авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Оптимизация интегро-дифференциальных систем

На правах рукописи

Букина Анна Викторовна ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО Иркутский государственный университет кандидат физико-математических

Научный консультант:

наук, доцент Терлецкий Виктор Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Батурин Владимир Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Сидоренко Геннадий Васильевич Институт прикладной

Ведущая организация:

математики ДВО РАН

Защита состоится 17 декабря 2010 г. в 14:00 на заседании диссертацион ного совета Д 212.074.01 при ГОУ ВПО Иркутский государственный университет по адресу: 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20, Институт математики, экономики и информатики.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркут ского государственного университета (г. Иркутск, бульвар Гагарина, 24).

Автореферат разослан 16 ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент Антоник В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многочисленные проблемы техники, есте ствознания, экологии и социологии могут быть формализованы как зада чи оптимального управления системами с распределенными параметра ми. Построение теории и методов решения таких задач ввиду их большо го разнообразия и сложности предполагает, как правило, выделение кон кретных классов систем, описывающих управляемый процесс. Объектом исследований в диссертационной работе являются задачи оптимально го управления, в которых связь между граничными, сосредоточенными и распределенными управлениями с траекторией определена интегро дифференциальной системой, содержащей два типа фазовых перемен ных. Одна группа этих переменных подчинена гиперболической системе дифференциальных уравнений, в правую часть которой входят перемен ные другой группы. Они в свою очередь связаны интегральными урав нениями с решениями дифференциальной системы. Граничные усло вия являются интегральными. Такого рода интегро-дифференциальные соотношения широко используются в математических моделях дина мики популяций, процессов распространения инфекционных заболева ний, амортизации производственных фондов и т.д. Прикладная зна чимость и, в то же время, недостаточная изученность самих интегро дифференциальных систем, а также задач оптимального управления ими объясняет многочисленность публикаций по данной проблематике как в России, так и за рубежом. Следует подчеркнуть, что значитель ная часть таких исследований направлена на изучение конкретных част ных моделей и подчас существенно опирается на их специфику, напри мер, линейность. Кроме того, полученные в них условия оптимальности далеко не всегда подкрепляются соответствующими численными мето дами. Таким образом, проблемы качественного исследования интегро дифференциальных систем, разработки новых условий оптимальности, конструирования численных методов, обладающих как свойствами мо нотонного улучшения целевого функционала, так и убывания невязки по соответствующему необходимому условию оптимальности, являются в настоящее время достаточно актуальными.

Цель работы состоит в построении эффективных методов улучшения допустимых управлений для двух исследуемых интегро дифференциальных задач.

Основными задачами

работы являются изучение свойств обоб щенных решений интегро-дифференциальных систем в условиях раз рывности допустимых управлений, построение условий оптимальности управлений и разработка итерационных процедур, обладающих свой ствами релаксации и сходимости.

Методы исследования основаны на теории уравнений с частны ми производными, теории оптимального управления и численных мето дов. В работе применяются метод характеристик, метод последователь ных приближений для интегральных эквивалентов исходных интегро дифференциальных систем, вывод и анализ формул приращения це левых функционалов на различных типах варьирования допустимых управлений.

Научная новизна. Для рассмотренных в диссертации интегро дифференциальных систем наряду с доказательством существования и единственности обобщенных решений впервые установлены точные оцен ки их роста относительно входных данных. Получено новое необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума. В отличие от аналогичного результата в задачах оптимизации гиперболи ческих систем, здесь вариационный принцип максимума формулируется не только в терминах семейств задач оптимального управления обыкно венными дифференциальными системами, но и использует оптимизаци онные задачи с траекториями, подчиненными интегральным системам.

Выделены классы задач, в которых вариационный принцип максимума является достаточным условием оптимальности, а также найдены усло вия, при которых он совпадает с конечномерным принципом максиму ма. Впервые для рассматриваемых задач разработана серия численных алгоритмов, основанных на вариационном, конечномерном и линеаризо ванном принципах максимума. Обоснована их релаксационность и сходи мость по невязкам соответствующих условий оптимальности. Большин ство итерационных процедур программно реализованы и апробированы численными экспериментами.



Основные результаты, выносимые на защиту:

• теоремы существования и единственности решений интегро дифференциальных систем с выводом оценок роста решений от носительно входных данных;

• необходимые условия оптимальности, а именно вариационный принцип максимума и его следствия в формах конечномерного и дифференциального принципов максимума;

• алгоритмы численного поиска решений, обладающие свойствами релаксации и сходимости по невязкам необходимых условий опти мальности. Исследование некоторых моделей динамики популяции на основе программной реализации построенных алгоритмов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Резуль таты диссертации являются важным вкладом в качественную тео рию и численные методы задач оптимального управления системами интегро-дифференциальных уравнений. Предложенные численные алго ритмы служат практическим инструментом в прикладных исследовани ях интегро-дифференциальных моделей.

Отдельные результаты работы используются при проведении спец курсов в Институте математики, экономики и информатики ИГУ на спе циальностях Прикладная математика и информатика и Математиче ские методы в экономике, а также при написании курсовых и диплом ных работ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады вались на • III межвузовской зональной конференции, посвященной памяти профессора Б.А. Бельтюкова, Математика и проблемы ее препо давания в вузе (Иркутск, 2007 г.);

• школе-семинаре молодых ученых Математическое моделирование и информационные технологии (Иркутск, 2007 г.);

• школе-семинаре Нелинейный анализ и экстремальные задачи (Иркутск, 2008 г.);

• XIV Байкальской международной школе-семинаре Методы опти мизации и их приложения (Северобайкальск, 2008 г.);





• Всероссийской конференции Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинар ных научных исследованиях (Иркутск, 2009 г.);

• Международной конференции Оптимальное управление: теория, методы и приложения, посвященной 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009 г.);

• семинарах кафедры методов оптимизации ИГУ.

Исследования по теме диссертации были выполнены при частичной финансовой поддержке • гранта Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08-01-98007-р_сибирь_а, 2008-2010 гг.

• гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-02-000/B, 2008 г.

• гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-09-001/А1, 2009 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. В их число входят 5 статей [1]-[5] из Перечня российских рецензируемых на учных журналов, в которых должны быть опубликованы основные на учные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, 1 статья [6] в научном журнале, 4 полных текстов до кладов [7-10] в материалах всероссийских и международных конферен ций. Работы [1], [4] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве дения, четырех глав, приложения и списка литературы, состоящего из 75 наименований. Общий объем диссертации составляет 132 страницы, включая 5 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, про водится обзор литературы и дается краткое изложение содержания ра боты.

Исследование задач оптимального управления подразумевает преж де всего обоснование существования решений соответствующих фазовых задач, а также построение оценок роста их решений относительно вход ных данных, т.е. начально-граничных условий и правых частей систем. В связи с этим в первой главе диссертации рассматриваются следующие три интегро-дифференциальные системы гиперболических уравнений с начально-граничными условиями g(x(, t), s,, t)d, x(s, t0 ) = x0 (s), xt = f (x, y, s, t), y(s, t) = (1) S (s, t) = S T = (s0, s1 ) (t0, t1 ), x = x(s, t), y = y(s, t), x(s, t) RN x, y(s, t) RN y ;

xt + xs = f (x, y, z, r, p, s, t), y(p, s, t) = g(x(,, t), z(,, t), r(,, t), p,, s,, t)dd, PS z(p, s, t) = (2) q(x(p,, t), p, s,, t)d, S r(p, s, t) = k(x(, s, t), p,, s, t)d, P x(p, s, t0 ) = x0 (p, s), x(p, s0, t) = l(x(p,, t), p,, t)d;

S xt + xs = f (x, x(p, s0, t), y, z, r, p, s, t), y(p, s, t) = g(x(,, t), z(,, t), r(,, t), p,, s,, t)dd, PS z(p, s, t) = (3) q(x(p,, t), p, s,, t)d, S r(p, s, t) = k(x(, s, t), p,, s, t)d, P x(p, s, t1 ) = x1 (p, s), x(p, s1, t) = 0, (p, s, t) = P S T = (p0, p1 ) (s0, s1 ) (t0, t1 ), x(p, s, t) RN x, y(p, s, t) RN y, z(p, s, t) RN z, r(p, s, t) RN r.

Во втором параграфе первой главы вводятся определения обобщен ных решений задач (1)-(3) с использованием понятий характеристик со ответствующих интегро-дифференциальных гиперболических систем. В задаче (1) характеристиками являются вертикальные прямые s =, S, t T, в задачах (2) и (3) плоскости c одинаковым наклоном к осям координат переменных s и t при любых значениях p P. Прямые = s t + c фиксированными значениями p P, s S, t T на зываются бихарактеристиками, проходящими через точку (p, s, t).

Они пересекают границы параллелепипеда в начальной и конечной точках ((s, t), t(s, t)) и ((s, t), t(s, t)). Обобщенные решения опреде s s ляются как решения интегральных систем, эквивалентных на гладких решениях соответствующим интегро-дифференциальным задачам.

В третьем параграфе методом последовательных приближений до казывается существование обобщенных решений задач (1)-(3) с выводом для задач (1) и (2) оценок роста решений относительно входных данных.

В четвертом параграфе обосновываются единственность обобщен ных решений и их некоторые свойства. В том числе устанавливается, что решение x является абсолютно непрерывной функцией вдоль биха рактеристик. Вводится понятие оператора d Dx(p, s, t) = x(p, s t +, ) d =t и обосновывается его суммируемость в.

Вторая глава работы посвящена необходимым услови ям оптимальности в задачах оптимального управления интегро дифференциальными системами типа (1) и (2). Так, в первом параграфе исследуется задача J(u, w) = (x(s, t1 ), s)ds + (x, y, u, s, t)dsdt min, (4) S xt = f (x, y, u, s, t), y(s, t) = (5) g(x(, t), u(, t), s,, t)d, S x(s, t0 ) = x (w(s), s), (s, t) = S T = (s0, s1 ) (t0, t1 ), x(s, t) RN x, y(s, t) RN y.

Управления u = u(s, t), w = w(s) выбираются из множеств измеримых, существенно ограниченных вектор-функций u LNu (), w LNw (S) u(s, t) U, (s, t), w(s) W, s S, (6) U RN u, W RN w заданы.

Во втором параграфе изучается задача с возрастной структурой:

J(u, v, w) = (x(p, s, t1 ), p, s)dpds+ SP + (x, y, z, r, u, v, p, s, t)dpdsdt min, (7) Dx = f (x, y, z, r, u, p, s, t), y(p, s, t) = g(x(,, t), z(,, t), r(,, t), u(,, t), p,, s,, t)dd, PS z(p, s, t) = (8) q(x(p,, t), u(p,, t), p, s,, t)d, S r(p, s, t) = k(x(, s, t), u(, s, t), p,, s, t)d, P x(p, s0, t) = l(x(p, s, t), u(p, s, t), v(p, t), p, s, t)ds, S x(p, s, t0 ) = x0 (w(p, s), p, s).

Здесь допустимые управления принадлежат множествам измери мых, существенно ограниченных вектор-функций, стесненных ограни чениями u(p, s, t) U, v(p, t) V, w(p, s) W, (p, s, t), (9) U RN u, V RN v, W RN w заданы.

Функции в задачах (4)-(6) и (7)-(9) предполагаются непрерывными по совокупности аргументов вместе со своими производными по фазовым переменным. Помимо этого предполагается, что решения задач (5) и (8) для любых допустимых управлений ограничены в.

Из оценок роста обобщенных решений непосредственно следуют оценки приращений состояний относительно приращений управлений.

Последние позволяют определить структуру сильных вариаций управ лений, приводящих к вариационному принципу максимума. При его вы воде для задачи (4)-(6) используются две вариации управления u(s, t):

на полосе вдоль характеристики s =, S, совместно с игольчатой вариацией управления w(s) и на полосе вдоль прямой t =, T.

Вводится функция Понтрягина H = H(,, x, y, u, s, t) H = (s, t), f (x, y, u, s, t) + (, t), g(x, u,, s, t) d (x, y, u, s, t), S где вектор-функции = (s, t), = (s, t) удовлетворяют сопряженной задаче t = Hx (,, x, y, u, s, t), (s, t), (s, t) = Hy (,, x, y, u, s, t), (s, t), (10) (s, t1 ) = x (x(s, t1 ), s), s S.

Теорема 1. Пусть {u, w ;

x, y } - оптимальный процесс, (, ) соответствующее ему решение сопряженной задачи (10). Тогда 1) управления u() = u (, t), w() = w () почти для каждого S являются решениями задачи J () (u(), w() ) = (x() (t1 ), ) + H(0,, x(), y, u(),, t)dt max, T () = f (x, y, u,, t), x() (t0 ) = x0 (w(), ), () () (11) x u() (t) U, w() W ;

2) управление u( ) = u (s, ) почти для каждого T является решением задачи J ( ) (u( ) ) = H(, 0, x, y ( ), u( ), s, )ds max, S (12) ( ) ( ) ( ) y (s) = g(x, u (), s,, )d, u (s) U.

S Пусть в дополнение к наложенным ограничениям на параметры за дачи (4)-(6) множество W выпукло, вектор-функция x0 непрерывно диф ференцируема по w. Конечномерный принцип максимума следует из ва риационного после повторного варьирования управлений.

Теорема 2. Оптимальные управления u (s, t), w (s) почти для всех (s, t) и s S удовлетворяют равенствам H(,, x, y, u, s, t) = max H(,, x, y, u, s, t);

uU (13) x0 (w, s) (s, t0 ), w (s) = max x0 (w, s) (s, t0 ), w.

w w wW Очевидно, конечномерный принцип максимума является следстви ем вариационного. Обратное следствие опровергается контрпримером.

Таким образом, вариационный принцип является более сильным необхо димым условием оптимальности.

Далее формулируется дифференциальный принцип максимума в до полнительных предположениях гладкости задачи по управлению u и вы пуклости множества U. Выделяются подклассы задачи (4)-(6), для ко торых какое-либо из условий вариационного принципа максимума рав нозначно конечномерному, и подклассы, для которых полученные необ ходимые условия оптимальности являются достаточными.

Во втором параграфе по аналогичной схеме исследуется задача (7) (9). Здесь функция H = H(,, µ,,, x, y, z, r, u, v, p, s, t) имеет вид H = (p, s, t), f (x, y, z, r, u, p, s, t) + + (,, t), g(x, z, r, u,, p,, s, t) dd+ SP + µ(p,, t), q(x, u, p,, s, t) d + (, s, t), k(x, u,, p, s, t) d+ S P + (p, t), l(x, u, v, p, s, t) (x, y, z, r, u, v, p, s, t), где вектор-функции,, µ,, подчиняются сопряженной задаче D = Hx, (p, s, t) = Hy, µ(p, s, t) = Hz, (p, s, t) = Hr, (p, s, t), (p, t) = (p, s0, t), (p, s1, t) = 0, p P, t T, (14) (p, s, t1 ) = x (x(p, s, t1 ), p, s), p P, s S.

Ее корректность обосновывается в первой главе, где она рассматривается в виде (3). Вариационный принцип максимума формулирует Теорема 3. Пусть (u, v, w, x, y, z, r ) - оптимальный процесс, (,, µ,, ) - соответствующее ему решение сопряженной задачи (14). Тогда 1) управления u() (t) = u (, t0 + t, t), t (t(, t0 ), t(, t0 )), w() = w (, ) почти для всех (, ) P (s0 t1 + t0, s1 ) являются решениями задачи J () (u(), w() ) = ()(x() (t1 ),, t0 + t1 )+ t(,t0 ) H(0,, µ,,, x(), y, z, r, u(), v,, t0 + t, t)dt max, + t(,t0 ) x() = f (x(), y, z, r, u(),, t0 + t, t), x() (t(, t0 )) = x0 (w(),, ), s0, x() (t(, t0 )) = l(x, u, v, p, s, t(, t0 ))ds, s0, S 1, s0 + t0 t1, () = 0, s0 + t0 t1.

2) управления u( ) (s) = u (, s, ), v ( ) = v (, ) почти для всех P и T являются решениями задачи J ( ) (u( ), v ( ) ) = (x( ) (, t1 ),, s0 + t1 )+ t H(0,, µ,,, x( ), y, z, r, u, v,, s0 + t, t)dt+ + H(,, 0,, 0, x, y, z ( ), r, u( ), v ( ),, s, )ds max, + S x( ) = f (x( ), y, z, r, u,, s0 + t, t), x( ) ( ) = l(x, u( ), v ( ),, s, )ds, S z ( ) (s) = q(x, u( ) (),, s,, )d, S 3) управление u( ) (p) = u (p,, ), p P почти для всех (, ) S T является решением задачи J ( ) (u( ) ) = H(,, µ, 0,, x, y, z, r( ), u( ), v, p,, )dp max, P r( ) (p) = k(x, u( ), p,,, )d.

P Следствием теоремы 3 служит конечномерный принцип максимума.

Теорема 4. Оптимальные управления u (p, s, t), v (p, t), w (p, s) почти для всех (p, s, t) удовлетворяют условиям H(,, µ,,, x, y, z, r, u, v, p, s, t) = = max H(,, µ,,, x, y, z, r, u, v, p, s, t), uU Hv (,, µ,,, x, y, z, r, u, v, p, s, t)ds, v (p, t) = S Hv (,, µ,,, x, y, z, r, u, v, p, s, t)ds, v, = max vV S x0 (w, p, s) (p, s, t0 ), w (p, s) = max x0 (w, p, s) (p, s, t0 ), w, w w wW где x (p, s, t), y (p, s, t), z (p, s, t), r (p, s, t), (p, s, t), (p, s, t), µ (p, s, t), (p, s, t), (p, t) - решения прямой и сопряженной систем при u = u (p, s, t), v = v (p, t), w = w (p, s).

В третьей главе на базе полученных необходимых условий опти мальности построены численные схемы поиска решений исследуемых за дач оптимального управления. Для алгоритмов, основанных на вариаци онном и конечномерном принципах максимума, используются сильные вариации управлений и базовые конструкции метода последовательных приближений, разработанного для обыкновенных задач оптимального управления. Приведем данные алгоритмы для задачи (4)-(6). Пусть в дополнение к наложенным ограничениям производные функций,, f по фазовым переменным удовлетворяют условию Липшица по этим переменным, целевой функционал ограничен снизу.

В соответствии с теоремой 1 численный поиск решения на основе вариационного принципа максимума последовательно использует два се мейства сосредоточенных задач этого условия оптимальности. На первом этапе выбираются произвольные допустимые управления u0 = u0 (s, t), w0 = w0 (s) и полагается k = 0. По uk, wk путём решения задач (5) и (8) определяются фазовые траектории xk, y k и сопряженные траектории k, k. Находятся управления u(s)k = u(s)k (t), u(s)k LN u (T ), w(s)k RN w как решения следующего семейства вспомогательных задач почти для каждого s S J (s) ((s)k, w(s)k ) = max J (s) (u(s), w(s) ), u(s) (t) U, w(s) W, u J (s) (u(s), w(s) ) = (x(s) (t1 ), s) + H(0, k, x(s), y k, u(s), s, t)dt, T (s) = f (x, y, u, s, t), x(s) (t0 ) = x0 (w(s), s).

(s) (s) k x Вводится в рассмотрение функция k (s) = J (s) ((s)k, w(s)k ) J (s) (uk, wk ), s S, u и вычисляется её среднее значение k = k (s)ds.

s1 s S По определению функция k (s) неотрицательна. Следовательно, k 0.

Если k = 0, то управления uk, wk удовлетворяют первому условию вариационного принципа максимума (11). Если k 0, то задаются од нопараметрические семейства управлений uk (s, t), w (s) в соответствии k с правилом u(s)k (t), s Sk (), w(s)k, s Sk (), uk (s, t) = k w (s) = uk (s, t), s S \ Sk (), wk (s), s S \ Sk (), где Sk () S - множество, мера которого линейна зависит от (0, 1).

Оно строится так, чтобы при любых k = 0, 1,..., было справедливо опре деляющее неравенство k (s)ds N, (0, 1), k Sk () c некоторыми константами N 0, 1.

Выбор шага k осуществляется по правилу наискорейшего спуска k = argmin J(uk, w ), (0, 1), k или исходя из менее жесткого условия, которое более удобно при прак тической реализации Nk j j J(ukj, wj ) k k k k k =, j = 0, 1,..., J(u, w ), где (0, 1) - параметр метода, j - минимальный номер, при котором выполняется данное неравенство. Тогда uk+1 (s, t) = ukk (s, t), wk+1 (s) = wk (s).

k Доказывается, что невязка k 0 при k.

На втором этапе задается произвольное допустимое управление u0 = u0 (s, t), k = 0, и почти для всех t T находятся управления u(t)k = (t)k (t)k Nu u (s), u L (S) как решения семейства задач J (t) ((t)k ) = max J (t) (u(t) ), u(t) (s) U, u J (t) (u(t) ) = H( k, 0, xk, y (t), u(t), s, t)ds, S y (t) (s) = g(xk, u(t), s,, t)d.

S Полагается k (t) = J (t) ((t)k ) J (t) (uk ), k = k (t)dt, u t1 t T u(t)k (s), t Tk (), uk (s, t) uk+1 (s, t) = uk (s, t).

= k u (s, t), t T \ Tk (), Здесь релаксационность и сходимость в смысле k 0, k, обеспечиваются построением области Tk () со свойством k (t)dt N, (0, 1), k Tk () и выбором параметра k по аналогии с предыдущим этапом.

При построении областей Sk (), Tk (), удовлетворяющих определя ющим неравенствам, могут без изменений использоваться известные ре зультаты, разработанные для обыкновенных задач оптимального управ ления.

Опишем численный алгоритм улучшения распределенного управле ния uk на основе конечномерного принципа максимума (13). По управ лению uk строятся решения xk, y k, k, k прямой и сопряженной задач.

Вспомогательное управление uk определяется как решение задачи H( k, k, xk, y k, uk, s, t) = max H( k, k, xk, y k, u, s, t).

uU Полагается k (s, t) = uk H( k, k, xk, y k, uk, s, t), k = k (s, t)dsdt.

(s1 s0 )(t1 t0 ) Число k 0 характеризует величину невязки конечномерного принци па максимума. Если k = 0, то управление uk удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и подозрительно на оптимальность. Если k 0, то строится uk :

uk (s, t), (s, t) k (), uk (s, t) = uk (s, t), (s, t) \ k ().

Релаксационность и сходимость метода в смысле k 0, k, обес печиваются условиями k (s, t)dsdt N, k k () k = argmin J(uk, w), (0, 1), или Nk j j J(ukj, w) k k k =, j = 0, 1,..., J(u, w).

За управление на следующем шаге берется uk+1 (s, t) = ukk (s, t).

Далее конкретизируется алгоритм условного градиента на базе диф ференциального принципа максимума и комбинированный алгоритм, яв ляющийся комбинацией метода условного градиента и метода на основе конечномерного принципа максимума.

В четвертой главе исследуются некоторые модели динамики по пуляции.

В основе первой модели1 лежит логистическое уравнение. Пусть x(s, t) - плотность особей популяции в момент времени t с адаптивной характеристикой s. Например, величина s определяется размером клю ва, который соответствует размеру потребляемого ореха. Плотность ре сурсов доступных для особей с признаком s задается функцией K(s).

Уравнение динамики популяции имеет вид xt (s, t) = rx(s, t) 1 (15) C(s, )x(, t)d.

K(s) S Предполагается, что начальное распределение плотности особей популя ции известно и определено условием x(s, t0 ) = x0 (s). Особи рождаются с интенсивностью r. Функция C(s, ) определяет интенсивность конку ренции между особями за ресурсы среды.

В самом типичном случае функция K(s) является гауcсовской и имеет следующий вид:

(s s) K K(s) = exp, 2K K Dieckmann U., Doebeli M. On the origin of species by sympatric speciation // Nature. - 1999. № 400. - Pp. 354-357.

где K - общее количество ресурсов, s - наиболее распространенный ре сурс, K - мера рассеивания ресурсов по фракциям. C(s, ) также может быть гаусcовской функцией со следующим явным видом:

(s ) e C(s, ) = exp, 2C C где e - количество ресурсов, потребляемое одной особью, C характери зует убыль конкуренции по мере увеличения модуля разности между s и.

Соотношение параметров K и C определяет характер распреде ления особей по признакам, в частности, может вызывать разделение популяции на два признаковых кластера, что служит основой симпатри ческого видообразования. Задача состоит в нахождении параметров C и K, при которых в фиксированный момент времени t1 плотность особей популяции максимально близка к заданному распределению x(s):

(x(s, t1 ) x(s))2 ds min, J() = S (K, C ) Q = [K0, K1 ] [C0, C1 ].

Решение проведено методом условного градиента.

Вторая модель является модификацией модели (15), в которой ди намика популяции зависит также от внешнего воздействия:

xt (s, t) = rx(s, t) + µ(s, t) 1 C(s, )x(, t)d vx(s, t), K(s) S x(s, 0) = x0 (s), v V = [0, 1] - фиксированный параметр, который может интерпре тироваться как относительная скорость вылова, µ(s, t) - плотность осо бей, вводимых в популяцию, например, плотность выпускаемых мальков.

Ищется кусочно-непрерывное управляющее воздействие µ, доставляю щее максимум функционалу J(µ) = f (vx(s, t)) pµ(s, t) dsdt max, µ(s, t) [µ0, µ1], TS где f (vx) - функция прибыли от вылова, f (vx) = p1 vx, p1 - стоимость продукции, p - цена мальков.

Для решения задачи использованы метод на основе вариационного принципа максимума и комбинированный метод.

Следующая прикладная задача исследует вопрос о годовых и меж годовых циклах изменения численности особей. Модель динамики попу ляции учитывает возраст организмов и имеет вид x(s, t)y(s, t) xt (s, t) + xs (s, t) =, K(t) s y(s, t) = C(s, )x(, t)d, x(0, t) = (16) r(t)x(s, t)ds, sr S x(s, t0 ) = x0 (s), sr - начальный возраст детородного периода. Здесь функция K(t) за дает вместимость территории для рассматриваемых организмов, C(s, ) характеризует интенсивность конкуренции между различными возраст ными стадиями организмов, r(t) является функцией рождаемости. Цель исследования - определить вклад окружающей среды и свойств самой системы в формирование закономерностей колебаний численности попу ляции. Таким образом, задача оптимального управления состоит в на хождении параметров системы (16), доставляющих минимум функцио налу J(K, r) = x(s, t)ds x(t) dt, T S K(t) [K0, K1], r(t) [r0, r1], t T.

Исследование проведено с помощью комбинированного метода.

В приложении аналитически решены несколько интегро дифференциальных уравнений с начально-граничными условиями.

Эти решения имеют самостоятельный интерес, а также применяются при отладке разностных схем для интегро-дифференциальных систем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах, рекомендованных ВАК 1. Букина А.В. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / А.В. Букина, В.А. Терлец кий // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 11. - С. 61-66.

2. Букина А.В. Идентификация модели видообразования методами теории оптимального управления / А.В. Букина // Журн. Сиб.

фед. ун-та. Серия: Математика и физика. - Т.1, № 3. - 2008. - С.

231-235.

3. Букина А.В. Численные методы оптимизации интегро дифференциальной системы / А.В. Букина // Современные технологии, системный анализ, моделирование. - 2008. - № 2. - С.

77-81.

4. Букина А.В. Вариационный принцип максимума в задаче опти мального управления интегро-дифференциальной системой / В.А.

Терлецкий, А.В. Букина // Вестн. Бурят. гос. ун-та. - Улан-Удэ:

Изд-во БГУ, 2008. - Вып. 9. - С. 52-55.

5. Букина А.В. Оптимальное управление моделью динамики лесных ресурсов / А.В. Букина // Вестн. Бурят. гос. ун-та. - Улан-Удэ:

Изд-во БГУ, 2010. - Вып. 9. - С. 3-9.

Прочие публикации 6. Букина А.В. Существование и единственность решения одной интегро-дифференциальной системы / А.В. Букина // Известия Иркут. гос. ун-та. Серия Математика. - 2007. - Т.1. - С. 62-70.

7. Букина А.В. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / А.В. Букина // Математи ка и проблемы ее преподавания в вузе: III межвуз. конф. - Иркутск, 2007. - С. 90-93.

8. Букина А.В. К исследованию задачи оптимального управления интегро- дифференциальной моделью симпатрического видообра зования / А.В. Букина // Математическое моделирование и инфор мационные технологии: материалы VIII школы-семинара молодых ученых. - Иркутск, 2006. - С. 34-37.

9. Букина А.В. Необходимые условия оптимальности управления мо делью динамики популяции / А.В. Букина // Математическое мо делирование и информационные технологии: материалы IX школы семинара молодых ученых. - Иркутск, 2007. - С. 29-31.

10. Букина А.В. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / А.В. Букина // Методы оп тимизации и их приложения: тр. XIV Байкальской международной школы-семинара. - Северобайкальск, 2008. - С. 107-117.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.