авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Нелокальные краевые задачи для некоторых классов уравнений нечетного порядка

На правах рукописи

ЛУКИНА Галина Александровна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Якутск – 2011

Работа выполнена на кафедре общей математики Политехнического института (филиал) ФГАОУ ВПО “Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова” в г. Мирном

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Федоров Владимир Евгеньевич, Челябинский государственный университет (г. Челябинск), кандидат физико-математических наук, доцент Пинигина Нюргуяна Романовна, Северо-Восточный федеральный университет (г. Якутск)

Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоится 29 ноября 2011 года в 14.00 часов на заседании диссер тационного совета K 212.306.05 при ФГАОУ ВПО “Северо-Восточный феде ральный университет имени М.К. Аммосова” по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан “ ” октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математи ческих наук, доцент В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелокальные задачи с интегральными условия ми ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Одними из первых работ, посвященных исследо ванию задач с интегральными условиями для уравнений в частных про изводных являются работы J.R. Cannon и K. Rektorys, опубликованные в 1963 году.

Исследование нелокальных по пространственным переменным задач для параболических уравнений были продолжены в работах Л.И. Камынина, Н.И. Ионкина, Л.А. Муравья и А.В. Филиновского, С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука, A. Bouziani и N-E. Benouar, A. Bouziani, Н.И. Иванчова, J.R. Cannon и Van der Hoek, З.А. Нахушевой, Ю.Т. Сильченко, А.И. Ко жанова, Л.С. Пулькиной.

Начало систематических исследований нелокальных начально - краевых задач для эллиптических уравнений было положено в статье А.В. Бицадзе и А.А. Самарского. Весьма глубокие результаты в разрешимости нелокаль ных задач для эллиптических уравнений получили А.К. Гущин и В.П. Ми хайлов, А.К. Гущин, Б.П. Панеях, А.Л. Скубачевский, Е.М. Галахов и А.Л. Скубачевский.

Одним из источников задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений явилась работа А.В. Лыкова, посвящен ная моделированию некоторых процессов тепло- и массообмена. В работах А.М.Нахушева выявлена тесная связь нелокальных задач для гиперболи ческих уравнений с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи с интегральными граничными условиями для гиперболических уравнений весьма активно исследуются, отметим работы А. Bouziani, S. Mesloub и А. Bouziani, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили, С.А. Бейлина, Л.С. Пуль киной, А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной, В.Б. Дмитриева.

Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференци альных уравнений различных классов внесли монографии А.Л. Скубачев ского и А.М. Нахушева.

В настоящей диссертации исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями по времени для уравнений третьего порядка, а также краевых задач с интегральными граничными условиями по пространственным переменным и с нелокаль ными по одной из временной переменной условиями для ультрапараболи ческих уравнений.

Для (2m+1)-параболических уравнений краевые задачи в локальных по становках достаточно хорошо изучены в работах Ю.А. Дубинского (1968, 1971), И.Е. Егорова и В.Е. Федорова (1995). Нелокальные задачи с задани ем связи решения и его производных на линиях t = 0 и t = T для уравне ний третьего порядка рассматривались в работах А.П. Львова (2002, 2004).

Также нелокальные задачи для операторно-дифференциальных уравне ний нечетного порядка были рассмотрены в монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова (2000). В работе А.М. Абдрахманова, А.И. Ко жанова (2007) для подобных уравнений рассматривалась краевая задача с заданием граничного условия функционального (в частности, интеграль ного) вида, и была установлена разрешимость исследуемой задачи при вы полнении условия взаимной однозначности линейного оператора, построен ного по граничному условию (в случае граничного условия интегрального вида этот оператор является оператором Фредгольма второго рода). В ра боте А.М. Абдрахманов (2010) исследована разрешимость краевой задачи для уравнений нечетного порядка с заданием на границе условия, связы вающего значения конормальной производной со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Кроме цитированных выше работ, можно отметить лишь работы А. Bouziani (1997, 1998), в которых рассмат ривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.

Уравнения с кратными характеристиками активно изучаются в школе академика АН Республики Узбекистан Т.Д. Джураева. Но нелокальные задачи, в частности, задачи с интегральными условиями для таких урав нений ранее не исследовались. В настоящей диссертации исследуется разре шимость краевых задач с интегральными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.



Краевые задачи для ультрапараболических уравнений были изучены в работах С.А. Терсенова, М.М. Лаврентьева, С.Г. Пяткова. В работе А.И. Ко жанова (2009) рассмотрена задача моделирования популяций, которая све дена к исследованию разрешимости нелокальной краевой задачи для ква зилинейного ультрапараболического уравнения с астрономическим време нем t и биологическим временем a, т. е. возрастом. Доказаны теоремы су ществования и единственности регулярных решений. Работ, посвященных разрешимости краевых задач с граничными условиями интегрального ви да для ультрапараболических уравнений практически нет, можно отметить лишь работы А. Bouziani (1997, 2001), в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках. Нелокальные кра евые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями как по вре мени, так и по пространственной переменным, для ультрапараболических уравнений ранее не изучались.

Цель работы. Доказательство теорем существования и единственности, изучение свойств решений нелокальных краевых задач для новых классов уравнений нечетного порядка – (2m + 1)-параболических уравнений, уль трапараболических уравнений, уравнений с кратными характеристиками.





Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолже ния по параметру, метод регуляризации, а также метод априорных оценок.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следу ющем:

• доказана разрешимость пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями А.А. Самарского для уравнений третьего порядка;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза;

• доказана разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений;

• доказана разрешимость краевой задачи с нелокальными условиями по временной переменной для ультрапараболических уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа имеет фун даментально - теоретическое значение. Все полученные результаты явля ются новыми. Область их практического применения – теория краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Более кон кретная задача, на решение которой направлена данная работа - постро ение теории разрешимости нелокальных краевых задач для неклассиче ских уравнений - в частности, для (2m+1)-параболических уравнений, для уравнений с кратными характеристиками (аналогичных линеаризованным уравнениям Кортевега - де Фриза) и ультрапараболических уравнений. В число перспективных направлений применения результатов для дальней ших исследований, можно отметить постановку и исследование новых кра евых задач для неклассических уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладыва лись и обсуждались на семинаре кафедры общей математики МПТИ (ф) СВФУ под руководством д.ф.-м.н. М.Г. Гадоева, профессора С.А. Исхо кова (Мирный, 2010, 2011), на семинаре "Неклассические уравнения ма тематической физики"Института математики СО РАН под руководством профессора А.И. Кожанова (Новосибирск, 2011), на семинаре "Дифферен циальные уравнения с частными производными"НИИ математики СВФУ профессора И.Е. Егорова (Якутск, 2011), на Всероссийской научной кон ференции и Всероссийской школе - семинаре студентов, аспирантов, мо лодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации"(Якутск, 2009), на Всерос сийской научно - практической конференции студентов, аспирантов и мо лодых ученых "Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире"(Мирный, 2009, 2010), на XLVIII Международной научной студенче ской конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2010), на V и VI Международных конференциях по математическому мо делированию (Якутск, 2007, 2011).

Работа выполнена при поддержке гранта ЯГУ для студентов и аспиран тов (2010 г.), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновацион ной России"на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1. и при финансовой под держке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, №02.740.11.0609.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 ра ботах: 4 статьях и 5 тезисах докладов [1]-[9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, заключения и списка литературы.

Общий объем составляет 92 страницы. Список цитируемой литературы со держит 93 наименования. Формулы, теоремы и замечания в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер формулы в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследова нию разрешимости нелокальных краевых задач для уравнений третьего порядка.

Пусть есть интервал (0,1) оси Ox, Q есть прямоугольник (0, T ), 0 T +. В §1.1 рассмотрены пространственно нелокальные краевые задачи для уравнения uttt + uxx µ(x, t)u = f (x, t) (1) с интегральными условиями А.А. Самарского с переменными коэффици ентами ux (0, t) = 1 (t)u(0, t) + 2 (t)u(1, t), 0 t T, (2) ux (1, t) = 1 (t)u(0, t) + 2 (t)u(1, t), 0 t T, либо u(0, t) = 1 (t)ux (0, t) + 2 (t)ux (1, t), 0 t T, (3) u(1, t) = 1 (t)ux (0, t) + 2 (t)ux (1, t), 0 t T, где µ(x, t), f (x, t), 1 (t), 2 (t), 1 (t), 2 t) – заданные функции, определен ные при x, t [0, T ].

Краевая задача 1: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нело кальные краевые условия (2), а также условия u(x, 0) = ut (x, 0) = u(x, T ) = 0, x. (4) Краевая задача 2: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нело кальные краевые условия (2), а также условия u(x, 0) = ut (x, 0) = utt (x, T ) = 0, x. (5) 2, Обозначим для краткости через V0 пространство W2,x,t (Q).

Теорема 1. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 1 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

i (t) C 3 ([0, T ]), i (t) C 3 ([0, T ]), i = 1, 2;

2 (t) + 2 (t) 2 t [0, T ];

2 (1, 2 ) R2 ;

1 (t)1 + [2 (t) 1 (t)]1 2 2 (t)2 0 при t [0, T ], f (x, t) L2 (Q), fx (x, t) L2 (Q).

Тогда краевая задача 1 имеет решение u(x, t), принадлежащее простран ству V0.

Теорема 2. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 1 (Q), µ(x, t) µ0 0, при (x, t) Q;

i (t) C 3 ([0, T ]), i (t) C 3 ([0, T ]), i = 1, 2;

2 (t) + 2 (t) 2 t [0, T ];

2 (1, 2 ) R2 ;

1 (t)1 + [2 (t) 1 (t)]1 2 2 (t)2 0 при t [0, T ], f (x, t) L2 (Q), fx (x, t) L2 (Q).

Тогда краевая задача 2 имеет решение u(x, t), принадлежащее простран ству V0.

Разрешимость краевых задач с условиями (3) удалось установить, к со жалению, лишь в случае i, i = const, i = 1, 2.

Краевая задача 3: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются усло вия (4) и u(0, t) = 1 ux (0, t) + 2 ux (1, t), 0 t T, (3 ) u(1, t) = 1 ux (0, t) + 2 ux (1, t), 0 t T.

Краевая задача 4: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются нело кальные краевые условия (5) и (3 ).

Теорема 3. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 1 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

2 + 2 2;

1 1 + [2 1 ]1 2 2 2 0 при (1, 2 ) R2 ;

2 f (x, t) L2 (Q), fx (x, t) L2 (Q).

Тогда краевая задача 3 имеет решение u(x, t), принадлежащее простран ству V0.

Теорема 4. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 1 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

2 + 2 2;

1 1 + [2 1 ]1 2 2 2 0 при (1, 2 ) R2 ;

2 f (x, t) L2 (Q), fx (x, t) L2 (Q).

Тогда краевая задача 4 имеет решение u(x, t), принадлежащее простран ству V0.

В §1.2 рассмотрены нелокальные краевые задачи с интегральными усло виями по времени для уравнения (1).

Пусть K1 (x, t), K2 (x, t), K3 (x, t)– заданные функции, определенные при x, t [0, T ].

Краевая задача 5: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются усло вия u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t T, (6) T T u(x, 0) = K1 (x, t)u(x, t)dt, ut (x, 0) = K2 (x, t)u(x, t)dt, 0 T u(x, T ) = K3 (x, t)u(x, t)dt, x.

Краевая задача 6: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются усло вия (6) и T T u(x, 0) = K1 (x, t)u(x, t)dt, ut (x, 0) = K2 (x, t)u(x, t)dt, 0 T utt (x, T ) = K3 (x, t)u(x, t)dt, x.

Краевая задача 7: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются усло вия (6) и T T u(x, 0) = K1 (x, t)u(x, t)dt, ut (x, 0) = K2 (x, t)u(x, t)dt, 0 T ut (x, T ) = K3 (x, t)u(x, t)dt, x.

Пусть (Bi u)(x) есть интегральные операторы, действие которых опреде ляется равенствами T (Bi u)(x) = Ki (x, )u(x, )d, i = 1, 3.

Теорема 5. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 3 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

µttt (x, t) 0, µxx (x, t) 0, µt (x, t) 0, при (x, t) Q, Ki (x, t) C 2 (Q), µ(x, T ) 0 при x ;

i = 1, 3;

f (x, t) L2 (Q), пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода t2 t2 t w(x, t) = u(x, t) 1 2 (B1 u)(x) t (B2 u)(x) 2 (B3 u)(x) T T T однозначно обратимо и число T мало. Тогда краевая задача 5 имеет ре шение u(x, t), принадлежащее пространству V0.

Уточним, что ниже (в §1.2) условия на число T будут указаны точно.

Теорема 6. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 3 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

µttt (x, t) 0, µxx (x, t) 0, µt (x, t) 0 при (x, t) Q;

µ(x, T ) 0, µtt (x, T ) 0, |µt (x, T )| K0 µtt (x, T ), K0 µ0, x ;

Ki (x, t) C 2 (Q), i = 1, 3;

f (x, t) L2 (Q), пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода t w(x, t) = u(x, t) (B1 u)(x) t(B2 u)(x) (B3 u)(x) однозначно обратимо и число T мало. Тогда краевая задача 6 имеет ре шение u(x, t), принадлежащее пространству V0.

Пусть V1 есть пространство V1 = {v(x, t) : v(x, t) V0, v(x, 0) = vt (x, 0) = vt (x, T ) = 0, x, v(0, t) = v(1, t) = 0, t (0, T )}.

Пусть A есть фиксированное число такое, что A T ;

µ1 = max |µx (x, t)|;

µ2 = max |µ(x, t)|;

Q Q µ0 = µ0 2AT 2 µ2 ;

µ0 = min(µ(x, t) (A t)µt (x, t));

Q A 2 2 Ci = 6A (Mi3 ) T + 3Mi3 2T +, i = 1, 3;

AT Ci+3 = 6Ci (1 + µ2 ) + Mi3 T, i = 1, 3;

Ri = 4(Ci + Ci+3 ), i = 1, 3;

R0 = max(R1, R2 + R3 ).

Постоянные Mi3, Mi3 i = 1, 3, определяются функциями µ(x, t), Ki (x, ), i = 1, 3, и числом T (см. §1.2).

Теорема 7. Пусть выполняются условия µ(x, t) C 1 (Q), µ0 0;

R0 1;

Ki (x, t) C 2 (Q), i = 1, 3;

f (x, t) L2 (Q);

пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода t2 t w(x, t) = u(x, t) (B1 u)(x) t (B2 u)(x) (B3 u)(x) 2T 2T однозначно обратимо. Тогда краевая задача 7 имеет решение u(x, t), при надлежащее пространству V1.

В §1.3 исследуется разрешимость краевых задач с интегральными усло виями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза.

Краевая задача 8: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения ut + uxxx µ(x, t)u = f (x, t) (7) и такую, что для нее выполняются условия u(x, 0) = 0, x, (8) 1 u(0, t) = K1 (x, t)u(x, t)dx, u(1, t) = K2 (x, t)u(x, t)dx, 0 ux (1, t) = K3 (x, t)u(x, t)dx, 0 t T.

Краевая задача 9: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоуголь нике Q решением уравнения (7) и такую, что для нее выполняются усло вие (8), а также условия 1 uxx (0, t) = K1 (x, t)u(x, t)dx, u(1, t) = K2 (x, t)u(x, t)dx, 0 ux (1, t) = K3 (x, t)u(x, t)dx, 0 t T.

3, Обозначим для краткости V0 = W2,x,t (Q).

Пусть Bi u есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами (Bi u)(t) = Ki (y, t)u(y, t)dy, i = 1, 3.

Теорема 8. Пусть выполняются условия Ki (0, t) = Ki (1, t) = Kiy (0, t) 0, i = 1, 3, µ(x, t) C 3 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

µ2 N 1 0;

µt (x, T ) 0 при x ;

Ki (x, t) C 3 (Q), i = 1, 3;

f (x, t) L2 (Q), пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода w(x, t) = u(x, t) (x 1)2 (B1 u)(t) + x(x 2)(B2 u)(t) x(x 1)(B3 u)(t) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 8 имеет решение u(x, t), при надлежащее пространству V0.

Теорема 9. Пусть выполняются условия Ki (1, t) = Kiy (0, t) = Kiyy (0, t) 0, i = 1, 3, µ(x, t) C 3 (Q), µ(x, t) µ0 0 при (x, t) Q;

µ2 N 2 0;

µt (x, T ) 0 при x ;

Ki (x, t) C 3 (Q), i = 1, 3;

f (x, t) L2 (Q), пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода w(x, t) = u(x, t) (x 1)2 (B1 u)(t) (B2 u)(t) (x 1)(B3 u)(t) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 9 имеет решение u(x, t), при надлежащее пространству V0.

Постоянные N 1, N 2 определяются функциями µ(x, t), Ki (x, ), i = 1, 3.

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, исследована разреши мость нелокальных краевых задач для ультрапараболических уравнений.

§2.1. Пусть есть интервал (0,1) оси Ox, Q = (0, T1 ) (0, T2 ), 0 T1 +, 0 T2 +. Далее, пусть c(x, t, ), f (x, t, ), K1 (x, t, ), K2 (x, t, ) – заданные функции, определенные при x, t [0, T1 ], [0, T2 ].

Краевая задача 10: найти функцию u(x, t, ), являющуюся в парал лелепипеде Q решением уравнения ut + u uxx + c(x, t, )u = f (x, t, ) (9) и такую, что для нее выполняются условия u(x, 0, ) = 0, x, (0, T2 ), (10) u(x, t, 0) = 0, x, t (0, T1 ), (11) u(0, t, ) = K1 (x, t, )u(x, t, )dx, u(1, t, ) = K2 (x, t, )u(x, t, )dx, t (0, T1 ), (0, T2 ).

Краевая задача 11: найти функцию u(x, t, ), являющуюся в паралле лепипеде Q решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (10), (11), а также условия ux (0, t, ) = K1 (x, t, )u(x, t, )dx, ux (1, t, ) = K2 (x, t, )u(x, t, )dx, t (0, T1 ), (0, T2 ).

Краевая задача 12: найти функцию u(x, t, ), являющуюся в паралле лепипеде Q решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (10), (11), а также условия u(0, t, ) = K1 (x, t, )u(x, t, )dx, ux (1, t, ) = K2 (x, t, )u(x, t, )dx, t (0, T1 ), (0, T2 ).

2,1, Обозначим для краткости V0 = W2,x,t, (Q).

Пусть Bi u есть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами (Bi u)(t, ) = Ki (y, t, )u(y, t, )dy, i = 1, 2.

Теорема 10. Пусть выполняются условия c(x, t, ) C 1 (Q), Ki (x, t, ) C 2 (Q), i = 1, 2;

f (x, t, ) L2 (Q), f (x, t, ) L2 (Q);

пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода w(x, t, ) = u(x, t, ) (1 x)(B1 u)(t, ) x(B2 u)(t, ) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 10 имеет решение u(x, t, ), принадлежащее пространству V0.

Теорема 11. Пусть выполняются условия c(x, t, ) C 1 (Q), Ki (x, t, ) C 2 (Q), i = 1, 2;

f (x, t, ) L2 (Q), f (x, t, ) L2 (Q);

пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода x2 x w(x, t, ) = u(x, t, ) x (B1 u)(t, ) (B2 u)(t, ) 2 однозначно обратимо. Тогда краевая задача 11 имеет решение u(x, t, ), принадлежащее пространству V0.

Теорема 12. Пусть выполняются условия c(x, t, ) C 1 (Q), Ki (x, t, ) C 2 (Q), i = 1, 2;

f (x, t, ) L2 (Q), f (x, t, ) L2 (Q);

пусть интегральное уравнение Фредгольма второго рода w(x, t, ) = u(x, t, ) (B1 u)(t, ) x(B2 u)(t, ) однозначно обратимо. Тогда краевая задача 12 имеет решение u(x, t, ), принадлежащее пространству V0.

Как пример использования полученных результатов, рассмотрим нело кальную задачу для ультрапараболических уравнений с чисто интеграль ными условиями.

Пусть P1 (x), P2 (x) – заданные функции, определенные при x, t [0, T1 ], [0, T2 ].

Нелокальная задача: найти функцию u(x, t, ), являющуюся в парал лелепипеде Q решением уравнения (9) и такую, что для нее выполняются условия (10), (11), а также условия 1 P1 (x)u(x, t, )dx = 0, P2 (x)u(x, t, )dx = 0, t (0, T1 ), (0, T2 ).

0 При выполнении определенных условий, которые указаны в §2.1, данная нелокальная задача сводится к краевым задачам 10, 11 или 12. Имея раз решимость исследованных задач, получим разрешимость рассматриваемой нелокальной задачи.

Пусть есть ограниченная область пространства Rn с границей, Q = (0, T1 ) (0, T2 ), 0 T1 +, 0 T2 +, G = (0, T2 ), S = (0, T1 ) (0, T2 ). Далее, пусть c(x, t, ), f (x, t, ) – заданные функ ции, определенные при x, t [0, T1 ], [0, T2 ], - оператор Лапласа по переменным x1,..., xn, B есть линейный оператор, ставящий в соответ ствие функции v(x, t, ) функцию (Bv)(x, t, ), точные условия на которого будут указаны ниже.

Краевая задача 13: найти функцию u(x, t, ), являющуюся в Q реше нием уравнения ut + u u + c(x, t, )u = f (x, t, ) и такую, что для нее выполняются условия u(x, 0, ) = Bu + u0 (x, ), x, (0, T2 ), u(x, t, 0) = 0, x, t (0, T1 ), u(x, t, )|S = 0, t (0, T1 ), (0, T2 ). (12) Теорема 13. Пусть выполняются условия c(x, t, ) C 1 (Q), c(x, t, ) c0 0 при (x, t, ) [0, T1 ] [0, T2 ], и пусть оператор B имеет вид Bu = B1 u + B2 u, B1, B2 есть линейные операторы, определенные на пространстве V0, для которых выполняются условия 2 B1 u b1 u L (0,T1 ;

L2 (G)), L2 (G) n 2 2 B2 u b2 uxi + b3 u L2 (0,T1 ;

L2 (G)), L2 (G) L2 (0,T1 ;

L2 (G)) i= Bu 2 2 = B1 uxi + B2 uxi + B3,i u, B3,i u b0 ( u +u L2 (Q) ), L2 (G) L (0,T1 ;

L2 (G)) xi Bu B3 u 2 2 (G) b0 ( u 2 (0,T1 ;

L2 (G)) + u 2 2 (Q) ), = B1 u + B2 u + B3 u, L L L Bv = 0 при x, (0, T2 ) для любой функции v(x, t, ) из простран ства V0 такой, что для нее выполняются условия (12), (Bv) = 0 при x, = T2 для любой функции v(x, t, ) из пространства V0, Bv = при x, = 0 для любой функции v(x, t, ) из пространства V0 ;

2b1 1, b2 1, b3 c 0 ;

f (x, t, ) L2 (Q), f (x, t, ) L2 (Q);

u0 (x, ) W2 (G), u0 (x, 0) = 0, u0 (x, T2 ) = 0 при x, u0 (x, ) = 0 при x, (0, T2 ).

Тогда краевая задача 13 имеет решение u(x, t, ), принадлежащее про странству V0.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному ру ководителю доктору физико-математических наук, профессору Алексан дру Ивановичу Кожанову за предложенную тему, ценные советы и посто янное внимание к работе.

Работа автора по теме диссертации.

[1] Лукина, Г.А. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Математические заметки ЯГУ – 2010. Т.17, вып.1. – С. 35–46.

[2] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка / Г.А. Лу кина // Математические заметки ЯГУ. – 2010. – Т.17, вып.2. – С.

75–97.

[3] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фри за / Г.А. Лукина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия “Матем. моделирование и программирова ние”. – 2011. – Вып. 8, №17(234). – С. 53–62.

[4] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений / Г.А. Лукина // Математические заметки ЯГУ – 2011. Т.18, вып. 2. – С. 113– 127.

[5] Лукина, Г.А. Разрешимость пространственно нелокальной задачи для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // VII Всероссийская школа семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов “Матема тическое моделирование развития Северных территорий Российской Феде рации”;

Тез.докл. – Якутск: Филиал Изд-ва ЯГУ при ИМИ ЯГУ, 2009. – С. 60–61.

[6] Лукина, Г.А. Разрешимость пространственно нелокальной задачи для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Материалы докладов I Все российской научно-практической конференции студентов, аспирантов и мо лодых ученых “Молодежь и научно-технический прогресс в современном мире”. Часть II. 25-26 марта 2009 г. Под редакцией А.А. Гольдман. – Якутск:

Изд-во ЯГУ, 2010. – С. 255.

[7] Лукина, Г.А. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Материалы XLVIII международной научной студенческой конференции “Студент и научно технический прогресс”. Математика – Новосибирск: НГУ, 2010. – С. 47–48.

[8] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными услови ями для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Всероссийский на учный семинар “Неклассические уравнения математической физики”, по свящ. 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова, 11-13 ноября 2010г. СВФУ. - Якутск, 2010. – С. 18–19.

[9] Лукина, Г.А. Краевая задача с интегральными граничными услови ями для ультрапараболических уравнений / Г.А. Лукина // VI Междуна родная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева – Якутск: изд-во ОАО “Медиа холдинг Якутия”, 2011. – С. 39–40.

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА автореферат ЛУКИНА Галина Александровна Пописано в печать 22.10.2011 г. Формат 60x84/16.

Печ.л. 1,12. Уч.-изд. л. 1,31. Тираж 100 экз. Заказ 28.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ.

Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112)

 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.