авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Аналитические исследования формальной интегрируемости систем дифференциальных уравнений

Учреждение Российской академии наук

«Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН»

На правах рукописи

ТЫЧКОВ Сергей Николаевич Аналитические исследования формальной интегрируемости систем дифференциальных уравнений 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2011

Работа выполнена в учреждении Российской академии наук «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН».

Научный консультант: д. ф.-м. н., профессор, Лычагин Валентин Васильевич

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., Юмагужин Валерий Афтахович д. ф.-м. н., профессор, Гердт Владимир Петрович

Ведущая организация: Московский государственный универ­ ситет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 19 января 2012 года в 14 часов 30 минут в ауд. НИИММ им. Н. Г. Чеботарева на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан « » 2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные пе­ чатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого сек­ ретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.10, канд. физ.-мат. наук, доцент Липачёв Е. К.

Общая характеристика работы

Актуальность работы Система дифференциальных уравнений в частных производных поряд­ ка имеет вид:

|| ( ) : {,, (1) = 0, = 1,...,, где () = ( 1 (),..., ()) — вектор-функция, зависящая от вектора = (1,..., ), = (1,..., ) — всевозможные мультииндексы, для которых выполняется условие || = 1 +... +.

Система (1) формально разрешима в точке R, если в этой точке существует степенной ряд (необязательно сходящийся), удовлетворяющий системе.

Переопределенные системы дифференциальных уравнений возникают при решении многих задач математической физики, механики сплошных сред, теории управления, а также при вычислении дифференциальных инвариантов псевдогрупп Ли, вычислении симметрий дифференциальных уравнений и задач дифференциальной геометрии.

Задача нахождения условий формальной интегрируемости переопреде­ ленной системы дифференциальных уравнений является важным этапом исследования этой системы. Существует несколько методов нахождения таких условий. Кратко опишем некоторые из них.

Критерий Спенсера-Гольдшмидта [14] формальной интегрируемости си­ стемы дифференциальных уравнений, сформулированный в виде теоремы:

Теорема. Пусть — система дифференциальных уравнений, удовлетво­ ряющая следующим условиям:

1. 2-ациклична, т. е. -когомологии Спенсера 2, = 0 для всех и для любой точки, 2. семейство векторных пространств () образует вектор­ ное расслоение над многообразием, где () — символ системы в точке.

3. отображение +1, : (1) является гладким расслоением.

Тогда система формально интегрируема.

Нахождение условий формальной интегрируемости с помощью крите­ рия Спенсера-Гольдшмидта сводится к проверке тривиальности -когомоло гий Спенсера, которые дают алгебраические препятствиями к формальной интегрируемости.

В общем случае в работе [9] предложен способ вычисления препят­ ствий к формальной интегрируемости (называемые тензорами Вейля), ко­ торые являются элементами группы -когомологий Спенсера.

Другой подход, основанный на применении дифференциальных бази­ сов Гр бнера, предложен в работе Э. Мансфилд [10]. К недостаткам этого е метода можно отнести большую затратность вычисления дифференциаль­ ного базиса Гр бнера и тот факт, что сам базис в некоторых случаях просто е не существует. В статье [8] разобраны вопросы эффективности этого ме­ тода в сравнении с другими.

Другое определение дифференциального базиса Гр бнера, неэквива­ е лентное данному Э. Мансфилд, предложил К. Ферро [5].

Э. Картан в работе [1] предложил метод нахождения условий совмест­ ности системы дифференциальных уравнений, основанный на анализе их инволютивности.

Условие инволютивности требует, чтобы -когомологии Спенсера, = 0 для всех, 0.

Алгебраические методы для исследования разрешимости дифференци­ альных уравнений предложил К. Рикье [11]. М. Жане [7], Дж. Ритт [12], Дж. Томас [15] и Ж. Поммаре [2] усовершенствовали методы Рикье. В кни­ ге В. Зайлера [13] приведен подробный обзор этих методов.

В работах В. Гердта и Ю. Блинкова [6] предложены алгоритмы постро­ ения инволютивных базисов, используемых для приведении систем к ин­ волюции.

Б. Кругликов и В. Лычагин в работах [9] предложили метод нахож­ дения условий формальной интегрируемости для переопределенных си­ стем дифференциальных уравнений с помощью обобщения скобки Майе­ ра: скобки Кругликова-Лычагина-Майера (далее КЛМ-скобка) и мультис­ кобки Кругликова-Лычагина (далее КЛ-мультискобка). Именно этод метод используется в данной диссертационной работе.

Цель диссертационной работы В настоящей диссертационной работе рассматривается задача нахож­ дения условий формальной интегрируемости различных классов переопре­ деленных систем дифференциальных уравнений и построение реализации скобок Кругликова-Лычагина в системе компьютерной алгебры Maple.



Полученные результаты мы применяем к исследованию формальной интегрируемости систем уравнений, возникающих в экономике, термоди­ намике, квантовой физике и теории тканей.

Научная новизна Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На за­ щиту выносятся следующие результаты.

1. Приведены необходимые и достаточные условия, при которых вектор­ ное поле на плоскости имеет гармонический интеграл с максимальной размерностью пространства решений. Описаны все векторные поля на плоскости с гармоническим интегралом.

2. Найдены условия формальной интегрируемости и максимальная раз­ мерность пространства решений уравнения ассоциативности, возни­ кающего в квантовой теории поля. В случае, когда пространство ре­ шений имеет максимальную размерность, уравнение полностью про­ интегрировано.

3. Исследованы условия совместности системы дифференциальных урав­ нений из экономики и термодинамики, предложенной П. Самуэлсоном и Дж. Купером.

4. Найдена размерность пространства решений для системы уравнений Абеля. Приведены условия формальной интегрируемости и макси­ мальной размерности системы уравнений Абеля. Решена проблема, поставленная Черном для случая плоских 5-тканей.

5. Реализация на языке Maple вычисления КЛМ-скобки и КЛ-мультис­ кобки Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, нашли свое применение в ис­ следованиях, проводимых лабораторией проблем качественного исследова­ ния нелинейных дифференциальных уравнений ИПУ РАН (лаборатория № 6). В частности, при решении задачи оптимального управления разра­ боткой нефтяных и газовых месторождений и задачи управления система­ ми с распреленными параметрами, что подтверждено актом о внедрении.

Кроме того, полученные результаты могут быть использованы для на­ хождения условий формальной интегрируемости систем дифференциаль­ ных уравнений в частных производных с помощью аппарата КЛМ-скобки и КЛ-мультскобки в системе компьютерной алгебры Maple.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих на­ учных конференциях и семинарах:

1. научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета под руководством про­ фессора Ю. В. Обносова (25 мая 2011 г., Казань), 2. научный семинар лаборатории проблем качественного исследования нелинейных дифференциальных уравнений ИПУ РАН под руковод­ ством профессоров А. Г. Кушнера и В. В. Лычагина, 3. международный семинар по компьютерной алгебре в Лаборатории ин­ формационных технологий Объединенного института ядерных иссле­ дований (ЛИТ ОИЯИ) под руководством профессора В. П. Гердта (25 мая 2010 г., Дубна), 4. международный семинар по компьютерной алгебре в ЛИТ ОИЯИ под руководством профессора В. П. Гердта (3 июня 2011 г., Дубна), 5. международная конференция «Геометрия в Одессе — 2009» (25— мая 2009 г., Одесса, Украина), 6. международная конференция «Геометрия в Астрахани 2009» (10— сентября 2009 г., Астрахань), 7. международная конференция «Геометрия в Кисловодске — 2010» (13— 20 сентября 2010 г., Кисловодск), 8. вторая российская школа-конференция «Математика, информатика их приложения и роль в образовании» (8—12 декабря 2010 года, Тверь), 9. международная молодежная школа-конференция «Геометрия. Управ­ ление. Экономика» (15—21 августа 2011 г., Астрахань).

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, 5 тезисов докладов.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на за­ щиту, отражают персональный вклад автора. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась диссертантом. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 109 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 42 наименова­ ния. Также диссертация содержит два рисунка.

Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов — тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 3.2.1 — первый пункт второго параграфа третьей главы.

Нумерация теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя.

Содержание работы Во введении дана общая характеристика работы, сформулированы ос­ новные результаты и приведен краткий исторический обзор результатов по аналитическим методам отыскания условий формальной интегрируемо­ сти систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В первой главе «Сведения из геометрии дифференциальных уравне­ ний» приведены основные понятия геометрии дифференциальных уравне­ ний, используемые в диссертационной работе.

В параграфе 1.1 описан основной аппарат геометрии дифференциаль­ ных уравнений — пространства джетов.

Введем пространство (, ), точки которого определяются коорди­ натами (1,...,, ), где = 1,...,, а мультииндекс пробегает все значения, для которых ||.

Класс функций -эквивалентных функции в точке 0 называется -джетом функции и обозначается [ ] 0. Пространство всех -джетов [ ]0 функции в точке 0 обозначим 0 (, ).

В параграфе 1.2 описаны понятия продолжения системы, регулярно­ сти и формальной интегрируемости системы дифференциальных урав­ нений с геометрической точки зрения.

В параграфе 1.3 приведено определение распределения Картана и с его помощью сформулировано определение понятия решения дифференциаль­ ного уравнения с геометрической точки зрения.

В параграфе 1.4 приведены определения символа дифференциального оператора и характеристического многообразия системы дифференциаль­ ных уравнений.

Во второй главе мы приводим определения КЛМ-скобки и КЛ-муль­ тискобки — основного аппарата, которые мы применяем для исследования формальной интегрируемости систем дифференциальных уравнений в част­ ных производных, и теоремы, позволяющие установить условия формаль­ ной интегрируемости.

В третьей главе мы приводим примеры использования скобок для на­ хождения условий формальной интегрируемости переопределенных систем дифференциальных уравнений.

В параграфе 3.1 нами рассмотрена задача отыскания условий совмест­ ности системы уравнений, возникающей при применении методов термоди­ намики к экономике, предложенных П. Самуэлсоном.

Система имеет вид:

1 = 0, = 0, (2) = 0.

Нами найдены условия, когда система (2) имеет пространство решений максимальной размерности и формально интегрируема.

В параграфе 3.2 рассматривается вопрос об условиях существования интеграла у уравнения ассоциативности [4]. Что приводит нас к пробле­ ме формальной интегрируемости следующей системы дифференциальных уравнений: { 1 = + 2 = 0, 2 = 2 = 0, где — вещественный параметр.

Показав при помощи КЛМ-скобки, что эта система формально ин­ тегрируема при =, мы получаем параметрически заданное решение исходной системы:

= 3 1 2 1 1 2 3, 8 134 = + 1 + 2, 4 = 1 8 5 + 1 5 5 + 1 2 5 + 4 4 3 + 1 4 3 5 2 (3 + 1 ) + 6.

32 40 2 4 В параграфе 3.3 нами рассмотрена задача описания векторных полей на плоскости без особых точек, первые интегралы которых являются гар­ моническими функциями. Данная задача сводится к исследованию сов­ местности следующей системы дифференциальных уравнения в частных производных: { = 0, (3) () = 0, где = + — оператор Лапласа, а векторное поле :

= (, ) + (, ).

Установлены следующие теоремы.

Теорема. Система (3) формально интегрируема и имеет пространство решений максимальной размерности равной трем тогда и только то­ гда, когда векторное поле пропорционально полю вида:

( ) + ( ), где, — вещественные константы.

Теорема. Векторное поле = + (, ) обладает не равным константе гармоническим первым интегралом то­ гда и только тогда, когда функция (, ) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

(2 + 1) 2(2 + 2 ) = 0.

В параграфе 3.4 приведены некоторые сведения из теории плоских -тканей, дано определение ранга ткани и сформулирована проблема Чер­ на [3]. Далее рассмотрен метод Абеля нахождения ранга плоской ткани и приведены примеры его использования. Также описан способ вывода уравнений Абеля для 3-, 4- и 5-тканей. С помощью мультискобки найдены условия формальной интегрируемости уравнений Абеля и максимальности ранга 5-тканей, тем самым дано решение проблемы Черна. Найденые усло­ вия использованы для проверки максимальности ранга трех 5-тканей.

В четвертой главе диссертации приводится описание реализации про­ цедур для вычисления КЛМ-скобки и КЛ-мультискобки. на языке програм­ мирования Maple. Подобные компьютерные средства действительно необ­ ходимы из-за громоздкости вычислений скобок. Во многих случаях, пред­ ставляющих практический интерес, вычисления невозможны без помощи компьютера.

В приложении А приведен листинг модуля Brackets, позволяющего вы­ числять КЛМ-скобки и КЛ-мультискобку в системе компьютерной алгебры Maple.

В приложении Б приведены тексты программ на языке Maple, выво­ дящих уравнения Абеля и условия максимальности ранга для 3-, 4- и 5 тканей.

Список литературы 1. Картан, Э. Внешние дифференциальные формы и их геометрические приложения. / Э. Картан // Москва: Издательство МГУ. - 1962.

2. Поммаре, Ж. Системы уравнений с частными производными и псев­ догруппы Ли. / Ж. Поммаре // Москва: Мир. - 1983. - С. 400.

3. Chern, S.-S. Web geometry / S.-S. Chern // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. - Vol.6. - P. 1–8.

4. Dijgraaf, R. Notes on topological string theory and 2D quantum gravity / R. Dijgraaf, E. Verlinde, H. Verlinde // String theory and quantum gravity. - 1991. - P. 91–156.

5. Ferro, C. A survey on differential Gr bner bases / C. Ferro // Gr bner o o Bases in Symbolic Analysis, Radon Series on Computation and Applied Mathematics. - 2007. - Vol.2. - P. 43–73.

6. Gerdt, V. On an algorithmic optimization in computation of involutive bases / V. Gerdt // Prog Comp Softw. - 2002. - Vol.28. - P. 62–65.

7. Janet, M. Sur les syst` mes d’ quations aux deriv es partielles / M.

e e e Janet // J Math Pure Appl. - 1920. - Vol.3. - P. 65–151.

8. Kruglikov, B. Note on two compatibility criteria: Jacobi-Mayer bracket vs. differential Gr bner basis / B. Kruglikov // Lobachevskii Journal of o Mathematics. - 2006. - Vol.23. - P.57–70.

9. Kruglikov, B. Mayer brackets and solvability of PDEs - II / B. Kruglikov, V. Lychagin // Transactions of American Mathematical Society. - 2005.

- Vol. 358. - P.1077–1103.

10. Mansfield, E. L. A simple criterion for involutivity / E.L. Mansfield // J. London Math. Soc. - 1996. - Vol. 54. - P. 323–345.

11. Riquier, C. H. Les syst` mes d’ quations aux d riv es partielles. / C. H.

e e ee Riquier // Paris: Gauthier-Villars. - 1910.

12. Ritt, J. F. Differential algebra. / J. F. Ritt // New York: Dover. - 1966.

13. Seiler, W. M. Involution: The Formal Theory of Differential Equations and its Applications in Computer Algebra. / W. M. Seiler // Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. - 2010. - P. 672.

14. Spencer, D. C. Overdetermined systems of linear partial differential equations / D. C. Spencer // Bull. Amer. Math. Soc. - 1965. - Vol.

75. - P. 1–114.

15. Thomas, J. M. Riquier’s theory / J. M. Thomas // Annals of Math. 1934. - Vol. 35.

Работы автора, опубликованные по теме диссертации 1. Тычков, С.Н.: О формальной интегрируемости системы дифференци­ альных уравнений термодинамики [Текст] / С.Н. Тычков // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 26. - С. 246-251 (2011) 2. Тычков, C.Н.: Реализация мультискобки Кругликова-Лычагина в си­ стеме компьютерной алгебры Maple [Текст] / C.Н. Тычков // Управ­ ление Большими Системами. - 33, С. 127-142 (2011) 3. Тычков, С. Н.: Реализация скобки Кругликова-Лычагина-Майера в си­ стеме компьютерной алгебры Maple [Текст] / С.Н. Тычков // Про­ граммные системы: теория и приложения. - 2. (2011) 4. Тычков, С. Н.: Вычисление скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системе Maple [Текст] / С.Н. Тычков // Тезисы докладов междуна­ родной конференции «Геометрия в Одессе 2009». - С. 76. (2009) 5. Тычков, С. Н.: Реализация скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системах символьной математики [Текст] / С.Н. Тычков // Тезисы до­ кладов международной конференция «Геометрия в Астрахани 2009».

- С. 31. (2009) 6. Тычков, С. Н.: О совместности одной системы дифференциальных уравнений из термодинамики [Текст] / С.Н. Тычков // Тезисы до­ кладов международной молодежной школы «Геометрическая теория управления». - С. 56. (2010) 7. Тычков, С. Н.: Исследование совместности системы дифференциаль­ ных уравнений из термодинамики в системе компьютерной алгебры Maple [Текст] / С.Н. Тычков // Математика, информатика, их прило­ жения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы­ конференции с международным участием для молодых ученых: ста­ тьи, обзоры, тезисы докладов. - С. 291. (2010) 8. Тычков, С. Н.: Формальная интегрируемость уравнений Абеля и 5-тка­ ни максимального ранга [Текст] / С.Н. Тычков // Тезисы докла­ дов международной школы-конференции для молодежи «Геометрия.

Управление. Экономика.» - С. 34.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.