М.в.ломоносова государственный астрономический институт им. п.к.штернберга на пpавах pукописи удк 524.8; 530.12 петров александр николаевич теория нелинейных возмущений в метрических моделях гравитаци

им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

им. П.К.ШТЕРНБЕРГА

На пpавах pукописи

УДК 524.8;

530.12

ПЕТРОВ Александр Николаевич

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В

МЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ГРАВИТАЦИИ И ЕЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ В КОСМОЛОГИИ И АСТРОФИЗИКЕ

Специальности:

01.03.02 Астрофизика и Радиоастрономия 01.04.02 Теоретическая Физика Автореферат диссеpтации на соискание ученой степени доктоpа физико-математических наук Москва 2006 Работа выполнена в отделе релятивистской астрофизики Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Алексеев Георгий Андреевич (Математический институт имени Стеклова РАН) Доктор физико-математических наук Лукаш Владимир Николаевич (Астрокосмический центр ФИАН) Доктор физико-математических наук Чернин Артур Давидович (Государственный астрономический институт имени П.К.Штернберга МГУ имени М.В.Ломоносова) Ведущая организация:

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы Защита состоится 5 октября 2006 г. В 14 часов на заседании диссертационного совета при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, шифр Д 501.001.86.

Адрес: 119992, Москва, Университетский проспект, 13, ГАИШ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государставенного астрономического института им. П.К.Штернберга МГУ (Москва, Университетский проспект, 13, ГАИШ МГУ).

Автореферат разослан „ “ 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук АЛЕКСЕЕВ С.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Во многих задачах современных космологии и релятивистской асторо физики исследуются возмущения в фоновом пространстве-времени. В качестве гравитационной теории главным образом используется общая теория относительности (ОТО), а в последнее время все чаще и другие метрические теории гравитации как в 4-мерии, так и в других измерени ях. Обычно фоновое пространство-время предстaвляет собой какое-либо известное решение гравитационной теории, чаще космологическое или решение для черных дыр. Рассматриваются как материальные, так и метрические возмущения, в том числе и гравитационные волны. Само исследование состоит в изучении эволюции возмущений: их генерации, распространения, устойчивости, взаимодействия.

Отдавая должное результатам этих исследований, которые невозмож но переоценить, необходимо отметить следующее.

• Часто рассматривается лишь линейное приближение, без учета об ратного действия возмущений, в то время как точность современных наблюдений в космосе требует более детальных рассчетов.

• Часто используется лишь плоский фон или фон с очень ограничи вающими симметриями, либо фоновое пространство-время вводится лишь в окрестности замкнутой поверхности для определения квази локальной величины, либо вводится лишь фоновое пространство, но не пространство-время, и т.д..

• Часто используются дополнительные предположения, и поэтому не ясно какие из результатов имеют общую значимость, а какие мо гут измениться при изменении предположений. Например, может ли подход использованный для одного фона использоваться для дру гого, можно ли использовать различные системы координат, и т.д.

• Используются различные отображения возмущенного пространтст ва-времени на фоновое, то есть различные фиксации калибровочных свобод для возмущений. Не всегда ясно, когда различный выбор мо жет повлиять на результаты, а когда нет, как различные калибровки связаны между собой.

Существенную роль в исследованиях играют такие характеристики возмущенной системы как энергия, импульс, угловой момент, их плотно сти, законы сохранения для них. Однако существует объективная труд ность в определении этих величин. Хорошо известно, что в ОТО, и мет рических теориях вообще, определение плотности энергии и других со храняющихся величин не является однозначным, в отличие от аналогич ных определений в „обычных“ полевых теориях (таких, например, как электродинамика) в пространстве Минковского. С геометрической точки зрения причина проблемы состоит в двойственной роли пространства времени, которое, с одной стороны, арена для физических взаимо действий, на которой обычно и определяются сохраняющиеся величины, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во взаимодействиях. С точки зрения основания гравитационной теории, проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности.

Начиная с работ Эйнштейна эта ситуация интерпретируется как нело кализуемость энергии и других сохраняющихся величин в метрических теориях гравитации и считается особым свойством теории. Оно проявля ется в том, что гравитационное взаимодействие, а следовательно и гра витационное поле, дает вклад в энергетические характеристики гравити рующей системы, но этот вклад определяется лишь нелокально. Таких образом, теоретические исследования в основном велись и ведутся по изучению интегралов движения (глобальных сохраняющихся величин), например, таких как энергия. Интегрирование производится в ограни ченной конечной области пространства или во всем пространстве, ска жем, для островных систем. Большое внимание уделяется квазилокаль ным характеристикам, которые рассчитываются для конечного объема и полностью определяются условиями на его границе. С другой стороны, для исследования возмущений в космологии и астрофизике, наоборот, остаются важными локальные характеристики.

После создания ОТО предложено множество определений сохраняю щихся величин. Были выработаны несколько теоретических тестов, огра ничивающих неопределенность в этих определениях. Так, рассчеты долж ны давать стандартную массу для черных дыр, правильное значение уг лового момента в решении Керра, стандартные потоки для энергии и импульса в решении Бонди, положительную плотность энергии для сла бых гравитационных волн на плоском фоне.

• Однако часто трудно найти связь между различными определени ями, иногда они противоречат друг другу, часто они не связаны с описанием возмущений, и, как правило, невозможно понять как проявляет себя нелокализуемость, более часто определяются толь ко нелокальные величины.

Поэтому, представляется важным определить сохраняющиеся величи ны в рамках единого подхода с описанием возмущений. Поскольку нель зя объективно избежать проблемы нелокализуемости, необходимо дать конструктивный математический аппарат для ее рассчетов. Также важ но дать связь локальных величин с глобальными и квазилокальными.

Цель работы.

Исходя из актуальности изложенных выше проблем в исследованиях воз мущений на заданном фоне очевидна необходимость единого описания, в рамках которого одновременно требуются:

(а) ковариантность;

(б) возможность использовать произвольно искривленное фоновое про странство-время;

(в) самосогласованные правила – для построения возмущенных уравнений, – для построения сохраняющихся величин и законов сохранения для них;

при этом необходимо дать конструктивный математи ческий аппарат для рассчета нелокализуемости, и дать связь локальных величин с глобальными или квазилокальными.

(г) определение калибровочных преобразований для возмущений и их действия на возмущенные уравнения и сохраняющиеся величины;

(д) точная (нелинейная) формулировка возмущенных уравнений, со храняющихся величин (и законов сохранения для них), калибро вочных преобразований;

это дает возможность получить и исполь зовать любой порядок при разложениях;

(е) простые рекомендации для приложений.

Чтобы удовлетворить требованиям (а) (е) необходимо разработать комплексный и обобщенный подход, использование которого приводит к представлению метрических гравитационных теорий в виде точной тео рии возмущений в произвольно искривленном фоновом пространстве времени. Такая переформулировка гравитационной теории должна об ладать всеми свойствами и атрибутами „обычных“ полевых теорий на фиксированнном фоне, описание которых основанно на принципе наи меньшего действия. Роль динамического поля должна играть совокуп ность всех возмущений полевая конфигурация. Такая теория, будучи лишь переформулировкой, должна быть эквивалентна исходной метри ческой теории и мы будем называть ее теоретико-полевой (или просто полевой) формулировкой гравитационной теории, в отличие от исходной метрической (или геометрической) формулировки.

Таким образом, цель исследования настоящей диссертации состоит в разработке нового направления в физике гравитационного поля, разви тие которого приводит к построению теоретико-полевых формулировок метрических теорий гравитации. Существенно большее внимание будет уделяться ОТО, поскольку она остается самой востребованной теорией гравитации. Целью является также использование возможностей разви того метода для решения некоторых важных задач космологии и астро физики, и теоретических проблем гравитационной физики.

Направление и обоснование исследований, постановка задач.

Для достижения поставленных выше целей ставятся конкретные зада чи, сформулированные ниже. Изучение возмущений в ОТО и других гравитационных теориях началось с работ Эйнштейна и имеет длитель ную историю. Представлены многочисленные и разнообразные подходы, поэтому, естественно, наше исследование является продолжением работ предшественников. Из них в большей мере соответвуют требованиям (а) (е) два следующих подхода.

Первый из них существенно использует каноническую процедуру Н е тер, поэтому часто называется каноническим. В рамках ОТО он раз вит на произвлольно искривленных фонах и в точной форме Кацем, Бичаком и Линден-Беллом, 1997 год. Их законы сохранения µ J µ = представлены дифференциально сохраняющимися токами, векторными плотностями, J µ. Они в свою очередь выражаются через дивергенции от суперпотенциалов, антисимметричных тензорных плотностей, J µ :

J µ = J µ. (1) Эта форма как раз дает связь между локальными величинами, посколь ку токи J µ существенным образом выражаются через тензор энергии импульса, и нелокальными величинами, поскольку интегрирование пра вой части (1) ведет к поверхностным интегралам. В качестве векторов смещений могут использоваться произвольные векторы, а не только фо новые векторы Киллинга. При всех достоинствах канонического подхода Каца, Бичака и Линден-Белла 1) не исследованы калибровочные свой ства возмущенных систем;

2) поскольку изначально используется бимет рическая форма, то есть возмущения не вводятся явно, то разложения нужно делать независимо от самого построения;

3) как в любом канони ческом подходе, сохраняющиеся величины существенно зависят от дивер генций в лагранжиане, а значит от граничных условий при варьировании действия. Существуют задачи, где такое определение необходимо и есте ственно. Однако важно иметь более универсальные величины, которые не зависит от граничных условий.

Второй подход основан на построении законов сохранения для сим метричного (метрического) тензора энергии-импульса всех возмущений, включая метрические, ttot, определение которого не зависит от гранич µ ных условий. Мы называем этот подход симметричным, в его развитии ключевую роль сыграла работа Дезера 1970 года. Он представил воз мущеные уравнения Эйнштейна в формализме 1-го порядка на плоском фоне в точном (без приближений) и замкнутом (без итераций) виде:

GL = ttot, (2) µ µ где слева линейное по метрическим возмущениям выражение. Позднее нами на основании этих результатов симметричный подход был развит для произвольно искривленных фонов, в его рамках детально исследо ваны калибровочные свойства, а уравнения выведены сразу в возмущен ной форме. В этом заключаются одни из основных результатов автора, представленных в его кандидатской диссертации „Лагранжево и гамиль тоново описание релятивистского гравитационного поля“ и защищенных в 1988 году. Однако, 1) законы сохранения были построены лишь для ограниченного класса искривленных фонов, не включающего важные космологические решения, 2) не были построены законы сохранения с использованием суперпотенциалов.

Оба подхода это различные методы в рамках одной и той же тео рии, в данном случае ОТО, каждый из них дополняет другой и между ними должна существовать связь. Поэтому, чтобы представить ОТО в законченой теоретико-полевой формулировке ставится общая задача • объединить канонический и симметричный методы.

Эта задача включает в себя более конкретные задачи, кроме того, каж дый подход имеет собственные перспективы.

Сначала обсудим задачи в развитии симметричного подхода в ОТО самого по себе. Начиная с работы Дезера 1970 года в основном использу ется определение метрических возмущений (динамического поля) в виде возмущения контравариантной метрической плотности µ = gg µ gg µ. Именно с использованием этого определения l проведены большинство исследований в настоящей диссертации. Одной из главных ставится задача • в терминах возмущений µ построить сохраняющиеся токи выра l женные через дивергенции от суперпотенциалов на произвольно ис кривленных фонах и для произвольных векторов смещений.

Также симметричный подход может быть развит в терминах возмуще ний других (кроме gg µ ) метрических переменных, таких как g µ, gµ, (g)g µ и т.д.. Боульвар и Дезер в 1975 году отметили, что из-за этой разницы в определении возмущений возникает неопределенность в определении симметричного тензора энергии-импульса гравитационного поля. До сих пор эта проблема не была решена. В связи с этим ставится задача • для различных определений метрических возмущений: 1) выписать возмущенные уравнений Эйнштейна, 2) построить сохраняющиеся токи и суперпотенциалы, 3) исследовать соотношения между раз личными вариантами, и 4) в конечном итоге разрешить неопреде ленность Боульвара-Дезера.

Далее, поскольку существует необходимость исследовать не только ли нейные, но квадратичные и следующие порядки по возмущениям, мы ставим задачу • представить конструктивный алгоритм в каждом порядке 1) для по строения возмущенных уравнений и 2) для действия калибровочных преобразований.

В силу того, что полевая формулировка ОТО обладает свойствами обыч ных калибровочной теорий, должна существовать возможность • построить полевую формулировку ОТО с помощью методов стан дартных калибровочных теорий, то есть как результат локализации каких-либо параметров.

Мы рассматриваем и эту задачу. Это важно как теоретическое исследо вание возможностей метода, а также для сравнения ОТО с калибровоч ными теориями типа Янга-Миллса.

Обращаясь к каноническому подходу, отмечаем, что для построения углового момента кроме тензора энергии-импульса, как правило, необхо димо участие спинового члена. Но для определения всех сохраняющихся величин часто более предпочтительно использовать единый объект симметричный тензор энергии-импульса. В обычных „полевых” теориях в пространстве Минковского для симметризации используют классиче ский метод Белинфанте. Он же определяет связь симметричного и ка ноническского подходов. Поэтому мы поставили следующие задачи:

• Обобщить процедуру Белинфанте для использования в полевой фор мулировке ОТО на произвольно искривленном фоне. Затем приме нить ее для „симметризации” известных канонических законов со хранения в ОТО. Как ожидается, симметризованные суперпотенци алы и сохраняющиеся токи не должны зависеть от введения каких либо дивергенций в лагранжиан системы, а также от явного исполь зования спинового члена.

• Исследовать связь симметризованных методом Белинфанте вели чин с новыми токами и суперпотенциалами полученными в рамках симметричного подхода в ОТО.

Учитывая огромный современный интерес к многомерным теориям гра витации, к космологическим сценариям в моделях с бранами, к сопут ствующим эффектам и проблемам, мы ставим задачу • разработать теоретико-полевой подход для описания произвольной метрической теории гравитации (ей может быть, например, как 4 мерная, так и D-мерная теория Эйнштейна, многомерная модель Эйнштейна-Гаусса-Боне, какая-либо скалярно-тензорная теория, и т.д.): 1) представить обобщенные возмущенные уравнения, 2) по строить симметричные (метрические), канонические, и Белинфанте симметризованные сохраняющиеся величины и законы сохранения для них, 3) исследовать связь различных определений.

При построении токов и суперпотенциалов в ОТО, как и другой кон кретной теории, всегда встает вопрос о единственности этих построений.

Поэтому мы ставим задачу • использовать обобщенные результаты предыдущего пункта для ис следования проблемы единственности построенных нами сохраняю щихся величин в ОТО.

Для полученных теоретических результатов важно найти конкретные приложения, к обсуждению которых мы переходим. Широко известно, что модель асимптотически плоского пространства-времени в ОТО иг рала и играет важную роль в гравитационнной физике. Она также во многих случаях представляет островную систему в астрофизике. Для приложений теоретико-полевых методов эта модель интересна, посколь ку 1) асимптотически она естественно рассматривается в виде полевой конфигурации на фоне плоского пространства-времени, которое опре деляется самой моделью;

2) само плоское пространство-время, в свою очередь, обладает 10-ти параметрической группой движений, что важно для определения глобально сохраняющихся величин. Таким образом, для асимптотически плоского пространства-времени, имея в виду определе ния сохраняющихся величин и технику калибровочных преобразований в полевой формулировке ОТО, cтавятся задачи:

• Как в лагранжевом, так и в гамильтоновом описании построить все 10 глобально сохраняющихся величин на пространственной беско нечности, исследовать их инвариантность относительно калибровоч ных преобразований, и на основании этого получить наислабейшие, гарантирующие инваринтность глобальных величин, условия паде ния для гравитационных потенциалов.

• Определить связь между квазилокальными определениями энергии и интеграла центра масс Брауна-Йорка и соответствующими стан дартными каноническими определениями, основанными на резуль татах Арновитта-Дезера-Мизнера.

• Используя новые законы сохранения полученные нашим методом определить энергию, импульс и их потоки на изотропной бесконеч ности для решения Бонди, и сравнить со стандартными.

Интегральные связи в ОТО это соотношения, где итегралы по огра ниченному объему от некоторых величин, построенных только из мате риальных возмущений, определяются поверхностными интегралами по границам этого же объема, где задаются лишь гравитационные возму щения, и основную роль в них играют интегральные связевые векторы.

Трашен в 1985 году в рамках фридмановских моделей построила 4 но вых таких вектора (в добавок к уже известным 6-ти) и соответствующие им связи. Наши новые законы сохранения имеют форму (1) и их инте грирование как раз приводит к соотношениям связывающим объемные интегралы с поверхностными. Поэтому ставится задача с их помощью • построить интегральные связи для космологических возмущений на фридмановском фоне с каждым из знаков кривизны, сравнить их с известными и выявить новые связи с новыми векторами.

Для развития нового метода в теории и для развития самой теории важно его использовать в приложении к известным решениям. В ОТО такими решениями являются, в частности, решения для черных дыр, без которых невозможно представить развитие современной астрофизи ки. Однако, существуют важные методологические и интерпретацион ные проблемы, связанные с ними. Таковыми в ОТО являются описание точечной массы и интерпретация дефекта масс. Наш подход позволяет исследовать эти проблемы, поэтому мы ставим задачу • построить полевую конфигурацию в плоском фоновом пространс тве-времени, представляющую произвольное статическое сфериче ски симметричное решение ОТО, а в частности, решения Шварц шильда и Рейснера-Нордстрма. Исследовать для нее распределе е ние энергии, с использованием свойств которого решить описанные выше методологические проблемы.

Учитывая интерес к многомерным моделям и используя новые формулы мы ставим задачу • в рамках D-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне построить поле вую конфигурацию для черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситте ра на фоне решения анти-де Ситтера и рассчитать ее массу.

Известно, что в теоретико-полевом описании, калибровочные преобразо вания изменяют траектории частиц на фоне. В линейном приближении этот эффект был отмечен Машхуном и Грищуком в 1980 году. В связи с необходимостью в астрофизике изучать движение частиц в окрестности релятивистских объектов важно исследовать этот эффект точно. Поэто му ставится задача • описать калибровочные преобразования траекторий в общих тер минах, затем показать как под действием калибровочных преоб разований изменяются траектории пробных частиц в окрестности горизонта шварцшильдовой черной дыры, представленной полевой конфигурацией на плоском фоне.

Если в действие ОТО специальным способом ввести фоновую метри ку до варьирования, то сама теория изменяется по существу. Одной из таких модификаций ОТО является унимодулярная теория гравитации, где, в отличие от обычной ОТО, космологическая постоянная возникает как константа интегрирования уравнений. Квантовые варианты космо логических моделей на основе унимодулярной теории могут оказаться полезными для описания недавно открытого ускоренного расширения Вселенной и связанных с ним теоретических проблем. Исходя из это го в терминах метода фонового пространства-времени в общем, но не в рамках возмущенной формулировки ОТО, ставится задача • исследовать новые возможности построения унимодулярной теории гравитации.

Результаты, выносимые на защиту.

Все поставленные выше задачи успешно разрешены. В результате впер вые в мире в исследованиях по гравитационной физике (включая ОТО) в максимально полной форме разработан единый и самосогласованный подход в исследовании возмущений. Он основан на совокупности тео ретических положений, при использовании которых метрическая тео рия гравитации без изменения физического содержания представляется в виде точной теории возмущений в заданном произвольно искривлен ном фоновом пространстве-времени. Совокупность возмущений играет роль динамической полевой конфигурации. Эта формулировка, опираясь на принцип наименьшего действия, обладает всеми атрибутами полевой теории на фиксированном фоне: лагранжианом и действием, полевыми уравнениями, калибровочными свободами, сохраняющимися величинами и законами сохранения для них. Во многом исследование было вызвано необходимостью комплексного и полного метода для изучения возмуще ний в космологии и астрофизике. Как мы показали, его результаты, дей ствительно, являются очень важным и полезным в таких приложениях.

Ниже мы перечисляем важные и оригинальные результаты, полученные в рамках развитого подхода, и которые выносятся на защиту.

1. ОТО представлена в теоретико-полевой форме, то есть в виде точ ной теории полей возмущений на фоне произвольно искривленно го пространства-времени. Построены новые сохраняющиеся величи ны: токи и суперпотенциалы, которые а) удовлетворяют существу ющим тестам;

дают б) конструктивное описание нелокализуемости, в) связь локальных и глобальных характекристик, и г) включают произвольные векторы смещений.

2. Разработан оригинальный метод локализации векторов Киллинга фона, аналогичный локализации параметров какой-либо группы при построении стандартных калибровочных теорий. В результате его применения ОТО построена, как теория типа Янга-Миллса.

3. Процедура симметризации Белинфанте обобщена как для произ вольных фонов, так и для произвольной метрической теории. Ее применение завершило построение теории возмущений в ОТО.

4. (i) Разработан теоретико-полевой подход для произвольной метри ческой теории. Построены метрические, канонические и Белинфан те преобразованные токи и суперпотенциалы. Как приложения а) доказано, что новые сохраняющиеся величины в ОТО однозначно определены выбором лагранжиана;

б) в D-мерной модели Эйнштей на-Гаусса-Боне рассчитана масса для решения Шварцшильда-анти де Ситтера. (ii) Найдены расширенные возможности в построении унимодулярной теории гравитации, одного из претендентов на объ яснение ускоренного расширения Вселенной. Это очень важно в све те современных космологических наблюдательных данных.

5. Для островной модели в ОТО (одной из самых важных, посколь ку она представляет гравитационное поле многих астрофизических объектов) исследована полевая конфигурация: (i) на пространствен ной бесконечности а) найдена максимально слабая асимптотика, б) доказана эквивалентность определения центра масс в каноническом и квазилокальном подходах;

(ii) на изотропной бесконечности рас считаны полные энергия, импульс и их потоки.

6. На космологических фонах Фридмана при k = 0, ±1 и с использо ванием конформных векторов Киллинга найдены и проанализиро ваны новые интегральные связи для материальных и метрических возмущений.

7. Описание астрофизических объектов, таких как черные дыры, полу чено с помощью полевых конфигураций в пространстве Минковско го. Представлены: а) распределение энергии, где б) истиная сингу лярность трактуется как точечная частица;

в) калибровочная за висимость траекторий пробных частиц, не исключая окрестности горизонта событий;

г) непротиворечивая трактовка дефекта масс.

Некоторые из этих результатов могут быть использованы для изу чения генерации гравитационных волн черными дырами.

Научная новизна Содержание настоящей диссертации представляет собой законченный этап исследований и выражает новое научное направление. Впервые как ОТО, так и произвольная D-мерная метрическая теория гравитации представлены в виде полной самосогласованной и замкнутой теоретико полевой форме в заданном произвольно искривленном фоновом прост ранстве-времени. В рамках разработанного подхода построены новые точные законы сохранения для возмущений на произвольно искривлен ных фонах с участием новых сохраняющихся токов и соответствующих новых суперпотенциалов. Новые законы сохранения исследованы теоре тически, использованы в космологических приложениях, для изучения свойств решений важных в астрофизике. Все результаты, которые кон кретно изложены в 7-и пунктах результатов вынесенных на защиту, являются оригинальными и впервые опубликованны в работах автора.

Подчеркнем новизну как некоторых результатов, так и методов.

• Впервые калибровочные преобразования на произвольно искривлен ных фонах в рамках единого описания представлены точно в нашей работе [1], а алгоритм использования легко представляется в разло жениях и распространяется на 2-й и следующие порядки, что суще ственно облегчает соответствующие вычисления.

• Впервые в качестве „параметров“ для локализации используются векторы Киллинга.

• Впервые при исследовании асимптотики гравитационных потенци алов для асимптотически плоского пространства времени на про странственной бесконечности используются калибровочные преоб разования с включением второго порядка по возмущениям.

• Впервые показано, что в рамках полевой формулировки ОТО да же разрыв траектории пробной частицы в фоновом пространстве времени может оказаться результатом „плохой“ фиксации калибро вочных свобод.

• Впервые показано, что возмущения могут быть описаны не толь ко в присутствии физически „разумных” фонов, но, казалось бы, и в неподходящих ситуциях, таких как использование пространства Минковского в окрестности горизонтов черных дыр, и даже при описания истиных сингулярностей черных дыр.

• До наших исследований не было обобщений процедуры симметриза ции Белинфанте в ОТО для произвольно искривленных фонов и не были известны следующие результаты такой симметризации. Ока залось, что в общем случае: 1) „Симметризованый“ тензор энергии импульса не будет симметричным, 2) кроме того, ковариантная ди вергенция от него не равна нулю на полевых уравнениях. 3) Но при построении тока оба „дефекта“ компенсируются и ток оказывается сохраняющимся. 4) Форма сохраняющихся величин не зависит от граничных условий при варьировании действия.

• Впервые в рамках возмущенной произвольной D-мерной метриче ской теории гравитации построены а) преобразованные обобщенным методом Белинфанте суперпотенциалы, б) линейные по возмущени ям суперпотенциалы в рамках симметричного подхода. Оба класса суперпотенциалов не зависят от граничных условий. Это важно в связи современным большим интересом к космологическим сцена риям в моделях с бранами.

Научная и практическая значимость, перспективы исследований.

На настоящий момент нет ни теоретических ни экспериментальных дан ных, заставляющих сомневаться в правильности ОТО как классической теории. Она служит одним из главных инструментов для изучения про блем современной астрофизики, космологии и теоретической физики.

Как следствие становится необходимым и развитие самой ОТО. Именно этому посвящена бльшая часть диссертации, а определенным вкладом о в развитие ОТО являются предложенные результаты. Большая часть результатов получена для произвольной D-мерной метрической модели гравитации, что очень важно в связи с актуальностью и перспективно стью решения сопутствующих проблем.

Симметричный и канонический подходы являются самыми популяр ными для исследования возмущений в ОТО, а также являются самыми известными и имеют самую длительную историю в постороении законов сохраненя в ОТО. Канонический подход был использован Эйнштейном с самого создания ОТО. Однако лишь в 1997 году законы сохранения для произвольных фонов и произвольных векторов смещений в рамках канонического подхода были представлены Кацем, Бичаком и Линден Беллом. Симметричный подход получил развитие с конца 40-х годов про шлого века. В результате нашего исследования на основании симметрич ного подхода, начатого нами в кандидатской диссертации и оконченого в настоящей работе, программу построения полевой формулировки ОТО следует считать завершенной. Построены законы сохранения для самых общих ситуаций, разрешены неопределенности.

Изначально канонический и симметричный подходы имеют вполне различные обоснования. Наши результаты показывают, что метод Бе линфанте в ОТО является „мостом“ между этими двумя исторически различными подходами для самых общих фонов и векторов смещений и буквально превращает законы сохранения канонического подхода в за коны сохранения симметричного подхода, т.е., мы связали оба подхода в единый.

Таким образом, ОТО предсталена в новой точной, и теперь завершен ной теоретико-полевой форме со всеми важными для полевой теориии атрибутами описанными выше. Та же самая программа была представ лена для произвольной метрической теории в различных измерениях.

Новые научно-теоретические результаты уже были использованы в качестве следующих приложений:

• для исследования конкретных моделей, таких как решения для чер ных дыр, замкнутый мир Фридмана, решение Швацшильда-анти-де Ситтера в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Боне;

• для исследования асимптотически плоского пространства-времени, представляющего островные системы как на пространственной, так и на изотропной бесконечности;

• для исследования возмущений на фоне решения Фридмана с раз личными знаками кривизны;

• в построении квантовой механики с неклассическим гравитацион ным самодействием, в рамках которой проанализированы некото рые модели инфляции.

Это позволяет сделать вывод о больших возможностях развитого нами метода в последующих приложениях.

Выражение токов через дивергенции от суперпотенциалов дает связь между описанием локальных возмущений и построением глобальных и квазилокальных сохраняющихся величин для них, выраженных через поверхностные интегралы. Именно это дало возможность построить ин тегральные связи на фридмановском фоне для космологических возму щений. Универсальность новых законов сохранения открывает перспек тиву подобных исследований с другими фонами, такими как (анти-)де ситтеровский, с другими векторами смещений.

В связи с недавним открытием ускоренного расширения Вселенной большую популярность в космологии приобретают исследования с тео риями гравитации отличными от ОТО. В частности, это разнообразные метрические теории, многомерные теории. Наши законы сохранения по строенные для произвольной полевой теории с успехом могут быть ис пользованы в описании возмущений во многих из них.

Полученные нами глобальные и квазилокальные сохраняющиеся ве личины, выраженные через поверхностные интегралы, имеют прямую связь с результатами многих современных теоретических методов. Пред полагается исследовать ее, в результате чего ожидается взаимное разви тие каждого из подходов.

Детально разработанная техника калибровочных преобразований ока залась очень продуктивной. Результаты, полученные в для асимптотиче ски плоского пространства-времени на пространственной бесконечности в значительной степени получены благодаря ее использованию до второ го порядка по возмущениям включительно. Предполагаются аналогич ные исследования на изоторопной бесконечности, где будет исследован вопрос о наислабейших условиях падения для гравитационных потенци алов, а также ожидается получить полезные результаты, связанные с проблемой супертрансляционной неопредленности.

Представляется полезным развивать в космологии стройную систему исследования калибровочных свобод не только в линейном, но и следую щих порядках по возмущениям. Недавно для возмущений на фридманов ском фоне в линейном приближении без разложения на гармоники и без стандартного разложения на пространственно-скалярные, -векторные и -тензорные части была найдена калибровка, в которой система сцеплен ных уравнений разделяется на отдельные уравнения для каждой из ком понент. Наш подход описывает эти результаты существенно проще и яс нее, чем в оригинальном изложении. Более того, ожидается, что с ис пользованием техники наших калибровочных преобразований такое раз деление будет получено в квадратичном и следующих порядках.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах 1) ГА ИШ МГУ;

2) ИЯИ РАН;

3) ВНИИМС;

4) Меж-университетского центра по астрономии и астрофизике, Пуна, Индия;

5) Национального универси тета в Чунли, Тайвань;

6) Университета Миссури-Колумбии, штат Мис сури, США;

а также на Российских и Международных конференциях:

1. „8-я Российская гравитационная конференция“ (Пущино, 1993);

2. „Международная конференция по гравитации и космологии - (ICGC95)“ (Пуна, Индия, 1995);

3. „Международная конференция по общей теории относительности памяти Марселя Гроссмана - 8 (MG8)“ (Иерусалим, Израиль, 1997);

4. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 15 (GR15)“ (Пуна, Индия, 1997);

5. „Международная конференция по физической интерпретации реля тивистской теории - VI (PIRT-VI)“ (Лондон, Англия, 1998);

6. „10-я Российская гравитационная конференция“ (Владимир, 1999);

7. „Ломоносовкие чтения“ (Москва, ГАИШ МГУ, 1999);

8. „Международный семинар по гравитации и космологии в честь проф.

Дж. Каца“ (Иерусалим, Израиль, 1999);

9. „Международный семинар по геометрической физике“ (Чинчжу, Тай вань, 2000).

10. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 16 (GR16)“ (Дурбан, Южная Африка, 2001).

11. „Международная конференция по гравитации и астрофизике - (ICGA-2001)“ (Москва, РУДН, 2001).

12. „Международная конференция по общей теории относительности и гравитации - 17 (GR17)“ (Дублин, Ирландия, 2004).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 26 работ, приведенных в конце авто реферата, 22 из них в ведущих отечественных и зарубежных рецензи руемых журналах, 4 это [17, 18, 23, 24] в рецензирумых сборниках.

Из 26-ти работ 13 выполенено без соавторов. Слелано более десяти на учных докладов на Российских и Международных конференциях, боль шинство из которых отражено в тезисах этих конференций.

Вклад автора в проведенное исслледование.

Все объявленные 7 пунктов результатов получены непосредственно ав тором диссертации, благодаря его идеям и с помощью рассчетов, про веденных непосредственно им. Если они относятся к совместным рабо там, то получены с его доминирующим участием. Таким образом, ре зультаты некоторых совместных работ не полностью вошли в диссерта цию. Теперь, более конкретно, отметим участие автора диссертации в совместных работах. Первая работа [1] выполнялась под руководством Л. П. Грищука, и, соответственно, идея и контроль за направлением ис следования принадлежат ему. Автору диссертации принадлежат фак тически все рассчеты, и несколько небольших идей. Идея работы [2] принадлежит совместно Л. П. Грищуку и автору, рассчеты в основном сделаны автором. Идея работы [3] и рассчеты в основном принадлежат сискателю. Результаты относящиеся к работам [4, 5] получены совмест но с А. Д. Поповой в равной мере. Мы включаем работы [9, 10, 12, 13] в список работ автора диссертации, поскольку в них автор принимал ак тивное участие, используются методы разработанные в диссертации, чем были продемонстрированы их большие возможности. Однако, идеи и ре зультаты этих 4-х статей принадлежат в большей части А. Д. Поповой, поэтому они не включены в результаты вынесенные на защиту в настоящей диссертации. В работе [15] как ее идея, так и ее исполнение в основном принадлежат соискателю. В совместных работах [17, 19], идея построить новый суперпотенциал и непосредственно его открытие при надлежат соискателю. Построение новых интегральных связей относится к работе [19] и выполнено в равной мере совместно с Дж. Кацем. Иссле дование на изоторопной бесконечности также относится к работе [19] и выполнено только соискателем. Из совместной работы [20] использована лишь та часть, идея которой и ее выполнение принадлежат соискателю, за исключением решения проблемы вложенния, которая была решена совместно с Д. Баскараном.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из 8 Глав, из которых 6 основные, а первая и по следняя это Введение и Заключение, соответственно. Главы делятся на Разделы, а Разделы на Пункты. Также диссертация содержит Оглавле ние и Список литературы, включающий 473 наименования. Содержание диссертации изложено на 375 страницах, включая 8 рисунков на 8-ми страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Изложение диссертации построено в соответствии с логикой вычисле ний, со связью предшествующих результатов с оригинальными, получен ными соискателем. Поэтому последовательность получения результатов в диссертации не всегда совпадает с последовательностью результатов вынесенных на защиту.

В Главе 1, Введении, излагается мотивация исследования, которая во многом основывается на том, что в релятивистской астрофизике и космологии один из основных методов это изучение возмущений на фоне известных классических решений ОТО. Дается общий обзор работ, начиная с работ Эйнштейна, по законам сохранения для возмущений в ОТО. При этом каждая Глава, а также некоторые из Разделов имеют свои собственные конкретные обзоры. Во второй части дается постанов ка задач, результаты вынесенные на защиту и их краткое обсуждение.

Также приведены основные обозначения, которые используются в дис сертации.

В Главе 2 представлен симметричный подход для построения точной теории возмущений в произвольно искривленном фоновом пространст ве-времени в приложении как к ОТО, так и к произвольной D-мерной метрической теории. В Разделе 2.1 дается подробный обзор развития симметричной возмущенной формулировки ОТО. В Пунктах i и ii об зор ранних работ, в Пункте iii особое внимание уделяется результатам Дезера 1970 года. В Пунктах iv и v кратко представлены основные выво ды наших работ, которые обобщают результаты Дезера на произвольно искривленное фоновое пространство-время, и которые изложены в на шей кандидатской диссертации и защищены в 1988 году. В Пунктах iv и v также обсуждаются различные принципы построения симметричной полевой формулировки ОТО. В Разделе 2.2 дается построение возмущен ной формулировки ОТО с помощью разбиения метрических плотностей gg µ и материальных полей в обычной геометрической формулиров ке ОТО на заданные (фоновые) и динамические (возмущеннные) части.

В Пункте i сформулирован принцип построения динамического (для воз мущений) лагранжиана, в Пункте ii получены уравнения Эйнштейна в обобщенной полевой формулировке. В Пункте iii рассмотрены диф ференциальные законы сохранения для различных вариантов фонового пространства-времени, а в Пункте iv проанализированы свойства калиб ровочных преобразований, которые даны как в полном (точном) виде, так и в линейном и квадратичном порядках по возмущениям. В Пункте v исследована возможность построения различных вариантов полевых тео рий для разбиения различных метрических переменных, таких как gµ, g µ, gg µ и т.д.. В Разделе 2.3 построение ОТО в теоретико-полевой форме осуществляется с позиций калибровочного подхода, аналогичного подходу в калибровочных теориях типа Янга-Миллса. В Пункте i даются краткие обзор калибровочных теорий гравитации вообще и обсуждение калибровочного подхода к ОТО, а также постановка задач Раздела. В Пункте ii разработан метод локализации векторов Киллинга фонового пространства-времени, аналогичный локализации обычных параметров какой-либо калибровочной группы, и в Пункте iii с его помощью построе на полевая формулировка ОТО, как калибровочная теория. Обсуждение результатов этого построения дается в Пункте iv. В Разделе 2.4 с по мощью введения метрики фонового пространства-времени, мы находим новые возможности (и осуществляем их) для построения ковариантной модифицированной теории гравитации Эйнштейна, где космологическая постоянная возникает как константа интегрирования.

В Главе 3 исследуется асимптотически плоское пространство-время на пространственной бесконечности, соответствующее островной систе ме. В Пункте i Раздела 3.1 дается краткий обзор работ по исследованию этой модели. В Пункте ii дается мотивация эффективного использования в этих исследованиях методов полевого подхода в ОТО, и в Пункте iii описание проблем в определении интеграла центра масс в различных подходах. В Разделе 3.2 рассматривается островная система в рамках лагранжева подхода. В Пункте i даются наипростейшие определения в рамках полевого подхода, исследуется требование инвариантности отно сительно преобразований Пуанкаре. В Пункте ii в фоновом простран стве Минковского даются стандартные определения интегралов движе ния, построенных с использованием дифференциально сохраняющихся токов. В Пункте iii анализируются простейшие условия падения потен циалов с точки зрения сходимости интегралов движения, затем эти усло вия уточняются. В Пункте iv найдена максимально слабая асимптотика для калибровочных преобразований (и, как следствие, для возмущений), при которой интегралы движения остаются калибровочно инвариантны ми. Для исследования углового момента и момента Лоренца необходимо было использовать второй порядок калибровочных пребразований. Так же найдена наислабейшая асимптотика для потенциалов, сохраняющая значение интеграла действия и ее связь с той, которая следует из ана лиза интегралов движения. В последнем Пункте v этого Раздела наш метод исследования и полученные результаты сравниваются с метода ми и результатами предшественников. В Разделе 3.3 островные системы изучены с помощью гамильтонова подхода. В Пункте i на основе теоре мы Нтер представлена связь между каноническими сохраняющимися е величинами (которые прямо связаны с гамильтоновыми) и симметрич ными сохраняющимися величинами (которые здесь относятся к лагран жеву подходу) в произвольной полевой теории. В Пункте ii анализиру ется поведение на бесконечности материальных переменных. В Пункте iii представлена наислабейшая асимптотика для фазовых переменных, конструируются гамильтоновы интегралы движения, показывается, что они для этой асимптотики сходятся и их значения совпадают с соответ ствующими интегралами движения в лагранжевом описании. В Пункте iv обсуждается требование инвариантности относительно преобразова ний Пуанкаре в различных определениях асимптотического поведения потенциалов островной системы. Наконец, в Пункте v конструируются калибровочные преобразования для фазовых переменных, демонстриру ется инвариантность интегралов движения относительно этих преобра зований и обсуждается проблема так называемой супертрансляционной инвариантности на пространственной бесконечности. В Разделе 3.4 срав ниваются определения квазилокальной энергии и интеграла центра масс для островной системы в определениях Брауна-Йорка соответственно с энергией Арновитта-Дезера-Мизнера и интегралом центра масс Бига О’Мрхайи. Все эти подходы основаны на классической гамильтоновой е (канонической) ОТО. Но так или иначе в них используется плоское фо новое 3-пространство или плоская фоновая 3-метрика. Это дало нам воз можность использовать технику калибровочных преобразований полево го подхода, хотя здесь трехмерных. В Пункте i обсуждаются причи ны, по которым в исследованиях асимптотически плоского пространства времени на пространственной бесконечности отдается предпочтение ин тегралу центра масс в структуре момента Лоренца. Определяется и об суждается поверхностный интеграл энергетического сектора в подходе Брауна-Йорка, где особое внимание уделяется их определению фоново го пространства с помощью изометрических вложений в него замкнутых 2-поверхностей. В следующем Пункте ii приводится асимптотическое по ведение метрики, данное Бигом и О’Мрхайей, которое затем доопреде е ляется, что необходимо для решения проблемы изометрического вложе ния с достаточной точностью. Далее, в Пункте iii, приведены выражения для интегралов энергии и центра масс, данные Бигом и О’Мрхайей, е и делается их сравнение с выражениями Арновитта-Дезера-Мизнера и Редже-Тейтельбойма. В Пункте iv выведены необходимые тождествен ные преобразования для подинтегральных выражений квазилокальных интегралов Брауна-Йорка, на основе которых, собственно, получены ре зультаты Раздела 3.4. В Пункте v обсуждаются различные типы воз мущений метрики, определенные по отношению к различного типа фо новым 3-пространствам. В Пункте vi решается задача изометрического вложения „слегка“ (что соответствует использованию малого парамет ра) деформированной 2-сферы в плоское 3-пространство. Это позволяет найти связь между асимптотически декартовыми координатами в стан дарных определениях асимптотически плоского пространства-времени и декартовыми координатами плоского пространства, определенного изо метрическим вложением в него 2-сферы. В Пункте vii устанавливается связь между различными типами возмущений метрики в виде калибро вочных преобразований. Затем устанавливается эквивалентность меж ду интегралом энергии Арновитта-Дезера-Мизнера, интергалом центра масс Бига-О’Мрхайи, с одной стороны, и соответствующими квазило е кальными величинами Брауна-Йорка, с другой.

В Главе 4 мы используем результаты Главы 2 для исследования реше ний Фридмана, Шварцшильда и Рейснера-Нордстрма. Короткий Раздел е 4.1 является иллюстративным, его результаты не входят в список выне сенных на защиту, поскольку они уже были защищены как результаты кандидатской диссертации автора. Но мы их приводим для целостности изложения этой Главы, и демонстрируем, что пространство Минковско го, на фоне которого рассматривается полевая конфигурация соответ ствующая замкнутой модели Фридмана, ненаблюдаемо. Но, на приме ре даже этой экзотической конфигурации отмечаем, что полевые мето ды оказываются полезными в определении энергии и других сохраняю щихся величин. В полевой формулировке нельзя придавать абсолютного значения фоновым характеристикам, точно также как в геометрической выбору координат. В Разделе 4.2 мы иллюстрируем это на примере решения Шварцшильда, где не нарушая гармонических условий (гармо ническую калибровку) улучшаем ее фиксацию. В Пункте i дается крат кий аннонс о применении гармонических координат в ОТО. В Пункте ii, с требованием стационарности искомой метрики построены новые гар монические координаты для решения Шварцшильда и показано, что в терминах координатного времени новой гармонической системы пробная частица беспрепятственно проникает под горизонт событий. В Пункте ii переход от фоковских координат к нашим, а также переход между формулами для описания траекторий, интерпретируется в терминах ка либровочных преобразований полевой формулировки ОТО. В Разделе 4.3 с использованием техники полевого подхода исследованы сохраня ющиеся величины и распределения их плотностей (более подробно для энергии) в статических сферически симметричных решениях, соответ ствующих островным системам. В Пункте i, следуя Нарликару, описаны некоторые методологические проблемы ОТО, имеющие место в рамках обычной геометрической формулировки. В Пункте ii даются общие вы ражения для распределения энергии статической сферически симмет ричной конфгурации в полевой формулировке. Затем на основе общих формул в Пункте iii обсуждается распределение энергии для обычного тела с регулярным уравнением состояния и индуцированным этим те лом гравитационным полем. В Пунктах iv и v построено распределение плотности энергии для полевых конфигураций представляющих черную дыру Шварцшильда в различных калибровках;

в Пункте vi для чер ной дыры Рейснера-Нордстрма в стандартной калибровке. В Пункте vii е наши результаты сравниваются с известными;

найдено, что они каче ственно соответствуют друг другу.

Глава 5 представляет основные теоретические результаты соискате ля в построении законов сохранения для возмущений в рамках ОТО, фигурирующих в них токов и суперпотенциалов. Мы завершаем мно гие ранние исследования в том смысле, что достигнуты максимальные обобщения и разрешены неопределенности. Сначала мы даем обширный обзорный материал, который разбиваем на три Раздела. В Разделе 5. представлены и описаны свойства наиболее известных псевдотензоров и суперпотенциалов в ОТО. Особое внимание уделяется величинам, соот ветствующим канонической процедуре Нтер: псевдотензору Эйнштейна е (Пункт i), суперпотенциалам Толмена, Фрейда и Мллера (Пункты ii, iii е и v). Обсуждаются проблема единственности в построении суперпотен циалов (Пункт iv);

построение с помощью псевдотензоров и суперпотен циалов глобальных величин (интегралов движения) - Пункт vi;

пробле мы, возникающие из-за нековариантности псевдотензоров и некоторое способы их решения (Пункты vii и viii). В Пункте viii также подробно рассматриваются суперпотенциалы Кмара и Абботта-Дезера, которые о прямо связаны с нашим собственным новым суперпотенциалом, получен ным далее в Разделе 5.4. В Разделе 5.2 отдельно и подробно описываются законы сохранения (Пункт i), суперпотенциал (Пункт ii) и ток (Пункт iii), полученные Кацем, Бичаком и Линден-Беллом (КБЛ) в ОТО на произвольно искривленном фоне. С одной строны, их работа важна для нас, поскольку фактически завершает построение законов сохранения с использованием канонического метода, начатое Эйнштейном и Фрей дом, максимально обобщая этот метод в ОТО. С другой стороны, наши собственные исследования в Разделе 5.4 используют как основу резуль таты КБЛ и развивают их. В Разделе 5.3 описан классический метод Белинфанте в произвольной полевой теории в пространстве Минковско го, который был предложен для симметризации канонического тензо ра энергии-импульса. Первоначально он был разработан, чтобы решить проблему построения сохраняющегося тензора углового момента (Пункт i). Мы даем также связь метода Белинфанте и метода Нтер в Пункте е ii. В Разделе 5.4 процедура Белинфанте обобщается и используется для „симметризации“ тензора энергии-импульса в модели КБЛ. В Пункте i дается обоснование использования метода Белинфанте и его обобщение.

В Пункте ii с его использованием в модели КБЛ получены новые зако ны сохранения для „симметризованных“ тока и суперпотенциала, свой ства которых подробно описаны в Пункте iii. В Разделе 5.5 построены законы сохранения в рамках симметричной формулировки ОТО с мет рическими возмущениями определенными как возмущения метрической плотности gg µ. В Пункте i подробно сформулированы ранее не ре шенные проблемы симметричной возмущенной формулировки ОТО. В Пункте ii с использованием техники КБЛ построено основное тождество (сильный закон сохранения) симметричного подхода. В Пункте iii, c ис пользованием полевых уравнений, построены физически осмысленные слабые законы сохранения с соответсвующими сохраняющимися тока ми и суперпотенциалами. Это построение решает проблемы описанные в Пункте i. Результаты этих построений сравниваются с результатами применения процедуры Белинфанте к канонической модели КБЛ. Най дено, что соответствующие сохраняющиеся величины совпадают, если учесть полевые уравнения. В Разделе 5.6 решается проблема неопреде ленности симметричного подхода в зависимости от выбора метрических возмущений. В Пункте i построено семейство суперпотенциалов и зако ны сохранения соответствующие им на произвольно искривленном фоне для каждого из возможных определений возмущений метрических пе ременных. В Пункте ii предложен критерий, в соответствии с которым из семейства построенных в Пункте i суперпотенциалов выбран един ственный. Он оказался нашим новым суперпотенциалом, полученным в Разделах 5.4 и 5.5.

В Главе 6 мы используем в приложениях законы сохранения с но вым суперпотенциалом и новым тензором энергии-импульса, построен ными нами в Главе 5. В Разделе 6.1 новые дифференциальные законы сохранения используются для изучения линейных возмущений на фоне фридмановской геометрии с произвольным знаком кривизны. В подходе, развитом нами в Разделах 5.4 и 5.5 можно использовать произвольные векторы смещений. Здесь в качестве таковых используются конформные векторы Киллинга, более точно их линейные комбинации. В обзорном Пункте i дается краткое описание конформных симметрий в геометрии Фридмана. В Пункте ii, с использованием новых законов сохранения, по строены интегральные соотношения, то есть объемные интегралы от воз мущений выраженные через поверхностные интегралы. Бльшая часть о из этих соотношений, 14 из 15-ти, в калибровке „однородного хабблов ского расширения“ становится интегральными связями, где объемные интегралы только от материальных возмущений выражаются через по верхностные интегралы только от метрических возмущений. Линейные комбинации конформных векторов Киллинга играют роль связевых век торов;

6 из них это обычные векторы Киллинга, для которых давно известно, что они могут играть роль связевых векторов;

4 комбинации оказываются векторами Трашен;

а оставшиеся 4 комбинации оказыва ются новыми связевыми векторами с соответствующими новыми инте гральными связями. В Пункте iii обсуждаются и интерпретируются ре зультаты Пункта ii. В Разделе 6.2 мы используем новые законы сохране ния для исследования изолированных систем на изоторопной бесконеч ности. В Пункте i кратко описывается формализм, в рамках которого производятся рассчеты. Конкретные результаты, которые заключаются в построении энергии, импульса, углового и лоренцева моментов, и их потоков на нулевой бесконечности получены в Пункте ii. Как оказалось, энергия, импульс и их потоки совпадают со стандартными, что является важной проверкой наших результатов. (Что касается углового и лорен цева моментов, то до сих пор нет результатов, которые можно было бы назвать стандартными.) В Пункте iii рассчитываются полная энергия и ее поток на нулевой бесконечности с использованием известного супер потенциала Абботта-Дезера, который отличается от нашего нового су перпотенциала начиная со второго порядка по возмущениям. Оказалось, что эти величины, посчитанные по формулам Абботта-Дезера не совпа дают со стандартными. Утверждая, что суперпотенциал Абботта-Дезера не удовлетворяет одному из необходимых тестов, мы показываем явно, что для вычислений на нулевой бесконечности становится существенной разница во втором порядке по возмущениям.

В Главе 7 законы сохранения для возмущений в произвольно искрив ленном фоновом пространстве-времени с соответствующими токами и су перпотенциалами построены в произвольной D-мерной метрической тео рии гравитации. В Разделе 7.1 строятся канонические и Белинфанте сим метризованые величины. В Пункте i определяется включение вспомога тельной фоновой метрики. В Пункте ii ток и суперпотенциал построены с помощью процедуры Нтер. В Пункте iii исследована проблема един е ственности этих обобщенных величин, на основании чего сделан вывод, что результаты КБЛ однозначно определены выбором лагранжиана и процедурой Нтер. В Пункте iv к обобщенным каноническим величинам е применена обобщенная процедура Белинфанте и получены соответству ющие преобразованные законы сохранения, а также сделан вывод, что наши результаты Раздела 5.4 однозначно определены лагранжианом и объединенной процедурой Нтер-Белинфанте. В Разделе 7.2 построены е суперпотенциалы и сохраняющиеся токи в рамках возмущенного сим метричного подхода развитого в Пункте vi Раздела 2.2. В Разделе 7. полученные результаты используются в приложении к D-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне. В Пункте i представлен Белинфанте симмет ризованый суперпотенциал. В Пункте ii рассчитана масса черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситтера.

В Главе 8, Заключении, подводятся итоги, определяется научная и практическая ценность полученных результатов, обсуждается возмож ность их развития, и даются рекомендации для дальнейшего использо вания.

Список основных публикаций автора по теме диссертации [1] L. P. Grishchuk, A. N. Petrov and A. D. Popova, “Exact theory of the (Einstein) gravitational eld in an arbitrary background spacetime”// Commun. Math. Phys., 94, 379 - 396 (1984).

[2] Л. П. Грищук, А. Н. Петров, „Замкнутый мир и гравитационное по ле”// Письма в АЖ, 12, 429 - 434 (1986).

[3] Л. П. Грищук, А. Н. Петров, „Гамильтоново описание гравитационно го поля и калибровочные симметрии”// ЖЭТФ, 92, 9 - 18 (1987).

[4] А. Н. Петров, А. Д. Попова, „О точных динамических теориях дей ствующих на заданном фоне“// Вестник Московского университе та. Серия 3. Физика. Астрономия, 28, No. 6, 13 - 18 (1987).

[5] A. D. Popova and A. N. Petrov, “The dynamic theories on a xed background in gravitation”// Int. J. Mod. Phys. A, 3, 2651 - 2676 (1988).

[6] А. Н. Петров, „Новые гармоничеcкие координаты для геометрии Шварцшильда“// Вестник Московского университета. Серия 3.

Физика. Астрономия, 31, No. 5, 88 - 90 (1990).

[7] A. N. Petrov, “On the cosmological constant as a constant of integration”// Mod. Phys. Lett. A, 6, 2107 - 2111 (1991).

[8] A. N. Petrov, “New harmonic coordinates for the Schwarzschild geometry and the eld approach”// Astronom. Astrophys. Trans., 1, 195 - (1992).

[9] A. D. Popova and A. N. Petrov, “Nonlinear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction. II. Nonstationary situation”// Intern. J. Mod. Phys. A, 8, 2683 - 2707 (1993).

[10] A. D. Popova and A. N. Petrov, “Nonlinear quantum mechanics with nonclassical gravitational self-interaction. III. Related topics”// Intern.

J. Mod. Phys. A, 8, 2709 - 2734 (1993).

[11] A. N. Petrov, “General relativity from ‘localization’ of Killing vector elds”// Class. Quantum Grav., 10, 2663 - 2673 (1993).

[12] A. N. Petrov and A. D. Popova, “Associated length and ination in quantum mechanics with gravitational self-interaction”// Intern. J.

Mod. Phys. D, 3, 461 - 483 (1994).

[13] A. N. Petrov and A. D. Popova, "The associated length and ination in quantum mechanics with gravitational coupling”// Gen. Relat. Grav., 26, 1153 - 1164 (1994).

[14] A. N. Petrov, “Asymptotically at spacetimes at spatial innity: The eld approach and the Lagrangian description”// Int. J. Mod. Phys. D, 4, - 476 (1995).

[15] A. N. Petrov and J. V. Narlikar, “The energy distribution for a spherically symmetric isolated system in general relativity”// Found. Phys, 26, - 1229 (1996);

Erratum, Found. Phys, 28, 1023 - 1024 (1998).

[16] A. N. Petrov, “Asymptotically at spacetimes at spatial innity: II.

Gauge invariance of the integrals of motion in the eld approach”// Int. J. Mod. Phys. D, 6, 239 - 261 (1997).

[17] A. N. Petrov and J. Katz, “Conservation laws for large perturbations on curved backgrounds”// Fundamental Interactions: From Symmetries to Black Holes, Eds.: J. M. Frere, M. Henneaux, A. Sevrin and Ph. Spindel, (Universite de Bruxelles, Belgium 1999), p.p. 147 - 157.

[18] А. N. Petrov, “The Field Formulation of General Relativity”// Proceedings of “Physical Interpretations of Relativity Theory” (London:

11 - 14 September, 1998) volume - Late Papers, Ed.: M. C. Duy (University of Sunderland, UK 2000), p.p. 187 - 200.

[19] A. N. Petrov and J. Katz, “Conserved currents, superpotentials and cosmological perturbations”// Proc. R. Soc. London A, 458, 319 - (2002).

[20] D. Baskaran, S. R. Lau, and A. N. Petrov, “Center of mass integral in canonical general relativity”// Ann. Phys., 307, 90 - 131 (2003).

[21] А. Н. Петров, „Возмущения в эйнштейновской теории гравитации:

Сохраняющиеся токи“// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика.

Астрономия, No. 1, 18 - 22 (2004).

[22] А. Н. Петров, „Сохраняющиеся токи в D-мерной гравитации и кос мология с бранами“// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Аст рономия, No. 2, 10 - 12 (2004).

[23] A. N. Petrov, "General Relativity as a Field Theory on a Fixed Background and Massive Gravity"// in: Proceedings of Conference PIRT-IX, Volume 2 (London: 3 - 6 September, 2004), Ed. M. C. Duy, PD Publications, Liverpoоl, 2005, p.p. 433 - 446.

[24] А. Н. Петров, „Теоретико-полевая формулировка ОТО и гравитация при ненулевой массе гравитонов”// в сборнике Поиски механизма гравитации под редакцией М. А. Иванова и Л. А. Саврова, (Нижн.

Новгород, 2004), стр. 230 - 252.

[25] A. N. Petrov, “The Schwarzschild black hole as a point particle”// Found.

Phys. Lett. 18, 477 - 489 (2005).

[26] A. N. Petrov, “A note on the Deser-Tekin charges”// Class. Quantum Grav., 22, L83 - L90 (2005).