авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Александр игоревич предельные теоремы для потоков на поверхностях и групп преобразований

Российская Академия Наук Математический институт имени В.А. Стеклова

На правах рукописи

УДК 517.938 Буфетов Александр Игоревич ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОТОКОВ НА ПОВЕРХНОСТЯХ И ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, Немировский Стефан Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Жиров Алексей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Оселедец Валерий Иустинович

Ведущая организация: Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского 2011 г. в 1400 на заседании дис

Защита диссертации состоится сертационного совета Д.002.022.02 при Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ин ститута имени В.А. Стеклова РАН по адресу:119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.02 при МИАН доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Дрожжинов КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Перекладывания отрезков и потоки переноса на плоских поверхностях представляют собой классический пример динамических систем так назы ваемого параболического типа, занимающих по своим свойствам промежу точное положение между полностью детерминистическими динамическими системами (например, сдвигами на компактных группах) и сильно хаоти ческими гиперболическими динамическими системами (например, геодези ческими потоками на многообразиях отрицательной кривизны).

Самые простые примеры детерминистических динамических систем отображение поворота окружности и его аналог в непрерывном времени квазипериодический поток на торе. Если угол поворота иррационален, то отображение поворота строго эргодично: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная мера. Как показал Герман Вейль в 1909 году, временные средние n 1 k f (R x) n k= непрерывной функции f под действием поворота R : R/Z R/Z на ир рациональный угол равномерно сходятся к пространственному среднему функции, константе 0 f (x)dx. Если угол поворота диофантов, а f глад кая функция с нулевым средним, то временная сумма n k f (R x) k= равномерно ограничена по n. В частности, в этом случае дисперсия вре менной суммы не растет с ростом n.

Классические примеры гиперболических динамических систем - это си стемы Аносова, например, линейный гиперболический автоморфизм тора и геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны. Семей ство конечных инвариантных мер гиперболической динамической систе мы необозримо, в частности, ее периодические траектории всюду плотны в фазовом пространстве. Далее, гиперболические динамические системы удовлетворяют центральной предельной теореме теории вероятностей. На пример, пусть M - компактное многообразие отрицательной кривизны, m нормализованная мера Лебега на единичном касательном расслоении T1 M, gs : T1 M T1 M - геодезический поток. Пусть f : T1 M R - гладкая функция с нулевым интегралом по мере m, среднее которой вдоль хотя бы одной периодической геодезической отлично от нуля. В этом случае после довательность случайных величин T f (gt x)dt T сходится по распределению к гауссовому нормальному распределению с ненулевой дисперсией. В частности, дисперсия временного интеграла T f (gt x)dt dm(x) M растет как T. Центральную предельную теорему для геодезических пото ков на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны по лучил Я.Г. Синай в 1961 году, и его результаты впоследствии обобщались и развивались многими авторами.

Потоки переноса и перекладывания отрезков занимают по своим ди намическим свойствам промежуточное положение между детерминистиче скими и гиперболическими динамическими системами. С одной стороны, как одновременно и независимо показали Мазур1 и Вич 2 в 1982 г, потоки переноса и перекладывания общего положения строго эргодичны: мера Ле бега есть единственная инвариантная вероятностная борелевская мера. С другой стороны, как показал А.В. Зорич 3 для перекладываний и Дж. Фор ни 4 для потоков переноса, в случае систем общего положения уклонения временной суммы (или временного интеграла) гладкой функции общего положения растут как некоторая положительная степень времени. В част ности, и дисперсия временной суммы (или временного интеграла) растет как положительная степень времени. Встает естественный вопрос об изу чении предельных распределений для потоков переноса и перекладываний отрезков.

Основным методом исследования перекладываний отрезков и потоков переноса является ренормализация. Для потоков переноса ренормализу H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no.

1, 169–200.

Veech, William A. Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 201–242.

Zorich, Anton. Deviation for interval exchange transformations. Ergodic Theory Dynam. Systems (1997), no. 6, 1477–1499.

Forni, Giovanni. Deviation of ergodic averages for area-preserving ows on surfaces of higher genus. Ann.



of Math. (2) 155 (2002).

ющей динамической системой является поток Тейхмюллера на простран стве модулей абелевых дифференциалов с предписанными порядками ну лей. Более точно, пусть S – замкнутая поверхность рода g 2. Введем на S комплексную структуру и голоморфный дифференциал. Пара (, ) считается эквивалентной другой паре (1, 1 ), если существует диф феоморфизм поверхности S, переводящий (, ) в (1, 1 ). Пространство модулей M(g) состоит из классов эквивалентности, а поток {gt } на M(g) порождается действием на парах (, ) по формуле gt (, ) = (, ), где = et Re() + iet Im(), а комплексная структура определяется тре бованием голоморфности. Если (, ) и (, ) эквивалентны, то диф ференциалы и имеют одинаковые порядки нулей и одинаковую пло щадь. Следовательно, эти порядки и площадь корректно определены на M(g). Кроме того, они сохраняются потоком Тейхмюллера {gt }. Возь мем произвольный неупорядоченный набор = (k1,..., kr ), где ki N, k1 + · · · + kr = 2g 2, и обозначим символом H подпространство M(g), со ответствующее дифференциалам единичной площади (т.е. (i/2) = 1) с порядками нулей ki, i = 1,..., r;

такое подпространство M называ ют стратом в M(g). Каждый страт является {gt }-инвариантным множе ством. Пространство M допускает естественную топологическую структу ру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от. Каждая из компонент {gt } инвариантна. Существует естественная {gt }-инвариантная мера на M ;

эта мера конечна. Мы будем называть эту меру гладкой мерой Мазура-Вича.

Именно конечность меры Мазура-Вича является ключевым соображени ем в доказательстве строгой эргодичности почти всех перекладываний и потоков переноса.

Исследование более тонких эргодических свойств перекладываний и по токов переноса требует более глубокого изучения динамических свойств ре нормализующего потока Тейхмюллера. Такие исследования активно про водятся многими авторами. Основную роль играет специальный коцикл над потоком Теймюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича. Да связная компонента M, пусть H1 (H) дим его определение. Пусть H - расслоение над H, слой которого над точкой (M, ) есть группа кого мологий H 1 (M, R). В расслоении H1 (H) может быть задана связность Гаусса-Манина, которая однозначно определяется тем требованием, что горизонтальными сечениями являются непрерывные целочисленные сече ния расслоения H1 (H). Параллельный перенос по отношению к связности Гаусса-Манина вдоль орбит потока Тейхмюллера задает коцикл над пото ком Тейхмюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича и обозначае мый символом A = AKZ.

Коцикл Концевича-Зорича удовлетворяет всем требованиях теоремы Осе ледца по отношению к произвольной вероятностной эргодической инва риантной мере для потока Тейхмюллера. В последние годы чрезвычайно активно изучаются показатели Ляпунова коцикла Концевича-Зорича и от вечающие им оселедцевские подпространства.

В частности В.Вич5 и Дж. Форни 6 доказали, что старший показатель Ляпунова коцикла Концевича-Зорича прост по отношению к произвольной вероятностной эргодической инвариантной мере для потока Тейхмюллера.

Форни 7 показал, кроме того, что по отношению к мере Мазура-Вича ко цикл Концевича-Зорича неравномерно гиперболичен: все его показатели Ляпунова отличны от нуля. Авила и Виана8 показали, что по отношению к мере Мазура-Вича ляпуновский спектр коцикла Концевича-Зорича прост:





каждому показателю Ляпунова отвечает одномерное оселедцевское под пространство. Активно изучались показатели Ляпунова также для других инвариантных мер потока Тейхмюллера. В частности, значительный ин терес представляют такие вычисления для так называемых поверхностей Вича, то есть абелевых дифференциалов, задающих плоскую структуру, обладающую богатой группой симметрий.

Как отмечалось выше, потоки переноса общего положения строго эрго дичны. Дж. Форни 9 исследовал пространство обобщенных функций, инва риантных относительно потока переноса общего положения (мы называем их далее инвариантными распределениями Дж. Форни). Форни доказал, что для потока переноса общего положения пространство инвариантных обобщенных функций, лежащих в соболевском классе H 1, конечномер но и может быть естественно отождествлено с сильно неустойчивым под пространством коцикла Концевича-Зорича, отвечающего данному абелеву дифференциалу. Встает естественный вопрос о явном описании инвариант ных распределений Дж. Форни, отвечающих абелевым дифференциалам Veech, William A. The Teichmller geodesic ow. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 3, 441–530.

u op. cit.

op. cit.

Avila, Artur;

Viana, Marcelo. Simplicity of Lyapunov spectra: proof of the Zorich-Kontsevich conjecture.

Acta Math. 198 (2007), no. 1, 1– op. cit.

общего положения.

Естественные динамические системы параболического типа возникают также в символической динамике. Рассмотрим простой пример. Пусть A конечный алфавит, с выделенной буквой a, и s : A A есть неко торое отображение из A в множество A конечных слов в алфавите A, причем слово s(a) начинается с буквы a. Продолжим s до отображения из A в A формулой s(a1...an ) = s(a1 )...s(an ) (для продолженного отображе ния мы сохраняем тот же символ s). Рассмотрим последовательность s(a), s(s(a)),... Так как в этой последовательности каждое слово есть префикс следующего за ним, мы можем рассмотреть возникающую бесконечную по следовательность. Рассмотрим далее семейство двусторонне бесконеч ных последовательностей над алфавитом A, удовлетворяющих такому условию: каждое конечное подслово является также подсловом. Мно жество по определению компактно в тихоновской топологии. Правый сдвиг на задает динамическую систему, называемую подстановочной динамической системой.

Другую символическую модель для динамических систем подстановоч ного типа предложил А.М. Вершик10 (см. также работу Ш. Ито11 ). Преоб разование Вершика (иногда также называемое адическим сдвигом) есть ди намическая система специального вида, определенная в пространстве путей топологической цепи Маркова (это пространство путей, следуя А.М. Вер шику, мы будем называть марковским компактом). Эргодические свойства подстановочных динамических систем и преобразований Вершика явля ются объектом активных исследований многих математиков. Встает есте ственный вопрос о взаимосвязи между гладкими и символическими пара болическими динамическими системами и, в частности, о построении сим волических моделей для потоков переноса и перекладываний.

Таким образом, актуальной является задача об изучении асимптотики эргодических интегралов и получении предельных теорем для динамиче ских систем параболического типа, в частности, для потоков переноса и перекладываний.

Первая теорема о сходимости временных наблюдаемых в динамических системах величин к их пространственным средним есть уже упоминавша Вершик, A. M. Теорема о периодической марковской аппроксимации в эргодической теории, За писки научных семинаров ПОМИ, 115, 72-82 (1982).

Ito, Shunji. A construction of transversal ows for maximal Markov automorphisms. Tokyo J. Math. (1978), no. 2, 305–324.

яся теорема Вейля о равномерном распределении орбит иррационального поворота окружности. Аналогичным образом, получению общих эргодиче ских теорем для действий свободных групп предшествовало изучение кон кретных примеров. В 1964-м году Арнольд и Крылов 12 установили равно мерное распределение орбит действия пары поворотов общего положения на сфере. В 1965-м году В.И. Оселедец предложил общий метод получения эргодических теорем для сохраняющих меру действий произвольных счет ных групп. В 1969-м году Гиварш, развивая работу Арнольда и Крылова, доказал сходимость в среднем квадратическом для сферических средних действия свободной группы. В 1986-м году Р.И. Григорчук получил теоре му о поточечной сходимости чезаровских средних сферических средних. В эргодической теореме Григорчука предполагается лишь интегрируемость функции. В более ограничительном предположении, что функция лежит в классе Lp, p 1, в 1994 году Нево и Стейн доказали поточечную схо димость самих сферических средних. Таким образом, является актуальной задача об изучении максимально общих условий, в которых имеют место эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и действий сво бодных групп.

Отметим, что в случае действия свободной группы вопрос о поточечной сходимости сферических средних функций, лежащих лишь в классе L1, остается открытым.

Цель работы Исследовать асимптотику временных интегралов для потоков переноса на плоских поверхностях и перекладываний отрезков общего положения.

Получить предельные теоремы для потоков переноса на плоских поверхно стях. Построить символическое кодирование для потоков переноса на плос ких поверхностях и перекладываний отрезков. Исследовать инвариантные распределения Дж. Форни для потоков переноса на плоских поверхностях.

Исследовать гиперболические свойства потока Тейхмюллера на простран стве модулей абелевых дифференциалов. Исследовать сходимость сфери ческих средних для сохраняющих меру действий свободной группы. Иссле довать сходимость по Чезаро сферических средних для сохраняющих меру действий свободной полугруппы.

Методы исследования.

В.И. Арнольд, А.Л. Крылов, Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области.

Доклады АН СССР, 1963, 148(1), 9–12.

Основные методы настоящей работы метод ренормализации и метод символического кодирования. Строится новое символическое кодирование для потоков переноса и перекладываний, развивающее методы А.М. Вер шика и Ш. Ито. Исследование построенной символической модели и позво ляет получить основые результаты диссертации. При этом ренормализаци онное действие потока Тейхмюллера является ключевым соображением в доказательстве предельных теорем. Методы символической динамики иг рают основную роль также и в исследовании потока Тейхмюллера. Здесь используется теория марковских разбиений, которые для рассматриваемых в работе динамических систем строятся явно. При доказательстве эрго дических теорем для групповых и полугрупповых действий используется также теория марковских операторов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором и состоят в следующем.

1. Найдена асимптотика для эргодических интегралов потоков переноса, отвечающих абелевым дифференциалам общего положения. Построе но пространство аддитивных голономно-инвариантных гельдеровских коциклов над потоками переноса. В терминах гельдеровских коциклов дано явное описание инвариантных распределений потоков переноса в смысле Дж. Форни. Установлена двойственность между инвариантны ми распределениями вертикального и горизонтального потоков фик сированного абелева дифференциала общего положения.

2. Построено новое символическое кодирование, развивающее конструк ции Ш.Ито и А.М. Вершика, для потоков переноса на плоских поверх ностях.

3. Найдена асимптотика роста дисперсии и получены предельные теоре мы для потоков переноса.

4. Проведено исследование гиперболических свойств потока Тейхмюлле ра на пространстве модулей абелевых дифференциалов.

5. С помощью методов, развивающих конструкции Р.И. Григорчука, по лучены новые эргодические теоремы для сохраняющих меру действий конечнопорожденной свободной группы и свободной полугруппы.

Теоретическая и практическая научная ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты многут быть ис пользованы в дальнейших исследованиях динамических систем параболи ческого типа. В частности, результаты могут найти применения в иссле дованиях, проводимых в Математическом Институте имени В.А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического Института РАН, Мос ковском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, Нижегород ском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, других выс ших учебных заведениях и научных центрах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях.

1. Международная конференция, посвященная 30-летию журнала “Ergodic Theory and Dynamical Systems”, Университет Варвика, Великобрита ния, сентябрь 2010.

2. Международная конференция по динамическим системам и уравнени ям в частных производных, Институт Миттаг-Леффлера Королевской Шведской Академии Наук, Стокгольм, Швеция, май 2010.

3. Международная конференция Европейского математического обще ства по динамическим системам и теории чисел, Международный центр математических исследований, Эдинбург, Великобритания, май 2010.

4. Международная конференция “Dynamical Numbers”, Институт Макса Планка и Хаусдорфовский математический центр, Бонн, июль 2009.

5. Школа по комплексному анализу и алгебраической геометрии, Яро славль, Россия, май 2009.

6. Международная конференция по динамическим системам, Универси тет Мэриленда, США, апрель 2009.

7. Техасская конференция по геометрии и топологии, Хьюстон, США, февраль 8. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, Россия, 2008.

9. Международная школа по теории Тейхмюллера, Роскофф, Франция, июнь 2008.

10. XXVIII международная конференция по гармоническому анализу, Уни верситет Перуджии, Перуджия, Италия, май 2008.

11. Международная конференция по дискретной математике и ее прило жениям, Университет Тайской торговой палаты, Бангкок, Тайланд, март 2008.

12. Международная конференция “От динамических систем к статисти ческой механике”, CIRM, Люмини, Франция, февраль 2008.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

1. Семинар по динамическим системам и геометрии, Университет Париж 6, Франция, ноябрь 2010.

2. Семинар по динамическим системам, Университет Париж-13, Фран ция, ноябрь 2010.

3. Общеинститутский семинар Математического института имени В.А.

Стеклова, май 2010.

4. Семинар кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН В.В. Козлова, ок тябрь 2009.

5. Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, октябрь 2009.

6. Общеинститутский семинар Петербургского отделения математиче ского института имени В.А. Стеклова, сентябрь 2009.

7. Заседание Киевского математического общества, Киев, Украина, май 2009.

8. Коллоквиум, Университет Ратгерса, США, май 2009.

9. Коллоквиум, Университет Техаса в Остине, США, апрель 2009.

10. Семинар по математике и теоретической информатике, Университет Виктории, Веллингтон, Новая Зеландия, март 2009.

11. Коллоквиум, Корнельский Университет, США, ноябрь 2008.

12. Семинар по эргодической теории и действиям групп, Йельский уни верситет, США, октябрь 2008.

13. Семинар по динамическим системам, Университет Кейо, Япония, Иоко гама, июнь 2008.

14. Семинар по динамическим системам, Университет Киото, Япония, июнь 2008.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых одна в соавторстве. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из семи глав, первая из которых является введе нием, и списка литературы, содержащего 69 наименований. Объем диссер тации 172 страницы.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Асимптотика эргодических интегралов для потоков переноса.

поверхность рода 2, Пусть M абелев дифференциал на M, m = i( )/2 - элемент площади формы, причем m(M ) = 1. Пусть h+, h отвечающие вертикальный и горизонтальный потоки на M.

t t Пусть x M, t1, t2 R+. Прямоугольник (x, t1, t2 ) = {h+ h x, 0 1 1 t1, 0 2 t2 } назовем допустимым, если его замыкание не со держит нулей формы. Определим пространство B+ непрерывных адди тивных коциклов + (x, t) над потоком h+ таких, что при всяком x M t + функция (x, t) гельдерова по t, а если прямоугольник (x, t1, t2 ) до пустим, то + (x, t1 ) = + (h x, t1 ). Пусть B аналогичное простран t ство над ht. Например, если (x, t) = t, то B±. Для + B+, ± ± B введем конечно-аддитивную меру + на M формулой + ((x, t1, t2 )) = + (x, t1 ) · (x, t2 ) (здесь предполагается, что пря моугольник (x, t1, t2 ) допустим). Определим спаривание между простран ствами B+, B формулой +, = + (M ).

Пусть H связная компонента пространства модулей абелевых диффе ренциалов с предписанными порядками нулей, gs поток Тейхмюллера на H, A(s, X) коцикл Концевича-Зорича над gs, действующий в когомоло гиях H 1 (M, R) поверхности M. Пусть, далее, µ гладкая мера Мазура– Вича на H. По теореме Авилы–Вианы, ляпуновский спектр коцикла A по отношению к мере µ прост и имеет вид 1 2 · · · 0 + · · · 2 1. Для X H, X = (M, ), пусть EX, EX H 1 (M, R) устойчивое и неустойчивое ляпуновские подпространства коцикла A.

Предложение. Для µ-почти всех X H существуют естественные изоморфизмы IX : EX B±, при которых спаривание, переходит в ± ± X каноническую билинейную форму на H 1 (M, R) (интеграл внешнего произ ведения соответствующих 1-форм). В частности, dim B+ = dim B =.X X + + Для B положим m = ;

мера m ht -инвариантное распределение в смысле Форни. В частности, m = m. Для липшицевой функции f на M, интеграл f dm = m (f ) определен по Риману при всяком B.

Пусть теперь + = +, +,..., + базис в B+ такой, что вектор 1 2 X IX (i ) имеет показатель Ляпунова i ;

пусть 1 =,..., + двой ственный базис в BX по отношению к спариванию,.

Теорема. Для всякого 0 найдется C 0, такое, что для µ-почти всякого X H, X = (M, ), любой липшицевой функции f на M, любых x M и T 0 выполнено l T h+ (x)dt m (f )+ (x, T ) C ||f ||Lip (1 + T ).

f T m(f ) t i i 0 i= Эргодические средние для перекладывания отрезков.

Полученные результаты имеют приложения к перекладываниям. Пусть T : [0, 1] [0, 1] минимальное перекладывание с неприводимой подста новкой. Пусть B(T ) пространство непрерывных функций на [0, 1], таких, что (0) = 0, а если T непрерывно на [a, b], то (T b) (T a) = (b) (a). Например, если (t) = t, то B(T ). Как и прежде, для B(T ) и липшицевой функции f на [0, 1] интеграл f d определен по Риману-Стилтьесу.

Теорема. Найдется такое натуральное число, зависящее лишь от под становки, такое, что по отношению к мере Лебега в пространстве пе рекладываний для почти всякого перекладывания имеем dimB(T ) =.

Более того, найдутся числа 1 = 1 2 · · · +1 = 0, зависящие лишь от, и базис 1 =, 2,..., в B(T ), такой, что при всяком 0 функция i гельдерова с показателем i, а для всякого x [0, 1] и всякой липшицевой функции f на [0, 1] выполнено N f T k (x) log k= lim sup = i(f )+1, log N N f dj = 0 j i}.

где i(f ) = max{i :

Как и раньше, 1 2 (R) · · · (R) суть положительные показатели Ляпунова коцикла Концевича–Зорича потока Тейхмюллера по отношению к мере Мазура–Вича на страте в пространстве модулей абелевых диффе ренциалов, отвечающем классу Рози подстановки.

Мера с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера.

Пространство M допускает естественную топологическую структуру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от. Каждая из компонент {gt } инвариантна.

Зафиксируем произвольную связную компоненту H и обозначим через µ нормированное ограничение на H упомянутой выше {gt }-инвариантной меры.

Вич показал, что {gt } по отношению к мере µ является потоком Кол могорова с энтропией, определяемой формулой hµ ({gt }) = 2g 1 + r. (1) Теорема. Мера µ единственная мера максимальной энтропии для по тока {gt } на H.

Сходимость сферических средних для действий свободных групп.

Седьмая глава диссертации посвящена исследованию эргодических тео рем для сохраняющих меру свободной группы. Как и в предыдущих главах, ключевую роль здесь играют методы символической динамики.

Другая аналогия состоит в том, что задача описания предельного по ведения равномерных сферических средних для сохраняющего меру дей ствия свободной группы сводится к нахождению хвостовой сигма-алгебры некоторого специального марковского оператора.

Первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп были получены В.И. Оселедцем в следующих предположениях.

Пусть - счетная группа, которая действует измеримыми сохраняющи ми меру преобразованиями на вероятностном пространстве (X, ), и для g пусть Tg - соответсвующее преобразование. Пусть µ - вероятност ная мера на, удовлетворяющая условию µ(g 1 ) = µ(g). Пусть µ(n) - это n-ая конволюция µ. Эргодическая теорема Оселедца утверждает, что для L log L(X, ) средние µ(2n) (g)Tg A2n = g сходятся почти наверное. Доказательство основано на рассмотрении само сопряженного марковского оператора Q = g µ(g)Tg.

Пусть Fm - свободная группа, а Fm - подгруппа элементов четной длины по отношению к данной системе свободных образующих.

В 1969-м году Гиварш (основываясь на работе Арнольда и Крылова) рас смотрел равномерные сферические средние на свободной группе, то есть, sn = Tg (2) 2m(2m 1)n g:|g|=n и доказал, что для L2 (X, ) последовательность s2n сходится в L к Fm -инвариантной функции.

В 1986-м году Р.И. Григорчук получил поточечную сходимость для сред них N CN = sn.

N n= В 1994-м г. Нево и Стейн доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть p 1. Тогда для всех Lp (X, ) последователь ность s2n сходится при n как -почти вездe, так и в Lp к Fm инвариантной функции.

Пусть (X, ) - вероятностное пространство и пусть Fm - свободная груп па с m образующими, действующая на (X, ) измеримыми, сохраняющими меру преобразованиями. Пусть a1,..., am образующие Fm, а T1,..., Tm :

отвечающие им преобразования. Положим Ti = Ti1 для XX i = 1,..., m, A = {m,..., 1, 1,..., m}. Действие Fm на L1 (X, ) опре деляется формулой Tg = Tg1, g Fm.

Рассмотрим множество WA всех конечных слов в алфавите A:

WA = {w = w1 w2... wn | wi A} Обозначим символом |w| длину слова w. Для натурального n, пусть WA (n) = {w WA, |w| = n}.

Для каждого w WA, w = w1... wn, определим преобразование Tw = Tw1 Tw2... Twn. (3) Пусть - стохастическая матрица формата 2m 2m, строки и столб цы которой занумерованы элементами из A, то есть, = (pij ), i, j A.

Предположим, что имеет единственное стационарное распределение (pm,..., p1, p1,..., pm ), причем такое, что все pi 0.

Для w WA, w = w1... wn, обозначим p(w) = pwn wn1 pwn1 wn2... pw2 w1, (w) = pwn p(w).

Рассмотрим операторы s = (w)Tw (4) n |w|=n В седьмой главе диссертации исследуется сходимость этой последова тельности операторов.

Определение. Будем говорить, что матрица порождает свобод ную группу, если pij = 0 эквивалентно i + j = 0.

Нам будет нужно условие симметрии pj pji pi = pi, pi,j = (5) pi Равенство (5) эквивалентно тому, что все операторы s самосопряжен n ные.

Пусть Fm - подгруппа слов четной длины Fm, то есть подгруппа, порож денная ai aj, i, j {1,..., m}.

Теорема. Пусть (X, ) - лебегово вероятностное пространство. Предпо ложим, что стохастическая матрица порождает свободную группу и удовлетворяет условию (5). Тогда для каждого L log L(X, ) последо вательность s сходится при n и -почти везде, и в L1 (X, ) к 2n Fm -инвариантной функции.

Замечание. Последовательность s тоже сходится. Последователь 2n+ ность s не должна сходиться, потому что действие Fm может иметь соб n ственную функцию с собственным значением 1, то есть, ненулевую функ цию L1 (X, ) такую что Ti = для всех i A (по той же причине предел в теореме должен быть Fm -инвариантным но не обязан быть Fm -инвариантным). Если действие не имеет собственных функций с собственным значением 1, то для всех L log L(X, ) последователь ность s сходится при n как -почти всюду, так и в L1 (X, ), к n Fm -инвариантному пределу.

Средние s сходятся при более слабых условиях на матрицу, чем в 2n теореме.

Определение. Матрица с неотрицательными элементами будет на зываться неприводимой, если для всех n 0 все ненулевые элементы матрицы + 2 +... n положительны (если - стохастическая, то это эквивалентно тому, что в соответствующей цепи Маркова каждое состояние достижимо из любого другого состояния).

Определение. Матрица с неотрицательными членами будет назы ваться строго неприводимой, если неприводима и T неприводима (здесь T обозначает матрицу транспонированную к.) Ясно, что матрица, порождающая свободную группу, строго неприводи ма.

Теорема. Пусть (X, ) - лебегово вероятностное пространство и пусть p 1. Пусть стохастическая матрица строго неприводима и удо влетворяет (5). Тогда для всех Lp (X, ), последовательность s 2n сходится при n как -почти всюду, так и в Lp, к Fm -инвариантной функции.

Эргодические теоремы для действий групп и полугрупп.

Условия, наложенные на матрицу марковского кодирования в предыду щем разделе, довольно ограничительны. При более слабых условиях, одна ко, удается установить только сходимость по Чезаро сферических средних.

Какутани предложил способ усреднения, основанный на эргодической теореме в косых произведениях Питта, и на этом пути В.И.Оселедец полу чил в 1965 году первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп.

Метод Какутани и Оселедца вкратце таков. На группе вводится веро ятностное распределение, затем расматривается последовательность неза висимых случайных величин принимающих значения в группе и имею щих данное распределение. Групповому действию на пространстве Лебега сохраняющими меру преобразованиями сопоставляется косое произведе ние над пространством траекторий этого случайного процесса с действую щим на нем сдвигом по времени. Далее, эргодическая теорема Биркгофа– Хинчина интегрируется вдоль базы косого произведения и получается эр годическая теорема для исходного группового действия.

Автором используется несколько иной подход. В полугруппе или группе выделяется конечная система образующих и рассматривается пространство односторонних бесконечных последовательностей из этих образующих с ти хоновской топологией. Борелева вероятностная инвариантная относитель но сдвига мера µ на этом пространстве выбирается произвольно. Действию полугруппы ставится в соответствие косое произведение над сдвигом на на шем пространстве последовательностей, снабженном мерой µ. Потом опять эргодические теоремы Биркгофа–Хинчина интегрируются вдоль базы ко сого произведения и получаются эргодические теоремы для исходного по лугруппового или группового действия. Временные средние отображений T1,..., Tm, полученные при усреднении с помощью меры µ, обозначаются µ Cn (T ).

Если мера µ произвольна, то автору неизвестны условия того, что предел временных средних инвариантен относительно полугруппового действия.

Однако если мера µ марковская, то в работе даны достаточные усло вия, при выполнении которых для произвольной функции временные µ средние Cn (T ) сходятся к инвариантной функции.

Далее, пусть L банахово пространство, T1,..., Tm : L L линей µ ные операторы. Для них так же строятся временные средние Cn (T ). Если положительные L1 L -сжатия в мера µ марковская, а T1,..., Tm µ L1 (X, ), то для любой функции L1 (X, ) временные средние Cn (T ) µ сходятся -почти всюду. При этом, если µ(X), то Cn (T ) сходятся и в L1 (X, ), a если к тому же мера µ сильно связна, то предельная функция инвариантна относительно каждого оператора T1,..., Tm. Итак, для вре µ менных средних Cn (T ) нескольких положительных L1 L сжатий имеет место эргодическая теорема;

частным случаем ее является эргодическая теорема для нескольких отображений.

Если µ марковская мера порядка k 1 на m, то для временных сред µ них Cn (F ) индивидуальная и статистическая эргодические теоремы также имеют место и позволяют получить эргодические теоремы для действий полугрупп, названных автором строго марковскими.

Основные публикации по теме диссертации.

1. А.И. Буфетов, Эргодические интегралы потоков на плоских поверх ностях, Успехи мат. наук, т. 65:6 (2010), стр. 181-182.

2. A. I. Bufetov, Hoelder cocycles and ergodic integrals for translation ows on at surfaces, Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences, 17, 2010 p. 34 - 3. А. И. Буфетов, Б. М. Гуревич. О мере с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифферен циалов, Функциональный анализ и его приложения, 2008, 42, 3, стр.

75– 4. A. Bufetov, Pointwise convergence of spherical averages for actions of free groups, Annals of Mathematics, 155 (2002), no.3, рр. 929-944.

5. А.И. Буфетов, Операторные эргодические теоремы для действий сво бодных полугрупп и групп, Функциональный анализ и его приложе ния, 2000, т. 34, вып. 4, стр. 239-251.

6. А. И. Буфетов, Косые произведения и эргодические теоремы для груп повых действий, Зап. научн. сем. ПОМИ, 266 (2000), стр. 13- 7. А. И. Буфетов, Эргодические теоремы для действий нескольких отоб ражений, Успехи мат. наук, 1999, том 54, вып. 4, стр. 159-160.

Препринт.

8. A.I. Bufetov, Limit theorems for translation ows, препринт Математи ческого института Макса Планка, Бонн, 2010, 69 страниц.

Работы автора, примыкающие к тематике диссертации.

9. A. Bufetov, Decay of correlations for the Rauzy-Veech-Zorich induction map on the space of interval exchange transformations and the Central Limit Theorem for the Teichmller ow on the moduli space of abelian u dierentials, Journal of the American Mathematical Society, 19 (2006), рр. 579–623.

10. A. I. Bufetov, Logarithmic asymptotics for the number of periodic orbits of the Teichmller ow on Veech’s space of zippered rectangles. Mosc. Math.

u J., 9:2 (2009), рр. 245- 11. А.И. Буфетов, Б.М. Гуревич, Существование и единственность меры с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов, Математический сборник, 2011, т. 202.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.