авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ  БИБЛИОТЕКА

АВТОРЕФЕРАТЫ КАНДИДАТСКИХ, ДОКТОРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ

Краевые задачи для системы уравнений с частными производными дробного порядка

На правах рукописи

Мамчуев Мурат Османович

Краевые задачи для системы

уравнений с частными производными

дробного порядка

01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институ-

те прикладной математики и автоматизации Кабардино-

Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Николай Борисович, доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 21 сентября 2005 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан 21 июля 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Е.К. Липачев –3–

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Оператор дробного интегродифференциро вания по Риману и Лиувиллю и различные его обобщения играют су щественную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении по лучены в известных работах А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.И. Жега лова, Е.И. Моисеева, А.М. Нахушева, О.А. Репина, М.С. Салахитдино ва, М. Сайго.

Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обоб щением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое зна чение. Такие уравнения выступают в качестве математических моде лей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структу рой. Применению дробного исчисления в математическом моделирова нии посвящены работы В.Л. Кобелева, А.М. Нахушева, В.А. Нахуше вой, Р.Р. Нигматуллина, В.В. Учайкина, К.В. Чукбара и других авто ров.

Как отмечено в монографии А.М. Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (2003 г.), ”дробное (дифференциальное и интеграль ное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (меха нике) сплошных сред”.

Таким образом, проведение фундаментальных исследований по те ме диссертационной работы является актуальным.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КБНЦ РАН по научному направлению «Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной струк турой», №01.20.00 12845 гос. регистрации.

Дифференциальные уравнений с дробной производной исследова лись в работах Т.С. Алероева, В.К. Вебера, С.Х. Геккиевой, А.Н. Ко чубея, А.М. Нахушева, В.А. Нахушевой, А.В. Псху, О.А. Репина.

Цель работы. Основной целью работы является исследование основных краевых задач для линейных систем уравнений с частными производными дробного порядка с двумя независимыми переменными.

Методы исследования. Результаты работы получены с исполь зованием метода функции Грина, интегрального преобразования Лапла са, теории интегральных уравнений.

Научная новизна. В диссертации исследуются основные краевые задачи для линейных матричных и связанного с ними класса скалярных –4– уравнений в частных производных, содержащих производные дробного порядка по одной из двух независимых переменных.

Для исследуемых уравнений и систем:

– получены общие представления решения в прямоугольной обла сти;

– доказаны теоремы существования и единственности решений основных краевых задач, задачи Коши в нелокальной постанов ке и краевой задачи в полубесконечной полосе;

– построены функции Грина краевых задач и фундаментальные решения;

– изучено асимптотическое поведение фундаментальных решений на бесконечности.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является те оретической. Ее результаты имеют важное значение для построения те ории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных про изводных дробного порядка.

Значение работы определяется также прикладной значимостью рассматриваемых краевых задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семи наре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев А.М.), на семинаре по математической физике и вычислительной математике Кабардино-Балкарского государствен ного университета (руководитель - Шхануков-Лафишев М.Х.), на семи наре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государствен ного университета (руководитель - Жегалов В.И.), на Второй Междуна родной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные про блемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001 г.), на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравне ния смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики»



(Нальчик-Эльбрус, 2003 г.), на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы ана лиза и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.).





Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]–[11].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 12 параграфов, заключения и списка литера туры, содержащего 78 наименований, и изложена на 101 странице.

Содержание работы Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излага ется краткое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена краевым задачам для системы уравнений с –5– частными производными дробного порядка в прямоугольных областях.

В §1 первой главы для системы дифференциальных уравнений Lw(x, y) D0y w(x, y) + B(x, y)wx (x, y) + C(x, y)w(x, y) = f (x, y), (1) где w(x, y) = u(x, y), v(x, y) – искомая, а f (x, y) = f1 (x, y), f2 (x, y) – заданная вектор-функции, (0, 1), B(x, y) и C(x, y) – матрицы функции размера 2 2, получено общее представление решения в пря моугольной области = {(x, y) : 0 x l, 0 y T }, T.

Доказана Теорема 1.1. Пусть y = {(t, s) : 0 t l, 0 s y}, B(x, y) C(), Bx (x, y) L(), и матрица z(x, y, t, s) удовлетворяет следующим условиям:

1) в области y при фиксированных (x, y) матрица z явля ется решением уравнения L z(x, y, t, s) Dys z(x, y, t, s)[z(x, y, t, s)B(t, s)]t +z(x, y, t, s)C(t, s) = 0;

2) для любого вектора g(x) = g1 (x), g2 (x) C[x1, x2 ], 0 x1 x2 l, выполняется соотношение x lim Dys z(x, y, t, s) g(t)dt = g(x), x1 x x2 ;

sy x 3) элементы матрицы z являются непрерывными в y {y = s} функциями, и для любых точек (x, y) и (t, s) y выполняется неравенство |z(x, y, t, s)| K(y s)1, где K – постоянная матрица с положительными элементами.

Пусть w(x, y) – решение системы (1) такое, что y 1 w(x, y) C() C 1 (), и lim D0y w(x, y) = (x), тогда y y l w(x, y) = z(x, y, t, 0)(t)dt + z(x, y, 0, s)B(0, s)w(0, s)ds 0 y y l z(x, y, l, s)B(l, s)w(l, s)ds + z(x, y, t, s)f (t, s)dtds.

0 0 –6– В §2 методом интегрального преобразования Лапласа построена ма трица Грина первой краевой задачи для системы D0y w(x, y) + wx (x, y) Aw(x, y) = f (x, y), (2) где = 0, = const 0, A = aij, aij = const (i, j = 1, 2).

Первая краевая задача формулируется следующим образом:

Задача 1.1. В области = {(x, y) : 0 x l, 0 y T }, T, найти решение w(x, y) = u(x, y), v(x, y) системы (2), удо влетворяющее следующим условиям:

lim D0y w = (x), 0 x l, y u(0, y) = µ(y), v(l, y) = (y), 0 y T, где (x) = 1 (x), 2 (x), µ(y), (y) – заданные функции.

Матрицей Грина первой краевой задачи называется матрица z(x, y, t, s), удовлетворяющая вместе с условиями 1) – 3) теоремы 1.1, условиям lim z11 (x, y, t, s) = lim z21 (x, y, t, s) = 0, tl tl lim z12 (x, y, t, s) = lim z22 (x, y, t, s) = 0.

t0 t Матрица Грина имеет вид G(x, y, t, s) = S(x, y, t, s) + (x, y, t, s), где S(x, y, t, s) ||Sij (x, y, t, s)|| – матрица с элементами = |a12 a21 | a0 X 11 (x, t, )d, S11 (x, y, t, s) = e g(Y, ) n n= a S12 (x, y, t, s) = 22 ea0 X 12 (x, t, )d, g(Y, ) n n= a S21 (x, y, t, s) = 22 ea0 X g(Y, ) 21 (x, t, )d, n n= |a12 a21 | a0 X 22 (x, t, )d ;

S22 (x, y, t, s) = 22 e g(Y, ) n n= (x, y, t, s) = (x t, y s) = (X, Y ) – матрица с элементами –7– |a12 a21 | a0 X +X g(Y, ) 2 X 2 h1 (X, )d + ea0 X g(Y, X)(X), 11 (X, Y ) = e a12 a0 X 12 (X, Y ) = 22 e g(Y, )h0 (X, )d, a21 a0 X 21 (X, Y ) = 22 e g(Y, )h0 (X, )d, |a12 a21 | a0 X X g(Y, ) 2 X 2 h1 (X, )d + ea0 X g(Y, X)(X);

22 (X, Y ) = e ij ij (x, t, ), X = x t, Y = y s, n n 11 = h1,2n+1 (X1,n, )h1,2n+1 (X2,n, )+h1,2n+3 (X3,n+1, )+h1,2n+1 (X4,n+1, ), n 12 = h1,2n (X1,n, )h1,2n+2 (X2,n, )+h1,2n+2 (X3,n+1, )+h1,2n+2 (X4,n+1, ), n 21 = h1,2n+2 (X1,n, )h1,2n (X2,n, )+h1,2n+2 (X3,n+1, )+h1,2n+2 (X4,n+1, ), n 22 = h1,2n+1 (X1,n, )h1,2n+1 (X2,n, )+h1,2n+1 (X3,n+1, )+h1,2n+3 (X4,n+1, );

n (1)[ m+1 ] ( X)m Jm (|a| 2 X 2 ) ( X), a12 a21 0, 2 m 2 ( X ) h1,m (X, ) = Im (a 2 X 2 ) X)m 2 2 m ( ( X), a12 a21 0, ( X ) (1)i Ji 2 X 2 )( |X|), a12 a21 0, (|a| hi (X, ) = Ii (a 2 X 2 )( |X|), a12 a21 0, n ea1 1, eµ, () g(y, ) = y e1, y, = – функция ти, (µ+n)(n) n= (1)n z m+2n m+2n (2) (z) па Райта, Jm (z) = и Im (z) = – функ n!(m+n+1) n!(m+n+1) n=0 n=0 aa a0,1 = a112a22, ции Бесселя, ( ) – функция Хевисайда, a=, 12 X1,n X1,n (x, t) = x + t + 2nl, X2,n X2,n (x, t) = x t + 2(n + 1)l, X3,n X3,n (x, t) = x + t + 2nl, X4,n X4,n (x, t) = x t + 2nl, [] – целая часть числа.

В §3 доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для системы (2).

Теорема 1.2. Пусть y 1 f (x, y) C() C 1 (), (x) C[0;

l] C 1 (0;

l), y 1 µ(y), y 1 (y) C[0;

T ] C 1 (0;

T ), и выполняются усло вия согласования 1 lim D0y µ(t) = 1 (0), lim D0y (t) = 2 (l).

y0 y Тогда существует единственное решение задачи 1.1 такое, что –8– y 1 w(x, y) C() C 1 (). Решение имеет вид y µ(s) w(x, y) = [G(x, y, l, s) + G(x, y, 0, s)] ds+ (s) y l l + G(x, y, t, 0)(t)dt + G(x, y, t, s)f (t, s)dtds.

0 0 В §4 рассмотрена смешанная задача для системы (1) с постоянными матричными коэффициентами B и C.

Задача 1.2. Найти решение w(x, y) = ||u(x, y), v(x, y)|| системы (1), удовлетворяющее следующим условиям:

lim D0y w = (x), 0 x l, y 11 u(0, y) + 12 v(0, y) = µ(y), 0 y T, 21 u(l, y) + 22 v(l, y) = (y), 0 y T, где (x) = ||1 (x), 2 (x)||, µ(y), (y) – заданные функции.

Доказана 0 Теорема 1.3. Пусть B = 0, y 1 f (x, y) C() C 1 (), (x) C[0;

l] C 1 (0;

l), y 1 µ(y), y 1 (y) C[0;

T ] C 1 (0;

T ), 11 22 = 0, и выполняются условия согласования lim D0y µ(t) = 11 1 (0) + 12 2 (0), (3) y lim D0y (t) = 21 1 (l) + 22 2 (l). (4) y Тогда существует единственное решение задачи 1.2 такое, что y 1 w(x, y) C() C 1 ().

В §5 теорема существования и единственности решения смешанной задачи доказана для системы с матричными коэффициентами более об щего вида.

b b Теорема 1.4. Пусть B = b11 b, i = (1)i+1 detB, 21 –9– detB 0, (b11 i )i2 = b12 i1 (i = 1, 2), (x) C[0;

l] C 1 (0;

l), y 1 µ(y), y 1 (y) C[0;

T ] C 1 (0;

T ), y 1 f (x, y) C() C 1 (), и выполняются условия согласования (3), (4). Тогда существует един ственное решение задачи 1.2 такое, что y 1 w(x, y) C() C 1 ().

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для системы (2) в неограниченных областях.

В §1 исследована задача Коши в нелокальной постановке.

Задача 2.1. В области = {(x, y) : x +, 0 y T }, T, найти решение w(x, y) системы (2), удовлетворяющее следу ющему условию:

lim D0y w = (x), x +, y где (x) = 1 (x), 2 (x) – заданная вектор-функция.

Доказана Теорема 2.1. Пусть функции f (x, y) и (x) таковы, что y f (x, y) = O(exp(x )), (x) = O(exp(x )), 1 при |x| и y 1 f (x, y) C() C 1 (), (x) C 1 (, +), тогда существует единственное решение задачи 2.1 такое, что y 1 w(x, y) C() C 1 () и y 1 w(x, y) = O(exp(x )) при |x|.

Решение задается формулой y + + w(x, y) = (x, y, t, 0)(t)dt + (x, y, t, s)f (t, s)dtds, где (x, y, t, s) = (x t, y s) = (X, Y ) – матрица с элементами |a12 a21 | a0 X e a0 X +X 11 (X, Y ) = e g(Y, ) 2 X 2 h1 (X, )d + g(Y, X)(X), a12 a0 X 12 (X, Y ) = 22 e g(Y, )h0 (X, )d, a21 a0 X 21 (X, Y ) = 22 e g(Y, )h0 (X, )d, |a12 a21 | a0 X aX g(Y, ) 2 X 2 h1 (X, )d + e g(Y, X)(X), X 22 (X, Y ) = e (1)i Ji 2 X 2 )( |X|), a12 a21 0, (|a| hi (X, ) = Ii (a 2 X 2 )( |X|), a12 a21 0, a12 a g(y, ) = e y1 e1,0 y, a0,1 = a a11 a 2, a=, ( ) – функция 1, Хевисайда.

– 10 – В §2 для матрицы (x, y, t, s) получены оценка |X| (x, y, t, s) Kek|X| Y 1 e1, E (kY ;

1) 1, Y и асимптотическая формула (x, y, t, s) K0 exp (k1 |X|0 ), |X|, zn где E (z, µ) = – функция типа Миттаг-Леффлера, 0 =, (n+µ) n= K и K0 – некоторые постоянные матрицы, а k и k1 – положительные числа, зависящие от.

В §3 для системы (2) рассматривается следующая Задача 2.2. В области + = {(x, y) : 0 x +, 0 y T }, T, найти решение w(x, y) системы (2), удовлетворяющее на чальному lim D0y w = (x), 0 x +, y и краевому u(0, y) = µ(y), 0 y T, условиям, где (x) = 1 (x), 2 (x) и µ(y) – заданные функции.

Доказана Теорема 2.2. Пусть функции f (x, y) и (x) таковы, что y f (x, y) = O(exp(x )), (x) = O(exp(x )), 1, при x +, y 1 f (x, y) C(+ ) C 1 (+ ), (x) C[0, +) C 1 (0, +), y 1 µ(y) C[0, T ] C 1 (0, T ), и выполняется условие согласова ния lim D0y µ(y) = 1 (0). Тогда существует единственное ре y шение задачи 2.2 такое, что y 1 w(x, y) C(+ ) C 1 (+ ) и 1 y w(x, y) = O(exp(x )) при x +. Решение имеет вид y + µ(s) G+ (x, y, t, 0)(t)dt + G+ (x, y, 0, s) w(x, y) = ds+ 0 y + G+ (x, y, t, s)f (t, s)dtds, + 0 – 11 – где G+ (x, y, t, s) = G+ (x, y, t, s) – матрица с элементами ij + 1 a0 X G11 (x, y, t, s) = e g(Y, X)(X)+ |a12 a21 | a0 X +X X + 22 e g(Y, ) 2 X 2 h1 (|X|, ) 2 X 2 h1 (|X1 |, ) d, a12 a0 X + G12 (x, y, t, s) = 22 e g(Y, ) [h0 (|X|, ) h0 (|X1 |, )] d, a21 a0 X + G21 (x, y, t, s) = 22 e g(Y, ) [h0 (|X|, ) h1,2 (|X1 |, )] d, + G22 (x, y, t, s) = ea0 X g(Y, X)(X)+ |a12 a21 | a0 X X X h1 (|X1 |, ) + 22 e g(Y, ) 2 X 2 h1 (|X|, ) d, 2 X здесь X = x t, X1 = x + t.

В третьей главе результаты первых двух глав применяются к ре шению краевых задач для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части.

В §1 исследуется задача Коши в нелокальной постановке.

Задача 3.1. Найти решение u(x, y) уравнения D0y u(x, y) uxx (x, y) + bD0y u(x, y) + cu(x, y) = f (x, y) (5) в области = {(x, y) : x +, 0 y T }, T, такое, что y 1 u(x, y) C(), uxx, uy C(), и удовлетворяющее начальному условию lim D0y u = (x), x +, y где = 2 (0, 1), b, c – заданные действительные числа, f (x, y), (x) – заданные функции.

Методом редукции уравнения (5) к системе уравнений с частными производными дробного порядка доказана Теорема 3.1. Пусть y 1 f (x, y) = O(exp(x )), (x) = O(exp(x )), 1 при |x| и y 1 f (x, y) C()C 1 (), (x) C 1 (, +), тогда существует единственное решение задачи 3.1 такое, что y 1 u(x, y) C(), uxx, uy C(), и y 1 u(x, y) = O(exp(x )) при |x|. Решение задается формулой y + + u(x, y) = (x, y, t, 0) (t)dt + (x, y, t, s)f (t, s)dtds, – 12 – где ea1 1, 1 (x, y, t, s) = e1, h0 (x t, )d, (y s) 2 ys |xt| J0 (|a| 2 (x t)2 ), b2 4c, h0 (x t, ) = I0 (a 2 (x t)2 ), b2 4c, J0 (z) и I0 (z) – функции Бесселя, a1 = 2, a = b 24c.

b В §2 получено общее представление решения уравнения (5) в пря моугольной области.

Теорема 3.2. Пусть функция v = v(x, y, t, s) удовлетворяет сле дующим условиям:

1) в области y = {(t, s) : 0 t l, 0 s y} при фиксирован ных (x, y) функция v является решением уравнения L v Dys v(x, y, t, s) vtt (x, y, t, s) + bDys v(x, y, t, s) + cv(x, y, t, s) = 0;

2) для любой функции g(x) C[x1, x2 ], 0 x1 x2 l, выполня ется соотношение x lim g(t)Dys v(x, y, t, s)dt = g(x), x1 x x 2 ;

sy x 3) функция v непрерывна в y \ {y = s}, и для лю бых точек (x, y) и (t, s) y выполняется неравенство |v(x, y, t, s)| k(y s)1+, где k – положительная константа.

Функция u(x, y) такова, что y 1 u(x, y) C(), uxx, uy C(), производная ux непрерывна вплоть до участков границы x = 0 и x = l, и u(x, y) является решением уравнения (5), удовлетворяющим краевому условию lim D0y u(x, s) = (x), 0 x l.

y Тогда для функции u(x, y) выполняется соотношение y u(x, y) = [v(x, y, l, s)ut (l, s) v(x, y, 0, s)ut (0, s) – 13 – vt (x, y, l, s)u(l, s) + vt (x, y, 0, s)u(0, s)]ds+ y l l + (t)v(x, y, t, 0)dt + v(x, y, t, s)f (t, s)dtds.

0 В §3 исследуется краевая задача для уравнения (5) в полубеско нечной полосе. С помощью метода функции Грина выписано решение и доказана его единственность.

Задача 3.2. В области = {(x, y) : 0 x +, 0 y T }, T, найти решение u(x, y) уравнения (5), удовлетворяющее усло виям lim D0y u(x, y) = (x), 0 x +, y u(0, y) = (y), 0 y T, где (x) и (y) – заданные функции.

Теорема 3.3. Пусть y 1 f (x, y) = O(exp(x )), (x) = O(exp(x )), 1, при x +, y 1 f (x, y) C() C 1 (), (x) C[0, +) C 1 (0, +), y 1 (y) C[0, T ] C 1 (0, T ), и выполняется условие со гласования lim D0y (y) = (0). Тогда существует единственное ре y шение задачи 3.2 такое, что y 1 u(x, y) C(), uxx, uy C(), 1 ux L() и y u(x, y) = O(exp(x )) при x +. Решение имеет вид:

y + u(x, y) = G(x, y, t, 0) (t)dt + Gt (x, y, 0, s)(s)ds+ 0 y + + G(x, y, t, s)f (t, s)dtds, 0 где G(x, y, t, s) = (x, y, t, s)(x, y, t, s), (x, y, t, s) – фундаменталь ное решение уравнения (5).

В §4 рассматриваются первая, вторая и смешанные краевые задачи для уравнения (5). Найдены функции Грина этих краевых задач.

– 14 – Заключение Выполненные исследования, посвященные основным краевым зада чам для широких классов систем линейных нелокальных дифференци альных уравнений с частными производными и уравнения с оператором дробной диффузии в главной части, позволяют сформулировать следу ющие основные научные результаты диссертационной работы.

Для систем нелокальных дифференциальных уравнений – доказана теорема 1.1 об общем представлении решения си стемы в прямоугольной области и построена матрица Грина первой краевой задачи;

– доказаны теоремы 1.2, 1.3, 1.4 существования и единствен ности решений первой краевой 1.1 и смешанной 1.2 задач;

– доказаны теоремы 2.1 и 2.2 существования и единственности решений задачи Коши 2.1 в нелокальной постановке и краевой задачи 2.2 в полубесконечной полосе;

– построены фундаментальная матрица решений системы и матрица Грина краевой задачи в полубесконечной полосе;

– для фундаментальной матрицы решений системы получена оценка неравенственного типа и изучено асимптотическое по ведение на бесконечности.

Используя полученные результаты, для линейного нелокального дифференциального уравнения с оператором дробной диффузии в главной части:

– доказана теорема 3.1 существования и единственности ре шения задачи Коши 3.1 в нелокальной постановке и построено фундаментальное решение;

– доказана теорема 3.2 об общем представлении решения урав нения в прямоугольной области;

– доказана теорема 3.3 существования и единственности реше ния краевой задачи 3.2 в полубесконечной полосе и построена ее функция Грина;

– построены решения и функции Грина первой, второй и сме шанных краевых задач.

Публикации автора по теме диссертации 1. Мамчуев М.О. Задача с условием Самарского для системы нело кальных дифференциальных уравнений /М.О. Мамчуев // IV-й Всерос сийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Тезисы докладов. – Кисловодск, 2000.

2. Мамчуев М.О. Решение краевой задачи для системы диффе ренциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев // Вторая Международная конференция «Нелокальные – 15 – краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, ин форматики и физики». Тезисы докладов. – Нальчик, 2001. С. 160-161.

3. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. №1 (8). С.

37-42.

4. Мамчуев М.О. Метод матрицы Грина для системы диффе ренциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной ака демии наук 2002. Т.6. №1. С. 18-21.

5. Мамчуев М.О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и род ственные проблемы анализа и информатики», – Нальчик-Эльбрус, 2003.

С. 64-65.

6. Мамчуев М.О. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в неограничен ных областях /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Между народной академии наук 2003. Т.7. №1. С. 60-63.

7. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в прямоуголь ной области /М.О. Мамчуев // Сборник трудов Всероссийской конфе ренции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)», посвященной 90-летию СамГТУ, – Самара, 2004. Ч. 3. С. 150-152.

8. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифферен циальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной ака демии наук 2004. Т.7. №1. С. 56-59.

9. Мамчуев М.О. Метод факторизации в решении задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка /М.О. Мамчуев //Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения сме шанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», – Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 129-132.

10. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диф фузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоуголь ной области /М.О. Мамчуев // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. №2 (12). С. 116-118.

11. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дроб ного порядка с постоянными коэффициентами /М.О. Мамчуев //Докл.

Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005. Т.7. №2.

С. 38-45.



 

Похожие работы:





 
2013 www.netess.ru - «Бесплатная библиотека авторефератов кандидатских и докторских диссертаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.