авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Оценка ряда дирихле в полуполосе, показатели которого нули произведения вейерштрасса с нерегулярным поведением

На правах рукописи

Сергеева Дина Ильдаровна

ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ,

ПОКАЗАТЕЛИ КОТОРОГО

НУЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЙЕРШТРАССА

С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Уфа–2007

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гайсин Ахтяр Магазович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Мерзляков Сергей Георгиевич, кандидат физико-математических наук Башмаков Рустем Абдрауфович

Ведущая организация: Сыктывкарский государственный университет

Защита состоится "21" марта 2008 г. в 1500 на заседании совета по защите док торских и кандидатских диссертаций Д-002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан " " февраля 2008 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н. С.В. Попенов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. Изучение асимптотических свойств целых или аналити ческих в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адамара. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции (например, в терминах порядка и типа) и распределе нием её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в.

Введение индикатора целой функции дало возможность установить зависимости между её ростом по различным направлениям и распределением её корней по ар гументам. Особенно точные зависимости установлены для класса целых функций вполне регулярного роста. Теорию этих функций развили в 1937 1950 гг. одновре менно Б.Я. Левин и А. Пфлюгер. Теория целых функций вполне регулярного роста и её применения подробно изложены в монографии Б.Я. Левина [1].

В приложениях теории целых функций существенную роль играют целые функ ции экспоненциального типа, у которых все корни вещественны. Поэтому представ ляется важным вопрос определить условия, которым должны удовлетворять корни таких целых функций для того, чтобы они были ограничены в том или ином смысле на вещественной оси.

В теории аппроксимации системами из экспонент {en z } на различных множе an en z особую роль играет ствах комплексной плоскости, в теории рядов Дирихле n= бес конечное произведение Вейерштрасса z 1 (0 n ), Q(z) = (1) n n= определяющее целую функцию экспоненциального типа.

В этой связи актуальной задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения её нулей. В общем случае функ ция Q на вещественной оси ведёт себя очень нерегулярно. Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция g, такая, что произведение Qg на веще ственной оси обладает достаточно хорошими свойствами. Вопрос о существовании такой функции g является принципиальным в различных вопросах анализа, напри мер, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций ein x (n 0), где важно уметь строить целые функции экспоненциального типа, максимально быстро убывающие на R при |x|. Впервые такое построение было сделано В.А. Марченко [2].

Пусть : R R удовлетворяет условиям: (x) 0, (x + y) (x) + (y) и (x) dx.

J[] = 1 + x В [2] для любого 0 дан способ построения целой функции экспоненциального типа f, удовлетворяющей неравенству |f (x)| Ca e(ax), где a 0, Ca 0. Отметим, что условие J[] является необходимым, ибо для любой целой функции f, отличной от тождественного нуля и ограниченной на R, верно J(ln |f |). При других ограничениях на функцию (условие (x + y) (x) + (y) заменяется чётностью и её монотонностью на R+ = [0, )), аналогичное построение проведено Л.И. Ронкиным и С. Мандельбройтом. Наибо лее сильный результат был установлен Бёрлингом и Маллявеном [3]. Они доказали, что каждая целая функция класса Картрайт, то есть целая функция экспоненци ального типа, удовлетворяющая условию J[ln+ |f |] (a+ = max(0, a)) имеет мультипликатор для любого 0. Это означает, что существует такая целая функ ция экспоненциального типа,, что | (x)f (x)| const, x R.

Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П.

Кусисом. То, что теорема Бёрлинга и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следует из работы В.Э. Кацнельсона [4], который построил при мер функции класса Картрайт, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей какому нибудь из указанных выше условий и требованию J[].

В диссертации ставится и решается следующая задача: при каких условиях на последовательность = {n } (0 n ) существует целая функция вида P (z) = z 1 (Q– функция (1), 0 µn ) с простыми нулями в точках Q(z) µ n n= n (n 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая правильной мажорантой на вещественной оси? При этом вовсе не обязательно, чтобы данная мажоранта удо влетворяла тем же условиям, что и в работе [2]. Некоторые результаты такого типа приведены в обзоре [5]. Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в приложениях, в частности, в теории рядов Дирихле an en z (0 n ). К рядам Дирихле мы приходим, например, если в степен n= an z n сделаем замену z = es. Ряд an ens называется рядом Тейлора ном ряде n=1 n= (0 n ) Дирихле. В случае, когда n не целые, получаем ряд Дирихле общего вида.



Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R порядка и R типа. Эти понятия в своё время были вве дены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [6].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в по луплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [7], В. Бойчук [8], К. Нандан [9], [10], Ю. Шиа-Юн [11].

В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков.

Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [12]. Позже в терминах R - порядка и R - типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован А.М. Гайсиным в работах [13] - [17].





В связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [18], [19], c 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, схо дящимся в произвольных выпуклых областях. Большой интерес у специалистов вы звали вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [20] - [22]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. Появились новые методы исследования. Так, А.М. Гайсиным была разработана методика, которая нашла ши рокое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически исполь зуется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие в работе [23], где изучались ряды Дирихле, аб солютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости.

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие конечный порядок в смысле определения, данного в статье [13]. Суть задачи следующая: при некоторых предположениях правильности поведе ния функции (1) на вещественной оси в [13] для порядка в полуплоскости и порядка s в некоторой полуполосе была получена оценка: s + q ( q величина, зави сящая от последовательности ). Но вопрос о точности данной оценки до сих пор оставался открытым. Более того, не было ясно, при каких условиях на функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси. В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательно сти ), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин и s.

При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности и поэтому конкретно может быть указана. Как следствие, получен критерий равенства соответствующих харак теристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге.

Цель работы. Изучить асимптотические свойства произведения Вейрштрасса с заданной последовательностью вещественных нулей, имеющих в определённом смыс ле правильное распределение;

применить полученный результат для получения точ ных оценок для порядков роста суммы ряда Дирихле в полуплоскости сходимости и полуполосе, ширина которой зависит от специальной плотности распределения по казателей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Получены следующие результаты:

получены оценки на вещественной оси (как сверху, так и снизу) а также равно мерная оценка на лучах для произведения Вейерштрасса, последовательность нулей которого имеет в некотором смысле правильное распределение;

построена целая функция экспоненциального типа с заданной асимптотикой на вещественной оси и с заданной последовательностью простых нулей, имеющей специальную плотность распределения;

получены точные оценки для порядков суммы ряда Дирихле в полуплоскости сходимости и полуполосе определённой ширины в случае, когда последовательность показателей имеет конечную R плотность.

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, раз работанные А.Ф. Леонтьевым (применяется интерполирующая функция, формулы для коэффициентов) и развитые в работах А.М. Гайсина, а также методы комплекс ного анализа, теории целых функций.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте ма тематики РАН имени В.А. Стеклова, Московском, Ростовском, Саратовским, Львов ском, Казанском, Башкирском, Сыктывкарском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Ин ститута математики с ВЦ УНЦ РАН;

на семинарах кафедры теории функций и функ ционального анализа Башкирского госуниверситета;

на IV Региональной школе конференции для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике и физи ке, посвящённой 95 летию БашГУ (Уфа, 2001 г.), на Уфимской международной математической конференции, посвящённая памяти А.Ф. Леонтьева (2007 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти работах. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разби тых на параграфы и списка литературы, содержащего 46 наименований. Введение и первая глава содержат по три параграфа. Вторая глава два параграфа, третья четыре параграфа. Общий объем диссертации 95 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении даётся обзор известных результатов, постановка задач и приводят ся основные результаты диссертации.

В главе I исследуется поведение произведения Вейерштрасса с вещественными нулями, имеющими в некотором смысле правильное распределение.

Пусть = {n } (0 n ) последовательность, имеющая конечную верх нюю плотность. Тогда 1 Q() = ( = x + iy) n n= целая функция экспоненциального типа. Если существует предел n D = lim, n n то говорят, что последовательность измерима и имеет плотность D.

В §1 приводятся необходимые определения и предварительные факты. В §2 по лучены оценки для функции Q на вещественной оси сверху и снизу. Отправным моментом явились следующие теоремы (см., н р, в [5]).

Теорема (Пэли-Винер, 1934) Пусть 0 n, и |n n| d. (2) Тогда для функции Q справедливы оценки 1. |xQ(x)| const|x|4d ;

2. для |x n | 0 (n 1) |xQ(x)| const|x|4d (|x| 1).

Теорема (Б.Я.Левин, 1949) Если выполняется условие (2), то |Q(z)| const 1 + |z|4d e|y|.

При условии inf |n j | n=j 4d |Q (j )| constj (j 1).

Отметим, что функция Q, удовлетворяющая условиям данных теорем, принад лежит классу Картрайт. Функции из класса Картрайт не могут вести себя слиш ком нерегулярно. Однако во многих случаях приходится предполагать, что суже ния функций данного класса на вещественную ось удовлетворяют некоторым до полнительным условиям "правильности роста". Эти условия обычно имеют вид:

существует неотрицательная и, например, возрастающая функция, такая, что ln |f (x)| (x), и (x) dx.

1 + x В диссертации данное условие заменяется на более слабое требование (интеграл может и расходиться).

Пусть L класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на R+ = (0, ) функций. Обозначим через K подкласс функций H L, таких, что H(0) = 0, H(t) = o(t) при t, H(t) при t.

t Имеет место следующая Теорема 1.1. Пусть последовательность имеет плотность D (0 D ), (t) = 1. Если для некоторой функции H K n t |(u) Du| H(u) (u 0), то для любого x R x ln |Q(x)| 6H(x) ln+ + A (0 A ).

H(x) Пусть H(x) ln H(x) H K : d(H) = lim, S= (3) x x ln H(x) x Справедлива Теорема 1.2. Пусть = {n } (0 n ) последовательность, имеющая плотность D (0 D ), для которой выполняется условие (x) (x + p) (x) ap + b + (p 0), (4) + ln p + где – любая неотрицательная, неубывающая функция, заданная на луче R+, (x) cx ln+ x + q.

Если для некоторой функции H S |(u) Du| H(u) (u 0), (5) то существует последовательность {rn }, 0 rn, rn+1 rn = O(H(rn )) при n, такая, что при x = rn x ln |Q(x)| (9 + 2D + 2ad(H))H(x) ln+ H(x) 2(x) + O(1).

Здесь d(H), a, D числа, фигурирующие в формулах (3)-(5).

В §3 для произведения Вейерштрасса получена равномерная оценка на лучах.

Пусть M = {µn }(0 µ1 µ2... µn... µn ) последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность n = lim.

n µn Положим ( W () = ).

µ n n= Наряду с индикатрисой роста ln |W (rei )| h() = lim r r для функции W в [24], [25] вводится и изучается другая характеристика коинди катриса h () = lim ln, = 0,.

W (rei ) r Если последовательность M имеет плотность, то h () = h(). В общем случае функция h () не ограничена при 0.

Теорема 1.3. Пусть последовательность M = {µn } имеет плотность, при чём |n(t) (t)| H(t) (t 0), H K.

Тогда существует 0 такое, что при r для всех 0 ||, 0 | | 4 8 H 2 (r) r | ln |W (rei )| | sin |r| 6H(r) ln + + 3µ1.

H(r) || r Глава II посвящена построению целой функции экспоненциального типа с за данной последовательностью нулей, имеющей регулярное поведение на вещественной оси.

Пусть = {n } (0 n ) последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность, L, и K классы функций, введённые выше.

K плотностью последовательности называется величина µ ((t)) G(K) = inf lim, h(t) hK t где (t) = [t, t + h(t)) полуинтервал, µ ((t)) число точек из, попавших в полу интервал (t).

Пусть = {} семейство полуинтервалов вида = [a, b). Всякая последователь ность = {n } (0 n ) порождает целочисленную считающую меру µ :

.

µ () = 1, n Пусть µ считающая мера, порождённая последовательностью = {µn } ( µn ). Тогда включение означает, что µ () µ () для любого. В этом случае говорят, что мера µ мажорирует меру µ [26].

Через D(K) обозначим точную нижнюю грань тех чисел b (0 b ), для каждого из которых существует мера µ, мажорирующая µ, такая, что для некоторой функции h K |M (t) bt| h(t) (t 0).

Здесь = {n }, = {µn }, M (t) = 1.

µn t В §1 главы II доказана Лемма 2.1.Величины D(K) и G(K) совпадают: D(K) = G(K).

В §2 доказана теорема о существовании целой функции с заданной подпоследова тельностью простых нулей, имеющей требуемую асимптотику на вещественной оси.

Имеет место Теорема 2.1. Пусть = {n } (0 n ) последовательность, имеющая конечную S плотность G(S). Тогда для любого b G(S) существует последо вательность = {µn } (0 µn ), содержащая и имеющая плотность b, такая, что целая функция экспоненциального типа b z Q(z) = (z = x + iy) µ n n= обладает свойствами:

1) Q(n ) = 0, Q (n ) = 0 для любого n ;

2) существует H S, такая, что:

x ln |Q(x)| AH(x) ln+ + B;

H(x) 3) если (x) = 1, и n x (x) (x + ) (x) a + b + ( 0) (6) + ln + ( любая неотрицательная, неубывающая функция, определённая на луче [0, ), 1 (x) x ln+ x + ), то существует последовательность {rn }, 0 rn, rn+1 rn = O(H(rn )) при n, такая, что для x = rn (n 1) x ln |Q(x)| CH(x) ln+ 2(x) D;

H(x) 4) если 1 n(n ;

t) dt, = lim n n t то при условии (6) 1 n(n ;

t) n dt EH(n ) ln+ ln + Q (n ) t H(n ) +2(n ) + F ln n + L (n 1), где n(n ;

t) число точек k = n из отрезка {x : |x n | t}.

Здесь все постоянные положительны, конечны.

Замечание. Условие не является следствием оценки (6), если даже функция ограничена. Действительно, пусть sup (x), 0 1. Тогда из (6) x следует, что (x+)(x) C (x 0). Следовательно, если hn = min |k n |, k=n то +1 n(n ;

t) dt 2C ln+.

ln hn t hn Так что в этом случае тогда и только тогда, когда 1 +.

limln n n hn В случае, когда функция не ограничена, условие (6) допускает ситуацию sup[(x + 1) (x)] =.

x Важно отметить, что в условиях теоремы 2.1 функция (1), для которой сов падает с её нулевым множеством, вообще не обязана иметь те же оценки, что и построенная в теореме функция.

В главе III диссертации получены точные оценки для порядков суммы ряда Дирихле в полуплоскости сходимости и полуполосе определённой ширины в случае, когда последовательность показателей имеет конечную R плотность.

Пусть = {n } (0 n ) последовательность, удовлетворяющая условию ln n = h.

lim (7) n n При изучении целых функций an en s F (s) = (s = + it), (8) n= определённых всюду сходящимися рядами Дирихле, Риттом было введено понятие R порядка:

ln ln M () M () = sup |F ( + it)|.

= lim, + |t| Ясно, что R порядок не совпадает с понятием обычного порядка целой функции.

Так, для функции F (s) = es обычный порядок равен единице, а порядок по Ритту равен нулю.

Пусть область сходимости ряда (8) полуплоскость 0 = {s = + it : 0}. При h = 0, если ряд (8) сходится в полуплоскости 0, то он сходится в 0 и абсолютно.

Тогда сумма ряда F аналитична в данной полуплоскости. Класс всех аналитических функций, представимых рядами Дирихле (8), сходящимися лишь в полуплоскости 0, обозначим через D0 ().

Пусть S(a, t0 ) = {s = + it : |t t0 | a, 0} полуполоса. Положим Ms () = max |F ( + it)| ( 0), M () = sup |F ( + it)| ( 0). Величины |tt0 |a |t| ln+ ln M () ln+ ln Ms () R = lim, s = lim ||1 || 0 называются порядками по Ритту в полуплоскости 0 и полуполосе S(a, t0 ) функции F D0 () [13]. В дальнейшем R и s будем называть порядками функции F в полуплоскости и полуполосе. Если это необходимо, вместо R и s будем писать R (F ) и s (F ).

В §1 даны предварительные сведения, а в §2 доказана основная оценка для по рядков (теорема 3.1).

Перед тем, как сформулировать основные результаты данной главы, введём сле дующие классы функций: L0 ={h L : h(x) ln x = o(x) при x +}, R = {h K :

x x h(x) ln h(x) = o( ln x ), x +}. Ясно, что R S. Имеет место Теорема 3.1. Пусть = {n } (0 n ) последовательность, удовлетво ряющая условиям:

1) (x) (x + ) (x) c + d + + ( 0), ln + где (x) = 1, некоторая функция из L0 ;

n x 2) ln n n(n ;

t) q = lim dt, n n t где n(n ;

t) число точек k = n из отрезка {x : |x n | t}.

Если R плотность последовательности равна G(R), то порядок s любой функции F D0 () в полуполосе S(a, t0 ) при a G(R) и порядок R этой функции в полуплоскости 0 удовлетворяют оценкам s R s + q. (9) Главная идея доказательства данной теоремы использование интерполирующей функции (µ,, F ), соответствующей построенной в теореме 2.1 целой функции Q.

Замечание. В доказанной теореме вместо S(a, t0 ) можно брать криволинейную полуполосу, описываемую вертикальным отрезком длины 2a при движении его центра вдоль кривой, которая лежит в полуплоскости 0 и имеет общую точку с мнимой осью. И в этом случае оценки (9) имеют место.

В [3] показано, что левая оценка в (9) точна. В §3 представлена основная теорема о точности правой оценки для порядка в полуплоскости, а именно, доказана Теорема 3.2. Пусть любая последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1. Тогда существует функция F D0 (), для которой R (F ) = s (F ) + q, где R (F ) порядок в полуплоскости 0, а s (F ) порядок в полуполосе S(a, t0 ) (a G(R)).

Следствие. Пусть последовательность удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Для того, чтобы для любой функции F D0 () порядок R (F ) был равен поряд ку s (F ) в любой полуполосе S(a, t0 )(a G(R)), необходимо и достаточно, чтобы q = 0.

Пусть = {n } (0 n ) последовательность, имеющая конечную верх нюю плотность, 1 2.

L() = n n= В [13] показано, что если |L(x)| eg(x) (x 0), g L0, (10) то R (F ) s (F ) + q, где ln n ln | |, q = lim n n L (n ) а s (F ) порядок в полуполосе S(a, t0 ) (a тип функции L()). Вопрос о точности данной оценки до сих пор оставался открытым. Недостатком данного результата из [13] является и то, что условие (10) трудно проверяемо (оно не сформулировано в терминах распределения последовательности L()). Теоремы 3.1 и 3.2 позволяют восполнить данный пробел.

В §4 приведены примеры последовательностей, для которых реализуется усло вие (10). Наконец, в §4 приведено следствие для лакунарных степенных рядов, вы текающее из теоремы 3.1. Сформулируем его.

Пусть область сходимости степенного ряда an z n (n N) f (z) = n= единичный круг D(0, 1) = {z : |z| 1}. Положим ln ln Mf (r) ln ln Ma (r) (f ) = lim, a (f ) = lim, 1 r1 (1 r) r1 (1 r) где Mf (r) = max |f (z)|, Ma (r) = max |f (rei ) (0 r 1).

|z|=r |0 |a Следствие. Пусть последовательность {n } (n N) имеет R плотность G(R) 1. Тогда, для любого a G(R) верно равенство (f ) = a (f ).

Выражаю благодарность научному руководителю Гайсину Ахтяру Магазовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [1] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.:ГИТТЛ, 1956. - 632 С.

[2] Марченко В. А. О некоторых вопросах аппроксимации непрерывных функций на вещественной оси III //Зап. мат. отд. физ.-мат. фак. и Харьковского мат. общ-ва.

1950. Т.22. С.115–125.

[3] Beurling A., Malliavin P. On Fourier transforms of measures with compact supports // Acta. math. 1962. V.107. № 3,4. P. 291 – 303.

[4] Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведени ем // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т.5, №1. С.37 – 47.

[5] Redheer R. M. Completeness of Sets of Complex Exponentials.// Advances in Mathematics. 1977. V.24. P.1 – 62.

[6] Ritt J. F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J.

1928. V.50. P.73 – 86.

[7] Дагене Е. Я. О центральном показателе рядa Дирихле // Литовский мат. сб.

1968. Т.8, №3. С.504 – 521.

[8] Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. C.238 – 240.

[9] Nandan K. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 1973. V.28. P.213 – 222.

[10] Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math. pures et appl. 1976.V.21, №10. P.1361 – 1368.

[11] Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, №19. A891 – A893.

[12] Галь Ю.М., Шеремета М.Н. О росте аналитических в полуплоскости функ ций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР. Сер. А, 1978. №12. С.1065 – 1067.

[13] Гайсин А.М. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полу полосе // Матем. сб. 1982. Т.117(159), №3. С.412 – 424.

[14] Гайсин А.М. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР.

1982. С.3 – 14.

[15] Гайсин А.М. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и име ющих конечный R - тип, в ряды экспонент // Вопросы аппроксимации функций вещест венного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С.30 – 42.

[16] Гайсин А.М. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче // Ис следования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 – 29.

[17] Гайсин А.М. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах // Матем. за метки. 1987. Т.42, №5. С. 660 – 669.

[18] Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. - 536 С.

[19] Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 С.

[20] Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1980. Т.44, №6. С. 1308 – 1328.

[21] Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. 1987. Т.51, №2. С.287 – 305.

[22] Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами экспонент// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1991. Т.157. С. 68 – 89.

[23] Белоус Т.И. Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полу плоскости // Диссертация...... кандидата физ – мат. наук. Уфа: 2004.

[24] Леонтьев А.Ф. О сходимости полиномов Дирихле// ДАН СССР. 1956. Т.108.

С. 23-26.

[25] Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка.// Сиб.

матем. журн. 1965. Т.VI. №4. C. 840 – 861.

[26] Красичков–Терновский И.Ф. Интерпретация теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты// Матем. сб. 1989. Т. 180. №3. С. 397–422.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Сергеева Д.И. Оценка произведения Вейерштрасса на вещественной оси снизу.

//IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учё ных по математике и физике, посвящённая 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. Ч. 1.

Уфа: РИО БашГУ, 2004. С. 8.

2. Сергеева Д.И. Оценка произведения Вейерштрасса с регулярным распределе нием нулей на вещественной оси. // Региональная школа-конференция для студен тов, аспирантов и молодых учёных по математике и физике: Сборник статей. Том I-математика. Уфа: БашГУ, 2004. С. 193–206.

3. Гайсин А.М., Сергеева Д.И. Целые функции экспоненциального типа с регуляр ным поведением на вещественной оси. // Вл. мат. журн. 2005. Т.7. В.3. С. 31 37.

4. Сергеева Д.И. Точные оценки порядка ряда Дирихле в полуполосе. // Уфим ская международная математическая конференция, посвящённая памяти А.Ф. Леон тьева. Сборник материалов. Том 2. Уфа: Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, 2007. С.82.

5. Гайсин А.М., Сергеева Д.И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение на вещественной оси I. // Сиб. мат. журн.

2007. Т.48. № 5. С. 996 1008.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.