авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Убывание на бесконечности решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях

На правах рукописи

Каримов Руслан Халикович УБЫВАНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2011

Работа выполнена в ГОУ ВПО ”Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой”, ГАНУ ”Институт прикладных исследований”

Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент Кожевникова Лариса Михайловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат Давидович кандидат физико-математических наук, доцент Ушаков Владимир Игнатьевич

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 24 февраля 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.018.10 при Казанском федеральном уни верситете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета (г. Ка зань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан " " января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Поведение на бесконечности решений крае вых и смешанных задач для линейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях хорошо изучено. Менее исследо ванной является эта задача для квазилинейных эллиптических и пара болических уравнений. Данное направление весьма обширно и включа ет в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при удалении аргумента на бесконечность и для квазилинейных параболических уравнений при больших значениях времени исследована скорость убывания решений в зависимости от гео метрии неограниченной области.

Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллипти ческих уравнений занимались О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян, Е.М. Лан дис, Г.П. Панасенко, В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Леквеишвили, О.А. Олейник, Ф.Х. Мукминов, Л.М. Кожевникова и др.

О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян1 установили оценки сверху скорости убывания на бесконечности решений краевой задачи для линейных эл липтических уравнений второго порядка в неограниченных областях.

Л.М. Кожевникова2 получила оценки решений задачи Дирихле для урав нений высокого порядка в более широком классе областей с некомпакт ными границами и доказала их точность для областей вращения в случае уравнений второго порядка. Для квазилинейных эллиптических уравне ний исследования в этом направлении до сих пор не проводились.

А.К. Гущин положил начало изучению поведения решений смешан ных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Для линейного параболического уравнения второго порядка в широком классе неогра ниченных областей в терминах простой геометрической характеристики (мера пересечения области, лежащей в основании цилиндра, с шаром радиуса r) А.К. Гущиным3 установлены точные оценки решений второй смешанной задачи.

Олейник О.А. Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. – 1980. – Т. 112(154). – №4(8).

– С. 588-610.

Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллипти ческих уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. – 2008. – Т. 199. – №8. – C. 61-94.

Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. – 1976. – Т. 101(143). – №4(12). – С. 459-499.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t посвящены работы А.В. Лежнева, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, Л.М.

Кожевниковой, И.М. Биккулова, В.Ф. Гилимшиной и др.

А.Ф. Тедеев4 получил оценку сверху L2 -нормы решения первой сме шанной задачи для параболического слабо нелинейного уравнения высо кого порядка в дивергентной форме. Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был установлен Ф.Х. Мукминовым5. Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым6 в более широком классе неограниченных областей для полулинейных параболи ческих уравнений второго порядка получены оценки сверху и доказана их точность в классе областей вращения.

А.Ф. Тедеевым7 для решения первой смешанной задачи в случае мо дельного квазилинейного параболического уравнения в дивергентной фор ме установлены оценки сверху, не зависящие от геометрии неограничен ной области.

Следует отметить, что для квазилинейных параболических уравнений оценка, характеризующая зависимость скорости стабилизации решения первой смешанной задачи от геометрии неограниченной области, ранее не была установлена в общем виде.

Цель работы:

• исследование поведения на бесконечности решений задачи Дирих ле для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях в зависимости от геометрии ;



• изучение зависимости поведения при больших значениях времени решений первой смешанной задачи для квазилинейных параболиче ских уравнений второго порядка в цилиндрических областях D = {t 0} от неограниченной области, лежащей в основании цилиндра.

Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболи ческого уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. – 1989. – T. 25. – №3. – С. 491-498.

Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравне ния высокого порядка // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23. – №10. – С. 1172-1180.

Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t решения пер вой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. – 2000. – Т. 191. – №2. – С. 91-131.

Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболиче ских уравнений // Укр. мат. журн. – 1992. – Т. 44. – №10. – C. 1441-1450.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации яв ляются новыми и получены автором лично.

1. Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка по лучены оценки скорости убывания на бесконечности решений зада чи Дирихле с финитными данными в областях с некомпактными границами. В широком классе областей вращения впервые установ лена точность этих оценок.

2. Для квазилинейных параболических уравнений второго порядка уста новлены оценки скорости стабилизации при больших значениях вре мени решений первой смешанной задачи с финитной начальной функ цией и доказана их точность. Показано, что в квазилинейном случае убывание решений имеет степенной характер, в то время как в ли нейном случае может быть экспоненциальным.





Методика исследования. Для исследования поведения на беско нечности решений квазилинейных эллиптических и параболических урав нений второго порядка использован метод, который основывается на раз биении неограниченной области на ограниченные части. Выделение та ких частей связано с построением точных оценок первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора через геометри ческие характеристики области.

Точность оценок, характеризующих скорость убывания решений рас сматриваемых задач, доказывается с помощью неравенства Гарнака.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит тео ретический характер. Результаты могут быть использованы в качествен ной теории эллиптических и параболических уравнений. Разработанные в диссертации методы могут применяться при расчетах диффузионных и тепловых процессов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва лись автором и обсуждались на семинаре по дифференциальным уравне ниям кафедры математического анализа Стерлитамакской государствен ной педагогической академии, семинаре лаборатории дифференциаль ных уравнений Института прикладных исследований АН РБ, семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственно го университета, семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ка занского федерального университета, а также на следующих научных конференциях: "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Са мара, 2007), "Фундаментальная математика и ее приложения в естество знании" (Уфа, 2007), "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.

Крейна" (Воронеж, 2008), "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Эльбрус, 2008), "Дифференциаль ные уравнения и смежные проблемы", посвященной 80-летию академи ка В.А. Ильина (Стерлитамак, 2008), "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010), "Лаврентьевские чтения по математи ке, механике и физике", посвященной 110-летию академика М.А. Лав рентьева (Новосибирск, 2010), "Лобачевские чтения – 2010", посвящен ная 50-летию механико-математического факультета Казанского универ ситета (Казань, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра ботах [1] – [11]. Из совместных работ [7]– [11] Л.М. Кожевниковой при надлежат постановки задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 81 наименование. Нумерация теорем, лемм, утверждений, предложений, следствий, замечаний, фор мул ведется отдельно в каждой главе. Общий объем диссертации страницы.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научно му руководителю Л.М. Кожевниковой за предложенную тематику иссле дований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддерж ку.

Краткое содержание диссертации Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Прежде чем перейти к формулировке результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через будем обозначать область простран ства Rn = {x = (x1, x2,..., xn )}, n 2. Положим: · p,Q нор ма в пространстве Lp (Q), причем значения p = 2, Q = опускаются;

S = {t 0};

r2 = {x | r1 x1 r2 }, значения r1 = 0, r2 = r могут опускаться;

r = {x | x1 = r}.

Л.М. Кожевниковой8 для областей с некомпактными границами пред ложено новое понятие, называемое -разбиением, которое позволяет по лучать точные оценки решений краевых задач для линейных эллипти ческих и параболических уравнений. Это понятие является обобщением понятия - последовательности, введенного ранее9 для областей, распо ложенных вдоль выделенной оси Ox1, где показано, что использование этой геометрической характеристики позволяет в ряде случаев устанав ливать более сильные результаты, чем ранее известные. В настоящей работе техника -разбиений адаптирована на некоторый класс квазили нейных операторов.

Предполагается, что неограниченная область Rn представлена в (N ) последовательности вложенных (N ) виде объединения = N = (N +1) ограниченных областей, удовлетворяющих следующим требова (N ) ниям. Дополнения (N 1) = (N ) \(N 1) распадаются на конечное число p(N ) (N ) (N ) (N ) 1, p(N ) связных компонент i, i= : (N 1) = i, N = 1,. Пе i= ресечения ((N ) ) = S (N ), N = 0,, представляют собой конечное (N ) (N ) (N ) S (N ) (Si = число липшицевых гиперповерхностей Si = i могут быть несвязными), i = 1, p(N ), N = 1,.

Для множества Q введем обозначение m+1 {Q} = inf g g(x) C0 (), g =1.

m+1,Q m+1,Q (N ) (N ) (N ) (N ) Определим векторы t(N ) = (t1,..., tp(N ) ) и (N ) = (1,..., p(N ) ) фор (N ) (N ) (N 1) (N 1) (N ) = i S (N 1) =, мулами ti = dist(Si, Si ), где Si (N ) (N ) i = {i }, i = 1, p(N ), N = 1,. Будем предполагать, что суще ствует число 0 такое, что выполняются неравенства (N ) (N ) 1 i (ti )m+1, i = 1, p(N ), N = 1,. (1) (N ) при выполнении нера Описанное выше представление = N = венств (1) будем называть -разбиением области.

Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодиф ференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. – 2009. – T. 1. – №1. – С. 38-68.

Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного ква зиэллиптического уравнения // Матем. сб. – 2005. – Т. 196. – №7. – С. 67-100.

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Ox1 (сечение r не пусто при любом r 0), множества (N ) = zN можно определить с помощью неограниченной возрастающей последо вательности положительных чисел {zN }=0. При этом последователь N ность {zN }=0 называется - последовательностью, а условие (1) для N zN принимает вид разбиения = N = 1 (zN 1, zN )m+1, N = zN zN 1, N = 1,, (2) N где (r1, r2 ) = {r2 }, r1 r2.

r Глава I имеет вспомогательный характер, в §1.1 приводятся неравен ства, используемые в последующих параграфах, в §§1.2, 1.3 установлены свойства и приведены примеры построения - последовательностей. По сути эти параграфы посвящены распространению результатов Л.М. Ко жевниковой с линейного на квазилинейный случай.

Приведем необходимое и достаточное условие существования - пос ледовательности:

для любого r1 0 найдется r2 r1 такое, что (r1, r2 ) 0.

При этом -последовательность можно построить начиная с любого z 0.

Рассмотрим область вращения (f ) = {(x1, x ) Rn | x1 0, |x | f (x1 )} (3) с положительной функцией f (x1 ). От функции f требуется только, чтобы множество (f ) было областью.

Для областей вращения вида (3) приведем способ построения - по следовательности. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {zN }=0 назовем -последовательностью функ N ции f, если справедливы равенства z0 = 1, zN = sup r inf f (x) r zN 1, N = 1,.

[zN 1,r) Эту последовательность назовем - последовательностью функции f.

Установлено, что - последовательность функции f является - после довательностью для области (f ).

Если существует постоянная 1 такая, что sup{f (z) | z [x f (x), x + f (x)]} f (x), x 1, (4) то справедливы неравенства zN dx 2 N N, N = 0,, f (x) zN +1 zN 1, = 3, N = 1,. (5) zN zN Приведем результаты главы II, установленные для решений задачи Дирихле в случае квазилинейного эллиптического уравненийя второго порядка n n (a (x, u))x = ( (x))x, x ;

(6) =1 = с однородным граничным условием u = 0. (7) Предположим, что функции, входящие в уравнение (6) удовлетворяют следующим требованиям. Функции a (x, ), = 1, n, измеримы по x и для всех, Rn при п.в. x подчиняются условиям:

n (a (x, ) a (x, )) ( ) a| |m+1, m 1;

(8) = |a(x, ) a(x, )| a| |(|| + ||)m1, a = (a1,..., an );

(9) a (x, 0) = 0, = 1, n, (10) с положительными числами a, a.

Очевидно, функции a () = ||m1, = 1, n, удовлетворяют усло виям (8) – (10) и уравнение (6) принимает вид n n m | u| ux = ( (x))x.

x =1 = В §2.1 доказаны существование и единственность обобщенного реше ния задачи (6), (7).

Далее, приведем результаты, характеризующие скорость убывания решения задачи (6), (7) на бесконечности в областях с некомпактными границами в зависимости от их геометрических свойств. Чтобы ограни чить влияние вектор-функции (x) = (1 (x),..., n (x)) на поведение решения, будем считать, что имеет компактный носитель:

supp (0). (11) В п. 2.2.1 получены оценки сверху решения задачи (6), (7).

(N ) Теорема 2.6. Пусть для области существует -разбиение = N = и выполнено условие (11). Тогда найдутся положительные числа m (, a, a), Mm (, a, a, (m+1)/m ) такие, что для решения u(x) задачи (6), (7) при N 0 справедливы оценки u Mm exp(m N ), (12) m+1,\(N ) (N +1) u Mm max ti exp(m N ). (13) (N +1) m+1,(N ) i=1,p(N +1) (N ). Задача Оценки (12), (13) зависят от представления = N = оптимизации - разбиения достаточно сложная и здесь не решалась, од нако для - последовательностей этот вопрос рассмотрен. Для областей, расположенных вдоль оси Ox1, в случае, когда разбиение осуществляется с помощью - последовательности {zN }=0, оценки (12), (13) принима N ют вид u m+1,zN Mm exp(m N ), (12 ) u Mm N +1 exp(m N ). (13 ) z m+1,zN + N Установлено, что оптимальной является -последовательность с ми нимально возможными интервалами (zN 1, zN ), при которых условия (2) не нарушаются. Если выполнено условие (4), то -последовательность {zN }=0 является оптимальной - последовательностью для области N (f ).

Следствием теоремы 2.6 для областей вращения (f ) вида (3) с функ цией f, удовлетворяющей условиям f (r) lim = 0, (14) r r f (x) 1, x 1, (15) является оценка r dx Mm exp m u, r R. (16) m+1,r+1 (f ) f (x) r В области (f ) с функцией f (x) = xa, 0 a 1, x 0, для решения задачи (6), (7) справедлива оценка M exp r1a, r R.

u (161 ) m+1,r+1 (f ) r В области (f ) с функцией f (x) = e, 0 x e, f (x) = x/ ln x, x e, для решения задачи (6), (7) установлена оценка M exp ln2 r, r R.

u (162 ) m+1,r+1 (f ) r В п. 2.2.2 для решения задачи (6), (7) получены оценки снизу, под тверждающие точность оценок (12 ), (13 ).

Теорема 2.7. Пусть - последовательность {zN }=0 функции f (x), N x 0, удовлетворяет условию (5) и выполнено требование (11). Тогда для неотрицательного решения u(x) задачи (6), (7) в области вращения (f ) существуют положительные числа Km (, n, a, a), µm (n, a, a, f, ) такие, что для N 2 справедливы неравенства u µm N +1 exp(Km N ), z m+1,zN +1 (f ) N u µm exp(Km N ).

m+1,zN (f ) Кроме того, для неотрицательного решения u(x) задачи (6), (7) в об ласти вращения (f ) с функцией f, удовлетворяющей условию (4), по лучена оценка r dx u m+1,r+1 (f ) µm exp Km, r r.

f (x) r В частности, для неотрицательных решений задачи (6), (7) в областях (f ), (f ) справедливы неравенства µ exp K r1a, r r, u m+1,r+1 (f ) r µ exp K ln2 r, r r, u m+1,r+1 (f ) r которые доказывают точность оценок (161 ), (162 ), соответственно.

Далее сформулируем результаты главы III, полученные для решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравне ния второго порядка n ut = (a (t, x, u))x a(t, x, u), (t, x) D;

(17) = u(t, x) = 0;

(18) S u(0, x) = (x), (x) L2 (). (19) Предполагается, что функции, входящие в уравнение (17), удовлетво ряют следующим требованиям. Функции a (t, x, ), = 1, n, измеримы по (t, x) D и для всех, Rn при п.в. (t, x) D подчиняются условиям:

n (a (t, x, ) a (t, x, )) ( ) a| |m+1, m 1;

(20) = |a(t, x, ) a(t, x, )| a| |(|| + ||)m1, a = (a1,..., an );

(21) a (t, x, 0) = 0, = 1, n. (22) Функция a(t, x, s) измерима по (t, x) D и для всех s, r R при п.в.

(t, x) D подчиняется условиям:

(a(t, x, s) a(t, x, r)) (s r) 0;

(23) 2(m + 1) |a(t, x, s)a(t, x, r)| a|sr|(|s|+|r|)q 1, m q q, q = m+ ;

n (24) a(t, x, 0) = 0. (25) Здесь a, a, a положительные числа.

Очевидно, функции a () = ||m1, = 1, n, a(s) = |s|q 1 s удо влетворяют условиям (20)–(25) и уравнение (17) принимает вид n | u|m1 ux |u|q 1 u.

ut = (17 ) x = Следует отметить, что в случае a(t, x, u) 0 уравнение (17) запишется в виде n ut = (a (t, x, u))x. (26) = В §3.1 доказаны существование и единственность обобщенного реше ния задачи (17)–(19).

В §3.2 установлены оценки L2 () - нормы решения задачи (17)– (19), характеризующие скорость убывания решения при t.

А.Ф. Тедеевым10 изучалась допустимая скорость стабилизации ре шения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболиче ских уравнений // Укр. мат. журн. – 1992. – Т. 44. – №10. – C. 1441-1450.

уравнения высокого порядка частного вида. С целью полноты изложе ния используя ту же методику в п. 3.2.1 для неотрицательного решения задачи (17 ), (18), (19) с финитной неотрицательной функцией уста новлена оценка u(t) (C()t + 1)1/(m1), t 0. (27) Заметим, что наилучшая скорость убывания решений t1/(m1) может до стигаться в сужающихся неограниченных областях. Например, для ре шения задачи (17)–(19) в области (f ) с функцией f (x) = xa, a 1/(n 1), x 0, справедлива оценка M t1/(m1), u(t) m 1, t 0.

(f ) В п. 3.2.2 получены оценки сверху, характеризующие скорость убы вания решения задачи (17)– (19) при |x|. Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что supp (0). (28) Будем считать, что выполнено условие (0) = (0) 0. (29) Теорема 3.3. Пусть для области существует - разбиение = (N ) и выполнено условие (28). Тогда найдутся положительные чис N = ла m (a, a, ), M (m, a, a, ) такие, что решение u(t, x) задачи (17)– (19) при всех t 0, N 0, удовлетворяет оценке M em N.

u(t) \(N ) Для m 1 определим последовательность m+1 Fm (N ) = 1/ inf g g(x) C0 (), g =1, N = 0,.

(N ) m+1,(N ) Пусть Nm (t), m 1, N1 (t) произвольные неотрицательные функции, удовлетворяющие, соответственно, неравенствам Fm (Nm (t)) exp(m (m 1)Nm (t)) t, m 1, t 0;

N1 (t)F1 (N1 (t)) t, t 0.

Например, можно положить Nm (t) = min N 0, Fm (N ) exp(m (m 1)N ) t, m 1, t 0;

N1 (t) = max N 0, N F1 (N ) t, t 0.

(N ) Теорема 3.4. Пусть для области существует -разбиение = N = и выполнены условия (28), (29). Тогда найдутся положительные числа k1 (, a, a), Mm (, a, a, ) такие, что для решения u(t, x) задачи (17)– (19) справедливы оценки u(t) Mm t1/(m1) Fm 1/(m1) при m 1 (Nm (t)), t 0, (30) при m = 1 u(t) M1 exp(k1 N1 (t)), t 0. (31) Заметим, что практически всегда можно устроить разбиение с выпол нением условия: существует b 0 такое, что Fm (N ) C exp(bN ), N 0. (32) Если выполнено условие (32), то для t 0 можно положить exp(Nm (t)) = t1/(b(m+1)+m (m1)), m 1;

exp(N1 (t)) = t1/(2b+), (0, 1), и оценки (30), (31) принимают вид u(t) Mm tm /(b(m+1)+m (m1)), m 1, t 0;

(33) u(t) M1 tk1 /(2b+), m = 1, t 0. (34) Если определить множества (N ) = {x Rn | x1 0, |x| 2N }, N = (N ) является - разбиением полупространства R+ = 0,, то = n N = {x Rn | x1 0}. При этом справедливы неравенства (32) и имеют место оценки (33), (34).

Если же выполнено условие ln Fm (N ) lim = 0, (35) N N то можно выбрать exp(Nm (t)) = t1/(m (m1)), m 1, t 0, (36) и оценка (30) принимает вид Mm t(1)/(m1), u(t) m 1, (0, 1), t 0. (37) L2 () Выбор функции Nm (t) формулой (36) является оптимальным, поскольку оценка (37) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(m 1) оценки снизу (27).

Предположим далее, что функция f удовлетворяет условию:

r 1 dx lim =. (38) r ln r f (x) Очевидно, что требование (14) является достаточным для выполнения (38). Для областей вращения, удовлетворяющих условию (14), справед ливо соотношение (35). Таким образом, для областей вращения, удовле творяющих условию (14), выбор функции Nm (t), m 1, формулой (36) оправдан и справедлива оценка (37). Однако, для областей вращения можно получить более тонкие оценки.

Пусть P(, z) = {(x1, x2 ) R2 | z x1 z +, 0 x2 } квадрат со стороной и левой нижней вершиной в точке z оси абсцисс. Для положительной функции f (x1 ), x1 0, символ r (f ) будет обозначать криволинейную трапецию r (f ) = {(x1, x2 ) R2 | 1 x1 r, 0 x2 f (x1 )}.

Через (r) обозначим сторону наибольшего квадрата P(, z ), содер жащегося в r (f ).

Определим функцию r1 (t), t 0, равенством r dx t =2. (39) f (x) (r1 ) r dx Ввиду возрастания функции 2 (r), r 1, равенство (39) одно f (x) значно определяет монотонно возрастающую функцию r1 (t), t 0.

Следствием теоремы 3.4 для областей вращения вида (3) являются следующие оценки u(t) Mm t1/(m1) gm (t), при m 1 t 1;

(40) r1 (t) dx при m = 1 u(t) M1 exp k1, t 0, (41) f (x) где функция gm (t) растет медленнее любой степенной функции t, 0.

В области (f ) для решения задачи (17)– (19) оценки (40), (41) при нимают вид Mm t1/(m1) (ln t)/(1a), u(t) m 1, t e, (f ) (401 ) m+1 n1 =a +a + ;

m1 2 1a u(t) M1 exp k1 t 1+a, m = 1, t 0. (411 ) (f ) В области (f ) для решения задачи (17)– (19) оценки (40), (41) принимают вид Mm t1/(m1) (ln t)/2 exp (ln t)1/2, u(t) m 1, t e, (f ) m+1 n = +, 0;

m1 (402 ) k1 (ln t) u(t) M1 exp, m = 1, t 1. (412 ) (f ) В п. 3.2.3 для широкого класса областей вращения доказана точность полученных оценок для уравнения (26) при m = 1.

Теорема 3.5. Пусть - последовательность {zN }=0 положитель-N ной функции f (x), x 0, подчиняется неравенствам (5). Тогда для неотрицательного решения u(t, x) задачи (26), (18), (19) при m = 1 в области D(f ) = {t 0} (f ) существуют положительные числа t1 (f ), K1 (f, n, a, a), µ1 (a, a, f, n, ) такие, что при t t1 справедливо неравенство u(t) (f ) µ1 exp (K1 N1 (t)).

Из теоремы 3.5 следует, что оценка (31) для неотрицательного реше ния задачи (26), (18), (19) при m = 1 в области D(f ) для широкого класса областей вращения (f ) является точной.

Кроме того, для неотрицательного решения u(t, x) задачи (26), (18), (19) при m = 1 в области D(f ) с функцией f, подчиняющейся условиям (4), (38) установлена оценка r1 (t) dx u(t) µ1 exp K1, t t1, (f ) f (x) доказывающая точность оценки (41).

В частности, для неотрицательных решений u(t, x) задачи (26), (18), (19) при m = 1 в областях D(f ), D(f ) справедливы неравенства 1a µ exp K1 t 1+a, t t, u(t) (f ) µ exp K1 (ln t)2, t t, u(t) (f ) доказывающие точность оценок (411 ), (412 ), соответственно.

Публикации по теме диссертации [1] Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейно го эллиптического уравнения в неограниченной области // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные урав нения и их приложения". – Самара: Из-во "Универс групп", 2007. – С. 65-66.

[2] Каримов Р.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Те зисы докладов Всероссийской школы-конференции для студентов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естесствознаниии". – Уфа: РИО БашГУ, 2007. – С. 23-24.

[3] Каримов Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Тезисы докладов Воронежской зимней матема тической школы С.Г. Крейна. – Воронеж: ВорГУ, 2008. – С. 64-66.

[4] Каримов Р.Х. Поведение при больших значениях времени первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г Крейна. – Воронеж: ВорГУ, 2008. – С. 143-152.

[5] Каримов Р.Х. Теоремы существования и единственности зада чи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в неограниченной области // Материалы Международного Российско Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и род ственные проблемы анализа и информатики". – Эльбрус: КБГУ, 2008. – С. 212-213.

[6] Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений в областях с некомпактной границей // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". – Уфа: Гилем, 2008. – С.116-120.

[7] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квази линейных параболических уравнений в неограниченных областях // Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". – Са мара: СамГТУ, 2010. – С. 140-143.

[8] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности ре шений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн. – 2010. – Т. 2. – №2. – С. 53-66.

[9] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Убывание решений квазилиней ного параболического уравнения в областях с некомпактными гра ницами // Труды Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева. – Новосибирск: Институт гидродина мики, 2010. С. 29-30.

[10] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квази линейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. – 2010. – Т. 201. – №9. – С.

3-26.

[11] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Точные оценки решений квази линейных эллиптических уравнений в неограниченной области // Труды международной молодежной научной конференции "Лоба чевские чтения – 2010". – Казань: КГУ, 2010. – С. 160-164.

Подписано в печать Формат 60 841/16.

Гарнитура "Times".

Печать оперативная.

Усл. печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз.

Заказ № Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой:

453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.