авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Функциональные инварианты в задачах локальной аналитической классификации

На правах рукописи

Воронин Сергей Михайлович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ В ЗАДАЧАХ ЛОКАЛЬНОЙ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК – 2011

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского Государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бибиков Юрий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Давыдов Алексей Александрович доктор физико-математических наук, профессор Закалюкин Владимир Михайлович

Ведущая организация: Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 17 ноября“_ 2011 г. на заседании совета Д 002.022. ” при Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии на ук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ин ститута им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "2 "июня 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022. доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальны ми уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах.

В 1880-х годах Пуанкаре 1,2 предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифферен циального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид.

Так родилась теория нормальных форм.

Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифферен циальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локально го анализа.

Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый во прос, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших дней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки покоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные условия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанка ре 2. Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 60 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми зна Poincare H. Sur les courbes denies par une equation dierentielle. C.r.Acad.sci., 1880, 90, 673-675. Oeuvres, t.1. p.1-2;

C.r.Acad.sci., 1881, 93, 951-952. Oeuvres, t.1. p.85-86;

C.r.Acad.sci., 1884, 98, 287-289. Oeuvres, t.1.

p.87-89;

J. math. pures et appl. 4 ser., 1885, 167-244. Oeuvres, t.1. p.90-161;

J. math. pures et appl. 4 ser., 1886, 2, 151-217. Oeuvres, t.1. p.167-222.

Poincare H. Sur les points singuliers des equations dierentielles. C.r.Acad.sci., 1882, 94, 416-418. Oeuvres, t.XI, p.3-5.

менателями: Зигель доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Ди офантов набор. Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны и Йоккоза 5. Отметим, что статья Йоккоза с работами Брюно вошла в список работ, за которые он был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.

Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного поля (отображения) своей линейной части является условие линейности формаль ной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной фор мы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до нача ла 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и для векторных полей.

Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормаль ных форм был получен Брюно 4. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть вы брана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и фор мальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквива лентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?

В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называемых Зигель К.Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности по ложения равновесия. Математика, 5:2 (1961), 119-128.

Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальныx уравнений // Труды ММО. Т.25. (1971). С.119 262, Т.26.(1972). С.199-239.



Yoccoz J. -C. Linearisation des germes de dieomorphismes holomorphes de (C, 0), C. R. Acad. Sci. Paris 306. P.55-58.

одномерных параболических ростков отображений был дан независимо: ав тором [2], февраль;

Экаллем 6, май;

Мальгранжем 7, ноябрь. Оказалось, что аналитическая классификация ростков конформных отображений z z + az 2 + bz 3 +..., a = 0 (1) имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: в задаче о клас сификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы и резонансные 8, седла на плоскости, Мартине-Рамис );

в аналогичной задаче для вектор ных полей ;

в задаче о классификации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов, и во многих дру гих задачах.

Описанию функциональных модулей в задачах аналитической классифи кации резонансных векторных полей и отображений посвящены первые три главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются в первой гла ве;

во второй главе изучаются многомерные отображения, а в третьей - век торные поля на плоскости.

В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В.И.Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует скрытая динамика“. Это значит, ” что существует геометрические объекты, по которым инвариантным обра зом можно построить локальную динамическую систему. Арнольд указал несколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симмет рии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений. Таким образом, в этих задачах анали Ecalle J. Sur les fonctions resurgentes. I,II - Orsay. 1981. - p. 1-250, 251-531.

Malgrange B. Travoux d’Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systemes dinamique. Sem.Bourbaki, 34-e anne, 1981/1982, n.582, Novembre 1981.

J.Martinet and J.P.Ramis, Probl‘eme de modules pour des ’equations di’erentielles non lin’eaires du premier ordre, Inst. Hautes ’Etudes Sci.PublMath.(1982 55,pp.63-164).

Martinet J., Ramis J.P. Classication analytique des quations direntielles non linaires resonnantes du e e e premier ordre. Ann. Sci. Ecole norm. supr., 1983, 16, №4, p. 571–621.

e тическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих скрытых динамических систем“. Авто ” ром были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функ циональные инварианты в задачах теории особенностей. Результаты эти из лагаются во второй половине первой главы.

В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом па ры ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах тео рии особенностей, например, в задаче об обходе препятствия, или в так называемой задаче Дарбу-Уитни (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями). В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, непо движные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Системати ческому исследованию таких сильно вырожденных“ ростков отображений ” посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификаци онной задаче также возникают функциональные модули. В качестве прило жения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В.И.Арнольдом ). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других классификационных задачах, например, в задаче Биркхофа о классифика ции пар гиперповерхностей симплектического пространства или (указано М.Я.Житомирским) при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур. Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.

Арнольд В.И. Особенности в вариационном исчислении. – Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Hовейшие достижения. Т.22. ВИНИТИ, М., 1983. С.3-55.

Арнольд В.И. Лагранжевы многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ла сточкин хвост // Функц. анализ и его прил. - 1981. - 15, №4. С. 1-14.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. ВИНИТИ, М., 1985. С.7-139.

Zhitomirskii M. Typical singularities of dierential 1-forms and Pfa equations. – AMS, Providence. – 1992.

Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отобра жения Пуанкаре, отображения последования, rst return map). Это позволя ет понизить размерность задачи: орбитально эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот (Елизаров, Ильяшенко ). Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис (см.

также ) построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных по лей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобра зование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преоб разования монодромии рассматривать преобразование t-монодромии“ (над ” стройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается на трансверсаль). Клас сификация таких надстроек“ (называемых ниже t-сдвигами) приводится в ” третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функ циональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая класси фикация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных век торных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результа та Мартине-Рамиса (для седлоузлов), но с использованием другой техники (дело в том, что не все формально подходящие“ t-сдвиги подходят ана ” ” литически“). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов строятся с помощью так называемых нормализующих атласов“;

в частности, ” здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщаюшая извест Елизаров П.М., Ильяшенко Ю.С. Замечания об орбитальной аналитической классификации ростков векторных полей Матем.сборник, 121(1983), С.111-126.

Ильяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости НИВЦ АН СССР.: Пущино, препринт, 1982. 39с.

ный результат Хукухара, Кимура и Матуда.

В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрест ности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При нали чии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать ( резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инва рианты - в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой ко размерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например) уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные моду ли). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпада ют. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитиче скую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т.е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных голоморфных отоб ражений 17,18 ;

топологическая жесткость была получена А.А.Щербаковым 19.

Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.

Цель работы. Целью работы является исследование функциональных инвариантов в задачах локальной аналитической классификации: параболи ческих ростков одномерных голоморфизмов;

пар одномерных инволюций;

в задаче об огибающей;

в задаче о классификации ростков голоморфизмов с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликато рами (и ее симметричных“ вариантах);

в задаче Дарбу-Уитни;

в задаче о ” M.Hukuhara, T.Kimura and T.Matuda Equations dierentielles ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Math.Soc. of Japah, Tokyo, 1961.

Cerveau, D.;

Moussu, R. Groupes d’automorphismes de (C, 0) et quations direntielles ydy + · · · = 0.

e e (French) [Groups of automorphisms of (C, 0) and dierential equations of the form ydy + · · · = 0]. Bull. Soc.

Math. France 116 (1988), no. 4, 459–488 (1989) J. -P. Ramis, Conuence et resurgence, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect IA Math. 36 (1989), 706-716.

Щербаков А. А. Топологическая и аналитическая сопряженность некоммутативных групп кон формных отображений. Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 10 (1984), 170-192.





классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости, а также и исследование явления жесткости для вырожденных особых точек.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новы ми, и состоят в следующем. В типичных случаях, для всех перечисленных в предыдущем пункте задач построены функциональные инварианты и дока заны соответствующие теоремы об аналитической классификации;

доказана теорема о жесткости для типичных особых точек с нулевой струей заданного порядка.

Методы исследования. В работе используются традиционные методы теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений с ком плексным временем, теории голоморфных слоений. Основные инструменты:

теорема о сжимающих отображениях, операторы конечного порядка и метод последовательных приближений. В реализационных конструкциях использо вались теорема Ньюлендера-Ниренберга о почти комплексных структурах и теорема Грауэрта о схлопывании.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретиче ский характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны в теории дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным вре менем, в теории голоморфных слоений, в комплексной динамике и в теории особенностей. Эти результаты также могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на кон ференциях Петровского (3,14,16 и 23-я сессии), на всесоюзных школах по теории операторов (Челябинск,1986;

Куйбышев, 1988), на всесоюзных конфе ренциях в Перми (февраль 1988) и Самаре (1996), на международных кон ференциях в Москве (август 1994, август 2002, декабрь 2003, февраль 2007, август 2007), в Челябинске (июнь 1994, 1999, 2002), Суздале (2000), Ленин граде (институт Эйлера, октябрь 1991), Тегеране (Иран, 25th Annual Iranian Mathematical Conference, март 1994), Гуанохуато (Мексика, CIMAT, февраль 1991), Cuernavaca (Мексика, август 1996), Лумини (Франция, CIRM, июнь 2004, май 2009), Гронингене (Голландия, июнь 1995). По результатам работы прочитаны миникурсы и лекции: в Институте Теоретической Физики и Ма тематики (Тегеран, Иран;

июль 1993, март 1994), в CIMAT (Гуанохуато) и UNAM (Мехико, Мексика) (январь - март 1995, июль - сентябрь 1996, август 2010). Результаты докладывались: на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством Ю.С.Ильяшенко (неоднократно, 1978 2008), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН под руко водством Д.В.Аносова и Ю.С.Ильяшенко (апрель 2005, март 2011), на семи наре А.М.Ильина в ЧелГУ, на заседании ММО (1992), на семинаре лаборато рии топологии и геометрии университета Тулуза-3 (Франция;

май 1992, ап рель 1993, ноябрь 2001), на семинаре университета Бургундии (Дижон, Фран ция;

май 1993, ноябрь 2001, февраль 2003, июнь 2004, январь 2005, май 2009), на семинарах в ENS (Лион, Франция;

ноябрь 2001), в университетах: Морелия (Мексика, февраль 1995), Ренн-1 (Франция;

декабрь 2001, июнь 2010), UNAM (Мехико, Мексика;

декабрь 1998, декабрь 2002, январь 2005, июль 2006, июль 2007, июль 2009). Результаты работы отмечены премией ММО (1984).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 ра ботах, список которых приводится в конце автореферата. Из совместных ра бот [7-16] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 23 параграфа, Заключения и списка литературы, содержащего 149 наименований. Полный объем диссертации 330 страниц.

Основное содержание работы

В первой главе рассматриваются задачи, связанные, в основном, с одно мерной динамикой.

В первом разделе главы 1 рассматривается задача об аналитической клас сификации ростков конформных отображений (C, 0) (C, 0) с тождествен ной линейной частью.

Пусть f : z z +... росток голоморфного отображения (C, 0) (C, 0) с тождественной линейной частью, A множество всех таких f. Ростки f, g A будем называть эквивалентными, если найдется локальная замена координат h, сопрягающая их:

f h=hg Соответственно виду замены h будем различать аналитическую и фор мальную эквивалентность ростков из A. Формальная классификация рост ков из A достаточно проста, и хорошо известна. Также довольно давно было известно что аналитическая и формальная классификации ростков из A не совпадают. Аналитическая классификация (типичных) ростков из A получена в настоящей работе.

Пусть A2 класс всех ростков из A вида (1).

± ±2ik Пусть ± () = + k0 ck e, ряды сходятся при некотором N в областях { : ± Im N } соответственно. Рассмотрим множество M всевозможных наборов µ = (+, ) такого типа и отношение эквивалентно сти на M2 : µ эквивалентно µ = (+, ), если и только если ± ( + c1 ) ± ( + c2 ) для некоторых c1, c2 C, ± Im N1, для некоторого N1. Мно жество M2 классов эквивалентности m = [µ] наборов µ M2 и есть про странство модулей аналитической классификации ростков из A2. Именно, справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1.1 (об аналитической классификации ростков класса A2.) Можно каждому f A2 таким образом сопоставить mf M2, что 1)(эквивалентность и эквимодальность) f эквивалентно g если и толь ко если mf = mg ;

Muckenhoupt B. Some results on analytic iteration and conjugacy. Amer.J.Math., 84(1962), p.161-169.

M.Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

2)(реализация) для любого m M2 найдется f A2 такое, что m = mf.

Этот результат является основным результатом раздела. Соответствие f mf строится по следующей схеме. Вначале доказывается теорема о выпрям лении для одномерных отображений: конформное отображение F : U U на односвязной области U C аналитически эквивалентно сдвигу на едини цу (Основная лемма, п. 1.1.4 ). С помощью основной леммы далее для ростка f A2 на проколотой окрестности его неподвижной точки строится выпрям ляющий атлас (пара отображений Aj : j C, j = 1, 2, сопрягающих f со сдвигом на единицу). Функции перехода выпрямляющего атласа и достав ляют искомый представитель µf модуля mf (необходимость дополнительной факторизации M2 объясняется неединственностью выпрямляющего ат ласа). Отметим, что соответствие f mf является непрерывным (и даже аналитическим“) в некотором естественном смысле.

” Коротко утверждение теоремы можно сформулировать так: Простран ” ство M2 есть пространство модулей в задаче аналитической классификации ростков из A2“. Ниже такие краткие формулировки будем понимать в том смысле, что справедливы утверждения об эквивалентности и эквимодально сти, о реализации, а также и об аналитической зависимости.

В качестве простейшего приложения теоремы 1.1.1, в конце раздела рас сматриваются три классические задачи теории функциональных уравнений одной переменной: задача о включении (отображения в поток), задача об из влечении (итерационного) корня и задача об описании централизатора (для ростков класса A2 ). Этими задачами (также как и основной“ задачей о клас ” сификации ростков класса A, или задачей о сопряжении“) занимались, в ” разное время, Абель, Фату, Сцзекер, Эрдёш, Жаботинский, Адамар, Бэкер, Кимура, Рэй, Ливерпуль, Кучма, Биркгоф, Лё, Бэбидж, и др. (так, задача об итерационных корнях рассматривалась в работе Бэбиджа 1815-го года...).

Однако полное решение этих трех задач (причем достаточно простое) удается Babbage Essay Towards the calculus of functions. Philosoph. Transact, 1815, 389-423.

получить только в терминах построенных в теореме 1.1.1 модулей.

Остальные разделы г.1 посвящены решению классификационных задач со скрытой динамикой“. Именно, рассматриваются следуюшие задачи:

” 1. Задача о парах инволюций. Росток конформного отображения I : (C, 0) (C, 0) называется инволюцией, если I = id и I I = id. Пусть I множе ство всех инволюций и S = I 2. Две пары инволюций (I, J) и (I1, J1 ) из S будем называть эквивалентными, если существует сопрягающаий их росток голоморфной замены координат H : (C, 0) (C, 0):

I1 H = H I, J1 H = H J Требуется дать классификацию пар инволюций из S.

2. Задача о распаде симметрии. Пусть I0 (z) = z симметрия, F анали тично в (C, 0), F (0) = F (0) = 0, F (0) = 0 и R множество всех таких F.

Спрашивается, к какой нормальной форме F можно привести отображение F аналитическими заменами K, H:

K F =F H при условии, что замена H сохраняет симметрию I0 :

H I0 = I0 H 3. Задача об огибающей семейства плоских кривых. Следуя Арнольду, семейством кривых на плоскости будем называть диаграмму g F (C, 0) (C2, 0) (C2, 0).

Семейства (g, F ) и (g1, F1 ) будем называть эквивалентными, если можно най ти такие голоморфные замены h, H и K что диаграмма g F (C, 0) (C2, 0) (C2, 0) H K h g1 F (C, 0) (C2, 0) (C2, 0) Арнольд В.И. О теории огибающих // Успехи мат. наук. - 1976. -31, №3. - С. 249.

коммутативна. Пусть D множество семейств (g, F ) таких, что F складка, линейная часть отображения g невырождена и линия уровня g 1 (0) касается в нуле ядра отображения F. Требуется дать аналитическую классификацию семейств из D.

Задача о парах инволюций есть простейший пример задачи о классифика ции так называемых исключительных (см. [10]) разрешимых неабелевых ко нечнопорожденных групп ростков одномерных голоморфизмов. Полная клас сификация таких групп была получена позже (соавторами) в работе [10].

Задача о распаде симметрии является частным случаем (эквивалентным, впрочем, общему) задачи о классификации расходящихся диаграмм, иссле дованием которых занимался Дюфур.

Задача об огибающей поставлена В.И.Арнольдом.

В каждой из этих трех классификационных задач, в вещественном глад ком (и, конечно, формальном) случае классификация почти“ тривиальна:

” все обшие элементы попарно гладко (формально) эквивалентны. Аналогич ный результат несложно получить и в формальном комплексном случае. А вот в аналитическом случае, оказалось, классификация типичных элементов в каждой из этих задач - нетривиальна (и, в частности, не совпадает с фор мальной. Первым, по-видимому, предположил расходимость нормализующих рядов в задачах 2,3, а также и в других родственных задачах, Дж.П. Дюфур).

Точная формулировка результата об аналитической классификации приво дится ниже.

Пусть S2, R2, D2 подмножества "общих элементов"пространств S, R, D (требования общности положения состоят, фактически, в формальной эк вивалентности некоторой простейшей нормальной форме, и явно указаны в соответствующих разделах).

± ±2ik Пусть ± () = + k0 ck e, ряды сходятся для некоторого N в областях { : ± Im N } соответственно. Пусть M2 множество всех таких Dufour J.P. Sur la stabilite des diagrammes d’applications dierentialles // Ann. scient. Ecole Norm. Super.

- 1977. -10. №2 - p. 153-174.

пар (+, ), что + () = 1 (). (+, ) и (+, ) будем называть эквивалентными в M2, если ± () = ( + c) + c для некоторого c C при всех, таких, что ± Im N для некоторого N. Пусть M2 множество классов эквивалентности пар из M2.

Пусть [S2 ], [R2 ], [D2 ] множество классов эквивалентности элементов S2, R2, D2. Тогда справедлива следующая классификационная теорема (сфор мулированная здесь в соответствии со сделанным выше замечанием ):

Теорема 1.2.3 Пространство M2 есть пространство модулей в задачах об аналитической классификации для каждого из классов S2, R2 и D2 : [S2 ] = [R2 ] = [D2 ] = M2.

Фактически здесь сформулированы три теоремы: для S2, R2 и D2 ;

дока зываются они, соответственно, в разделах 1.2.1, 1.2.2, и 1.2.3 (теоремы 1.2.4, 1.2.5 и 1.2.6) по следующей схеме.

Задача о парах инволюций сводится к задаче о классификации ростков из A2 естественным образом: каждой паре = (I, J) S2 ставится в соответ ствие росток f = I J A2. Симметричность (т.е., принадлежность классу M2 ) соответствующего ростку f инварианта mf следует из симметрично сти пространства орбит ростка f : инволюция I переставляет орбиты ростка I f = f1 I.

f :

Задача о распаде симметрии легко сводится к задаче о парах инволюций:

у нас уже есть инволюция I0, а по одномерной складке F R2 инвариантно определяется вторая инволюция JF, переставляющая прообразы точек при отображении F.

Редукция задачи об огибающей к задаче о парах инволюций несколько сложнее, и, геометрически, может быть описана так. Пусть (g, F ) - семей ство из D2. Для складки F инвариантно определена (двумерная) инволюция I = IF, переставляющая прообразы точек при отображении F. Рассмотрим слоение F окрестности нуля на линии уровня ростка g, F = {g = const}, и симметричное ему слоение F = I(F) = {g I = const }. Пусть кривая l состоит из точек касания слоев слоения F и слоев слоения F;

ясно, что кривая l Iсимметрична: I(l) = l. Тогда на кривой l (инвариантно) опреде лены две (одномерные) инволюции: первая из них есть просто сужение на l симметрии I;

вторая переставляет точки касания с кривой l слоев слоения F. Полное описание редукции (в несколько иной терминологии) см. в пункте 1.2.3;

технически, задача оказалась достаточно тяжелой (редукция занимает 7 страниц текста).

Во второй главе рассматриваются задачи многомерной динамики. Ос новной объект исследования этой главы ростки голоморфныx отображений (Cn, 0) (Cn, 0), удовлетворяющие следующим двум условиям:

1. Hеподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерxность в (Cn, 0).

2. Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в осо бой точке) постоянны вдоль гиперповерxности неподвижныx точек.

Каждое из этиx условий налагает на коэффициенты тейлоровского раз ложения ростка в нуле бесконечно много ограничений;

однако, как это бу дет показано ниже, ростки указанного вида естественным образом возника ют в некоторыx геометрическиx задачаx в случаяx конечной коразмерности.

Собственно говоря, именно ради этиx приложений и было предпринято ис следование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность.

Именно, В.И.Арнольд показал, как в простых геометрических задачах (на пример, в задаче о распаде симметрии, или в так называемой задаче о би устойчивости полукубической параболы, см. [4]) возникает скрытая динами ка (инвариантно определенная пара одномерных инволюций). В дальнейшем в этих задачах были обнаружены функциональные модули аналитической классификации. Далее, во время беседы с автором, Владимир Игоревич пред положил, что аналогичное явление имеет место и в более сложных (много мерных) задачах. Одной из таких задач являлась исследовавшаяся им ранее так называемая задача Дарбу-Уитни. В этой задаче также возникает пара инволюций (их, видимо, уместно будет называть инволюциями Арнольда).

Композиция инволюций Арнольда как раз и удовлетворяет сформулирован ным выше двум жестким условиям (да еще является и резонансной: линейная часть композиции во всех её неподвижных точках тождественна). Так что в основе всех исследований этой главы, фактически, лежит упомянутое выше замечание В.И.Арнольда.

Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 2.1.2 диссертации.

Пусть B пространство обратимыx ростков голоморфныx отображений (Cn, 0) (Cn, 0), n 2, неподвижные точки которыx образуют гладкую гиперповерxность в (Cn, 0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперпо верxности неподвижныx точек. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака несложно по лучить, что каждый росток из B формально эквивалентен либо ростку ли нейного отображения, либо ростку вида Fq, : (x, y, z) (x, y + xq, z), x, y C, z Cn2, q N, C такому, что q = 1.

Аналитическая классификация формально линеаризуемых ростков из B в точности аналогична одномерному случаю. Однако для приложений, о кото рых говорилось выше, более интересны формально нелинеаризуемые ростки.

Пусть Bq, - класс ростков из B, формально эквивалентных ростку Fq,.

Несложно проверить (см. лемма 2.1.1), что каждый росток из Bq, голоморф ной заменой координат можно привести к виду (x, y, z) Fq, (x, y, z) + o(xq ), x0 (2) Поэтому задача об аналитической классификации ростков класса Bq, сво дится к такой же задаче для класса Bq,, состоящего из ростков вида (2).

Решение этой последней задачи дается следующей теоремой (и является ос новным результатом второй главы):

Теорема 2.1.5. Аналитическая классификация ростков класса Bq, име ет функциональные модули: существуют бесконечномерное (функциональ ное) пространство Mq, и отображение : F mF Mq, такие, что:

1. ростки F, G Bq, аналитически эквивалентны, если и только если mF = mG ;

2. для любого m Mq, существует F Bq, такой, что m = mF ;

3. для любого аналитического семейства ростков {Ft } Bq, семейство mFt является аналитическим.

Опишем коротко функциональное пространство Mq,, а также и соответ ствие F mF.

Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд по переменной x, коэффициенты которого являются (вектор-) функциями, го ломорфными в некоторой окрестности нуля в Cn1, одной и той же для всеx коэффициентов. Оказывается, формальная нормализующая замена H для ростка класса Bq,, нормированная условиями H(x, 0) = (x, 0), DH(x, 0) = E, существует, единственна, и являются полуформальным отображением (тео рема 2.1.2).

Далее, область V вида {x C : 0 |x| R, arg x } {w Cn1 : |w| R} будем называть секториальной областью радиуса R, направления [, ] и раствора.

k Полуформальное отображение H(x, w) = k=0 Hk (w)x будем называть асимптотическим в U Cn для голоморфного отображения H : U Cn, если 0 U, и m Hk (w)xk = o(xm ) H(x, w) k= для любого m N при (x, w) U, x 0.

В работе показано (теорема 2.1.4 о секториальной нормализации ), что для любого F Bq, и любой секториальной области U данного направления, раствора, меньшего, и достаточно малого радиуса найдется голоморфное q в U отображение H, сопрягающее (на U ) отображение F c его формальной нормальной формой Fq, ;

при этом (полуформальное) нормированное норма лизующее отображение H является асимптотическим для H на U.

Пространство модулей Mq, и соответствие F mF строится далее в со ответствии со схемой, описанной выше (и уже использовавшейся в первой главе). Именно, возьмем конечное число секториальныx областей малого ра диуса и раствора, меньшего, покрывающих окрестность нуля в (Cn, 0), из q которой удалены неподвижные точки ростка F Bq,. Hа этиx областях в соответствии с теоремой о секториальной нормализации построим нормали зующие росток F замены координат. Полученный объект назовем нормализу ющим атласом ростка F. Система функций переxода этого атласа состоит из отображений, коммутирующиx с Fq, и имеющиx тождественное отображение асимптотическим.

Hазовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающиx этими дву мя свойствами, и пусть Mq, пространство всеx 1-коциклов. Hазовем 0 коцепью произвольный нормализующий атлас формальной нормальной фор мы Fq,. Отображения, составляющие 0-коцепь, коммутируют с Fq, ;

про странство (ростков) 0-коцепей является группой с операцией суперпозиция.

Hа пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие группы 0-коцепей. Орбиты этого действия и являются элементами простран ства Mq, ;

модуль mF ростка F Bq, есть орбита, содержащая систему функций переxода некоторого нормализующего атласа этого ростка.

Теорема о секториальной нормализации доказывается с использованием техники операторов конечного порядка. Доказательство теоремы о реализа ции модулей основано на теореме Ньюлендера-Ниренберга о почти комплекс ных структурах.

Следует отметить, что пространство модулей Mq, из теоремы 2.1.5 вы глядит намного сложнее по сравнению с пространством модулей M2 из теоре мы 1.1.1. Однако оно действительно является функциональным“ (содержит ” подмножества, которые можно отождествить“ с пространством всех функ ” ций, голоморфных в некоторой области). Бесконечномерность пространства модулей Mq, (т.е., его функциональность“) доказывается в разделах 2.6 и ” 2.8 диссертации.

Отметим также, что в определениях 0-коцепей и 1-коциклов выше, все отображения коммутировали с формальной нормальной формой Fq,. Поэто му естественным является желание профакторизовать все рассматриваемые там области по действию Fq,, и работать на полученных фактор-пространствах.

В результате мы получим другую, несколько более компактную, модель для пространства модулей. Т.к. теперь наши построения в точности сооветству ют схеме построения когомологий со значениями в пучке некоммутативных групп, построенную таким образом модель для пространства модулей бу дем называть локальной группой когомологий-отображений на фактор-про странстве. Это (“пространство модулей в задаче об аналитической класси фикации ростков, формально эквивалентных данному ростку f0, совпадает с локальной группой когомологий-отображений фактор-пространства F acf окрестности нуля с удаленными из нее неподвижными точками ростка f0, по действию f0“), возможно, и есть универсальный ответ в задачах аналитиче ской классификации.

Следующие три раздела первой главы имеют иллюстративный характер, и, фактически, посвящены доказательству“ актуальности рассматриваемой ” задачи. Именно, оказалось, что, помимо задачи Дарбу-Уитни, ростки отоб ражений указанного вида естественным образом возникают (в случаях ма лой коразмерности!) и в других задачах аналитической классификации. Эти задачи (вместе со вспомогательной задачей об орбитальной классификации Онищик А.Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги науки и техн. ВИНИТИ.

Современ. пробл. матем. Фундам. направл. - 1986. - 10. - С. 5-73.

векторных полей, преобразованиями монодромии которых и являются ростки отображений рассматриваемого типа) рассматриваются в п. 2.1.3 - 2.1.5.

Далее, оказалось, что (как и в первой главе при исследовании пар инво люций) отображения класса Bq,, возникающие в прикладных задачах, обла дают некоторыми дополнительными свойствами типа сохранения некоторых дополнительных структур (и классифицировать их надлежит также по дей ствию группы замен координат, сохраняющих эти структуры). Поэтому, для нужд приложений, во второй главе приводятся также решения и соответству ющих классификационных задач, отягощенных дополнительными структу рами. Именно 1. Геометрической структурой в (Cn, 0) будем называть (при четном n) (почти) симплектическую структуру k = xk+1 dx dy + dz1 dz2... + dzn3 dzn2 x, y C, z Cn ± (а также и k = ±k ) 2. Симметрией (стандартной) будем называть инволюцию I0 : (x, y, z) (x, y, z), x, y C, z Cn2 ;

3. Антиимметрией (стандартной) будем называть антиголоморфную ин волюцию комплексное сопряжение“:

” : (x, y, z) (, y, z ), x, y C, z Cn2 ;

x Эти три структуры будем называть элементарными структурами. Струк турой будем называть любой набор элементарных структур.

Соответственно трем элементарным структурам определим пространства Bq,, состоящие из всеx ростков F : (Cn, 0) (Cn, 0) класса Bq,, согласован s ныx с соответствующей структурой s в следующем смысле:

1. F k = k ;

2. I0 F = F I0, где = (1)q ;

3. F = F.

Пусть, далее, группа Di s состоит из всеx локальныx голоморфныx замен координат H в (Cn, 0), соxраняющиx структуру s в следующем смысле:

1. H k = k ;

2. I0 H = H I 3. H = H.

Для неэлементарной структуры s, пространства Bq, и Di s определим s как пересечения пространств, соответствующих элементарным структурам струкуры s.

s Требуется: получить классификацию ростков класса Bq, по действию груп пы Di s (соответствующая формальная классификация тривиальна: любой s росток из непустого класса Bq, формально s-эквивалентен Fq,, см. раздел 2.8.5 диссертации).

s Теорема 2.1.6 Классификация ростков класса Bq, по действию группы Di s имеет (в случае Bq, = ) функциональные модули.

s Обозначим через Ms пространство модулей из теоремы 2.1.6. Это про q, странство строится точно так же, как и пространство Mq, : надо только до полнить определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями соxранения структуры s. Как и в теореме 2.1.5, пространство модулей в тео реме 2.1.6 бесконечномерно (является функциональным“).

” Последние три пункта второй главы посвящены так называемой задаче Дарбу-Уитни.

Ласточкиным хвостом называется поверхность (с особенностями), состоящая из всех точек (A, B, C) R3, таких, что уравнение x4 + Ax2 + Bx + C = 0 имеет кратные корни;

произведение = R R4 называется расширенным ласточкиным хвостом.

Симплектической структурой в R4, 0 называется росток в нуле невы рожденной замкнутой 2 - формы с вещественно-аналитическими коэффици ентами. Две симплектические структуры называют эквивалентными (глад ко, аналитически, формально), если одну из них можно перевести в другую локальным диффеоморфизмом (соответственно гладким, аналитическим или формальным).

Теорема.(Формальная теорема Дарбу-Уитни, В.И.Арнольд 26.) Симплек тическая структура общего положения (= невырожденная на плоскости В=С=0) приводится к стандартному виду 0 = dA dD + dC dB формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост.

Этот результат можно понимать и как утверждение о возможности одно временной нормализации симплектической структуры (“по Дарбу“) и гипер поверхности с особенностями (“по Уитни“), что и объясняет название задачи.

Пусть GDW пространство типичныx симплектическиx структур из фор мальной теоремы Дарбу-Уитни. - диффеоморфизмом будем называть ро сток замены координат H : R4, 0 R4, 0, переводящий росток в нуле рас ширенного ласточкина хвоста в себя. Задачей Дарбу-Уитни будем называть задачу о классификации симплектических структур из GDW по действию группы – диффеоморфизмов;

при этом будем рассматривать формальный, гладкий и аналитический варианты задачи (а также и её комплексную вер сию).

Формальное решение задачи Дарбу-Уитни (в вещественном случае) дается сформулированной выше теоремой. Ясно, что аналогичный результат спра ведлив и в комплексном случае. Решение аналитической задачи Дарбу-Уитни дается следующими теоремами Теоремы 2.9.9,2 и 2.9.10 (Аналитическая теорема Дарбу-Уитни.) Ана Арнольд В.И. Лагранжевы многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ла сточкин хвост // Функц. анализ и его прил. - 1981. - 15, №4. С. 1-14.

литическая задача Дарбу-Уитни имеет функциональные модули;

простран ством модулей является пространство Ms, при q = 5, и структурами q, s = (I0, 0, 0 ) в вещественном (и s = (I0, 0 ) - в комплексном) случаях.

В качестве следствия вещественной версии этой теоремы (точнее, из су ществования соответствующих sнормализующих атласов) легко получить, что в вещестенном случае все симплектические структупы из GDW гладко -эквивалентны (теорема 2.9.9,1).

Схему редукции задачи Дарбу-Уитни к соответствующей классификаци s онной задаче для классов Bq,, предложенную В.И.Арнольдом, можно грубо описать так. Пусть - линия самопересечения ласточкина хвоста (она состоит из точек (A, B, C), соответствующих уравнениям с двумя кратными корнями), и = R – расширенная линия самопересечения Пересечение малой окрестности точки p, p = 0 с состоит из двух листов“. Пер ” вая инволюция Арнольда переставляет эти листы (и действует она на про странстве пар (точка из, лист“в этой точке)). Далее, характеристики (= ” интегральные кривые поля ядер сужения симплектической структуры на ) уходят с по одному листу, и возвращаются на по другому;

это определяет на вторую инволюцию Арнольда. Композиция инволюций Арнольда и есть соответствующее симплектической структуре отображение класса Bq.

В третьей главе исследуется аналитическая классификация резонансных седел и седлоузлов.

Пусть V – класс ростков голоморфных векторных полей в (C2, 0) с невы рожденной особой точкой 0. Два ростка из V называются аналитически (фор мально) эквивалентными, если один росток можно перевести в другой ло кальной голоморфной (формальной) заменой координат.

Два ростка из V называются аналитически (формально) орбитально эк вивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной го ломорфной (формальной) заменой координат с последующим умножением на обpатимый pосток голомоpфной функции (формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом).

Росток v V называется седловым (седловым pезонансным), если отно шение собственных значений его линеаpизации в нуле есть отpицательное вещественное (отpицательное pациональное) число.

Через V S и V SR обозначим класс седловых ростков из V и класс седловых резонансных ростков из V соответственно. Известно, что типичный росток из V S \V SR можно линеаризовать голоморфной заменой координат. Из теоpемы Пуанкаpе-Дюлака следует, что типичный pосток класса V SR нелинеаризуем (даже формально), однако его можно значительно упростить фоpмальной заменой кооpдинат. Более того, несложно проверить (см. п.3.2 диссертации), что типичный росток из V SR формально эквивалентен одному из ростков + 2 y(1 + c1 u + c2 u2 ), v,c = 1 x(1 + u) x y = p, p, q N, p – несократимая дробь, u = xq y p, где = (1, 2 ), 2 q q c = (c1, c2 ) C2, c1 = 1.

Пусть V,c – класс формальной эквивалентности ростка v,c. В работе по казано, что аналитическая классификация ростков класса V,c имеет функ циональные модули;

описание их приводится ниже.

Пусть M – пространство всех наборов {±, ± } таких, что + и + голо морфны в (C, 0), + (0) = (0) = + (0) = 0;

и голоморфны в (C, ), + () = () = 0.

Два набора {±, ± } и {±, ± } из M назовем эквивалентными, если для некоторого c C ± (cz) c± (z), ± (cz) ± (z).

Пусть M – пространство классов эквивалентности наборов из M.

Основным результатом первой части третьей главы является следующая теорема Теорема 3.1.2 (Теорема об аналитической классификации резонансных седел). Пространство M есть пространство модулей в задаче об аналити ческой классификации ростков класса V,c Орбитальная аналитическая классификация резонансных седел была по лучена Мартине-Рамисом 27. Как это следует из построения (см. п.3.1.4), ” компонента“ модуля из теоремы 3.1.2 является, фактически, модулем Мартине Рамиса орбитальной аналитической классификации (мы только удалили у модулей Мартине-Рамиса их линейые компоненты - они определяются фор мальными параметрами). Т.о., видим, что аналитическая классификация (ти пичных) резонансных седел имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

В теореме 3.1.2 автору принадлежит основной частный случай p = q = 1;

в общем случае (а также и в случаях более высокой коразмерности) теорема доказана его соавтором А.Гринчий ( см. также [16]).

Опишем коротко схему доказательства теоремы 3.1.2. Пусть v – росток класса V,c, = (1, 2 ) – спектр его линеаризации в нуле. Пусть Sv – его се паратриса, соответствующая собственному значению 1, и – трансверсаль к Sv в точке P0. Заметим, что все интегральные кривые ограничения v на 2i Sv периодичны, с периодом t0 = 1. Поэтому интегральная кривая поля v, выходящая из точки P, близкой к P0, через время t(P ), близкое к t0, возвращается на (приходит в некоторую точку Q ). Назовем преобра зованием tмонодромии ростка v отображение : (P, t) (Q, t + t(P )) (его первая компонента – обычное преобразование монодромии). Оказывает ся, преобразование tмонодромии при исследовании аналитической эквива лентности векторных полей играет в точности ту же роль, что классическое преобразование монодромии - при исследовании орбитальной эквивалентно сти.

Отождествляя (, P0 ) с (C, 0), видим, что преобразование tмонодромии Martinet J., Ramis J.P. Classication analytique des quations direntielles non linaires resonnantes du e e e premier ordre. Ann. Sci. Ecole norm. supr., 1983, 16, №4, p. 571–621.

e Гринчий А.А. Аналитическая классификация седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости. Деп. в ВИНИТИ 24.05.96, №1690 -B96, 24 C.

имеет вид : (z, t) ((z), t + a(z)), : (C, 0) C (C, 0) C (3) Назовем tсдвигом любое (голоморфное) отображение вида (3);

два tсдви га будем называть эквивалентными, если их можно сопрячь некоторым tсдви гом. Наконец, пусть D,c – класс всех t-сдвигов, формально эквивалентных преобразованию t-монодромии формальной нормальной формы v,c.

Теорема 3.3.1 (Теорема о редукции) Преобразование t-монодромии рост ка из V,c является t-сдвигом из D,c. Два ростка из V,c аналитически эквивалентны, если и только если аналитически эквивалентны их преоб разования t-монодромии. Любой t-сдвиг из D,c является преобразованием t-монодромии некоторого ростка из V,c.

Эта теорема аналогична орбитальной“ теореме о редукции из 9,15. Эта ” теорема сводит задачу об аналитической классификации ростков класса V,c к задаче об аналитической классификации tсдвигов из D,c.

Аналитическая классификация tсдвигов исследуется в п.3.4 третьей гла вы. Основным результатом этого пункта является следующая Теорема 3.4.1 (Теорема об аналитической классификации tсдвигов) Пространством модулей в задаче об аналитической классификации tсдвигов из D,c является пространство M из теоремы 3.1.2.

Теорема 3.1.2 есть простое следствие теорем 3.3.1 и 3.4.1.

Остальная часть третьей главы посвящена аналитической классификации седлоузлов.

класс ростков голоморфных векторных полей в (C2, 0) с Пусть V изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны 0).

Как известно, каждый росток из V0 формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида y p+ vp, =x +, C.

x 1 + y p y Обозначим через Vp, класс ростков, формально орбитально эквивалент ных ростку vp,.

Также несложно проверить (см. п.3.5.1), что каждый росток из Vp, фор мально эквивалентен одному из ростков вида p ak y k, a0 = 0, ak C vp,,a = vp, · a(y), где a(y) = k= Через Vp,,a обозначим класс ростков из V0, формально эквивалентных ростку vp,,a. Аналитическая классификация ростков класса Vp,,a дается при водимой ниже теоремой.

пространство всех наборов (c,, ) таких, что c Cp ;

= Пусть Mp, (1,..., p ), = (1,..., p ), j и j голоморфны в (C, 0);

j (0) = j (0) = 0, k (0) = 1, k p, p (0) = exp(2i).

Пусть pa – наибольший общий делитель p и всех тех k {1,..., p}, для c которых ak = 0;

na = p/pa. Два набора (c,, ) и (,, ) из Mp, будем называть эквивалентными, если для некоторого C Cp, C = (C1,..., Cp ) и некоторого s Z, 0 s pa 1 cj+sna = Cj · cj, j+sna (z) Cj+1+sna j (Cj z), j+sna (z) = (Cj z) (4) (нумерацию считаем циклической).

Пусть Mp,,a пространство классов эквивалентности из Mp,.

Теорема 3.5.4 (Теорема об аналитической классификации ростков из Vp,,a ) Пространство Mp,,a есть пространство модулей в задаче об анали тической классификации ростков класса Vp,,a Орбитальная аналитическая классификация седлоузлов была получена Мартине-Рамисом 29. Как это следует из построения (см. п. 3.7.1),“c“ и “ ” компоненты модуля из теоремы 3.5.4 являются, фактически, модулем Мартине Рамиса орбитальной аналитической классификации из. Т.о., видим, что, как и в случае резонансных седел, аналитическая классификация седлоузлов имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

В теореме 3.5.4 автору принадлежит основной частный случай p = 1;

в общем случае теорема доказана его соавтором Ю.Мещеряковой, см. [7, 8].

Отметим также, что независимо и одновременно, классификационная тео рема 3.5.4 была доказана Л.Тессье 30, но совершенно иным способом. Именно, Тессье классифицирует ростки, пропорциональные данному;

вместе с теоре мой Мартине-Рамиса это дает классификационную теорему 3.5.4. Мы же сле дуем традиционной (для данной работы) схеме построения функциональных инвариантов: строим нормализующий атлас, из функций перехода которого затем и изготавливаются модули аналитической классификации. Отметим, что доказанная при этом теорема о секториальной нормализации ростков класса Vp,,a является обобщением аналогичной теоремы Хукухара, Кимура и Матуда, и имеет самостоятельное значение.

Теорема о секториальной нормализации доказывается в разделе 3.5 с помо щью теоремы о сжимающих отображениях. Полное доказательство теоремы 3.5.4 приведено в п. 3.7;

доказательство утверждения о реализации модулей проводится с помощью почти комплексных структур, и использует аналогич ные результаты из второй главы работы.

В четвертой главе работы исследуются неэлементарные особые точки голоморфных векторных полей на плоскости.

Пусть V - класс ростков голоморфных векторных полей в (C2, 0) с изолиро ванной особой точкой 0. Пусть Vn - класс ростков из V с нулевой (n1)-струёй J.Martinet and J.P.Ramis, Probl‘eme de modules pour des ’equations di’erentielles non lin’eaires du premier ordre, Inst. Hautes ’Etudes Sci.PublMath.(1982 55,pp.63-164).

L.Teyssier Analytical classication of singular saddle-node vector elds. Journal of Dynamical and Control Systems. 2004, Vol.10, N. 4, P.577- в нуле, n 2.

Основным результатом этой главы является следующая теорема Теорема 4.1.1 (Теорема о жесткости для класса Vn ) Из формальной орбитальной эквивалентности типичных ростков клас са Vn следует их аналитическая орбитальная эквивалентность.

При дополнительном предположении о существовании голоморфного се мейства попарно формально орбитально эквивалентных ростков, содержа щем два данных ростка ( и существенно менее обременительных ограничени ях общности положения ) это утверждение доказано в работе.

Доказательство теоремы 4.1.1 основано на теореме о жесткости для конеч нопорожденных неразрешимых групп ростков одномерных голоморфизмов Серво-Муссю-Рамиса.

Проблемой Тома для задачи об аналитической классификации объектов данного класса называют задачу об отыскании минимальной системы инва риантов, однозначно определяющей аналитический тип объекта Для рост ка v класса Vn, инвариантом орбитальной аналитической эквивалентности является класс [Gv ] аналитической сопряженности его проективной группы монодромии Gv, а также и класс [Sv ] аналитической эквивалентности его се паратрисного множества Sv. В течении некоторого времени считалось, что эта пара инвариантов (удовлетворяюших некоторым естественным условиям согласованности с классом Vn ) и является инвариантами Тома в задаче об ор битальной аналитической классификации (типичных) ростков из Vn. И, хотя позже эта гипотеза и была опровергнута 32, вопрос о независимости этих двух инвариантов оставался актуальным. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой Теорема 4.1.3 (Теорема о реализации) Для любой пары (G, S), удовлетворяющей естественным условиям со L. le Floch Theorem de rigidite pour une famile a un parametre d’equations dierentielles holomorphes, C.

R. Acad. Sci. Paris, t. 319, Serie I (1994), 1197-1200.

J.F.Mattei and E.Salem Complete system of topological and analytical invariants for a generic foliation of (C2, 0). Math.Res.Letters 4 (1997), No 1, 131-141.

гласованности, найдется росток v класса Vn, такой, что S = Sv и G = Gv Эта теорема является усилением известной теоремы Л.Нето о реали зации монодромии. Доказывается теорема о реализации в п.4.3 диссерта ции. Доказательство реализуемости монодромии основано (как и в теореме Л.Нето) на теореме Грауэрта о схлопывании“. Однако необходимость од ” новременно реализовать и сепаратрисное множество потребовало довольно тонкой хирургической“ работы (отрезания и переклеивания) на построен ” ном по Грауэрту“ многообразии.

” Благодарности. Автор благодарен Ю.С.Ильяшенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные обсуждения. Ав тор благодарен В.И.Арнольду и М.Я.Житомирскому - за постановку задач и ценные обсуждения. Автор благодарен своим младшим коллегам - Алене Гринчий, Юле Мещеряковой, Наташе Пазий и Алеше Воронину - за помощь в наборе текста.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-01-00587-а и ФЦП 02.740.110612.

Список публикаций по теме диссертации 1. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отоб ражений в нуле с тождественной линейной частью. Успехи матема тических наук, т.35 №4 (1980), 152-153.

2. Воронин С.M. Аналитическая классификация ростков конформных отоб ражений (C, 0) (C, 0) с тождественной линейной частью. Функц.

анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 1 17.

3. Воронин С.М. Три задачи аналитической классификации. Депонирован ная рукопись, МГУ, М., 1981, 29 стр. (Рукопись депонирована в ВИНИ ТИ 8 июля 1981 г., №3333-81 Деп.).

Lins-Neto, A. Construction of singular holomorphic foliations in dimension two J. Di. Geom. 26 (1987), 1-31.

4. Воронин С.М. Аналитическая классификация пар инволюций и ее при ложения // Функц. анализ и его прил. -1982. - 16, №2. - С. 21-29.

5. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отоб ражений с неизолированными неподвижными точками и постоянны ми мультипликаторами, и ее приложения. Вестник ЧелУ, Сер. 3 Мат., Мех., 1999,2(5), с. 12-30.

6. Воронин С.М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырож денных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости. Тр.Мат.Инст. им Стеклова.213 (1997), Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, с. 35-55.

7. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация ти пичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморф ных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов.

Математика, 2002, №1, С. 13–16.

8. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация сед лоузлов. Тр.ММО, 66 (2005), c.93-113.

9. Воронин С.М., Л.Ортис-Бобадилла, Э.Росалес-Гонсалес Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. ДАН 2010, т. 434, №4, с. 443-446.

10. Elizarov, P.M;

Ilyashenko, Yu.S;

Shcherbakov, A.A. and Voronin, S.M., Finitely generated groups of germs of one-dimensional conformal mappings, and invariants for complex singular points of analytic foliations of the complex plane, In Adv. Soviet Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993. pp. 57–105.

11. Ortiz-Bobadilla, L.;

Rosales-Gonzalez,E.;

Voronin,S.M. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of holomorphic vector elds in the complex plane. J. Dynam. Control Systems 7 (2001), no. 4, 553–599.

12. Ortiz-Bobadilla,L., Rosales-Gonzalez,E., Voronin,S.. Rigidity theorem for degenerat singular points of germs of dicritic holomorphic vector elds in the complex plane. Mosc. Math. J. 5 (2005), no. 1, 171–206.

13. L.Ortiz-Bobadilla, E.Rosales-Gonzalez, S.M.Voronin. Extended Holonomy and Topological invariance of Vanishing Hlonomy Group. J. Dynam. Control Systems, Vol. 14, No.3, (2008), no. 4, pp. 299-358.

14. Ortiz-Bobadilla, L. ;

Rosales-GonzГЎlez, E. ;

Voronin, S. M. Analytic normal forms of germs of holomorphic dicritic foliations. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 521–545, 616.

15. Ortiz-Bobadilla, L. ;

Rosales-GonzГЎlez, E. ;

Voronin,S.M. On Camacho Sad’s Theorem about the existence of a separatrix. Int.J.Math.,vol.21, 9, p.1 8.

16. Voronin S.M., Grinchii A.A. An analytic classication of saddle resonant singular points of holomorc vector elds in the complex plane. J. Dynam.

Control Systems, 1996. 2, №1. P. 21–53.

17. Voronin S.M. Darboux-Whitney’s Problem and Related Questions // Nonlinear Stokes Phenomena. – Il’yashenko Yu., editor. Adv. in Sov.Math., 14, Amer.

Math. Soc., Providence, 1993. P.139-233.

18. Voronin, S. M. Invariants for singular points of holomorphic vector elds on the complex plane. The Stokes phenomenon and Hilbert’s 16th problem (Groningen, 1995), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996. P.305–323,

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.