Строков владимир николаевич квантовая модель квазифридмановской вселенной и сферически симметричные источники гравитационного поля

На правах рукописи

УДК 524.852, 524.882 Строков Владимир Николаевич Квантовая модель квазифридмановской Вселенной и сферически симметричные источники гравитационного поля Специальность 01.03.02 астрофизика и звездная астрономия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена в Астрокосмическом центре Физического ин ститута им. П.Н. Лебедева РАН

Научный консультант:

д-р физ.-мат. наук, проф. Лукаш Владимир Николаевич, АКЦ ФИАН

Официальные оппоненты:

д-р физ.-мат. наук, чл.-кор. Волович Игорь Васильевич, МИАН канд. физ.-мат. наук Зельников Максим Иванович, ОТФ ФИАН

Ведущая организация: Учреждение Российской академии на ук Институт ядерных исследований РАН, г. Москва

Защита состоится “25" апреля 2011 года в 14-30 часов на засе дании диссертационного совета Д002.023.01 Физического инсти тута им. П.Н. Лебедева РАН (ФИАН) в конференц-зале Инсти тута космических исследований РАН (ИКИ РАН) по адресу: г.

Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, ИКИ РАН, подъезд 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН по адресу: г. Москва, Ленинский проспект, д. 53, с авторефератом диссертации – на сайте http://www.asc-lebedev.ru Отзывы направлять по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, д. 53, ФИАН (АКЦ), диссертационный совет Д002.023.01.

Автореферат разослан “25" марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ.-мат. наук Ю.А. Ковалев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Квантовая теория гравитации до сих пор остает ся Святым Граалем теоретической физики. Естественно ожидать, что она должна проявлять себя там, где в нынешней неполной теории гравита ции встречаются физически абсурдные решения, такие как сингулярность Большого взрыва и сингулярности различных классов черных дыр. Здесь можно провести аналогию с классической гидродинамикой, которая без учета вязкости дает бесконечную плотность на фронте ударной волны (см., например, Ландау и Лифшиц 1986). Другими словами, физически некорректные решения являются свидетельством того, что при тех услови ях, при которых они были получены, играют роль эффекты более полной теории. В данном диссертационном исследовании предлагаются некоторые способы учесть квантово-гравитационные эффекты как вблизи сингуляр ности Большого взрыва (ранняя Вселенная), так и в околосингулярном состоянии внутри черной/белой дыры Шварцшильда.

С самого начала, однако, представляется необходимым сделать следую щее замечание. Вообще говоря, характерные планковские величины (Зель дович и Новиков 1975), сконструированные из трех фундаментальных по стоянных (скорости света c, гравитационной постоянной G и постоянной Планка ) и равные в численном выражении lP l 1033 см (планковская длина), tP l 1043 с (планковское время) и mP l 1019 ГэВ (планков ская масса), дают лишь верхнюю оценку на применимость общепринятой теории гравитации. Дело в том, что энергия, которую достиг прямой экс перимент, составляет всего около 10 ТэВ (CERN 2011), что на 15 поряд ков меньше планковской величины. Другими словами, поправки к извест ным физическим законам могут возникать и при энергиях, меньших, чем планковская. Но при подходе к планковским масштабам такое нарушение должно иметь место почти наверняка, поэтому мы в дальнейшем будем интересовать именно влиянием квантовых эффектов. (Интересно отме тить, что есть теоретические указания на то, что лоренц-инвариантность в нашем мире должна сохраняться вплоть до запланковских масштабов (Воловик 2000)).

Итак, в первой части работы впервые проведено каноническое кван тование квазифридмановской (слабонеоднородной) Вселенной. Однород ная Вселенная исследовалась Девиттом (DeWitt 1967). Кратко напомним его подход. Метрика замкнутой1 однородной и изотропной Вселенной име ет вид:

ds2 = N 2 (t)dt2 a2 (t)dl3, (1) где t – мировое время, определенное с точностью до функции хода N (Миз нер и др. 1972), в случае однородной Вселенной не зависящей от простран ственных координат, dl3 – элемент длины поверхности единичной 3-мерной сферы и a(t) – масштабный фактор. По метрике можно явно вычислить действие для однородной и изотропной Вселенной, в которое вносят вклад гравитация (действие Гильберта–Эйнштейна) и материя, представленная своим лагранжианом Lm :

3aa S[a, N, m] = 8Ga N Lm + 3aN dt, (2) 4G N где под m подразумевается набор материальных полей.

Поскольку метрические коэффициенты зависят только от времени, ока зывается возможным выполнить интегрирование по пространству до кон ца, что и сделано в выражении (2). Таким образом, имеем перед собой динамическую систему с заданным лагранжианом 3aa L[a, N, m] = 8Ga N Lm + 3aN, (3) 4G N а значит (Ландау и Лифшиц I 1988), вариацией по динамическим перемен ным можем получить уравнения движения. Варьируя по N и a и затем полагая N = 1, получаем хорошо известные (см., например, Зельдович и Новиков 1975) уравнения Фридмана для замкнутой Вселенной 2 :

3H 2 = 8G(F ), (4) a 3H 2 + 2H + 2 + 8Gp(F ) = 0. (5) a В оригинальной работе (DeWitt 1967) рассматривалась именно замкнутая Вселен ная, однако предложенную им схему можно обобщить на Вселенную бесконечного объе ма. В последнем случае в ней всегда можно выделить достаточно большой, но конечный объем V.

Строго говоря, вторая вариация дает комбинацию первого и второго уравнения Фридмана.

Здесь H = a/a – параметр Хаббла (точка – производная по t), а и p – соответственно плотность энергии и изотропное давление, определяемые по лагранжиану материи:

(N Lm ) (F ) =, N 1 (a3 Lm ) (F ) p=2.

3a a Заметим также, что канонический гамильтониан Hc, соответствующий лагранжиану (3), выражается через одну из вариаций этого лагранжиана:

L c Hc = N NH, (6) N c где H зависит только от динамических переменных a, m и канонически сопряженных им импульсов (множитель /4G опускаем) L 6aa Lm m = 8Ga3 N a = =,, (7) a N m но не зависит от N. Импульс N, сопряженный самой переменной N, как легко видеть, тождественно равен нулю.

c В квантовом случае первое уравнение Фридмана H = 0 и условие равенства нулю импульса N дают уравнения на волновую функцию Все ленной (a, N, m) (см. DeWitt 1967, Halliwell 1991):

a c Hm 3a = 0, N = 0, (8) 12a c где Hm – гамильтониан материальных степеней свободы. Первое из этих уравнений носит имена Уилера и Девитта и является центральным урав нением квантовой космологии. В этих уравнениях динамические перемен ные и сопряженные им импульсы уже являются операторами. Например, в координатном представлении a = i /a, m = i /m, N = i /N.

Скажем, тот факт, что импульс, сопряженный N, равен нулю, означает с квантовой точки зрения, что волновая функция Вселенной не зависит от N. Физически это вполне понятно: на классическом уровне N определена с точностью до произвольной функции времени.

Заметим, однако, что описанный подход не совсем последователен, по скольку в нем изначально ставятся классические ограничения на метриче ские функции. В частности, недиагональные компоненты метрики3 g0i = 0.

При квантовании эти компоненты также могут получать квантовые по правки.

Помимо квантовой теории однородной и изотропной Вселенной была также построена квазиклассическая теория слабонеоднородной Вселен ной. Однородный и изотропный фон в ней считался классическим, а воз мущения, будь то тензорные (Грищук 1974) или скалярные (Лукаш 1980), квантовыми. Тензорная мода (T, первичные гравитационные волны) сама по себе возникает только в первом порядке теории возмущений. Вектор ные возмущения (V ), будучи конформно инвариантными (проще говоря, подчиняясь закону сохранения момента импульса), в процессе расшире ния Вселенной не рождаются. Нет и наблюдательных оснований в пользу их существования (Nolta et al. 2008). Поэтому в данном исследовании нас будет интересовать прежде всего скалярная мода.

В настоящей диссертации построена квантовая теория квазифридма новской геометрии, а именно, получено действие для слабонеоднородной Вселенной (из которого выведены также обобщенные уравнения Фридма на), получены лагранжиан модели, канонические импульсы, гамильтониан и произведено квантование. Таким образом, квантовая модель фридма новского фона объединена с квазиклассической теорией возмущений. В частности, действие выглядит следующим образом:

( a)2 2 N a 3H2 2H(a3 V i ),i i S[a, N, V, ] = a dtdy N Lm [] + + +, a4 a3 N a N (9) где a – неоднородный масштабный фактор (Лукаш и Михеева 2010), явля ющийся скаляром в классе малых калибровочных преобразований (H a/a), N и V i – соответственно функции хода и сдвига в лагранжево эйлеровой системе отсчета (N является скаляром во всех сопутствующих системах отсчета), а Lm [] – лагранжева плотность материальных полей.

Во второй части исследуется природа сингулярного источника гео метрии Шварцшильда. В ньютоновской теории тяготения источником гра Здесь и далее латинские индексы означают пространственные компоненты, а гре ческие пробегают значения (0, 1, 2, 3).

витационного поля является масса (Ландау и Лифшиц 1988). В общей теории относительности ответ не столь однозначен, поскольку уравнения Эйнштейна нелинейны по метрическим переменным. Образно говоря, гра витационное поле само гравитирует и не исключены решения типа соли тонов (например, “геоны” Уилера 1973).

Можно, в частности, задаться вопросом, а каков материальный источ ник максимально продолженной метрики Шварцшильда (так называе мой “вечной” черной/белой дыры)? Есть ли в ОТО, по аналогии с ньюто новской гравитацией, необходимость в центральном источнике искривлен ной метрики в пустоте, свойства которого находятся вычислением правой части уравнений Эйнштейна 4 ?

Эта задача обсуждалась в литературе (Ландау и Лифшиц 1988, Wald 1984, Новиков и Фролов 1986), однако мнения разнятся, и проблема до сих пор не решена. В частности, Балазин и Нахбагауэр (Balasin and Nach bagauer 1993) подошли к вопросу с формальной математической сторо ны, использовав для вычисления правой части технику интегрирования тензорных дифференциальных n-форм. Поскольку в результате – после применения разных процедур регуляризации – получаются сингулярные функционалы (3-мерные дельта-функции), возникает проблема фиксации пространства, на котором они определены. По сути, в работе (Balasin and Nachbagauer 1993) применена биметрическая формулировка ОТО (искрив ленная метрика Шварцшильда с помощью тетрады {ea } представляется µ через метрику Минковского gµ = ea eb ab, в которой авторы и опреде µ ляют вышеупомянутые дельта-функции), предполагающая существование плоского глобального многообразия, в том числе и в самой сингулярности r = 0, что вызывает вопросы и с чем нам трудно согласиться.

Очевидно, сам вопрос об источнике максимально продолженной мет рики Шварцшильда в ОТО возникает в связи с наличием особых про странственноподобных гиперповерхностей r = 0, лежащих целиком в T областях и являющихся неотъемлемым свойством любых черных/белых дыр. По этой причине мы не можем считать удовлетворительными “кар динальные решения”, которые либо исключают из рассмотрения сами T области (например, мосты Эйнштейна–Розена (Poplawski 2010), кротовые Напомним, что в ньютоновской физике сферически симметричное гравитационное поле в пустоте имеет вид = GM/r, где r = |x|. Вычисляя правую часть уравнения Пуассона в эвклидовом пространстве R3, находим, что источником этого поля является центральная масса M = const, локализованная в точке r = 0: = 4GM (3) (x), где (3) (x) – 3-мерная дельта-функция, G – гравитационная постоянная.

норы (Бронников и Старобинский 2007)), либо модифицируют их с по мощью специальных ограничений свойств гравитации или материи. Таки ми примерами являются требования конечности максимальных значений кривизны (Markov 1982, 1984, Frolov et al. 1990) или плотности материи (Dymnikova 2003), введение гравитационного кручения и другие варианты модификаций гравитации. В работах Дымниковой построены несингуляр ные решения с асимптотикой черных/белых дыр при больших r, заполнен ные анизотропной “вакуумноподобной” в продольном направлении средой, с наложенным условием ее конечной плотности (см. (Dymnikova 2003) и ссылки там же). Эти решения содержат как минимум две R-области, внеш нюю и внутреннюю (в последней находится центр r = 0), разделенных T областью, что в принципе отличает их топологию от шварцшильдовской геометрии. Такие варианты решений с жестким ограничением плотности или кривизны нас также не могут устроить из-за отсутствия предельного перехода к T -областям черных/белых дыр.

Сингулярности черных/белых дыр, к которым приводят решения ОТО в пустоте, свидетельствуют о неполноте нашего понимания того, как устро ена гравитация и как она взаимодействует с материей. Возникающая в тео рии особенность является, как правило, следствием пренебрежения какими либо физическими факторами, т.е. следствием идеализации. Известные с 60-х годов теоремы о сингулярностях, через которые нельзя продлить ми ровые линии пробных частиц из-за расходящихся приливных сил, опира ются на априорные требования к материи – энергодоминантность, сильное и слабое энергетические условия (Hawking and Penrose 1996). Однако пер вые два из них не выполняются в квантово-гравитационных процессах и, значит, исходные предположения теорем нарушены. Современный анализ показывает, что не существует ни наблюдательных, ни теоретических ос нований в пользу неизбежности сингулярных состояний.

В данной работе предложен новый метод исследования более реали стичных моделей черных/белых дыр со сглаженными метрическими осо бенностями, что позволяет ограничить приливные силы (несмотря на воз можную расходимость некоторых компонент кривизны) и восстановить геодезически полное пространство-время на основе динамических моде лей, опирающихся лишь на общие физические принципы – сохранение энергии-импульса, широкий выбор уравнения состояния, выполнение сла бого энергетического условия. Такой подход дает основания пользовать ся динамическими уравнениями типа эйнштейновских Gµ = 8GT, где µ все геометрические модификации, возникающие при больших энергиях или кривизнах, перенесены в правую часть и включены в эффективный µ тензор натяжений T, содержащий по этой причине как материальные, так и часть пространственно-временных степеней свободы (см., например, (Sahni and Starobinsky 2006)). Исходным геометрическим объектом явля ется средний метрический тензор gµ, с помощью которого по законам ОТО строится левая часть уравнений.

Целью работы являлось, во-первых, получение гравитационного дей ствия слабонеоднородной Вселенной в непертурбативной форме, т.е. в тер минах геометрических переменных, описывающих структуру простран ства–времени. Во-вторых, построение квантовой модели слабонеоднород ной Вселенной. И в-третьих, выяснение вопроса об источнике гравита ционного поля черной/белой дыры Шварцшильда и построение несин гулярных сферически симметричных геометрий с геодезически полным пространством–временем.

Научная новизна работы. Все основные научные результаты, вынесен ные на защиту, являются новыми.

В терминах геометрических (инвариантных) переменных, описываю щих слабонеоднородную Вселенную, впервые получен непертурбативный вид действия, а также следующие из него неоднородные уравнения Фрид мана.

Путем канонического квантования впервые выведено уравнение на вол новой функционал слабонеоднородной Вселенной, свободное от классиче ских ограничений на метрические функции, которые предполагались в квантовой модели вселенной Фридмана.

Показано, что в рамках классической ОТО источником метрики Шварц шильда, полученной как предел в семействе метрик с протяженным источ ником со степенным распределением, является ненулевой эффективный тензор энергии–импульса материи с дельтаобразным распределением.

Построена модель триггерного фазового перехода под горизонтом чер ной/белой дыры с интегрируемой сингулярностью, позволяющей распро странять геодезические на все пространство-время.

Научная и практическая ценность работы. Построенная квантовая модель слабонеоднородной Вселенной в терминах геометрических пере менных, объединяющих в себе фон и возмущения, является первым шагом на пути к законченной теории ранней Вселенной. Дело в том, что язык теории возмущений позволяет описать структуру пространства–времени лишь с ограниченной точность, причем уже во втором порядке по воз мущениям вычисления заметно усложняются. Поэтому уже сегодня яс но, что полная теория ранней Вселенной должна формулироваться в тер минах геометрических переменных без разбиения на фон и возмущения.

Ведь, например, материальные переменные (скажем, амплитуда скалярно го поля) с самого начала являются инвариантами и не требуют подобного разбиения. Далее, геометрические переменные дают возможность само согласованно проквантовать сразу всю геометрию, объединив тем самым квантовую модель космологического фона Девитта (DeWitt 1967) и ква зиклассическую теорию, развитую в работах Грищука (Грищук 1974) и Лукаша (Лукаш 1980). В дальнейшем построенная квантовая модель поз волит сделать оценку роли квантовых эффектов в ранней Вселенной, а также детально исследовать переход в квазиклассическую область.

Вторая задача, обсуждаемая в диссертации, позволяет прояснить фи зическую природу сингулярности, возникающей при решении классиче ский уравнений Эйнштейна (см., например, (Ландау и Лифшиц 1988)).

Концепция триггерных фазовых переходов приводит к интересному ти пу сингулярности, вблизи которой приливные силы остаются конечны ми, хотя некоторые геометрические инварианты расходятся. Благодаря этому свойству через данную сингулярность можно продолжать геодези ческие и строить геодезически полные пространства–времена в отличие пространства–времени черной дыры Шварцшильда.

Основные результаты, выносимые на защиту 1. В терминах геометрических (инвариантных) переменных, описыва ющих слабонеоднородную Вселенную, впервые получен непертур бативный вид действия, а также следующие из него неоднородные уравнения Фридмана.

2. Проведено каноническое квантование рассмотренной модели и выве дено уравнение на волновой функционал слабонеоднородной Вселен ной.

3. Показано, что в рамках классической ОТО источником метрики Шварц шильда, полученной как предел в семействе метрик с протяженным источником со степенным распределением, является ненулевой эф фективный тензор энергии-импульса материи с дельтаобразным рас пределением.

4. Построена модель триггерного фазового перехода под горизонтом черной/белой дыры с интегрируемой сингулярностью, позволяющей распространять геодезические на все пространство–время.

Апробация результатов. Результаты, изложенные в диссертации, до кладывались автором на семинарах теоретического отдела АКЦ ФИАН, общем семинаре АКЦ ФИАН, астрофизическом семинаре ОТФ ФИАН, аспирантском семинаре ФИАН, на семинарах исследовательских центров Бразилии ICRA–CBPF, UFES и UFJF, на российских и международных конференциях. В число конференций, на которых докладывались, обсуж дались и в чьих трудах были опубликованы результаты диссертации, вхо дят следующие:

1. Conference "The Century of Cosmology", Венеция (Италия) (2007).

2. Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации и космологии "GRACOS-2007", Казань-Яльчик (Россия) (2007).

3. Всероссийская астрономическая конференция "Космические рубежи XXI века", Казань (Россия) (2007).

4. Международная конференция "Проблемы практической космологии", Санкт-Петербург (Россия) (2008).

5. Summer School in Cosmology, Trieste (Italy) (2008).

6. 24th TEXAS Symposium on Relativistic Astrophysics, Vancouver (Ca nada) (2008).

7. Marcel Grossmann Meeting, Paris (France) (2009).

8. 16th International Seminar on High Energy Physics "Quarks-2010", Ko lomna (Russia) (2010).

9. International Conference "Modern Problems of Gravitation, Cosmology and Relativistic Astrophysics"(RUDN-10), Moscow (Russia) (2010).

10. Ежегодные научные сессии АКЦ ФИАН, Пущино (2007, 2008, 2009, 2010).

Список публикаций. Результаты автора по теме диссертации опублико ваны в научных журналах и в материалах всероссийских и международ ных конференций. Общее число публикаций: 6, в том числе 1 – в рецен зируемом российском журнале из списка ВАК, 5 – в сборниках трудов и тезисах всероссийских и международных конференций и в 2 препринтах.

[1]. В.Н. Строков, "О лагранжевой теории космологических возмуще ний плотности", Астрон. Журн., 84, 6, стр. 483 (2007) [2]. Strokov V.N., Equivalence of two approaches in theory of cosmological density perturbations, Proceedings of the conference A Century of Cos mology, ed. G. Chincarini, P. Saracco and M. Bolzonella, Societa Italiana di Fisica, p. 1399 (2008).

[3]. Лукаш В.Н., Михеева Е.В., Строков В.Н., "История образования структуры во Вселенной", Квантовая теория и космология. Сбор ник статей по материалам конференции, посвященной 70-летию про фессора А.А. Гриба. Под редакцией В.Ю. Дорофеева и Ю.В. Павло ва, Лаборатория им. А.А. Фридмана, стр. 117-131 (2009).

[4]. В.Н. Строков, "Квантовая модель квазифридмановской Вселен ной", препринт ФИАН № 7 (2011);

Strokov V.N., ADM Formulation of the Cosmological Perturbation Theory, Proceedings of the Twelfth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, ed. Thibault Damour, Robert T Jantzen and Remo Runi, World Scientic, Singapore (2010);

Strokov V.N., Non-perturbative Formulation of the Cosmological Per turbation Theory, Proceedings of the 16th International Seminar on High Energy Physics "Quarks-2010", в печати.

[5]. Строков В.Н., Лукаш В.Н., "Непертурбативная формулировка тео рии космологических возмущений", Тезисы международной конфе ренции "Современные проблемы гравитации, космологии и реляти вистской астрофизики RUDN-10"(2010) [6]. В.Н. Лукаш, В.Н. Строков, "Источники геометрий с интегриру емой сингулярностью: черные/белые дыры и астрогенные Вселен ные", препринт ФИАН № 3 (2011);

В.Н. Лукаш, В.Н. Строков, "Источники геометрий с интегриру емой сингулярностью: черные/белые дыры и астрогенные Вселен ные", Письма в ЖЭТФ, в печати Личный вклад автора. Опубликованная работа из списка публикаций и один из препринтов выполнены автором единолично. Во втором препринте автору принадлежит доказательство дельтаобразного профиля источника черной/белой дыры, доказательство конечности приливных сил вблизи особой гиперповерхности r = 0, а также численная оценка момента вре мени r0, при котором может начаться фазовый переход под горизонтом черной дыры.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, двух Глав, Заключения и четырех Приложений. Общий объем составляет 56 страниц, включая 1 рисунок и библиографию из 39 наименований.

Содержание работы Во Введении обосновывается актуальность работы, перечисляются цели и задачи проведенного исследования. Уточняются новые элементы, отличающие данное исследование от других работ, обсуждается научная и практическая значимость диссертации. Формулируются положения, вы носимые на защиту, приводится список публикаций, в которых изложены результаты исследования, рассказывается о проведенной апробации ре зультатов. Также описывается структура диссертации и кратко излагается содержание ее основных разделов.

В Главе 1 исследуются свойства квазифридмановской (слабонеодно родной) геометрии. Приводятся геометрические переменные и с их по мощью впервые выводится действие для слабонеоднородной Вселенной и производится каноническое квантование модели.

Первые два подраздела носят подготовительный характер. В них, сле дуя работе (Лукаш и Михеева 2010), вводятся геометрические переменные, включающие оба порядка теории возмущений (нулевой + первый), и вы водятся неоднородные уравнения Фридмана путем прямого суммирования фоновых уравнений и уравнений для возмущений. Далее, в разделе 1. впервые получено действие в терминах геометрических переменных и на этот раз из него выведены неоднородные уравнения Фридмана. В разделе 1.4 пояснена известная в теории поля схема квантования полей. В раз деле 1.5 произведено каноническое квантование модели и представлены выводы по данной задаче.

Глава 2 посвящена задаче об источнике сферически симметричных пространств, имеющих своим пределом геометрию Шварцшильда.

В разделе 2.1 представлена общая теория расщеплений 2 + 2 в при менении к сферически симметричным геометриям, выписаны действие, уравнения, определены свойства материального источника и доказана его необходимость для метрики Шварцшильда. В разделе 2.2 очерчен класс рассматриваемых далее моделей. В разделах 2.3 и 2.4 рассмотрены при меры геодезически полных пространств-времени для состояний вечных белых/черных дыр и дана классификация простейших решений. В разде ле 2.5 даны выводы по данной главе.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В Приложении 1 кратко изложен формализм Арновитта–Дезера– Мизнера.

В Приложении 2 вычислено действие для слабонеоднородной Все ленной.

В Приложении 3 вычислены пределы различных распределений при стремлении метрики к метрике черной дыры Шварцшильда.

В Приложении 4 приведены компоненты тензора Римана и некото рые его инварианты для сферически симметричных метрик.

Список литературы Боголюбов и Ширков (Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков), Введение в тео рию квантованных полей, Москва: Наука, 1984.

Бронников и Старобинский (К.А. Бронников, А.А. Старобинский), Пись ма в ЖЭТФ 85, 3 (2007).

Грищук (Л.П. Грищук), ЖЭТФ 67, 825 (1974).

Зельдович и др. (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков, А.А. Старобинский), Журн. эксп. и теор. физ. 66, 1897 (1974).

Зельдович и Новиков (Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков), Строение и эво люция Вселенной, Москва: Наука, 1975.

Ландау и Лифшиц I (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц), Механика, Москва:

Наука, 1988.

Ландау и Лифшиц II (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц), Теория поля, Москва:

Наука, 1988.

Ландау и Лифшиц III (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц), Квантовая механи ка (нерелятивистская теория), Москва: Физматлит, 2002.

Ландау и Лифшиц VI (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц), Гидродинамика, Москва: Наука, 1986.

Лукаш и Старобинский (В.Н. Лукаш, А.А. Старобинский), Журн. эксп.

и теор. физ. 66, 1515 (1974).

Лукаш (В.Н. Лукаш), ЖЭТФ 79, 1601 (1980).

Лукаш и Михеева (В.Н. Лукаш, Е.В. Михеева), Физическая космология, Москва: Физматлит, 2010.

Лукаш и Рубаков (В.Н. Лукаш, В.А. Рубаков), УФН 178, 301 (2008).

Лукаш и Строков (В.Н. Лукаш, В.Н. Строков), препринт ФИАН, № (2011).

Лукаш и др. (В.Н. Лукаш, В.Н. Строков, Е.В. Михеева), в печати (2011).

Мизнер и др. (Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер), Гравитация, т. 2, Москва:

Мир, 1977.

Мизнер и др. (Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер), Гравитация, т. 3, Москва:

Мир, 1977.

Новиков и Фролов (И.Д. Новиков, В.П. Фролов), Физика черных дыр, Москва: Наука, 1986.

Пескин и Шредер (М. Пескин, Д. Шредер), Введение в квантовую тео рию поля, Москва: РХД, 2001.

Полищук (Р.Ф. Полищук), ДАН СССР 209, 76 (1973).

Горбунов и Рубаков (Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков), Введение в теорию ранней Вселенной: Космологические возмущения. Инфляционная тео рия, Москва: URSS, 2010.

Строков (В.Н. Строков), Астрономический журнал 84, 483 (2007).

Balasin and Nachbagauer (H. Balasin and H. Nachbagauer), Phys. Lett. B 315, 93 (1993).

CERN (CERN), LHC The Guide, Frequently Asked Questions, http://visits.web.cern.ch/visits/guides/tools/presentation/LHC_booklet 2.pdf, DeWitt (B.S. DeWitt) Phys.Rev., 160, 1113 (1967).

Dymnikova (I. Dymnikova), Int. J. Mod. Phys. D 12, 1215 (2003).

Frolov et al. (V.P. Frolov, M.A. Markov and V.F. Mukhanov), Phys. Rev. D 41, 3831 (1990).

Geroch et al. (R. Geroch, A. Held and R. Penrose), J. Math. Phys. 14, (1973).

Halliwell (J.J. Halliwell), Introductory Lectures on Quantum Cosmology in:

Proceedings of the Jerusalem Winter School on Quantum Cosmology and Baby Universes, edited by S.Coleman, J.B.Hartle, T.Piran and S.Weinberg World Scientic: Singapore, 1991.

Hawking and Penrose (S. Hawking, R. Penrose), The Nature of Space and Time, Princeton: Princeton University Press, 1996.

Markov (M.A. Markov), JETP Lett. 36, 265 (1982);

Ann. Phys. (N.Y.) 155, 333 (1984).

Nolta et al. (M.R. Nolta, J. Dunkley, R.S. Hill et al.), arXiv:0803.0593v (2008).

Poplawski (N.J. Poplawski), Phys. Lett. B 687, 110 (2010).

Sahni and Starobinsky (V. Sahni and A.A. Starobinsky), Int. J. Mod. Phys.

D 15, 2105 (2006).

Strokov (V. Strokov), IDAQP 10, 573 (2007).

Volovik (G.E. Volovik), Grav. Cosmol. Suppl. 6, 187 (2000).

Wald (R.M. Wald), General Relativity, The University of Chicago Press:

Chicago and London, 1984.

Wheeler (J.A. Wheeler), Phys. Rev., 97, 511 (1955).