авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Михаил владиславович вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

УДК 517.957 Комаров Михаил Владиславович ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ И ИХ АСИМПТОТИКА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор В.А.Ильин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.Л.Гольдман, доктор физико-математических наук, доцент М.О.Корпусов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится “28” ноября 2012 г. в 15:30 на заседании Диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном уни верситете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленин ские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан “ ” 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория нелинейных уравнений, описывающих раз личные физические эффекты, является весьма важной и актуальной. Наи более интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства су ществования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением неко торого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.

Интерес к периодическим задачам возникает по нескольким причинам.

Такого рода задачи можно рассматривать, например, в случае, когда среда обладает периодической структурой: кристаллы, клеточная ткань, композит ные материалы. Кроме того, асимптотика решений подобных задач имеет особенности, отличающие ее от асимптотики решений задачи Коши1,2.

В 2000 г. И.А.Шимарёвым совместно с его учениками П.И.Наумкиным и Е.И.Кайкиной была рассмотрена периодическая задача в одномерном по пространственной переменной случае для модельного уравнения с нелиней ностями 2-го и 3-го порядков. Данное уравнение содержит в себе многие из вестные уравнения математической физики, например, уравнения Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Уизема, Курамото-Сивашинского. И.А.Шишмарёвым и его учениками была разработана методика, позволяющая единым образом исследовать асимптотическое поведение периодических решений (в опреде E.I.Kaikina, P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Periodic problem for a model nonlinear evolution equation// Advances in dierential equations. - 2002. - Vol.7, N 5. - P.581-616.

P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. / Amer. Math. Soc., Vol.133. - Providence, RI 1994.

ленном смысле) подобных уравнений.

Другим известным классом нелинейных уравнений, интерес к которому впервые возник в 1937 году, является уравнение Колмогорова-Петровского Пискунова (КПП). Данное уравнение возникает при описании нелинейных процессов типа реакция-диффузия, имеющих различную природу: распро странение доминантного гена по заселенной территории3, изотермическое распространение пламени4, химическая кинетика5.

В 1999 г. И.А.Шишмаревым была исследована6 задача Коши для урав нения КПП в многомерном по пространственной переменной случае. Была получена асимптотика при больших временах классического решения дан ного уравнения.

Помимо задачи Коши, для уравнения КПП естественно также исследовать периодическую задачу. Она появляется в случае, когда среда, в которой рас сматривается процесс, обладает периодической структурой. Примером такой постановки является задача распространения нервных импульсов по клеточ ной ткани7,8.

Еще одним важным нелинейным уравнением, имеющим разнообразные приложения, является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга. Ему посвя Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ, Механика и математика. - 1937. - Т.1, Вып.6. - С.1-26.

Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. - М.: Наука, 1980.

N.Kopell, L.N.Howard Plane wave solutions to reaction-diusion equations// Stud. Appl. Math. - 1973. Vol.52, N 4. - P.291-328.

Шишмарев И.А. О временной асимптотике решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петров ского-Пискунова// Докл. РАН. - 1999. - Т.365, №4. - С.461-464.

A.L.Hodgkin, A.F.Huxley A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve// J. Physiol. - 1952. - Vol.117. - P.500-544.

G.A.Carpenter Periodic solutions of nerve impulse equations// J. Math. Anal. Appl. - 1977. - Vol.58, N 1.



- P.152-173.

щено значительное количество работ, изучающих сверхпроводимость9, дина мику жидкости10, химическую кинетику11.

В 1995 году И.А.Шишмарёвым и М.Цуцуми была исследована12 задача Коши для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае и получена асимптотика решения.

Помимо задачи Коши для данного уравнения так же, как и для уравнения КПП, можно рассматривать периодическую задачу.

Целью работы является, во-первых, обобщение результатов, получен ных И.А.Шишмарёвым и его учениками для модельной периодической зада чи с нелинейностями 2-го и 3-го порядков в одномерном по пространственной переменной случае, на n-мерный случай. Во-вторых, построение асимптоти ки решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в n-мерном по про странственной переменной случае.

Научная новизна. В диссертации впервые получена асимптотика ре шения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной перемен ной случае. Также впервые получена асимптотика решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной перемен ной случае.





Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости// Жур. эксп. и теор. физ. - 1950. - Т.20, Вып.12. - С.1064-1082.

A.C.Newell, J.A.Whitehead Finite bandwidth, nite amplitude convection// J. Fluid Mech. - 1969. - Vol.38, Part 2. - P.279-303.

Y.Kuramoto, T.Yamada Turbulent state in chemical reactions// Prog. Theor. Phys. - 1976. - Vol.56, N 2.

- P.679-681.

Шишмарев И.А., Цуцуми М. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга// Мат. сборник. - 1995. - Т.190, №4. - С.95-114.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать при моделировании колебатель ных процессов в средах с периодической структурой.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, до кладывались на научном семинаре Нелинейные дифференциальные урав нения кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на научном семинаре кафедры математического моде лирования НИУ МЭИ и на конференции Ломоносовские чтения, секция вычислительной математики и кибернетики (апрель 2002 г., ноябрь 2011 г., апрель 2012 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в трех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 26 наименований.

Общий объем диссертации составляет 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, кратко излагается постановка задач и формулируются полученные результаты.

В главе 1 рассматриваются условия существования и различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах ре шения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной перемен ной случае.

В §1.1 ставится следующая периодическая задача t 0, x, ut + N (u) + L u = 0, (1) x.

u(0, x) = (x), Здесь x = (x1,..., xn ), = [0, 2]n, решение u(t, x) и начальные данные (x) предполагаются 2-периодическими по пространственным переменным ком плексными функциями. Линейная часть L и нелинейность N задаются в ви де псевдодифференциальных операторов с коэффициентами Lp, Ap,q, Bp,q,r, называемыми символами операторов ei(p,x) Lp up, Lu = p ei(p,x) N (u) = Ap,q upq uq + Bp,q,r upq uq+r ur.

p q q,r ei(p,x) u(t, x) dx Здесь up = коэффициенты Фурье, (p, x) скалярное (2)n произведение векторов p и x, равное p1 x1 +... + pn xn. Знак означает сум p мирование по всем векторам p с целочисленными координатами (p1,..., pn ), черта обозначает комплексное сопряжение. Параметр будет символизиро вать максимальную степень нелинейности, фактически присутствующей в задаче. Если Bp,q,r 0, то = 2, в противном случае = 3.

Линейный оператор L удовлетворяет условиям диссипации ReL0 +µ|p|, 0, p Zn \ {0}, ReLp µ 0, (2) Если 0, то будем говорить, что в задаче (1) присутствует сильная дис сипация, а если = 0, то сильная диссипация отсутствует.

Коэффициенты {Ap,q } и {Bp,q,r }, задающие нелинейный оператор N, яв ляются непрерывными функциями времени t, для которых справедлива рав номерная по t [0, +) оценка q, |Ap,q | pq Cp 0, p, q, r Zn.

0, (3) |Bp,q,r | pq Cp q+r r;

1 + |p|2 обозначает так называемую японскую скобку. Бук Величина p = вой C обозначены различные положительные постоянные.

В дальнейшем hs обозначает дискретный аналог пространства Соболева 2 2s |p |2.

с нормой (x) = p hs p Под решением периодической задачи (1) понимается решение интеграль ного уравнения t u(t, x) = G(t) G(t ) N (u)(, x) d, ei(p,x)Lp t p.

где G(t) – оператор Грина, определяемый равенством G(t) = p В §1.2 сгруппированы часто используемые в доказательствах числовые неравенства.

§1.3 начинается с пункта 1.3.1, в котором собраны утверждения, исполь зуемые для доказательства локального по времени существования решения в случае отсутствия сильной диссипации. Центральное место среди них за нимает следующая лемма.

Лемма 5 (Оценка сверток в пространстве hs )Пусть s n/2 +. Тогда для 0 и всех (x), (x), (x) hs+ справедливы всех значений параметра оценки 2s+22 q |pq ||q | pq 1. p p q 2 2 2 C +.

hs hs hs+ hs+ 2s+22 r |pq ||q+r ||r | pq 2. p q+r p q,r 2 2 2 2 2 2 2 2 C + +.

hs hs hs hs hs hs hs+ hs+ hs+ Доказательство оценки для кубической свертки в этой лемме основано на использовании оценки для квадратичной свертки. Это означает возможность применения индукции по степени нелинейности для обобщения результата на случай нелинейности более высокого порядка.

На основании принципа сжимающих отображений в hs и леммы 5 дока зывается следующее утверждение.

Теорема 1 (Локальное по времени существование решения в случае отсут ствия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с = 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0.

3) Начальные данные hs, s n/2 +.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадле жащее классу C([0, T ];

hs ), где T = T ( hs, ReL0 ) 0.

В доказательстве теоремы приводится оценка снизу времени существования решения. Это существенно используется в методе продолжения решения при доказательстве существования решения в целом по времени.

Случай сильной диссипации, когда линейный оператор L удовлетворяет условию (2) с 0, рассматривается в пункте 1.3.2. Вводятся функцио нальные пространства XT, YT с нормами T def 2 s+ (t, x) = p Ep (t)|p (t)| dt + XT p s p sup Ep (t)|p (t)|, t[0,T ] p T def 2 s (t, x) = p Ep (t)|p (t)| dt, T 0.

YT p Здесь Ep (t) = et+µ1 |p| 1 t, ReL0, 0 1 min(1, ), 0 µ1 µ. Наличие функции Ep (t) в вышеприведенных нормах позволяет доказать сглаживание решения задачи (1) при любом t 0, а также экспоненциальное убывание нормы u(t, ·) решения.

hs Для пространства XT в лемме 8 доказывается теорема вложения XT C([0, T ];

hs ) C((0, T ];

hr ), r s.

Определим индекс S0 пространства hs по правилу n def S0 = max, +, 0.

Принципиальное значение для доказательства теорем существования в случае сильной диссипации имеют следующие две леммы.

Лемма 10 (Оценка квадратичной свертки в пространстве YT ) Пусть = 2, [0, ), 0, s S0. Тогда для всех, XT и всех [0, 0 ] справедлива оценка T 2s+22 q |pq ||q | dt pq p Ep (t) p q CT 2 2 XT.

XT Лемма 11 (Оценка кубической свертки в пространстве YT ) Пусть = 3, [0, ), 0, s S0. Тогда для всех,, XT и всех [0, 0 ] справедлива оценка T 2s+22 r |pq ||q+r ||r | dt pq p Ep (t) q+r p q,r CT 2 2 2 XT.

XT XT На основании принципа сжимающих отображений в XT и лемм 10, доказывается следующее утверждение.

Теорема 2 (Локальное по времени существование решения в случае наличия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с [0, ).

3) Начальные данные hs, s S0.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадле жащее классу C([0, T ];

hs ) C 1 ((0, T ];

hl ) l s, т. е. сглаживающееся при любом t 0;

при этом T = T ( hs, ReL0,, µ) 0.

В доказательстве теоремы 2 также приводится оценка снизу времени суще ствования решения, что необходимо для метода продолжения решения на всю полуось.

В §1.4, пункте 1.4.1 методами продолжения решения доказаны теоремы существования решения в целом по времени в случае малых начальных дан ных и теорема об асимптотике.

Теорема 3 (Существование решения в целом по времени в случае малых на чальных данных и отсутствия сильной диссипации) Пусть выполнены сле дующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 0, = 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0.

3) Начальные данные hs, s S0,, достаточно мало.

hs Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадле жащее классу C([0, +);

hs ).

Теорема 4 (Существование решения в целом по времени в случае малых на чальных данных и сильной диссипации) Пусть выполнены следующие усло вия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 0, 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с [0, ).

3) Начальные данные hs, s S0,, достаточно мало.

hs Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлежа щее классу C([0, +);

hs ) C 1 ((0, +);

hl ) l s, т. е. сглаживающееся при любом t 0.

Теорема 5 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 0, 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0 в случае = 0 и [0, ) в случае 0.

3) Начальные данные hs, s S0,, достаточно мало.

hs Тогда для единственного решения u(t, x) периодической задачи (1), при надлежащего в случае = 0 классу C([0, +);

hs ), а в случае 0 классу C([0, +);

hs ) C 1 ((0, +);

hl ) l s, справедливо следующее асимптоти ческое представление при t, равномерное по x u(t, x) = U eL0 t + O e(ReL0 + min(ReL0,µ))t, где U некоторая комплексная постоянная, либо произвольное малое по ложительное число (в случае µ ReL0 и одновременно 0 или в случае µ = ReL0 ), либо равно нулю (в остальных случаях).

В пункте 1.4.2 параграфа 1.4 определяется условие симметрии нелиней ности (x) hr, Re J J(N ()) dx = 0, (4) где J псевдодифференциальный оператор, символ Jp которого удовлетво r r |Jp | ряет неравенствам C1 p C2 p для некоторых C2 C1 0 и r.

Величина r в таком случае называется порядком оператора. Данное условие используется в методе энергетических неравенств для снятия любых ограни чений на малость начальных данных. Этот подход позволяет доказать сле дующие два утверждения.

Теорема 6 (Существование решения в целом по времени и сглаживание в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 0, причем µ 0в случае = 0 или µ 0 в случае 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0 в случае = или с [0, ) в случае 0 и условию симметрии нелинейности (4) с оператором J порядка r S0.

3) Начальные данные hr в случае = 0 или hs, где s S0, в случае 0.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), которое в случае = 0 принадлежит классу C([0, +);

hr ), а в случае 0 классу C([0, +);

hs )C 1 ((0, +);

hl ) l s, т. е. сглаживается при любом t 0.

Теорема 7 (Асимптотика решения в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для единственного решения u(t, x) периодической задачи (1) из класса, указанного в теореме 6, справед ливо асимптотическое представление при t, указанное в теореме 5.

В §1.5 получена осциллирующая асимптотика решения. Для этого зада ча (1) записывается в терминах коэффициентов Фурье и в полученной си стеме подробно исследуется асимптотическое поведение нулевой гармоники решения. В параграфе доказаны два утверждения.

Теорема 8 (Существование решения в целом по времени в случае осцилли рующей нелинейности и малых начальных данных) Пусть выполнены сле дующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 = 0, = 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0 и условиям A0,0 = 0, B0,0,0 = i(t), где (t) вещественная, непрерывная функция.

3) Начальные данные hs, s S0,, достаточно мало.

hs Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадле жащее классу C([0, );

hs ).

Теорема 9 (Осциллирующая асимптотика решения в случае малых началь ных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор L удовлетворяет (2) с ReL0 = 0, = 0, µ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с = 0 и условиям A0,0 = 0, B0,0,0 = i(t), где (t) вещественная, непрерывная функция, такая, что Ce20 t, 0 0 µ.

|(t)| 3) Начальные данные hs, s S0,, достаточно мало.

hs Тогда для единственного решения u(t, x) задачи (1), принадлежащего классу C([0, );

hs ), справедливо следующее асимптотическое представле ние при t, равномерное по x t ( ) d + O et, u(t, x) = U exp L0 t i i|U | где U, некоторые вещественные постоянные, произвольное число из интервала (0, min{2(µ 0 ), µ}).

В главе 2 получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в случае малых начальных данных.

В §2.1 ставится следующая периодическая задача t 0, x, ut + P(u) + Ku = 0, (5) x.

u(0, x) = (x), Здесь u(t, x) – действительная, 2-периодическая по пространтсвенным пе ременным функция, x = (x1,..., xn ), n 1, n-мерный куб с длиной ребра 2, P(u) полиномиальная нелинейность порядка m 2 с постоян ными коэффициентами m al ul, am = 0, P(u) = l= Ku линейный псевдодифференциальный оператор порядка, задаваемый в терминах рядов Фурье u(t, x)ei(p,x) dx.

Kp up (t)ei(p,x), up (t) Ku = (2)n p В §2.2 доказываются вспомогательные утверждения.

В §2.3 доказано следующее утверждение.

Теорема 10 (Локальное по времени существование решения) Пусть выпол нены следующие условия:

0, p Zn ;

b0, b 1) ReKp 2) начальное возмущение (x) h, n/2 +.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (5), принадлежа щее классу C([0, T ];

h ) C 1 ((0, T ];

h ), причем T = T ( (x) ).

В §2.4 доказано следующее утверждение.

Теорема 11 (Существование решения в целом по времени) Пусть выполне ны следующие условия:

b 0, p Zn ;

1) ReKp 2) p, 0 достаточно мало, n/2 +.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (5), принадлежа щее классу C([0, +);

h ) C 1 ((0, +);

h ).

В замечаниях к приведенной теореме показано, что оба условия являются необходимыми: в случае невыполнения одного из них решение может разру шится за конечное время.

В §2.5 доказано следующее утверждение.

Теорема 12 (Экспоненциальная асимптотика решения в случае малых на чальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Cимвол Kp удовлетворяет условиям:

ReK0 K0 0, p = p Zn, ReKp K0 + p, p = µ 0, p = 1 (1+|p|) для всех p Zn, 1 0 достаточно 2) Начальные данные |p | мало, n +.

Тогда при t равномерно по x справедлива асимптотика для ре шения u(t, x) задачи (5):

u(t, x) = BeK0 t + O eK0 tt, = min(K0, µ) 0, где B = lim eK0 t u(t, x) dx.

(2)n t В главе 3 получена асимптотика классического решения периодической задачи для комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга в случае малых на чальных данных.

В §3.1 ставится следующая периодическая задача ut + |u|2 u + au ( + i)u = 0, t 0, x, (6) x.

u(0, x) = (x), Здесь x = (x1,..., xn ), n 1, – n-мерный куб с длиной ребра 2, a,, – действительные числа, – комплексное число. Решение u(t, x) – комплексно значная функция, 2-периодическая по пространственным переменным, – оператор Лапласа.

В §3.2 доказываются вспомогательные утверждения и априорные оценки.

В §3.3 доказаны следующие утверждения.

Теорема 13 (Существование и единственность решения) Пусть выполнены следующие условия: a 0, 0, а коэффициенты Фурье начального воз (1 + |p|)µ, µ n, p Zn, мущения (x) удовлетворяют условию |p | где – достаточно мало. Тогда для любого (n/2;

µ n/2) существу ет единственное решение u(t, x) периодической задачи (6), принадлежащее классу C 0 ([0;

), h ) C 1 ((0;

), hs ) s.

Теорема 14 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда при t равномерно по x справедлива асимптотика u(t, x) = Beat + o eat t, 0, где B = lim eat u(t, x) dx.

(2)n t Вид асимптотики в периодическом случае существенным образом отли чается от случая задачи Коши во всем пространстве отсутствием дополни тельного степенного убывания по t, зависящего от размерности пространства x–ов.

В заключении анализируется влияние тех или иных условий на линей ную часть L, нелинейность N и начальные данные с точки зрения суще ствования глобального решения модельной периодической задачи (1). Введем понятия сильных и слабых требований для указанных характеристик задачи:

Сильное требование Слабое требование Сильная диссипация ( 0 в (2)) Отсутствие этого L N Симметрия нелинейности (4) Отсутствие этого Малость Отсутствие этого hs Выясним влияние приведенных условий на решение задачи (1), сравнив фор мулировки теорем 1 и 2 о локальном по времени существовании решения, а также теорем 3, 4 и 6 о существовании решения в целом по времени.

Существование решения в целом по времени обеспечивается наличием хо тя бы одного из двух сильных требований: либо для нелинейного опера тора N, либо для начальных данных. В случае же, когда нелинейность и начальные данные удовлетворяют одновременно слабым требованиям, в работе доказано существование решения задачи (1) локально по времени (с каждым из двух условий слабым или сильным для линейного оператора L). В связи с этим возникает вопрос: может ли в последнем слу чае решение задачи (1) существовать в целом по времени? Приведем пример задачи, в которой такое локальное по времени решение не может быть про должено на всю полуось [0, +).

Пусть для линейного оператора L выполнено условие диссипации (2) с 0 (т. е. выполнено сильное или слабое условие), L0 = L0 0;

нели нейный оператор N удовлетворяет условиям Ap,q 1, Bp,q,r 0;

началь ные данные hs, где s n/2 +, причем (x) вещественная функция и 0 = (x) dx велико. Тогда выполнены условия теоремы 10 суще (2)n ствования локального по времени решения u(t, x) периодической задачи (5) для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, принад лежащего классу C([0, T ];

hs ) C 1 ((0, T ];

hs ). Однако в силу замечания 2 к теореме 11 о существовании решения в целом по времени, сформулированные выше требования обеспечивают разрушение решения за конечное время.

В приведенном примере начальные данные не малы в смысле нормы hs, а значит удовлетворяют слабому требованию. Нелинейность N так же удовлетворяет слабому требованию, поскольку в случае выполнения условия симметрии нелинейности (4) была бы справедлива теорема 6 о су ществовании решения в целом по времени, а это не так.

Таким образом, можно сделать вывод, что в рамках задачи (1) наличие глобального во времени решения существенно связано с особенностями нелинейного оператора N и начальных данных, в то время как свойства линейного оператора L в значительной степени определяют класс гладкости решения в терминах индекса пространства hs.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Получены различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллиру ющая) при больших временах решения периодической задачи для модельно го уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае.

2. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в много мерном по пространственной переменной случае. Показано, что условия тео ремы существования решения в целом по времени являются не только до статочными, но и необходимыми.

3. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной пере менной случае.

В заключение автор выражает огромную благодарность члену-коррес понденту Российской академии наук, доктору физико-математических наук, профессору И.А.Шишмарёву за постановку задач и замечания, высказан ные в ходе проведения исследований.

Автор глубоко благодарен академику Российской академии наук, доктору физико-математических наук, профессору В.А.Ильину за постоянную под держку в работе.

Автор благодарен профессору Г.А.Калябину, доценту Г.Д.Ким и доценту В.В.Тихомирову за ценные советы по теме диссертации и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ 1. Комаров М.В. Периодическая задача для обобщенного уравнения Кол могорова-Петровского-Пискунова// Дифференциальные уравнения. - 2001. Т.37, №1. - C.66-72.

2. Комаров М.В., Шишмарев И.А. Периодическая задача для уравнения Ландау-Гинзбурга// Математические заметки. - 2002. - Т.72, №2. - C.227-235.

3. Комаров М.В. Периодическая задача для эволюционного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями// Дифференциальные уравне ния. - 2011. - Т.47, №12. - С.1705-1723.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.