит только от параметров первого стержня, а второе уравнение выглядит так (28) cosh k2 sin k2 sinh k2 cos k2 c 2 3 2 k2 1 cosh k2 cos k2 0, EJ l зависит только от параметров второго стержня и представляет наибольший интерес, так как второй стержень является моделью исследуемого нанообъекта. Уравнения (27) и (28) в точности до обозначений совпадают с уравнениями, полученными в работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов» При этом уравнение (28) в точности совпадает с уравнением, определяющим собственные частоты стержня, имеющего упругое опирание.

Решение задачи на основе теории Тимошенко дает a11 cosh 1 sin 2 1 2 a11 sinh 1 cos 2 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 2 a sinh cos A B cosh cos C sinh sin 1 2 11 1 2 1 2 1 b cosh sin b sinh cos (29) 2 2 2 b b 1 2 2 1 11 1 2 1 2 11 1 2 1 11 2 E2 J c 3 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0.

l2 Как и в классическом случае, уравнение (29) распадается на два уравнения, одно из которых зависит только от параметров первого стержня и не представляет интереса (30) 2 a cosh sin 2 a sinh cos A B cosh cos C sinh sin 2 1 11 1 2 1 2 11 1 2 1 2 1 a11 sinh 1 cos 2 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0, 1 а второе только от параметров второго стержня 12 2 2 2 12 b11 cosh 1 sin 2 1 2 2 b11 sinh 1 cos 12 b11 2 2 b (31) E2 J c 3 A B cosh 1 cos 2 C sinh 1 sin 2 0.

l Именно уравнение (31) определяет «антирезонансные» частоты, при которых происходит динамическое гашение колебаний правого конца кантилевера. Оно в точности совпадает с уравнением, определяющим собственные частоты стержня, имеющего упругое опирание.

Нетрудно показать, что при переходе к теории Бернулли – Эйлера уравнения (30), (31) переходят в (27), (28).

В §4. даны примеры расчета. Найдены антирезонансные частоты, построены формы колебаний для этих частот, исследовано поведение форм колебаний при варьировании задаваемых частот.

Заключение содержит основные результаты, выносимые на защиту:

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические выражения для построения решений, вывода расчетных формул и получения частотных уравнений.

2) В работе построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер – исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко.

3) Дан анализ спектров частот системы при свободных и вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

4) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

5) Полученные решения в диссертации на основе теорий Тимошенко и Бернулли – Эйлера, сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли – Эйлера в работе проф. Ивановой Е.А., проф. Индейцева Д.А., акад. Морозова Н.Ф.

6) Все полученные решения в диссертации иллюстрируются числовыми примерами, результаты которых представлены в таблицах и на графиках.

Приложение состоит их двух параграфов, в которых рассмотрены вспомогательные задачи на основе теорий Бернулли – Эйлера и Тимошенко. В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях консольного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй шарнирно оперт. Во втором параграфе исследована задача о свободных колебаниях консольного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй имеет упругое опирание.

Найдены спектры собственных частот, построены формы свободных колебаний, полученные решения иллюстрируются примером расчета.

Публикации автора по теме диссертации.

Статья в журнале, рекомендованном ВАК:

1. Тулкина А.Н. Определение частот и форм колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко. // «Вестник СПбГУ (Серия 1)», СПбГУ, 2011, март, Вып. №1, с. 144-154.

Другие публикации:

2. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Расчет частот и форм свободных колебаний консольной балки на основе теории С.П. Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2008, с. 39-59.

3. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Исследование и расчет вынужденных колебаний консольных стержней на основе теории С.П. Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2008-2009 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2009, с. 17-34.

4. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Свободные и вынужденные колебания системы консольных стержней на основе теории С.П. Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2009-2010 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2010, с. 147-170.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.