авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Гармонический анализ фурье-данкля и приближение функций

На правах рукописи

Белкина Елена Сергеевна

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУРЬЕ-ДАНКЛЯ И

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

01.01.01 математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание степени

кандидата физико-математических наук

Саратов 2008

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии математиче-

ского факультета Петрозаводского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Платонов Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Лукомский Сергей Федорович кандидат физико-математических наук, доцент Шестаков Владимир Александрович

Ведущая организация: Тульский государственный университет

Защита состоится " 18 "декабря 2008 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государ ственном университете имени Н. Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факуль тет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратов ского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан "17"ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н., доцент Корнев В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В классической теории приближения функ ций центральную роль играют операторы сдвига f (x) f (x + y), x, y R. Так инфинитезимальным оператором сдвига является опе ратор дифференцирования, преобразование Фурье представляет со бой разложение по собственным функциям оператора сдвига, опера тор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых и об ратных теорем теории приближения. Различные обобщения опера торов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операто ров сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рас смотрены в работах П. Бутцера, Х. Беренса 1 и А. П. Терехина Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые "операторы обобщенного сдвига". Единого определения понятия обоб щенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по про извольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля вто рого порядка 3, но существуют также и другие операторы обобщенно го сдвига. Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между глад костными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматри вались в работах Я. Лфстрема и Я. Петре, З. Дитциана и В. Тотика, е П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса, А. Г. Бабенко, М. К. Потапова Butzer P. L., Behrens. H. Semi-groups of operators and approximation. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967.

Терехин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравне ния и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 1975. Вып. 2. С. 3–28.

Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

и В. М. Федорова, Д. В. Горбачева, Х. П. Рустамова, З. Дитциана и М. Фелтена.

На полупрямой R+ = [0, +) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с диффе ренциальными операторами Бесселя. С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т.е. раздел гармониче ского анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работе С. С.

Платонова 4 с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались раз личные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +) в метрике Lp со степенным весом целыми функциями экспоненциаль ного типа.

В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов обобщенные сдви ги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым диф ференциально-разностным операторам (операторам Данкля), кото рые широко используются в математической физике, в связи с этим стоит упомянуть работы К. Ф. Данкля, М. Маслоухова и Е. Х. Ясси, М. Рслер.

е В общем случае операторы Данкля ранга n действуют в n-мерном евклидовом пространстве Rn, но даже в простейшем случае n = 1 операторы Данкля и связанный с ними гармонический ана лиз Фурье-Данкля представляет значительный интерес (см., напри мер, работы С. Абделькефи и М. Сифи, М. А. Моро, К. Тримеша, М. Рслер, Ф. Солтани, Н. Б. Салема и С. Каллела).

е В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с применением гармонического анализа Фурье-Данкля в теории при ближения функций. Эти задачи во многом аналогичны задачам, по ставленным в работах С. С. Платонова и при их решении автор ру ководствовался его работами. Однако при решении возникло много Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер.



матем. 2007. Т. 71. № 5. С. 149–196.

принципиальных трудностей, связанных с возможностью продолже ния оператора обобщенного сдвига Данкля до непрерывного опера тора в L2, (определение L2, см. ниже). Это потребовало решить ряд задач, представляющих самостоятельный интерес.

Цель работы. Целью диссертационной работы является поста новка и решение аналогов некоторых классических задач теории при ближений функций для оператора Данкля.

Методы исследования. Основные результаты диссертации по лучены с использованиемметодов функционального анализа, гармо нического анализа Фурье, теории приближений функций.

Научная новизна. В диссертационной работе:

1) Приведен новый вывод формулы М. Рслер для явного вида обоб е щенного сдвига Данкля.

2) Сформулирована и доказана теорема типа Пэли-Винера для пре образования Данкля.

3) Сформулированы и доказаны аналоги классических первой и вто рой теорем Джексона для обобщенного модуля гладкости k-го поряд ка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

4) Дано описание аналогов пространств Никольского и Бесова в тер минах наилучших приближений целыми функциями экспоненциаль ного типа.

5) Доказаны два неравенства типа Бернштейна.

6) Сформулирована и доказана теорема об эквивалентности K-функ ционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

7) Получен аналог одной теоремы Е. Титчмарша об описании образа при преобразовании Фурье множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в L2(R).

8) Сформулированы и доказаны аналоги классических неравенств Стечкина–Никольского и Боаса.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы,разработанные в дис сертации, могут быть использованы в различных вопросах гармони ческого анализа Фурье-Данкля.

Результаты, выносимые на защиту

:

1) Аналоги первой и второй теорем Джексона для обобщенного мо дуля гладкости k-го порядка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

2) Описание аналогов пространств Никольского и Бесова в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального ти па.

3) Теорема об эквивалентности K-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

4) Описание образа при преобразовании Данкля, множества функ ций, удовлетворяющих условию Липшица в L2,.

5) Доказательство аналогов неравенств Стечкина–Никольского и Бо аса для оператора Данкля.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:

13-й и 14-й Саратовских зимних школах, посвященных современ ным проблемам теории функций и их приложениям, г. Саратов (2006 г., 2008 г.);

Воронежской зимней математической школе, посвященной совре менным методам теории функций и смежным проблемам, г. Воронеж (2007 г.);

ежегодной студенческой конференции в ПетрГУ, г. Петрозаводск (2006 г.);

научном семинаре кафедры математического анализа и алгебры Карельского государственного педагогического университета в 2007 г.

(руководитель к.ф.-м.н., доцент Агапитов К. В.);

научном семинаре кафедры геометрии и топологии Петрозавод ского государственного университета в апреле 2008 г.(руководитель д.ф.-м.н., профессор Иванов А. В.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9 ти публикациях. Работы [6], [9] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены результаты, полученные автором самостоятельно. Работа [9] соответ ствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа из ложена на 92 страницах, и состоит из введения, шести глав и списка литературы, включающего 61 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор результатов по тематике диссертации, кратко изложено содержание работы, приведены основные результа ты.

В первой главе определяются обобщенные сдвиги Данкля, рассмат риваются некоторые их свойства и излагаются необходимые сведения из гармонического анализа Фурье-Данкля.

Оператором Данкля (в диссертации рассматриваются только опе раторы Данкля ранга 1) называется следующий дифференциально разностный оператор D:

1 f (x) f (x) df Df (x) = (x) + +, dx 2 x где произвольное действительное число, удовлетворяющее усло вию 1/2. Действие оператора D определено для всех функций f C (1)(R).

Через L2, обозначим гильбертово пространство, состоящее из из меримых комплекснозначных функций f (x) на R (функции рассмат риваются с точностью до значений на множестве меры нуль), для которых конечна норма + 1/ 2 2+ |f (x)| |x| f := dx.

2, Скалярное произведение в гильбертовом пространстве L2, опре деляется по формуле + f (x) g(x) |x|2+1 dx, f, g L2,.

(f, g) := Пусть D множество бесконечно дифференцируемых функций на R с компактным носителем. Для функции f (x) D оператор обобщенного сдвига Данкля u(x, y) = T y f (x) можно определить как решение следующей задачи Коши:

Dxu(x, y) = Dy u(x, y);

u(x, 0) = f (x), где Dx и Dy операторы Данкля, примененные по переменным x и y соответственно.

Известно, что решение этой задачи Коши существует и единствен но, а его явный вид получен в работе М. Рслер. Другой вывод фор е мулы М. Рслер дан в теореме 1.1 диссертации. По непрерывности е оператор T y продолжается с плотного подмножества D L2, на все пространство L2,. Продолженный оператор будем также обозначать T y.

Обозначим через j (x) нормированную функцию Бесселя первого рода, т. е.

2 ( + 1)J (x) j (x) =, x где J (x) функция Бесселя первого рода, (x) гамма функция.

Обобщенной экспоненциальной функцией будем называть функцию e (x) := j (x) + i c x j+1(x), где c = 2( + 1), i = 1. Функция y = e (x) удовлетворя ет дифференциально-разностному уравнению Dy = iy с начальным условием y(0) = 1. В предельном случае, при = 1/2, обобщенная экспоненциальная функция совпадает с обычной экспоненциальной функцией eix.

Преобразованием Данкля называется следующее интегральное пре образование + f (x) e (x) |x|2+1 dx, F : f (x) f () = R Обратное преобразование Данкля задается формулой + F 1 : g() f (x) = A g() e (x) ||2+1 d, где A = 2+1 ( + 1).

Преобразования Данкля (прямое и обратное) определены для до статочно быстро убывающих на бесконечности функций, в частности, для функций из класса D. Отображения F и F 1 можно продолжить по непрерывности с плотного подмножества D L2, до взаимно об ратных изоморфизмов гильбертова пространства L2, на себя. Про долженное отображение будем также обозначать F и F 1 и называть преобразованиями Данкля. Преобразования Данкля являются основ ными инструментами для доказательств теорем в следующих главах.

Во второй главе доказываются прямые теоремы джексоновского типа для обобщенного модуля гладкости k-го порядка. В качестве средства приближения используются целые функции экспоненциаль ного типа.

Обозначим через I, 0, множество всех функций g(x), x R, удовлетворяющих следующим условиям:

целая функция экспоненциального типа ;

1) g(x) 2) g(x) принадлежит пространству L2,.

При помощи обобщенного сдвига Данкля для любой функции f (x) L2, определим разности с шагом h 0:

1 f (x) = hf (x) := f (x) T hf (x), k f (x) := h(k1f (x)).

..., h h h Можно также написать, что k f (x) = (I T h)k f (x), h где I единичный оператор.

Для любого натурального k обобщенный модуль гладкости поряд ка k в метрике L2, определим формулой k f f L2,.

k (f, )2, := sup 2,, 0, h 0h Наилучшее приближение функции f L2, функциями из I опре деляется как E (f )2, := inf f g 2,.

gI Следующая теорема является аналогом первой теоремы Джексона.

Теорема 2.2. При f L2, справедливо неравенство E (f )2, c1 k (f, 1/)2,, где c1 некоторая положительная постоянная, зависящая только от k и.

Обозначим через D множество всех обобщенных функций, т. е.

линейных непрерывных функционалов на пространстве D. Значение функционала f D на функции D будем обозначать f,.

Пространство L2, вкладывается в пространство D, если считать, что функция f L2, отождествляется с функционалом + f (x)(x)|x|2+1 dx, D.

f, := Действие оператора Данкля D продолжается с пространства D на пространство обобщенных функций D, если для f D и D положить Df, := f, D.

В частности, действие оператора D будет определено для любой функ ции f L2,, но при этом функция Df будет, вообще говоря, обоб щенной.

Следующая теорема является аналогом второй теоремы Джексона из классической теории приближений.

Теорема 2.3. Пусть функции f, Df,..., Dsf принадлежат про странству L2,, где D оператор Данкля. Тогда E (f )2, c2 sk (Dsf, 1/)2,, где c2 = c2(k, s, ) 0 некоторая постоянная.

В третьей главе на основе обобщенного сдвига Данкля определя ются аналоги функциональных пространств Никольского и Бесова и доказывается теоремы, дающие описание этих пространств в терми нах наилучших приближений функциями из классов I.

Пусть r 0 действительное число, k и s произвольные не отрицательные целые числа, удовлетворяющие условию k rs 0.

r Через H2, обозначим множество всех функций f L2,, для которых Df, D2f,..., Dsf L2, и для некоторого числа Af 0 справедливо неравенство k (Dsf, )2, Af rs, 0.

Для f H2, определим полунорму hr (f ):

r 2, k (Dsf, )2, hr (f ) := sup.

2, rs r Множество H2, является банаховым пространством с нормой + hr (f ).

f := f r H2, 2, 2, r Теорема 3.1. Если f H2,, то при 1 справедливо неравенство hr (f ) 2, E (f )2, c1.

r Обратно, если f L2, и при A E (f )2,, r где A не зависящая от (но зависящая от f ) постоянная, то r f H2, и f H2, c2( f 2, + A).

r Пусть 1 q, r 0, k и s неотрицательные целые числа, такие, что k r s 0. Cкажем, что функция f принадлежит Бесова B2,q,, если f, Df,..., Dsf L2, и r классу Никольского конечна полунорма 1/q (k (Dsf, )2, )q d при q, (rs)q r b2,q, (f ) = 0 s sup k (D f, )2, при q =.

rs r Класс B2,q, является банаховым пространством относительно нор мы f B2,q, := f 2, + br (f ).

r 2,q, r r Отметим, что B2,, = H2,.

Теорема 3.2. Пусть a 1 произвольное число (можно, напри мер, взять a = 2). Для того чтобы функция f L2, принадлежала r классу B2,q,, необходимо и достаточно, чтобы была конечна полу норма 1/q anrq (Ean (f )2, )q при q, r (f ) := b2,q, n=0 nr при q =, sup a Ean (f )2, nZ+ r где Z+ = {0, 1, 2,... }. При этом норма в B2,q, эквивалентна норме + r (f ).

f b2,q, 2, Для доказательства достаточности условий теорем 3.1 и 3.2 при меняются следующие аналоги неравенства Бернштейна.

Лемма 3.1. Для любой функции I справедливо неравенство D 2,.

2, Лемма 3.2. При (x) I и h 0 справедливо неравенство k (x) 2k (h)k 2,.

2, h Также в главе 3 получены различные эквивалентные нормы в ба r наховом пространстве B2,q,.

В четвертой главе вводятся пространства Соболева для оператора Данкля и доказывается теорема об эквивалентности K-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.

Эта теорема является аналогом теоремы об эквивалентности моду ля гладкости и K-функционала в классической теории приближе ний, которая имеет многочисленные приложения в различных зада чах теории приближений.

m Пусть W2, (m = 1, 2, 3...) пространство Соболева, построенное по оператору D, т. е.

W2, := {f L2, : Dj f L2,, j = 1, 2,..., m}.

m Определим K-функционал, построенный по пространствам L2, и m W2, :

m + t Dmg m K(f, t;

L2, ;

W2, ) := inf{ f g : g W2, }, 2, 2, где f L2,, t 0.

Для краткости будем использовать обозначение m Km(f, t)2, := K(f, t;

L2, ;

W2, ).

Теорема 4.2 Существуют положительные числа c1 = c1(m, ) и c2 = c2(m, ), для которых справедливо неравенство c1 m(f, )2, Km(f, m)2, c2 m(f, )2,, где f L2,, 0.

В пятой главе вводится определение класса Липшица и доказыва ется аналог одной классической теоремы Е. Титчмарша об описании образа при преобразовании Фурье множества функций, удовлетворя ющих условию Липшица в L2(R).

Определение 5.2. Будем говорить, что функция f (x) принадле жит классу Липшица Lip (, 2), 0 1, если f (x) L2, и T hf (x) f (x) = O(h ) 2, при h 0.

Теорема 5.2. Если f (x) L2, и f () ее преобразование Данкля, то условия f (x) Lip (, 2) и |f ()|2 d = O(X 221) ||X при X + эквивалентны.

В шестой главе доказываются аналоги неравенств Никольского Стечкина и Боаса для оператора Данкля.

Теорема 6.1.Пусть I, 0, m N. Для любого h (0, 1/) справедливо неравенство c1hm m Dm 2,, 2, h где c1 = c1(m, ) некоторая постоянная.

Теорема 6.2.Пусть I, 1 p, 0, m N. Для любых чисел и h, удовлетворяющих неравенству 0 h 1/, справедливо неравенство m m c2hm m 2,, 2, h где c2 = c2(m, ) некоторая постоянная.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Белкина Е. С. Обобщенный сдвиг Данкля и приближение функ ций / Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 13-й Саратовской зимней шко лы. – Саратов: ООО Изд-во "Научная книга", 2006. – С. 26–27.

2. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. I / Е. С. Белкина // Труды: сер.

Математика / Петрозаводский государственный университет. – Петрозаводск, 2006. – Вып. 13. – С. 3–25.

3. Белкина Е. С. Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II / Е. С. Белкина // Труды: сер.

Математика / Петрозаводский государственный университет. – Петрозаводск, 2006. – Вып. 13. – С. 26–37.

4. Белкина Е. С. Преобразование Бесселя функций, удовлетворяю щих условию Липшица / Е. С. Белкина // Известия ТулГУ. Се рия математика, механика, информатика – 2005. – Т. 11, вып. 1.

– С. 106–114.

5. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяю щих условию Липшица / Е. С. Белкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции.

– Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. – С. 23–24.

6. Белкина Е. С. О модулях гладкости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Белкина, С. С. Платонов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конфе ренции. – Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. – С. 180–181. (вклад диссертанта 50%) 7. Белкина Е. С. Преобразование Данкля функций, удовлетворяю щих условию Липшица / Е. С. Белкина // Труды: сер. Матема тика / Петрозаводский государственный университет. – Петроза водск, 2007. – Вып. 14. – С. 3–13.

8. Белкина Е. С. Об одном аналоге неравенства Стечкина для опе ратора Данкля / Е. С. Белкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, посвящ. памяти акад. П. Л. Ульянова. – Саратов:

Изд-во Саратовского ун-та, 2008. – С. 22–23.

9. Белкина Е. С. Эквивалентность K-функционалов и модулей глад кости, построенных по обобщенным сдвигам Данкля / Е. С. Бел кина, С. С. Платонов // Известия ВУЗов. Математика. – 2008. – № 8. – С. 3–15. (вклад диссертанта 50%)

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.