авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа

На правах рукописи

Ефремов Илья Александрович Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск – 2010

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении Высшего профессионального образования "Сибирский федеральный университет"

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Капцов Олег Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Царев Сергей Петрович кандидат физико-математических наук Родионов Александр Алексеевич

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 02 апреля 2010 года в : ч. на заседании дис сертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном уни верситете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского феде рального университета (г. Красноярск, ул. Киренского, 26).

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного cовета К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Моделирование турбулентности это одна из наиболее сложных и нерешенных проблем в гидродинами ке и теоретической физике. В настоящее время существует достаточно большое количество полуэмпирических математических моделей, кото рые с различной степенью приближения описывают турбулентность в жидкостях и газах. Это градиентные модели (модели первого прибли жения), дифференциальные модели (модели второго приближения), а также модели, в которых учитываются уравнения на третьи моменты.

Широкая распространенность турбулентных течений, их большое зна чение для множества разнообразных практических задач и интерес к ним теоретиков говорит об актуальности исследований в этом направ лении. Для нахождения решений данных моделей обычно применяются конечно-разностные алгоритмы. Представляет большой интерес редуци ровать системы уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям и построить решения полученных си стем, которые удовлетворительно согласовываются с экспериментальны ми данными.

Цель диссертационной работы:

– провести групповой анализ моделей турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной среде в приближении дальнего следа;

– получить представления для инвариантных решений, построить ре шения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных урав нений, провести сравнение полученных решений с экспериментальными данными.

Научная новизна работы. В диссертации построены и исследова ны автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа. Выполнен теоретико-групповой анализ соответствующих моделей.

Построенные автомодельные решения удовлетворяют всем граничным условиям. Найдены первые интегралы редуцированных систем. Полу ченные решения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

Теоретическая и практическая ценность работы. Найдены ба зисы допускаемых алгебр Ли операторов, позволяющие найти преобра зования для перехода от систем уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены пер вые интегралы для некоторых рассмотренных систем и построены ре шения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных урав нений, удовлетворяющих естественным краевым условиям. Полученные решения адекватно описывают наблюдаемые процессы на качественном и количественном уровне. Предложенные подходы и варианты решений могут использоваться в теории и практике при моделировании и описа нии природы дальнего турбулентного следа.

Личное участие автора в получении представленных науч ных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, при надлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равно значен.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доклады вались и обсуждались:

– на VI международной конференции "Лаврентьевские чтения по мате матике, механике и физике"(Новосибирск, 2005);

– на VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическо му моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006);

– на VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математиче скому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);

– на международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007);

– на международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красно ярск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1–4], 2 из них – в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состо ит из введения, двух глав, списка используемых литературных источни ков. Работа изложена на 97 страницах, иллюстрируется 25 рисунками.

Список цитируемой литературы включает 55 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформу лированы цели и задачи исследования, представлена научная новизна и практическая значимость работы. В первой главе, в разделе 1.1, представлен ряд полуэмпирических моделей турбулентности в однород ной и в пассивно стратифицированной среде. В разделе 1.2 приведены "упрощенные" модели в приближении дальнего турбулентного следа. В разделе 1.3 для всех рассматриваемых моделей выполняется теоретико групповой анализ. Рассматривается (k ) модель в приближении даль него турбулентного следа, которая имеет следующий вид k 2 u u 1 s u0 =s y cµ, x y y y k 2 k k k 1 u s u0 =s y cµ + cµ, (1) x y y y y k 2 1 s cµ u u0 =s y + c1 cµ k c2, x y y y y k где u0 – скорость набегающего потока, u – дефект скорости, k – кинети ческая энергия турбулентности, – скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, cµ, c1, c2, – эмпирические константы;



s = для плоского течения и s = 1 в осесимметричном случае. В дальнейшем будем считать скорость набегающего потока равной единице.

Для системы (1) формулируется и доказывается следующая теорема о базисах допускаемой алгебры Ли.

Теорема 1 Система (1) в плоском случае допускает пятимерную ал гебру Ли операторов, базис которой состоит из трех операторов пе реноса и двух операторов растяжения. В осесимметричном случае – четырехмерную алгебру Ли, базис которой содержит два оператора переноса и два оператора растяжения.

Базис допускаемой алгебры Ли операторов для плоского случая состоит из операторов X1 =, X2 =, X3 =, x y u X4 = x u 2k 3, x u k X5 = y +u + 2k + 2, y u k и для осесимметричного случая из операторов X1 =, X2 =, x u X3 = x u 2k 3, x u k X4 = y +u + 2k + 2.

y u k Далее рассматривается трехпараметрическая (k ui uj ) модель в приближении дальнего турбулентного следа вида u 1 s u0 =s (y w), x y y k 2 k k 1 u s u0 =s y cµ +w, (2) x y y y y cµ k 2 1 u ys u0 =s + c1 w c2, x y y y k y k k 2 w k2 w w 1 u y s cs u0 =s scs cf 1 w + cf 2 k, y2 k x y y y y где u0 – скорость набегающего потока, u – дефект скорости, k – кинети ческая энергия турбулентности, – скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, w = u v – напряжение Рейнольдса, cµ, c1, c2,, cs, cf 1, cf 2 – эмпирические константы;

s = 0 для плоского течения и s = 1 в осесимметричном случае.

Для системы (2) также формулируется и доказывается теорема о ба зисах допускаемой алгебры Ли.

Теорема 2 Система (2) в плоском случае допускает пятимерную ал гебру Ли операторов, базис которой состоит из трех операторов пе реноса и двух операторов растяжения. В осесимметричном случае – четырехмерную алгебру Ли, базис которой содержит два оператора переноса и два оператора растяжения.

Базис допускаемой алгебр Ли операторов для плоского случая со стоит из операторов X1 =, X2 =, X3 =, x y u X4 = x u 2k 3 2w, (3) x u k w X5 = y +u + 2k + 2 + 2w ;

y u k w и для осесимметричного случая из операторов X1 =, X2 =, x u X3 = x u 2k 3 2w, (4) x u k w X4 = y +u + 2k + 2 + 2w.

y u k w В плоском случае X1, X2, X3 – операторы переноса по x, y, u соответ ственно, а X4, X5 – операторы растяжения по x и y. В осесимметричном случае оператор переноса по y отсутствует.

В разделе 1.3 найдены базисы допускаемых алгебр Ли для других рассматриваемых моделей. Для модифицированной (k ui uj ) мо дели в приближении дальнего турбулентного следа базисы допускае мых алгебр Ли совпадают с базисами (3), (4) для трехпараметрической (kui uj ) модели в приближении дальнего турбулентного следа. Также строятся базисы допускаемых алгебр Ли для модели третьего порядка в приближении дальнего следа.

Наряду с движением однородной жидкости большой практический интерес представляет случай так называемых стратифицированных по токов, то есть движения температурнонеоднородных или разноплотност ных сред. Далее будут рассматриваться пассивно стратифицированные среды, то есть среды, где присутствует стратификация, но без учета сил тяжести. Для описания плоского турбулентного следа в пассивно стра тифицированной среде привлекается следующая математическая модель u w u0 =, (5) x y k 2 k k u u0 = cµ +w, (6) x y y y k u u0 = cµ + c1 w c2, (7) x y y k y k 2 w w u u0 = cs cf 1 w + cf 2 k, (8) x y y k y k 2 c k u0 = c, (9) x y y y k 2 k u0 = c + 2c 1 cT, (10) x y y y k где u0 – скорость набегающего потока, u – осредненный дефект продоль ной компоненты скорости, k – кинетическая энергия турбулентности, – скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, w – каса тельное турбулентное напряжение Рейнольдса, – осредненный дефект плотности, = 2 – дисперсия флуктуаций плотности;

, cµ, cs, c1, c2, cf 1, cf 2, c, c, cT – эмпирические константы. Первые четыре уравнения системы (5)– (8) представляют собой уравнения трехпараметрической модели турбулентности в приближении дальнего следа. Уравнения (9), (10) описывают трансформацию поля плотности под действием турбу лентной диффузии. Замыкание осуществлено с применением простейшей градиентной гипотезы;

используется также приближение дальнего следа.

Слагаемые, содержащие в качестве сомножителей коэффициенты лами нарной вязкости и диффузии, отброшены в предположении малости, так как рассматривается развитое турбулентное течение. Базис допускаемой алгебры Ли для модели (5)–(10) состоит из операторов X1 =, X2 =, X3 =, X4 =, x y u X5 = x u 2k 3 2w, x u k w X6 = y +u + 2k + 2 + 2w + + 2.

y u k w Модель плоского турбулентного следа за нагретым цилиндром имеет вид k 2 u u u0 = cµ, (11) x y y k 2 k k k u u0 = cµ + cµ, (12) x y y y cµ k 2 u u0 = + cµ c1 k c2, (13) x y y y k vT T u0 =, (14) x y k2 v T (v T ) 2k T u0 = c1 c1T v T, (15) x y y 3 y k k2 T T 2 T cT T 2, u0 = c1 2v T (16) x y y y k где u0 – по-прежнему скорость набегающего потока, u – дефект осред ненной продольной компоненты скорости, k – кинетическая энергия тур булентности, – скорость диссипации кинетической энергии турбулент ности, T – осредненная температура, v T – турбулентный поток тепла, T – дисперсия флуктуаций температуры. Эмпирические константы мо дели, cµ, c1, c2, cT, c1, c1T задаются. Первые три уравнения системы (11)–(16) – уравнения (k ) модели турбулентности в приближении дальнего следа. Уравнения (14)–(16) описывают трансформацию поля температуры под воздействием турбулентной диффузии в следе.

Базис допускаемой алгебры Ли для этой системы состоит из опера торов X1 =, X2 =, X3 =, X4 =, x y u T + 2T X5 = x u 2k 3 + T, x u k T T 2T X6 = y +u + 2k + 2 T, y u k T T + 2T X7 = T +vT.

T v T T Последняя из рассматриваемых моделей служит для описания безым пульсного турбулентного следа. Она записывается в виде k 2 u u 1 s u0 =s y cµ, x y y y k 2 k k 1 s u0 =s y cµ, (17) x y y y k 2 1 s cµ u0 =s y c2, x y y y k где u0 – скорость набегающего потока, u – дефект скорости, k – кинети ческая энергия турбулентности, – скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, cµ, c2, – эмпирические константы;

s = 0 для плоского течения и s = 1 в осесимметричном случае.

Система (17) имеет следующий базис допускаемой алгебры Ли для плоского случая X1 =, X2 =, X3 =, X4 = u, x y u u X5 = x 2k 3, X6 = y + 2k + 2, x k y k и для осесимметричного случая X1 =, X2 =, X3 = u, x u u X4 = x 2k 3, X5 = y + 2k + 2.

x k y k Таким образом, найдены базисы допускаемых алгебр Ли для всех рассматриваемых моделей.

Во второй главе строятся автомодельные решения системы (1), удо влетворяющие краевым условиям:

а) условия невозмущенного потока u 0, k 0, 0 при y ;

б) условия симметрии u k = = = 0 при y = 0.

y y y Для модели (1), на основе полученных результатов в главе 1, строится представление для решений вида u = x1 U (t), k = x22 K(t), = x23 E(t), (18) где t = y/x – автомодельная переменная, а – параметр автомодель ности. Подставляя представление (18) в исходную модель (1), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений E E 2K sU U= (( 1)U U t) + U, cµ K 2 E K t 1 E E E 2K sK K= (2( 1)K K t) + K U +, cµ K 2 cµ K E K t E E E= (2 3)E E t + c2 c1 KU + cµ K 2 K E 2K sE +E. (19) E K t Как показано в статье Капцова О.В., Шанько Ю.В. "Семейство автомо дельных решений одной модели дальнего турбулентного следа" система (19) имеет первый интеграл. Для плоского случая, s = 0, первый инте грал имеет вид cµ U K + tU = const, E а в осесимметричном случае, при s = 1, первый интеграл выглядит сле дующим образом cµ U K 2 t + t2 U = const.

E Константы, в силу граничных условий, равны нулю. Параметр автомо дельности определяется из закона сохранения udy = const.

1 Для плоского случая =, для осесимметричного =.

2 Для построения решений редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений ставятся краевые условия U (0) = K (0) = E (0) = 0, U (h) = K(h) = E(h) = 0, h = 1.

Данная задача будет решаться "методом стрельбы". Способ, описанный в статье Капцова О.В., Шанько Ю.В. "Семейство автомодельных реше ний одной модели дальнего турбулентного следа", позволяет упростить поиск начальных данных в точке t = 0 для плоского случая.

Для модели (2) представление для автомодельных решений имеет следующий вид u = x(1) U (t), k = x(22) K(t), = x(23) E(t), w = x(22) W (t), где t = y/x – автомодельная переменная.

Редуцированная система обыкновенных дифференциальных уравне ний запишется в виде sW W = + tU ( 1)U, (20) t 2( 1)EK tEK EW U + E K= + cµ K E 2K s +K, (21) E K t (2 3)E 2 K tEKE c1 E 2 W U + c2 E E= + cµ K E 2K s +E, (22) E K t cf 1 E 2 W cf 2 EK 2 U 2( 1)EW tEW W= + + cs K 2 cs K E 2K s sW +W + 2. (23) E K t t Лемма. Для системы (20)–(23) найден первый интеграл для плоского W + tU = const, и для осесимметричного случая W t + t2 U = const.

Константы, в силу граничных условий, равны нулю. Параметр автомо 1 дельности = в плоском случае и = – в осесимметричном. Для 2 системы (20)–(23) ставились естественные краевые условия W (0) = 0, U (0) = K (0) = E (0) = 0, U (h) = K(h) = E(h) = W (h) = 0, h = 1.

Решения систем согласуются с экспериментальными данными на каче ственном и количественном уровнях.

Для модели (5)–(10) представление для автомодельных решений сле дующее u = x1 U (t), k = x22 K(t), = x23 E(t), w = x22 W (t), = x H(t), = x2 R(t), где t = y/x – автомодельная переменная.

Для построения решений редуцированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений ставятся краевые условия W (0) = H(0) = 0, U (0) = K (0) = E (0) = R (0) = 0, U (1) = K(1) = E(1) = W (1) = H(1) = R(1) = 0.

Можно показать, что редуцированная система допускает первый инте грал. Для рассмотренной модели (11)–(16) также найдено представление для автомодельных решений u = x1 U (t), k = x22 K(t), = x23 E(t), T = x+1 G(t), v T = x M (t), = x22+2 F (t), T где t = y/x – автомодельная переменная,, – параметры автомодель ности и получена редуцированная система cµ K 2 U E cµ K 2 U 1 1 2cµ KU K U Ut= +, E 2 2 E E E 1 E tK E E 2K K= +K U, K2 K 2K cµ E K c2 E 3 2E 2 tE E E 2K U E E =E c1 + 2, K3 2K E K K cµ K G + G t = M, c1 K 2 M E c1 K 2 M 1 2c1 KM K 2 EM M M t = + KG c1T, E 2 E E 3 K E F + tF tGG E cT F E E 2K F =F + +. (24) K 2 c1 c1 K 3 c1 K E K Лемма. Редуцированная система (24) допускает два первых интеграла:

cµ U K 2 + tU = const, (25) E M tG = const. (26) В силу граничных условий константы равны нулю.

Используя соотношения (25), (26), приходим к упрощенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений и строим решения этой системы, удовлетворяющие следующим краевым условиям:

K (0) = E (0) = G (0) = F (0) = 0, U (h) = K(h) = E(h) = G(h) = F (h) = 0, h = 1.

Для модели (17), которая описывает безымпульсный след, представление для решений имеет вид u = x U (t), k = x22 K(t), = x23 E(t), где t = y/x – автомодельная переменная. Редуцированная система, то гда запишется в виде u0 E E K sU U= U taU +U 2, cµ K 2 E K t 1 E u0 E E 2K sK K= 2( 1)K K t + K +, cµ K 2 cµ K E K t E u0 E E 2K sE E= (2 3)E E t + c2 +E.

cµ K 2 K E K t Построенные решения редуцированных систем удовлетворяют крае вым условиям. При этом наблюдается достаточно хорошее согласование с экспериментальными данными.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Проведен теоретико-групповой анализ шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

2. На основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифферен циальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем;

3. Построены решения редуцированных систем обыкновенных диф ференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными дан ными на качественном и количественном уровнях.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф. м.н., профессору О.В. Капцову за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Материалы диссертации опубликованы в работах:

1. Капцов О.В., Ефремов И.А. Инвариантные свойства модели дальнего турбулентного следа // Вычисл. технологии. Новоси бирск ИВТ СО РАН. – 2005. – Т. 10, №6. с. 45–51.

2. Капцов О.В., Ефремов И.А, Шмидт А.В. Автомодельные решения модели второго порядка дальнего турбулентного сле да // Прикладная механика и техническая физика. – 2008. – Т. 49, №2. – с. 74–78.

3. Ефремов И.А., Капцов О.В., Черных Г.Г. Симметрии и решения по луэмпирических моделей турбулентности // МФТИ. Сборник научных трудов "Симметрии дифференциальных уравнений". – 2009. – с. 79–88.

4. Ефремов И.А., Капцов О.В., Черных Г.Г. Автомодельные решения двух задач свободной турбулентности // Мат. моделирование. – 2009. – Т. 21, №12. – с. 137-144.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов: 07 01-00489, 04-01-00130, 04-01-00209).

Ефремов Илья Александрович Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук Подписано в печать 2010 г. Заказ № Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИПК СФУ 660041, г. Красноярск, пр. Свободный,

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.