авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Наталья викторовна дискретные динамические системы с соленоидальными базисными множествами

На пpавах pукописи Исаенкова Наталья Викторовна ДИСКРЕТНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СОЛЕНОИДАЛЬНЫМИ БАЗИСНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ Специальность 01.01.02 — диффеpенциальные уpавнения, динамические системы и оптимальное управление Автореферат диссеpтации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук НИЖНИЙ НОВГОРОД, 2011 Работа выполнена на кафедре математического анализа Нижегород ского государственного педагогического университета им. Козьмы Ми нина.

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Жужома Евгений Викторович (г. Нижний Новгород) Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Сатаев Евгений Анатольевич (г. Обнинск Московской обл.) Кандидат физико-математических наук, доцент Ефремова Людмила Сергеевна (г. Нижний Новгород) Ведущая организация:

Математический Институт им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится 16 февраля 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском го сударственном университете по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр.

Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского (603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23) С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского http://www.unn.ru Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета (В.И. Лукьянов) ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Одной из основных задач качественной теории динамических систем является классификация диффеоморфиз мов с точностью до (топологической) сопряженности. При решении за дачи классификации выделяется класс диффеоморфизмов, внутри кото рого сперва решается задача топологической эквивалентности (нахожде ние необходимых и достаточных условий существования гомеоморфизма многообразия, переводящего орбиты одного диффеоморфизма в орби ты другого диффеоморфизма, с наличием коммутативной диаграммы отображений) и задача реализации. При этом один из этапов состоит в описании возможных инвариантных множеств, определяющих динами ку диффеоморфизмов из рассматриваемого класса. Благодаря работам Аносова Д.В.1, Плыкина Р.В.2, Смейла С.3 и др. было установлено, что даже у структурно устойчивых (грубых) диффеоморфизмов могут быть сложно устроенные, с топологической точки зрения, инвариантные мно жества. Одним из первых примеров таких множеств является соленоид.

Соленоиды изучаются в таких разделах математики как тополо гия, теория групп и теория динамических систем. Как инвариантное множество динамической системы соленоид впервые появился в кни ге "Качественная Теория Дифференциальных Уравнений" Немыцкого В.В. и Степанова В.В. В гиперболическую теорию динамических си стем соленоиды были введены Смейлом С., который построил несколько (ставших уже, классическими) примеров структурно устойчивых и устойчивых диффеоморфизмов с притягивающими инвариантными мно жествами (растягивающимися аттракторами). Напомним, что основы ги перболической теории были заложены в работах Аносова Д.В., Синая Я.Г., Смейла С. и др. и восходят к работе Андронова А.А., Понтрягина Л.С. 4 о грубых потоках на плоской области.

Соленоид впервые был введен Виеторисом5 в 1927 году, как пример однородного множества, для которого была не применима стандартная теория гомологий и когомологий. Однородность означает, что локальная структура соленоида одинакова во всех точках соленоида. Известно, что соленоидом называется множество, которое можно представить в виде Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны // Труды Матем. института им. В.А.Стеклова. - 1967. - Т. XC.

Плыкин Р.В. Источники и стоки А - диффеоморфизмов поверхостей // Матем. сб. - 1974. Т. 94, № 2.

Smale S.Dierentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V. 73. - P. 747-817.

Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. А.Н. СССР. - 1937. - Т. 17, № 5.

- С. 247-250.

Vietoris L. Uber den hheren Zusammenhang kompakter Rume und Klasse von o a zusammenhangstreuen Addildungen // Math. Ann. - 1927. - V. 97. - P. 454-472.

пересечения последовательности полноторий B1 B2... Bi..., таких, что для любого i 1 ось полнотория Bi+1 обходит ni 2 раз ось полнотория Bi, не образуя крюков. Нетрудно видеть, что солено ид является множеством канторовского типа (совершенным, нигде не плотным), связным и вполне разрывным континуумом, локально гомео морфным произведению отрезка на канторово множество. Топологиче ская размерность соленоида равна единице. Развитие понятий гомологии и когомологии для таких множеств, как соленоид, привело в дальнейшем к известным понятиям гомологии и когомологии Чеха.

Независимо в 1930 году Ван Данциг6 ввел понятие соленоида, в виде компактной абелевой топологической группы. Наиболее общее теоретико-множественное определение соленоида было дано в 60-х гг.

XXв. Бингом который доказал, что соленоид представляет собой нераз ложимым континуум, не вкладывающийся в поверхность.

Как объект теории динамических систем в 40-х гг. XXв. соленоид по явился в книге В.В.Немыцкого, В.В.Степанова "Качественная теория дифференциальных уравнений". Авторы построили пример потока на полнотории с минимальным локально-несвязным множеством, состоя щим из почти периодических траекторий. Полученное минимальное мно жество являлось соленоидом. Итта Кан7 рассматривал потоки на пол нотории D2 S 1, трансверсальные границе полнотория и всем дискам D2 t, где t S 1. Автор описал все возможные типы минимальных множеств, среди которых был и соленоид.



В современную теорию динамических систем соленоиды ввел Смейл.

Он построил пример диффеоморфизма полнотория в себя вида:

( ) 1 1 1 f (, x1, x2 ) = 2, x1 + cos, x2 + sin.

10 2 10 Смейл доказал, что данный диффеоморфизм имеет притягивающее ин вариантное множество ST f (ST ) f 2 (ST )... = f i (ST ), где ST = S 1 D2, гомеоморфное соленоиду с гиперболической структурой. Пер вым обобщением данного примера была конструкция Р. Вильямса8, ко торый рассматривал обобщенные соленоиды и получил их внутреннюю классификацию. Это означает, что Вильямс получил необходимое и до статочное условие сопряженности ограничений двух диффеоморфизмов van Danzig D. Uber topologisch homogene Kontinua // Fund. Math. - 1930. - V. 14. - P. 102-105.

Ittai Kan. Strange attractors of uniform ows // Trans. of Amer. Math. Soc. - 1986. - V. 293. - P.

135-159.

Williams R.F. One-dimensional non-wandering sets // Topology. - 1967. - V. 6. - P. 473-487.;

Classication of subshifts of nite type // Annals of Math. - 1973. - V. 9. - P. 8120-153.;

Expanding attractors // Publ. Math. I.H.E.S. - 1974. - V. 43. - P. 169-203.

на их одномерные растягивающиеся аттракторы, гомеоморфные солено иду.

Важный класс обобщенных соленоидов составляют одномерные рас тягивающиеся аттракторы на двумерных поверхностях. Внешняя клас сификация таких аттракторов произведена Плыкиным Р.В.9, Гринесом В.З.10 и их учениками. Одномерные растягивающиеся аттракторы на трехмерных многообразиях изучались немецким математиком Боте11.

В частности им изучалось локальное вложение аттрактора в много образие, и рассматривались вопросы продолжения диффеоморфизма с трехмерного полнотория на замкнутые трехмерные многообразия. Ин вариантные соленоидальные множества естественным образом возника ют в бифуркациях многомерных динамических систем с непрерывным временем, связанных с разрушением седлоузловых предельных циклов.

Открытие и изучение подобных бифуркаций было получено в работах Шильникова Л.П., Ильяшенко Ю.С.12 и их учеников.

Цель работы. Цель настоящей работы состоит:

1. Изучить класс диффеоморфизмов с инвариантными соленоидаль ными множествами, который включает в себя классический пример Смейла с соленоидальным растягивающимся аттрактором, и опи сать все возможные типы инвариантных (базисных) множеств.

2. Получить необходимое условие сопряженности ограничений диф феоморфизмов на базовых многообразиях.

3. Построить примеры демонстрирующие разницу между внутренней классификацией и окрестностной классификацией.

Методы исследования. В диссертации используются методы гео метрической теории динамических систем, символической динамики и топологии.





Научная новизна. Основные результаты работы новые, именно:

Плыкин Р.В. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // Успехи мат. наук. - 1980.

- Т. 35, № 3. - С. 94-104.

Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах I (II). Труды ММО. 1975. T. 32, 35-61 (Труды ММО. 1977. Т. 34, 243-252).;

Topological classication of one-dimensional attractors and repellers of A-dieomorphisms of surfaces by means of automorphisms of fundamental groups of supports. J. Math.

Sci. 1999. V. 95, No. 5, 2523-2545.

Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, I. Local triviality, tubular neighdorhoods // Math. Nachr. - 1982. - V. 107. - P. 327-348.;

The ambient structure of expanding attractors, II.

Solenoids in 3-manifolds // Math. Nachr. - 1983. - V. 112. - P. 69-102.

Аpнольд В. И., Афpаймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теоpия бифуpкаций. Итоги науки и техники. Совpеменные пpоблемы математики. Фундаментальные на пpавления. - М.: ВИНИТИ PАН, 1986. - Т. 5. - 5-218 с.

1. Изучен класс диффеоморфизмов с инвариантными соленоидальны ми множествами. Показано, что неблуждающее множество таких диффеоморфизмов, принадлежащее базовому многообразию, содер жит ровно одно нетривиальное базисное множество, которое есть либо одномерный растягивающийся аттрактор, либо нульмерное ба зисное множество. Доказано, что обе возможности реализуются.

2. Получено необходимое условие сопряженности ограничений диф феоморфизмов с инвариантными соленоидальными множествами на базовых многообразиях.

3. Сделана классификация d-накрытий степени d 2 окружности с точностью до сопряженности с помощью сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов. Как следствие получена классификация неособых эндоморфизмов, включая важный класс структурно устойчивых эн доморфизмов.

4. Показано, что из внутренней классификации соленоидальных ба зисных множеств не следует окрестностная классификация.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссер тации результаты могут быть использованы в теоретических исследова ниях, связанных с изучением структуры инвариантных множеств, диф феоморфизмов, солениодов, базисных множеств.

Апробация полученных результатов. Основные результаты были представлены на следующих научных конференциях:

1. Международная конференция "Lamination and Group Actions in Dynamics", МЦНМО Независимый Московский университет, г.

Москва, 19-23 февраля 2007г.

2. Международная конференция "Современные проблемы математи ки, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректо ра МГУ академика В.А.Садовничего, Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г.

3. III всероссийская молодежная научно - инновационная школа "Ма тематика и Математическое Моделирование", г. Саров, Саровский физико - технический институт - филиал Национального исследо вательского ядерного университета "МИФИ", 20-23 апреля 2009 г.

4. IV всероссийская молодежная научно - инновационная школа "Ма тематика и Математическое Моделирование", г. Саров, Саровский физико-технический институт - филиал Национального исследова тельского ядерного университета "МИФИ", г. Саров, 19-22 апреля 2010 г.

5. Международная математическая конференция "Математика и ди намические системы", г. Суздаль, 2–7 июля 2010 г.

6. Международная конференция "Дифференциальные вопросы и смежные вопросы", посвящённая 110-летию со дня рождения И.

Г. Петровского, МГУ им. М.В. Ломоносова и Математический Ин ститут РАН им. В.А. Стеклова, г. Москва, 29 мая - 4 июня г.

7. Международная конференция "Потоки на поверхностях, символи ческая динамика и динамика в пространствах модулей", посвящён ная 75-летию Д. В. Аносова, МЦНМО Независимый Московский университет, г. Москва, 5-9 декабря 2011 г.

По теме диссеpтации были также сделаны доклады на следующих семинарах:

1. Научный семинар отдела дифференциальных уравнений Матема тического института им. В.А. Стеклова РАН (2011 г., руководители академик Д. В. Аносов, проф. А.И.Буфетов).

2. Научный семинар кафедры численного и функционального анализа факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2009 г., 2011 г., руководитель проф. В. З.

Гринес).

3. Научный семинар отдела дифференциальных уравнений НИИ при кладной математики и кибернетики при Нижегородском государ ственном университете (2009 г., руководитель проф. Л. П. Шильни ков).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы 116 страниц, количество рисунков 27, наименований литературы - 71. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1 - 6.

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано работ, из них 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК (см. список публи каций ниже). Все основные pезультаты диссеpтации являются новыми и пpинадлежат автоpу. В работах, выполненных совместно, автору дис сертации принадлежат доказательства всех основных результатов, Е. В.

Жужоме принадлежит постановка задачи и общее руководство.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Во введении приводится обоснование работы, ее актуальность, на учная новизна и практическая ценность, представлена структура дис сертации и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации подробно изучаются диффеоморфиз мы, являющиеся обобщением конструкции Смейла и получившие в даль нейшем название диффеоморфизмов класса SV 13.

Диффеоморфизм f : M n M n, удовлетворяющий аксиоме А Смей ла, замкнутого n-многообразия M n принадлежит классу SV, если суще ствует вложенное в M n базовое многообразие B n = S 1 Dn1 такое, что def ограничение f |Bn = F является диффеоморфизмом F : B n F (B n ) B n на свой образ, который удовлетворяет следующим условиям:

• F имеет вид t S 1, z Dn1, (1) F (t, z) = (g(t), w(t, z)), где g : S 1 S 1 – неособый C 1 эндоморфизм степени d 2;

• при фиксированном t S 1 преобразование w|{t}Dn1 : {t}Dn B n является равномерно сжимающим C 1 вложением ( ) {t} Dn1 int {g(t)} Dn1 (2) т.е. существуют константы 0 1, C 0 такие, что diam (F k ({t} Dn1 )) Ck diam ({t} Dn1 ), k N. (3) def Рассмотрим F SV, тогда пересечение k0 F k (B n ) = Sol (F ) явля ется соленоидом.

Главным результатом этой главы является изучение динамики диф феоморфизмов SV, сосредоточенной на базовом многообразии. Описа ние неблуждающего множества и возможных базисных множеств пред ставлено в следующей теореме:

Теорема 1 Пусть f : M n M n – диффеоморфизм из класса SV за мкнутого n-многообразия M n. Тогда 1. Ограничение f |Sol сопряжено обратному пределу отображения (F ) g.

2. Неблуждающее множество содержит ровно одно нетривиальное базисное множество (F ), которое есть либо Аббревиатура SV составлена из первых букв фамилий Smale, Vietoris • одномерный растягивающийся аттрактор, и тогда (F ) = Sol (F ), либо • нульмерное базисное множество, и тогда N W (F ) состоит из (F ), конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точек и конечного (возможно, нулевого) числа седловых изо лированных периодических точек.

Обе возможности реализуются.

Очень важной для решения задачи, посвященной построению обрат ного предела отображения g, является лемма, где строится символиче ская модель ограничения отображения F на соленоид Sol (F ).

Лемма 1 Каждой точке p Sol (F ) соответствует единственная последовательность точек {ti }, ti S 1, и соответствующая после довательность замкнутых n–мерных дисков Di = F i ({ti } Dn1 ) та ких, что • p · · · Di · · · D0, p = i0 Di ;

• ti = g(ti+1 ), i 0.

Обозначим iZ+ Si1 прямое произведение счетного семейства окруж ностей Si1 = S 1, наделенное тихоновской топологией, где Z+ = N {0} множество целых неотрицательных чисел. Точками множества iN Si последовательности {ti }, где ti Si1.

являются Пусть g подмножество множества iZ+ Si1, состоящее из последо- вательностей {ti }, где ti = g(ti+1 ) при всех i 0. Топология на g индуцируется топологией на iZ+ Si1. Определим на g отображение g : g g, положив g ({t0,..., ti,...}) = {g(t0 ), t0,..., ti...}.

Пространство g с отображением g называется обратным пределом пре образования g. Рассмотрим отображение : Sol (F ) g, действующее по правилу (p) = {t0, t1,..., ti,...}.

Лемма 2 Отображение является гомеоморфизмом таким, что F |Sol (F ) = g.

Для того чтобы понять как устроено неблуждающее множество диф феоморфизмов SV необходимо рассмотреть неблуждающее множество отображения g, являющегося обратным пределом неособого эндоморфиз ма окружности g. Поэтому особое внимание уделяется изучению неблуж дающего множества таких эндоморфизмов.

Пусть g : S 1 S 1 – неособый эндоморфизм степени d 2. Рас смотрим непрерывное и сохраняющее ориентацию отображение h : S h(S 1 ) = S 1. Из результата Шуба следует равенство h g = Ed h, где Ed : S 1 S 1 – линейный растягивающий эндоморфизм степени d 2.

Обозначим через подмножество таких x S 1, что h1 (h(x)) – одна точка. Множество S 1 \ представляет собой объединение попарно непе ресекающихся замкнутых интервалов. S 1 \ = [ai, bi ], причем мож i= но считать, что h1 (h[ai, bi ]) = [ai, bi ] для всех i N, и [ai, bi ][aj, bj ] =, при i = j. Интервалы [ai, bi ] называются смежными. Соответствующие открытые интервалы (ai, bi ) - открытыми смежными. Смежный интер вал [a, b] называется периодическим, если g k ([a, b]) = [a, b] для некоторо го k N, концевые точки периодического смежного интервала являются периодическими точками.

Обозначим через g объединение со всеми концевыми точками ai, bi смежных интервалов множества S 1 \, g = i1 ({ai } {bi }).

Если g – транзитивный эндоморфизм, то N W (g) = S 1. Когда g – нетранзитивный, то N W (g) = S 1. Следующая лемма описывает неблуж дающее множество таких эндоморфизмов.

Лемма 3 Пусть g : S 1 S 1 – неособый и нетранзитивный эндомор физм степени d 2. Тогда его неблуждающее множество N W (g) есть объединение g со всеми периодическими точками из открытых смеж ных интервалов.

Доказательство второй части теоремы, где изучается неблуждаю щее множество диффеоморфизмов класса SV, принадлежащее базовому многообразию, основывается на нижеследующих леммах.

Лемма 4 Имеет место включение N W (F ) Sol (F ) p1 [N W (g)], где p1 : S 1 Dn1 S 1 – естественная проекция.

Лемма 5 Пусть F (t, z) = (g(t), w(t, z)) удовлетворяет условиям (1) (3). Тогда 1. p1 (g ) Sol (F ) N W (F ).

2. Если эндоморфизм g нетранзитивный и [a;

b] – периодический смежный интервал минимального периода l 1, то • для любой периодической точки t0 (a;

b) пересечение Dt0 n N W (F ) состоит из одной периодической точки (t0, z0 ) ми нимального периода l;

при этом, если t0 – изолированная в N W (g), то точка (t0, z0 ) изолированная в N W (F ), а если t – не изолированная в N W (g), то (t0, z0 ) не изолированная в N W (F );

• пересечение (int Dab ) N W (F ) состоит из периодических n точек периода l.

Лемма 6 Пусть F (t, z) = (g(t), w(t, z)) удовлетворяет условиям (1) (3), и эндоморфизм g нетранзитивный. Тогда пересечение (int Dab ) n N W (F ) для любого периодического смежного интервала [a, b] состо ит из конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точек и конечного (возможно, нулевого) числа седловых изолированных перио дических точек.

Также в этой главе рассматриваются топологические свойства несу щих многообразий. Следующая теорема описывает топологическую структуру 3 - многообразий, допускающих SV диффеоморфизмы. В этом случае базовое многообразие B 3 = S 1 D2, в силу конструкции, будем называть базовым полноторием.

Теорема 2 Пусть f : M 3 M 3 – диффеоморфизм из класса SV за мкнутого 3-многообразия M 3. Тогда M 3 можно представить в виде связной суммы M 3 = Lp,q #M1 линзы Lp,q, p 1, и некоторого 3 многообразия M1. Более того, существует 3-шар B Lp,q такой, что Lp,q \ B M 3 и базовый полноторий принадлежит Lp,q \ B. На любой линзе Lp,q, p 1, существует диффеоморфизм f : Lp,q Lp,q из класса SV.

Как будет показано ниже, из внутренней классификации соленои дальных базисных множеств не следует окрестностная классификация.

Если рассматривать эту задачу в обратном порядке, то смысл стано вится более понятным, то есть из окрестностной классификации внут ренняя классификация следует. Вильямсом получена только внутренняя классификация ограничений диффеоморфизмов на их растягивающие ся аттракторы, окрестностная классификация соленоидальных базисных множеств, заданных на многообразиях размерности не менее трех, до на стоящего времени изучена не полностью.

Во второй главе диссертации для диффеоморфизмов SV, являю щихся обобщением конструкции Смейла, получено необходимое условие сопряженности ограничений диффеоморфизмов класса SV на базовых многообразиях, что является частичным решение задачи классификации диффеоморфизмов, задача реализации здесь не рассматривается. Одним из необходимых условий сопряженности SV-диффеоморфизмов выступа ет сопряженность соответствующих неособых эндоморфизмов окружно сти.

Важным результатом в этой главе является классификация d накрытий окружности степени d 2 с точностью до сопряженности с помощью сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов.

d-накрытия окружности S 1 - сюрьективные локальные гомеомор физмы S 1 S 1 степени |d| 2. Эти отображения образуют более широкий класс эндоморфизмов. Показано, что полным классификаци онным инвариантом с точностью до d-эквивалентности является наде ленное схемой инвариантное счетное множество (отмеченное множество) линейного растягивающего эндоморфизма степени d. Как следствие, бы ла получена классификация неособых эндоморфизмов, включая важный класс структурно устойчивых эндоморфизмов.

Обозначим через j жесткий поворот окружности вида x x + d1 (mod 1), где j {0, 1,..., d 1}. Рассмотрим два отмеченных мно j жества gi = {x S 1 : h1 (x) нетривиальный интервал}, i = 1, i d-накрытий g1 и g2 соответственно. Будем говорить, что g1 и g2 d эквивалентны, пишется g1 d g2, если j (g1 ) = g2 для некоторого def j. Поставим в соответствие точке x множество P er (g|h1 (x) ) = Px пе риодических точек d-накрытия g, принадлежащих h1 (x). Совокупность множеств Px, где x g P er (Ed ) пробегает все периодические отме ченные точки и называется схемой d-накрытия g.

Предположим, что отмеченные множества d-накрытий g1, g2 d эквивалентны, то есть j (g1 ) = g2 для некоторого j. Схемы d накрытий g1, g2 изоморфны, если для каждой периодической отмечен ной точки x 1 существует сохраняющий ориентацию гомеомор физм µx : h1 (x) h1 (j (x)), переводящий Px в Pj (x) и сохраня 1 ющий тип монотонности на интервалах, дополнительных к Px. Сохра нение типа монотонности на интервалах (, ) и (µx (), µx ()) озна чает, что [g1 (x1 ) x1 ][g2 (x2 ) x2 ] 0 для любых точек x1 (, ), x2 (µx (), µx ()). При этом интервал (, ) h1 (x)\P er (g1 ) яв ляется периодическим интервалом d-накрытия g, не содержащим пе риодические точки g и, P er (g1 ), а интервал (µx (), µx ()) h1 (j (x))\P er (g2 ), где µx (), µx () P er (g2 ).

Сформулируем теорему, где получена классификация d-накрытий окружности степени d 2 с точностью до сопряженности и показа но, что отмеченное множество d-накрытия определяется с точностью до поворота j.

Теорема 3 Пусть g1, g2 : S 1 S 1 – d-накрытия окружности степени d 2, не сопряженные Ed. Тогда g1 сопряжено с g2 тогда и только тогда, когда их отмеченные множества d-эквивалентны (g1 d g2 ), а их схемы изоморфны.

Следующее следствие применяется для классификации нульмерных соленоидальных базисных множеств.

Следствие 1 Пусть g1, g2 : S 1 S 1 – d-накрытия, d 2, не сопря женные Ed. Предположим, что внутри периодических смежных ин тервалов этих эндоморфизмов нет периодических точек. Тогда g1 со пряжено с g2 тогда и только тогда, когда их отмеченные множества d-эквивалентны, g1 d g2.

Следствие 2 Пусть g1, g2 : S 1 S 1 – неособые структурно устойчи вые C 1 эндоморфизмы окружности степени d 2, не сопряженные Ed.

Предположим, что внутри периодических смежных интервалов этих эндоморфизмов лежит одинаковое число периодических точек. Тогда g сопряжено с g2 тогда и только тогда, когда отмеченные множества этих эндоморфизмов d-эквивалентны, g1 d g2.

Возьмем два диффеоморфизма F1 : B1 B1 и F2 : B2 B2, при n n n n надлежащих классу SV таких, что F1 (t, z) = (g1 (t), w1 (t, z)), и F2 (t, z) = (g2 (t), w2 (t, z)), t S 1, z Dn1. В нижеследующей теореме получе но необходимое условие существования гомеоморфизма, сопрягающего диффеоморфизмы F1 и F2 класса SV на базовых многообразиях B1 и n B2. Она является важным этапом для решении задачи классификации n SV -диффеоморфизмов.

Теорема 4 Если SV -диффеоморфизмы F1 и F2 сопряжены на базовых многообразиях B1 и B2, тогда существует гомеоморфизм n n : B1 \ intF1 (B1 ) B2 \ intF2 (B2 ) n n n n такой, что выполняются следующие условия:

• имеет вид:

t S 1, z Dn1, (t, z) = ((t), w (t, z)), • : S 1 S 1 сопрягает эндоморфизмы g1 и g2, т.е. выполняются равенство g2 = g Третья глава посвящена изучению внутренней и окрестностной классификации одномерных растягивающихся аттракторов. Итак, пусть f, g инвариантные множества преобразований f : M M, g : N N соответственно. Ограничения f |f, g|g называются внутренне сопря женными, если существует гомеоморфизм : f g, такой, что f |f = g |f. Если можно продолжить до гомеоморфизма : M N или : U (f ) U (g ), где U (f ), U (g ) некото рые окрестности множеств f, g соответственно, сохранив соотношение f |f = g |f, то f |f, g|g называются окрестностно сопряжен ными. Из окрестностной сопряженности следует внутренняя сопряжен ность. Вильямс в своих работах получил внутреннюю классификацию ограничений диффеоморфизмов на их растягивающиеся аттракторы.

В свою очередь, внутренняя классификация не всегда влечет окрест ностную, так, например, Робинсоном и Вильямсом были построены два диффеоморфизма f : M f (M ) M, g : N g(N ) N пятимерных компактных многообразий M, N в себя с двумерными растягивающими ся аттракторами f, g такими, что f |f, g|g внутренне сопряжены, но окрестностно не сопряжены. Что касается других размерностей, то этот вопрос до настоящего времени оставался открытым.

Главным результатом третьей главы является теорема:

Теорема 5 Существуют четырехмерные компактные многообразия M, N и диффеоморфизмы f : M f (M ) M, g : N g(N ) N с од номерными растягивающими аттракторами f, g соответственно такие, что ограничения f |f, g|g внутренне сопряжены, но окрест ностно не сопряжены.

Для доказательства этого факта сперва строится общая конструк ция диффеоморфизма F с одномерным растягивающимся аттрактором Sol(F ), а затем приводятся примеры диффеоморфизмов f, g в рамках этой конструкции.

Пусть M n = M - компактное гладкое n-многообразие с непустым кра ем, наделенное римановой структурой. Рассмотрим гомотопную тожде ственному периодическую изометрию R : M M такую, что Rk id, k 2, i 1.

DRi = id, Пусть e : M e(M ) M - гладкое вложение M в себя, являющееся равномерно сжимающим отображением e(M ) int M, т.е. существует 0 1 такое, что diam (en (M )) n · diam (M ) и множества e(M ), R (e(M )),..., Rk1 (e(M )) попарно не пересекаются.

Определим отображение fi : [ k ;

i+1 ]M [0;

1]M, i {0,..., k1}, i k положив [ ] ( ) i i+ fi (t, z) = kt i, Ri e(z), t, z M.

, kk Рассмотрим M1 – фактор-многообразие, получаемое из прямого произ ведения [0;

1] M отождествлением точек (1, z), (0, R(z)), M1 = [0;

1] M/ ((1, z) (0, R(z))), z M.

Тогда получаем ( ) i+, z = (1, Ri e(z)), fi k ( ) i+, z = (0, Ri+1 e(z)) (1, Ri e(z)).

fi+ k Совокупность отображений f0,..., fk1 порождает отображение F :

M1 M1, которое является гомеоморфизмом на свой образ, M F (M1 ) M1. Так как R гомотопно тождественному, то M1 гомеоморфно прямому произведению S 1 M.

Поскольку DRi e(z) = DR(Ri1 e(z))·...·DR e(z)·De(z) = De(z), получаем Dfi (t, z) = Dfi+1 (t, z) = (k, De(z)). Таким образом, F явля ется диффеоморфизмом на свой образ, и дифференциал DF сохраняет естественное разложение T (M1 ) = T (S 1 M ) = T (S 1 ) T (M ).

Так как включение F (M1 ) M1 собственное, отображение M F (M1 ) является диффеоморфизмом на свой образ, то получаем цепочку последовательно вложенных множеств j · · · Nj+1 Nj · · · N1 M1, где Nj = F i (M1 ).

i= def Рассмотрим множество Sol(F ) = i0 F i (M1 ), локальная структура которого описана следующей леммой:

def Лемма 7 Пересечение Mt Sol(F ) = Ct, где Mt = {t} M, есть мно жество канторовского типа для любого фиксированного t S 1. Более того, Sol(F ) локально гомеоморфно прямому произведению Ct на R.

Ограничение диффеоморфизма F на множестве Sol(F ) сопряжено специальному сдвигу на обратном пределе линейного растягивающего отображения окружности. Для доказательства этого факта строится символическая модель ограничения F |Sol(F ).

Завершающим в построении искомого диффеоморфизма с одномер ным растягивающим аттрактором является доказательство следующей теоремы.

Теорема 6 Пусть отображение F : S 1 M S 1 M определяет ся преобразованиями e, R, f1,..., fk. Тогда множество Sol (F ) яв ляется одномерным растягивающимся аттрактором отображения F, локально гомеоморфным прямому произведению множества канторов ского типа на R.

В основе построения первого примера f : S 1 D3 f (S 1 D3 ) S 1 D3 лежит диффеоморфизм Смейла с одномерным растягивающимся аттрактором f, который локально гомеоморфен прямому произведению стандартного канторовского множества K в D3 на R. Любая простая замкнутая кривая, принадлежащая множеству D3 K, стягивается в точку в множестве D3 K.

Для второго примера используется конструкция Антуана. В результа те построенный диффеоморфизм g имеет одномерный растягивающийся аттрактор g, который локально гомеоморфен прямому произведению R на ожерелье Антуана C. Известно, что C является вполне разрывным множеством канторовского типа таким, что фундаментальная группа 1 (R3 C) = 0.

Далее доказывается, что ограничения диффеоморфизмов f и g на их одномерные растягивающие аттракторы f и g соответственно внут ренне сопряжены, но окрестностно не сопряжены.

Замечание Для размерности n = 3 данный результат следует из работы Боте, в которой рассматривается окрестностная классификация так называе мых чистых соленоидов Смейла и приводятся примеры окрестностно не сопряженных диффеоморфизмов.

Замечание Для размерности n 5 применяется обобщение конструкции Антуа на. Повторяя метод Антуана, строится нульмерное компактное множе ство (ожерелье Антуана-Бланкеншипа).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ Из списка периодических изданий, рекомендованных ВАК:

1. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов // Математические заметки. - Отде ление математических наук РАН. - 2009. - Т. 86, №3.

2. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О нульмерных соленоидальных базисных множествах // Математический сборник. - Российская академия наук. - 2011. - Т. 202, №1.

Публикации в прочих изданиях:

1. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов // Тезисы докладов международ ной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. - г. Москва, Московский Государственный Уни верситет им. М.В.Ломоносов. - 30 марта-2 апреля 2009 года.

2. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О соленоидальных базисных множествах // Тезисы докладов III всероссийской молодежной на учно - инновационной школы "Математика и Математическое Мо делирование". - г. Саров, Саровский физико-технический институт филиал Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". - 20-23 апреля 2009 года.

3. Исаенкова Н.В. О соленоидальных базисных множествах // Те зисы докладов XIV Нижегородской сессии молодых ученых. Мате матические науки. - 2009.

4. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. Динамика диффеоморфизмов класса SV, сосредоточенная в базовых полноториях // Тезисы до кладов IV всероссийской молодежной научно - инновационной шко лы "Математика и Математическое Моделирование". - г. Саров, Са ровский физико-технический институт - филиал Национального ис следовательского ядерного университета "МИФИ". - 19-22 апреля 2010 года. - С.17-18.

5. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. Динамика диффеоморфизмов класса SV, сосредоточенная в базовых полноториях // Труды Сред неволжского математического общества. - 2010. - Т. 12.

6. Исаенкова Н.В. Соленоидальные базисные множества // Тезисы докладов на международную математическую конференцию "Ма тематика и динамические системы". - г. Суздаль. - 2–7 июля года. - С. 92.

7. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации накрытий окружности // Тезисы докладов на международную конференцию "Дифференциальные вопросы и смежные вопросы", посвящённую 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского. - МГУ им. М.В. Ло моносова и Математический Институт РАН им. В.А. Стеклова. - г.

Москва. - 29 мая - 4 июня 2011 г.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.