авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Методы расчета равновесий нэша для некоторых аукционов однородного товара

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Шаманаев Антон Сергеевич Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН Краснощеков Павел Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор Васин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ Потапов Михаил Михайлович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ВЦ РАН Меньшиков Иван Станиславович

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита диссертации состоится “ 18 ” июня 2010 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК МГУ http://cs.msu.su в разделе «Наука» – «Работа диссертационных советов» – «Д 501.001.44».

Автореферат разослан “ 17 ” мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор Н.П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Рынки однородных товаров, к которым относятся металлы, энергоресурсы, электроэнергия и др., играют важнейшую роль в современной экономике. Интерес к их исследованию связан с тем, что в течение последних 30 лет в разных странах активно развиваются рынки электроэнергии и газа. Оптовые рынки упомянутых товаров, как правило, являются олигополиями, т.е. рынками, на которых действует небольшое количество фирм – продавцов. Каждая из фирм на таком рынке обладает рыночной властью, т.е. способна своими действиями влиять на рыночную цену. Важная практическая задача – организовать рынок таким образом, чтобы не допустить большого отклонения цены от значения, оптимального с точки зрения суммарного выигрыша участников рынка. Такое значение реализуется в состоянии конкурентного равновесия. В связи с этим особый интерес представляет изучение моделей аукционов однородного товара, то есть возможных форм организации такого рынка. В каждом случае аукцион описывают как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. В качестве модели поведения участников аукциона обычно рассматривают равновесие по Нэшу соответствующей игры.

В существующей литературе (Amir, Ausubel, Cramton, Allen, Hellwig, Васин и др. авторы) исследованы свойства различных аукционов (Курно, Викри, Бертрана-Эджворта, единой цены) и получены методы расчета равновесий Нэша в соответствующих теоретико-игровых моделях. Однако для многих рынков однородных товаров важную роль играет сетевая структура связей производителей и потребителей, ограничения пропускной способности линий и потери или затраты при транспортировке. Для сетевых рынков в условиях совершенной конкуренции получены1,2 достаточно полные результаты относительно расчета состояния конкурентного См. H o g a n, W. Electricity Transmission and Merging Competition: Why the FERC’s Mega-NOPR Falls Short // Public Utilities Fortnightly, v. 133, no. 13, 1995, pp. 32–36.

Д а в и д с о н М. Р. и д р. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2004. № 3. С. 72–83.

равновесия. Однако задача расчета равновесий Нэша и анализа их свойств для сетевых рынков – олигополий не решена даже в простейшем случае: для рынка с двумя узлами. Простейший вариант аукциона однородного товара – аукцион Курно. Для этого аукциона установлена3 связь с аукционом единой цены, который широко используется на практике. Для модели двухузлового аукциона Курно в общем виде сформулированы3 методы расчета равновесий Нэша, однако они предполагают ряд существенных допущений, а также неудобны для анализа конкретных рынков, поскольку их использование связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос существования и единственности равновесий. В диссертации рассматривается двухузловой аукцион Курно в предположении одинаковых предельных издержек производителей в каждом из узлов. Для этого аукциона в диссертации решаются вопросы о существовании и структуре множества равновесий Нэша, разрабатываются методы расчета равновесий.

Другая актуальная проблема – изучение возможных альтернатив аукциону единой цены. Недостатком аукциона единой цены является то, что на нем создаются благоприятные условия для реализации продавцами рыночной власти. В результате отклонение исхода Курно от конкурентного равновесия (по Вальрасу) может быть довольно велико, что неблагоприятно для конечных потребителей. В качестве альтернативы аукциону Курно в диссертации рассматривается аукцион Викри4. На таком аукционе цена и объемы выпуска определяются так же, как на стандартном аукционе единой цены, однако оплата товара, приобретаемого у некоторого производителя, происходит по резервным ценам, рассчитываемым на основе функции спроса и заявок других компаний. Преимуществом этого аукциона является достижение максимального суммарного выигрыша участников (производителей и потребителей) при индивидуально рациональном поведении, соответствующем равновесию Нэша в доминирующих стратегиях.



В а с и н А. А. Некооперативные игры в природе и обществе // М.: МАКС пресс, 2005.

A u s u b e l, M., C r a m t o n, P. Vickrey Auctions with Reserve Pricing // Economic Theory, 2004, v. 23, pp. 493–505.

Преимущество аукциона Викри не абсолютно, и существуют ситуации, в которых аукцион Курно дает лучшую цену с точки зрения конечных потребителей, нежели аукцион Викри. Проведение сравнительного анализа этих аукционов позволяет определить оптимальную форму аукциона в зависимости от параметров реального рынка.

Цель работы – разработка методов расчета равновесий Нэша для теоретико-игровых моделей некоторых рынков однородного товара;

изучение вопросов существования и эффективности этих равновесий в смысле цен для конечных потребителей.

Задачи работы:

1. Уточнить и упростить имеющиеся критерии существования равновесия Нэша и методы его расчета для некоторых типичных вариантов структуры двухузлового аукциона Курно.

2. Рассмотреть вопросы сосуществования равновесий различных типов и описать структуру множества равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров.

3. Аналитически решить задачу сравнения исходов аукционов Курно и Викри для ряда типичных вариантов структуры одноузлового рынка.

Методы исследования базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и микроэкономике.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертаций сформулированы в виде утверждений и теорем и строго доказаны.

Научная новизна работы определяется следующим.

Для двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.

Для двухузлового аукциона Курно, на котором в каждом из узлов действуют одинаковые фирмы симметричная олигополия) с (т.н.

постоянными предельными издержками, удалось свести задачу расчета равновесия Нэша к простой системе линейных и квадратичных уравнений и неравенств, допускающей наглядную геометрическую интерпретацию.

В дополнительном предположении малых потерь товара при передаче изучена структура множества равновесий Курно и определены все возможные комбинации сосуществования равновесий различных типов в этой модели.

Для одноузлового рынка аналитически решена задача расчета и сравнения исходов аукционов Курно и Викри для типичных вариантов структуры рынка:

1) симметричная олигополия;

2) рынок с одной крупной компанией и группой мелких;

3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Практическая ценность Полученные результаты могут быть использованы для выработки рекомендаций относительно конкретной формы аукциона и оптимальных значений параметров рынка при решении задач экономического проектирования. В рамках работы над диссертацией был разработан программный пакет, позволяющий рассчитывать равновесные цены и объемы для одно- и двухузловых аукционов Курно и Викри и сравнивать их между собой, а также с ценами и объемами равновесий по Вальрасу.

Применение данного программного пакета может быть полезно для дальнейших научных исследований различных моделей сетевых аукционов, а также в качестве пособия для студентов математических и экономических специальностей.





Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ [1–6], в том числе [1] и [3] – статьи в реферируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 4-й международной конференции по исследованию операций (ORM2004), выездных научных конференциях факультета ВМиК МГУ (2006, 2008 гг.), на международной конференции «Ломоносов-2008».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 37 наименований. Общий объем работы составляет 108 страниц.

Основные результаты работы, выносимые на защиту 1. Для модели двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.

2. Критерии существования равновесий Нэша всех типов для ситуации двух симметричных олигополий Курно, соединенных линией передачи, получены в виде систем линейных и квадратичных уравнений и неравенств.

3. Для модели двухузлового аукциона Курно в предположении малых потерь изучена структура множества равновесий Нэша: модель параметризована через 3 переменные, в множестве параметров выделены области существования равновесий различных типов и область отсутствия равновесий.

4. Задача сравнения цен исходов аукционов Курно и Викри решена аналитически для ряда типичных случаев структуры одноузлового рынка.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована проблематика диссертации, обсуждены известные результаты в области теоретико-игрового моделирования олигополистической конкуренции на рынках однородного товара.

Необходимые определения и предшествующие результаты. В диссертации рассматривается основная модель рынка однородного товара с конечным множеством производителей A. Каждый производитель a A характеризуется функцией затрат C a (v) с неубывающими предельными издержками C a v для v [0,V a ]. Поведение потребителей характеризуется D p, общеизвестной функцией спроса которая непрерывно дифференцируема и убывает по p.

В стандартной модели Курно (1838) стратегией производителя a является его объем производства va [0,V a ]. Производители устанавливают свои объемы одновременно. Обозначим через v (v a, a A) набор стратегий всех производителей. Рыночная цена p(v ) уравнивает спрос и фактическое p(v ) D 1 ( v a ).

предложение: Функция выигрыша производителя a aA f a (v ) va p(v ) C a (v a ).

определяет его прибыль: Таким образом, взаимодействие в модели Курно соответствует игре в нормальной форме С A, [0, V a ], f a (v ), v [0, V a ], a A, где игроками являются aA производители, и [0,V a ] – множество стратегий производителя a A.

Вектор (v a*, a A) объемов производства – равновесие Курно, если он является равновесием Нэша в игре C. Обозначим через (v a*, a A) равновесные по Нэшу производственные объемы, а через p* D 1 ( v a* ) aA соответствующую цену.

v, a A Вектор объемов производства называется конкурентным a равновесием, а – ценой Вальраса, если для любого верно:

a p v a S a p Arg max v a p C a v a, def.

v D p. В этом состоянии a va aA максимизируется суммарный выигрыш производителей и потребителей.

Получено5 следующее условие первого порядка для равновесия Курно:

p C ' v a* D' p* v a* p* C ' v a* D' p*, если C a ' 0 p*, * a a (1) v a* 0, если C a ' 0 p*. (2) p,v, a A называется локальным равновесием Курно, если Набор * a* удовлетворяет условиям первого порядка (1)–(2). Функция предложения Курно SC ( p) производителя a при p 0 определяется как решение системы a (1)–(2). Значением этой функции является локально равновесный по Курно объем выпуска производителя a при заданной цене p.

См. В а с и н А. А. «Некооперативные игры в природе и обществе» // М.: МАКС пресс, 2005.

S ( p* ) D( p * ).

Цена Курно p* определяется из уравнения: a (3) C a Простейший вариант сетевого аукциона Курно – два локальных рынка (узла), соединенных линией передачи. Каждый отдельный рынок i 1, характеризуется конечным множеством Ai производителей, | Ai | ni, их функциями затрат C a (v), a Ai, и функцией спроса Di ( p) так же, как локальный рынок, рассмотренный ранее. Пусть k (0, 1) – коэффициент def.

потерь товара при передаче с одного узла на другой, (1 k )1, Q – пропускная способность линии передачи. Стратегией производителя a является его объем производства v a 0,V a. Обозначим через vi v a, a Ai набор стратегий производителей узла i ;

v (v a, a A1, A2 ) – набор стратегий всех производителей в обоих узлах рынка.

Объем q товара, переброшенного с рынка 1 на рынок 2, и итоговые узловые цены pifin, i 1, 2, определяются в зависимости от v следующим piloc vi D 1 v a, i 1, 2, образом. Обозначим через цены на aAi 1 p2 v2 p1loc v1, q изолированных рынках. Если то и loc pifin v piloc vi, i 1, 2, т.е. рынки остаются изолированными. Если p2 v2 p1 v1, то pifin и q – решение следующей системы:

loc loc v q, D2 ( p2fin ) a (4) aA v D1 ( p1fin ) q, a (5) aA p2fin p1fin, если найденное значение q Q. (6) В противном случае ограничение на максимальный объем переброски становится активным: q Q, а цены определяются из уравнений (4), (5), p2fin p1fin. Случай p1loc v1 p2 v2 трактуется симметричным образом.

loc По этому правилу осуществляется переброска товара администратором торговой системы на оптовом рынке электроэнергии. Выигрышем производителя a Ai является его прибыль: f a (v ) v a pifin (v ) C a (v a ).

Существует 5 возможных типов локальных равновесий Курно для данного двухузлового рынка.

Тип a ) : цены Курно для изолированных рынков p1*, p2 удовлетворяют * условию: 1 p2 p1, q 0 ;

узлы рынка остаются разделенными.

* * В этом случае ограничение на пропускную способность несущественно, и можно формально считать Q.

Полученные в указанной работе Васина А. А. условия 1-го порядка аналогичны условиям (1)–(2) для локального рынка:

v a* ( pi* C a (v a* )) | Di ( pi* ) | для любого a Ai такого, что C a (0) c1a pi*, v a* 0 при c1a pi*.

Условия первого порядка являются необходимыми, но не достаточными для существования равновесий Курно на двухузловом рынке. При достаточно большом увеличении объема v a для некоторого a1 A1 цена на рынке 1 может уменьшиться до уровня p2, и между рынками появится * переток товара. Дальнейшее увеличение объема позволит производителю a продавать продукцию и на 2-м узле рынка.

Пусть v a ** – оптимальный объем производителя a1 при его отклонении от локально равновесной стратегии, определяемый из условия 1-го порядка:

D p D p, v a1** p1 C a1 v a1** а – соответствующая ** ** ** 2 ** p 1 1 2 оптимальная цена, получаемая из условия баланса:

D1 p1 SC p1 D2 p1 SC p2 v a1** (функция спроса в данном ** u * ** u * uA1 \ a1 uA случае соответствует объединенному рынку). Симметричным образом определяются величины v a ** и p2 для некоторого производителя a2 A2.

** Отметим, что при достаточно малом значении Q производитель a1, отклоняясь, может не достичь оптимального объема v a **, поскольку ограничение пропускной способности начнет действовать. В этом случае выгодным может оказаться увеличение объема производства до пограничного уровня v a **Q D1 p1**Q vu* Q v a1, при котором объем uA1 \ a переброски товара достигает значения Q. Соответствующая этому объему D2 p1**Q vu* Q.

p1 Q p цена определяется из уравнения:

** ** uA Симметричные рассуждения справедливы и для производителя a2 A2.

У т в е р ж д е н и е 1.1. Точка локального равновесия типа a является равновесием Нэша тогда и только тогда, когда:

a1 A 1) ни для какого производителя выигрыш при спросе D1 p1 uA \ a vu* D2 p1 uA vu* по оптимальной цене p1**, 1 1 если p1** p1**Q ;

либо выигрыш при объеме производства v a **Q по цене p1 Q, если p1 p1 Q — не превышает его выигрыш в локальном ** ** ** равновесии a по оптимальной цене p1* ;

2) и ни для какого производителя a2 A2 выигрыш при спросе D2 p2 uA \ a vu* D1 p2 uA vu* по оптимальной цене p2, ** 2 2 если p2 p2 Q ;

либо выигрыш при объеме производства v a **Q по цене ** ** p2 Q, если p2 p2 Q — не превышает его выигрыш в локальном ** ** ** равновесии a по оптимальной цене p2.

* Тип b12. Пусть p1 и p2 – цены Курно в узлах 1 и 2 в случае объединенного рынка;

v a – равновесный объем фирмы a. В данном случае переток с узла 1 в узел 2 происходит при неактивном ограничении пропускной способности: p1 p2, 0 q Q.

Для любого a A1 выполнены следующие условия первого порядка:

v a ( p1 C a (v a )) | D1 ( p1 ) 2 D2 ( p1 ) | при c1a p1, v a 0 при c1a p1.

Аналогично, для любого a A2 выполнено:

v a p1 C a '(v a ) D2 '( p1 ) D1 '( p1 ) 2 при c1a p2, v a* 0 при c1a p2.

Тип c12. Пусть p1 и p2 – цены Курно в узлах 1 и 2 в случае объединенного рынка с активным ограничением пропускной способности;

v a – равновесный объем фирмы a. В данном случае цены Курно в узлах рынка связаны неравенством: p1 p2, q Q.

Условия первого порядка имеют вид:

v a ( pi C a ' (v a )) | Di ( pi ) | для любого a Ai такого, что c1a pi, v a 0 при c1a pi, i 1, 2.

Типы b21 и c21 аналогичны двум предыдущим типам равновесий и определяются симметричным образом с перетоком из узла 2 в узел 1.

Условия существования равновесий Курно формулировались в той же работе Васина А. А. для равновесий всех типов. Однако их формулировки предполагали ряд существенных допущений (в частности, в равновесии типа a предполагалось, что ограничение пропускной способности является Q ).

несущественным: В диссертации эти допущения сняты и необходимые и достаточные условия получены в более общем виде.

Первая глава настоящей диссертационной работы посвящена вопросу существования и задаче поиска равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно. Рассматривается модель двухузлового рынка, в каждом из узлов i 1, 2 которого производителей с постоянными и одинаковыми mi предельными издержками ci. Максимальный объем выработки товара каждым производителем не ограничен. Функции спроса в узлах имеют вид Di p max Di di p,0. В общем случае предполагается, что объемы производства и потребления товара в каждом узле положительны:

pi* ci, Di pi* 0, где i 1, 2.

Для данной модели в главе 1 в упрощенном виде получены необходимые и достаточные условия существования локальных и глобальных равновесий Курно всех типов.

Тип a. Цена Курно на изолированном рынке i 1, 2 может быть найдена Di mi di ci def.

. Обозначим tij di 2 d j.

из (1)–(2) и (3) по формуле: pi* di mi Утверждение Необходимым и достаточным условием 1.4.

существования локального равновесия типа a является выполнение неравенства D2 m2 d 2c2 D1 m1d1c 1.

d 2 m2 1 d1 m1 Цены отклонения pi** и pi**Q в данном случае вычисляются по формулам:

D j m j d j c j 2 d j ci Di mi di ci p **, 2tij m j tij mi i 2tij 1 D j d j c j, где i 1, 2, j 3 i.

mj Q pi**Q Dj d j mj Т е о р е м а 1.1. Локальное равновесие типа a является равновесием Нэша в том и только том случае, если для i 1, 2 выполнена совокупность:

pi** pi**Q, 2 pi* di tij di p* d j ci di 2 ditij tij 0, j p** p**Q, i i **Q pi ci i pi* pi**Q.

d Q Тип b12. Цена Курно в узле 1, как и ранее, рассчитывается из условий 1-го порядка с учетом баланса спроса и предложения по следующей D1 D2 c1m1 c2 m2 d1 2 d формуле: p1.

m1 m2 1 d1 2 d Утверждение Необходимым и достаточным условием 1.5.

существования локального равновесия является выполнение b неравенства:

d d m d d d p Q.

c2 m 0 D2 2 2 1 2 2 1 2 2 Условие существования локального равновесия описывается b симметричным неравенством.

В работах Васина А.А. с соавторами показано, что при типичных малых значениях коэффициента потерь (менее 10%) равновесия Нэша на рынке с потерями могут быть аппроксимированы равновесиями аналогичного рынка без потерь. Далее необходимые и достаточные условия существования равновесий Курно типов b и c приводятся в предположении 1.

Теорема Локальные равновесия и являются 1.2. b12 b равновесиями Нэша в том и только том случае, если выполнена система:

D1 D2 t12 c1m1 c2 m1 2 d 2t12 t12 m2 1 D2 d 2c2 Q 0, t12 m1 m2 D1 D2 t12 c2 m2 c1 m2 2 d1t12 t12 m1 1 D1 d1c1 Q 0.

t12 m1 m2 Тип c12. Цены Курно в узлах рынка в данном случае рассчитываются D Q m2 d 2c D1 Q m1d1c по формулам: p1, p2.

d1 m1 1 d 2 m2 У т в е р ж д е н и е 1.6. Локальное равновесие c12 существует тогда и только тогда, когда выполнено:

D2 Q m2 d 2c2 D Q m1d1c 1.

d 2 m2 1 d1 m1 Условие существования локального равновесия описывается c симметричным неравенством.

Т е о р е м а 1.3. Пусть 1. Тогда локальное равновесие c12 является равновесием Нэша в том и только том случае, если выполнено следующее:

d1 p1 2d 2 p2 d1c 2Q p, 2 d1 d 2 d p c d 2 p c d 1 d d 2 p c d d, 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 d p 2d p d c 2Q p 1 1 22, 2 d1 d d d2 2Q 2Q p1 d c2 2Q p2 p1 d.

Необходимое и достаточное условие существования равновесия c описывается совокупностью систем симметричных неравенств.

Теоремы 1.1–1.3 и утверждения 1.4–1.6 в работе обобщены и для случая неодинаковых постоянных предельных издержек производителей (см. утв. 1.7–1.9 и теоремы 1.4–1.6).

Глава 2 диссертации посвящена изучению структуры равновесий Курно различных типов для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров модели.

Рассматривается описанная ранее модель двухузлового аукциона с одинаковыми предельными издержками производителей в каждом из узлов.

Дополнительно делается предположение о незначительном уровне потерь в линии передачи ( 1 ). В такой модели структура равновесий Курно различных типов полностью описывается теоремой 2.1.

Т е о р е м а 2.1. В данных предположениях утверждается следующее.

1. Равновесия Курно типа a не существует.

2. Сосуществование равновесий b12 и b21 невозможно.

3. Сосуществование равновесий c12 и c21 невозможно.

Таким образом, в каждой точке фазового множества параметров модели могут одновременно существовать не более 2 равновесий Курно.

Сосуществовать могут следующие пары равновесий:

b12 и c12, b12 и c21, b21 и c12, b21 и c21.

Отметим, что сосуществование равновесий с противоположным направлением переброски товара действительно возможно (см. рис. 1).

def.

Пусть далее d1 d2 d0. Введем 3 новые переменные: h1 D1 d0c1, def. def.

h2 D2 d0c1, H d0 c2 c1. Экономический смысл переменных h1 и h2 – уровень спроса в узлах 1 и 2 по цене, соответствующей предельным издержкам производителей узла 1. H обозначает изменение спроса при переходе от цены c1 к цене c2.

В новых переменных необходимые и достаточные условия существования локальных равновесий b и c, следуя утверждениям 1.4–1.6, будут выглядеть следующим образом:

1 h1 h2 2m2 H 0 h2 m2 2 m m 1 2m2 H Q, 1 h1 h2 2m2 H 0, b12 : h1 h2 2 m1 1 H 0, (7) 2 m1 m2 1 h1 h2 2m2 H 0, 2 m1 m2 1 h2 h1 2m2 H 0.

1 h1 h2 2(m1 1) H 0 h1 m1 2 H Q, m1 m2 2 h h 2 m 1 H 0, 1 2 b21 : h1 h2 2m2 H 0, (8) 2 m1 m2 1 h2 h1 2m2 H 0, 2 m m 1 h h 2m H 0.

1 1 2 h2 Q m2 H m1 1 h1 Q m2 1 0, h1 Q 0, c12 : h2 Q H 0, (9) m h Q 0, m2 h2 H Q 0.

h1 Q m1 1 H m2 1 h2 Q H m1 1 0, h2 Q H 0, c21 : h1 Q 0, (10) m h H Q 0, 2 2 m1h1 Q 0.

Согласно теоремам 1.1–1.3, в новых переменных необходимыми и достаточными условиями «глобальности» локальных равновесий являются следующие неравенства:

h1 h2 2 m1 1 H m2 2 1 h2 H Q 0, m1 m2 b12, b21 ) :. (11) h1 h2 2m2 H m 2 1 h Q 0.

m1 m2 1 1 h1 Q h2 Q H m2 2 H 4 h1 Q H 0, h1 h2 3m1 m1 1 m2 m 2 2 h1 h2 h1 Q 1 h2 Q H m 2 H 0, m1 1 m2 c12 ) : (12) h1 Q h2 Q H m2 2 H 4 h1 Q H 0, h1 h2 3m1 m1 1 m2 h Q 1 h2 Q m2 H h1 Q 2Q H 2Q.

m1 1 m2 1 m1 2Q h2 Q H h1 Q m1 4 h2 Q 0, h1 h2 3m2 m2 1 m1 m 2 2 h1 h2 h2 Q H m h1 Q 1 0, m2 1 m1 c21 ) : (13) h2 Q H h1 Q m1 4 h2 Q 0, h1 h2 3m2 m 1 m1 h Q H 1 h1 Q h2 Q H 2Q H 2Q H.

m2 1 2Q m1 1 m2 1 Для иллюстрации теоремы 2.1 на конкретном числовом примере, возьмем следующие исходные данные. Рассмотрим оптовый рынок электроэнергии, состоящий из двух узлов – симметричных олигополий, число производителей на которых m1 10 и m2 25. Предельные издержки производителей установим на уровне c1 600, c2 800, таким образом, чтобы цены (в руб. за МВтч) конкурентного равновесия в узлах рынка округленно соответствовали вальрасовским ценам для объединенных энергетических систем (ОЭС) Урала и Средней Волги, согласно данным об издержках производителей на 2008 г. Пропускную способность Q линии передачи примем равной 2600 МВтч, что соответствует пропускной способности линии между ОЭС Урала и Средней Волги6.

Скорость убывания спроса зафиксируем на уровне d0 7.5, а величины D1 19500;

49500, и будем варьировать в промежутках D1 D По данным работы А б о л м а с о в а А., К о л о д и н а Д. «Конкурентный рынок или создание монополий: структурные проблемы российского оптового рынка электроэнергии» // EERC final report. 2002.

D2 26000;

66000, что соответствует типичным характеристикам спроса на электроэнергию в указанных регионах. В указанных предположениях параметр H 1500, а h1 и h2 варьируются в промежутках h1 15000;

45000, h2 21500;

61500.

Изобразим на плоскости h1, h2 области существования равновесий всех 4 типов (см. рис. 1), согласно (7)–(10) и (11)–(13). Можно видеть, что почти на всей области существования локальные равновесия типа b являются настоящими равновесиями Нэша. Области существования равновесий c12 и c21 гораздо больше по площади, нежели равновесий типа b, и составляют соответственно 40% и 9.8% от общей площади прямоугольника. Область, в которой не существует ни одного настоящего равновесия Нэша, весьма велика и составляет 50% площади всего рассматриваемого прямоугольника.

Одной из причин столь больших размеров этой области является тот факт, что почти все равновесия типа b в данном примере существуют только совместно с c21.

Рис. 1. Области существования равновесий типов b и c.

h III: существует локальное равновесие c2 I: существует равновесие c1 II: существует локальное равновесие c1 IV: существует равновесие V: существуют c2 1 равновесия b1 2 и c2 VI: существуют равновесия b2 1 и c2 VIII: равновесий типов b и c не существует VII: существует равновесие c2 h 15 В рассматриваемом примере имеет место сосуществование равновесий с противоположными направлениями перетока: площадь области V сосуществования равновесий b12 и c21 составляет 5% от общей площади прямоугольника.

Глава 3 посвящена сравнительному анализу аукционов Курно и Викри с точки зрения цен для конечных потребителей товара.

В теоретико-игровой модели аукциона Викри с резервными ценами7, которая является обобщением классической модели аукциона Викри (1961), игроками являются производители, их стратегиями – функции предложения R a p. Функция выигрыша производителя на аукционе Викри учитывает не только собственный объем и издержки производителя, но и издержки других производителей, а также резервные цены, которые потребители готовы заплатить за товар:

Ra ( c ) min{( R A\ a ) 1 ( R A\ a (c ) v), D 1 ( R A\ a (c ) v)}dv C a ( R a (c )).

f a ( R a, a A) Первая функция под знаком min указывает предельную цену за дополнительный объем dv, которую пришлось бы заплатить, если исключить участника a из аукциона. Эта цена определяется, исходя из заявленных R ( p).

R A\ a ( p ) функций предложения остальных игроков: Вторая u uA\ a функция характеризует резервную цену, которую потребители готовы заплатить за этот объем. Цена c определяется из условия D c Ru c.

uA Поскольку функция спроса D p является суммой функций спроса Db ( p) отдельных потребителей b B, каждый из них получает объем товара Db (c ).

Следующий вариант распределения суммарной выплаты между потребителями учитывает их резервные цены и при этом минимизирует максимальную цену, которую они платят за товар. Потребитель b покупает товар по максимальной цене pV до тех пор, пока закупаемый объем не Модель аукциона Викри с резервными ценами описана в работе В а с и н А. А., В а с и н а П. А., Р у л е в а Т. Ю. Об организации рынков однородных товаров // Известия РАН.

Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 98–112.

превысит Db pV. Остаток товара он покупает по резервным ценам. Таким образом, общие затраты потребителя b составляют:

Db ( c ) ( Db ) 1 (v)dv.

C ( pV ) pV D ( pV ) b b Db ( pV ) Максимальная цена pV (далее называемая ценой Викри) уравнивает общие затраты потребителей и суммарный платеж производителям за товар:

( pV ) f a R a, a A C a R a c.

C b bB aA Поскольку каждая функция C b p монотонно возрастает по p, единственное решение последнего уравнения может быть получено стандартным вычислительным методом.

Данная процедура определяет условия игры в нормальной форме V, соответствующей аукциону Викри с резервными ценами. Игроками являются производители a A. В данной игре стратегия R a p S a p (где S a p – вальрасовская функция предложения фирмы a, определяющая оптимальный объем выпуска при фиксированной цене p ) является слабо доминирующей.

Главным преимуществом выбора аукциона Викри является максимизация суммарного выигрыша производителей и потребителей.

В третьей главе диссертации рассматривается модель локального (одноузлового) рынка в трех типичных конфигурациях:

1) симметричная олигополия, 2) рынок с одним крупным производителей и группой мелких, 3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Поведение потребителей описывается аффинной функцией спроса:

D( p) max 0;

D d0 p. Предполагается, что зафиксированы все параметры модели, кроме D. Для каждой из трех вышеописанных конфигураций рынка найдено множество значений D, для которых цена Викри ниже цены Курно.

В пункте 3.1 рассматривается симметричная олигополия с n производителями. Каждый производитель характеризуется максимальным объемом выработки V и предельными издержками c.

Т е о р е м а 3.1. В данных условиях цена Викри pV не превышает цену Курно p*, если и только если D D*, где D* V n 1 1 1 n d0c.

В пункте 3.2 рассматривается рынок, на котором присутствует один крупный производитель a (с неограниченным объемом выработки) с предельными издержками c1, а также группа из n производителей bi, i 1, n, которые однородны по своим производственным характеристикам.

Предельные издержки каждого равны c2, максимальный объем выработки – V. Предполагается, что c2 c1.

Определим следующие критические значения параметра D:

def. def.

DL d0 2c2 c1, DH DL V n 2, d c nc, V n 2 n 2 2n n 2n 2 3n 2d 0 c2 c1 n 1 V def.

D * 0 1 n 1 n D1* 3Vn 2 Vn Vn 2d0 c2 c1 d0c1, D2 3Vn 2 Vn Vn 2d 0 c2 c1 d 0c1.

def. def.

* Т е о р е м а 3.2. Если выполнено 2d0 c2 c1 Vn и D0 DH, то pV p* * D DL ;

D0 D1* ;

D2. Если 2d0 c2 c1 Vn и D0 DH, то pV p* * * * D DL ;

D2. Если же 2d0 c2 c1 Vn, то pV p* D DL ;

D0.

* * Иллюстрация теоремы 3.2 для d0 7.5, c1 200, c2 800, V 500 и n 25 приведена на рис. 2.

Рис. 2. Оптимальная форма аукциона в зависимости от значений D.

D0 d0c1 1500 * D2 52229 D * D DL 10500 * На рис. 2 штриховкой обозначены интервалы значений D, в которых цена Викри ниже цены Курно;

штриховкой – интервалы, в которых цена Курно ниже цены Викри.

В пункте 3.3 рассматривается рынок с двумя группами однородных производителей. В каждой группе имеется ni производителей с одинаковыми предельными издержками ci и максимальными объемами Vi, i = 1,2. Для определенности считается, что c2 c1.

Введем следующие обозначения:

V1 n1 1 n1 n1 1 n2 1 V1n1 V2 n2 V12 n1 V22 n2 V1n def. def.

D d0c1, D d0c2, * * 3 n1 n n1 n2 1 V1n1 V2n2 V12 n1 V22n2 d0 n1c1 n2c def.

D*, n1 n def.

def.

pmin min c1 V1 d0 ;

c2 V2 d0, pmax c1 V1 d0 ;

c2 V2 d0 ;

n2 1 V1n1 V2 n2 1, если pmin c1 V1 d0, V12 n1 V22 n2 Vk nk def.

def.

d0c2, где k D * 2, если pmin c2 V2 d 0.

n pV p* D 0;

D c2 c1 V1 d0, Теорема Если то * 3.3. V1n1 d0c2 ;

D4.

* В случае c1 c2 c1 V1 d0, если выполнено неравенство:

V1n1 V2 n2 d0c2 D d0 pmin c1 n1 pmin c2 n2 d0 pmin, (14) то pV p* D D5. Если же (14) не выполнено, то pV p* D D6.

* * В третьей главе диссертации также представлены результаты численного сравнения исходов аукционов Курно и Викри на основе модельных данных по оптовому рынку электроэнергии России. В подавляющем большинстве рассмотренных примеров аукцион Викри дает более низкую цену, нежели аукцион Курно.

По теме диссертации опубликованы следующие работы 1. Шаманаев А. С. «Сравнительный анализ аукционов Курно и Викри для рынков однородного товара» // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем, 2008, т. 32 (2), с. 262-278. – М.: Издательство ЛКИ, 2008.

2. Васин А. А., Шаманаев А. С. «Равновесия Курно в модели двухузлового рынка однородного товара» // Труды факультета ВМиК МГУ им.

Ломоносова. Прикладная математика и информатика, 2009, № 32, с. 46-66. – М.: МАКС Пресс, 2009.

3. Vasin, A. A. and Shamanaev, A. S. Cournot Equilibria in a Model of Two Hub Homogeneous Commodity Market // Computational Mathematics and Modeling, vol. 21, no. 1, pp. 51-69. – Springer New York, NY, 2010.

4. Vasin, A., Sazanov, A., Alefirenko, M. and Shamanaev, A. Simulation of the Russian Electricity Market // Труды 4-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004), с. 223-226. – М.:

МАКС Пресс, 2004.

5. Шаманаев А. С. «Моделирование аукционов Курно и Викри для двухточечного сетевого рынка» // Материалы XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008», с. 90. – М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2008.

6. Шаманаев А. С. «Анализ устойчивости равновесий Курно для двухузлового рынка» // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2006 года, с. 26-28. – М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006.

В работах [2] и [3] Шаманаеву А. С. принадлежат формулировки и доказательства критериев существования локальных и глобальных равновесий Курно на двухузловом рынке с одинаковыми предельными издержками производителей и аффинными функциями спроса, а также построение областей существования равновесий Курно различных типов для случая двухузлового рынка с малыми потерями.

В работе [4] Шаманаеву А. С. принадлежит численное сравнение цен исходов аукционов Курно и Викри для ряда модельных вариантов рынка.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.