авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Безопасные зоны областей управляемости аффинно-управляемых динамических систем второго порядка

На правах рукописи

Стародубровская Наталья Сергеевна БЕЗОПАСНЫЕ ЗОНЫ ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ АФФИННО-УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 2012

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Бутенина Наталия Николаевна.

Официальные оппоненты:

Ризниченко Галина Юрьевна, доктор физико-математических наук, профессор, МГУ им. М. В. Ломоносова, профессор.

Савельев Владимир Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ННГУ им. Н. И. Лобачевского, доцент.

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Защита состоится “.......”.............. 2012 г. в.......... часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, электронный адрес: http:// www.unn.ru.

Автореферат разослан “.......”.............. 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166. кандидат физ.-мат. наук, доцент В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Данная работа посвящена изучению областей управляемости и зон иммунитета (максимальных безопасных зон областей управляемости) нелинейных управляемых динамических систем (УДС) второго порядка с аффинным управлением. (Безопасной зоной области управляемости будем называть подмножество этой области, граница которого допустимыми траекториями пересекается только вовнутрь). Исследование зон иммунитета тесно связано с исследованием областей управляемости и достижимости и является необходимым элементом решения задач реализации тех либо иных стационарных режимов работы УДС.

Проблема изучения множеств управляемости и достижимости – одна из основных в теории управляемых динамических систем.

К настоящему времени достаточно полно разработана теория управляемости линейных систем. Р. Калманом введено понятие управляемости и получены критерии управляемости линейных систем с неограниченным управлением. Вопросы управляемости и достижимости линейных систем при наличии ограничений на управление рассматривались Н. Н. Красовским, Р. Габасовым и Ф. М. Кирилловой, А. М. Формальским, И. В. Гайшуном, Ю. М. Семеновым, А. И. Овсеевичем и Т. Ю. Фигуриной, С. Ф. Николаевым и Е. Л. Тонковым и другими.

Большое число работ посвящено изучению билинейных управляемых динамических систем. Указанные системы исследовались К. Лобри, С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным, Н. Л. Лепе, А. Филипп, Ю. Л. Сачковым, Л. Т. Ащепковым и С. В. Лифантовой, Е. Н. Хайловым и другими авторами.

В работах по управляемости нелинейных систем отражено разнообразие как решаемых задач, так и применяемых методов. Вопросы локальной управляемости нелинейных систем рассматривались С. А. Вахрамеевым и А. В. Сарычевым, В. И. Коробовым, Н. Н. Петровым, Г. В. Смирновым, Ю. В. Мастерковым, О. В. Зудашкиной, М. В. Юхановой и другими.

Одной из основных задач теории управляемых динамических систем является получение достаточных условий и критериев управляемости. Данные вопросы изучались в работах В. Н. Семенова, С. Гершвина и Д. Якобсона, Л. Ханта, С. В. Емельянова, С. К. Коровина и С. В. Никитина, Е. С. Пятницкого, О. Р. Каюмова, А. М. Ковалева, Ю. В. Мастеркова, А. П. Крищенко и других. В этих работах, в частности, доказаны критерии управляемости нелинейных систем с фазовыми ограничениями как при отсутствии, так и при наличии ограничений на управление, установлены достаточные условия полной и параметрической управляемости механических систем.

При невыполнении критериев управляемости возникает вопрос о построении (точном или приближенном) множеств управляемости и достижимости. Указанные множества аппроксимируют при помощи эллипсоидов и многогранников, оценивают с помощью функций Беллмана, Ляпунова, локально липшицевых оценочных функций, теоремы о накрытии нелинейным отображением и т.д. Оценки множеств управляемости и достижимости получены Дж. Лейтманом, В. А. Комаровым, Ф. Л. Черноусько, А. И. Овсеевичем, М. С. Никольским, М. М. Хрусталевым, В. Грантхамом, А. Плоховым и П. Бургмайером, А. И. Панасюком, Л. Т. Ащепковым и Д. В. Долгим, Е. К. Костоусовой, Д. Я. Рокитянским и многими другими авторами.

Кроме общетеоретических, имеется большое число работ, в которых исследуются частные виды управляемых динамических систем. Вопросы управляемости и достижимости таких систем рассматривались И. С. Максимовой и В. Н. Розовой, А. П. Крищенко и А. Н. Назаренко, В. И. Коробовым и С. С. Павличковым, Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой, И. В. Рублевым, Ю. Н. Корниловым и Ю. П. Петровым и другими. Исследование конкретных УДС, в частности, управляемых уравнений Ван-дер-Поля и Льенара, проведено в работах М. М. Байтмана, П. В. Плисса, Р. Конти, Л. Барбанти, Г. Виллари, И. М. Ананьевского, Ф. Л. Черноусько, Ю. И. Бердышева и других.



Одной из важнейших задач теории управляемых динамических систем является изучение зависимости множества управляемости от параметра. Данная задача в различных постановках рассматривалась в работах многих авторов. Так, Н. К. Алексеевым, Н. Н. Петровым, Д. А. Степановой и другими исследована зависимость множеств управляемости как линейных, так и нелинейных систем от ограничений на управление, П. В. Плиссом, Р. М. Бианчини – от параметров рассматриваемых систем.

Среди разнообразных методов, используемых при изучении свойств управляемости и достижимости, следует выделить методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Указанные методы применялись в работах Д. Бюшау, Э. Роксина и В. Спинадела, Э. Б. Ли и Л. Маркуса, М. М. Байтмана, А. Г. Бутковского, В. П. Савельева, З. Г. Павлючонок, Н. Н. Бутениной и других. В этих работах, в частности, исследованы составляющие элементы фазового портрета УДС, обоснован метод построения границ областей управляемости и достижимости простейшей нелинейной управляемой динамической системы второго порядка с ограниченным скалярным управлением. Также для двумерных нелинейных УДС общего вида с аффинным управлением изучена структура границы области управляемости, введено понятие зоны иммунитета фиксированного состояния, указаны достаточные условия существования и описана структура границы таких зон, исследована зависимость этих зон от ограничений на управление.





Отметим, что исследование вопросов управляемости и достижимости проводится как на ограниченных, так и на неограниченных промежутках времени. Данные вопросы на ограниченных интервалах времени рассматривались Н. Н. Красовским, А. П. Крищенко, Дж. Лейтманом, М. С. Никольским, Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой, И. В. Рублевым, Ю. И. Бердышевым и другими, а на неограниченных – Р. Калманом, А. М. Формальским, С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным, В. И. Коробовым, Е. С. Пятницким, Ф. Л. Черноусько, Н. К. Алексеевым, П. В. Плиссом, Э. Б. Ли и Л. Маркусом, М. М. Байтманом, А. Г. Бутковским и многими другими авторами.

Цель работы состоит в 1) разработке приемов качественного исследования управляемых динамических систем второго порядка с векторным управлением;

2) изучении вопроса о возможности управления объектом в многоцелевом режиме;

3) исследовании зависимости от ограничений на управление области управляемости в окрестность устойчивого неподвижного фокуса и зоны иммунитета этого состояния.

Методы исследования. При решении поставленных в диссертации задач использованы методы теории функций действительного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, качественной теории двумерных автономных динамических систем, теории бифуркаций указанных систем, а также методы качественного исследования аффинно-управляемых динамических систем на плоскости.

Результаты работы и научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана методика качественного исследования управляемых динамических систем второго порядка с векторным управлением.

2. В предположении, что автономная система, принадлежащая семейству двумерных аффинно-управляемых динамических систем, имеет несколько устойчивых предельных множеств, установлено необходимое и достаточное условие, при котором возможно управление объектом в каждое из указанных предельных множеств, а также перевод из одного предельного множества в другое.

3. Для нелинейной аффинно-управляемой динамической системы второго порядка со скалярным управлением, в которой автономные системы, отвечающие постоянным значениям управляющего воздействия, имеют устойчивый неподвижный фокус, доказано существование ограничений на управление, при которых значения управляющей функции в пространстве параметров принадлежат области устойчивости рассматриваемого фокуса, но область управляемости в окрестность этого состояния равновесия не содержит безопасных зон.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы как в теории управляемых динамических систем, так и при исследовании конкретных УДС.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

VI Международной конференции “Математика. Компьютер. Образование” • (Пущино, 1999);

V и VI Международных конференциях “Нелинейные колебания • механических систем” (Н. Новгород, 1999), (Н. Новгород, 2002);

конференции “Математика и кибернетика 2002” (Н. Новгород, 2002);

• VII Международном семинаре “Устойчивость и колебания нелинейных • систем управления” (Москва, 2002);

Воронежских весенних математических школах “Понтрягинские чтения – • – XIV” (Воронеж, 2003), “Понтрягинские чтения – XX” (Воронеж, 2009);

Международной конференции “Dynamics, Bifurcations and Chaos” • (Н. Новгород, 2005);

Международной конференции “Современные проблемы математики, • механики и их приложений”, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 2009).

По теме диссертации были также сделаны доклады на семинарах кафедры ЧиФА факультета ВМК ННГУ (рук. проф. С. Н. Слугин, 2004;

рук. проф. Д. В. Баландин, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций материалов диссертаций.

В работах, выполненных совместно с научным руководителем Н. Н. Бутениной, диссертантом проведены доказательства всех утверждений, исследованы конкретные УДС. Н. Н. Бутениной принадлежат постановки задач исследования и общее научное руководство.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 105 страниц, из них 74 страницы основного текста, 17 страниц рисунков и 14 страниц библиографического списка. Нумерация формул, лемм и теорем ведется по главам, при этом номер каждой формулы, леммы и теоремы состоит из двух частей, первая из которых означает номер главы, вторая – – порядковый номер внутри главы. Для удобства чтения рисунки расположены в соответствии с текстом.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы основные результаты, кратко описан круг вопросов, рассмотренных в работе.

В первой главе диссертации приведены некоторые сведения из теории управляемых динамических систем второго порядка с гладкими по фазовым переменным правыми частями и со скалярным и векторным управлениями.

Во второй главе диссертации исследована управляемая динамическая система второго порядка с непрерывной, кусочно-гладкой по фазовым переменным правой частью, фазовыми ограничениями и векторным управлением. Указанная система при некоторых конкретных управляющих функциях является простейшей математической моделью сахарного диабета. Рассматриваемая УДС имеет вид dx / dt = a1 x y + a 2 ( x0 x) H ( x0 x) + z (t ) (1) dy / dt = b1 ( x x0 ) H ( x x0 ) b2 y + w(t ).

Здесь ( x, y ), = {( x, y ) : 0 x x max, 0 y y max } ;

z (t ), w(t ) – внешние источники сахара и инсулина, u (t ) = ( z (t ), w(t )) – допустимое управление, u (t ) V, V = [ z1, z 2 ] [ w1, w2 ], где z1 = w1 = 0. Точка O( x0, 0) – устойчивое состояние равновесия системы (1) при u (t ) ( z1, w1 ) ( z1 w1 - системы). В дальнейшем z 2 и w2 считаем параметрами УДС (1).

Система (1) исследована как при отсутствии, так и при наличии внешнего источника инсулина. Для рассматриваемой УДС изучена зависимость множества управляемости в полуокрестность состояния O и зоны иммунитета этого состояния от ограничений на управление и параметра b1, b1 (b2 y max w2 ) /( x max x0 ). Показано, что при увеличении z 2 или w2 либо уменьшении b1 зона иммунитета I (O) сжимается. Найдены критические значения 1) ограничений на управление и 2) параметра b1, при переходе через которые указанная зона исчезает скачком. Этот результат может быть использован в доказательной медицине. Математически доказано, что максимальное безопасное количество введенного натощак сахара определяется индивидуально.

Отметим, что в УДС (1) существуют особые траектория и полутраектория сшитых систем одностороннего пересечения, отличные от тех, которые возможны в управляемых динамических системах с гладкими по фазовым переменным правыми частями. Такими z1 w1 O являются сшитое состояние равновесия системы и положительная полутраектория сшитой системы положительного пересечения, выходящая при t ( x, y, w1 ) = b2 y O возрастании из угловой точки контактной кривой b1 ( x x0 ) H ( x x0 ) w1 = 0.

Третья глава диссертации посвящена изучению вопроса о возможности управления объектом в многоцелевом режиме, а также решению этого вопроса для конкретной УДС.

Рассматривается управляемая динамическая система вида n dx / dt = P0 ( x) + u i (t ) Pi ( x), (2) i = где x G R 2 ( G – область), Pi ( x) = ( Pi (1) ( x), Pi ( 2 ) ( x)), i = 0, n, – вектор-функция класса C k (k 3), u (t ) = (u1 (t ),, u n (t )) u (t ) V, – допустимое управление, V = {( u1 (t ),, u n (t )) : u i(1) u i (t ) u i( 2 ), i = 1, n }.

Предположим, что ограничения на управление таковы, что автономная динамическая система, отвечающая некоторому постоянному значению управляющего u 0 const, u 0 V \ V0, где V0 = {( u1 (t ),, u n (t )) : u i (t ) = u i( ki ), воздействия u (t ) = u 0, k i = 1 2, i = 1, n }, структурно-устойчива и имеет r устойчивых предельных множеств 1,, r (r 2). Каждое из указанных предельных множеств соответствует определенному режиму работы УДС (2). Пусть целью управления является обеспечение работы системы (2) (объекта) в каждом из таких режимов, а также переход из одного режима в другой (многоцелевой режим управления). Множество управляемости в произвольную точку множества i обозначим символом U ( i ), i = 1, r.

Теорема 3.1. Управление объектом в многоцелевом режиме возможно тогда и только тогда, когда в системе (2) имеет место равенство U ( i ) = U 0 ( i = 1, r ).

Рассмотрен следующий пример управляемой динамической системы:

d / dt = 2 ( (t ) µ (t ) sin ) (3) d / dt = cos.

Здесь u (t ) = ( (t ), µ (t )) – допустимое управление, u (t ) V, V = [1, 2 ] [ µ1, µ 2 ], где 1 0, µ1 0. Система (3) при постоянных значениях управляющего воздействия описывает движение самолета в вертикальной плоскости. В дальнейшем 1, 2, µ1 и µ считаем параметрами УДС (3).

При определенных ограничениях на управление автономная динамическая система с цилиндрическим фазовым пространством, отвечающая постоянному значению управляющего воздействия u (t ) = ( 2, µ1 ), имеет два устойчивых предельных множества, одно из которых (состояние равновесия O ) соответствует равномерному прямолинейному движению, а другое (предельный цикл L, охватывающий цилиндр) – последовательности “мертвых петель”. Согласно теореме 3.1, управление движением самолета в двухцелевом режиме возможно в том и только в том случае, когда в системе (3) множества управляемости U (O) и U (L) совпадают, т.е. зоны иммунитета предельных множеств O и L пусты.

Для решения поставленной задачи исследована зависимость зоны иммунитета I (O) от ограничений на управление. При фиксированных 1, 2 и µ 2 найдено критическое значение µ1*, сколь угодно малое уменьшение которого приводит к скачкообразному исчезновению I (O). При µ1* µ1 µ1*, 0, зона иммунитета I (L) также пуста и, следовательно, при указанных ограничениях на управление возможно движение самолета в режимах равномерного прямолинейного движения и “мертвых петель”. Приведен пример управления, осуществляющего одно из таких движений.

В четвертой главе диссертации рассмотрено неподвижное состояние равновесия типа устойчивый фокус, расположенное в узловой особой точке контактной кривой, и исследована зависимость зоны иммунитета этого состояния от ограничений на управление.

Задана управляемая динамическая система вида dx / dt = P( x) + u (t ) Q( x), (4) где x R 2, P ( x), Q( x) – вектор-функции класса C k (k 5), u (t ) {R 1 R 1 } – допустимое управление, m u (t ) n.

m µ n, система (4) ( µ - система) имеет Пусть при u (t ) µ, µ = const, устойчивый фокус O, в котором P(O) = Q(O) = 0 (неподвижное состояние равновесия). В O этом случае точка совпадает с особой точкой контактной кривой F ( x) = det ( P( x), Q( x)) = 0. Будем считать, что указанная особая точка является узловой и расположена в начале координат. Также будем предполагать выполненными следующие условия:

1) при µ1 µ µ 0 ( µ 0 µ µ 2 ) фокус O µ - системы устойчив (неустойчив), а при µ = µ 0 состояние равновесия O µ - системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1;

2) в окрестности фокуса O траектории µ - системы ориентированы отрицательно (по часовой стрелке);

3) ограничения m и n на управление удовлетворяют неравенству µ1 m n µ 0.

Изучен характер состояния равновесия O каждой из сшитых систем одностороннего пересечения ( mn - и nm - систем). (Сшитая mn (nm) - система – система (4) при u (t ) = m (n) в F +, u (t ) = n (m) в F, m u (t ) n на кривой F ( x) = 0 ;

F + ( F ) – часть плоскости, в которой F ( x) 0 ( F ( x) 0) ). При расширении промежутка [m, n] векторное поле mn (nm) - системы вращается в отрицательном (положительном) направлении.

O Следовательно, при выбранной в окрестности точки ориентации траекторий µ - системы состояние равновесия O mn - системы является устойчивым фокусом, а характер и устойчивость состояния равновесия nm - системы в зависимости от величины промежутка [m, n] могут быть различными. Для исследования характера состояния равновесия O nm - системы в некоторой окрестности точки O на одной из дуг контактной кривой, примыкающей к O, построена функция последования, определяемая траекториями этой системы. Установлено, что при определенных ограничениях на управление состояние равновесия O nm - системы является сшитым фокусом.

При дальнейшем изложении ограничения m и n, µ1 m n µ 0, на управление будем считать параметрами УДС (4). При фиксированном m, µ1 m µ 0, исследована устойчивость сшитого фокуса O nm - системы.

Теорема 4.1. Для любого фиксированного m, µ1 m µ 0, существует такое значение n = n *, m n * µ 0, что при n (m, n * ) сшитый фокус O nm - системы устойчив, а при n ( n *, µ 0 ] – неустойчив.

Заметим, что при обращении в нуль первой фокусной величины фокуса O nm - системы, как показали вычисления, одновременно обращается в нуль и вторая фокусная величина. Знак третьей фокусной величины (если эта величина отлична от нуля) определяет характер устойчивости сложного фокуса O n * m - системы.

В дальнейшем будем предполагать, что 1) при n = n * третья фокусная величина фокуса O nm - системы отлична от нуля;

2) сшитые mn - и nm - системы в достаточно малой окрестности точки O имеют конечное число замкнутых траекторий;

3) каждому бифуркационному значению параметра n соответствует лишь одна бифуркация особых траекторий УДС (4).

При фиксированном m, µ 0 m µ 0, 0, исследована зависимость зоны иммунитета I (O) от параметра n.

Теорема 4.2. Пусть при µ = µ 0 состояние равновесия O µ - системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1. Тогда существуют такие ограничения m и n, µ1 m n µ 0, на управление, что при u (t ) [m, n] множество I (O) / O =.

Отметим, что при условии положительной ориентации траекторий µ - системы в окрестности точки O с ростом параметра n при фиксированном m происходит смена устойчивости сшитого фокуса O mn - системы. Фокус O nm - системы при этом ~ ~ сохраняет устойчивость. Рассмотрим также случай, когда при µ1 µ µ 0 ( µ 0 µ µ 2 ) фокус O µ - системы неустойчив (устойчив), а при µ = µ 0 состояние равновесия O µ - системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1. В этом случае при ~ µ 0 m n µ 2 в зависимости от ориентации траекторий µ - системы в окрестности точки O с уменьшением параметра m при фиксированном n происходит смена устойчивости сшитого фокуса O mn - либо nm - системы.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций материалов диссертаций:

1. Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканальном режиме / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1(25). Н. Новгород. 2002. С. 202 – 210.

2. Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус и его зона иммунитета в управляемой динамической системе второго порядка / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 11. С. 1468 – 1478.

Публикации в прочих изданиях:

1. Стародубровская Н. С. Области управляемости и зоны иммунитета в математической модели сахарного диабета / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // VI Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование”. Тезисы докладов. Пущино. 1999.

С. 48.

2. Стародубровская Н. С. Зоны иммунитета одной управляемой динамической системы с негладкой правой частью / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // Математика.

Компьютер. Образование. Вып. 6. Часть II. Сб. научных трудов / Под ред.

Г. Ю. Ризниченко. М.: “Прогресс-Традиция”. 1999. С. 478 – 484.

3. Стародубровская Н. С. Исследование одной управляемой динамической системы с векторным управлением / Стародубровская Н. С. // V Международная конференция “Нелинейные колебания механических систем”. Тезисы докладов. Н. Новгород. 1999.

С. 209 – 210.

4. Стародубровская Н. С. Применение методов качественного исследования управляемых динамических систем к математической модели сахарного диабета / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сб. статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит. 2001. С. 253 – 262.

5. Стародубровская Н. С. Исследование устойчивости сшитого фокуса, расположенного в узловой особой точке контактной кривой / Стародубровская Н. С. // Конференция “Математика и кибернетика 2002”. Материалы конференции. Н. Новгород. 2002. С. 88 – – 89.

6. Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканальном режиме / Стародубровская Н. С. // VII Международный семинар “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”. Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2002. С. 132 – – 134.

7. Стародубровская Н. С. Собственные зоны и зоны суверенитета в области достижимости / Андреева М. С., Стародубровская Н. С. // VI Международная конференция “Нелинейные колебания механических систем”. Тезисы докладов. Н. Новгород. 2002. С. 8 – 9.

8. Стародубровская Н. С. Об одной динамической системе с двухканальным управлением / Стародубровская Н. С. // Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения – XIV”. Тезисы докладов. Воронеж. 2003. C. 137 – 138.

9. Starodubrovskaya N. S. Stable focus in the risk zone of the controllability set / Butenina N. N., Starodubrovskaya N. S. // Journal of Dynamical and Control Systems. 2004. V. 10. № 1.

P. 107 – 108.

10. Стародубровская Н. С. Безопасные зоны управляемых динамических систем на плоскости / Бутенина Н. Н., Стародубровская Н. С. // Международная конференция “Dynamics, Bifurcations and Chaos”. Тезисы докладов. Н. Новгород. 2005. С. 43 – 44.

11. Стародубровская Н. С. О бифуркациях, приводящих к исчезновению безопасных зон в областях управляемости / Стародубровская Н. С. // Международная конференция “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего. Материалы конференции. Москва.

2009. С. 215.

12. Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус в зоне риска области управляемости / Стародубровская Н. С. // Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения – XX”. Тезисы докладов. Воронеж. 2009. С. 171 – 172.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.