авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Конечные геометрии, симметричные графы и их автоморфизмы

На правах рукописи

Нирова Марина Сефовна КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ГРАФЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 01.01.04 геометрия и топология 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Екатеринбург – 2007

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научный консультант:

доктро физико-математических наук, член-корр. РАН МАХНЕВ Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор БАРАНСКИЙ Виталий Анатольевич кандидат физико-математических наук НОСОВ Виталий Валерьевич

Ведущая организация:

Южно-Уральский госуниверситет

Защита состоится 26 июня 2007 г. в 14 часов на заседании диссертационно го совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН ( г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат.наук В.В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В связи с завершением классификации конеч ных простых групп возникла задача единого представления конечных про стых групп. Перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг транзитивно на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допуска ют классификацию [1–3]. Например, класс билдингов Титса характеризует группы Лиевского типа [4]. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [5].

Степенью вершины называется число вершин в ее окрестности. Граф называется регулярным степени k, если степень любой вершины a графа равна k. Граф назовем реберно регулярным с параметрами (v, k, ), если он содержит v вершин, регулярен степени k, и каждое его ребро ab ле жит в треугольниках. Граф вполне регулярный граф с параметрами (v, k,, µ), если он реберно регулярен с соответствующими параметрами и [a] [b] содержит µ вершин для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в. Вполне регулярный граф называется сильно регулярным графом, если он имеет диаметр 2.

Пусть G транзитивная группа подстановок на множестве. Если подгруппа Gp группы G, состоящая из всех подстановок, фиксирующих точку a, имеет r орбит, то говорят, что G является группой ранга r.

Пусть r = 3 и соответствующие 3 орбиты это {a}, (a), (a). Тогда по группе G можно построить сильно регулярный граф, множество вершин которого и две вершины p, q смежны в, если p (q) [6].

Д.Хигмэн [6–10] развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, т. е. дистанционно транзитивных графов диаметра 2.

Граф диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого i {0,..., d} и для любых вершин u, v, x, y с условиями d(u, v) = d(x, y) = i, существует автоморфизм g графа такой, что (ug, v g ) = (x, y).

Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Более половины спорадических групп имеют представления в виде групп автоморфизмов графов ранга 3 [11].

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в, то через bi (u, w) (че рез ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1 (u) (в пересечении i1 (u)) с [w]. Дистанционно регулярным графом называется граф диа метра d, в котором для любого i {0, 1,..., d} параметры bi (u, w) и ci (u, w) не зависят от выбора вершин u, w, а зависят только от расстояния между этими вершинами в графе.

Ярким примером перехода от изучения групповых симметрий к комби наторным является расширение класса дистанционно транзитивных гра фов до класса дистанционно регулярных графов. В настоящее время при исследовании графов и конечных геометрий вовлекаются симметрии все более общего вида.

Поскольку каждый дистанционно регулярный граф является вполне ре гулярным графом (в частности, реберно регулярным графом), то некото рые результаты об этих классах графов могут быть использованы в теории дистанционно регулярных графов.

Если неполный связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ), то параметр b1 (u, w) не зависят от выбора смежных вершин u, w и верно равенство b1 = k 1.

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ре бер. Если a, b вершины графа, то через d(a, b) обозначим расстояние между a и b, а через i (a) подграф, индуцированный на множестве всех вершин графа, которые находятся на расстоянии i от вершины a.

Подграф 1 (a) будем называть окрестностью вершины a и обозначать че рез [a]. Через a обозначим подграф {a} [a].

Через Km1,...,mn обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков m1,..., mn. Если m1 =... = mn = m, то соответствующий граф обозна чается через Knm. Граф K1,m называется m-лапой. Треугольным графом T (m) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в каче стве вершин, |X| = m и пары {a, b}, {c, d} смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вер шин X Y называется m n решеткой, если |X| = m, |Y | = n и вер шины (x1, y1 ), (x2, y2 ) смежны тогда и только тогда, когда x1 = x2 или y1 = y2. Графом Джонсона J(n, m) называется граф, вершинами которого являются m-элементные подмножества данного n-элементного множества, причем две вершины a, b смежны, только если |a b| = m 1. Граф Пэ ли P (q) в качестве вершин имеет элементы поля Fq, q 1 (mod 4), и две вершины a, b смежны, только если b a является ненулевым квадра том в Fq. Граф Петерсена это дополнительный граф для треугольного графа T (5) (он имеет параметры (10,3,0,1)). Граф Клебша (Шлефли) это единственный сильно регулярный граф с параметрами (16,10,6,6) (с параметрами (27,16,10,8)). Граф Шрикханде это единственный сильно регулярный локально шестиугольный граф с параметрами (16,6,2,2). Име ется точно 3 сильно регулярных графа, имеющих параметры графа T (8), но не изоморфных T (8). Эти графы называются графами Чанга. Графом Хофмана-Синглтона называется единственный сильно регулярный граф с параметрами (50,7,0,1). Графом Хигмена-Симса называется единственный сильно регулярный граф с параметрами (100,22,0,6).







Частичной геометрией pG (s, t) называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит s + точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки a, не лежащей на прямой L, найдется точно прямых, проходящих через a и пересекающих L. Если = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником и обо значается GQ(s, t). Если = t, то геометрия называется сетью. Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого явля ются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на одной прямой. Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pG (s, t) сильно регулярен с параметрами v = (s+1)(1+st/), k = s(t+1), = (s 1) + ( 1)t, µ = (t + 1). Любой сильно регулярный граф с таки ми параметрами для некоторых, s, t называется псевдогеометрическим графом для pG (s, t).

Частичным четырехугольником P Q(s, t, µ) называется система инци дентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая со держит s + 1 точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любых двух несмежных точек пересечение их окрестностей в точечном графе является µ-кокликой.

Точечный граф частичного четырехугольника P Q(s, t, µ) сильно регулярен с параметрами v = 1 + s(t + 1) + s2 t(t + 1)/µ, k = s(t + 1) и = s 1.

Частичный четырехугольник назовем узким, если t 6.

Цель работы. В диссертации исследованы вполне регулярные графы с малыми b1, классифицированы узкие частичные четырехугольники и опре делены порядки и подграфы неподвижных точек их автоморфизмов, а так же изучены -однородные расширения частичных геометрий pG (s, t) для {s, s 1}.

Методика исследования. Основными методами исследования явля ются теоретико-графовые методы, используются также методы теории ко нечных групп и теория представлений конечных групп (метод Г. Хигмена).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Найдены параметры сильно регулярных графов с b1 18;

по лучено описание вполне регулярных графов с b1 5;

классифицирова ны s-однородные и сильно (s 1)-однородные расширения частичных гео метрий pG (s, t);

доказано, что сильно регулярный граф с параметрами (400,21,2,1) не является вершинно транзитивным.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты имеют тео ретическую ценность. Результаты и методы диссертации могут быть ис пользованы в дальнейших исследованиях по теории графов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Междуна родной алгебраической конференции, посвященной 70-летию Л.Н. Шеври на (Екатеринбург, 2005), на Международных конференциях "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2005 и 2006), на Международной школе-конференции по теории групп, посвященной 75-летию со дня рожденя А.И. Старостина (Приэльбрусье, 2006), на 37-й и 38-й Региональных молодежных конферен циях ИММ УрО РАН, на алгебраических семинарах Института математи ки и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [19–24].

Работы [19–23] написаны в нераздельном соавторстве с Махневым А.А.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (42 наименования).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и фор мулируются основные результаты работы.

В главе 1 рассматриваются графы с малыми значениями b1. Пусть реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ). Тогда степень вершины в любом µ-подграфе из не больше k2b1. Поэтому для µ = k2b1 +1 и лю бых вершин u, w, находящихся на расстоянии 2, выполняется неравенство µ(u, w) µ. Пару вершин (u, w), находящихся на расстоянии 2, назовем хорошей, если µ(u, w) = µ ;

назовем почти хорошей, если µ(u, w) = µ + 1.

Для w, z 2 (u) тройку вершин назовем хорошей, если µ(u, w) + µ(u, z) 2k 4b1 + 3;

назовем почти хорошей, если µ(u, w) + µ(u, z) = 2k 4b1 + 4.

Первые результаты о хороших парах получены в [12], где, в частности, установлено, что пересечение окрестностей вершин хорошей тройки содер жит не более одной вершины.

При изучении реберно регулярных графов полезным является описание почти хороших троек. Следующий результат особенно полезен при изуче нии графов диаметра, большего 2.

Теорема 1. Пусть связный реберно регулярный граф с парамет рами (v, k, ), b1 = k 1 и k 3b1 3. Если тройка (u;

w, z) явля ется почти хорошей и [w] [z] [u] содержит вершину y, несмежную с вершинами из = [u] [w] [z], то либо || 2, либо || = 3 и (b1, k) {(5, 12), (6, 15), (6, 17).

Замечание. Если граф Шлефли, d(u, w) = 2, то µ = k2b1 +2, [u] [w] является полным многодольным графом K42 и для любой вершины z [w] [u] подграф [u] [w] [z] является 4-кликой. Но в этом графе каждая вершина из [w] [z] [u] смежна с некоторой вершиной из [u] [w] [z].

Изучение реберно регулярных графов даже в случае b1 = 5 идет с боль шим трудом. Однако для сильно регулярных графов ситуация гораздо про ще.

Сильно регулярные графы с собственным значением 2 были класси фицированы Зейделем. Любой зейделев граф это либо полный много дольный граф Kr2, либо решетчатый или треугольный граф, либо один из графов Шрикханде, Чанга, Петерсена, Клебша или Шлефли.

Теорема 2. Пусть сильно регулярный граф с 0 b1 18. Тогда является одним из следующих графов:

(1) граф с параметрами (4b1 + 1, 2b1, b1 1, b1 ), b1 = 5, 8, 14, 17 или полный многодольный граф Kr(b1 +1) ;

(2) зейделев граф или его дополнение;

(3) псевдогеометрический граф для GQ(s, t), {s, t} = {2, 2}, {2, 4}, {3, 3}, {3, 5} или его дополнение;

(4) псевдогеометрический граф для сети pGt (s, t), где либо t = 2, s = 4, 5, 6, 7, 8 или 9, либо t = 3, s = 4, 5, 6 или 7;

(5) псевдогеометрический граф для pG3 (5, 2), pG3 (6, 2), pG4 (7, 2), pG3 (8, 2), pG3 (9, 2), pG4 (7, 3), pG4 (8, 3), pG5 (9, 3), pG6 (8, 5), pG8 (15, 2), pG12 (16, 3), pG15 (19, 3) или pG20 (24, 3);

(6) дополнительный граф либо к графу из пунктов (4) или (5), либо к псевдогеометрическому графу для pG2 (4, 7) или pG3 (5, 7);

(7) граф с параметрами (49, 32, 21, 20), (50, 7, 0, 1), (56, 10, 0, 2), (77, 16, 0, 4), (85, 14, 3, 2), (99, 14, 1, 2), или (126, 25, 8, 4);

(8) дополнительный граф либо для графа из пункта (7), либо для графа с параметрами (81, 20, 1, 6) или (100, 22, 0, 6).

Хорошо известно, что связный граф с b1 = 1 является многоугольником или полным многодольным графом с долями порядка 2. Графы с b1 {2, 3} изучались в [13], графы с b1 = 5 и k 14 классифицированы в [14], а вполне регулярные графы с b1 = 4 описаны в [15].

Теорема 3. Пусть связный вполне регулярный граф с парамет рами (v, k,, µ) и b1 5. Тогда либо является полным многодольным графом Kn(b1 +1), регулярным графом без треугольников степени b1 + или реберным графом регулярного графа без треугольников степени b1 + обхвата, большего 1, либо выполняется одно из следующих утверждений:

(1) b1 = 2 и является 3 3-решеткой, треугольным графом T (5), графом Петерсена или графом икосаэдра;

(2) b1 = 3 и является локально шестиугольным графом, треуголь ным графом T (6) или графом Клебша;

(3) b1 = 4 и либо (i) диаметр равен 2 и является графом Пэли с параметрами (17, 8, 3, 4), 5 5 решеткой, треугольным графом T (7) или дополнитель ным графом к 44 решетке, треугольному графу T (6) или графу Клебша, (ii) µ = 1 и является вполне регулярным графом с параметрами (v, 6, 1, 1), (iii) µ = 2 и является либо графом Клейна, либо 5-кубом, ли бо графом инцидентности симметричной 2-(11, 5, 2) схемы, либо един ственным вполне регулярным графом с параметрами (20, 6, 1, 2), (iv) µ = 4 и является графом Джонсона J(6, 3);

(5) b1 = 5 и либо (i) диаметр равен 2 и является 66 решеткой, графом Шлефли, треугольным графом T (8) или одним из трех графов Чанга, (ii) µ = 2 и является либо 6-валентным ректаграфом, либо ло кально восьмиугольным графом диаметра, не большего 4.

Пример 1. Пусть граф, вершинами которого являются 3-циклы из симметрической группы S5, причем две вершины a, b смежны, если ab является инволюцией. Тогда является вполне регулярным графом с па раметрами (20, 6, 1, 2).

Во второй главе работы классифицированы узкие частичные четырех угольники и изучены их автоморфизмы.

Легко понять, что граф коллинеарности частичного четырехугольника P Q(s, t, µ) сильно регулярен с параметрами (1 + s(t + 1) + s2 t(t + 1)/µ, s(t + 1), s 1, µ). Обратно, если сильно регулярный граф не содержит инду цированных подграфов, изоморфных K4 с удаленным ребром, то система инцидентности, точками которой являются вершины графа, а прямыми максимальные клики графа, будет частичным четырехугольником.

Ясно, что сильно регулярный граф с 1 или с µ = 1 является графом коллинеарности частичного четырехугольника. Назовем частичный четы рехугольник P Q(s, t, µ) узким, если t 6.

Теорема 4. Пусть является графом коллинеарности частичного че тырехугольника P Q(s, t, µ), t 6. Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) полный двудольный граф Kn,n или n n решетка;

(2) граф коллинеарности GQ(s, t), 2 t 6;

(3) граф Петерсена, граф Хофмана-Синглтона, дополнительный граф для графа Клебша, граф с параметрами (99, 14, 1, 2) или (400, 21, 2, 1).

Группа автоморфизмов полного двудольного графа Kn,n и n n решет ки является сплетением Sn с помощью группы порядка 2. Группа авто морфизмов графа Петерсена изоморфна S5, графа Хофмана-Синглтона расширению группы U3 (5) с помощью группы порядка 2 и дополнительного графа для графа Клебша расширению элементарной группы порядка с помощью группы S5. Строение группы автоморфизмов гипотетического графа с параметрами (99, 14, 1, 2) выяснено в [16].

Теорема 5. Пусть является сильно регулярным графом с пара метрами (400, 21, 2, 1), g элемент простого порядка p из Aut() и = Fix(g). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) пустой граф и p = 5;

(2) либо || = 1 и p = 3 или 7, либо является 4-кликой и p = 2 или 3;

(3) p = 2, содержится в a для некоторой вершины a, (a) яв ляется объединением изолированных вершин и треугольников, при чем (, ) = (0, 7), (3, 4), (2, 3), (1, 2), (6, 1) или (5, 0).

В доказательстве теоремы 4 используется метод Хигмена приложения теории характеров конечных групп к изучению возможных порядков и под графов неподвижных точек автоморфизмов дистанционно регулярных гра фов (см. [17]).

Следствие. Пусть является сильно регулярным графом с парамет рами (400, 21, 2, 1) и G = Aut(). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) 7 делит |G| и |G| делит 2 · 3 · 7;

(2) 5 делит |G| и |G| делит 10 или 3 · 52 ;

(3) |G| делит 2 · 33.

В третьей главе диссертации изучены -однородные расширения ча стичных геометрий pG (s, t) с = s и сильно -однородные геометрии с = s 1. В частности, полученные ранее Камероном и Фишером [18] результаты по расширениям обобщенных четырехугольников обобщаются на случай частичных геометрий.

Геометрией S ранга 2 называется система инцидентности (P, B), где P множество точек, B некоторый набор подмножеств из P, называемых блоками. Две точки называются коллинеарными, если они лежат в общем блоке. Пара (a, B) из (P, B) называется флагом, если точка a принадле жит блоку B, и антифлагом в противном случае. Геометрия называется -однородной, если для любого антифлага (a, B) число точек в блоке B, коллинеарных точке a, равно 0 или, и сильно -однородной, если это число всегда равно.

Вычет Sa геометрии S в точке a это геометрия (Pa, Ba ), где Pa множество всех точек, коллинеарных a и Ba = {B{a} | a B B}. Пусть F – семейство геометрий ранга 2, и всякий вычет Sa лежит в F. Тогда говорят, что S является расширением F. Связное расширение семейства частичных геометрий pG (s, t) обозначается как EpG (s, t).

Пусть геометрия S является -однородной EpG (s, t). Если = s + 2, то S называется одноточечным расширением (и граф (S) является пол ным). Например, 3-(22, 6, 1) схема Матье это одноточечное расширение проективной плоскости P G(2, 4).

Если = s + 1, то геометрия S будет сильно (s + 1)-однородной, и является полным многодольным графом K(s+2)(1+st/). В этом случае для любой точки a множество точек вычета Sa имеет разбиение на s + 1 ово идов. Среди известных обобщенных четырехугольников только GQ(s, 1), GQ(1, t), GQ(2, 2 ), GQ(q 2, q), GQ(q 1, q + 1), GQ(q + 1, q 1), где q – степень простого числа, допускают разбиение точечного множества овои дами.

Пример 2. Для любого t 1 имеется единственная геометрия EGQ(1, t).

Ее точечный граф является полным трехдольным графом K3(t+1), а мно жество блоков совпадает с множеством 3-клик этого графа.

Пример 3. Сильно (s + 1)-однородный четырехугольник EGQ(s, 1) су ществует при всех s = q 1, где q есть степень 2. Примеры с s = 1 и s = единственны [?].

Пусть = P G(2, q), a точка в, C – гиперовал, содержащий a, а T обозначает группу (порядка q 2 ) всех элаций с центром в точке a. Точками EGQ являются все точки, отличные от a;

блоками являются прямые, не содержащие a, и трансляции прямой C {P } под действием группы T.

Примеры (s + 1)-однородных EGQ(q 1, q + 1) для q = 2n построены А. Пасини и Д. Пасечником.

Теорема 6. Пусть S является s-однородной геометрией EpG (s, t), а – дополнение к (S). Тогда либо s = 2 (и геометрия S известна), либо S есть EpG2 (s, 1), является сильно регулярным графом с = 0, µ = 2, и S есть геометрия вершин и клик графа, соответствующих (a) для a ;

либо S сильно s-однородна и одно из следующих утверждений верно:

(1) t = и есть граф, являющийся квадратной решеткой на (s + 2) вершинах;

(2) t = 2, s (2 1)( + 1)2, s + + 1 делит 2s(s + 1)(2 + 1), и есть треугольный граф на (s + 2)(2s + 3) вершинах.

Пример 4. Сильно s-однородная геометрия EGQ(s, 1) существует для всех s = q 2, где q есть степень двойки [?].

Пусть = P G(2, q), a и b являются точками, L есть прямая ab, C – гиперовал, содержащий a и b, а T это группа всех центральных коллине аций с центром a и осью, содержащей b. Тогда |T | = q(q 1), T фиксирует все прямые, проходящие через a и является точно 2-транзитивной группой на множестве прямых, проходящих через b и отличных от L.

Множество точек геометрии EGQ(s, 1) состоит из точек, которые не лежат на L, а множество блоков является объединением множества прямых, не содержащих a или b, и образов C {P, Q} под действием группы элаций T.

Пример 5. Сильно 3-однородная геометрия EpG2 (3, 2) существует.

Пусть точечное множество S есть множество позиций ij квадратной матрицы порядка 5, а множество блоков B задано наборами {1i1, 2i2,..., 5i5 }, такими, что перестановка (i1 i2...i5 ) имеет знак плюс.

Ясно, что |B| = 5!/2 = (t + 1)(s + 1)(s + 2) для t = 2, s = 3 и f (a, B) = для любого антифлага (a, B).

Далее, для точки a = xix имеем |Pa | = 16, |Ba | = 16, каждая точка из Pa принадлежит трем блокам из Ba и каждый блок из Ba содержит 4 точки из Pa. Таким образом, (P, B) является сильно 3-однородной геометрией EpG2 (3, 2).

Теорема 7. Пусть S является сильно (s 1)-однородной геометри ей EpG (s, t). Тогда либо S является геометрией EpG2x (3x, 3x 1) для некоторого нечетного x, либо S = EGQ(3, 1), EGQ(3, 9), EpG2 (6, 15), EpG2 (7, 6) или EpG3 (7, 9).

Дж. Тас построил частичную геометрию pG2x (3x, 3x 1) с x = 32n2, с помощью спреда гиперболической квадрики в проективном пространстве P G(4n 1, 3). К настоящему времени известно существование такого спре да только для случая n = 2.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю чл. корр. РАН Махневу А.А. за постановку задач и постоянное внимание.

ЛИТЕРАТУРА 1. Brouwer A. E., Willbrink H. A. Block designs // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. ed. F. Buekenhout. – Elsever Science, Amsterdam, 1995, 349-383.

2. Buekenhout F. Foundations of incidence geometry // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. ed. F. Buekenhout. – Elsever Science, Amsterdam, 1995, 63-107.

3. Buekenhout F, Pasini P. Finite diagram geometries extending buildings // Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. ed. F. Buekenhout.

– Elsever Science, Amsterdam, 1995, 1143-1255.

4. Tits J. Buildings of Spherical Type and nite BN-pairs, Springer Lecture Notes in Mathematics, v. 386 – 1968.

5. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag – 1989.

6. Higman D.G. Finite permutation groups of rank 3 // Math. Z., 1964, v.

86, 145-156.

7. Higman D.G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree // Math.

Z., 1966, v. 91, 70-86.

8. Higman D.G. Intersection matricies for nite permutation groups // J.

Algebra, 1967, v. 6, 22-42.

9. Higman D.G. On nite ane planes of rank 3 // Math. Z., 1968, v. 104, 147-149.

10. Higman D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II // Arth. Math., 1970, v. 21, 151-156;

353-361.

11. Prager C. E., Soicher L. H. Low rank representations and graphs for sporadic groups. Lecture series 8. Cambridge, University press – 1997.

12. Веденев А.А., Кузнецов А.Н., Махнев А.А., Носов В.В. О хороших парах в реберно регулярных графах // Дискрет. матем. 2003, т. 15, 77-97.

13. Махнев А.А. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов // Известия РАН, сер. матем. 2004, т. 68, 159-172.

14. Казарина В.И., Махнев А.А. О реберно регулярных графах с b1 = // Алгебра, логика и кибернетика. Тез. докл. Иркутск 2004, 159-161.

15. Васильев С.А., Махнев А.А. О вполне регулярных графах с b1 = // Известия Гомельского гос. ун-та, Гомель 2006, 101-108.

16. Махнев А.А., Минакова И.М. Об автоморфизмах графов с = 1, µ = 2 // Дискретная математика 2004, т. 16, N 1, 95-104.

17. Cameron P. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts 45, Cambridge Univ. Press. – 1999.

18. Cameron P., Fisher P. H. Small extended generalized quadrangles // Europ. J. Comb. 1990, v. 11. P. 403-413.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 19. Махнев А.А., Нирова М.С. Сльно регулярные графы с b1 13 // Межд. алгебр. конф. Тез.докл. Екатеринбург, изд-во Урал. ун-та 2005, 184 186.

20. Махнев А.А., Нирова М.С. Узкие частичные четырехугольники и их автоморфизмы // Проблемы теор. и приклад. матем. Труды 37-й Регион.

молод. конф. Изд-во ИММ УрО РАН, Екатеринбург 2006, 58-60.

21. Махнев А.А., Нирова М.С. Узкие частичные четырехугольники и их автоморфизмы // Алгебра и логика 2006, т. 45, N 6, 125–134.

22. Махнев А.А., Нирова М.С. Об однородных расширениях частичных геометьрий // Проблемы теор. и приклад. матем. Труды 38-й Регион. мо лод. конф. Изд-во ИММ УрО РАН, Екатеринбург 2007, 46-49.

23. Махнев А.А., Нирова М.С. Об однородных расширениях частичных геометьрий // Труды ИММ УрО РАН, Екатеринбург 2007, т. 13.

24. Нирова М.С. О вполне регулярных графах с b1 5 // Сибирские электронные математические известия 2007, т. 4, 1-11.

Подписано в печать 23.05.05 Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Тираж 100 экз. Заказ Ризография научно-исследовательской части ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.