авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Характеризация устойчивости решения задач о внешней и равномерной оценке выпуклого компакта шаром

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

на правах рукописи

Дудова Анастасия Сергеевна ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВНЕШНЕЙ И РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКЕ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2006 1

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и при кладной математики механико-математического факультета Саратовско го государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель - заслуженный деятель науки РФ, доктор физикоматематических наук, профессор А.П.Хромов Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор В.В.Розен, кандидат физико-математических наук, доцент С.В.Папшев Ведущая организация - ЦЭМИ РАН

Защита состоится декабря 2006г. в на заседании диссертационного сове та 212.243.02 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чер нышевского по адресу: 410026, г.Саратов, ул.Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовско го государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

Автореферат разослан " " 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Корнев Актуальность темы. Исторические сведения. Интерес математиков к оценке и аппроксимации достаточно сложных множеств множествами простой геометрической структуры возник очень давно (см. напр. моно графии Т.Боннезена и В.Фенхеля1, Л.Ф.Тота2 и библиографии в них).

Это направление активно поддерживается сейчас в рамках негладко го анализа и недифференцируемой оптимизации, основы которых за ложены в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Б.Т.Поляка, М.С.Ни кольского, Е.С.Половинкина и других математиков. Именно негладкий анализ дает эффективные необходимые математические инструменты для успешного исследования таких задач.

Задачи по оценке множеств находят обширные приложения в есте ствознании, в том числе и в самой математике. Известны многочислен ные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (напр., работы А.Б.

Куржанского, Ф.Л.Черноусько). Можно также указать на работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениям3. Е.С. Половинкиным4 рассмат ривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпук лых множеств.

Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и по числу задающих па раметров, относится шар любой нормы.

Задача о внешней оценке компакта шаром некоторой нормы заключа ется в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт. Ее также называют задачей о че бышевском центре множества. Математическая формализация задачи Bonnesen T., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin: Springer-Verlag, 1934.

Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве.М.: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 1958.

Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. М.: Наука, 1976.

Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗ МАТЛИТ, 2004.

выглядит следующим образом.

Пусть D Rp заданный компакт из конечномерного действительного пространства Rp, а функция n(x) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы.

Тогда задача о внешней оценке компакта D шаром нормы n(x) может быть записана в виде R(x) max n(x y) min. (1) p yD xR Значение функции R(x) выражает радиус наименьшего шара с цен тром в точке x, содержащего в себе компакт D. Точка x, доставляющая минимальное значение функции R(x), является центром искомого опи санного радиуса, а R = R(x ) - радиус этого шара.

Известно1, что для случая, когда n(x) = x - евклидова норма, ре шение задачи (1) единственно. При этом центр описанного шара принад лежит выпуклой оболочке точек, одновременно принадлежащих границе компакта D и поверхности описанного шара. Верно и обратное, а имен но, шар, содержащий компакт и обладающий указанными выше точками на его границе, есть описанный шар.

Для случая произвольной нормы (и даже, когда вместо нормы исполь зуется функция Минковского выпуклого тела, содержащего нулевой эле мент) задача (1) рассматривалась Б.Н.Пшеничным5. Им получена фор мула субдифференциала функции R(x), которая является выпуклой на Rp, и на этой основе сформулировано необходимое и достаточное условие решения.

Как показывают примеры, если n(x) не является евклидовой нормой, то задача (1) может иметь неединственное решение, а центр описанного шара может не принадлежать выпуклой оболочке компакта D.

В практических ситуациях информация об оцениваемом компакте D может носить приближенный характер, то есть вместо компакта D нам может быть известен некоторый компакт D такой, что h(D, D ).

Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.М.: Наука, 1980.

Здесь 0 - известная погрешность задания компакта D, а h(A, B) = max{sup inf n(a b), sup inf n(a b)} bB aA aA bB - расстояние Хаусдорфа между множествами A и B в норме n(·).

И, таким образом, о решении исходной задачи (1) мы можем судить по решению приближенной задачи R (x) max n(x y) min. (2) p yD xR Получение условия устойчивости и оценка характера устойчивости задачи (1) относительно оптимального значения целевой функции R(x) и центра описанного шара - один из вопросов, решаемых в диссертации.



Отметим, что любая норма является выпуклой функцией на всем про странстве Rp. Поэтому, легко видеть, и функция R(x) также выпукла на Rp. Следовательно задача (1) является задачей выпуклого программи рования. Известно6, что вопрос о характеризации устойчивости легко решается, если целевая функция является сильно выпуклой. Однако ни при каких условиях на компакт D и используемую норму n(·) функция R(x) не является сильно выпуклой не только на Rp, но и любом выпук лом множестве с непустой внутренностью. Именно это обстоятельство затрудняет исследование устойчивости задачи (1).





Вторая задача, исследуемая в диссертации на устойчивость решения, это задача о равномерной оценке (наилучшем приближении) заданного выпуклого компакта евклидовыми шарами. Математическая формали зация задачи выглядит так.

Пусть D Rp - непустой выпуклый компакт, B(x, r) - евклидов шар с центром в точке x и радиусом r, h(A, B) - расстояние Хаусдорфа между множествами A и B в евклидовой норме. Тогда задачу о равномерной оценке (наилучшем приближении) выпуклого компакта D евклидовыми шарами в метрике Хаусдорфа можно записать в виде h(D, B(x, r)) min. (3) xRp, r Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

Задача (3), как частный случай более общей задачи, рассматрива лась в работе М.С. Никольского и Д.Б.Силина7, где установлен ряд ин тересных свойств ее решения. Важным обстоятельством оказалось то, что центр шара наилучшего приближения x0 для компакта D в задаче (3) является одновременно единственным решением задачи R(x) (x) min. (4) xD Здесь R(x) = max x y, (x) = min x y, = Rp \D.

yD y При этом радиус шара наилучшего приближения есть r0 = (R(x0 ) + (x0 ))/2.

Задача (4) о построении шарового слоя наименьшей "толщины содер жащего границу выпуклого компакта, известна давно1. Впервые близкая по постановке задача рассматривалась в работе М.Д’Оканя8, где был предложен способ построения кругового кольца наименьшей ширины, содержащего заданное конечное семейство точек. А.Лебегом9 рассмат ривалась задача, которая сводилась к построению кольца наименьшей "толщины содержащего границу 2-мерного выпуклого множества. Позд нее Т.Боннезен10 для задачи на плоскости и Н.Критикос11 для задачи в трехмерном пространстве получили необходимое и достаточное усло вие решения и доказали единственность решения. Эти же вопросы для задачи (4) в пространстве произвольной размерности p были решены средствами выпуклого анализа только в 1988 году в работе И.Бараньи12.

Были и другие работы, касающиеся свойств решения задачи (4), однако вопрос об устойчивости решения не затрагивался.

Никольский М.С., Силин Д.Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Труды матем. института им.В.А. Стеклова. 1995. Т.211, с.338-354.

D’Ocagne M. Sur certaine gures minimales //Bull. Soc. Math. France.1884. v.12. P.168-177.

Lebesgue H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapports avec le calcul des variations //J. Math.Pures Appl. 1921. V.4. p.67-96.

Bonnesen T. Uber das isoperimetrusche Dezit ebener Figuren //Math.Ann. 91 (1924). S. 252-268.

Kriticos N. Uber konvexe Flachen und einschlissende Kugeln //Math.Ann. 1927. V.96. P.583-586.

Barany I. On the minimal ring containing the boundary of convex body// Acta Sci. Math. (Szeged).

1988. V.52. №1/2. P.93-100.

Основная цель работы - получение характеризации устойчивости ре шения экстремальных задач (1) и (3) по оптимальному значению целе вых функций и самого множества решений относительно погрешности задания оцениваемого (приближаемого) компакта D. Попутной целью, помогающей в достижении основной, было исследование свойств строго и сильно квазивыпуклых норм, функции R(x), функции расстояния A (x) = min n(x y) yA для случаев строго- и сильно выпуклого множества A (или когда A дополнение таких множеств) и строго- и сильно квазивыпуклой нормы n(·), функции (x) = R(x) (x).

Методы исследования. В диссертации используются методы выпук лого и сильно выпуклого анализа, теории минимаксных задач, теории многозначных отображений.

Научная новизна. Приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем:

• установлены свойства строго- и сильно квазивыпуклых норм, функ ции R(x) и функций расстояния D (x) и (x), для случаев строго и сильно выпуклого множества D и строго- и сильно квазивыпуклой нормы, в форме, позволяющей сравнивать их поведение на отрез ках с соответствующим поведением строго- или сильно выпуклых (вогнутых) функций;

• получен новый критерий решения задачи (1) в форме, связываю щей ее с задачей о внутренней оценке нижнего лебегова множества функции R(x) шаром используемой нормы;

• получены оценки сверху и снизу для производной по направлению функции расстояния (x) при некоторых ограничениях на выбор направления;

• Дана характеризация устойчивости - задачи(1) по оптимальному значению целевой функции и самого решения задачи, - задачи (3) по радиусу и центру шара наилучшего приближения, относительно погрешности оцениваемого (приближаемого) выпук лого компакта.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретиче ский характер. Результаты могут быть использованы в выпуклом и силь но выпуклом анализе, на их базе могут изучаться более сложные задачи негладкого анализа и теории приближений по оценке сложных множеств и многозначных отображений множествами и многозначными отображе ниями простой структуры.

Апробация работы. Результаты диссертации апробировались на 12 ой и 13-ой Саратовских зимних школах "Современные проблемы тео рии функций и их приложения"(Саратов, январь-февраль 2004, январь февраль 2006), на школе-конференции "Теория функций, ее приложе ния и смежные вопросы"(Казань, июнь 2005), на научных семинарах СГУ по негладкому анализу, на научном семинаре кафедры дифферен циальных уравнений и прикладной математики под руководством про фессора А.П.Хромова, на объединенном семинаре по дискретной ма тематике и математической кибернетике под руководством профессора Д.В.Сперанского.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из двух глав, содержащих параграфов и списка литературы (40 наименований). Общий объем дис сертации 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации содержит §§1-6, ее главная цель - характе ризация устойчивости задачи (1) о внешней оценке.

В §1, кроме постановки задачи о внешней оценке, даются сведения из истории ее исследования, некоторые из которых используются далее.

В §2 приводятся вспомогательные факты, главные из которых каса ются свойств строго и сильно квазивыпуклых норм. Понятие строго ква зивыпуклой нормы, как нормы, шар которой является строго выпуклым множеством, использовалось в выпуклом анализе и ранее. Понятие r сильно квазивыпуклой нормы, как нормы, единичный шар которой яв ляется r-сильно выпуклым множеством4, то есть являющимся пересече нием евклидовых шаров радиуса r, вводится впервые.

Следующий факт позволяет сравнивать поведение таких норм на от резках с поведением сильно выпуклых функций.

Лемма 2.8. Если n(·) является r-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых точек x1 и x2, отличных от 0p, и [0, 1] выполняется неравенство n(x1 + (1 )x2 ) n(x1 ) + (1 )n(x2 ) C1 (1 )n(x1 )n(x2 ) x1 x, 2r(n(x1 ) + (1 )n(x2 )) n(x1 ) n(x2 ) где константа C1 - положительная константа, для которой C1 x n(x), x Rp. (5) Для сильно квазивыпуклой нормы получена выражающая ее фор мула, если есть конкретное представление ее единичного шара в виде пересечения евклидовых шаров.

Лемма 2.9. Если единичный шар нормы n(·) имеет вид Bn(0p, 1) = B(a, r), aA где B(a, r) - евклидов шар с центром в точке a и радиусом r, A - сим метричный относительно 0p компакт и A intB(0p, r), то саму нор му можно выразить следующей формулой a, x 2 + x 2 (r2 a 2 ) | a, x | + n(x) = max.

r2 a aA В §3 исследуются свойства функции R(x), являющейся целевой функ цией в экстремальной задаче (1). Важным для характеризации устойчи вости решения является следующий факт Теорема 3.1. Если n(·) является r-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых x1 и x2 из Rp, (0, 1) найдется точка y {y Rp : x1 y = R(x1 ), x2 y = R(x2 )} такая, что выполняется неравенство R(x1 + (1 )x2 ) R(x1 ) + (1 )R(x2 ) C1 (1 )R(x1 )R(x2 ) x1 y x2 y, 2r(R(x1 ) + (1 )R(x2 )) R(x1 ) R(x2 ) где C1 - положительная константа, для которой выполняется нера венство (5).

При исследовании задач (1) и (3) важную вспомогательную роль игра ет функция расстояния. В §4 изучаются свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклых множеств, а также до множеств, кото рые являются их дополнениями. Поскольку на отрезке, соединяющем точку с ее проекцией, функция расстояния ведет себя линейно, то она не может быть строго, а тем более сильно, выпуклой или вогнутой на любом выпуклом множестве с непустой внутренностью. Однако строгая (сильная) выпуклость множества, до которого измеряется расстояние и строгая (сильная) квазивыпуклость нормы n(·) дают возможность срав нивать поведение функции расстояния на некоторых отрезках с поведе нием строго (сильно) выпуклой или вогнутой функции, а в некоторых случаях говорить о ее строгой квазивыпуклости или строгой квазивогну тости.

Нижние лебеговы множества функции D (x) характеризует Теорема 4.3. Если D является строго выпуклым множеством, а n(·) - строго квазивыпуклой нормой, то для любого 0 множество G(, D) = {x Rp : D (x) } является строго выпуклым.

Теорема 4.5. Пусть D - строго выпуклое множество, а n(·) - стро го квазивыпуклая норма. Если точки x1 и x2 из Rp удовлетворяют нера венству D (x1 ) D (x2 ) D (x1 ) + n(x1 x2 ), причем x2 D, то для любых (0, 1) выполняется / D (x1 + (1 )x2 ) D (x1 ) + (1 )D (x2 ).

Нижеследующие факты говорят о том, насколько усиливаются соот ветствующие свойства функции D (x), если D - сильно выпуклое мно жество, а n(·) - сильно квазивыпуклая норма.

Теорема 4.6. Если D является r1 -сильно выпуклым множеством, а n(·)r2 -сильно квазивыпуклой нормой, то для любого 0 множество G(, D) является (r1 + r2 )-сильно выпуклым.

Теорема 4.9. Пусть D - r1 -сильно выпуклое множество, n(·) - r2 сильно квазивыпуклая норма, а точки x1 и x2 таковы, что D =.

D (x1 ) = D (x2 ) = 0, [x1, x2 ] Тогда для всех значений [0, 1] справедливо неравенство C1 (1 ) x1 x2 2, D (x1 + (1 )x2 ) 2(r1 + r2 ) где C1 - положительная константа, удовлетворяющая неравенству (5).

Поведение функции (x) на множестве D, если оно является сильно выпуклым, сравнимо с поведением сильно вогнутой функции.

Теорема 4.10. Пусть D является r-сильно выпуклым множеством.

Тогда для любых точек x1 и x2 из D таких, что (x1 ) = (x2 ) = и любых значений [0, 1] выполняется неравенство C1 (1 ) x1 x2 2.

(x1 + (1 )x2 ) + 2r Следует отметить, что важную роль в исследовании свойств функции R(x) и функции расстояния, касающихся случаев с сильно выпуклым множеством D или сильно квазивыпуклой нормой, сыграли факты из сильно выпуклого анализа4.

Свойства функции R(x) и функции расстояния использованы далее в §5, где сформулирован и доказан критерий решения задачи (1) в фор ме, связывающий ее с задачей о внутренней оценке нижнего лебегова множества функции R(x) шаром используемой нормы.

Теорема 5.1. Точка x является решением задачи (1) тогда и толь ко тогда, когда для любого R min{R(x) : x Rp } она является центром вложенного в множество GR () = {x Rp : R(x) } шара наибольшего радиуса, то есть решением задачи () (x) = min n(x y) max, R y() xG () где () = Rp \GR (). При этом радиус вложенного шара есть () (x ) = R.

Именно этот критерий был в дальнейшем использован при характе ризации устойчивости центра описанного шара.

Теорема 5.1 является самым сложным по доказательству результатом первой главы.

Основным в первой главе является §6, где собраны и доказаны факты, касающиеся устойчивости решения задачи (1).

Выяснилось, что устойчивость задачи (1) по оптимальному значению целевой функции R(x) имеет место всегда, причем для R = min R(x), R = min R (x), p p xR xR справедлива Теорема 6.1. Имеет место неравенство |R R | C2, где а C2 - положительная константа, для которой n(x) C2 x, x Rp. (6) Каждому выпуклому компакту D, как элементу пространства всех выпуклых компактов Kv(Rp ), можно сопоставить X(D) - множество ре шений задачи (1), то есть множество центров описанных шаров. Поэтому можно рассматривать многозначное отображение p X(·) : Kv(Rp ) 2R.

Его характеризует Теорема 6.2. Многозначное отображение X(·) является полунепре рывным сверху всюду на Kv(Rp ).

Приведенный пример 6.1 говорит о том, что в некоторых ситуациях многозначное отображение X(·) может не обладать свойством полуне прерывности снизу. Другими словами не все решения точной задачи (1) являются предельными точками решений приближенных задач (2) при 0.

Основным результатом главы является Теорема 6.3. Пусть n(·) является r-сильно квазивыпуклой нормой.

Если точка x является решением задачи (1), а точка x - решением задачи (2), то справедливо неравенство C x x 4 r(R + 2C2 ), C где положительные константы C1 и C2 удовлетворяют неравенствам (5) и (6) соответственно.

Вторая глава диссертации состоит из §7-11, ее цель - характеризация устойчивости задачи (3) о равномерной оценке.

В §7 дается постановка этой задачи и приводятся некоторые формули ровки результатов из работы7 М.С.Никольского и Д.Б.Силина, которые в значительной мере далее используются.

В §8 приводятся свойства вспомогательной функции R0 (x) = max x y, yD где D0 = B(x1, R(x1 )) B(x2, R(x2 )) для произвольно выбранных точек x1 = x2. Показано, что функция R0 (x) ведет себя на отрезке [x1, x2 ] как сильно выпуклая функция, а точнее, имеет место Лемма 8.2. Для любого [0, 1] выполняется R0 (x1 + (1 )x2 ) = = R0 (x1 ) + (1 )R0 (x2 ) (1 ) x1 x2 2.

2 Поведение самой функции R0 (x) на отрезке [x1, x2 ] отражает Лемма 8.3. Для любого [0, 1] выполняется R0 (x1 + (1 )x2 ) R0 (x1 ) + (1 )R0 (x2 ) (1 )( x1 x2 2 (R0 (x1 ) R0 (x2 ))2 ).

2(R0 (x1 ) + (1 )R0 (x2 )) Известно13, что функция расстояния A (x), в случае использования евклидовой нормы, является дифференцируемой по любому направле нию в точках x A. В §9 получены верхняя и нижняя оценки для про / изводной по направлениям функции расстояния (x, g) = lim 1 [ (x + g) (x)] для = Rp \D при некоторых условиях на выбор направления g Rp.

Лемма 9.1. Пусть (x) = 0 и точка y D такова, что x y = R. Справедливы следующие утверждения:

а) Если единичный вектор g Rp таков, что xy df, g, xy R то (1 2 ) (x, g).

R R б) Если единичный вектор g Rp таков, что R, то (1 2 ) (x, g) +.

R R С помощью леммы 9.1 в §10 получена оценка снизу для производной по направлению функции R(x).

Лемма 10.2. Если точка x0 является решением задачи (3) и при этом intD =, то для любого g Rp, g = 1 выполняется R(x0 ) + (x0 ) R (x0, g).

2R(x0 ) Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация.М.: Наука, 1981.

Лемма 9.1 использовалась также при получении важной оценки сни зу для производной по направлениям функции (x) = R(x) (x), являющейся целевой функцией в экстремальной задаче (4).

Теорема 10.1. Если intD =, точка x intD, а единичное направ ление g Rp таково, что (x) R (x, g), R(x) то 2 (x) (x) (1 2 ) (x, g) 1.

R2 (x) R(x) Теорема 10.2. Пусть D - выпуклый компакт, такой, что h(D, D ), где 0. Если точка x0 - решение задачи (3), а x - решение прибли женной задачи h(D, B(x, r)) min, (7) xRp, r то справедливо неравенство |(x0 ) (x )| 4.

Полученные в §8-10 вспомогательные факты использовались в §11 для решения главного вопроса - характеризации устойчивости центра и ра диуса шара наилучшего приближения задачи (3). В предположении, что выпуклый компакт D отличен от евклидова шара и не вырождается в точку доказана Теорема 11.1. Пусть x0 - центр шара наилучшего приближения в задаче (3), а x - в приближенной задаче (7). Тогда справедливо асимп тотическое неравенство 2(1 + o(1)) x0 x 4R(x0 ).

R(x0 ) (x0 ) где o(1) 0 при 0.

Эта теорема является наиболее принципиальным и трудным по дока зательству результатом диссертации. Ее следствием, по сути, является полученная далее оценка устойчивости радиуса шара наилучшего при ближения Теорема 11.2. Если r0 - радиус шара наилучшего приближения в задаче (3), а r - в приближеннной задаче (7), то справедливо асимп тотическое неравенство 2(1 + o(1)) |r0 r | 4R(x0 ) +, R(x0 ) (x0 ) где o(1) 0, 0.

Автор выражает глубокую признательность профессору А.П.Хромову за помощь и внимание к работе.

ПЕЧАТНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Дудова А.С. Об устойчивости задачи о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы. Саратов. Изд-во Гос УНЦ "Колледж 2004, с.75-76.

2. Дудова А.С. Об устойчивости решения задачи внешней оценки компакта шаром произвольной нормы // Математика. Механика: Сб.

научн.тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. - вып.6. С.54-56.

3. Дудова А.С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранни ком //Материалы 7-й междунар. Казанской летней научной школы конференции. Казань: Изд-во Казанского матем. общества, 2005, с. 68-69.

4. Дудова А.С. Об аппроксимации выпуклого компакта многогранни ком //Математика. Механика: Сб. научн. тр. - Саратов: Изд-во Сарат.

ун-та. 2005.- вып.7. с.45-47.

5. Дудова А.С. Об одном критерии решения задачи о внешней оценке компакта шаром // Тез. докл. 13-ой Саратовской зимней школы. Са ратов. Изд-во "Научная книга 2006, с.65-66.

6. Дудова А.С. Об устойчивости решения задачи наилучшего прибли жения выпуклого компакта шаром // Изв. вузов. Математика. - 2006, №7, с. 25-33.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.