авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Сужение множества парето на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения лпр

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Климова Ольга Николаевна СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО НА ОСНОВЕ ВЗАИМНО ЗАВИСИМОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛПР 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2009

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Ногин Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, старший научный сотрудник Петровский Алексей Борисович (Институт системного анализа РАН, Москва) кандидат физико-математических наук, доцент Зенкевич Николай Анатольевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН)

Защита состоится « » 2009 г. в _ ч. _ мин. на заседании совета Д. 212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., 41/43, ауд. _.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М.

Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « » _ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного Ногин В.Д.

совета, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Согласно принципу Эджворта-Парето «разумный» выбор наилучших решений при наличии нескольких критериев оптимальности должен осуществляться внутри множества Парето (области компромиссов). Однако это множество, как правило, является довольно широким, и лицо, принимающее решение (ЛПР), оказывается не в состоянии определить в нем свой наилучший выбор. По этой причине и возникает актуальная проблема сужения множества Парето, которая не может быть разрешена без наличия дополнительной информации о предпочтениях ЛПР.

К настоящему времени предложено большое число различных подходов к решению проблемы сужения множества Парето (Ю. Гермейер, А. Лотов, В. Ногин, В. Подиновский, А. Geoffrion, B. Roy, T. Saaty, R.

Steuer, P. Yu и многие др.) которые в зависимости от используемой дополнительной информации можно разделить на несколько групп:

• методы, основанные на формировании обобщенного критерия с последующей его максимизацией;

• методы, в которых ЛПР предлагается в качестве своего отношения предпочтения выбрать уже известное заранее отношение предпочтения;

• интерактивные процедуры, в ходе которых строится последовательность точек, стремящихся к наилучшему решению;

• аксиоматический подход последовательного сужения множества Парето.

Общим недостатком упомянутых выше подходов (за исключением последнего) является отсутствие строгого обоснования их применения в том или классе задач. Они, по своей сути, носят чисто эвристический характер.

Аксиоматический подход, получивший свое развитие в основном благодаря работам В. Ногина (и некоторым работам В. Подиновского) в этом смысле является математически безупречным;

он основан на принятии ряда «разумных» аксиом и использовании информации об отношении предпочтения ЛПР, за счет которой и производится обоснованное сужение множества Парето.

В данной диссертационной работе изучаются вопросы сужения множества Парето в рамках указанного аксиоматического подхода на основе так называемой взаимно зависимой информации о предпочтениях ЛПР. Подобного рода информация нередко имеется (или может быть получена) в практике решения задач многокритериального выбора и ранее исследователями не изучалась.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы состояла в получении правил сужения множества Парето в задачах многокритериального выбора с различными наборами взаимно зависимой информации об отношения предпочтения ЛПР. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- получить критерии непротиворечивости набора взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР;

- получить формулы для вычисления нового векторного критерия, на основе которого может быть построена оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений более точная, чем множество Парето.

Методы исследования. В работе используется математический аппарат выпуклого анализа, теории бинарных отношений и линейной алгебры.

Научная новизна. Главными результатами диссертации являются новые правила сужения множества Парето за счёт различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР. Ранее подобные наборы взаимно зависимой информации никем не рассматривались.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Теоретические положения и выводы сформулированы в виде лемм и теорем, и доказаны математическими средствами.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость работы заключается в получении новых правил сужения множества Парето при наличии взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.



Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов для обоснованного сужения множества Парето при решении различных многокритериальных задач из области техники и экономики.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

• Получены критерии непротиворечивости различных наборов взаимно зависимой информации;

• Сформулированы и доказаны теоремы, показывающие, каким образом следует производить сужение множества Парето на основе различной взаимно зависимой информации;

• Установлены правила, позволяющие производить учет некоторой взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношении предпочтения ЛПР.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 37-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006, 2009), на 5-й Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 2007), а также на 13-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Зеленогорск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК.





Структура и объем диссертации. Диссертационная работа в страниц содержит введение, три главы, заключение и список литературы из 44 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, её основная цель. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе исследуется вопрос сужения множества Парето на основе некоторых простейших наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

Сначала формулируется задача многокритериального выбора, а затем приводятся основные определения и предположения аксиоматического подхода последовательного сужения множества Парето.

Задача многокритериального выбора включает в себя множество возможных решений X, векторный критерий f и отношение предпочтения f X. Множество X есть непустое множество элементов произвольной природы, из которых следует сделать выбор. Векторный критерий образован набором числовых функций f1,..., f m ( m 2 ) и принимает свои значения в арифметическом пространстве m-мерных векторов R m. Отношение предпочтения f X считается асимметричным бинарным отношением, заданным на множестве X. Запись вида x1 f X x означает, что решение x1 для ЛПР предпочтительнее, чем x2.

Множество выбираемых решений, которое должно быть найдено в результате решения задачи многокритериального выбора, обозначается через С ( X ).

Основные компоненты задачи многокритериального в терминах векторных оценок: множество возможных векторов Y = f ( X ) R m и отношение предпочтения f Y, заданное на множестве Y. Искомым множеством является множество выбираемых векторов C (Y ) = f (C ( X )).

Отношения предпочтения f X и f Y естественным образом согласованы друг с другом.

Предполагается, что выполнены следующие аксиомы, характеризующие «разумный» выбор ЛПР в ходе принятия решения.

Аксиома 1 (об исключении доминируемых векторов). Для любой пары векторов y, y Y, удовлетворяющих соотношению y f Y y, выполнено y C (Y ).

Аксиома 2. Для отношения f Y существует продолжение, обозначаемое далее f, на все критериальное пространство R m, причем отношение f является иррефлексивным и транзитивным.

Аксиома 3. Каждый из критериев f1, f 2,..., f m согласован с отношением предпочтения f.

Аксиома 4. Отношение предпочтения f является инвариантным относительно положительного линейного преобразования.

Выполнение аксиом 1-3 гарантирует справедливость принципа Эджворта-Парето: выбираемые решения будут обязательно парето оптимальными, т.е. C (Y ) P (Y ) [1], где P (Y ) = f (( Pf ( x)) = { y * Y | не существует такого y Y, что y y*} - множество парето-оптимальных векторов.

Определение 1 [1]. Пусть A, B I, A, B, A B =. Говорят, что группа критериев A важнее группы B с двумя заданными наборами положительных параметров wi* для всех i A и w*j для всех j B, если для любой пары векторов y, y R m, для которых верно yi yi = wi* i A ;

yj yj = w*j j B ;

y = y s I \ { A B}, s s имеет место соотношение y f y.

Определение 2 [1]. Два сообщения об отношении предпочтения ЛПР, состоящие в том, что группа критериев A важнее группы критериев B и группа критериев A важнее группы критериев B, называются взаимно независимыми, если ни одна пара из четырех групп критериев A, B, A, B не имеет ни одного общего элемента.

В противном случае данные сообщения являются взаимно зависимыми.

Рассматриваются следующие две задачи многокритериального выбора с простейшими наборами взаимно зависимой информации.

Задача 1. Пусть m = 3 и имеется набор взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР: группа критериев A = { f1, f 2 } важнее группы критериев B = { f 3 } с двумя заданными наборами положительных параметров {w1, w2 } и w3, соответственно, а группа критериев B важнее группы критериев A с наборами положительных параметров 3 и { 1, 2 }. Далее данный набор информации обозначается символом (И1.1).

Задача 2. Пусть m = 4 и имеются два набора взаимно зависимой информации о предпочтениях ЛПР: группа критериев A = { f1, f 2 } важнее группы критериев B = { f 3} с двумя заданными наборами положительных параметров {w1, w } и w3, соответственно;

а группа критериев B важнее группы критериев A с наборами положительных параметров 3 и { 1, 2 }. Группа критериев C = { f1} важнее группы D = { f 4 } с положительными параметрами w1 и w, а группа критериев D важнее группы C с положительными параметрами 4 и 1. Далее данный набор информации обозначается символом (И1.2).

Поскольку информация, получаемая от ЛПР, чаще всего имеет желательный характер, то ЛПР, само того не желая, может выйти за рамки задач, в которых справедливы аксиомы 1-4. В связи с этим возникает необходимость в проверке имеющейся информации на непротиворечивость [1].

В [1] предложено несколько критериев непротиворечивости для общего случая. В данной работе получены критерии непротиворечивости, когда информация об отношении предпочтения носит взаимно зависимый характер.

Согласно доказанным в работе леммам, набор информации (И1.1) непротиворечив тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих неравенств w1 1 w3 3, (1) w2 2 w3 3. (2) а набор информации (И1.2) непротиворечив тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств w1 1 w3 3, w2 2 w3 (3) и справедливо неравенство w1 1 w 4.

(4) Одним из основных результатов первой главы является доказательство теорем, дающих правила учета взаимно зависимой информации вида (И1.1) и (И1.2).

Теорема 1. Пусть отношение предпочтения f удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации вида (И1.1).

Тогда для любого не пустого множества выбираемых оценок C (Y ) имеют место включения ) С (Y ) P(Y ) P (Y ), ) где P(Y ) – подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием g ) (т.е. P (Y ) = f ( Pg ( X )) ).

Причем, если одновременно выполняются соотношения (1) и (2), то размерность нового векторного критерия g увеличивается на единицу и его компоненты вычисляются по формулам g1 = w3 f1 + w1 f 3, g 2 = w3 f 2 + w2 f 3, g 3 = 3 f1 + 1 f 3, g 4 = 3 f 2 + 2 f 3.

Если же выполняется только (1), то размерность вектора g совпадает с размерностью вектора f и его компоненты следует вычислять по формулам g1 = w3 f1 + w1 f 3, g 2 = 3 f1 + 1 f 3, g 3 = ( 2 w3 w2 3 ) f1 + ( w1 3 w3 1 ) f 2 + ( 2 w1 1w2 ) f и по формулам g1 = w3 f 2 + w2 f 3, g 2 = 3 f 2 + 2 f 3, g 3 = ( w2 3 2 w3 ) f1 + ( w3 1 w1 3 ) f 2 + ( 1w2 2 w1 ) f 3, если выполняется только (2).

Теорема 2. Пусть отношение предпочтения f удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации вида (И1.2).

Тогда для любого не пустого множества выбираемых оценок C (Y ) имеют место включения ) С (Y ) P(Y ) P (Y ), ) где P(Y ) – подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием g ) (т.е. P (Y ) = f ( Pg ( X )) ).

Причем, если выполняются соотношение (4) и оба соотношения (3), то размерность нового векторного критерия g увеличивается на два и его компоненты вычисляются по формулам g1 = w3 w4 f1 + w1w4 f 3 + w3 w1f 4, g 2 = w3 4 f1 + w1 4 f 3 + w3 1f 4, g 3 = 3 w4 f1 + 1w4 f 3 + 3 w1f 4, g 4 = 3 4 f1 + 1 4 f 3 + 3 1f g 5 = w3 f 2 + w2 f 3, g 6 = 3 f 2 + 2 f 3, по формулам g1 = w3 w4 f1 + w1w f 3 + w3 w1f 4, g 2 = w3 4 f1 + w1 4 f 3 + w3 1f 4, 4 g 3 = 3 w4 f1 + 1w4 f 3 + 3 w1f 4, g 4 = 3 4 f1 + 1 4 f 3 + 3 1f 4, g 5 = ( 2 w3 w2 3 )w4 f1 + ( 3 w1 w3 1 )w4 f 2 + ( 2 w1 w2 1 )w4 f 3 + ( 2 w3 w2 3 )w1f 4, g 6 = ( 2 w3 w2 3 ) 4 f1 + ( 3 w1 w3 1 ) 4 f 2 + ( 2 w1 w2 1 ) 4 f 3 + ( 2 w3 w2 3 ) 1f 4, при условии, если справедливо (4) и только первое из соотношений (3), и по формулам g1 = w3 w4 f1 + w1w f 3 + w3 w1f 4, g 2 = w3 4 f1 + w1 4 f 3 + w3 1f 4, 4 g 3 = 3 w4 f1 + 1w4 f 3 + 3 w1f 4, g 4 = 3 4 f1 + 1 4 f 3 + 3 1f 4, g 5 = (w2 3 2 w)w4 f1 + (w3 1 3 w1 )w4 f 2 + (w2 1 2 w1 )w4 f 3 + (w2 3 2 w3 )w1f 4, g 6 = (w2 3 2 w3 ) 4 f1 + (w3 1 3 w1 ) 4 f 2 + (w2 1 2 w1 ) 4 f 3 + (w2 3 2 w3 ) 1f 4, если справедливо (4) и только второе из соотношений (3).

Согласно теоремам 1 и 2, для того чтобы произвести учёт взаимно зависимой информации (И1.1) и (И1.2) соответственно, на множестве X необходимо решить задачу многокритериального выбора с новым ) векторным критерием g. Множество Парето P(Y ), найденное в новой задаче, будет давать более точную оценку сверху для неизвестного множества выбираемых векторов, чем множество Парето P(Y ).

Полученные результаты были распространены на случай нечеткого отношения предпочтения ЛПР.

Основными компонентами задачи многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения являются: множество возможных решений X, векторный критерий f и нечеткого отношения предпочтения с функцией принадлежности X (, ), заданной на декартовом произведении и принимающей значения из отрезка [0, 1]. Если x XX предпочтительнее x со степенью уверенности * [0, 1], то X ( x, x) = *.

В этом случае также предполагаются выполненными четыре аксиомы «разумного» выбора, переформулированные для нечеткого отношения предпочтения.

На языке функций принадлежностей включение C (Y ) P(Y ) может быть записано как Y ( ) Y ( ), где Y ( ) - функция принадлежности C P C Y ( ) нечеткого множества выбираемых векторов, - функция P принадлежности множества Парето.

Определение 3 [2]. Пусть A, B I, A, B, A B =. Говорят, что группа критериев A важнее группы B с двумя заданными наборами положительных параметров wi* для всех i A и w*j для всех j B и степенью уверенности * (0, 1], если для любой пары векторов y, y R m, для которых верно yi yi = wi* i A ;

yj yj = w*j j B ;

y = y s I \ { A B}, s s имеет место равенство ( y, y) = *.

Задачи 1 и 2 для случая нечеткого отношения предпочтения примут вид Задача 3. Пусть выполняется условие задачи 1.1 и известно, что группа критериев A важнее группы критериев B со степенью уверенности 1, а группа критериев B важнее группы критериев A со степенью уверенности 2.

Задача 4. Пусть выполняется условие задачи 1.2 и известно, что группа критериев A важнее группы критериев B со степенью уверенности 1, а группа критериев B важнее группы критериев A со степенью уверенности 2. Группа критериев C важнее группы D со степенью уверенности 3, а группа критериев D важнее группы C со степенью уверенности 4.

В работе были получены теоремы, позволяющие на основе взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения ЛПР вида, указанного в задачах 3 и 4, построить функцию принадлежности нечеткого множества, представляющего собой оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений.

Вторая глава посвящена вопросам сужения множества Парето при наличии наборов взаимно зависимой информации общего вида.

Задача 5. Пусть m 3 и даны две группы критериев A и B, состоящие из r и t критериев соответственно. Причем r + t m и A B =. Не теряя общности, мы можем перенумеровать критерии таким образом, что в группу A будут входить вектора f1, f 2,…, f r, а в группу B - f r +1, f r +2,…, f r +t. Известно, что группа критериев A важнее группы B с двумя заданными наборами положительных параметров wi для всех i A и w j для всех j B. С другой стороны, группа критериев B важнее группы критериев A с заданными двумя наборами положительных параметров j для всех j B и i для всех i A. Обозначим данный набор информации через (И2.1).

Задача 6. Рассмотрим задачу многокритериального выбора с критериями f1,…, f m, где m 3. Пусть даны три группы критериев A, B и C, состоящие из r, t и s критериев соответственно. Причем r + t + s m, группы критериев A, B, C не пустые и попарно не пересекаются. Не теряя общности, мы можем перенумеровать критерии таким образом, что в группу A будут входить вектора f1, f 2,…, f r, в группу B f r +1, f r +2,…, f r +t, а группу C - f r +t +1, f r +t + 2,…, f r +t + s.

Пусть имеется дополнительная информация, состоящая из двух наборов взаимно зависимой информации (И2.2) вида: 1) группа критериев А важнее группы критериев В с заданными положительными параметрами wi для всех i A, wj для всех j B и группа критериев В важнее группы критериев А с заданными положительными параметрами j для всех j B, i для всех i A ;

2) группа А важнее группы критериев С с положительными параметрами wi для всех i A и w для всех k C и k группа С важнее группы критериев А с положительными параметрами k для всех k C, i для всех i A.

Для наборов взаимно зависимой информации (И2.1) и (И2.2) были получены следующие критерии непротиворечивости Лемма 1. Набор информации (И2.1) непротиворечив тогда и только тогда, когда существуют такие номера i A и j B, что выполняется неравенство wi i w j j. (5) Лемма 2. Набор информации (И2.2) непротиворечив тогда и только тогда, когда существуют номера i A и j B, для которых выполняется неравенство wi i wj j (6) i A k C, для которых выполняется и существуют номера и неравенство wi i w k.

(7) k Введем следующие обозначения P = {i A | j B : wi i w j j } - множество всех номеров i из А, для каждого из которых существует хотя бы один номер j из В такой, что выполняется соотношение (5);

L = { j B | i A : wi i w j j } - множество всех номеров j из B, для каждого из которых существует хотя бы один номер i из А такой, что выполняется соотношение (5);

Pl = { p P | для выбранного l L выполняется w p p wl l } ;

L p = {l L | для выбранного p P выполняется w p p wl l } ;

Pl = {i A | для выбранного l L выполняется wi i wl l } ;

L p = { j B | для выбранного p P выполняется w p p w j j }.

Основные результаты второй главы составляют теоремы, позволяющие производить сужение множества Парето на основе взаимно зависимой информации (И2.1) и (И2.2) Теорема 3. Пусть выполнены аксиомы 14 и задана непротиворечивая информация (И2.1) об отношении предпочтения ЛПР.

Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов C(Y ) имеют место включения ) C(Y ) P(Y ) P(Y ), ) где P (Y ) = f ( Pg ( X )), а векторный критерий g размерности d =| I | (| A | + | B |) + | Lp | + | Pl | + | Pl | | Pl | + | L p || Lp | pP lL lL pP имеет компоненты g pl = wl f p + wp f l p P и l L, для которых выполняется (5), g lp = l f p + p f l p P и l L, для которых выполняется (5), g pli = ( i wl l wi ) f p + ( l w p p wl ) f i + ( i wp p wi ) f l, l L, p Pl, i Pl, g plj = ( l w j j wl ) f p + ( l wp p wl ) f j + ( p w j j w p ) f l, p P, l L p, j L p, для всех s I \ { A B}.

gs = fs Теорема 4. Пусть отношение предпочтения f удовлетворяет аксиомам 14 и задана непротиворечивая информация об отношении предпочтения ЛПР (И2.2), причем неравенства вида (6), (7) выполняются для всех i A, всех j B и всех k C.

Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов С(Y ) имеют место включения ) С(Y ) P(Y ) P(Y ), ) P (Y ) = f ( Pg ( X )), где а векторный критерий размерности g d = m ( A + B + C ) + 4 A B C имеет компоненты g ijk ( x) = wj wk f i ( x) + wiwk f j ( x) + wj wif k ( x) i A, j B, k C, g ikj ( x) = j k f i ( x) + i k f j ( x) + j if k ( x) i A, j B, k C, g jki ( x) = wj k f i ( x) + wi k f j ( x) + wj if k ( x) i A, j B, k C g kji ( x) = j w f i ( x) + iwk f j ( x) + j wif k ( x) i A, j B, k C, k для всех s I \ { A B C}.

g s ( x) = f s ( x) Для теорем 3 и 4 доказывается инвариантность включений ) С(Y ) P(Y ) P(Y ) относительно линейного положительного преобразования компонент векторного критерия g, что позволяет применять данные теоремы к любым критериям, значения которых вычисляются в количественных шкалах.

Установлены теоремы, позволяющие получить оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений, при помощи нового векторного критерия со специальными компонентами нелинейного вида.

Теорема 5. Пусть отношение предпочтения f удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации (И2.1), причем неравенства (5) выполняются для всех i A и всех j B. Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок С (Y ) имеют место включения ) С ( Y ) P(Y ) P(Y ), ) где P(Y ) = f ( Ph ( X )) – подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием h размерности d = m A B + 2 с компонентами fj f fi f, h2 = min i + min j, hs = f s, s I \ { A B}.

h1 = min + min iA jB wi jB w iA j i j Теорема 6. Пусть отношение предпочтения f удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации (И2.2), причем неравенства (6), (7) выполняются для всех i A, всех j B и всех k C. Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок С (Y ) имеют место включения ) С (Y ) P(Y ) P (Y ), ) где P(Y ) = f ( Ph ( X )) – подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием h размерности d = m A B C + 4 с компонентами fj f f f h1 = min ( f i + wi min + wimin k ), h2 = min ( f i + i min j + imin k ), j kC w jB kC w iA jB iA k j k fj fj f f h3 = min ( f i + wi min + imin k ), h4 = min ( f i + i min + wimin k ), wj kC jB kC w iA jB iA k j k hs = f s, s I \ { A B C}.

Преимущество теорем 5 и 6 перед теоремами 3 и 4 заключается в том, что размерность новой векторной функция h значительно меньше, чем ) размерность векторной функции g, что облегчает поиск множества P(Y ).

Но наряду с этим теоремы 5 и 6 обладают рядом существенных недостатков. Один из них состоит в том, что найденное множество ) P (Y ) = f ( Ph ( X )) в общем случае не является подмножеством множества P (Y ). Это означает, что для решения задачи необходимо знать множество парето-оптимальных векторов относительно функции f. Второй недостаток заключается в том, что нелинейные функции минимума не могут быть использованы, если значения хотя бы одного из критериев измеряются в шкале разностей или шкале интервалов.

В третьей главе, в качестве иллюстрации того, как могут быть использованы полученные результаты, решается научно-производственная задача по выбору оптимального химического состава судостроительной стали.

В заключении приводится перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту Список литературы 1. Ногин, В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде:

количественный подход / В. Д. Ногин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 (2-е изд., испр. и доп.). – 176 с.

2. Ногин, В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2003. – Т. 43, № 11. – С.1676-1686.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Климова, О. Н. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решения / В.

Д. Ногин, О. Н. Климова // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2006. – Т. 46, № 12. – С.2178-2190 (личный вклад Климовой – 70%).

2. Климова, О. Н. Задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали / О. Н. Климова // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2007. – № 6. – С. 66-70.

3. Климова, О. Н. Учет двух наборов взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в задачах многокритериального выбора / О. Н. Климова // Математические методы распознавания образов: 13-я Всероссийская конф. Ленинградская обл. г. Зеленогорск, 30 сентября – 6 октября 2007 г.: Сборник докладов. – М.: МАКС Пресс. – 2007. – С. 40-42.

4. Климова, О. Н. Многокритериальный выбор на основе некоторых наборов взаимно зависимой информации об относительной важности критериев / О. Н. Климова // Процессы управления и устойчивость: Тр.

37-й международной научной конф. аспирантов и студентов / Под ред.

А.В. Платонова, Н.В. Смирнова. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. – 2006. –С. 555-558.

5. Климова, О. Н. Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения / О. Н.

Климова // Искусственный интеллект и принятие решений. – 2009. – № 2. – С. 34-44.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.