Методы исследования возмущенного движения, основанные на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой

На правах рукописи

ШЕФЕР Владимир Александрович МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФИКТИВНОГО ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ Специальность 01.03.01 — астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и механики при Томском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Батраков Юрий Васильевич профессор доктор физико-математических наук.

Шапорев Сергей Дмитриевич профессор Шевченко Иван Иванович доктор физико-математических наук

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

Защита диссертации состоится « 2.G » ИОЙЭрЯ 2003 г.

в Ч^ час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.232. по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. (математшсо-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан « » С*&»*У/.%.{//?Д 2003 г.

Ученый секретарь / / диссертационного совета •/'' В.В. Орлов /*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Проблема изучения движения малых тел Солнечной системы всегда занимала одно из центральных мест в прикладной небесной механике.

В последние 10-15 лет интерес к этой проблеме еще более возрос. Ос новной причиной такого внимания стало осознание научными кругами и широкой общественностью меры той опасности, которую представля ют столкновения Земли с астероидами и кометами. Другой причиной, во многом связанной с первой, послужили массовые открытия новых малых планет. Причем число открытий с каждым годом растет. Это оказалось возможным благодаря осуществлению ряда крупных проектов по обна ружению космических тел, сближающихся с Землей, а также широкому применению электронно-оптических методов наблюдений (в первую оче редь ПЗС-технологий) и современных средств компьютерной обработки измерительной информации. Успешное выполнение программ по изуче нию малых тел с помощью космических аппаратов и решение проблем, связанных с астероидно-кометной опасностью, предъявляют особенно вы сокие требования к точности и оперативности определения пространст венных положений интересующих нас объектов. Это делает необходимым и своевременным дальнейшее совершенствование уже имеющихся и созда ние новых эффективных методов исследования движения малых тел Сол нечной системы по высокоточным наблюдательным данным.

Цель и основные задачи исследования Сложный характер движения большинства малых планет и почти всех комет делает практически невозможным или крайне трудоемким приме нение аналитических методов исследования. Это приводит к необходи мости использовать численные методы, которые, как правило, отлича ются простотой и надежностью. Однако, применение последних также наталкивается на ряд трудностей, поскольку классические ньютоновские уравнения движения сингулярны в точках соударений гравитирующих масс, а их решения неустойчивы в смысле Ляпунова (Штифель, Шей феле, 1975). Кроме того, численное интегрирование дифференциальных уравнений небесной механики на больших интервалах изменения незави симой переменной может потребовать значительных затрат машинного времени. Поэтому наиболее эффективное решение задач, связанных с из учением движения рассматриваемых небесных тел, следует искать в ра циональном сочетании численного и аналитического подходов.

Целью диссертации является разработка новых эффективных мето дов, предназначенных для решения трех тесно связанных между собой задач — определения предварительных орбит, улучшения начальных па раметров движения и высокоточного прогнозирования пространственных положений и скоростей малых тел.

Для достижения указанной цели выбирается подход, основанный на использовании фиктивного притягивающего центра с переменной массой и специальных преобразований дифференциальных уравнений движения, таких, как преобразование Энке, линеаризирующие и регуляризирующие преобразования. Реализация этого подхода включает в себя постановку и решение следующих основных задач:

— построение новых соприкасающихся с реальной возмущенной траекто рией промежуточных орбит, лучше аппроксимирующих начальный учас ток движения, чем оскулирующая кеплеровская орбита и аналогичные орбиты других авторов;

— вывод дифференциальных уравнений в отклонениях реального движе ния от промежуточного опорного, обобщающих уравнения классического метода Энке вычисления возмущенной траектории;

— конструирование новых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения, в которых решение представляется последователь ностью малых дуг промежуточных орбит, и использование их в качестве опорных методов при построении экстраполяционных алгоритмов;

— разработка новых алгоритмов вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значениям (изохронные производные) на основе формул для соприкасающихся орбит;

— определение промежуточных возмущенных орбит по минимальному числу позиционных измерений;

— получение уравнений движения в регуляризирующих переменных от НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА | им.К.И.^ОБАЧКВСКОГС КАЗАНСКОГО ГОС. Л'КИэЕРСИТш!

носительно подвижного фиктивного центра с переменной массой в рамках возмущенной ограниченной задачи трех тел;

— исследование эффективности новых методов в сравнении с наиболее часто применяемыми на практике алгоритмами.

Научная новизна работы Все основные результаты, представленные в диссертации, получены впервые. Новизна исследования состоит в следующем.

1. Разработана теория промежуточного движения, опирающаяся на пред ложенную автором идею ввода фиктивного притягивающего центра с из меняющимся со временем гравитационным параметром.

2. На основе разработанной теории построены новые промежуточные ор биты некеплеровского типа с касанием первого, второго и третьего по рядка к траектории реального движения (оскулирующие и сверхоскули рующие промежуточные орбиты). Теоретически и практически показано, что построенные орбиты обеспечивают в своем классе орбит, определяе мом порядком касания, наивысшую точность аппроксимации возмущен ного движения на начальном участке траектории.

3. Обобщен классический метод Энке специальных возмущений путем за мены оскулирующей кеплеровской опорной орбиты на построенные авто ром промежуточные орбиты.

4. Получены простые методы решения уравнений орбитального движения первого, второго и третьего порядков точности, основанные на пошаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами проме жуточных орбит.

5. Предложены новые экстраполяционные алгоритмы с переменной дли ной шага и переменным порядком, использующие полученные пошаговые аналитические методы в качестве опорных. При этом создан универсаль ный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы, пригодный для опорного метода произвольного порядка.

6. Построены алгоритмы вычисления матрицы изохронных производных с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных ор бит. Доказано, что при использовании этих алгоритмов повышение точ ности вычисления изохронных производных на заданном промежутке вре мени путем сокращения интервала применения промежуточной орбиты возможно только в том случае, когда порядок касания промежуточной орбиты выше первого.

7. Разработан метод определения промежуточной орбиты по двум век торам положения и интервалу времени между ними. Доказано, что пре дельные значения параметров этой орбиты при стремящемся к нулю опор ном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием третьего порядка.

8. Предложен метод определения промежуточной возмущенной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере, разработанный по ана логии со схемой классического метода Лагранжа-Таусса.

9. Обобщен подход В.Себехея (1976) к линеаризации и регуляризации ди намических систем с помощью интегралов движения посредством введе ния дополнительно к временному преобразованию преобразования зави симых переменных.

10. Выведены уравнения движения возмущенной ограниченной задачи трех тел в регуляризирующих переменных с использованием в качестве центра регуляризации фиктивного притягивающего центра с переменной массой.

И. Получены оценки эффективности разработанных методов и алгорит мов в задачах исследования движения ряда малых планет и комет. Показа но, что новые алгоритмы и методы отличаются более высокой точностью и оперативностью по сравнению с существующими аналогами.

Теоретическая и практическая значимость Развитая в работе теория промежуточного движения может быть ис пользована при создании новых методов и алгоритмов численного или аналитического моделирования движения небесных тел. Она дает боль шую свободу в выборе параметров промежуточного движения и закона изменения массы фиктивного центра, что позволяет конструировать и другие семейства орбит, отличные от рассмотренных в диссертации.

Построенный автором рекуррентный алгоритм вычисления элементов экстраполяционной таблицы можно применить для разработки экстра поляционных методов решения широкого класса обыкновенных диффе ренциальных уравнений при условии, что опорный метод удовлетворяет определенным требованиям (Хайрер и др., 1990).

Предложенный в работе метод линеаризации и регуляризации урав нений движения может быть применен и к некоторым другим системам дифференциальных уравнений, обладающих интегралами.

Разработанный автором алгоритмический аппарат и его программная реализация могут быть успешно применены для решения разнообразных задач, связанных с определением, уточнением и прогнозированием орбит астероидов, комет и искусственных небесных тел. Результаты исследова ния эффективности алгоритмов и программ можно использовать в ана логичных исследованиях при выявлении практических преимуществ той или иной методики.

Параметры движения астероидов (145) Адеона, (1566) Икар и (4179) Тоутатис, полученные в результате применения процедуры улучшения орбит, могут быть приняты за основу при подготовке рабочих эфемерид для дальнейших наблюдений данных объектов и обработки результатов этих наблюдений.

Полученные в работе методы и алгоритмы могут найти применение во всех научных учреждениях, где занимаются изучением движения ма лых тел Солнечной системы и динамикой космического полета, а также в учебном процессе вузов, где преподаётся небесная механика и динами ческая астрономия.

Результаты диссертационной работы успешно применялись и продол жают применяться в отделе астрометрии и небесной механики НИИ при кладной математики и механики при Томском госуниверситете в соот ветствии с планами выполнения госбюджетных тем "Исследование дви жения, распределения и эволюции орбит малых тел Солнечной системы по наблюдениям с Земли и из космоса" и "Математическое моделирование движения, распределения и орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы по результатам измерений", грантов РФФИ N 96-02-17999 "Раз работка аналитических и численных методов исследования возмущений сложной природы в движении малых тел Солнечной системы", N 98-02 16491 "Разработка численных и полуаналитических методов исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы" и N 01-02-17266 "Реше ние ряда сложных задач динамики малых тел Солнечной системы", а также НИР "Численные алгоритмы исследования орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы и фрагментов космического мусора" в рам ках ГНТП "Астрономия".

Апробация работы Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на — всесоюзной конференции "Методы исследования движения, физика и динамика малых тел Солнечной системы" (Душанбе, август 1989 г.);

— всесоюзном совещании "Эфемеридная астрономия и позиционные на блюдения" (Ленинград, август 1991 г.);

— научных конференциях, проводившихся в рамках II и III съездов Аст рономического общества (Москва, октябрь-ноябрь 1991 г., май 1993 г.);

— всесоюзном совещании (с международным участием) "Астероидная опасность" (Санкт-Петербург, октябрь 1992 г.);

— комплексной конференции (с международным участием) "Астероидная опасность-93" (Санкт-Петербург, май 1993 г.);

— международной конференции "Проблемы защиты Земли от столкнове ния с опасными космическими объектами" (Снежинск, сентябрь 1994 г);

-— международной конференции "Сопряженные задачи механики и эколо гии" (Томск, сентябрь-октябрь 1996 г.);

— международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, июнь 1997 г.);

— международной научной школе-семинаре НАТО "The Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar System Studies" (Маратея, Италия, июнь-июль 1997 г.);

— научной конференции "Новые теоретические результаты и практичес кие задачи небесной механики" (Москва, декабрь 1997 г.);

— всероссийских научных конференциях "Фундаментальные и приклад ные проблемы современной механики" (Томск, июнь 1998 г., июнь 2000 г., октябрь 2002 г.);

— весенней конференции Астрономического и Немецкого геологического обществ "Asteroids, Meteorites, Impacts and their Consequences (AMICO 2000)" (Нердлинген, Германия, май 2000 г.);

— совместной конференции Европейского и Евро-Азиатского астрономи ческих обществ "JENAM-2000" (Москва, май июнь 2000 г.);

— Всероссийской астрономической конференции (Санкт-Петербург, ав густ 2001 г.);

— международной конференции "Asteroids, Cornets, Meteors" (Берлин, Германия, июль-август 2002 г.);

— международной конференции "Небесная механика - 2002: результаты и перспективы" (Санкт-Петербург, сентябрь 2002 г.);

— семинарах отдела небесной механики и астрометрии НИИ ПММ при ТГУ (Томск, 1991-2003 гг.);

— семинаре кафедры небесной механики СПбГУ (Санкт-Петербург, июнь 2003 г.).

Публикации По теме диссертационной работы имеются 22 публикации, список ко торых приводится в конце автореферата.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка ис пользованных литературных источников (135 наименований) и пяти при ложений, содержит 14 рисунков и 35 таблиц. Общий объём работы состав ляет 203 страницы машинописного текста, из них 11 страниц занимают приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются це ль и основные задачи исследования, определяется новизна работы, ее тео ретическая и практическая значимость, излагаются структура и краткое содержание диссертации, перечисляются результаты, выносимые на за щиту.

Первая глава посвящена теории промежуточного движения и постро ению оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит.

Фиктивный притягивающий центр с постоянной массой, помещенный на начальном векторе ускорения, был впервые использован Н.А.Шайхом (1966) для построения простой промежуточной орбиты с касанием второ го порядка в рамках ограниченной задачи трех тел. В.И.Скрипниченко (1970) повысил точность аппроксимации движения в методе Шайха, до пустив возможность прямолинейного и равномерного движения фиктив ного центра. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах Ю.В.

Батракова (1981а, б), в которых построены промежуточные орбиты с ка санием первого, второго и третьего порядка применительно к задачам с силами более общего вида. Промежуточное движение, аппроксимирующее реальное возмущенное движение малого тела, рассматривается как ком бинация двух движений: движения фиктивного притягивающего центра и движения относительно фиктивного центра. Первое в общем случае до пускается прямолинейным и равномерным, а второе описывается уравне ниями невозмущенного кеплеровского движения. Кроме условий касания соответствующего порядка используется условие минимума главной час ти отклонения промежуточного движения от реального.

Излагаемая в главе теория промежуточного движения обобщает и раз вивает идеи и подходы вышеназванных авторов. В основу теории поло жена концепция, впервые предложенная и примененная автором в пуб ликациях (Шефер, 1998а, б), согласно которой масса фиктивного центра выбирается не постоянной величиной, а ищется в виде функции време ни. Движение по промежуточной траектории относительно фиктивного центра при этом не является кеплеровским и описывается уравнениями возмущенной задачи Гюльдена-Мещерского с касательными возмущени ями специального вида.

Рассмотрим построение промежуточного движения более подробно.

Движение малого тела под действием ньютоновского притяжения сис темы точечных масс и других сил произвольной природы задается урав нениями относительного движения и начальными условиями:

(1) где х — вектор положения малого тела, (k2 — гравитационная постоянная, М — масса центрального тела), IF — вектор возмущающего ускорения.

Нижний индекс 0,1, 2) повсюду в тексте автореферата, если это не оговаривается отдельно, означает, что данная величина определена при t-ti.

Вводится фиктивный притягивающий центр с гравитационным пара метром /*, расположенный на конце вектора Z = Z0 + Z 0 (t - *о). (2) Уравнения движения малого тела относительно фиктивного центра тогда примут вид q=G, q = x-Z. (3) В той же системе координат, в которой рассматривается реальное дви жение (3), задается промежуточное движение ц q*+Aq*, q*(*o) - qj, Ч*(*о) = 4$- (4) Здесь R* = |q*|. Параметры ц и А предполагаются функциями, непрерыв но изменяющимися со временем.

Пусть поведение гравитационного параметра fj, подчиняется закону Эддингтона-Джинса, который можно представить в виде (5) а параметр Л задается формулой * = *(?

где ф = 2А 0 + С, С = Ао/Мо - 2А 0, L = (2 - п)ф - А 0, N = (3 - 2п)/2.

Введенное таким образом промежуточное движение описывается за мкнутыми аналитическими выражениями, поскольку с помощью коорди натно-временного преобразования уравнения (4) приводятся к уравнениям движения классической задачи двух тел с постоянными массами.

Следовательно, промежуточное движение, представленное уравнения ми (2), (4)-(6), полностью определяется векторами и скалярами (7) Выбор значений постоянных (7) в главе осуществляется из условий, задающих касание определенного порядка к реальной траектории, и ря да дополнительных требований, обеспечивающих наилучшую аппрокси мацию возмущенного движения. Строятся новые классы промежуточных орбит с касанием первого, второго и третьего порядка. Эти орбиты лучше аппроксимируют возмущенное движение на начальном участке траекто рии, чем оскулирующая кеплеровская орбита. Они точнее и аналогичных орбит других авторов, поскольку в промежуточном движении нами учи тываются возмущающие силы, которые можно интерпретировать как эф фект переменности массы фиктивного центра в соответствии с законом Эддингтона-Джинса и эффект действия дополнительной касательной си лы. Показывается, что среди множества промежуточных орбит с опреде ленным порядком касания построенные орбиты являются самыми точны ми. Чем больше порядок касания к возмущенной траектории и меньше угол наклона орбитальной плоскости исследуемого тела к плоскости, в которой действуют основные возмущающие силы, тем выше точность ап проксимации нашими орбитами реального движения. В случае плоского возмущенного движения порядок касания промежуточных орбит автома тически повышается на одну или две единицы.

Дается вывод всех необходимых формул для решения уравнений про межуточного движения, пригодных как для положительных, так и для отрицательных значений гравитационного параметра фиктивного цент ра. Практическая ценность полученных формул повышена, благодаря ис пользованию преобразований, позволяющих избежать потери значащих цифр при вычислении разностей почти равных величин в окрестности эпохи оскуляции. Рассматриваются частные случаи сверхоскулирующих промежуточных орбит, построение которых требует применения формул эллиптического движения с минимально возможным значением эксцен триситета эллиптической орбиты. Использование полученных формул на практике не связано ни с какими ограничениями в выборе действующих на малое тело сил, кроме требования дифференцируемости выражений для них.

Материал данной главы является основной теоретической базой для методов, представляемых в следующих четырех главах.

Во второй главе описываются обобщенные методы Энке специаль ных возмущений. Эти методы основаны на следующих дифференциаль ных уравнениях для вектора отклонения реального движения от опорного промежуточного:

(8) где Уравнения (8) выведены с использованием основных формул для по строенного в первой главе промежуточного движения. В качестве, опор ных решений применяются как оскулирующие, так и сверхоскулирую щие орбиты. При выводе уравнений (8) использовался прием (Рой, 1981), с помощью которого полностью или частично разрешается разностная неопределенность, имеющая место при вычитании в правых частях урав нений в отклонениях двух почти равных векторов. Указываются приемы и приводятся соотношения, позволяющие решить аналогичную проблему, возникающую при вычислении разности ^~ цо в окрестности начального момента времени. Если в (8) задать то мы получим дифференциальные уравнения, соответствующие классическому методу Энке.

Решая уравнения (8) с начальными условиями каким либо подходящим методом численного интегрирования и зная координа ты и компоненты вектора скорости малого тела на промежуточной ор бите, найдем в любой заданный момент времени t векторы положения и скорости малого тела для возмущенного движения в исходной систе ме координат. Значительное уменьшение шага в процессе интегрирова ния служит признаком того, что использование данной опорной орбиты становится неэффективным и необходимо приступить к построению но вой (спрямить орбиту). Показывается, что более высокая эффективность этой процедуры по сравнению с классическим алгоритмом Энке обеспе чивается существенно меньшими численными значениями правых частей уравнений в отклонениях (8) в окрестности эпохи спрямления опорной ор биты. Отмечается, что, если в процессе вычислений необходима частая смена опорной орбиты, то при выборе метода интегрирования предпочте ние следует отдать од пошаговым алгоритмам. Даются рекомендации по упрощению алгоритма построения опорной промежуточной орбиты в слу чае сложной структуры возмущений.

Описываются численные эксперименты, выполненные на примерах вы числения орбит особой малой планеты (4179) Тоутатис и короткоперио дической кометы Хонды-Мркоса-Пайдушаковой. Движение этих объек тов рассматривается на интервалах времени, включающих моменты тес ных сближений с Землей и Юпитером. Уравнения промежуточного дви жения решаются с использованием универсальных переменных, приме нимых для любых типов возмущенных кеплеровских орбит. Изменение гравитационного параметра фиктивного центра подчиняется первому за кону Мещерского (п = 2). В качестве метода численного интегрирования дифференциальных уравнений выбран неявный одношаговый алгоритм Эверхарта 15-го порядка.

Эксперименты подтверждают теоретические выводы о высокой эффек тивности построенных нами промежуточных орбит при аппроксимации возмущенного движения. Точность аппроксимации с помощью промежу точных орбит в ближайшей окрестности эпохи оскуляции существенно (до нескольких порядков) выше по сравнению с оскулирующей кеплеров ской орбитой. При этом точность аппроксимации возрастает с увеличе нием порядка касания промежуточной орбиты. Результаты исследования показывают, что применение построенных орбит в методе Энке особенно выгодно при изучении движения малого тела вблизи больших возмуща ющих масс (планет, их спутников). Использование уравнений в отклоне ниях (8) в этих и других случаях возмущенного движения позволяет не только увеличить интервал времени между спрямлениями орбиты, но и избежать быстрого накопления ошибок округления в процессе численно го интегрирования. Это в свою очередь приводит к повышению точности вычислений и экономии машинного времени. Так сравнение обобщенных методов, использующих сверхоскулирующие орбиты, с классическим ме тодом Энке на примере прогнозирования сильновозмущенного движения указанной выше кометы на интервале 20000 суток показывает, что первые дают результаты, точность которых почти на порядок лучше. Затраты машинного времени при этом на 20-40% меньше.

Третья глава содержит новые численно-аналитические методы ре шения уравнений орбитального движения.

Глава начинается с изложения простых методов, основанных на по шаговой аналитической аппроксимации возмущенной траектории дугами оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит. Построение каждой последующей дуги опирается на данные, полученные в конце пре дыдущей, что соответствует стандартной схеме явного одношагового ме тода. Применение построенных нами промежуточных орбит в рамках этой схемы позволяет получить методы, порядок точности которых равен по рядку касания используемой орбиты. Решение задачи (1) на примере пер вого шага представляется с помощью формул yl=xl+e.fc', (9) yl = xl+sesh'-\ где —- порядок касания промежуточной орбиты. Индекс в скобках обозначает порядок производ ной по времени t. Формулы (9) имеют порядок точности р. В нашем случае р= 1,2,3.

Используя оценку локальной погрешности методов (9) по правилу Рун re, строятся методы второго, третьего и четвертого порядков с перемен ной длиной шага.

На примерах вычисления возмущенных орбит ряда малых планет и комет показывается, что перечисленные методы обладают целым рядом преимуществ по сравнению с классическим методом Рунге-Кутты чет вертого порядка и методом Рунге-Кутты-Фельберга четвертого (пятого) порядков.

Далее в главе конструируются новые экстраполяционные алгоритмы с переменной длиной шага и переменным порядком, использующие полу ченные пошаговые методы первого, второго и третьего порядков в качест ве опорных методов.

В соответствии с определением экстраполяционного метода (Хайрер и др., 1990) выбирается последовательность шагов где Н — основной шаг интегрирования, {п,-} — целые положи тельные числа, расположенные в порядке возрастания. Применяя метод (9), имеющий порядок р, с шагами {hi}, получим в конце основного шага набор решений С помощью этих решений строится интерполяционный полином для которого Значения полинома при (10) принимаются в качестве окончательного решения на момент Для получения решения (10) нами строится следующий рекуррентный алгоритм:

где Погрешность полиномиальной экстраполяции на основном шаге имеет вид U(*o + Я) - ТМ = (-l) f c a,-_ f c + l j f c E f c (o + H)HP+k-1 + 0(H"+k), (11) где и(*0 + Я) = {х(*о + Я),х(о + Я)}. (12) Первый член правой части (11) имеет порядок p+k, поскольку Б^(^о) = 0.

Отсюда следует, что точность аппроксимации решения (12) векторной ве личиной Ty ? fc соответствует методу порядка р+ k — 1.

Данная процедура экстраполяции применима для любого численного метода произвольного порядка р, лишь бы этот метод удовлетворял усло виям теоремы Грэгга (Хайрер и др., 1990).

Для оптимизации работы экстраполяционных алгоритмов осуществ ляется комбинированное управление порядком и длиной шага по заданной допустимой относительной погрешности метода на шаге. Приводятся все необходимые формулы.

С помощью численных примеров показывается, что при высоких тре бованиях к точности решения новые экстраполяционные алгоритмы по эффективности сравнимы с методом Рунге- Кутты -Фельберга седьмого (восьмого) порядков. С понижением требований к точности преимущест во экстраполяционных методов растет.

В четвертой главе речь идет об алгоритмах вычисления частных производных от текущих параметров движения по их начальным значе ниям и о применении этих производных в задаче улучшения орбит.

Дается описание новых аналитических методов вычисления частных производных с помощью дуг промежуточных орбит. Применяются орбиты с касанием первого, второго и третьего порядка при п = 2 (первый закон Мещерского вариации массы). Методы основаны на формулах, получа емых непосредственным дифференцированием выражений для решений уравнений промежуточного движения. Формулы для параметров проме жуточного движения и частных производных от этих параметров при менимы для любых типов возмущенных кеплеровских орбит. Они при менимы также и в тех случаях, когда масса притягивающего центра от рицательна. Вычисление частных производных на больших интервалах времени производится с помощью пошаговой процедуры в сочетании с обобщенными методами Энке или численно-аналитическими методами, изложенными в предыдущих главах. Если заданный временной интервал [о, t] произвольным образом разбит на N подынтервалов последователь ными промежуточными моментами ti,^---, tN-i, то приближенное ре шение для матрицы частных производных на конечный момент t = tjv представляется в виде Ф(Мо) = Ф(МлГ-1)Ф(*ЛГ-1,*ЛГ-2)---Ф(2,*1)Ф(*1,*о).

Разработанные нами алгоритмы точнее существующих аналогов, ос нованных на формулах для оскулирующей кеплеровской орбиты (Медве дев, 1986) и оскулирующей промежуточной орбиты с одним дополнитель ным параметром (Батраков, Мирмахмудов, 1990).

Для глобальной погрешности метода получена приближенная формула, «о) - Ф(«, *о) S СФ(, *о)(* - MW", (13) справедливая при малых фиксированных значениях шага h. Здесь Ф(, to) — точное решение для матрицы частных производных, С — матрица, компоненты которой выражаются через коэффициенты погрешности на рассматриваемом временном интервале, р -- порядок касания промежу точной орбиты. Таким образом, только в том случае, когда промежуточ ная орбита имеет касание выше первого порядка, точность вычисления матрицы Ф(*,о) всегда может быть улучшена путем увеличения чис ла разбиений интервала [о, t] на подынтервалы до тех пор, пока ошибки округления, неизбежные при машинных расчетах, не превзойдут ошибки метода.

Исследуется эффективность новых методов в сравнении с алгоритмом, использующим оскулирующую кеплеровскую орбиту. На практических примерах показывается, что численное поведение погрешности определе ния частных производных находится в хорошем согласии с формулой (13).

Приводятся результаты решения задачи дифференциального исправления орбит астероидов (1566) Икар, (4179) Тоутатис и (145) Адеона по данным наблюдений. Делается вывод о том, что даже в самых сложных случаях возмущенного движения алгоритмы, использующие сверхоскулирующие орбиты, позволяют определить дифференциальные коэффициенты услов ных уравнений с необходимой точностью. При этом затраты машинного времени по сравнению с численным интегрированием дифференциальных уравнений движения и уравнений в вариациях сокращаются в несколь ко раз.

Методы определения промежуточных возмущенных орбит по гранич ным условиям рассматриваются в пятой главе.

Излагается метод определения промежуточной орбиты по двум задан ным векторам положения и соответствующему интервалу времени. Здесь мы, как и в предыдущей главе, ограничиваемся случаем, когда гравита ционный параметр фиктивного центра изменяется в соответствии с пер вым законом Мещерского вариации массы. Строится промежуточная ор бита, для которой векторы положения и ускорения в опорные моменты времени t\ и t^ совпадают с заданными векторами положения xi и хз и вычисленными на их основе суммарными векторами ускорения GI и Сз соответственно. Кроме того требуется, чтобы положения фиктивно го центра на векторах GI и Сз (или на их продолжениях) в опорные моменты времени были на минимальном удалении друг от друга. Прос тые преобразования сводят задачу определения возмущенной орбиты к вычислению кеплеровской траектории в параметрическом координатном пространстве. Приводится доказательство того, что предельные значения параметров построенной орбиты при стремящемся к нулю опорном вре менном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием треть его порядка к реальной траектории. Отсюда следует, что скорость сходи мости к точному решению при сокращении опорного интервала времени в новом методе на два порядка выше, чем в традиционных методах, ис пользующих невозмущенную кеплеровскую орбиту. Выполнено сравнение точности аппроксимации реальной траектории Икара с помощью орбит, построенных нашим алгоритмом и методом Гаусса. Для малых опорных дуг траектории полученные оценки точности в нашем алгоритме на не сколько порядков лучше, чем в методе Гаусса.

Описывается новый метод определения предварительной орбиты по трем положениям малого тела на небесной сфере и соответствующим им моментам времени с учетом основной части возмущений. При разработ ке метода мы придерживались схемы, заложенной в основу классического метода Лагранжа-Гаусса, там, где это позволял выбранный нами подход.

Основное и принципиальное отступление от классической схемы заклю чается в том, что вместо невозмущенной кеплеровской орбиты строится промежуточная возмущенная орбита. Для построения последней исполь зуется описанный выше алгоритм определения орбиты по двум векторам положения. Обсуждаются результаты численных экспериментов по срав нению нового метода и метода Лагранжа-Гаусса. На примерах аппрок симации движения Икара по трем предварительно вычисленным точным угловым положениям показывается, что погрешности методов, основан ных на формулах невозмущенной задачи двух тел, становятся фиксиро ванными и не уменьшаются с сокращением опорной дуги траектории. Ме тодические ошибки предложенного автором способа определения орбиты в этих случаях уменьшаются прямо пропорционально квадрату опорно го интервала времени. Точность построенных новым способом орбит су щественно выше, чем точность орбит классического метода. Рассмотрены также примеры определения орбит по реальным наблюдениям Икара и его фиктивным угловым положениям, отягощенным погрешностями. В част ности показано, что, если бы точность наблюдений Икара при его откры тии в 1949 г. оценивалась величинами 0".1, 0".01 и 0".001, то эфемерида астероида, вычисленная на 1950 г. по параметрам нашей промежуточной орбиты, была бы точнее эфемериды, полученной по результатам приме нения метода Лагранжа-Гаусса, соответственно в 2, 10 и 100 раз. Исполь зование в классическом методе наблюдений, точности которых выше 1", становится формальным, поскольку методическая ошибка в этих случаях превышает по величине указанные точности.

И, наконец, шестая глава касается проблемы, которой отводится не маловажное место в современной небесной механике. Это проблема устра нения особенностей дифференциальных уравнений движения.

Обобщается подход В.Себехея (1976) к линеаризации и регуляризации уравнений движения задачи двух тел с помощью интегралов путем ввода дополнительно к временному преобразованию преобразования координат.

В процедуру линеаризации и регуляризации включаются все независимые интегралы движения задачи двух тел. В качестве примеров преобразова ний рассматриваются временное преобразование Сундмана и координат ное KS-преобразование (Штифель, Шейфеле, 1975), а также их обобщения, приводящие к уравнениям орбитального движения в трехмерном и че тырехмерном параметрических пространствах. Предложенная процедура преобразования дифференциальных уравнений применяется как к уравне ниям невозмущенного, так и возмущенного кеплеровского движения. При веденные системы дифференциальных уравнений не имеют особенностей при соударении с центральным телом.

Рассматривается движение малого тела в рамках возмущенной огра ниченной задачи трех тел. Дифференциальные уравнения движения от носительно центра масс основных тел с массами М и т/ записываются в виде (14) где у — вектор положения малого тела относительно начала координат, х и X;

— векторы положения малого тела относительно основных тел, -— вектор возмущающего ускорения. Вводится фик тивный центр с гравитационным параметром /LJ, расположенный на конце вектора Z. Уравнения движения малого тела относительно фиктивного центра представляются в форме где х, — известный вектор положения тела с массой по отношению к телу с массой М, Параметр ц и вектор Z выбраны таким образом, чтобы при соударении малого тела с любым из основных тел фиктивный центр совмещался с центром инерции тела, с которым происходит соударение, а масса центра становилась равной массе этого тела. При подборе величин а и использовано определение гравитационной сферы влияния. Уравнения движения (15) дополняются дифференциальным уравнением (16) с помощью которого находятся параметры движения фиктивного центра.

В результате применения регуляризирующего KS-преобразования и преобразования Сундмана dt = Rdr к уравнениям (15) и (16) получа ется система дифференциальных уравнений движения, которые являют ся квазилинейными в ближайшей окрестности любого из основных при тягивающих тел. Эти уравнения характеризуются существенно лучшим численным поведением при сближениях малого тела с основными тела ми, чем исходные уравнения движения (14). Вводятся дополнительные масштабирующие функции, с помощью которых осуществляется анали тическое выравнивание длины шага интегрирования при смене системы координат и при изменении массы притягивающего центра.

На примерах моделирования движения тел Солнечной системы пока зывается, что применение полученных уравнений в численных исследова ниях дает целый ряд преимуществ по сравнению с классическими нью тоновскими уравнениями. Эти преимущества особенно велики в задачах вычисления орбит с большими эксцентриситетами и при изучении дви жения малого тела в окрестности соударения с массивными телами и вы ражаются в повышении точности и быстродействия расчетов на ЭВМ.

В заключении перечисляются основные результаты, представленные в диссертационной работе.

В приложениях помещены таблица, два рисунка и формулы, допол. няющие материалы отдельных глав.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Концепция фиктивного притягивающего центра с переменной массой и разработанная на ее основе теория промежуточного движения.

2. Новые промежуточные орбиты с касанием первого, второго и третьего порядка.

3. Обобщенные методы Энке специальных возмущений.

4. Численно-аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, основанные на пошаговой аналитической аппрокси мации возмущенной траектории дугами промежуточных орбит и экстра поляции по Ричардсону.

5. Универсальный рекуррентный алгоритм вычисления элементов экст раполяционной таблицы.

6. Аналитические алгоритмы вычисления матрицы изохронных производ ных с помощью дуг оскулирующих и сверхоскулирующих промежуточных орбит.

7. Методы определения промежуточных возмущенных орбит по двум век торам положения и трем измерениям угловых координат.

8. Обобщенный подход к линеаризации и регуляризации дифференциаль ных уравнений движения с помощью интегралов.

9. Вывод уравнений движения возмущенной ограниченной задачи трех тел в регуляризирующих KS-переменных с использованием фиктивного притягивающего центра с переменной массой как центра регуляризации.

10. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов и программ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеров ского движения с помощью интегралов // Астрон. журн. 1991. Т. 68.

С. 197-205.

2. Шефер В.А. Комплекс программ для исследования движения асте роидов и комет, сближающихся с большими планетами // Труды всесоюз ного совещания (с международным участием) "Астероидная опасность".

10-11 окт. 1991 г. С.-Петербург, 1992. С. 126-128.

3. Shefer V.A. Equations of perturbed Keplerian motion in a quasi-linear form // Astron. and Astrophys. Trans. 1993. V. 4. P. 39-40.

4. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровско го движения в четырехмерном параметрическом пространстве // Астрон.

журн. 1993. Т. 70. С. 1113-1119.

5. Shefer V.A. Numerical algorithms and programs for investigation of motion of asteroids and comets closely approaching major planets // Astron.

and Astrophys. Trans. 1995. V. 8. P. 319-321.

6. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для ап проксимации возмущенного движения. Касание второго порядка // Аст рон. журн. 1998а. Т. 75. С. 945-953.

7. Шефер В.А. Сверхоскулирующие промежуточные орбиты для ап проксимации возмущенного движения. Касание третьего порядка // Аст рон. журн. 19986. Т. 75. С. 954-960.

8. Шефер В.А. Обобщенные алгоритмы Энке для вычисления возму щенных орбит // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики (доклады всероссийской научной конференции). Томск. 2-4 ию ня, 1998 г. Изд-во Томского университета. 1998. С. 175-176.

9. Шефер В.А. Обобщенные методы Энке для исследования возму щенного движения // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во ТГУ. 1998.

Вып. 16. С. 149-171.

10. Shefer V.A. Superosculating intermediate orbits and their application in the problem of ^investigation of the motion of asteroids and comets // The Dynamics of Small Bodies in the Solar System: A Major Key to Solar System Studies (NATO ASI Series) / Eds. A.E.Roy and B.Steves. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1999. P. 71-76.

11. Шефер В.А. Промежуточные орбиты с двумя параметрами для ап проксимации возмущенного движения // Астрон. вести. 2000. Т. 34.

С. 94-103.

12. Шефер В.А. Фиктивный притягивающий центр как центр регуля ризации в возмущенной ограниченной задаче трех тел // Фундаменталь ные и прикладные проблемы современной механики (доклады II всерос сийской научной конференции). Томск. 6 8 июня, 2000 г. Изд-во Томского университета. 2000. С. 133-134.

13. Schafer W.A. High-accuracy simulation of the motion of asteroids and comets. Numerical aspects // Planetary and Space Science. 2001. V. 49. N. 8.

P. 799-802.

14. Shefer V.A. Osculating and superosculating intermediate orbits and their applications // Celest. Mech, and Dyn. Astr. 2002. V. 82. P. 19-59.

15. Shefer V.A. Osculating and superosculating intermediate orbits: theory and applications // Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy / Ed.

T.B.Omarov. N.Y.: Nova Science Publ., Inc., 2002. P. 173-219.

16. Shefer V.A. Superosculating intermediate orbits and their applications to study the perturbed motion // Труды ИПА PAH. 2002. Вып. 8. Небесная механика. С. 155-156.

17. Shefer V.A. Determination of preliminary orbits including perturba tions // Труды ИПА РАН. 2002. Вып. 8, Небесная механика. С. 157-158.

18. Шефер В.А. Новые численно-аналитические методы решения урав нений орбитального движения // Астрон. вести. 2002. Т. 36. С. 565 576.

19. Sch&fer; W.A. Determination of perturbed orbits from two positions and three observations // Proc. of the Conf. "Asteroids, Comets, Meteors (ACM 2002)", 29 July - 2 August 2002, Berlin, Germany (ESA SP-500) / Ed. B.Warmbein. Noordwijk: ESA Publ. Div. 2002. P. 339-343.

20. Sch&fer; W.A. Semy-analytical methods for computing the orbits of asteroids and comets // Proc. of the Conf. "Asteroids, Comets, Meteors (ACM 2002)", 29 July - 2 August 2002, Berlin, Germany (ESA SP-500) / Ed. B.Warmbein. Noordwijk: ESA Publ. Div. 2002. P. 345-349.

21. Шефер В. А. Определение дифференциальных коэффициентов услов ных уравнений методом дуг сверхоскулирующих орбит // Фундаменталь ные и прикладные проблемы современной механики (доклады III всерос сийской научной конференции). Томск. 2-4 октября, 2002 г. Изд-во Том ского университета. 2002. С. 267-268.

22. Шефер В.А. Определение промежуточной возмущенной орбиты по двум векторам положения // Астрон. вести. 2003. Т. 37. С. 265-272.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты для начального участка дви жения // Определение координат небесных тел. Рига: Изд-во Латв. ГУ, 1981а. С. 3-10.

Батраков Ю.В. Промежуточные орбиты, аппроксимирующие началь ный участок возмущенного движения // Бюлл. ИТА АН СССР. 19816.

Т. 15. С. 1-5.

Батраков Ю.В., Мирмахмудов Э.Р. Промежуточные орбиты с одним параметром в задаче определения движения малого тела по наблюдениям // Аналитическая небесная механика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990.

С. 36-43.

Медведев Ю.Д. Об улучшении орбит комет, сближающихся с больши ми планетами, с учетом негравитационных эффектов // Л.: 1986. 9 с. / Деп. в ВИНИТИ 20.03.1986. N 2298-В86.

Рой А.Е. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981. 544 с.

Себехей (Szebehely V.). Linearization of dynamical systems using inte grals of the motion // Celest. Mech. 1976. V. 14. P. 499-508.

Скрипниченко Bill. О методе Шайка для расчета траекторий, допус кающих тесное сближение с возмущающим телом // Материалы симпози ума "Динамика малых тел Солнечной системы", Баку, 12-14 июня 1968.

Баку: "ЭЛМ", 1970. С. 9-10.

Хайрер Э., Нерсетт С., Боннер Г. Решение обыкновенных дифферен циальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

Шайх (Shaikh N.A.). A new perturbation method for computing Earth Moon trajectories // Astronaut. Acta. 1966. V. 12. P. 207-211.

Штифелъ Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика.

М.: Наука, 1975. 304 с.